Ортогональные разложения и конфигурации идемпотентов в полупростых ассоциативных алгебрах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Ц . 1 Введение

2 Гипотеза о делимости

2.1 Вводные замечания.

2.2 Коммутативные ОР: основная теорема.

в 1981 г. А.И.Кострикин познакомил автора с так называемой "проблемой Винни-Пуха", которая явилась источником всех последующих исследований.Суть проблемы состоит в следующем. Пусть £ — простая алгебра Ли над полем комплексных чисел С с числом Кокстера h и формой Киллинга (*|*).Спрашивается: Вопрос 1. Допускает ли С ортогональное разлооюение в прямую сумму картановских подалгебр где (НЩ) = О ? Ответ на Вопрос 1 известен (и положителен) во всех случаях кроме простых алгебр^1и типа An-i, п ф р^, р простое, и С„, п ф 2"*. Обширная информация по поводу исследований связанных с проблемой Винни-Пуха содержится в монографии [25].Начав с изучения случая алгебр Ли типа Л„ автор быстро пришел к ключевому для дальнейших исследований понятию ортогональных разложений ассоциативных алгебр. Оно было введено в [30]. Напомним его.Пусть А — ассоциативная конечномерная над полем комплексных чисел С алгебра, через Тгд обозначим след правого регулярного представления А. Тогда Тгдггу является симметричной инвариантной формой на А, которую мы будем называть формой следа. Известно, что алгебра А полупроста тогда и только тогда, когда форма следа невырождена на А (см. Лемма 2.1.1). Далее будут рассматриваться в основном полупростые алгебры и термин "алгебра", если не оговорено противное, будет обозначать ассоциативную конечномерную над С полупростую алгебру. Таким образом, по теореме Вед* дербарна алгебра А изоморфна конечной прямой сумме матричных алгебр М„(С) = М„.О подалгебрах, удовлетворяющих (ii), будем говорить, что они ортогонально пересекаются по единичной подалгебре.На практике для проверки условия (ii) часто бывает удобно использовать его эквивалентную формулировку.Критерий ортогональности: еслих € Bj, у E3J, г ^ j , ТО ЪАХ ТГАУ '^ТГАху п п п ' где п = Тг 1д = dim А. (2) Условие полупростоты подалгебр Bi можно опустить, так как оно вытекает из условия ортогональности (см. Лемма 2.1.1).Если все подалгебры ОР Т> коммутативны, то V называется коммутативным. Если все подалгебры в V изоморфны алгебре В, то V называется однородным ОР типа В (или просто ОР типа В). Через кМп будем обозначать прямую сумму к экземпляров алгебры матриц М„. Группа Aut 2? = {(7 G Aut А :V = V} называется группой автоморфизмов ОР Т>.Примеры. Понятие ОР объединяет такие известные темы как конечные аффинные плоскости, конечные расщепляемые группы, классические матрицы Адамара и ортогональные разложения простых алгебр Ли типа An в сумму картановских подалгебр. Именно: (1) конечная аффинная плоскость порядка п соответствует однородному ОР типа nMi коммутативной алгебры n^Mi (см. Раздел 2.3.2); (2) матрица Адамара порядка п соответствует однородному ОР типа 2Mi алгебры nMi (см. Раздел 4.1); (3) если подгруппы {Щ} расщепляют группу G, то подалгебры {СЯ^} образуют ОР групповой алгебры CG; (4) ортогональное разложение простой алгебры Ли типа Л„ в сумму картановских подалгебр соответствует однородному ОР типа (n + l)Mi алгебры матриц Мп+1 (см. Раздел 3.1).Примитивные идемпотенты подалгебр коммутативного ОР образуют конечное семейство идемпотентов, удовлетворяющее определенным условиям, использующим функцию Тгл. Подобное семейство идемпотентов будем называть конфигурацией идемпотентов. В поисках новых интересных конфигураций автор пришел к понятию сбалансированной ^-системы идемпотентов, которое является естественным обобщением понятия комбинаторной i-схемы, соответствующей в этом контексте случаю коммутативных алгебр.Заметим, что из определения следует, что ^-система является также t'системой для всех t' <t.Таким образом, коммутативные ортогональные разложения и сбалансированные системы идемпотентов являются основными поставщиками интересных конфигураций идемпотентов.Диссертация состоит из трех частей.Часть I — ортогональные разложения: Главы 2, 3, 4, Раздел 9.1.Часть II — сбалансированные системы идемпотентов: Главы 5, 6, 7, 8.Часть III — ?^-биекции групп и ?{д-изоморфизмы групповых колец: Глава 9.Теория ортогональных разложений (ОР) ассоциативных алгебр в настоящий момент состоит из 4-х основных направлений: 1) Гипотеза о делимости; 2) Гипотеза о конечности группы автоморфизмов ОР; 3) ОР в сумму двумерных подалгебр — адамаровы разлоэюения; 4) ОР алгебры матриц в сумму подалгебр, сопряженных диагональной — WP-разлоокения.