Исследование ортогональных латинских квадратов и других комбинаторных конструкций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРВДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ КИЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ т. Г.Г. ШЕВЧЕНКО

На правах рукописи

НАЗАРОК Андрей Владимирович

ИССЛЕДОВАНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ И ДРУГИХ КОМБИНАТОРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

01.01.09 - математическая кибернетика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев - 1991

Работа выполнена е Институте катеыатшш АН Украины

Научный руководитель: кандидат »(.изико-ыатематических наук, сгарлий научный сотрудник 1,1.И.КРАТКО

Официальные оппоненты:член-корреспондент АН Украины, профессор ЯДРЙЫО МЛ1.,

кандидат физико-математических наук ШШИ С.Б.

Ведущая организация - Москоеский государственный университет им. 1,1. В.Ломоносова

Защите состоится " 6 " взНЁ^М^ 1292г. е часоЕ на заседании специализированного соЕета ДОив.16.16 е kasickow государственном университете им. Т.Г.Шевченко ло адресу: 254127, г. Киев-127, проспект Акадешка ГлушкоЕВ, 6, КГУ, корпус факультета кибернетики, ауд. ty'О

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Украины.

Автореферат разослан "_" _ 199. г.

Ученый секретарь специализированного совета

КУЗБЯШ А.В.

" i ОБЩАЯ XAPAiü'liPliCTlMA РАЮГк

-.'.. ' 'л Актуальность теки

В последнее гремя наблюдается бурное развитие комбинаторики, особенно теории конфигураций, что объясняется как расширением сферы практического использования комбинаторных конструкции, так и их скшуларуодад ЕоздейстЕиек на некоторые раздели алгебры а геометрий, с которым они те ai теснув сеязь. При этой использование вычислительной техники представляет дополнительные еоэмо»-носта дальнейщаго аоследованол комбинаторных объектоЕ.

Ь развитии теории конфигураций достигнут ряд значительных результатов ^опровержение гипотеза Эйлера о несущестЕогании пары ортогональных латинских квадратов порядка 4t-t<;,b > i, установление Ьруком и Райзерои необходлшх условий существования полной систега ортогональных латинских квадратов любого порядка, опровержение гипотезы холла о том, что меоо'ходдше услоЕйя Ьрука-Рвйзера яеляйтся одновременно п достаточными, и доказательство не существования полной системы ортогональных латийских квадратов порядка 10 а многие другие). Ь то же время имеется мюжестЕО нерешенных проблей различной степени слокности даже для таких наиболее еэклых и изученных комбинаторных конструкций как латинские квадраты а блок-схем. Решение этих проблем и изучение ноеых комбинаторных конструкция предстаьляет большой научный а практический интерес.

Объектом исследований в данной работе являлись системы попарно ортогональных латинских квадратов, блок-схега, уравноЕе-иеннае турнирные схемы и некоторые другие комбинаторные конструкции.

Цель работы

Диссертационная работа посвящена изучению ЕопросоЕ существования и построения систем попарно ортогональных латинских квад-ратоЕ (полк) а других комбинаторных объектов, исследовании изоморфизма систем ПОЛК, яоЕыиелпп шалей границы числа ПОЛК, обобщению известных комбинаторных конструкций а установлении связи между нами.

Ьа^чная новизна и практическая цешюзть

1. ¿ано ноеоэ доказательстьо сувдстЕОЕания парь; ортогональных циклических латинских ш-одратоЕ нечетного порядка я несуществования такой пары кЕадратоь четкого порядка.

2. Найдено, чго для любого циклического латышского кЕадрэта порядка 9 существует роено 225 ортогональных неизоморфных со-КЕадрагод. УсгадоЕлено, что систем t попарно ортогональных циклических латинских КЕадратоь порядка 5 при не существует.

3. Дреддокен ряд ноеых методоз построения пар ортогональных латинских квадратов различных типое.

4. Решена проблема сушестЕЭЕония пары ортогональных латин-ок;1Х кьадрагоЕ порядка = 0,1,2, с ортогональными лодке одра там порядка 1,

5. Задача Даяеша-Кидзеллв о су це с пода лип для всех 1/* 2,3,ь пари "ортогональных дьажды диагональных латинских квадратов порядка V" решена для порядков V = 1о,1В и '¿6 и, таким образом, эта задача остается нерешенной только для случая V" = 10,

Ь. Построен ряд нотх комбинаторных конструкций, предстцЕ-■ лякадк самостоятельный интерес и имеющих тесную сьяоь с системами ортогональных латшеких квадратоЕ.

