Некоторые статистические и динамические задачи теории упругости для тел вращения

Геворкян, Гнут Завенович

Некоторые статистические и динамические задачи теории упругости для тел вращения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Геворкян, Гнут Завенович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ереван МЕСТО ЗАЩИТЫ

1996 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Автореферат по механике на тему «Некоторые статистические и динамические задачи теории упругости для тел вращения»

Автореферат диссертации на тему "Некоторые статистические и динамические задачи теории упругости для тел вращения"

4 яизииэиьь чии иьюиъьцизр м^вРвт-в

ЭЬпик;р}1 ЬгниЦтОепЦ

ць^прцзиъ цът-ъ Й1мьъь

'пвзииъ аипаьъььпь яииип цгитимиъпьвзцъ вытнэзиъ иэизьм ьа чьъиш^ иь еиъь юъоьръьр

ишиОшц|илгир]тО[]" и.02.04-- 1}Ьфпр|5шд1(пг1 1фОп. |3шр|10|1 |5Ь[ишО|1^ш

3)|щ|1^ш-|1шрь13ш1л|11|ш^шй q|llлnLpJnlйQЬp|l рЫ)йшйт|1 Ч(ипш4шО шиш|1ЙшО|1 Иш]д15шО штЬОш^ипигир^й

иьааичрр

ЬРЬаиЪ 1996 р.

ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ НАН АРМЕНИИ

На правах рукописи

ГЕВОРКЯН ГНУН ЗАВЕНОВИЧ

НЕКОТОРЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

Специальность -А.02.04- Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕРЕВАН 1996г.

Работа выполнена и Институте механики HAH Армении

Научные руководители:

академик HAH Армении Б. Л. Абрамян

кандидат физ-мат наук В. С. Макарян.

Официальные оппоненты:

Доктор физ.-мат паук, профессор Мхитарян С.М. Кандидат физ.-мат наук, доцент Саакян С.Г.

Ведущая организация:

Ереванский архитектурно-строительный институт

Зарита диссертации состоится и ЮЛ 1996 г. в

" f Z часов на заседании специализированного Совета 047

по адресу г. Ереван, ул. Маршала Баграияна 24°.

С дисертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики

HAH АР мении. » « •

Автореферат разослан

и {0 ..

lc 1996 г.

Ученый секретарь специализированного Совета доктор технических наук, профессор P.M. Киракосян

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Одним из актуальных разделов механики твердого деформируемого тела являются контактные задачи теории упругости. Во многих случаях знание особенностей поведения напряжении вблизи угловых точек, позволяет проектировать более надежные конструкции. Исследование динамических задач, важно для изучения поведения конструкций при быстро изменяющихся нагрузках, вибрациях, для сейсмостойкого строительства зданий, шахт, туннелей, подземных хранилищ и ДР.

Контактные задачи теории упругости, исследование поведения контактных напряжений вблизи смены типа граничных условий, вблизи угловых точек для различных областей и динамические задачи для областей со сферическими и цилиндрическими границами рассматривались в работах Абрамова В.М., Абрамяна Б.А., Александрова А.Я., Александрова В.М., Арутюняна Н.Х., Бабешко В.А., Баблояна A.A., Бело-коня A.B., Бородачева Н.М., Викторова И. А., Ворови-ча И.И., Галина A.A., Григоряна Э.Х., Гринченко В.Т., Губенко B.C., Ерингена А. К., Ейнспруха Н. Г., Задояна М. А., Златина А.Н., Каландии А.И., Купрадзе В.Д., Лурье А.И., Макаряна B.C., Морозова Н.Ф, Моссаковского В.И., Мусхе-лишвили Н.И., Мхитаряна С.М., Нагасе, Нуллера Б.М., Па-насюка 4В.В., Папояна С.О., Петрашенья Г.И., JTIpoKonoBa В.К., Проценко Б.С., Рвачева В.Л., Ростовцева H.A., Саркисяна В.Г., Саркисяна B.C., Селезнева М.Г., Симонян В.В., Сметанина Б.И., Снеддона И.Н., Соляника-Крассы К.В., То-нояна B.C., Травкина Ю.И., Улитко А.Ф., Устинова Ю.А., Уфлянда Я.С., Хатиашвили Г.М., Хачикяна A.C., Цейтлина А.И., Чобаняна К.С., Шагиняна С.С., Шапиро Г.С., Шерма-на Д.И., Штаермана Н.Я., и других авторов.

