Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

1 Введение

1.1 Актуальность темы. Предшествующие работы.

1.2 Постановка задачи и основные результаты.

1.3 Апробация работы. . .?.

2 Вспомогательные сведения

2.1 Банаховы пространства.

2.2 Дифференцируемые функционалы.

2.3 Меры, измеримые функции и интегралы.

2.4 Многозначные отображения. Обобщенные градиенты липшицевых отображений.

2.5 Обобщенные производные. Пространства Соболева. Теоремы вложения.

2.6 Симметричные и самосопряженные операторы.

2.7 Некоторые сведения из термодинамики.

3 Существование измеримого селектора

3.1 Доказательство предложения 1.4.

3.2 Вспомогательные леммы.

3.3 Завершение доказательства теоремы 1.6.

4 Доказательство теоремы 1.

4.1 Ограниченность приближенных решений.

4.2 Доказательство теоремы 1.7.

4.3 Измеримость функции (р

5 Предельный переход по малому параметру

1.1 Актуальность темы. Предшествующие работы.

В настоящей работе исследуется разрешимость начально-краевой задачи для квазистационарных уравнений фазового поля, описывающих в рамках мезоскопической теории фазовые переходы первого рода. Предполагается, что среда заполняет ограниченную область О С d < 3, с границей класса С2. Ее состояние полностью характеризуется распределением температуры $(хЛ) и набором параметров порядка сpi(x,t), 1 < i < п, х G О.

Существование решений квазистационарных уравнений фазового поля в скалярном случае (п ■= 1) была доказана Плотниковым и Старовойтовым в [10] в предположении, что 9 удовлетворяет однородному условию Неймана, а д - условию Дирихле: (1.1) Ф'(^) -£д =0, (1.2) д<р О, ti\t=Q = $0, = VU, (1.3) дп где О С d = 2,3 - ограниченная область с гладкой границей, Ф(<^) = j(ip2 — I)2, 7 > 0 - некоторая константа, t - малый параметр. Было показано, что задача (1.1)-(1.3) имеет семейство решений, которые при £ —> 0 сходится к решению капиллярной задачи Стефана. Последняя состоит в определении поля температур и поверхности dif = Д0, zefi*, *е[0,Г], Г(*):0 = гА:, — ot on

раздела фаз Г(£), удовлетворяющих следующим уравнениям: 9v

С)П

0 |зп = 0, = г?о, r\i=Q = Го, где к - сумма главных кривизн Г (£), а > 0 - коэффициент поверхностного натяжения, п - вектор нормали к Г(£), Q = 0+ U Г U -области, занятые жидкой и твердой фазами, [■] - скачок функции на Г(£), vn - скорость движения межфазной границы в направлении нормали.

Основную роль при установлении компактности с в работе [10] играет следующая теорема.

Теорема 1.1. Пусть Е7 , F - рефлексивные банаховы пространства, причем, Е компактно вложено в F. Пусть К - относительно компакт,ное множество в F, такое, что если f,g Е clK и / — д Е Е, то f = д (1.4) здесь clK - замыкание К в F).

Пусть последовательности измеримых функций -рп : [0,Т] —> К. t)n : [0, Г] —>• Е удовлетворяют, условиям,

IWU2(0,r;£) < с '"■ + Vn) = Un ->• и в L2{0.T[ F), постоянная с не зависит от п.

Тогда существуют tp(t) Е clК, г} Е 1/2(0, Т; Е), т.акие. что if n (р, дп $ в L2(0,T; F), w = г + д.

Соотношение (1.4) применимо в ситуации, когда / и д являются решениями уравнения (1.2), удовлетворяющими однородным условиям о

Неймана. Благодаря условию Дирихле для имеем f — д EW откуда можно заключить, что / = д. Однако в том случае, когда условие Неймана наложено и на г?, этот аргумент уже не применим. Разрешимость квазистационарной задачи для такого случая была доказана Шетцле ([32]) другим методом. Он установил справедливость следующей теоремы.

