Экстремальные свойства алгебраических многочленов в пространстве L0 на отрезке тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.518.86

Глазырина Полина Юрьевна

Экстремальные свойства алгебраических многочленов в пространстве Ьо на отрезке

01.01.01 — математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

/

/

г

Екатеринбург — 2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Уральского госуниверситета им. A.M. Горького

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В. В. Арестов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН

кандидат физико-математических наук, доцент

Ведущая организация:

Тульский государственный университет

Защита диссертации состоится «. /27.» Ш/Ш*.. 2005 г. в .1.3.. час. на заседании диссертационного совета К 212.286.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Уральском государственном университете им. А. М. Горького по адресу: 620083, г. Екатеринбург, пр. Ленина, 51, комн. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета им. А. М. Горького.

Автореферат разослан «.Ш.л 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, •

профессор ~ >(У/ В.Г.Пименов

В. И. Бердьппев А. И. Козко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В диссертации изучаются точные неравенства для алгебраических многочленов на отрезке: неравенство Никольского на паре пространств Ьд, 0 < д < оо, Ьо, неравенство братьев Марковых в Ьо, неравенство Маркова-Никольского между Ьч-средним к-ой производной многочлена и ^о-средним самого многочлена и неравенство треугольника для алгебраических многочленов в Ьо.

Точные неравенства и другие экстремальные задачи для многочленов являются классическим и трудным разделом теории функций. Впервые точные неравенства для многочленов изучали П. Л. Че-бышёв, Д. И. Менделеев, братья А. А. и В. А. Марковы, А. Н. Кор-кин, Е. И. Золотарёв, С. Н. Бернштейн. К настоящему времени этой тематике посвящено большое число работ Г. Сегё, С. Н. Берпштей-на, А. Зигмунда, С. М. Никольского, С. Б. Стечкина, В. В. Арестова, В. Ф. Вабенко и др. Нас интересуют предельные случал некоторых классических неравенств для алгебраических многочленов на отрезке.

Функционал || • || о является естественным обобщением понятия среднего геометрического нескольких чисел. Если f € Ьд для некоторого 5 > 0, то величину ||/||о можно определить как предел д-средних ||/||9 при д —► +0. Одними из первых функционал || • ||о начали изучать Г. Харди и Ф. Рисс (см, например, [7, гл. VI, п. 6.7]). В начале 60-х годов прошлого века К. Малер [9] применил его для исследования проблем теории чисел. Важность «нормы» Ьо в теории функций стала ясна после работы В. В. Арестова 1981 года [1], посвященной неравенству Бернштейна для алгебраических многочленов в Ьд, 0 < д < 1, на окружности (и, как следствие, для тригонометрических полиномов на периоде). К настоящему времени многие экстремальные задачи в Ьо на окружности изучены достаточно подробно. Так, в работе В. В. Арестова [2] (см. также |1]) доказано, что Ьд и 1/о-средние произвольных многочленов Р £ V„ и их композиции Сегё С}Р

«м = Е (")«**. р(*> = Е {¡)ре*е> = Е

е.

связаны неравенством

\\ЯР(е11)\\ч1о,2«] < HQiOlUp.axl ||Р(е1()||о[о,2,], 0 ^ q < оо.

Если все п нулей фиксированного многочлена Q лежат в единичном круге \z\ ^ 1 или во множестве \z[ ^ 1, то неравенство точное по Р е Тп■ Рассмотрев многочлен Qk{z) = п\/(п — к)\ zk(z + 1)п~к, имеющий все нули в замкнутом единичном круге и удовлетворяющий равенствам QkP(z) = zkP^(z), ||QfeP(e«)||iIOlihr] - 11^*4011,10,2^], получим неравенство Бернштейна в разных метриках

\\PW(elt)\\4p,2«) < Мд1о,2Ч(п^)||Р(е'4)||о[о,2.]( (1>'

Мф,21г](п,к) = || <3й(е")||9[0)27г]. Неравенство (1) обращается в равенство на многочленах 0", с, С € С, |С| = 1, и только на них.