Це-ль работы Целью диссертационной работы является исследование следующих задач:

-Задачи теории упругости для шарового сектора (сплошного и полого), выявление распределения напряжений внутри и на границе сплошного шарового сектора, построение решения для полого шарового сектора при различных типах граничных условий.

-Динамические задачи для шара и бесконечного пространства с шаровой полостью.

-Неосесимметричная динамическая задача для бесконечного пространства с цилиндрической полостью.

Методика исследований В работе использованы преобразования Фурье, Лапласа, Веберра-Орра. Использовались методы теории функций комплексной переменной. Разработанные алгоритмы численных расчетов реализованы в основном на ПК IBM с помощью программ "winmath", "matlab".

Научная новизна Используя интегральное преобразование по тригонометрическим функциям специального вида, получены замкнутые решения для сплошного и полого шаровых секторов, при различных граничных условиях.

Исследованы новые динамические задачи для шара и шаровой полости.

При решении неосесимметричной динамической задачи для цилиндрической полости впервые получено частотное уравнение для первой гармоники. 4

Достоверность ; Достоверность полученных» результатов следует из исползьзования: точных уравнений математической теории упругости;. современных методов .математической физики; современных ЭВМ.

Практическая ценность Результаты работы анализированы аналитически и численно, сделаны соответствующие выводы. Наличие таблиц и графиков облегчает применение результатов

работы в машиностроении, строительстве и в других областях инженерной практики.

Апробация работы Основные результаты работы докладывались и обсуждались

- на семинарах отдела математической теории упругости, (1980-1996)

- на семинарах и конференциях молодых ученых,

- общих семинарах Института механики HAH Армении,

- на школе-семинаре "Теория упругости и вязкоупругостн" (Цахкадзор 1982г.),

-на региональной конференции "Динамические задачи механики сплошной среды, теоретические и прикладные вопросы вибрационного просвечивания земли" (Краснодар 1990г.).

Объем работы Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Она занимает 94 страниц текста, содержит 16 рисунков, 6 таблиц и список литературы из 153 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор литературы и современного состояния исследований по рассматриваемой тематике. Кратко изложено содержание диссертационной работы.

В первом параграфе первой главы строится общее решение дифференциальных уравнений осесимметричного равновесия шарового сектора в„ перемещениях в виде суммы ряда по функциям Лежандра и интеграла по функциям, содержащими экспоненциальные и тригонометрические функции. ..

Ur(r,e) = u0(r,e) + fX(r)P4. (cose) + Jf1(e)7)T,(r)T)d7 0)

V=1 О

Uo(r.e) = v0(r,e) + X vk(r)p;(cos8) + Jr2(G,Y)T2(r,r)dY

к=1 о

где

uk(0 = rVi+'Ab(vk + I)[vk -(vk + 2)aJ + vkBkrv-' + + •"VtCkv4vk.+1 -(vt - l)a] + Dk(vk + l)rVk'2

vk(r) = rVt+,Ak[vk +3-(vk + l)a] + Bkrv-1 + + r-v'Ck[-vk + 2+vka]-Dkr-v'-2; (vk>0)

f,(y,e) = A(y) cos 0Pro (cos 0) + B( y) sin 0P¿ (cos 0) (3) f2(y, 0) - C(y) sin 0Pm(cos0) + D(y) cos0P¿ (cos0) Tk(r) = ra(Ek(y)sinYt+ Fk(y)cosYt), k = 1,2

1 1 . , R a =—, m = — + iy, t = In—

2 2 r

PVt(cos9), P^k(cOs8), Pm(cos0), P^(cos0) - функции Лежанд-

ра. Обсуждена степень свободы построенного решения и указаны связи между "свободными" коэффициентами разложений, обеспечивающие единственность и эффективность решения.