7. Проведано обобщение схем Мендельсона на случай повторения элементов б их блоках и показана связь такой конструкции с рядом других комбинаторных объектов.

8. Ьюдеш понятия я преддокен э£4актишшИ алгоритм постро-елия комбинаторных конструкций, родственных перпендикулярным разностным таблицам. Показана сеязе этих конструкций с системна попарно ортогональных Р -прямоугольных схем и с помощью разрабо-'длого алгоритма получена система кости попарно ортогональных -прямоугольных схем размера 1э х 60 с 15 элементами. ■ Введено понятие дефектного -разностного ыюкестЕа,

с помощьо которого построена 3 х Ы 20(6*4-0+1,0+1,1). Доказано, что частный случай этого понятия - почти разрелшлая блочная циклическая перпендикулярная разностная таблица размера (Н+1)* с 1Г = П2+П+1 элементами - эквивалентна

существованию системы И +1 Попарно ортогональных латинских

квадратов порядка V , а ташке существованию по кромке?: мерв дважды почти разрешимой блок-схемы, которая яелястся сукмой дгух одинокоеых разреши/их ояок-схем, каждая из которнх, б свою очередь, ЯЕЛяется ti/г, -краткой блок-схема, эквивалентной проективной плоскости порядка П . Некоторое модифицирование нижеуказанного алгоритма дало возможность построить почти раз-ревшую блочную циклическую радостную таблицу

размара 10 х 5 с 21 элементом, что позволяло уЕеличить изЕест-ную нижнюю границу числа попарно ортогональных латинских квад-ратоЕ порядка 21 с 4 до 5 я построить дважды почти разрешимую блок-схему с параметрами'V = 21, & = 84,4= 5, t = 20, Я = 4.

9. Доказано суадстЕОЕЗдие схем, осноевнных на уравновешенной турнирной схеме, допускающей разбиения (P8TD (tl)) , для некоторых тлпое tl Г в том числе л таких tl , для которых иопрос о су те с мое алии PBTD(tl) не решен). Показана сеязь этих схем с ортогональными неполными латинскими квадратами определенных

типов.

комбинаторные объекты, исследованные е диссертационной работе, широко используются на практика. Центральные объекты конструктивной комбинаторики - блок-схемы и системы попарно ортогональных латинских квадратов - имеют два классических применения: е теории информации (кодирование") и экспериментальных планах. В последней Еремя квазигруппы ^"латинские кЕадраты) ьсе чаще применяются в теории эетомаtoe и при изучении пространства - Еремени в теории относительности. Уравновешенные турнирные схеин также уже нашла оное применение при составлении различных расписаний иругодых спортивных турниров. С возникновением ноеых задач расширяются еозмоялости приложения комбинаторных конструкций.

Цомшо прпхтичггжего ^.тгреса с точки зрения использования е Еышеуказанньх областях применения комбинаторных объектов, результаты выполненных исследований, будучи новыми,1предстаЕляют также самостоятельный теоретически;: й методологический интерес.

Методика исследований

В диссертационной раооте испол'зоезлись методы комбинаторной теории, алгебраический аппарат теории квазигрупп, а тзкже

программирование и реление комбинаторных задач с по;*,одыо ЭШ.

ПубЛ/КЗ Щ1Д

Основное содержание диссертация отранено £ 6 печатных работах.

Апробация роботы

Резулыать работы докладывались'иа Ш Всесоюзной конференции по дискретной математике(4íocke8, яньарь 1990 г."), на семинарах отдела теории вероятностей и. математической статистики Института математики АН Укради и сектора теории квазигрупп и комбинаторного анализа Института математики с ВЦ АН Республики Молдога, на семинарах 'Математическая логика и ее приложения" Института математика а "1'еорил градов" Института кибернетика АН Украины.

Обьэк работы и ее структура

Диссертационная работа изложена на 150 стр. машинописного текста и состоит из ЕЕедания, двух глав, "перечня ochoehux jpe— зультатов, l'¿ приложений и списка литературы, содержащего 211 наименований.

СОДЕРаАШЕ PAüOTú

Во ¿ведении обосновыЕается актуальность теш, формулируется цель .исследования, ддется краткий обзор литературы по изучаемой в диссертации проблема, рассматривается применение некоторых комбияа торных дсш струдцнЗ.