Задачи для алгебраических многочленов в пространстве Lq на отрезке практически не изучены. В силу сказанного тема исследования данной диссертации является актуальной.

Цель работы. Основной целью работы является изучение точных неравенств между Lg-средним алгебраического многочлена или его к-ой производной и Lo-средним самого многочлена на отрезке. Изучение точной константы в неравенстве треугольника для алгебраических многочленов в Lq на отрезке.

Методы исследования. В работе применяются методы математического анализа, теории функции комплексного переменного, теории субгармонических функций.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные из них заключаются в следующем.

I. Вычислена точная константа в неравенстве братьев Марковых для алгебраических многочленов в пространстве Lq на отрезке.

II. Найдена точная константа и изучено множество экстремальных многочленов в неравенстве Никольского для алгебраических многочленов на паре пространств Lq, О < q < оо, L0 на отрезке.

III. Найдена точная константа в неравенстве Маркова-Никольского между Lq-средним, 1 ^ q < оо, fc-ой производной алгебраического многочлена и Lo-средним самого многочлена на отрезке.

IV. Установлен логарифмический порядок роста точной константы в неравенство треугольника для алгебраических многочленов в пространстве La на отрезке.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и предложенные в работе методы могут быть использованы при дальнейшем изучении точных неравенств для многочленов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных и всероссийских математических конференциях, в частности, на всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (г.Екатеринбург, 2001, 2004гг); на 11-ой Саратовской зимней школе, посвященной памяти Н. К. Бари и Д.Е. Меньшова (г.Саратов, 2002г.); на всероссийской конференции «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (г. Воронеж, 2003 г.); на XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (г.Москва, 2004г.); на международной конференции 15. Rhein-Ruhr-Workshop über Angewandte Analysis, Approximationstheorie CAGD und Numerische Matematik (Германия, Бург Гемен, 2005 г.); на международной конференции 43. Workshop Approximationstheorie (Германия, г. Вюрцбург, 2005 г.); на ежегодной летней школе С. Б. Стечкина по теории функций (г. Миасс, 2000 2004 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликовав ны в статьях [11, 12] автора; выступления автора на конференяиях отражены в тезисах докладов [13]—[18].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырех параграфов. Объем диссертации — 66 страниц. Список литературы содержит 44 наименования.

Краткое содержание диссертации

Обозначения. Предшествующие результаты. Пусть Lq, 0 < q < оо, есть пространство функций /, измеримых с суммируемой степенью l/l5 на отрезке [ 1,1], L— пространство измеримых существенно ограниченных на [—1,1] функций, a Lq — пространство измеримых функций, у которых суммируем ln+ |/| = ln(max(l, |/|)).

На этих пространствах рассмотрим соответственно функционалы 11/11, = [l \т\9 dt) 'Ч . О < Я < 11/11» = ess sup |/(t)|;

\*J-i J eef— i,i]

Ц/lio =exp Q y'bl/Wldi).

Может случиться, что для / G Lq функция In |/| не является суммируемой, а точнее, (неположительная) функция In- |/| = ln(min(l, |/|)) не является суммируемой (например, / обращается в нуль на множестве положительной меры), в этом случае полагаем ||/||о = 0. Известно, что если / € Lq для некоторого q > 0, то / е Ь0 и

||/||0 = Дто||/||д. (2)

Функционал || • || 9 при q^ 1 является нормой. При 0 < q < 1 он является квазинормой, поскольку неравенство треугольника выполняется лишь с константой большей единицы; в Lq подобного неравенства с конечной константой нет. Однако для каждого п ^ 1 существует константа as(ro) такая, что на множестве 'Рп алгебраических многочленов степени не выше п с комплексными коэффициентами справедливо неравенство

||P + Q||o^«(n)(||P||o + ||Q||o), P,Q^Vn. (3)

Неравенство (3) достаточно хорошо изучено для алгебраических многочленов на окружности. Впервые оно возникло в работе К. Малера [9]. Он показал, что точная константа, обозначим ее в этом случае х{п), не превосходит 2п. Р. Данкен нашел лучшую оценку сверху, а именно (CfJ1/2. Наиболее точные оценки х(п) получил в 1990 г. В. В. Арестов [2]. Он доказал, что

l^^Xin), 1,

где г = ехр In (2 cos t) dtj = 1.7916..., R = ^40 = 1.8493....