Теорема 1.2. Пусть $ ф Vt С M.d, d < 3, - открытая связная область с границей класса С'1,1. Ф(£) = (t2 — I)2, 0 < с < 1. Для Т > 0. / £ £2(0,Т: L2(Q)) и wq £ L2(Q) существу t^n решение г) £ I/2(0, Т; L2(0), £ L°°(0,T; W'1'1 (О)), квазистационарных уравнений фазового поля dt(fl ■+ip) — & = f в VI х (0,Т)

1.5) 0 на <90 х (0,Г)

1.6) г? + ^)(0) = «;о

1.7)

2£А<р + -Ф'((р) =йПх (0,Т)

1.8) дпср = 0 на dVl х (0, Г).

1.9)

Кроме того, если

Ge(v) = J HV?/|2 + + \rf]dx, (1.10) п то для данного //. > 0 сущест,вуют решения, удовлетворяющие неравенству

Gr((p(t)) - / w(t)ip(t)dx < inf G£(rj) - / wrjdx + //., (1.11)

J vew^-цп) J n о

2(9e к; = t) + y?, и условию типа Ляпунова t.

0£Ш)~ J w№t)dx + ± J \w(t)\2dx + J J |V^|2 < n Q oh t mf (ЗД) - j wovdx +l-j\w0\2dx + j j /0 (1.12) h h о h для почти каждого t £ [0,Т].

Для доказательства компактности Шетцле исследовал уравнение (1.8). Его решение не единственно, а дифференциальный оператор не имеет непрерывного обратного, поскольку член Ф' не монотонный, и. следовательно, функционал свободной энергии Гинзбурга-Ландау b не является выпуклым. На самом деле уравнение (1.8) имеет бесконечно много решений ([20],[23]), однако Канариусом и Шетцле в [19] было доказано, что Fe имеет конечное множество абсолютных минимумов. На основании этого факта Шетцле в [32] доказал компактность ср и существование решений. Кроме того, он показал, что решения удовлетворяющие (1.11) и (1.12), сходятся4при е -л 0, /1 О к пределам, которые после нормализации являются решениями задачи Стефана с условием Гиббса-Томсона. В этом случае компактность р) доказывается при помощи теоремы о компактности Лукхауса ([26]). а закон Гиббса-Томсона устанавливается по схеме, предложенной Лук-хаусом и Модикой в [27], и по теореме Решетняка ([30]).

Вопрос о существовании решений квазистационарных уравнений фазового поля с общими граничными условиями остается открытым. Более сложной задачей является доказательство разрешимости краевых задач для квазистационарной модели фазового поля с многомерным параметром порядка, когда ср = (срi,. ,(рп) является вектор-функцией и эллиптическое уравнение второго порядка для ср превращаемся в систему эллиптических уравнений. Методы, использованные в работах [101,[32], в данном случае не работают. В [10] применение теоремы 1.1 к уравнениям (1.1)-(1.2) основано на теореме единственности Кальдеро-на для решений задачи Коши для эллиптического уравнения. Анализ показывает, что редукция проблемы компактности решений уравнений (1.1)-(1.3) к проблеме единственности решения задачи Коши возможна лишь в скалярном случае. Кроме того, в работе [10] доказательство компактности множества приближенных решений задачи (1.1)-(1.3) основано на том, что первая собственная функция эллиптического оператора второго порядка является положительной, что неверно для системы уравнений. Цель настоящего исследования заключается в разработке нового подхода к проблеме компактности. Он основан на том, что задача (1.1)-(1.3) допускает двойственную формулировку. Существует соответствие между решениями уравнений (1.1)-(1.3), удовлетворяющими принцип}' минимума производства энтропии, и градиентным потоком маргинальной фукции для функционала энтропии.

1. Дж.Варга, Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, М.,Наука, 1977.

2. В.А.Ильин, Спектральная теория дифференциальных операторов, М., Наука, 1991.

3. Ф.Кларк, Оптимизация и негладкий анализ, М., Наука, 1988.

4. Э.Камке, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М.,Наука, 1971.

5. Е.Ф.Мигценко, Н.Х.Розов, Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания, М.,Наука, 197-5.

6. О.А.Ладыженская и др., Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, М.,Наука, 1967.

7. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Статистическая физика, т.5, М.,Наука, 1976.

8. К.Морен, Методы гильбертова пространства, М.,Мир, 1965.

9. Ж.П.Обен,И.Экланд, Прикладной нелинейный анализ, М., Мир, 1988.

