Некоторые применения принципа площадей и структурных формул тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Суетин Валерий Юрьевич

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА ПЛОЩАДЕЙ И СТРУКТУРНЫХ ФОРМУЛ

Специальность 01.01.01 - Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Диссертация выполнена на кафедре математического анализа Тверского государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук,

академик РАО Баврин И.И.

- кандидат физико-математических наук,

доцент Громова Л.Л.

Ведущая организация -кафедра математического анализа Петрозаводского государственного университета

Защита диссертации состоится 17 мая 2005 г. в 16 ч. на заседании диссертационного совета К 212.133.01 при Московском государственном институте электроники и математики (технический университет) по адресу: г.Москва, Б.Трехсвятительский пер., д.3/12, стр.8, МГИЭМ, факультет прикладной математики, ауд. 411.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики.

Автореферат разослан 11 апреля 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К 212.133.01

профессор Шеретов В.Г.

к.ф.-м.н., доцент

Е. Р. Хакимулл ин

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Решение различных экстремальных задач в классах конформных и квазиконформных отображений занимает одно из центральных мест в геометрической теории функций комплексного переменного. Одна только гипотеза Л.Бибербаха (1916 г.) о справедливости на классе 5 однолистных и голоморфных в единичном круге Д функций вида /(г) = г + г2 + ... оценок |а„| < п стимулировала развитие эффективных методов аналитического исследования: площадей и контурного интегрирования, вариаций, модулей и экстремальных длин, параметрических продолжений и оптимального управления, симметризаций и других ([1] - [20]).

Доказательство гипотезы Бибербаха в общем виде в 1984 году Л.деБранжем [9] не снизило интерес к изучению оценок коэффициентов разложения функций, теоремам искажения, нахождению ра-диусов выпуклости и звездности в различных подклассах класса 5, чем активно занимаются многие математики как в России, так и за рубежом. В последние четверть века открыты глубокие связи конформных и квазиконформных отображений с круговыми упаковками Андреева-Терстона, голоморфной динамикой; предложены оригинальные численные методы,

В диссертации рассматриваются актуальные в свете изложенного новые подходы к оценкам коэффициентов однолистных нормированных функций из некоторых подклассов класса 5 и класса Е однолистных и мероморфных во внешности Д* единичного круга функций

/(г) = г + 60 + М-1 + Ь2г~2 + ....

Вычислены значения констант Кебе для классов локально конформных и локально гармонических функций; получены соотношения, связывающие тейлоровские коэффициенты функций, допускающих ¿-квазиконформное продолжение, с радиусами кругов покрытия.

Целью работы является решение поставленных экстремальных задач и связанных с ними вопросов.

Методика выполнения исследования состоит в специализациях методов площадей и структурных формул В.Г. Шеретова. Используются ряды Пюизе, квазиконформные продолжения, аналитические квадратичные дифференциалы на римановых поверхностях и порождаемые ими особые римановы метрики, зависящие от пара-

метров.

Научная новизна. Все представленные в диссертации результаты являются новыми.

Основными результатами работы являются:

* доказательство точного неравенства площадей в классе £[п], п £ М, для функций / которого образ внешности единичного круга при отображении ассоциированной с / функцией

является п-листной римановой поверхностью; получение путем спецификаций этого неравенства точных соотношений, связывающих начальные лорановские коэффициенты / £ £[п];

^доказательство точных неравенств площадей и следствий из них в виде неравенств Альфорса и оценок коэффициентов для нескольких подклассов класса 5;

^доказательство неравенств, связывающих радиус круга покрытия с тейлоровскими коэффициентами р-кратно кругосимметричных однолистных в единичном круге нормированных функций, допускающих продолжение до Дг-квазиконформных автоморфизмов римановой сферы С:

^применение метода структурных формул для различных классов локально конформных и локально гармонических отображений, генерируемых функциями класса 5 и класса Каратеодори Б и С, вычисление обобщенных констант Кебе, радиуса выпуклости для этих классов, получение оценок тейлоровских коэффициентов таких функций.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, поэтому ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по геометрической теории функций и смежным разделам математики, а также в тех прикладных вопросах, где используются конформные и квазиконформные отображения.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены на VI Казанской летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, июнь - июль 2003 г.), 12-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, январь - февраль 2004г.), Воронежской зимней математической школе "Современные

к

методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, январь-февраль 2005 г.).

В целом работа доложена в 2004 году на научном семинаре кафедры математического анализа Тверского государственного университета (рук. проф. В.Г. Шеретов), на научном семинаре кафедры математического анализа Саратовского государственного университета (рук. проф. Д.В.Прохоров).

Диссертационное исследование поддержано грантом РФФИ (проект 04-01-00368 )

Публикации. Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в четырех статьях и четырех тезисах докладов. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав основного текста, содержащего 9 параграфов, заключения, приложения. Основной текст изложен на 91 странице, приложение - еще на 39 страницах. Список использованной литературы включает 73 наименования. Нумерация параграфов - по главам, теорем - сквозная в каждой главе, формул - по параграфам.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение характеризует научное направление, проблематику и применяемые методы. В §1 Исторический обзор и проблематика рассмотрены достижения в области геометрической теории функций, явившиеся базовыми для получения изложенных в диссертации результатов. В §2 Основные результаты обосновывается актуальность исследований, их новизна, сформулирована цель работы и выносимые на защиту утверждения. Под п-листностью отображения Г в области £) в работе понимается наличие в И не более п решений уравнения Р(г) = а (Уа) и строго п решений хотя бы для одного а.

Глава 1 Обобщение принципа площадей и их приложения состоит из пяти параграфов. В §3 Теорема площадей в классах Е'[п] для однолистной во внешности единичного круга Д* функции /, пред-ставимой в Д*\оо рядом /(г) = г + Ь0 + Ь-^г'1 + &г2-2 + • • •, при фиксированном натуральном п > 1 вводится ассоциированная функция

^(^"Пе^Де-2"^^).

1/=0

Класс Е'[п] образован такими функциями f(z) Е Е' = {<р £ Е, 0 0 <р(Д*)}, для которых -Р„-образ множества А* является n-листной ри-мановой поверхностью. В этот класс входят все звездные функции из класса Е'. В Приложении 1 с помощью пакета Maple построен пример незвездной функции из класса Е, для которой F2-o6pa3 внешности единичного круга локально двулистен в бесконечности и имеет непересекающиеся линии уровня. Модификация предложенных В.Г.Шеретовым для функций класса S технических приемов, (оценка интегралов в метрике ds2 = |ш| квадратичного дифференциала ш = (Q'(w)dw)2, Q(w) = w1/2 с использованием рядов Пюизе на листах римановой поверхности y/w), позволили получить неравенство площадей для класса Е'[п] в метрике квадратичного дифференциала ш:

Теорема 1.1 При фиксированном натуральном тг и f(z) Е Е[п] справедливо точное неравенство площадей

оо i/=i

где {F{z))1/2 = £ Д,*"«1-2")/2.