В диссертации получены оценки такого же типа для ае(п).

Обозначим через MgtP(n,k), 0 < к < п, точную константу в неравенстве

||p(fc>||^MiiP(n,fc)l|P|!P, PeVn. (4)

Неравенство (4) при различных значениях параметров содержит несколько хорошо известных экстремальных задач для многочленов. Так в случае к = 0, q Ф р (4) называют неравенством разных метрик (неравенством Никольского), при k>0nq=p — неравенством Маркова, а в случае к = п задача определения точной константы в (4) сводится к задаче о многочлене, наименее уклоняющемся от нуля в пространстве Lp. Неравенство (4) и различные его обобщения изучались многими математиками. В настоящее время известен порядок роста величины M9iP(n, к) по п при всех фиксированных к и 0 < q, р < оо:

( п2к+2/Р-2/ч, если к > 2/q — 2/р, Мд>р(п, к) х i nk(lnп)1/«-1^, если к = 2/q - 2/р, (5) ( пк, если к <2/q — 2/р.

Е. Hille, G. Szegö и J. D. Tamarkin [8], а также, независимо, Н. К. Бари [3], доказали это соотношение для к = 1, q = р ^ 1; для к = 0, q ^ р оно получено А. Ф. Тиманом [6, п. 4.9.6]. Общий случай следует из работы В. И. Иванова [4]. С. В. Конягин [5] получил равномерные по п и к оценки M<?iP(n, к) для р ^ 1 в неравенстве (4) с весами.

Точные значения величины MqtP{n, к) найдены, лишь в частных случаях. Так П. Л. Чебышев исследовал (4) для к = тг, р = оо, А. Н. Коркин и Е. И. Золотарев — для к — п, р = 1. Случай q — р — оо был рассмотрен братьями А. А и В. А. Марковыми, к = 1, 1 < q < оо, р = оо — Б. Д. Бояновым. Для 0 ^ к < п, q — оо, р — 2 точную константу нашел G. Labelle, а для 1 < & < n, q — 2, р = 2 — Р. Dörfler и независимо G.V.Milovanovic.

Обзор результатов диссертации. Пусть Mq(n, к) = Mqß(n, к) есть точная константа в предельном случае неравенства (4), когда р = О,

||p(fc>||?^M9(n,fc)||P||o, PeVn. (с)

В § 1 исследуется неравенство (6) для fc = 0,0<g<oo (неравенство Никольского) с весом. Пусть w — весовая функция, т.е. функция неотрицательная, суммируемая на [—1,1], удовлетворяющая условию нормировки \ w(t) dt — 1. Обозначим через 5 =

S(w) множество точек <с е [—1,1] таких, что при любом £ > 0 множество S(x, е) = (т-е, х+е) П[-1,1] обладает свойством с е) w(t)dt ф 0; все точки Лебега функции w, в которых w(t) ф 0, принадлежат S. Множество S замкнутое, и вне этого множества (на [—1,1]) функция v) почти всюду равна нулю; в определенном смысле множество S(w) можно считать носителем функции vi. Не ограничивая общности, далее будем считать, что точки ±1 6 S(w). Для Р е V,, положим

\\Р\\ч,и, = £ \P(t)\qw{t) dt) ' , 0 < q < оо; ||P||oolW= Hm ЦРЦ,,™ = max|P(i)|;

g-»+oo * t£S

||P||o,,„ = Дшо ||Р||9,Ш = exp Q £ In |P(t)K0 dt) .

Обозначим через Mq{n, 0) = Mq(n, 0,w) точную константу в неравенстве

П.ь, < Mg(n,0)\\P\\ütW, Р eVn, 0 < </ < сю. (7)

Теорема 1. Пусть 0 < q € оа, п I. Тогда для наилучшей константы в неравенстве (7) справедливы, следующие утверждения.