10. П.И.Плотников, В.Н.Старовойтов, Задача Стефана с поверхностным натяжением на границе раздела фаз, Дифференциальные уравнения 29 (1993), 395-404.

11. П.И.Плотников, А.В.Клепачева, Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций, Сибирский математический журнал 42, №3 (2001), 651-669.

12. В.И.Смирнов, Курс высшей математики, t.V, М.Наука, 1959.

13. С.Л.Соболев, Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Н., Изд-во СО АН СССР, 1962.

14. Е.Янке и др. Специальные функции формулы, графики, таблицы, М., Наука, 1968.

15. Binder К., Collective diffusion, nucleation, and spinodal decomposition in polymer mixtures, J.Chem.Phys. 79 (1983), pp.6387-6409.

16. Caginalp G., An analysis of a phase field modelof a free boundary. Arch.Rat.Mech.Anal. 92 (1986), pp.205-245.

17. Caginalp G., Stefan and Hele-Shaw type models as asymptotic limits of the phase field equations, Phys.Rev. A39 (1989), pp.5887-5896.

18. Calm J.W, Hilliard J.E., Free energy of a nonuniform system, I.Interfacial free energy, J.Chem.Phys. 28 (1958), pp.258-267.

19. T.Canarius, R.Schatzle, Finiteness and positivity results for global minimizers of a semilinear elliptic problem, J.Differential Equations 148 (1998), pp.212-229.

20. T.Canarius, R.Schatzle, Multiple solutions for a semilinear elliptic problem, Nonlinear Analysis TMA, 1999, to appear.

21. A.Friedman, The Stefan problem in several space variables, Trans.Amer.Math.Soc. 133 (1968), pp.51-87.

22. Gunton J.D., Kinetics of first-order phase transitions, in: Ausloos M, Elliott R.J. (Eds): Magnetic Phase Transitions, Solid-State Sciences 48, Springer-Verlag, Berlin 1983.

23. M.Gurtin,H.Matano, On the structure of equilibrium phase transitions within the gradient theory of fluids, Quart.Appl.Math. XLVI, No.21988), pp.301-317.

24. Hohenberg P.C., Halperin B.I., Theory of dynamic critical phenomena, Rev.Mod.Phys. 49 (1977), pp.435-479.

25. S.Luckhaus, Solutions of the two-phase Stefan problem with the Gibbs-Thomson law for the melting temperature, Euro. J Appl. Math.l (1990), pp.101-111.

26. S.Luckhaus, The Stefan problem with Gibbs-Thomson Law. in "Sezione di Annalisi Matematica e Probabilita", Vol.2.75, No.591 (1991), Universita di Pisa.

27. S.Luckhaus, L.Modica, The Gibbs-Thomson relation within the gradient theory of phase transitions, Arch.Rational Mech.Anal. 1071989), pp.71-83.

28. Nose Т., Kinetics of phase separation in polymer mixtures. Phase transitions 8 (1987), pp.245-260.

29. P.I.Plotnikov, Phase field models and gradient flow of entropy, Free Boundary Problems, Theory and Applications,I, Mathematical Sciences and Applications, Volume 13 (2000), pp.266-281.

30. Y.G.Reshetnyak, Weak convergence of completely additive vector functions on a set, Siberian Math. J. 9 (1968), pp.1039-104-5.

31. R.Schatzle, An approximation of the Stefan problem with Gibbs-Thomson law by using functionals of the Landau-Ginsburg theory as free energy, Sonderforschungsbereich 256. Preprint 339 (1994) Bonn

32. R.Schatzle, The quasistationary phase field equations with Neumann Boundary Conditions, Differential Equations 162 (2000), pp.473-503.

33. J.Simon, Compact Sets in the space Lp(0, T; Б), Annali cli Matematica pura ed applicata. CXLVI (1987), pp.65-96.34j A.visintin, Models of phase transitions, Birkhauser Verlag (1996), Boston.

34. A.Visintin, Surface tension effects in phase tram dons, in "Materials Instabilities in Continuum Mechanics" (J.Ball,Ed.), Clarendon Press, Oxford, 1988, pp.507-537.

35. А.В.Клепачева, Квазистационарная модель фазового поля как градиентный поток энтропии, Динамика сплошной среды 118 (2001), 10с. (принята к печати).