Остановимся подробнее на этих направлениях.Важнейшей гипотезой в теории ортогональных разложений ассоциативных алгебр является Гипотеза 1 (гипотеза о делимости). Алгебра является свободным модулем (левым или правым) над каокдой подалгеброй из семейства, образующего ее ортогональное разложение.Теорема 2.2.1 подтверждает Гипотезу 1 в случае коммутативных ОР. Это является одним из центральных результатов о конфигурациях идемпотентов.Гипотеза 1, Теорема 2.2.1 и следствия из нее рассматриваются в Главе 2.Отметим важнейшие следствия Теоремы 2.2.1. Первое касается так называемой "Гипотезы об измельчении".Из Теоремы 2.2.1 вытекает справедливость Гипотезы 2 для коммутативных ОР. ^ * ^ « Следующее приложение Теоремы 2.2.1 относится к понятию аффинной 2-схемы [11]. Подмножество в множестве блоков В f-схемы А = {7^,5} называется ?глассол{ параллельности {плпЛ-фактором), если оно образует разбиение множества точек V. Если множество блоков Н допускает разбиение на классы параллельности, то такое разбиение называется параллелизмом (или 1- факторизацией), и t-схема А в этом случае называется разрешимой. Разрешимая f-схема А называется agfigSuwKou {или аффинно разрешимой), если любые два непараллельных блока пересекаются по одинаковому количеству точек. Если V — однородное ОР коммутативной алгебры А = uMi, то по Теореме 2.2.1 все примитивные идемпотенты подалгебр из V имеют одинаковый след. В этом случае, рассматривая примитивные идемпотенты алгебры А как точки и примитивные идемпотенты подалгебр из Р как блоки, мы получим аффинную 2-схему^ А с классами параллельности соответствующими подалгебрам из V: В силу обратимости указанной конструкции мы получаем, что понятия аффинной 2-схемы и однородного ОР коммутативной алгебры эквивалентны.Третье важное приложение Теоремы 2.2.1 относится к теории адамаровых ОР. ОР Р алгебры А называется адамаровым, если V состоит из двумерных подалгебр. Алгебра А в этом случае такж:е называется адамаровой.Термин "адамарово"объясняется тем, что из Теоремы 2.2.1 вытекает эквивалентность понятий матрицы Адамара порядка п и адамарова разложения алгебры nMi. Кроме этого, Теорема 2.2.1 позволяет сделать первый шаг в направлении следующей гипотезы, которая является одной из центральных в теории адамаровых ОР. Гипотеза 3.' Если алгебра адамарова, то ее размерность •. делится на 4Теорема 2.2.1 позволяет утверждать, что размерность адамаровой алгеб/%, ры делится на 2.Адамаровы разложения и алгебры рассматриваются в Главе 4J Помимо Гипотезы 3 там разбираются следующие вопросы: (а) будет ли адамаровой алгеброй тензорное произведение и прямая сумма двух адамаровых алгебр; (б) является ли алгебра матриц четного порядка адамаровой? "Разложения; Винни-Пуха"или WP-разложения, которые послужили отправной точкой всех последующих исследований автора, рассматриваются в, Главе 3: Центральной темой в теории WP-разложений является доказатель^Если Р имеет тип 2Mi, то получается Адамарова 3-схема. (к ство Аналога Теоремы Вагнера. Знаменитая теорема Вагнера утверждает, что конечная аффинная плоскость, обладающая транзитивной на прямых группой коллинеаций, есть плоскость трансляций.С точки зрения теории ортогональных разложений между конечными аффинными плоскостями порядка п и WP-разложениями алгебры М„ прослеживается очевидная аналогия — и те и другие представляют из себя однородные ОР типа nMi алгебр размерности п^. Только в случае аффинных плоскостей исходной алгеброй будет коммутативная алгебра n^Mi, а в случае WP-разложений — простая алгебра М„.Определив в качестве аналога плоскостей трансляций так называемые J-разложения, мы можем сформулировать аналог Теоремы Вагнера следующим образом.Гипотеза 4 (аналог Теоремы Вагнера). Если WP-разлолсение V алгебры М„ допускает группу автоморфизмов транзитивную на множестве примитивных идемпотентов подалгебр из V, тоТ> сопряокено J-разлоснсению, и, в частности, Aut V codepotcum, неприводимую нормальную элементарную абелеву подгруппу порядка г? = р^"*, р простое, действующую тождественно на V.Основной результат Главы 3 — Теорема 3.4.2, подтверждающая Гипотезу 4 для нечетных п, не являющихся квадратами. Теорема 3.4.2 выводится как следствие другого важного результата — Теоремы 3.4.1, в которой Аналог Теоремы Вагнера доказывается при дополнительном предположении о существовании неединичного автоморфизма, нормализующего каждую подалгебру WP-разложения.Кроме двух указанных теорем есть еще один важный результат в направлении Гипотезы 4. Он был установлен А.И.Кострикиньщ и Фам Хыу Тьепом в [5] в рамках теории алгебр Ли. Мы переформулируем его в терминологии ассоциативных алгебр: (*) ПустъТ> — WP-разлоснсение алгебры Мп. Если AutV действует неприводимо на пространстве матриц с нулевым следом, то V сопрялсено Jразлооюению. WP-разложения, которые рассматриваются в (*), называются неприводимыми WP-разлооюениями и утверждение (*) является решающим шагом в их классификации, которая является на сегодняшний день одним из основных достижений в теории WP-разложений. Неприводимым ОР простых алгебр Ли в сумму картановских подалгебр посвящена значительная часть монографии [25]..Толчком к интенсивному исследованию неприводимых ОР послужила работа автора [31]. ( * i.* I» Несложно показать, что утверждение (*) слабее Гипотезы 4. Причем примерно настолько, насколько условие транзитивности слабее условия 2-транзитивности.Отметим, что доказательство утверждения (*), приведенное в [5], существенно использует классификацию 2-транзитивных групп, и, следовательно, классификацию конечных простых групп. Есть надежда, что техника теории коммутативных ортогональных разложений, связанная с рассмотрением идемпотентов, позволит получить доказательство (*), не привлекающее классификацию конечных простых групп. И такое доказательство может быть одним из шагов на пути к Аналогу Теоремы Вагнера.Четвертое направление теории ортогональных разложений — Гипотеза о конечности группы автоморфизмов ОР. Гипотеза Ъ. Пусть V — ОР алгебры А. Тогда группа kutV конечна.Гипотеза 5 рассматривается в первомразделе Главы 9. Там эта гипотеза подтверждается для всех известных ОР. Однако основная часть Главы 9 посвящена другим вопросам — исследованию ?^-биекций групп и "Ндизоморфизмов групповых колец. Эти понятия стоят особняком от основной тематики диссертации — изучение конфигураций идемпотентов. Однако своему появлению они обязаны Гипотезе 5. Именно при исследовании Гипотезы 5 в случае ОР, связанных с расщепляемыми группами, автор пришел к понятиям ?^-биекций групп и ?^л-изоморфизмов групповых колец.Основные результаты Главы 9 это (а) Теорема 9.4.1 о связи понятий жесткости и С-базисной жесткости в классе конечных абелевых групп; (б) Теоремы 9.5.3 и 9.5.4 о жесткости и Д-базисной жесткости семейства подгрупп, расщепляющих группу; (с) Теорема 9.6.1, в которой классифицируются устойчивые абелевы группы.Обратимся теперь к сбалансированным системам идемпотентов; второй после ортогональных разложений из главных тем диссертации. Сбалансированные системы рассматриваются в Главах 5 - 8.В Главе 5 развивается основной технический аппарат — вводятся понятия матрицы полупроизведений, двойственных систем, изучаются автоморфизмы сбалансированных систем идемпотентов в алгебрах матриц. В качестве одного из приложений этой техники выводятся оценки для числа идемпотентов (см. Раздел 5.2.3).В Главе 6 изучаются сбалансированные системы в алгебре матриц с 2транзитивной группой автоморфизмов. Центральный результат в ней — Тео(W ^ рема 6.3.1, в которой классифицируются 2-системы с группой автоморфизмов PSL{2,q).В Главе 7 изучаются сбалансированные системы со специальными параметрами. Устанавливается связь (2п, гг)-систем и конференс матриц, а также -систем и (?Я-матриц. Основные результаты Главы 7: (а) Теорема 7.1.2, в которой классифицируются 1-{п+ 1,г, пг)-системы; (б) Теорема 7.2.2, в которой классифицируются (4,2)- и (6,3)-системы.В Главе 8 изучаются сбалансированные системы, которые являются базисами в исходных алгебрах. Это, так называемые, "сбалансированные базисы". Алгебры, допускающие сбалансированные базисы называются сбаланш сированными. В случае коммутативной исходной алгебры сбалансированные базисы отвечают самому изучаемому понятию в комбинаторном анализе — симметричным блок-схемам, к которым относятся конечные проективные плоскости, 2-схемы Адамара, разностные множества в группах.Основные результаты Главы 8: (а) Теорема 8.2.1, в которой строятся сбалансированные базисы в алгебрах Мрп, р нечетное простое; (б) Теорема 8.3.2 о несуществовании в алгебре Мгп сбалансированных базисов с регулярной элементарной абелевой 2-группой автоморфизмов.Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [29] [41]. * (Ш ^ Глава 2 Гипотеза о делимости