и=0

Спецификации этого неравенства при различных фиксированных натуральных п позволяют получить соотношения между начальными лорановскими коэффициентами. Эта работа проделана в §4 Оценки начальных лорановских коэффициентов в классах Е'[п]. В частности, для класса Е'[2] = {/ € Е[2] : 0 0 /(А*)} получена оценка |&о| < у/ЩТТЩ), усиливающая известный ранее для класса Е' результат |&о| < 2.

Для / € Eq[3] доказанное неравенство площадей дает полученное Г.М. Голузиным для всего класса Е неравенство \Ь2\ < 2/3.

В подклассах Eq[ti] классов Е[п], для функций которых 60 = 0, получены точные коэффициентные неравенства:

Теорема 1.2

Для/е Sf)[4] |Ьз- Щ\ < 1/2;

для f £ Eq[5] \Ь4-Ь1Ь2\<2/5;

для f е Eq[6] |&5 - Мз - Ь2/2 + Ь\/3| < 1/3;

для f е Ео[7] |Ь6 - Ь2Ь3 - hbi + Ъ\Ъ2\ < 2/7.

Неравенства, связывающие начальные лорановские коэффициенты b„_i с предыдущими для f £ £g[n] получены также для п — 8,..., 11. Вычисления проводились с использованием пакета Maple и приведены в Приложении 1.

В.Г. Шеретов [17] использовал метод площадей для оценки коэффициентов функций класса S с помощью некоторой ассоциированной функции. Параграф 5 Неравенства площадей в подклассах 5[га] класса S посвящен той же проблеме, но с использованием иной ассоциированной функции.

Класс S[n], п £ N\{1}, образован функциями / £ S, для которых при любом натуральном k < п образ единичного круга при отображении ассоциированной функцией

к-1

2х,/к

AW :=/(»)•;

е

является &-листной римановой поверхностью. В теореме 1.3 доказано точное неравенство площадей для этого класса функций. Следствием является

Теорема 1.4 Пусть п > 1 - фиксированное натуральное число, / £ $[п], т.е. Г1Г2{г) = *"1/2(1 + М + Ь2г2 + • • • + Ьпгп + ...).

Имеет место точное неравенство площадей

| |&п + ьп-1 + • • ■ + М2 + + б„-2 + • • ■ + г»х +1|2 + • • •+

2 Г» т »п-1 т т 2

+ "~2[?]

^ 2

< | + ^|l + 61|2+üfi|l + bl + 62|2+

+ ...+ !Ц[11|1 + 61 + ... + 6и|2

с экстремалью /(г) = г(1 — г)~2.

В §6 Коэффициентные неравенства для / £ 5[п] получены специализации неравенства площадей для классов 5[п] при п= 3,4. В классе 5[3] получаем оценку

Re04 < |3а2 - 2| - Re (|а|) + ||а2|3 + 2yJ\ + ||l - \а212. При / £ 5[4] получена оценка вещественной части

Rea5 < 2^/1+||1-|а2|2 + ||а2 - l| + 2^1 + §|1 - |а2|2+

+ §|а3| • |2а3 + а% - 4а2| + §<^|9а2 - ха2 - 4| - Real■

Получены новые коэффициентные неравенства и оценки вещественных частей коэффициентов а4 и а5 для звездных функций f £ S*.

Полученные результаты составляют содержание теорем 1.5 и 1.6.

В §7 Новые неравенства площадей для однолистных функций с р-кратной круговой симметрией для фиксированных натуральных р > 1 и п в классе однолистных в единичном круге функции f(z) £ S, для которых

оо

f(e2*''*z) = e2<"'*f{z), /(2) = * + £ apv+1zP"+\

v=l

выделен подкласс S^ [п], элементы / которого обладают следующим свойством: образ единичного круга Д при всех натуральных k < п и т) = е2*11рк при отображении

Ы*) = ПV"/ (rfz) =zk( 1 + Qxzpk + <*2Z2pk + ...), i/=0

является fc-листной римановой поверхностью. В указанный класс входят звездные функции из 5; с помощью построений в Maple приведен пример незвездной функции, входящей в класс S'3*, для которой ^г-образ единичного круга локально двулистен в нуле и имеет непересекающиеся линии уровня в Д. Подробное построение примера дано в Приложении 2. Генератор квадратичного дифференциала

Q(w) взят в виде Q{w) = w~p/2, Q о Fn = £ Д,^""1/»)!™, Д> =

|/=0

1, fix = —pai/2,.... Показано, что выполняется точное неравенство площадей для класса в метрике квадратичного дифференциала (Q'(w)dw)2

00

Е l/3,l2(2f -1) < 1

с экстремалью - р-лучевой функцией Кебе /0 = z( 1 — zp)~2/p.

Для / £ S'p)[n] получены точные оценки модулей тейлоровских коэффициентов apn+i:

при р— 2, п = 2,..., 6 |a2n+i| < 1 " известный факт;

при р = 3, п = 2,..., 4 (от! < 5/9; |аю| < 40/81; |а13| < 110/243,

при р = 4, п = 2,..., 4 |а9| < 3/8; |агз| < 5/16; |а17| < 35/128.

В этом же параграфе оцениваются вещественные части пятого и седьмого тейлоровских коэффициентов функций из подкласса S'2)[2] класса S'2^ нечетных однолистных в единичном круге функций, для которых двулистен образ единичного круга при отображении F(z) = fW-zll + z2)-1:

Rea5 < 1 + |оз|2 - Äea3 Rea-j < |2a3 - 1| • |a5 + a3 - o|| + |a3|3 + |a3|-- Re a3 + \ л/l - |a§ - <z5 - a3|2.

В §8 - Оценка радиусов кругов покрытия - рассмотрен класс S[p' (оо), образованный р - кратно кругосимметричными однолистными в единичном круге А функциями f(z), нормированными условиями /(0) = 0, /'(0) = 1 и допускающими продолжения до к-квазиконформных автоморфизмов / римановой сферы С, таких, что /(оо) = оо. Для оценки радиуса d¡ круга покрытия применен принцип площадей в метрике аналитического квадратичного дифференциала с генератором Q(w) = (w-1 — А)р/2, где Л-1 6 df(А), / € S^ (оо) и доказана

Теорема 1.7 Если f £ S(kp)(oо), f(z) = z( 1 + Apz? + ...) в А и p < Ak, то df > (2kp'1 + |j4j,|)_1 > р/Ак. В частности, если p = 1 и k> 1/4, то df > (4A;)-1.

Если опустить условие р-кругосимметричности, т.е. рассматривать / G S¿(oo), то можно в качестве генератора квадратичного дифференциала взять

Q(w) = (го-1/2 - Л)1/2 (w-1'2 - v)1/2 , где Л и ¿i - точки границы области 1/[/(Д)]1,/2.

Рассматривается подкласс S*(оо) класса Sjt(oo), для функций из которого на границе /_1/2(Д) найдутся Л и /¿ такие, что ц = —А.

Теорема 1.8. Для радиуса круга покрытия в классе 5*(оо) при условии 2k+ \a2¡ > 1 справедлива оценка df > (2k + |«21)_ 1-

Решению экстремальных задач на классах конформных, квазиконформных и гармонических отображений посвящено большое количество научных работ. Классы локально конформных (локально квазиконформных, локально гармонических) отображений изучены гораздо слабее. В.Г.Шеретов [19] предложил использовать метод

структурных формул в геометрической теории гармонических отображений.