Во втором параграфе рассматривается осесимметричная контактная задача о вдавливании без трения, в коническую полость упругого шара радиуса R и с углом 90 абсолютно жесткого конического тела. Вершина конуса совпадает с центром шара. На сферической части поверхности заданы напряжения. Граничные условия имеют вид

и9(г,е;) = апг, т[в(г,ео) = 0 (о < г < к)

аг(м) = г(е), хДм ) = ё(0) (о<е <е0)

В качестве Ук взяты корни уравнения (с<Э50о) = 0.

Тогда заданный линейный вид перемещений поверхности конической воронки позволяет полностью освободится от интегралов в выражениях напряжений и перемещений и свести их к элементарным функциям. Получено замкнутое решение задачи в виде рядов по функциям Лежандра. Явно выделены особенности напряжений. Напряжения в центре шара имеют логарифмическую и степенную Г4' 2 особенности. Показано, что степенная особенность в напряжениях существует только при 0О > К / 2 (сектор больше полушара). Приведена таблица значений первых корней V; трансцендентного уравнения для различных 80. Логарифмическая особенность возникает, когда угол жесткого конического тела отличается от угла воронки.

Вычислены напряжения и приведены графики напряжений для различных случаев нагружения.

1.Внешние нагрузки отсутствуют ОС0 —1

В этом случае напряжения возникают из-за нормальных перемещений, заданных на берегах конической выемки, имеют логарифмическую для любого 0О, и степенную при 0О >71/2, особенности, коэффициенты которых зависят линейно от ОС0.

2. Сосредоточенная сила при

л. , * ■ . А *

0=0. ос0 = 0, = ё(е) = О (5)

3. Нормальные сосредоточенные силы распределеные по окружности 0=6,,

ir sin 20,

Значение 8,- которое обеспечивает обращение в нуль коэффициентов особеностей всех напряжений, при Г —> Ü определяется из уравнения PV|(cos0,) = 0,. Приведена таблица

значении 0, в зависимости 0О

4. Нормальные нагрузки распределенные по поверхности

о<е<е0/2=е., f(e)= 2^н(е'~е) (7)

0 1 Л } rt(l-cos20,)

g(0) = О, СХ0 = 0 , H^0i - 6 ) -функция Хевисайда

5.Нормальные нагрузки распределенные по поверхности

o£e5e„/4=e,j(e) = -^M,g(e)=0,a0=o.(8)

Построены рельефы функций Ог Ое Оф Хл.

Рис 1. Рельеф функции <5Г

В третьем-параграфе рассматриваются две задачи для полого сферического сектора. В первом случае внутренняя сферическая поверхность нагружена нормальными нагрузками, а во втором случае заданы нормальные перемещения при отсутствии касательных напряжений (внутри полости находится гладкий жесткий шар). На внешней сферической поверхности заданы напряжения. Основываясь на результатах предыдущих параграфов этой главы, строятся замкнутые решения обеих задач в виде рядов по функциям Лежандра.

Во второй главе состоящей из трех параграфов рассматриваются динамические задачи теории упругости для сферы и пространства со сферической полостью.

В первом параграфе приводятся уравнения движения теории упругости в перемещениях в векторной форме.

Для перемещений использовано представление Ламе и = gradФ + ГО!Л|/ Используя преобразование Лапласа строится общие решения этих уравнений удовлетворяющих нулевым начальным условиям. Для внутренней задачи изображения Лапласа функций Ф, \|/ имеют вид.

ф = Хап]/^ксозе) ¥ = „]/^%С089) (9)

0=о V С1 У

а для внешней задачи л

П=1

Ф = £аХ ® к(созв) ^ = —к(со80) (Ю)

п=0

V С1 ) п=1

V С2 у

где ^(г) и ЬЦг) сферические функции Бесселя и Ганкеля первого рода.