Первая глава посвящена исследованию ортогональных латинских кгадратоЕ. Ь дальнейшем для краткости запаси будем использовать следующие обозначения: 'XSfv) - латинский КЕпдрат порядка V ;

P0^€S(V,tJ- система Í лопарко ортогональных латинских квадратов порядка V ; íPO^tSCCi^t) - ю se для циклических латинских кевд-ратов; Л ,it) - .максимальное изьестное число попарно ортогональных латинских квадратов данного порядка 2Г.

В п. 1.1 сформулирована условия взаимной ортогональности циклических латинских квадратов порядка V :

Vp^.p^.p^Sfir 7р*7, , где

~]fj=L(jij-¡¿j)(rruxiv) j=p,<¡;¿j и ftj - элементы любой

i.- ой (i= rfó) фиксированной строки первого и второго ^CSCC(v)

а

соогветстгашю, лрдиадаежацее ] -ну столбцу.

Ьа основе этих условии дано ноеоэ доказательство следующй

теореси.

Теорема 1. тщш) существует при V = 2Д+1 я не' существует при V =

Ъ паЕестной монографии "Латинские квадрат л их применение-Ланеа я лиднелл доставили Еолрос о числе неизомор^них спстец ШВ (яройлека в.й).

Ьоато.лу представляло интерес £ случае ес5СС(э) установить значение Л^з) и число неаэомрфшх систем !РОХ$СС ( 5 ,-^С 9)). Найдено, что существует ровно '¿¿Ь неизоморфных систем Т0%5СС(9,1) и не существует прпЬгг.

а п. !.<;.,£ отличие ог оппсалких £ литературе ¡/лтодое построения (№1,^), осиоЕаышх на кронокерогом произведении , предюкон простой метод поа трое кия , не базирующийся на кронекоролом произведении латинских КЕадратов.

В п. 1.3 предложена метода построена с

помощью только одного (и£г,ь), содерл;аи;его Л. непе-

ресекающихся транснерсалей, для следуавдх случаев:

(О т.¡п,

(«') М^И^Л^И где {ГПД)-с:

Ь я. 1.4 доказано, что глл любого к-Ф 2,и сулестнует пара ортогональных латинских хвадратоь порлад 5 = о&йД = 0,1,с, с ортогонолышкй аогкгодрзтака порядка к , и предложены ь-.етод» построения такой пары. Иньш слэЕа>,.а, нами показано, что су.дзст-Еуит ортогональные лапшсиас КЕадраты порядка 5 с ортоголаль-(шмл латинск.'и/.и подАЕадрати!,а порядка к - [5/з] . Результат, по-йучешшй Ге'шрих и Чу незаЕЯСш) от нас и ка основании иного подхода, состоит е аналогично:.. ¿-теерздеааа для , т.е.

этшди аЕторами аолучеьо более оО;ада релше. .

Пусть имеется л'.нод.ьгтьо элсгектов = -^и,^,.... Л- -д^", Группу &((•) порлдка П , оснэ8з»шуэ кэ злеменгах множество , назоеег. Ь мюнолнлеыой (Ь^Ь^П, ^Х), если лля некоторого подано,-.:ества ,— "Ь , гуи&отн} ет таксе взаимно

- - г\ г-*

однозначнее OTOOi,ur.-.eh;ie (инъекция) что

av£et Zxl Mxhxzc Q", V^Û^QXÛ',. f Дуогь - пополняемая rx^ynco, J. - инъекция fi,

E ûi, Qi(°) - произвольная квазигруппа порядка t, . Q.nQ,.» Дл û- Û(Uûx, Qr{rt,ri+v-.

■Доопределим отббсагенпе / до подстановки «¿_мпокастЕа Q. так, чтобн«Сх =<£*, если ас e Q?, «6QÎ= и ЛQ,^{¿xj«û;}), л пусть p - произвольное взаимно однозначное отображение множества Q.jl на QjsÛ1\{aT4<Лл ¡хей"} . На множестве й определил; операцию А следуиода образом:

f ¿(ty) > если a,yett},x"VeûJ (l)

если

А (Ч>{

t-ty , если

fp* , если (1)

Х*1/ , если »fût, yeQi

Леш« i. Группоид Q(A") , определенный Соркулзпи (i) -(5), ЛЕЛяатоя квазигруппой (латински:.! квадратом). Из определения t -дополнения двазпгруппы G (А) непосредственно

следует, что ¡.-.атрица (^'^"(aj If*) размера (n+l)*(n+i)

состоит из подматрицы ^ размера tl*tl ( е ней значения элементов зачисляются £ соответствии о сормулсшп (i) и (з)^, подматрицы размера R*t ( форедла (о)) , подматрица размера i*tt.(4орадла (4)) л подматрицы размера t*t , составленной ¡13 элементоЕ множества Q^ е соотЕетствяи о квазигруппой Qt(") формула (о)) .