Шейл-Смолл и Клуни [11] ввели в рассмотрение класс всех комплекснозначных гармонических сохраняющих ориентацию однолистных отображений / = д + к, определенных в Д и нормированных условиями /(0) = 0, /г(0) = 1, /г(0) = 0. Голоморфные функции д и к имеют в круге Д тейлоровские разложения

к(г) = г + д(г) = Ь^г",

1/>2 1/>2

определяющие коэффициенты гармонического отображения /.

Класс 3% локально однолистных гармонических отображений с той же нормировкой рассматривался Л. Шауброк [16], которая получила критерий локальной однолистности и оценки модулей коэффициентов в случае выпуклости образа единичного круга. Локально однолистные отображения с иными нормировками изучались В.В. Старковым [15], Дюреном, Хенгартнером, Озтурком, Дорффом и др. Обозначим через 5 класс голоморфных и локально однолистных в Д функций с нормировкой .Р(О) = F'(0) — 1 = 0, С - класс Каратеодори функций, голоморфных на Д и имеющих значения с положительной вещественной частью. Очевидно, что для произвольного действительного /3 каждому элементу / = д + к € отвечает единственная пара функций ^ 6 в, Н £ С, определяемых по формулам ^ = к + е^д и Я = (1 - е,/3д'/к')/(1 + е'Рд'/Ы) соответственно. Верно и обратное утверждение: любая пара элементов ^ Е 5, Н £ С порождает отображение / 6 ¡5% по формуле

Пг) = + + (1 - (1)

Рассмотренный В.Г.Шеретовым [19] класс состоит из локально однолистных гармонических отображений, представимых по структурной формуле (1) с генераторами ^ £ 5, Н £ С.

В §9 Оценки коэффициентов и констант Кебе в некоторых классах локально гармонических отображений рассматривается класс

[&], который состоит из к- квазиконформных функций / 6 Необходимым и достаточным условием /¡-квазиконформности отображения вида (1) является принадлежность генератора Н(г) = 1 +

Си z" классу С [к], образованному заданными в единичном круге Д функциями

Г2ж 1 + keltz , . .

где р - вероятностная мера на ег-алгебре борелевских подмножеств отрезка [0, 2тг], к - параметр подкласса, 0 < к < 1. Указаны простейшие свойства функций класса С[к], которые пригодятся в доказательстве некоторых теорем этого параграфа. Обобщениями классов С[к] занимались польские математики под руководством проф. Станкевича. Доказана

Теорема 2.1. Для коэффициентов ап и Ьп функций класса [&] имеют место точные неравенства ||а„| — |6„|| < п;

I h I < V"-1 \а \<п . illl V"-1 l°n| Ь: „ = 1 k» ' 1а"1 ь 71 + п 2-111=1 te-

Равенства в них выполняются одновременно для всех п > 2, причем экстремалями являются функции f вида (1), генерируемые F = z/(1 — z)2 G S и H = (1 + kz)/(l — к z) £ С и их вращения, а для первого неравенства - также функции Кебе F$ = z/(l + e,ez)2, в £ [0,2-х).

В пределе при к —> 1 из доказанного для всех п > 2 следуют точные оценки в классе S^ локально однолистных гармонических отображений, представимых формулой (1) с генераторами F £ S, H £ С:

IKI - \b„\\ < n; Ib.1 < <"-1Г"1); Kl < ^"+1)i2"+1)-

Вопрос о справедливости таких оценок для коэффициентов однолистных в Д функций / £ Sjj, образующих класс 5д-, были поставлены, наряду с другими, Клуни и Шейл-Смоллом [11], которые дали положительные ответы в случае типично вещественных функций. В.Г.Шеретовым [19] эти оценки были получены для класса 5д-. Вопрос о включении класса 5д- в является открытым.

Рассмотрена задача о вычислении обобщенной константы Кебе для класса S#[&], то есть радиуса наибольшего открытого круга с центром в начале координат, целиком лежащего на листе римановой поверхности /(Д) любой функции / £ S^ [&], содержащем /-образ достаточно малой окрестности начала координат.

Теорема 2.2. Обобщенная константа Кебе Q(k) для класса равна интегралу

QW = J

Вычисления с помощью Maple дают: <5(1/3) яа 0.216395; Q( 1/2) 0.202185; 0(2/3) н 0.189293.

Среди проблем, поставленных в [11], имеется гипотеза о том, что константа Кебе для класса 5д-, то есть радиус наибольшего открытого круга с центром в начале координат, лежащего в /(Д) для любого / £ Sff, равна 1/6. Из теоремы 2.2 следует, что константа Кебе для подкласса однолистных функций из в пределе при к —> 1

равна 1/6. При к —>■ 0 получаем согласованность с классическим результатом Qk —»■ 1/4.

Класс SI образован звездными функциями / £ S, для которых h(z) = z f'{z)/f(z) принадлежат классу С [к].

Теоремы 2.1 и 2.2 распространены на классы q] локально

однолистных отображений вида (1) с генераторами F £ S*, h £ С[к]:

Теорема 2.3. Обобщенная константа Кебе для класса q]

выражается интегралом

Г1 g-g«) 1 -kt dt Jo (l+gt)s

При q = k эта константа равна (3 + fc2)/3(l + А;)3. Ее предельное значение при к —»■ 1 равно 1/6.

Теорема 2.4. Для коэффициентов ап и Ь„ функций класса к] имеют место точные неравенства ||а„| — |Ь„|| < ngn_1,

M^E^iViW"1,

ki РЧЧчу-1-

Равенства в них выполняются одновременно для всех п > 2, i причем экстремалями являются функции f вида (1), генерируемые F = z/(l — qz)2 6 S и Н = (1 + kz)/(l — k z) £ С и их вращения, а для первого неравенства - также функции Fg = z/( 1 + qe,ez)2, * в€ [0, 2тг).

В §10 Об одном однопараметрическом классе локально конформных отображений для а > 0 символом Sa обозначен новый класс локально конформных отображений F единичного круга Д, элементы которого представимы структурной формулой

где / - отображение из класса 5, а под интегралом стоит однозначная в единичном круге ветвь аналитической функции (г/'(г)/г)а, принимающая значение 1 в начале координат. Класс 5х введен В.Г. Шеретовым [20].

Классические теоремы искажения позволяют немедленно получить простые, но полезные в дальнейшем свойства: точные двусторонние оценки модуля производной и отношения производных.

В этом же параграфе оценивается обобщенная константа Кебе для класса §а. Доказана

Теорема 2.5. Обобщенная константа Кебе для класса §а, а > 0, представляется интегралом

О 4 '

При этом 01/1О (а 0.8761886; С}1/5 ы 0.7766271; <Э1/2 0.5707963; С}г к, 0.3862944; С)3 ъ 0.1588831.

Для / € 5г вычисления дают ф2 = 3-41og 2 « 0.22741128, причем экстремалью является локально однолистная функция

:= 2 + 4 — 4(1 + — 41о§(1 + г).