1) Имеет место равенство Mq(n,0,w) — M™q(l,0,w).

2) При п > 1, 0 < q < оо многочлен P„,g G Р„ является экстремальным в неравенстве (7) в том и только том случае, если он имеет вид Pnq — c(PitTiq)n, где P\,nq — экстремальный многочлен неравенства (7) для п = 1с показателем q = nq, с € С. При п > 1, q — оо любой экстремальный многочлен Р„;00 € Рп нера,вен-

п

ства (7) имеет вид РП)0о = J~[ тгг, г<?е 1 < £ ^ тг, — экстремаль-

e=i

ные многочлены неравенства (7) ¿ля п = 1, g = оо, удовлетворяющие условию, что они достигают нормы || • Цоо,™ в общей для всех многочленов точке.

3) При п = 1, 0<<7^оо экстремальные многочлены неравенства (7) имеют вид c(t — z*), с € С, и корни г* всех экстремальных многочленов принадлежат отрезку [—1,1].

В силу этой теоремы исследование неравенства (7) при п > 1 сводится к случаю п — 1 Следующая теорема посвящена именно этому случаю для единичного веса.

Теорема 2. При п = 1 для единичного веса w(t) = 1, t £ [-1,1], константа Mq( 1,0) неравенства (7) в зависимости от значений показателя q представляется по формулам: 1) если 0 < q < оо, то

где х — (единственный) корень уравнения

х + 1 — а;Ina:, х > 1.

3) Для всех значений параметра q, 0 < q ^ оо, корень z* —

х - 1

z*(q) экстремального многочлена P\tq(t) = t — z*(q) равен ±--.

Более того, z*(q) убывает по q и lim z*(q) = 0.83355655..., lim z*(q) = z*{оо) = 0.56437658....

q—1+0 q—*+oo

В конце §1 приведена таблица значений z*(q) и Mq(l,0) для конкретных q.

В §2 найдена точная константа Mo(n,k) в неравенстве братьев Марковых в Lq.

Теорема 3. Для всех натуральных k, 1 ^ k ^ п, во множестве Vn имеет место неравенство

Равенство в (8) достигается на многочленах ctn, с € С, и только на них.

где х — (единственный) корень уравнения

(q + l)(z9 - 1)(х + 1) = + 1)lnx, х > 1;

2) если q = оо, то

Afoo(l,0) = lim Mq( 1,0) =х,

(8)

В §3 изучается неравенство (6) для 1 < /" ^ п, 0 < q < ос (неравенство Маркова-Никольского).

Теорема 4. Пусть Тогда

м П\ lli-Zll ?n-k)q

Mq{n,k)= max --—-—rr-—■■■■;

z€[o,i) (n - fc)! ||i-z||5

максимум достигается в единственной точке г* = z* {q, п, к). Экстремальными в (4) являются многочлены c(t — z*)n, c(t + z*)n, се С, и только они, В частности, если (п — k)2q < к, то z* = 0 и

„п

Мд(п, к) =

(п-А)! {1 + {п-к^)Уч-

Теоремы 1-4 влекут следующие утверждения.

Следствие 1. Для всех 1 ^ к ^ п, 0 < д ^ оо во множестве Тп выполняются неравенства

||Р||,<ЛС(1,0)||Р|| о,

Следствие 2. Для фиксированного к при п —> оо

М0{п,к)^пк, М00(п, к) хпкМ™(1,0).

Интересно отметить, что при q> 0 порядок роста точной константы в неравенстве братьев Марковых МЧЛ(п,к) есть п2к, в предельном же случае <2 = 0 величина Мо(п, к) = Мо п(п, к) растет по п уже как пк.