Во втором параграфе рассматривается нестационарная задача для бесконечного упругого пространства со сферической полостью. Напряжения и перемещения представлены в виде инте-

градов Меллина. Приравнивая к нулю знаменатели подынтегральных функции, получены частотные уравнения. Для каждого П существуют 2п+2 комплексных корня, расположенных в левой полуплоскости симметрично относительно оси абсцисс и двукратный нуль при р = 0. Приведена таблица комплексных корней этих уравнений. На показано расположение корней на верхней комплексной полуплоскости при П = 10. Использованием асимптотического представления Дебая для функции Бесселя, показано, что волновое уравнение, в первом приближении, совпадает с уравнением Рэлея. Окончательно перемещения и напряжения представлены в виде двойной суммы по вычетам в нулях частотных уравнений и по функциям Ле-жандра. Нулевые члены разложений соответствуют одномерной задаче и совпадают с формулами полученными другими авторами.

Рассмотрено также упругое пространство со сферической полостью, в которую вставлен жесткий полый шар того же внешнего радиуса и на шар действует переменная по времени сила. Напряжения и перемещения получены с использованием

рис 2

На рис. 2'прнведен график и0(т) / 11сТ по времени, где 11 сТ

статическое решение, для некоторых значений коэффициента Пуассона V, когда сила во времени имеет вид функции Хевн-сайда.

В третьем параграфе решена задача для упругого шара, когда на поверхности шара действует осеснмметричная, зависящая от времени нагрузка. Как и во внешней задаче получено частотное уравнение. Использованием асимптотического представления Дебая для функций Бесселя, аналогично внешней задаче, показано, что волновое уравнение в первом приближении совпадает с уравнением Рэлея. Наименьший корень уравнения соответствует волне Рэлея. Корни волнового уравнения соответствуют частотам собственных сферических колебаний шара и находятся на мнимой оси. Приведены графики левых частей частотных уравнении для некоторых значений гармоник п.

Здесь же рассмотрена задача для упругого шара, когда на одном полюсе действует переменная сосредоточенная сила, а другой полюс жестко закреплен. Получено выражение для реакции на закрепленом полюсе.

В третьей главе диссертационной работы рассмотрена неосе-симметричная задача теории упругости для пространства с цилиндрической полостью, когда динамическая сила расположена на конечном расстоянии от полости и направлена к оси полости. В первом параграфе приведены основные уравнения и представления потенциальных функций для динамической задачи теории упругости в цилиндрической системе координат! Во втором параграфе перемещения и напряжения представлены в виде рядов Фурье по окружной координате. "Каждая гармоника' рядов представлена в виде сумм двух разложений используя интегралы Лапласа, Вебера и Фурье. При определении коэффициентов интегрирования получены частотные уравнения. Исследованы корни этих уравнений для нулевой и первой

гермоник, которые соответствуют поверхностным волнам типа Рэлея, Похгаммера, Миндлина и Био. Уравнение для первой гармоники получено впервые.

Произведенные вычисления показывают, что фазовые скорости распространения поверхностных волн по цилиндрической поверхности полости в неограниченной упругой среде зависят от коэффициента Пуассона, от радиуса полости и частоты колебаний источника. Исследование фазовых скоростей распространения канальных поверхностных волн показывает, что скорости распространения каналовых волн зависят также от способа приложения динамических нагрузок. Наблюдается, что скорости распространения коротких волн больше скорости распространения поверхностных волн Рэлея, но они остаются меньшими скорости распространения сдвиговой волны. При некоторых критических значениях геометрических и физических параметров скорость распространения волн по поверхности полости в неограниченном пространстве становится равной скорости распространения сдвиговых волн и поверхностные волны такого типа не распространяются. Приведены таблицы для скоростей каналовых волн и критических значений параметра Ш0 для нулевой и первой гармоник.