Теорема 2.6. В классе §а, а > 0, радиус выпуклости го выражается формулой

Оценены модули тейлоровских коэффициентов функций из 52.

В работе В.В. Григорьевой и В.Г.Шеретова [8] был введен и исследован класс 5ад, (являющийся подклассом класса Б всех локально однолистных в круге Д голоморфных функций /, нормированных условиями /(0) = /'(0) — 1 = 0), образованного функциями Р(г), представимыми в виде интеграла

*■(*)= Г (*)/'(*)

Jo

где / £ 5; а, [3 - фиксированные действительные числа, к - элемент класса Каратеодори (С).

В одиннадцатом параграфе предлагается естественное обобщение этого класса, а именно, вводится в рассмотрение класс 5а,/з локально однолистных в единичном круге функций, представимых формулой

ад = е-' у ка[ЩГ№<ь, (2)

о

где / £ 5; а,/3 - фиксированные действительные числа, И, - элемент из класса С Каратеодори и г/ € [0, 27г].

Под знаком интеграла в формуле (2) стоят однозначные в единичном круге ветви Ла(2) и аналитических функций ка и (/'(г))^ = <рР, принимающих значение 1 в начале координат. Эти ветви нигде в Д не обращается в нуль и, стало быть,

Р'(г) = ка(г)(рр / 0 в Д, что гарантирует локальную однолистность функции Р1 € §а,р- Очевидно, что 5од = 5, а также 5 С поскольку Ь — 1 - элемент класса С.

Вновь используя теоремы искажения в классе 5, получаем точные двусторонние оценки модулей производных и их отношений, а также величину обобщенной константы Кебе:

Теорема 2.7. Обобщенная константа Кебе для класса 5И)|з с

оо

действительными а и/3 > 1 равна 21~2/} С^яз^ +1 + |а1+/3)-1,

*=о

экстремалями являются функции #*(*) = (1

Рассмотрим подкласс 5* ^ класса 5а,/3, генератор € С которого представйм как 1г{г) = гд'(г)/д(г), где (¡г - некоторая функция класса 5* звездных функций.

Теорема 2.8. Радиус выпуклости г о семейства определяется следующим образом: при /3 ф1/2 иа> -/3/3

г0= (За + 2/3 - у/(3а + 2/З)2 -2/3+1)(2/3 - I)"1; при /3= 1/2 и а > -1/6 г0 = (6а+ 2)-1.

При остальных сочетаниях величин а и /3 радиус выпуклости равен 1.

В частности, при /3 = 1/4 и а = 0 получаем го = л/3 — 1;

при /3 = 1 и а = 0 получаем классический результат Гц = 2 — \/3; при /3 = 1 и а = 1 имеем го = 5 — 2\/б.

В Заключении кратко сформулированы затронутые в диссертации вопросы и указаны направления дальнейшей работы.

В Приложении 1 с помощью пакета Maple построен пример незвездной функции из класса SJ,, для которой ^-образ внешности единичного круга локально двулистен в бесконечности и имеет непересекающиеся линии уровня, и приведены расчеты оценок коэффициентов функций из классов Ед[п] для п = 7,..., 11 и их подклассов.

Приложение 2 содержит построение в Maple примера незвездной функции из класса для которой ^-образ единичного круга локально двулистен в нуле и имеет непересекающиеся линии уровня в Д, и выкладки получения неравенств типа Альфорса и точных оценок начальных тейлоровских коэффициентов функций классов S^ [п] для некоторых р и п.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Георгиевичу Шеретову за постановку задачи и ценные замечания в процессе работы.

Список публикаций

1. Суетин В.Ю. Об одном однопараметрическом семействе локально конформных отображений // Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского. Т. 19. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Материалы шестой Казанской международной летней школы- конференции. (Казань, 27 июня - 4 июля 2003). Казань, 2003. С. 208-209.

2. Суетин В.Ю., Шеретов В.Г. Свойства локально однолистных функций, представимых структурными формулами // Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского. Т. 19. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Материалы шестой Казанской международной летней школы-конференции. (Казань, 27июня-4 июля 2003). Казань, 2003. С. 209-210.

3. Суетин В.Ю., Шеретов В.Г. Об одном классе локально конформных отображений // Применение функционального ана-

лиза в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т. 2003. С. 125-129.

4. Суетин В.Ю. Применение метода площадей к оценке коэффициентов функций класса £// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т. 2004. С. 24-27.

5. Суетин В.Ю. Оценка тейлоровских коэффициентов в одном классе однолистных функций// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т. 2004. С.33-39.

6. Суетин В.Ю. Оценки коэффициентов и констант Кебе в некоторых классах конформных и гармонических отображений/ / Современные методы теории функций и смежные вопросы. Тез.докл. Воронежской зимней математической школы. Воронеж. 2005. С.223-224.

7. Суетин В.Ю., Шеретов В.Г. Оценки коэффициентов и констант Кебе в некоторых классах конформных и гармонических отображений// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т. 2004. С.40-50.

8. Суетин В.Ю. Применение метода площадей к оценке коэффициентов функций класса 2 // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тез. докл. 12-й Саратовской зимней школы. Саратов. 2004. С.176-177.

Основная литература по теме исследования:

1. Авхадиев Ф.Г. Конформные отображения и краевые задачи. Казань, 1996. 216 с.

2. Александров И.А. Конформные отображения односвязных » областей. Томск, 1976. 156 с.

3. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир, 1969. 134 с.

4. Альфорс Л. Неравенство между коэффициентами аг и а4 однолистной функции // Некоторые проблемы математики и механики. Л., 1970. С. 71-74.

5. Белинский П. П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск: Наука, 1974. 99 с.

6. Волковыский JI. И. Квазиконформные отображения. Львов: Львовск. гос. ун-т, 1954. 155 с.

7. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.

8. Григорьева В. В., Шеретов В.Г. Метод структурных формул для локально конформных отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т, 2002. С. 15-23.

9. De Branges L. A. A Proof of the Bieberbach Conjecture // Acta Math. 1985. V. 154. P. 137-152.

10. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. М.: ИЛ, 1962. 266 с.

11 Clunie J., Sheil-Small Т. Harmonic Univalent Functions // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A 1. Math. 1984. V. 9. P. 3 - 25.

12. Крушкаль С.Л., Кюнау P. Квазиконформные отображения -новые методы и приложения. Новосибирск: Наука, 1984. 216 с.

13. Лебедев Н.А. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975. 336 с.

14. Суворов Г .Д. Обобщенный "принцип длины и площади" в теории отображений. Киев, 1985. 277 с.

15. Starkov V.V. Harmonic locally quasiconformal mappings // Annales Univ. Maria Curie-Sklodowska, Ser. A. 1995. V.49. P.183-197.

16. L.E.Shaubroeck Growth, distortion and coefficient bounds for plane harmonic mappings convex in one direction // Rocky Mountain Journal of Mathematics. V.31. N.2. 2001. P. 625-639.

«

17. Шеретов В.Г. Метод площадей в метриках аналитических квадратичных дифференциалов, заданных на накрывающих

• сферы Римана // Применение функционального анализа в те-

ории приближений. Тверь, 1996. С. 116-124.