С помощью неравенства (7) для единичного веса в § 4 установлен логарифмический порядок роста точной константы эг(п) в неравенстве треугольника в Ьо:

ЦР + дЦо^ае^СЦРЦо + ЦдЦо), Р,ЯеГп. (9)

Введем функцию Щд) = 21^Мд(1,0),

д > 0, и положим Д = пил {?г(д) : д > 0} . (10)

Вычисления показывают, что наименьшее значение функции 7Z достигается в точке q — 2.4732.. и при этом R = 2.6457.... Отсюда, в частности, следует, что R = min{7?.(g) : 0 < q < 3}.

Теорема 5. Для точной константы в неравенстве (9) справедливы оценки

^г" s? ae(n), п ^ 1; ае(п) ^ ^Rn, п > 3.

I? этих неравенствах г = 1 + а/2 = 2.4142..., а величина R определена формулой (10) и имеет приближенное значение R = 2.6457... .

Автор благодарен своему научному руководителю профессору В. В. Арестову за постановку задач, постоянное внимание и интерес к исследованиям.

Список ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Арестов, В. В. Об интегральных неравенствах для тригонометрических полиномов и их производных // Изв. АН СССР. Сер Мат. -1981. - Т. 45. - №1. - С. 3-22.

[2] Арестов, В. В. Интегральные неравенства для алгебраических многочленов на единичной окружности // Матем. заметки. - 1990. - Т. 48.

- №4. - С. 7-18.

[3] Бари, H. К. Обобщение неравенств С. Н. Вернштейнаи А. А Маркова // Изв. Акад. Наук СССР. Сер. Мат. - 1954. - № 18. - С. 159-176.

[4] Иванов, В. И. Некоторые неравенства для тригонометрических многочленов и их производных в разных метриках // Матем. заметки. 1975 - Т. 18. - №4. - С. 489-498.

[5] Конягин, C.B. Оценки производных от многочленов // ДАН СССР.

- 1987. - Т. 243. - №5. - С. 1116-1118.

[6] Тиман, А. Ф Теория приближения функций действительного переменного. - М.: ГИФМЛ, 1960.

[7] Харди, Г. Г., Литтлвуд, Дж. Е., Полна, Г. Неравенства. - М.: ИЛ, 1948

[8] Hille, Е., Szegö, G., Tamarkin, J. D. On some Generalisations of a Theorem of A. Markoff // Duke Math. J. - 1937. - V 3. - P. 729-739.

[9] Mahler, K. An application of Jensen's formula to polynomials // Matematika. - 1960. - V. 7. - № 14. - P. 98-100.

Список РАБОТ АВТОРА

I -9 3 И

2006-4

[11| Glazyrina, P. Yu. Limiting case of the inequality in various me

algebraic polynomials on an interval // East J. Approx. - 2003. №1. - P. 1-19.

[12] Глазырина, П. Ю. Неравенство треугольника для алгебраических многочленов в пространстве Lo на отрезке // Изв. Урал. гос. ун-та. Математика и механика. Вып. 6. - 2004. - №30. - С. 37-42.

[13] Глазырина, П. Ю. Слабое неравенство разных метрик для алгебраических многочленов на отрезке / / Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф., Екатеринбург, 26 февр,-2 марта 2001 года. - Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2001 - С. 2627.

[14] Глазырина, П. Ю. Предельный случай неравенства разных метрик для алгебраических многочленов на отрезке // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 11-ой Саратовской зимней школы, посвященной памяти Н. К. Вари и Д. Е. Меньшова. - Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2002. - С. 48-49.

[15] Глазырина, П. Ю. Слабое неравенство треугольника для алгебраических многочленов на отрезке // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. - Воронеж: ВГУ, 2003. - С. 72-73.

[16] Глазырина, П. Ю. Неравенство братьев Марковых в пространстве Lo // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. конф., Екатеринбург, 2-6 февр. 2004 г. - Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2004. - С. 38-39.

[17] Глазырина, П. Ю. Экстремальные свойства алгебраических многочленов в пространстве Lo на отрезке // XXVI Конференция молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Тезисы докладов. - М: Изд-во ЦПИ МГУ, 2004. - С. 35-36.