В Д' цйейаеи всякий ^полученный не обязательно пополнением группы) латинский квадрат тако'П ¡ке структуры, что и матрица К , будем называть латинским квадратом составной структуры и обозначать 4escs(n.+i).

Теорема 2. °£5C5(ti+i) существует тогда и только тогда, когда для матрицы (ti&jî), (<-,}* о, f,..., Л - 0- состоящей из /г -£ циклических и t однородных диагоналей, выполняются следующие условия: i) в какой-либо строка шдастсл ровно H-t различных

элементов киоаестна 0,; для любой пары элементов

у)}с01, где {¿лу^сф, и х></ , выполняется услоеио х-^ . причем сложение производится по модуле

Пусть - пополнение группы ОД') при помощи квази-

группы (З^/»). Трансверсаль С -пополнения , определяемую подстановкой , назовем особо.!, есллгуСО^О^Р',-^ |5а| Чае О', где правая трансляция относительно

элемента <Х в группе (Ц4Ж = ла(гб 0|),

Теорема 3. Если в t -пополнении (1(А) группы 0)порядка И, при помощи квазигруппы порядка í есть особая тронсЕер-

саль, то в (3(А) есть 1ь попарно непересекающихся особых транс-версалзй.

С учетом известно! тзорзаи о том, что суцзствованиа латинского квадрата порядка II , содэрг.адего П. непересекающихся транс-версалей, эквивалентно существованию З'О'ХЗ (п,2) , теорему 3 сформулируем для (tl-<■t).

Теорема о'. Если су.'чЗспует *£5С5(п.-И:), содеркащай особую трансверсаль, то ^аостгугз другой , ортогональный

донному.

Теорема 4. Пусть ^ 1, I = 0,1,2. Тогда существует -пополнение порадш 5 = шшлячвслой группы порядка Л « '¿1+С при по1»овд кгозкхр) шш лорлзда t , имеющее особу в троноворсаль.

Следствие 1. Для любого tт- ¿,Ь существует пара ортогональных латинских квадратов порядка ЗЬI, I = 0,1,2, с ортогональными подквадратамя порядка t или иначе, для любого 5> 3, если [5/з]#2,6, сущостЕует пара ортогональных КЕпзигрупп порядка б с ортогональными подлезэпгрупдамд порядка [5/3].

Пункт 1.а посвящен проблеме Деиеша-КидЕвлла о существовании . пар ортогональных дезжды диагональных латинских квадратов (ЁШО (?,%)) ■ В этом пункте рассмотрены одного

частного вида, ннэЕанпые специальными.

Теорема 5. Если су'Мствузт специальный "%ЗС5(п+ц с особой трансверсальй, содарааздй одну ячейку главной а одну ячейку вспомогательной диагоналей (Д*п) -матрицы^ . то сущесгвуетШ£^1'Ц.

Нам удалось дозтроить специальные uMCS (l4+l) (14+4)

й 'XSCS(ic-rb) , ь каждом аз которых оказалось возшшш выделить особую трансверсаль, содержащую одну ячейку главной диагонали и одну ячейку вспомогательной диагонали катрицы ^, что позеоли-ло построить DD02°S(5,2), $ = 15,18 а 26.

Однако, данный метод построения PDO^CS (пЛ,2) к случаю >t+t = 10 не применим, поскольку приt = 1 или t = з М- нечетное число, при t = 2 из существует fPQXS (2,2), а при t»4 не выполняется условие П> 2Í (т.е.И+t^úi).

Таким образом, для полного решения задачи Денеша-лидвелла о существовании пар ортогональных девжды диагональных латинских КЕадратоЕ остается доказать существование или несущестЕОЕание такой пары для латинских квадратов порядка 10.

В п. 1.6 вслед за многими авторами сделана еще одна попытка построения(lO,s) , т.к. это единственный случай, когда принципиально возможное существование такой системы до сих пор Не доказано. В этом пункте рассмотрены три конструкции, для каждой из которых была сделана попнтка построения искомой систе-ш. Остановлено, е т.ч. с помощью ЗШ, что для даух из трех конструкций не существует даже систем iP0SC5(Í0,2), а в случае третьей конструкции удалось построить систем почти ЯПЙ(ю.з). Тем самым показано, что системы ¡PO'XS(lO,¡¿) для конструкций этих трех типов не сущэстьует. Кроме этого, в этом пункте был изложен простой метод построения сиатеш WVCS (v ,2) для Vs 2(maii), что само по себе предсгаЕляет интерес.