18. Sheretov V.G. Structural Formulae Method for the Planar Har monic Mappings // International Conference on Geometric Function Theory dedicated to Herbert Grotzsch 1902 - 1993. Abstracts. P. 19. Halle, 2002.

19. Шеретов В.Г. Метод структурных формул в геометрической теории плоских гармонических отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2002. С. 30 - 39.

20. Шеретов В.Г. Развитие метода площадей и его приложения к однолистным функциям // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2004. С. 52-59.

f

<

1-6474

РНБ Русский фонд

2006-4

4624 i

Введение

1. Исторический обзор и проблематика

2. Основные результаты

Глава I. Обобщение принципа площадей и их приложения

3. Теорема площадей в классах Е'[п]

4. Оценки начальных лорановских коэффициентов в классах £'[п]

5. Неравенство площадей в подклассах S[n] класса S

6. Коэффициентные неравенства для / £ 5[п]

7. Новые неравенства площадей для однолистных функций с р-кратной круговой симметрией

8. Оценки радиусов кругов покрытия

Глава II. Применение методов структурных формул

9. Оценки коэффициентов и констант Кебе в некоторых классах локально гармонических отображений

11. Об одном однопараметрическом классе локально конформных отображений

12. Обобщение одного класса локально конформных отображений

§1. Исторический обзор и проблематика

1. История геометрической теории функций комплексного переменного насчитывает полтора века и берет начало в трудах великого немецкого математика Б. Римана. В 1851 г. он защитил докторскую диссертацию на тему "Основы общей теории функций одной комплексной переменной", а три года спустя прочитал свою знаменитую лекцию "О гипотезах, лежащих в основании геометрии". В них были введены фундаментальные математические понятия "многократно протяженной величины" (риманова пространства, дифференцируемого многообразия), многолистной римановой поверхности, конформного отображения, аналитического продолжения и другие. Идеи Римана пролили свет на истинную природу понятия многозначной функции. Были введены понятия однолистной и многолистной функции и важный "принцип Дирихле", положенный в основу доказательства знаменитой теоремы Римана о конформных отображениях. Данная К. Вейерштрассом критика принципа Дирихле низвела доказательство Римана на уровень эвристических суждений, и только сорок лет спустя почти одновременно появились три строгих доказательства теоремы о существовании и единственности однолистного конформного отображения односвязной области с границей, содержащей более одной точки, на круг. Их авторами были Д. Гильберт, А. Пуанкаре и П. Кебе. Столь долгий период поиска строгого обоснования принципа Дирихле отмечен важными вехами становления и развития геометрической теории функций. Вей-ерштрасс создал строгую теорию аналитического продолжения на основе степенных рядов. Пуанкаре построил теорию автоморфных функций, связал ее с теорией римановых поверхностей и неевклидовой геометрией Лобачевского. Ф. Клейн и Г.А. Шварц также развили тополого-алгебраические методы и широко использовали идею симметрии для решения задач геометрической теории функций. Знаменитая теорема Пуанкаре-Кебе-Клейна об униформизации аналитических функций была непосредственной предшественницей первых исследований геометрических свойств классов однолистных голоморфных функций. Речь идет о доказанной П. Кебе почти сто лет назад, в 1907 г., теореме о покрытии в классе нормированных однолистных функций. Теория конформных отображений получила значительное развитие в связи с тем, что было начато систематическое изучение классов однолистных функций в заданной области, то есть тех функций, которые реализуют различные подходящим образом нормированные конформные отображения этой области. Причем в качестве таких областей обычно берутся канонические области -единичный круг, его внешность, полуплоскость, прямолинейная полоса, круговое кольцо. Основной результат теории состоит в том, что классы однолистных функций образуют нормальные семейства. Как следствие получаем, что каждая экстремальная относительно заданного непрерывного функционала А(/) задача в таком классе имеет по крайней мере одно решение. В случае задачи на минимум (максимум) можно иметь дело с полунепрерывными снизу (сверху) функционалами. Именно этот подход позволил получить строгие доказательства римановой теоремы о конформном отображении од-носвязной области на круг, теорем Гильберта, Голузина, Шиффера о конформных отображениях многосвязной области на канонические области с разрезами. Классы однолистных функций наделены топологией локально равномерной сходимости элементов.

2. Упомянутый выше результат Кебе привлек внимание Й. Пле-меля, Т. Гронуолла, Г. Пика, Г. Фабера, JI. Бибербаха. Гронуолл (1914) первым применил так называемый "принцип площадей" (площадь неотрицательна) к доказательству утверждения о том, что если функция со g(z) = z~l + ^9vZv однолистна в А {z Е С : \z\ < 1} и голоморфна за исключением простого полюса в начале координат, то выполняется точное неравенство площадей оо 1>=1

Два года спустя Бибербах [34] и Фабер нашли точное значение константы Кебе - радиуса круга покрытия для класса S, образуемого однолистными в А голоморфными функциями f(z) = Z + 2 On zn. Она оказалась равной 1/4, а функции

U(z) = z(l + e^z)~2, феШ,

1) получившие впоследствии название (лучевых) функций Кебе, оказались экстремальными и в ряде других задач.

Одновременно Бибербах доказал, что в классе S выполняется точная оценка |а21 < 2 с функциями Кебе в качестве единственных экстремалей и высказал ставшее широко известным предположение (гипотезу Бибербаха) о том, что в классе S для всех п € N имеют место точные оценки а„| <п (2) с теми же экстремальными функциями. Тогда же была поставлена проблема коэффициентов Бибербаха, требующая точного описания области Vn в евклидовом пространстве размерности 2п — 2, заполняемой точками (i?e02,/ттга2, • • • , Rean, Iman), где (02,03?" • >ап) ~ векторы, образуемые начальными тейлоровскими коэффициентами функций f £ S. Проблемы о влиянии однолистности отображения на величины коэффициентов отображающих функций и структуру n-тел коэффициентов Vn были, очевидно, навеяны работами Кара-теодори и Теплица о телах коэффициентов голоморфных в единичном круге А := {z Е С : \z\ < 1} функций p(z), имеющих положительную реальную часть и нормированных условием р(0) = 1, т.е. функций из класса С (класса Каратеодори).

