Применение метода линейных определяющих уравнений к диффузионным моделям тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Применение линейных определяющих уравнений для построения дифференциальных связей эволюционных уравнений диффузия - конвекция

1.1 Постановка задачи

1.2 Аначиз линейного определяющего ,уравнения

1.3 Построение решений уравнений, диффузия - конвекция с помощью дифференциальных связей

1.4 Инвариантные решения одной диффузионной модели

2 Инвариантные многообразия систем уравнений реакция -диффузия

2.1 Предварительные замечания

2.2 Построение линейных определяющих уравнений для двухкомпо-нентной системы эволюционных уравнений второго порядка

2.3 Поиск инвариантных многообразий систем уравнений реакция -диффузия с помощью линейных определяющих уравнений

2.4 Построение решений систем уравнений реакция - диффузия, обладающих инвариантными многообразиями

3 Дифференциальные подстановки для систем уравнений реакция - диффузия

3.1 Постановка задачи и предварительные обсуждения

3.2 Описание систем уравнений реакция - диффузия, допускающих дифференциальные подстановки

3.2.1 Дифференциальные подстановки первого порядка

3.2.2 Дифференциальные подстановки второго порядка

3.3 Построение точных решений систем уравнений реакция - диффузия, обладающих дифференциальными подстановками

Современный групповой анализ дифференциальных уравнений [1, 15] является необходимым этапом в исследовании математических моделей и представляет собой мощную технику для эффективного нахождения точных решений исследуемых моделей. Построение точных решений всегда представляет значительный интерес. Во-первых, потому что каждому точному решению, как правило, соответствует реальный процесс в исследуемой системе. Во -вторых, точные решения могут быть использованы при тестировании численных алгоритмов и программ, предназначенных для расчета соответствующих моделей.

В последние десятилетия был предложен ряд обобщений основных инструментов классического группового анализа. В работе [2] описан неклассический метод, который тесно связан с методом дифференциальных связей [3]. В этом подходе к исходному дифференциальному уравнению

Щх,и.и1,и2,.) = 0, (0.1) где х = (х\,х-2,. .,#„), ик = я—и я—, добавляется условие инвариантной поверхности

ЕА'/(.с.«)</,,. +N(x.u) = 0. (0.2) i

Требуя инвариантности системы, состоящей из уравнений (0.1), (0.2), относительно точечных преобразований

- ./•; { <Х;{.Г.К) -]■ ()><-) и* „ - ( Л (./•. // ) -г ()[Г). или, эквивалентно

Х:} — Xj, и* = и e(N(х, и) + Хг(х, //)</.,.) + 0(с2), получаем переопределенную систему нелинейных определяющих уравнений. Необходимо отметить, что решение такой системы может представлять значительные трудности.

Прямой метод [4], не использующий теорию групп преобразований, заключается в поиске решений дифференциального уравнения (0.1) с помощью представления

После подстановки (0.3) в уравнение (0.1) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение на функцию w(z). Однако, все решения, получаемые с помощью данного подхода, могут быть выделены и неклассическим методом (см. [5]).

Согласно [6], функция и, и1, и2,.) называется обобщенной условной симметрией уравнения (0.1), если она удовлетворяет нелинейному определяющему уравнению и =

A(t,x, ic{z)), z = z{t,x).

0.3)

T(a)Q + F\u,a) |fi=0 = 0, F(i/,0) = 0, где здесь Da = D®1. D^ и DXj - полная производная по Х{. Решение нелинейных определяющих уравнении в методе обобщенных условных симметрии может представлять существенные трудности.

Для систем дифференциальных уравнений О.В. Капцовым [39, 17, 7] был предложен метод ^-определяющих уравнений, которые обобщают классические определяющие уравнения. Для (0.1), Б-определяющее уравнение имеет вид

Г(<7)П + В<7|п=о = 0, (0.4) здесь В может зависеть от -и1,. и определяется в ходе решения (0.4). Соотношение метода В-определяющих уравнений с другими неклассическими методами изучено в [8].