1. Артомонов В.А., Бовди А.А. Целочисленные групповые кольца: группы обратимых элементов и классическая К-теория. Итоги науки и техники: Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 27; ВИНИТИ. Москва, 1989; 3-43.

2. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. — М.: Наука. 1972.

3. Залесский А.Е., Михалев А.В. Групповые кольца. Итоги науки и техники: Соврем, пробл. математики. Т. 2; ВИНИТИ. Москва, 1973; 5118.

4. Кострикин А.И., Кострикин И.А., Уфнаровский В.А. Ортогональные разложения простых алгебр Ли типа Ап// Труды МИ АН СССР. 1981, 158, 113-129.

5. Кострикин А.И., Фам Хыу Тьеп. Классификация неприводимых разложений простых алгебр Ли типа Ап// Алгебра и анализ. 1992, 3; 571-593.

6. Супруненко Д.А. Группы матриц. Наука; Москва, 1979; 351 стр.

7. Уфнаровский В.А. О подходящих матрицах второго порядка// Матем. исслед. Алгебра и кольца. 1986, 90; 113-136.

8. Холл, М. Теория групп. ИЛ: Москва, 1962.

9. Belevitch V. Theory of 2n-dimensional networks with application to conference telephony// Elect. Commun. — V. 27. — 1950. — C. 231-244.

10. Belevitch V. Conference networks" and Hadamard matrices// Ann. Soc. Sci. Bruxelles Ser. 1. V. 82. - 1968. - C. 13-32.

11. Beth, Т.; Jungnickel, D.; Lenz, H. Design Theory, 2nd Ed.; Cambridge Univ Press; Cambridge, 1999; 1100 pp.

12. Conway J.H., Curtis R.T., Norton S.P., Parker R.A., Wilson R.A. Atlas of finite groups. — Oxford: Clarendon Press, 1985.

13. Craigen, R. Weighing Matrices and Conference Matrices. In: The CRC Handbook of Combinatorial Designs; Colbourn, C.J., Dinitz, J.H., Eds.; CRC Press, Boca Raton, 1996; 496-504.

14. Delsarte, P.; Goethals, J.M.; Seidel, J.J. Orhtogonal Matrices with Zero Diagonal II// Canad. J. Math. 1971, 23; 816-832.