Высказанная Л.Бибербахом гипотеза (2) занимала многих математиков XX века. В 1917 году чешский математик Ч. Левнер показал, что для функций / Е S, отображающих круг \z\ < 1 на звездообразные области, выполняются точные оценки (2). В 1924 году И.И. Приваловым доказано, что если при этом функция / - нечетная, то имеет место точная оценка |anj <1, п = 3,5,. В 1923 году Левнер [53] развил метод параметрических продолжений конформных отображений класса S с помощью решений специального дифференциального уравнения (уравнения Левнера), правая часть которого представляла собой однопараметрическое семейство ядер Шварца. Здесь впервые обнаружилась связь класса S с классом Каратеодори. На этом пути Левнеру удалось доказать гипотезу Бибербаха для п = 3. Другие доказательства неравенства |аз| < 3 были получены позже А.Шеффером и Д. Спенсером (1943), Г.М. Голузиным (1946), Дж. Дженкинсом (1951) и Л. де Бранжем (1984). Эти и другие подобные доказательства следует рассматривать как пробные камни для используемых методов оперирования с экстремальными проблемами конформного отображения. Не случайно каждое из продвижений происходило как результат развития или усовершенствования какого-либо метода в теории однолистных функций. Две проблемы Бибербаха, а также риманова проблема модулей в XX веке в немалой мере способствовали возникновению и совершенствованию глубоких и эффективных методов комплексного анализа: площадей и контурного интегрирования (Г. Грунский, Н.А. Лебедев, И.М.Милин, J1.JI. Громова, О. Лехто, В.Я.Гутлянский, Л. Аль-форс, В.Г. Шеретов, А.З. Гриншпан, Э. Хой и другие; см.[15], [17], [40-43], [4], [30], [64], [67-68], [71]); внутренних и граничных вариаций конформных и квазиконформных отображений (Г.М.Голузин, М.А. Лаврентьев, М. Шиффер, А. Шеффер, Д. Спенсер, Л. Аль-форс, Л. Берс, П.П. Белинский, К.И. Бабенко, С.Л. Крушкаль, Р.

• Кюнау, В.Я.Гутлянский, И.И.Привалов, В.И. Рязанов, В.В.Старков, В.Г. Шеретов и другие; см. [3 - 6], [9], [И - 14], [26], [48], [50], [57], [60], [65 - 66]); модулей и экстремальных метрик (Г. Греч, О. Тейх-мюллер, Л. Альфорс, А. Берлинг, Л. Берс, Дж. Дженкинс, В.А. Зорич, Б.В. Шабат, П.М. Тамразов, Г.В. Кузьмина, Р. Кюнау, В.Г. Шеретов, А.Ю. Васильев и другие; см. [4], [8 - 10], [16], [21], [24], [25]); параметрических продолжений и методов оптимального управления (К. Левнер, П.П. Куфарев, И.А. Александров, В.И. Попов, В.Я.Гутлянский, Д.В. Прохоров, А.Ю. Васильев и другие; см. [2], [52], [53], [59]); симметризаций (Г. Полна, Д. Сеге, М.Маркус, И.П. Митюк, В.Н.Дубинин, А.Ю.Солынин, Л.В.Ковалев и другие; [19 - 20], [9], [44], [47], [58]); структурных формул (К. Каратеодори, И.А.Александров, В.А. Зморович, В.В.Черников, В. Хенгартнер, В.Г. Шеретов и другие; см. [2], [62], [69 - 70]). Сферы применимос

• ти этих методов нередко выходят за рамки геометрической теории аналитических функций.

Приведенный перечень методов и авторов весьма субъективен и далек от исчерпывающего. Вне его рамок остался метод Л. де Бранжа [35], позволивший ему дать полный положительный ответ на гипотезу Бибербаха. Перспективными в теории отображений представляются современные методы голоморфной динамики [18], а также новые методы С.Л. Крушкаля [12], [49], Ф.Г. Авхадиева [1], И.И. Баврина [32], В.И. Рязанова, В.Я. Гутлянского, В.В. Горяйнова, Г. Давида, В.В. Чуешева [63] и другие.

3. Продолжим обзор исследований оценок коэффициентов функций класса S.

Дьедонне и Рогозинским было показано, что неравенство (2) выполняется для любой функции из класса S с вещественными коэффициентами ап. В 1924 году Литтлвуд доказал для произвольной функции f Е S выполнение неравенства ап\ < en, п = 2,3,.

Существование константы, ограничивающей величину |ап| для нечетных функций было показано в 1932 году Литтлвудом и Полна. Численное значение этой константы

К| < 21/431/2е1/2 было получено в 1935 году В.И. Левиным. Улучшение оценок Литтл-вуда до \ап\ < Зегг/4 дано в 1948 году [37] Г. М. Го Лузиным. Оценка an| < const + en/2 приведена И.М. Милиным [17].

Улучшением оценок для коэффициентов нечетных функций занимался Ю.Е.Аленицын [28 - 29 ]. Шеффер и Спенсер показали, что существуют нечетные функции с чисто вещественными коэффициентами, у которых j«2n—11 > 1 при п > 2 (цит. по [8]).

На основе уравнений Левнера в 1933 году Фекете и Сеге [73] для / £ S и а € [0; 1) получили точную оценку тейлоровских коэффициентов а3-аа22\<2е~2а/<<1-^ + 1. Следствием из этой оценки является точная оценка а2р+1 + 1)/р для тейлоровских коэффициентов функции оо к=О

Впервые оценка ja^ | <4 была получена в 1955 году П. Гарабедяном и М. Шиффером, после чего Альфорс [30] доказал ее методом площадей, хотя оценка |аз| < 3 для этого метода казалась недосягаемой.

Доказательства гипотезы Бибербаха были получены для п = б Р. Педерсоном (1968 г.) и для п — 5 Р. Педерсоном и М. Шиффером (1972 г.).

Для решения проблемы Бибербаха об оценках тейлоровских коэффициентов функции класса S в общем виде потребовалось почти 70 лет. Успех в 1984 году Л.де Бранжа [35] был достигнут, благодаря комбинированию развитого им метода с методом экспоненциальных неравенств И.М. Милина.

В 2003 г. В.Г. Шеретов [71] получил эти оценки методом площадей в подклассе, содержащем класс звездных функций S*, как следствие новых серий точных неравенств, связывающих начальные тейлоровские коэффициенты. Глава 1 настоящей диссертации посвящена применениям метода площадей В.Г. Шеретова [68], [72] к задачам о коэффициентах однолистных функций различных классов.

4. Проблема описания п-тел коэффициентов Vn и получения коэффициентных критериев однолистности также оставалась в центре исследований. А. Шеффер и Д. Спенсер, описывая функционалы на конечных римановых поверхностях, дали точное описание тела коэффициентов V2 — D2(S). В настоящее время исследованием п-тел коэффициентов занимается, например, Д.В.Прохоров и его ученики. В 1939 г. Грунский получил важный критерий однолистности в терминах введенных им коэффициентов оо^^, называемых ныне коэффициентами Грунского однолистной функции.

Другие критерии однолистности были установлены Г.М. Голузи-ным, И.Е. Базилевичем, В.Я. Гутлянским, причем последний завершил начатое К. Левнером и продолженное П.П. Куфаревым исследование связи между классами S ж С. В.Г. Шеретов в 1985 г. применил метод площадей для получения счетной системы точных коэффициентных неравенств, вполне характеристической для области коэффициентов

Doo(S) := {(а2, а3,-)бС00 : ап = /(гг)(0)М п = 2, 3, • • • , / G S}.

Этот результат дает алгоритмическое решение проблемы коэффициентов Бибербаха. Он изложен в главе 5 докторской диссертации [26].

Эти и многие другие исследования нашли отражение в монографической литературе [1-27]. Интересно отметить, что класс Кара-теодори находится в тесной связи с классом В голоморфных в круге А функций /, не обращающихся в нуль и таких, что |/(<гг)| < 1.