Наконец, в работе [12], О.В. Капцов предложил метод линейных определяющих уравнений (в дальнейшем ЛОУ). ЛОУ содержат лишь произвольные параметры, поэтому решать такие уравнения проще, чем В-определяющие уравнения, содержащие некоторые функции.

Настоящая работа посвящена применению современного неклассического метода ЛОУ к нелинейным диффузионным моделям, которые имеют широкие приложения. При выполнении расчетов использовалась система символьных вычислений Maple.

В первой главе диссертационной работы рассмотрено нелинейное диффузионное уравнение щ = (иких + ит)х. (0.5)

Первый параграф содержит замечания вводного характера. Второй параграф посвящен построению дифференциальных связей эволюционного уравнения (0.5) с помощью метода ЛОУ. Показано, что набор решений ЛОУ шире, по сравнению с классическими определяющими уравнениями. Результат поиска дифференциальных связей сформулирован в виде Теоремы 1. Построение решений ряда нелинейных диффузионных уравнений (0.5), обладающих найденными дифференциальными связями, проведено в третьем параграфе первой главы.

Вторая глава данной работы посвящена построению дифференциальных связей двухкомпонентных систем уравнений типа реакция - диффузия щ = {ики'их)х + г>), (0.6) vt = d1(umvnvx)x + f2(u,v). (0.7)

Замечания вводного характера приведены в первом параграфе. Во втором параграфе построены ЛОУ для двухкомпонентной системы эволюционных уравнений второго порядка. Далее, с помощью построенных ЛОУ, ищутся дифференциальные связи систем (0.6), (0.7). Результаты поиска представлены в третьем параграфе второй главы. Наконец, используя найденные дифференциальные связи, в четвертом параграфе проводится построение решений соответствующих систем уравнений реакция - диффузия (0.6), (0.7).

Третья глава диссертационной работы посвящена решению задачи о редукции двухкомпонентной системы уравнений реакция - диффузия щ = (К[и.г)иг)г ; 1-'[и. /'). (0.8) vt = {P{u,v)vx)x + G(u,v) (0.9) к одному уравнению с помощью дифференциальных подстановок [38]. В первом параграфе проводятся некоторые предварительные обсуждения и доказывается Лемма 1, в которой утверждается, что системы

0.8), (0.9) допускают дифференциальные подстановки не выше второго порядка. Описание всех систем (0.8), (0.9), обладающих дифференциальными подстановками, проведено во втором параграфе. Результат сформулирован в виде Теоремы 2. В третьем параграфе приведены примеры построения точных решений для систем (0.8), (0.9), обладающих дифференциальными подстановками. Выделен класс систем, допускающих редукцию к линейному уравнению теплопроводности, а также к линеаризуемым [15, 13] уравнениям

Vi = v2vxx, vt = v~2vxx.

Основные результаты диссертации.

С помощью метода ЛОУ проведено построение дифференциальных связей порядков 1, 2, 3, 4 для эволюционного уравнения диффузия -конвекция со степенными нелинейностями. Доказано, что на исследуемом классе дифференциальных уравнений, набор решений ЛОУ шире, чем у классических определяющих уравнений. На основе полученных результатов построен ряд решений уравнений диффузия - конвекция, обладающих дифференциальными связями.

Построены ЛОУ для двухкомпонентной системы эволюционных уравнений. Используя построенные ЛОУ, проведено описание систем нелинейных уравнений типа реакция - диффузия, обладающих дифференциальными связями 1, 2, 3 порядков. Найдены некоторые точные решения ряда таких систем.

Решена задача о редукции двухкомпонентной системы нелинейных уравнений типа реакция - диффузия к одному уравнению с помощью дифференциальных подстановок. Приведены примеры построения точных решений систем, обладающих редукциями.

Результаты диссертации опубликованы в работах [42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 54].

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Олегу Викторовичу Капцову за ценные советы и постоянное внимание к работе.

Автор благодарит Валерия Ивановича Быкова за стимулирование интереса к моделям химической кинетики и внимание к работе.