[18] Glazyrina, P. Extremal properties of algebraic polynomials in the space Lo on an interval // Documentation zum 15. Rhein-RuhrWorkshop iiber Angewandte Analysis, Approximationstheorie, CAGD und Numerische Matematik, Burg Gemen 04.-05.02.2005, 2005.

Подписано в печать &B, , С

Формат 60 х 84 1/16 Бумаг типографская. Усл. печ. л. 1

Тираж 100 Заказ № /С / Печать офсетная

Екатеринбург, К-83, пр. Ленина, 51. Типолаборатория УрГУ

Список обозначений

1 Неравенство разных метрик (неравенство Никольского)

2 Неравенство братьев Марковых в Lq

3 Неравенство Маркова-Никольского

Функционал |М|о является естественным обобщением понятия геометрического среднего нескольких чисел на пространства функций. Одними из первых его начали изучать Г. Харди и Ф. Рисс (см. [13, гл. VI, п. 6.7], [34]). В начале 60-х годов прошлого века К. Малер [29, 30] применил его для исследования проблем теории чисел. Важность «нормы» Lq в теории функций стала ясна после работы В. В. Арестова 1981 года [1], посвященной неравенству Бернштейна для алгебраических многочленов в 0 ^ q < 1, на окружности (и, как следствие, для тригонометрических полиномов на периоде). К настоящему времени многие экстремальные задачи в Lq на окружности изучены достаточно подробно. Задачи для алгебраических многочленов в пространстве Lq на отрезке исследованы в существенно меньшей степени.

Точные значения величины Mq>p(n, к) найдены лишь в частных случаях. В следующей таблице приведены известные автору точные результаты для 0 < q, р ^ оо, включая результаты диссертации, относящиеся к случаю q — 0. Через Pn(t; а) обозначены (ультрасферические) многочлены ортогональные на отрезке [—1,1] с весом (1 — t2)01.

3) Здесь z* = arg max ||f — — гЦ^, в частности, z* = 0 при (п — k)2q ^ к.

На множестве тригонометрических полиномов на периоде (алгебраических многочленов на окружности) неравенства типа (0.2) также имеют богатую историю. Этой тематикой занимались Д. Джексон [25], С. М. Никольский [9], С. Б. Стечкин, Н.К. Бари [3], В. И. Иванов [4], В. В. Арестов [1, 2], В. М. Бадков [18], В. Ф. Бабенко [17], А. И. Козко [27] и многие другие математики.

Аналогичная (0.2) задача для многочленов на единичной окружности решена В. В. Арестовым. В его работе [2] (см. также [1]) доказано, что Lq и Lo-средние произвольных многочленов Q, Р е Vn и их композицииCere QPсвязаны неравенством||QP(e^)||g[oi27r] ^ ||Q(eft)ll9[o,2,r] ||Р(ей)11о[о,йф 0 < q ^ oo.

2. В § 1 диссертации исследуется неравенство (0.2) в случае к = 0, 0 < q ^ оо (неравенство Никольского) с весом.

1) Имеет место равенство Mq(n,0,w) = M"q(l, 0, w).

3) При тг = 1,0<д^оо экстремальные многочлены неравенства (0.6) имеют eudc(t — z*), с Е С, и корни z* всех экстремальных многочленов принадлежат отрезку [—1,1].

В силу этой теоремы исследование неравенства (0.6) при п ^ 1 сводится к случаю п=1. Следующая теорема посвящена именно этому случаю для единичного веса.

Теорема 2 При п = 1 для единичного веса w{t) = 1, t Е [—1,1], относительно неравенства (0.6) справедливы следующие утверждения.

Соответственно, z*(q) непрерывно убывает от 2*(4-0) = доz* (оо). Эти две величины имеют следующие приближенные значения 2:*(+0) = 0.83355655., z*(oo) = 0.56437658.

В конце § 1 приведена таблица значений z*(q) и Mq{ 1, 0) для некоторых конкретных q.

В § 2 найдена точная константа в (0.2) для 1 ^ k ^ п, q = 0 (неравенство братьев Марковых в Lq).

Интересно отметить, что при g > 0 порядок роста точной константы в неравенстве братьев Марковых Мя>д(п,к) есть п2к (см. (0.5)), в предельном же случае q = 0 величина Мо(п, к) = Мо,о(п, к) растет по п уже как пк.

Неравенство (0.3) достаточно хорошо изучено в случае алгебраических многочленов на окружности. Впервые оно возникло в работе К. Малера [29]. Он показал, что точная константа, обозначим ее в этом случае х(п), не превосходит 2". Р. Данкен [22] нашел лучшую оценку сверху, а именно, (C2nJ1/2. Наиболее точные оценки х{п) получил в 1990 г. В. В. Арестов [2]. Он доказал, чтоir^xM, 1; xM^iT, n ^ 6.

В этих оценках г = ехрJq ' b(2cos£)c^ = 1.7916., R = \/40 = 1.8493.

Теорема 5 Для точной константы в неравенстве (0.3) справедливы оценкиirn ^ ae(n), п ^ 1; ае(п) < п ^ 3.

В этих неравенствах г = 1 + у/2 = 2.4142., а величина R определена формулой (0.9) и имеет приближенное значение R = 2.6457.

1. ТИМАН, А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: ГИФМЛ, 1960.12. фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегральногоисчисления. В 3 т. Т. III. СПб.: Изд-во Лань, 1997.

2. Харди, Г. Г., Литтлвуд, Дж. е., Полна, Г. Неравенства.М.: ИЛ, 1948.

3. Хейман, У., Кеннеди, П. Субгармонические функции. М.: Мир,1980.

4. Чебышев, П. Л. Поли. собр. соч. Т. 2. М.: Изд. АН СССР, 1947.С. 169.

5. Чебышев, П. Л. Полн. собр. соч. Т.З. М.-Л., 1948. - С. 128-131.

6. JACKSON D. Certain problems of closest approximation // Bull. Amer.Math. Soc. 1933. - №39. - P. 889-906.

7. Korkine, A., Zolotareff, G. Sur un certain minimum // Nouv.Ann. Math. Ser. 2. 1873. - Ж 12. - P. 337-355.

8. Kozko, A. I. The exact constants in the Bernshtein-Zigmund-Szegoinequalities with fractional derivatives and the Jackson-Nikolskii inequality for trigonometric polynomials // East J. Approx. 1998.- V.4. №3. - P. 391-416.

9. Labelle, G. Concerning polynomials on the unit interval // Proc.Amer. Math. Soc. 1969. - №20. - P. 321-326.

10. MAHLER, K. An application of Jensen's formula to polynomials //Matematika. 1960. - V. 7. - № 14. - P. 98-100.

11. MAHLER, K. On some inequalities for polynomials in several variablesJ. London Math. Soc. 1962. - №37. - P. 341-344.

12. MlLOVANOVlC, G. V. Various extremal problems of Markov's type foralgebraic polynomials // Facta Univ. Ser. Math. Inform. 1987. -№ 2. - P. 7- 28.

13. MlLOVANOVlC, G.V., MITRINOVIC, D. S. AND RASSIAS, TH. M.Topics in polynomials: extremal problems, inequalities, zeros. -Singapore: World Scientific. XIII, 1994.

14. MITRINOVIC, D.S., VASIC, P.M. Analiticke nejednakosti. Beograd:Gradevinska knjiga, 1970.

15. RlESZ, F. Sur les valeurs moyennes des fonctions // Journal L. M. S.1930. 5. -P. 120-121.

16. Stein, E. M., and Weiss, G. Introduction to fourier analysis oneuclidean spaces. Princeton mathematical series, No. 32. Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1971.

17. ГлАЗЫРИНА, П. Ю. Неравенство треугольника для алгебраическихмногочленов в пространстве Lq на отрезке // Изв. Урал. гос. унта. Математика и механика. Вып. 6. 2004. - №30. - С. 37-42.

18. ГЛАЗЫРИНА, П. Ю. Слабое неравенство треугольника для алгебраических многочленов на отрезке // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. Воронеж: ВГУ, 2003. - С. 72-73.