5. В теории конформных отображений значительное место занимает исследование того, какие ограничения налагает требование однолистности функции на некоторые величины, связанные с этим отображением, например, на величину модуля функции, на величину модуля и аргумента ее производной, т.е. на степень производимого этой функцией искажения в различных точках области, и т.д. Еще одной важной теоремой, доказанной JI. Бибербахом в уже цитированной работе [34] является теорема искажения, в которой двусторонне оценивается модуль производной, а равенство достигается на функциях Кебе (1) (см. также [36]). В 1919 года JT. Бибербахом доказана теорема вращения, дающая оценку модуля аргумента производной. В окончательной форме эта теорема была получена Г.М. Голузиным.

В главе 2 данной диссертации получены точные двусторонние неравенства для модулей производных и их отношений для некоторых новых классов локально однолистных функций.

6. Предметом диссертационных исследований являются также аналитические функции с квазиконформными продолжениями.

Основоположниками теории квазиконформных отображений были Г.Греч и М.А.Лаврентьев (1928). В настоящее время это обширная область математики, переросшая рамки геометрической теории функций, в недрах которой она зародилась. Изучению свойств таких функций посвящены работы Л.Альфорса [3], П.П.Белинского [6], В.Я. Гутлянский [43], С.Л.Крушкаля [11,12], [49], О.Лехто [16], В.В. Старкова [60], В.Г. Шеретова [26], [66], [69 - 70].

В диссертации рассмотрены некоторые свойства классов 5/Доо), образуемых к — квазиконформными автоморфизмами римановой сферы С, таких, что /(оо) = оо и ограничения / на единичный круг принадлежат классу S. Эти и другие родственные классы квазиконформных отображений являются предметом современных исследований ([38 - 39]). Здесь они будут изучаться с помощью метода площадей.

7. Продолжая идеи К. Каратеодори, И.А. Александрова, В.А. Змо-ровича, В.В.Черникова, В. Хенгартнера, Л. Шауброк [61] и др., В.Г.

Шеретов [69 - 70] исследовал классы локально однолистных гармонических отображений методом структурных формул, связывающих эти классы с классами С, S. С помощью этого метода получены основные результаты второй главы диссертации, связанные с оценками коэффициентов, теоремами искажения, покрытия и выпуклости рассматриваемых отображений. Данный раздел работы продолжает исследования В.В.Григорьевой [39]. Полученные результаты согласуются с гипотезами Клуни и Шейл-Смолла [46] об однолистных гармонических отображениях

Заключение

В диссертации рассматриваются приложения принципа площадей к получению коэффициентных неравенств и оценок модулей тейлоровских и лорановских коэффициентов функций, однолистных в единичном круге и его внешности соответственно и удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям. Существенно использованы методы структурных формул для описания свойств новых классов локально конформных и локально гармонических функций.

Указанные результаты могут быть естественным образом продолжены в следующих направлениях:

1) Более подробное изучение классов £'[п] и S[n], строгое доказательство однолистности незвездных функций, приведенных как примеры з первой главе, и двулистности их произведений, построение других примеров-функций. Расширение результатов на более широкие классы однолистных функций.

2) Применение методов структурных формул для новых классов локально конформных и локально гармонических отображений.

3) Проверка гипотезы: отображения класса S*[k] допускают продолжения до /с-квазиконформных гомеоморфизмов римановой сферы.

4) Решение вопроса о невключении класса Sjj в

Автор выражает глубокую благодарность свому научному руководителю доктору физико-математических наук Шеретову Владимиру Георгиевичу за постановку задачи и ценные замечания в процессе работы.

1. Авхадиев Ф.Г. Конформные отображения и краевые задачи. Казань, 1996. 216 с.

2. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976. 344 с.

3. Альфорс JL Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир, 1969. 134 с.

4. Ahlfors L.V. Conformal Invariants: Topics in Geometric Function Theory. N.Y., 1973. 157 p.

5. Бабенко К. И. К теории экстремальных задач для однолистных функций класса S // Труды матем. ин-та им. В. А. Стек-лова АН СССР. 1972. Т. 101. С. 1-318.

6. Белинский П. П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск: Наука, 1974. 99 с.

7. Волковыский JI. И. Квазиконформные отображения. Львов: Львовск. гос. ун-т, 1954. 155 с.

8. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.

9. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. М.: ИЛ, 1962. 266 с.

10. Кузьмина Г. В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы // Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. Ленинград: Наука, 1980. 241 с.

11. Крушкаль С. Л. Квазиконформные отображения и римано-вы поверхности. Новосибирск: Наука, 1975. 196 с.

12. Крушкаль С.Л., Кюнау Р. Квазиконформные отображения -новые методы и приложения. Новосибирск: Наука, 1984. 216 с.

13. Курант Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности. М.: ИЛ, 1953. 311 с.

14. Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа. М., 1962. 136

15. Лебедев Н.А. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975. 336 с.

16. Lehto О., Virtanen K.I. Quasiconformal Mappings in the Plane. Berlin: Springer-Verlag, 1973. 260 p.

17. Милин И.М. Однолистные функции и ортонор мир о ванные системы. М.: Наука, 1971. 256 с.

18. Милнор Дж. Голоморфная динамика. Ижевск, 2000. 320 с.

19. Митюк И.П. Применение симметризационных методов в геометрической теории функций. Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 1985. 95 с.

20. Полна Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. М., 1956. Т. 1 396 е., Т. 2 - 432 с.

21. Pommerenke Ch. Univalent Functions. Gottingen, 1975. 375 p.

22. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М., 1960. 444 с.

23. Суетин П. К. Ряды по многочленам Фабера. М.: Наука, 1984, 336 с.

24. Суворов Г.Д. Обобщенный "принцип длины и площади" в теории отображений. Киев, 1985. 277 с.

25. Teichmiiller О. Extremale Quasikonforme Abbildungen und Quad-ratische Differentiale // Abhand. Preuss. Akad. Wiss. Math.-Naturwiss. Kl. 1939. N. 22. S. 1-198.

26. Шеретов В. Г. Квазиконформные отображения, экстремальные относительно своих граничных значений. Дисс.- • • доктора физ.-мат. наук. Краснодар, 1988. 322 с.

27. Srivastava Н.М., Owa S. Current Topics in Analytic Function Theory. World Scientific. 1992. Singapore/London/Hong Kong. 312 p.

28. СТАТЬИ В ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПЕЧАТИ

29. Аленицын Ю.Е. К вопросу об оценке коэффициентов однолистных функций // Матем. сборн. 28. 1951. С.401-406.

30. Аленицын Ю.Е. О функциях, р-листных в среднем // Матем. сборн. 20. 1937. С.113-124.

31. Альфорс JI. Неравенство между коэффициентами а2 и а4 однолистной функции // Некоторые проблемы математики и механики. Д., 1970. С. 71-74.

32. Aouf М.К. On a Certain Class of Meromorphic Univalent Functions with Positive Coefficients// Rend.Mat.Appl. 11 (7). 1991. P. 209-219.

33. Баврин И.И. Классы функций, однолистных с весом// Доклады РАН. Т. 371, 6. 2000. С.727-729.

34. Баранова О.Е. Некоторые применения метода площадей к классам аналитических функций с квазиконформным продолжением. Дисс. • • • канд. физико-математических наук. Тверь, 2001. 112 с.