Вторая глаьа посЕящена исследоЕанию комбинаторных конструкций, родственных системам попарно ортогональных латинских квадратов.

В и. 2.1 рассмотрены циклические перпендикулярные разностные таблицы и cnesHüB вопроси.

В этом пункте введены понятия и предложен адективный алгоритм построения циклических разностных таблиц - перпендикулярной и дефектной. Показана сеязь nepEoi; из них с систем;! попарно ортогональных латинских квадратов, а другой - с системой попарно ортогональных F -прямоугольных схек. С покоаью этого алгоритма получена, в частности, система лестл попарно ортогональных F -прямоугольных схе» размера 15 х и0 с 15 элементами.

Введено понятие дефектного (г^Л.х) -разностного множества, с помощью которого построена BIBD (43,3 х 43,3 х 7,7,3 х l), т.е. 3 х BIBD (6^+6+1, 6+1,1).

Одним из ЕведенЛь.х понятий является почти разрешимая блочная циклическая перпендикулярная разностная таблица размера (И/Ч)х,ч(т+1)/г с V = п.2+ П +1 элементам (NRQCPDA(nSrt+^rvMj). Доказана следующая теорема. ~

Теорема Ь. Если существует то суще-

ствует система JFO'XSCC (a'+fi+i, n+i) , а танке существует D'iR(nV+f,n(aVh),ILM,1),и)-DTBD, которая может

быть разбита на дьо одинаковые

ковдая из которых, е сеою очередь, является иД-кратной BIBD (l&H+l.tt+l.l) , экЕНЕалентной PG(2,ft) .

Некоторое модифицирование вышеуказанного алгоритма позволило построить почти разрешав блочную циклическую перпендикулярную разностную таблицу размера 10 х ö с 21 элементом, что эквивалентно системе З'О'З?5 (21,5) и дважды почти разрешимой блок-схеме с параметрам V -- 21, и = 64, fl = 5, Г = 20, Л = 4.

Гипотеза. Для любого четного it существует

Замечание. Если гипотеза верно, то для It = 10 существует ШСРВЛ(ш,и) . Т.е.ЯШ (ш.п) для ox BIBD (ill,II,i)

(охPG- (2,id)).

13 п. 2.2 была предпринята попытка достроить разность траяс-версальшх схем TD [o;Iü] -TD [b ;2] не известным путем, исходя из схемы с делимостью на группы, а с помощью 2-расширения Х5(а), входящего б PG-(2,ß) (jPOXS (б,?)) . Хотя нам отого сделать не удалось, однако, были построены конструкции, близкие к искомой.

В п. 2.3 рассмотрен Еопрос о существовании одной уравноЕе-шенкой для пар схемы порядка V (РВО(К,Я; lf)J.

Совсем не доено усилиями Лэиа, Шварца а Тиеля с помощью ЭШ на примера v = 10 была опровергнута гипотеза Холла о том, что необходимые услоьия Брука-Райзера сущестЕОЕашш проективной плоскости порядка V являются одновременно л достаточными. Иными слоеойй, было показано, что PG- (2,ю), а, значит, и PßÜ (к,1 ;lll) о К = И не существует. Тогда возникает

Еопрос: существует ли PßD(K,I;IIl) с К = ,

где kt = 10 и не нее kt = ü (¿e 2,ü,...,s) , т.е. какова максимально Олазкал к PBD ( Il,l;l]í) схема? Нами с помощьв üH.i построена циклическая PBD (^10,3,2}; I;I¡l), т.е. схема с максимально возможной длиной блоков дтя данного V . ь некотором смысле эта схема максимально близка к PBD (i 1,1; III) , т.е. к 0IflP(lH,II,l) (или Р& (2,id)) .