Работа выполнена в рамках Интеграционного проекта фундаментальных исследований СО РАН №2000-1, при финансовой поддержке РФФИ (код 01-01-00850), Красноярского краевого фонда науки (проект № 9F25) и ассоциации «Компак» (г. Красноярск).

1. Овсянников J1.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. Москва: Наука. 1978.

2. Bluman G.W., Cole J.D. The General Similarity Solution of the Heat Equation. //J. Math. Mech. 1969. Vol. 18. P. 1025-1042.

3. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука. 1984.

4. Clarkson P.A. Kruskal M.D. New Similarity Reductions of the Boussinesq Equation. // .J. Math. Phys. 1989. Vol. 30. P. 2201-2213.

5. Levi D., Winterwnit.z P. Nonclassical Symmetry Reductions: Example of the Boussinesq Equation. // J. Phys. A: Math. Gen. 1989. Vol. 22. P. 2915-2924.

6. Fokas A.S., Liu Q.M. Generalized Conditional Symmetries and Exact Solutions of Nonintegrable Equations. // Theor. Math. Phys. 1994. Vol. 99. P. 263-277.

7. Kaptsov О. V. B-Determining Equations: Applications to Nonlinear Partial Differential Equations. // Euro. J. of Appl. Math. 1995. Vol. 6. P. 265-286.

8. Goard J. The Relationship between Kaptsov's B-determining Equations and Other Nonclassical Methods. // School of Math, and Appl. Stat., Univ. of Wollongong. Australia. 1999. Preprint 2.

9. Калашников А.С. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка. // Успехи математических наук. 1987. Т. 42. Вып. 2(2-54). С. 135— 176.

10. Полубаринова-Кочипа П.Я. Теория движения грунтовых вод. Москва: Наука. 1977.

11. Капцов О.В. Линейные определяющие уравнения для дифференциальных связей. // Математический сборник. 1998. Т. 189. №12. С. 103-118.

12. Meirmanov A.M., Pukhnachov V.V., Shmarev S.T. Evolution Equations and Lagrangian Coordinates. New York: Walter de Gruvter. 1997.

13. Свинолупов С.И. Эволюционные уравнения второго порядка, обладающие симметриями. // Успехи математических наук. 1985. Т. 40. Вып. 5(245). С. 263-264.

14. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. Москва: Наука. 1983.

15. Гурса Э. Курс математического анализа. Москва: ГТТИ. Т. 3. Ч. 2. 1933.

16. Андреев В.К. Катков О.В. Пухначев В.В. Родионов А. А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука. 1994.

17. Fabre J., Line A. Modelling of two-phase slug flow. // Annual Rev. Fluid Mech. 1992. 24. 21.

18. Moissis R., Griffith P. Entrance effects in a two-phase slug flow. // J. Heat Transfer. 1962. 84. 29.

19. Bernicot M.F., Drouffe J.M. Slug length distributions in diphasic transportation systems. // Proc. 4th Int. Conf. Multi-Phase Flow. 1989. Nice. France. P. 485-493.

20. Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных стрзлстур. Москва: Наука. 1996.

21. Ахромеева Т.С. Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. Москва: Наука. 1992.

22. Васильев В.А. Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. Москва: Наука. 1987.

23. Зыков B.C. Моделирование волновых процессов в возбудимых средах. Москва: Наука. 1984.

24. Кринский В.И., Михайлов А. С. Автоволны. Москва: Знание. 1984.

25. Галактионов В.А., Курдюмов С.П. Самарский А.А. Об одной параболической системе квазилинейных уравнений. I // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. № 12. С. 2123-2140.

26. Марри Д. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. Москва: Мир. 1982.

27. Фомин С.В., Беркинблит М.В. Математические проблемы в биологии. Москва: Наука. 1973.

28. Полак Л.С., Михайлов А.С. Процессы самоорганизации в физико-химических системах. Москва: Наука, 1983.

29. Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания. Москва: Наука. 1974.