15. Gleason, A.M. Finite Fano Planes// Amer. J. Math. 1956; 78; 797-807.

16. Goethals, J.M.; Seidel, J.J. Orthogonal Matrices with Zero Diagonal// Canad. J. Math. 1967, 19; 1001-1010.

17. Hughes, D.R.; Piper, F.C. Projective Planes, 2nd Ed.; Springer; Berlin, 1982; 291 pp.

18. Isaacs, I.M. Character Theory of Finite Groups, 1st Ed.; Academic Press; New York, 1976; 303 pp.

19. Jungnickel, D. Difference Sets. In: Contemporary Design Theory: A Collection of Surveys; Dinitz, J.H., Stinson, D.R., Eds.; Wiley: New York, 1992; 241-324.

20. Kallaher, M. Translation Planes. In: Handbook of Incidence Geometry; Buekenhout, F., Ed.; Elsevier Science: Amsterdam, 1995; 137-192.

21. Kantor, W.M. Spreads, Translation Planes and Kerdock Sets, I// SIAM J. Algebra Disc. Methods. 1982, 3; 151-165.

22. Kantor, W.M. Spreads, Translation Planes and Kerdock Sets, II// SIAM J. Algebra Disc. Methods. 1982, 3; 308-318.

23. Kantor, W.M. Expanded, Sliced and Spread Spreads. In Finite geometries, Proc. Conf, Washington State University, Pullman, 1981, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, Vol. 82; Marcel Dekker. Inc.; New York, 1983, 251-261.

24. Kimberley, M.E. On the Construction of Certain Hadamard Designs// Math. Z. 1971, 119, 41-59.

25. Kostrikin, A.I.; Pham Huu Tiep. Orthogonal Decompositions and Integral Lattices; Walter de Gruyter; Berlin, 1994; 535 pp.

26. Seberry, J., Yamada, M. Hadamard Matrices, Sequences and Block Designs. In: Contemporary Design Theory: A Collection of Surveys; Dinitz, J.H., Stinson, D.R., Eds.; Wiley: New York, 1992; 431-560.

27. Shrikhande, S.S. Affine Resolvable Incomplete Block Design: A Survey// Aequ. Math. 1976, Ц, 251-269.

28. Wagner, A. On Finite Affine Line Transitive Planes// Math. Z. 1965; 87; 1-11.Публикации автора по теме диссертации

29. Иванов Д.Н. Ортогональные разложения простых алгебр Ли типа АрП-Х и изотропные расслоения// УМН. 1987, 4% (4), 141-142.

30. Иванов Д.Н. Ортогональные разложения полупростых ассоциативных алгебр// Вестник МГУ. Сер. 1. Матем., механ. 1988, 43 (1), 10-15.

31. Иванов Д.Н. Ортогональные разложения простых алгебр Ли типа Ари Dn с конечным числом классов подобных инвариантных подреше-ток// Вестник МГУ. Сер.1. Матем., механ. 1989, 44 (2); 40-43.

32. Иванов Д.Н. Теорема о подалгебрах, образующих ортогональное разложение ассоциативной алгебры// УМН. 1989, 44 (2), 231-232.

33. Иванов Д.Н. Аналог теоремы Вагнера для ортогональных разложений алгебры матриц МП(С)// УМН. 1994, 49 (1); 215-216.

34. Иванов Д.Н. Однородные ортогональные разложения и матрицы Ада-мара// Фунд. и прикл. математика. 1995, 1 (4), 1107-1110.

35. Иванов Д.Н; Автоморфизмы ортогональных разложений и групповых алгебр расщепляемых групп// Матем. сб. 1995, 186 (9); 77-86.

36. Иванов Д.Н. "Н-биекции групп и "Ид-изоморфизмы групповых колец// Матем. сб. 1997, 188 (6); 27-46.

37. Иванов Д.Н. Некоторые проблемы теории ортогональных разложений ассоциативных алгебр// Фунд. и прикл. математика. 1998, 4 (1), 187197.

38. Иванов Д.Н. Ортогональные разложения ассоциативных алгебр и сбалансированные системы идемпотентов// Матем. сб. 1998, 189 (12), 83-102.

39. Иванов Д.Н. Сбалансированные системы из примитивных идемпотентов в алгебрах матриц// Матем. сб. 2000, 191 (4); 67-90.

40. Иванов Д.Н. О сбалансированных системах идемпотентов// Матем. сб. 2001, 192 (4); 73-86.

41. Ivanov, D.N. Orthogonal Decompositions and Idempotent Configurations in Semisimple Associative Algebras// Comm. Algebra. 2001; 29(9); 38393887.