35. Bieberbach L. Uber die Koeffizient Derjenigen Potentreihen, wel-che eine Schlichte Abbildung des Einheitskreises Vermitteln // Sitzungsbereichite Konig. Preuss. Akad. 1916. P. 940-955.

36. De Branges L. A. A Proof of the Bieberbach Conjecture // Acta Math. 1985. V. 154. P. 137-152.

37. Голузин Г.М. О теоремах искажения в теории конформных отображений // Матем. сборн. 1. 1936. С. 127-135.

38. Голузин Г.М. Некоторые теоремы покрытия в теории аналитических функций // Матем. сборн. 22. 1948. С. 353-372.

39. Григорьев В. В., Шеретов В.Г. Новые приложения принципа площадей к однолистным функциям // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т, 2003. С. 52-70.

40. Григорьева В. В., Шеретов В.Г. Метод структурных формул для локально конформных отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т, 2002. С. 15-23.

41. Гриншпан А.З. Коэффициентные неравенства для конформных отображений с гомеоморфным продолжением // Сиб. матем. журн. 1985. Т. 26, N. 1. С. 49-65.

42. Громова JI.JI. Об оценке \а4\ в классе S(k) // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. док л. 12-й Саратовской зимней школы. Саратов. 2004. - С.60-61.

43. Громова JI.JI. Приложение принципа площадей к экстремальным задачам конформного отображения неналегающих областей. Дисс ••• канд. физ.-мат. наук. Л.: ЛГУ, 1968.

44. Гутлянский В.Я. О принципе площадей для одного класса ква зиконформных отображений // Докл. АН СССР. 1973. Т. 212, N 3. С. 540-543.

45. Дубинин В.Н. Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, N 1. С. 3-76.

46. Duren P., Hengartner W. Harmonic Mappings of Multiply Connected Domains // Pacific J. Math. 1997. V. 180, N 2. P. 201-220.

47. Clunie J., Sheil-Small T. Harmonic Univalent Functions // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A 1. Math. 1984. V. 9. P. 3 25.

48. Ковалев Л.В. Оценки конформного радиуса и теоремы искажения для однолистных функций // Записки научных семинаров ПОМИ. 2000. Т. 263 С. 141-156, 239-240.

49. Королева О.Е., Шеретов В.Г. Применение метода площадей к классам пар р-листных к-квазиконформных функций без общих значений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ. 1998. С. 132-143.

50. Куфарев П.П. Об однопараметрических свойствах аналитических функций II Матем. сборн. 1943. 13. С.87-118.

51. Куфарев П.П. Одно замечание об интегралах уравнения Jle-внера I/ ДАН СССР. 1947. Т.57. С.655-656.

52. Lowner К. Untersuchungen iiber Schlichte Konforme Abbildung des Einheitkreises //J. Math. Ann. 1923. Bd. 89. S. 103-121.

53. Lyzzaik A. The Modulus of the Image Annuli Under Univalent Harmonic Mappings and a Conjecture of Nits che //J. London Math. Soc. 2001 V. 64, N 2. 369-384.

54. Mogra M.L., Reddy T.R., Juneja O.P. Meromorphic Univalent Functions with Positive Coefficients// Bull.Austral.Math.Soc. 32. 1985. P.161-176.

55. Owa S., Cho N.E., Lee S.H. A Class of Meromorphic Univalent Functions with Positive Coefficients// Kobe J. Math. 1987. P.43-50.

56. Привалов И.И. О функциях, дающих однолистное конформное отображение // Матем. сборы. 1954. Т.31. С.350-365.

57. Solynin A. Yu., Vuorinen М. Extremal Problems and Stjmmetri-zation for Plane Ring Domains // Trans. Amer. Math. Soc. 1996. V. 348, N 10. P. 4095-4112.

58. Прохоров Д.В. Принцип максимума в решении экстремальной задачи на классе однолистных функций // Сиб. мат. журн. 1986. Т.27 , N.1. С. 186-190.

59. Starkov V.V. Harmonic locally quasiconformal mappings /j Annates Univ. Mariae Curie-Sklodowska, Ser. A. 1995. V.49. P.183-197.

60. L.E.Shaubroeck Growth, distortion and coefficient bounds for plane harmonic mappings convex in one direction // Rocky Mountain Journal of Mathematics. V.31. N.2. 2001. P. 625-639.

61. Hengartner W., Schober G. Univalent Harmonic Functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. V. 299, N 1. P. 1 31.

62. Чуешев В.В. Периоды гармонических дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности // Сиб. Мат. Журнал. 2002. Т.43. 4. С.937 952.

63. Шеретов В.Г. Об одном варианте теоремы площадей // Мат. анализ. Вып. 3. Краснодар, 1976. С. 77-80.

64. Шеретов В.Г. К теории экстремальных квазиконформных отображений // Мат. сб. 1978. Т. 107, N 1. С. 146-158.

65. Шеретов В.Г. Квазиконформные экстремали гладких функционалов и интеграла энергии на римановых поверхностях // Сиб. матем. журн. 1988., Т. 29 , N 3. С. 163-174.

66. Шеретов В.Г. К методу площадей для К-однолистных функций // Известия Сев.-Кавказ. науч. центра высш. школы. Естеств. науки. 1986. N 1. С. 30-33.

67. Шеретов В.Г. Метод площадей в метриках аналитических квадратичных дифференциалов, заданных на накрывающих сферы Римана // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1996. С. 116-124.

68. Sheretov V.G. Structural Formulae Method for the Planar Har monic Mappings // International Conference on Geometric Function Theory dedicated to Herbert Grotzsch 1902 1993. Abstracts. P. 19. Halle, 2002.

69. Шеретов В.Г. Метод структурных формул в геометрической теории плоских гармонических отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2002. С. 30 39.

70. Шеретов В.Г. Новый подход к доказательству гипотезы Бибербаха // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2003. С. 100-115.

71. Шеретов В.Г. Развитие метода площадей и его приложения к однолистным функциям // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2004. С. 52-59.

72. Fekete , Szego Eine Bemerkung uber ungerade Funktionen // Journ. London Math. Soc. 1933. 8. P. 85-89.1. Список публикаций

73. Суетин В.Ю., Шеретов В.Г. Об одном классе локально конформных отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т. 2003. С. 125-129.

74. Суетин В.Ю. Применение метода площадей к оценке коэффициентов функций класса £// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т. 2004. С. 24-27.

75. Суетин В.Ю. Оценка тейлоровских коэффициентов в одном классе однолистных функций// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т.2004. С.33-39.

76. Суетин В.Ю. Оценки коэффициентов и констант Кебе в некоторых классах конформных и гармонических отображений// Современные методы теории функций и смежные вопросы. Тез.докл. Воронежской зимней математической школы. Воронеж. 2005. С.223-224.

77. Суетин В.Ю., Шеретов В.Г. Оценки коэффициентов и констант Кебе в некоторых классах конформных и гармонических отображений// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т. 2004. С.40-50.

78. Суетин В.Ю. Применение метода площадей к оценке коэффициентов функций класса Е // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тез. докл. 12-й Саратовской зимней школы. Саратов. 2004. С.176-177.