В л. 2.4 проведено обобщение схем Мендельсона на случай повторения элементов в их блоках. Введено понятие содерленных дважды сильно разрешлых обобщенных схем Мендельсона (D5R (vJí,íi)-PR ND) . Показано, что при А = И построение таких схем момвт быть сведано к построений основанной на элементах мнокестна X ={l,2.....Vj- некоторой специальной матрицы

размера . Здесь к;е показана овяз¡>"DSk (v,£,d)-PRMD со

слвдувадкд комбинаторными коясгрукцяякд: саставаьд Д попарно ортогональных F -прямоугольных схем размера 1/*ílv, системами попарно ортогональных р -квадратоЕ порядка kv , прямоугольными ортогональными схемами размера (£+<:)' ílr1 и веса (ir-^vfc , разрешимыми и схемами с делииостьи на

группы &DD (v&,kyto,(i).

h д. 2.5 для некоторых схем, оснонанних на уравновешенной турнирной схеме, доауекающей разбиение (P8TD (ti)) , незеэышх ■двукратными (¿~PBTD(n)) я двукрашими неполными (¿~lPBTD(n)) , доказано их существование для некоторых типов И , в том числе таких, для которых Еопрос о сущестЕовании PÜTDС1-) не решен.

Лемма 2. Цусгь ij.it. Тогда существует PO'XSCS (2Пч1,2).

С учетом этой леммы доказана следующая теорема. ^

Теорема ?. Пусть имеется косая ракле Руна типа 2 , полученная SA -методом (5. Тогда может быть построена

2-PSn>(¿H+l) .

Лемма 3. Для любого t> I существует TD [¿;4tt+2/-TD [4;2j.

С учетом этой леммы доказана следующая теорема.'

Теореьл 8. Пусть имеется погруженная Sf^(a)-5A . 1огда ыоквт быть построена 2-1P6TD (¿^+2).

'Токам образом, с а<шоздю ¿йшенр&едемих теорем могут быть построены 2-Р8Г0(п.) Д«я a€{ll,17,i9,2ó,^?.ub,ü5,...J-fi 2-IPBTD(ni) для m.ü{:jü,2S,3o,44,52,u0,bc,.. .}. CÍJia«o, вопрос о существовании РВГЬ(п) , П6-[ s; II,lo,,¿4,44 J- остается

ещз открытым. Следовательно, о помощью таорем 7 я 8 могут быть построены 2- PßTD(ll) и 2-lPßTD(m),m = 28 и 44, хотя вопрос о существовании PßTD(fl) , П = 11,28 и 44 остается открытым. Кроне того, нам удилось построить 2-ШТО(э) прямым методом.

В п. 2.5 показана также оеязь 2-PBrD(Tt)-схем a 2-!FBTD(h) о ортогональным неполным. лат дно каля квадратам определенных типов.

Основные положения диссертация отражены в следующих работах:

1. Ь'зляЕская Г.Б. ,Пазарок A.B. Пополнеяиэ группы и построение ортогональных квазигрупп порядка at i = 0,1,2, t Ф 2,G о ортогональными поишазигруппаии порядка t , $Квазигруппы. -КнанноЕ: итиипца, 1S87. - Вып.So. - С.39-52.

2. Нозарок Л.Ü. Меток построения пари ортогоЯалышх латинских квадратов порядка 4t J Исследование операций и АСУ. - Киев: Бащ.ск., 19G8. - Вия.32. - С.75-81.

3. Наэарок Л.Ь. Метода построения пар ортогональных латинских квадратов погчдкаПШ Ц Исследование операций а АСУ. - Кме: Шщ. ши, 12ьЭ. - В'ып.ЗЗ. - С.53-59.

4. Нзэорок A.B. Пари ортогональных даsжди диагональных латал-сках квадратов порядков 15,18 и 2ь ЦКомбинаторный анализ. Ы: UIV, IStü. - Вып.8. - С.154-168.

5. Пазарок A.B. О сугаствоЕанаи'ураЕНовешенной для да рп схемы порядка Ш индекса I с размерам 6локое 10,3 а 2 /комплекс ныЛ анализ, алгебра и топология. - Лиев: Ин-т математики

Ail УССР, 1090. - С.76-77.

6. Пазарок А.З. Двукратные уравновешенные турнирные схемы, допускающие разбиения, л смежные вопросы. - Каев, 19S0. -

16 о. - (llpenp./ АН УССР. Ин-т математика; 90.54). ?. Назароя A.B. Пять попарно ортогональных латинских квадратоь порядка 21 /исследование операция и АСУ. - Киев: Выи, ¡як'., 1991. - вып.3S. - С.57-60. 8. На зарок A.B. Еще одна попытка построения POLS (lO,s) /Асимптотические .методы в задачах теории случайных эволюций. • Киев: Ин-т математики АН УССР, 1991. - С.37-40.