30. Дородницын В.А. Об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с источником. // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1982. Т. 22. №6. С. 1393-1400.

31. Рудых Г.А., Семенов Э.И. О новых точных решениях одномерного уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком). // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. №6. С. 971-977.

32. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Точные неотрицательные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии. // Сиб. матем. журн. 1998. Т. 39. №5. С. 1131-1140.

33. Рудых. Г.А., Семенов Э.И. Неавтомодельные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии. // Мат. заметки. 2000. Т. 67. №2. С. 250-256.

34. Данилов Ю.А. Теоретико-групповые свойства математических моделей в биологии. // Математическая биология развития. / Под ред. Зотина А.И. Москва: Наука. 1982. С. 5-15.

35. Михайлов А.В., Шабат А.Б. Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем. // Успехи математических наук. 1987. Т. 42. Вып. 4(256). С. 3-53.

36. Mikhailov A.V., Shabat А.В., Sokolov V.V. The Symmetry Approach to Classification of Integrable Equations // What Is Integrabilitv? / Editted by Zakharov V.E. Berlin: Springer-Verlag. 1991. P. 115-183.

37. Капцов O.B. Построение точных решений систем диффузионных уравнений. // Математическое моделирование. 1995. Т. 7. №3. С. 107-115.

38. Капцов О.В. Нелинейные диффузионные уравнения и инвариантные многообразия. // Математическое моделирование. 1992. Т. 4. №8. С. 31-46.

39. Белотелое Н.В., Лобанов А.И. Популяционные модели с нелинейной диффузией. // Математическое моделирование. 1997. Т. 9. №12.

40. Kaptsov O.V. Determining equations in diffusion problems. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2000. Vol. 15. .№2. P. 163-166.

41. Шмидт А.В. Точные решения систем уравнений типа реакция-диффузия. // Вычислительные технологии. 1998. Т. 3. №4. С. 87-94.

42. Шмидт А.В. Точные решения систем уравнений типа "реакция-диффузия". // Тезисы международной конференции "Симметрия в естествознании" .Красноярск: ИВМ СО РАН. 23-29 августа 1998.

43. Шмидт А.В. Дифференциальные связи одного класса нелинейных параболических уравнений. // В сб. Труды семинара "Математическое моделирование в механике" под рук-вом проф. В.К. Андреева. Красноярск: ИВМ СО РАН. 1999. С. 190-196.

44. Шмидт А.В. Дифференциальные связи одного класса нелинейных диффузионных уравнений с конвективным членом. // Вычислительные технологии. 2000. Т.о. № 4. С. 111-123.

45. Шмидт А.В. О дифференциальных связях одного класса систем "реакция диффузия". // Труды международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск: ИВМ СО РАН. 21-25 августа 2000.

46. Шмидт А.В. Построение дифференциальных связей для одного класса систем реакция диффузия. // Труды конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН. 25-26 декабря 2000. Новосибирск: ИВТ СО РАН. Т. 2. С. 180-182.9.5

47. Шмидт А. В. Инвариантные многообразия одного класса систем реакция диффузия. // Труды международной конференции "Математические модели и методы их исследования". 16-21 августа 2001. Красноярск: ИВМ СО РАН. Т. 2. С. 290-294.

48. Шмидт, А.В. Применение линейных определяющих уравнений для построения дифференциальных связей систем реакция диффузия. Препринт ИВМ СО РАН № 4-01. Красноярск. 2001.

49. Зельдович Я.В., Франк-Каменецкий Д.А. // ДАН. 1938. Т. 19. № 4. С. 693-698.

50. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия" и теплопередача в химической кинетике. Москва: Наука. 1980.

51. Merzhanov A.G., Khaikin B.I. // Progr. Energy Combust. Sci. 1988. Vol. 14. P. 1-98.

52. Быков В.И., Шмидт А.В. Точные нестационарные решения простейшей модели распространения цепного пламени. // Доклады РАН. 2000. Т. 375. №2. С. 188 190.