С/ С2

Шо

5 10 20 40 80

\'=0 п=0 0.927 , 0.899 0.886 0.878 0.877

п=1 - - > 0.917, 0908 0.878

\'=033 п=0 0.961 0.944 0.937 0.934 0.933

п=1 - - 0.947 0.941 0.934

п=0 0.975 0.963 0.958 0.957 0.956

п=1 - - 0.967 0.962 0.957

Таблица 1

Окр

0 0.25 0.33 0.5

11=0 1.88 2.07 2.15 2.39

г1=1 13.9 15.3 16.5 18.8

Таблииа 2

Здесь использованы обозначения: Ш0 = &)11 / С2, И-раднус полости, СО -фазовая частота колебаний волн, С2 -скорость распространения поперечных волн.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1 Построены специальные решения задач теории упругости для сплошного и полого шарового секторов, которое позволяет решать некоторые частные задачи в замкнутом виде.

2 Для этих задач в явном виде выделены особенности напряжений в центре шарового сектора. Показано, что они имеют как логарифмический и так и степенной характер. Логарифмическая особенность проявляется, когда изменяется угол при вершине в силу граничных условий и существует для произвольного угла. Степенная особенность появляется, когда угол при вершине больше 180° и показатель степени зависит только от величины угла. Показано, что варьированием граничных функций можно добиться обращения в ноль коэффициентов нн-тенсивностей при всех напряжениях.

3 Исследованы некоторые нестационарные задачи для шаровой полости и шара и получены формулы для определения перемещений и напряжений в виде комплексных интегралов Меллина. В задаче для бесконечного пространства с жестким сферическим включением оценено время стремления решения к статическому.

4 Решена неосесимметричная динамическая задача для пространства с цилиндрической полостью и впервые получено

частотное уравнение для первой гармоники. Показано, что как для нулевой так и для первой гармоник существуют каналовые волны, подобные волнам Рэлея, скорость которых зависит от радиуса полости, коэффициента Пуассона- и частоты волны. Показано-, что при определенной комбинации параметров, такой тип волны может не существовать.

5 Разработаны методы численного анализа и реализованы. алгоритмы решения вышеуказанных задач на ЭВМ.

Список научных работ

1. Геворкян Г. 3. К контактной задаче о кручении бесконечного упругого конуса посредством тонкой конической оболочки. Исследования по механике твердого деформируемого тела. Изд АН Арм. ССР., Ереван, 1981, с. 87-92.

2.Геворкян Г. 3. Кручение составного конуса при смешанных граничных условиях. Механика деформируемых тел и конструкций. Изд АН Арм. ССР., Ереван, 1985, с. 115118.

3.Абрамян Б. А., Геворкян Г. 3. Несимметричная задача о распространении упругих волн в пространстве с цилиндрической полостью. ДАН АН АрмССР LXXXIII, 1986, No2, 73-77

4.Геворкян Г. 3. Осесимметричная динамическая задача для упругого пространства с жестким сферическим включением. Динамические задачи механики сплошной среды, теоретические и прикладные вопросы вибрационного просвечивания земли: »материалы докладов региональной конференции.-Краснодар, изд. Кубан. ун-та 1990 с 175

5.Геворкян Г. 3. Нестационарная динамическая задача для бесконечного, пространства со сферической полостью. Механика деформируемого твердого тела. Изд АН Арм. ССР., Ереван, 1993, с. 105-111.

6.Геворкян Г. 3., Макарян В. С. Контактная задача для шарового сектора. Изв. HAH Армении, Механика 1996, т. 49, No 1. с. 51-61

- 15 -ШФПФПШ

Ш-итййидфрфид bû qjujûtujjiG diuljbplinLjpujjfiû mifißöb-p(i intupuiôtiiuû hGujpiu4npnLpjnLGGbp[V 1|ш[гл[ш6 bpljpuj¿uj-* фш1|шй U u|uupujúbinpbp|ig: *

Рп|пр fxjGqfipGbpnuS ^иллшрфид bG рфифО hu^iupljGbp, рЬрфиб' bG ujruniuujl|Gbp Ii qpiu$filjGbp hbmui£pppmpjni.û Gbpl|tujuigGnr\ dbdntpjiuGGbpfi huiúuip: