Построение точных решений уравнений гидродинамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На превах рукописи

КАПЦОВ Олег Викторович

УДК 517.958

ПОСТРОЕНИЕ ТОЧНЫХ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИИ ГИДРОДИНАМИКИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1993

Работа выполнена в ВЦ СО РАН, г.Красноярск

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических каук,

профессор Н.Х.Ибрагимов, доктор физико-математических наук, профессор В.М.Тешуков, доктор физико-математических наук С.В.Мелешко.

ВЕЩУШАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Институт щгчладной математик!!

им.М.В.Келдыша, г.Москва.

Защита состоится "¿¿/" е/Ь? 19^года в А" часов на

с

заседании Специализированного Совета Д063.98.02 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, Ново«..лрск-90, ул.Пирогова,2. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан " /ШдпУО 19_£? года

Ученый секретарь Специализированного Совета доктор физико-математических наук,

профессор ^-В.Кажихов

э

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность темы. Нахождению точных решений нелинейных уравнений с частными производными посвящена обширная литература. Широко известии такие метода интегрирования как групповой анализ дифференциальных уравнений, метод обратной задачи рассеяния, метод дифференциальных связей и другйе. Новые проблемы современных прикладных наук порождают огромное число новых математических моделей для исследования которых нужно знать как можно больше конкретных решения. Большой теоретический и практический интерес вызывает noi зк новых решений классических уравнений математической физики. С другой стороны, развитие численных методов решения слокшх нелинейных систем уравнений приводит к необходимости иметь достаточно богатый набор тестов.

В частности, весьма актуальны исследования, направленные на получение точных решений классических уравнений гидродинамики. Такие.работы позволяют продемонстрировать возможности новых методов и представляют несомненный теоретический интерес.

Настоящая работа выполнялась по программам СО РАН и приоритетным программам РАН, в рамках следующих тем:

Численное моделирование трансформации поверхностных волн и их взаимодействия с препятствиям:! (номер госрегистрации 0187.0 054086).

Математическое моделирование волновых движений однородной и стратифицированной жидкостей, в том числе динамики гравитационных волн в замкнутых и открытых водоемах; воздействия волн на берега,

закрепленные и плавающие объекты. Математическое моделирование гидротермических процессов (номер госрегистрации 01.9.20 015430).

Цель работы. Разработать методы, позволя! ие получать точные решения и находить различные редукции нелинейных уравнений с частными производными. Построить новые решения уравнений идеальной несжимаемой жидкости, уравнений газовой динамики и нелинейных диффузионных уравнений.

Общая ыетодака исследования. Использованы некоторые конструкции группового анализа дифференциальных уравнений, общие метода теории переопределенных сист \ -уравнений с частными производными.

При анализе качествеиных свойств решений применялся математический аппарат теории нелинейных колебаний, использовались простейшие результаты дифференциальной топологии.

Научная новизна.

Разработан новый метод выделения классов решений нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными. На этой основе построены точные решения двумерных и трехмерных уравнений Эйлера, получены нетривиальные решения новых типов нелинейных волновых уравнений.

Изучены все случаи обобщенного разделения переменных для нелинейного уравнения Пуассона. Найдены разделения переменных для нелинейного уравнения Грэда-Шафранова и уравнения Лонга. Эти результаты позволили существенно расширить множество точных решений стационарных уравнений идеальной несжимаемой жидкости.

Введено понятие инвариантного многообразия системы эволюционных уравнений с частными производными, которое обобщает

понятие инвариантного множества системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Получены точные решения нелинейных диффузионных уравнений и найден ряд редукций многомерного уравнения теплопроводности с источником.

Теоретическая и практическая ценность. Реализованный в работе подход дает возможность находить новые классы решений уравнений с частными производными. Это позволяет получать ноЕые результаты как для классических моделей (уравнения газовой динамики, уравнения гидродинамики и физики плазмы), так и для недавно возникших.

Построенные решения описывают различные типы плоских и осесимметричных структур в жидкости и плазме, а также доставляют примеры веи^отрогшческих трансзвуковых течений идеального газа.

Найденные решения, представляющие самостоятельный интерес, могут быть использованы в качестве тестов для численных расчетов (такие расчеты производились рядом авторов),и при проведении лабораторных наблюдений.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на: -Всесоюзной школе-семинаре по аналитическим методам в газовой динамике (1Э85, Фрунзе);

-теоретическом семинаре Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН (руководитель - академик Л.В.Овсянников, 1989, 1990, 1992, Новосибирск);

-Всесоюзной школе молодых ученых по теоретическим и прикладным проблемам вычислительной математики и математической физики (1987, Одесса);

-Всесоюзной конференции "Математический анализ и его приложения в механике" (1989, Москва);

-международной научной школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" (1989, Иркутск);

-международном симпозиуме "Генерация кру: юмасштабных структур в сплошных средах" (1990, Пермь-Москва);

-Восьмой школе по качественной теории дифференциальных уравнений (1992, Красноярск);

-международном коллоквиуме Ли-Лобачевского (1992, Эстония, Тарту);

-семинаре МГУ ил.М.В.Ломоносова "Групповой анализ уравнений математической физики" (руководител- - профессор II.Х.Ибрагимов, 1993, Москва);

-семинаре Института прикладной математики им. М.В.Келдшна РАН (руководитель-член-корреспондент РАН С.П.Нурдюмов, 1993, Москва).

Личный вклад и публикации. Все результаты получены лично автором и .опубликовали в [1-9].

Структура и объеы диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, списка литературы и двух приложений. Текст разбит на II параграфов. Работа содержит 23 рисунка. Список литературы включает 122 наименования. Общий объем диссертации - 211 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Весь материал разбит на четыре главы. В первой' главе изучаются инвариантные многообразия систем эволюционных уравнений с произвольным числом независимых переменных. Определение инвариантного многообразия дано в первом параграфе. Оно является естественным обобщением инвариантных соотношений, введенных

Т.Леви-Чивита и У.Амальди для обыкновенных дифференциальных уравнений. Понятие инвариантного многообразия и системы дифференциальных связей, совместной с исходными уравнениями, близки* но не совпадают.

В этом же параграфе рассматривается эволюционная система с двумя независимыми переменными

и^ = F{(t,z,u'. (I)

где ( = I.....п, и, = Предполагается, что инвариантное

дх3

многообразие системы (I) может быть представлено в виде, разрешенном относительно старших производных по х:

= .....и"1.....и,*,...) , (2)

где I = I,...,т.

К переопределенной системе (1),(2) присоединяются начальные данные

и1 а ,х„) = с, (3)

га{ а' О' 1п{ ■

где С. ей, 0 < П, < Я,.

II

Предполагается, что правые части уравнений (1),(2) являются достаточно гладкими функциями,- для определенности класса

Теорема I. Если уравнения (2) задают инвариантное многообразие системы (I), то в некоторой окрестности точки

(¿0,х0) « Р3 существует единственное гладкое решение системы (1),(2) с начальными данными (3).

В процессе доказательства получаются лстемы, описывающие поведение решений в х- и направлениях. Эти системы являются -аналогом "^-представления" (или "7-представления") в методе конечнозонного интегрирования. Однако, для нахождения этих систем 1г-А пара не нужна.

В полной мере обобщить теорему I на случай многих независимых переменных затруднительно, поскольку, в настоящее время фактически нет достаточно общих теорем, нрс -.в теоремы Коши-Ковалевской, гарантирующих существование решений с частными производными. Тем не менее, используя теорию Рикъе , можно доказать некоторое утвервдения, относящиеся к уравнениям более чем с дйумя независимыми переменными. Одно из них приводится в работе.

В начале второго параграфа находятся все уравнения ьида " + к^и)их +

обладающие инвариантными многообразиями

• и*3 " + Р(Ч). ' <Б>

здесь - функции подлежащие определению. О помощью теоре-

мы I получены точные решения соответствующих систем (4),(5). Далее рассматриваются уравнения более общего вида

= (Й(ц)ив) + и).

Ставится задача о выделении среди них таких уравнений, которые обладают инвариантными многообразиями

= + Р(и>-

Последующий анализ показывает, что, задавая произвольным образом функции . ц, можно восстановить фушсции »Р. отвечающие

поставленной задаче.

Многомерное нелинейное уравнение теплопроводности с источником рассмотрено в третьем параграфе. В частности, ставится задача классификации уравнений

(б)

« = ). (7)

Очевидно, уравнение (7) обладает инвариантным многообразием Г У + л

Ц _ с -&(1 _ с)]ц . о, (8)

у 1 у + аг > *

где а?,а^.г^с - произвольные константы. Теорема.-Уравнение

я 4 и„у + еиШ|и|,- (9)

и. = U + и + f(u),

t ас» уу

v

обладающих инвариантными множествами вида

|Е| = I

является единственным нелинейным уравнением вида (6), которое обладает инвариантными множествайи (7), не совпадающими с (8).

Эта теорема позволяет строить различные редукции для уравнения (9).

Здесь же рассмотрено трехмерное нелинейное уравнение теплопроводности с источником. Доказан соответствующий аналог вышеприведенной теоремы.

Полученные результаты позволяют сделать ?ывод о том, что задача нахождения инвариантных многообразий может упроститься, если число независимых переменных у дифференциального уравнения будет больше двух.

Существующий опыт показывает, что успех в поиске инвариантных многообразий и дифференциальных связей в значительной степени зависит от интуиции исследователя и удачи. С другой стороны, теоретико-групповой подход позволяет строить специальные редукции дифференциальных уравнений и находить решения довольно эффективно. В связи с этим естественно пытаться обобщать структуры группового анализа. Одна из таких попыток представлена в данной работе. Основные опредения и необходимые вспомогательные результаты даны во второй главе.

Пусть Е - система дифференциальных уравнений с т неизвестными функциями и1,...,иш

.....Хп, ит,...,и*,...) = о ,

(Ю)

где I = Iд = (^.....д ) - мультииндекс,

191 *

ъ д ? /

и = —_—---. Каждые т функций Л,,... ,кт, зависящие от

ч <г, ад

х0,...,хп,и1....,ит,..•■•, задают формальный оператор

ад® ад*

О п

Я*

1 + 2

(здесь I>= О ..£> п, В - оператор полного дифференцирования по .г ) хо хп 1

и многообразие

П = ... = П = 0 . (II)

Г Т71

Для того, чтобы переопределенная система (10), (II) имела решения нужно, чтобы выполнялись некоторые условия совместностй. Предлагается вместо условий совместности использовать специальные дифференциальные уравнения для функций Определение. Уравнения вида

И*,(Р) + = 0 (12)

ЧЮ

на функции 1г1(1 = I, — ,т), называются В-определяющими уравнениями системы (10). Здесь через [Е] обозначены все дифференциальные следствия системы Е; Р = (Р ,.„.,Р ), В - некоторая матрица порядка и, зависящая от х0,... п, и1,ит.

В том случае, когда матрица В нулевая, уравнения (12)

совпадают с классическими определяющими уравнениями, составляющими одну из основ, группового анализа дифференциальных уравнений. Если элементами матрицы В являются некоторая заданные функции, то множество решений В-опре делящих уравнений образует векторное пространство.

Если система Е является системой эволюционных уравнений

^ = 01^,х1,...,хп,ит.....и*,...) , (13)

1°1 к

где Цд = —^—, то вместо уравнений (12) допустимо исполь-

1 п

зевать уравнения

2>4(7г{; + 1*(Ю

= О . (14)

т

Здесь Ь1 может зависать от 1 ...,хп,и',... ,ит,... ...,

о

Ь......Ь. ,...,£ 1.. .Б ""(Ъ?),... произвольным образом, лишь бы

1 !

выполнялись условия

ъ1(Ю

= о , (15)

Ш1

где И = { ?г{=0 : 1 € I $ т ). Очевидно, в этом случае многообразие Н инвариантно относительно системы (13). Уравнения (14), удовлетворяющие условиям (15), будем называть Ъ - определяющими уравнениями.

В первом параграфе второй главы доказываются вспомогательные утверждения, которые говорят о том, что при выполнении некоторых требований решения Ь - определяющие уравнения приводят к уравнениям, заведомо совместным с исходной системой Е . При этом предоолает-ся, что система Е имеет эволюционный вид. В конце параграфа приводится схема применения 1-й В - определяющих уравнений . Данная схема позволяет получать редуцированные системы и находить решения дифференциальных уравнений.

Во втором параграфе обсуждаются конкретные примеры использования В ~ определяющих уравнений или ВОУ. Сначала рассматривается нелк -нейное уравнение Пуассона '

+ V = Ли) • ■ (16)

ВОУ имеет вид

02П+Я2?г-(/ +Ъ)П = 0, (17)

х V и

где ¿'д.Су - полные производные по х и у соответственно, функция Ъ зависит от х,у,и. Предполагается, что. Ь имеет квазилинейный вид

7х = а1 -и + а2 -и + оЗ .

х у '

где а1,а2,аЗ - функции от х,у,и. Доказывается следующая

Теорема. Пусть правая часть уравнения (16) удовлетворяет

условию • * 0. Тогда ВОУ (17) имеет, 'при Ь * О, нетривиальное решение только тогда, когда функция / равна (

С-{и + сг) .+ С3(и + С2)1п(и + аг),

где С{ - произвольные константы.

Далее рассматриваются нелинейные волновые уравнения

= /(и) . (18)

Предполагается, что функция Ъ, входящая в ВОУ

" У и + Ь)П ' <1Э>

зависит от .

I х

Доказана

Леша. ВОУ (19.) обладает решением вида П = + g(u)u^ только тогда, когда правая часть уравнения (II) задается одной из формул

& и + кги-1пи ,

&5елр(и) + кгехр(-2и),

Plaint + k2(shu-arctg(exp +■ ch ,

где к;, & - произвольные константа.

Заметим, что с точки зрения групп Ли-Беклунда выделяются только те ' уравнения (18), правая ' часть которых имеет вид (20) с нулевой константой кг, а также уравнение utx = azp(u) + ехр(~2и). Решения ВОУ используются для того, чтобы найти обобщенное

разделение переменных для уравнений (18) с правыми частями (20). В

«

результате удается построить периодические и 2-х солитонше" решения этих уравнений.

Третий параграф данной главы посвящен решению ВОУ для двумерных нестационарных уравнений газовой динамики. Доказана следующая Лемма I. функции

h, = u + al, = v + aZ, < y .г y

h- =p+a3, ft.=p+ ai

3 > 4 fy

являются решениями ВОУ для система' двумерных нестационарных уравнений газовой динамики

ut + ииг + vuy + pjp = О,

и, + uu + tw + р /р = О,

t я - S/ ' у

Pt + (, Ох + _(Р»>„ = О,

7 ' Pt + "Р® + % + TP(Ur + V = 0'

если

al = аЗ = о4 = 0, а2 = -- ,

Ф - t

где функция ф(и,£,s) - произвольное решение уравнения

(pv 4- = О, а а = p/p"1, 5 = in - у.

Здесь использованы стандартные обозначения для скорости, плотности, давления и показателя политропы 7.

Таким образом, множество решений ВОУ уже не является конечномерным пространством, как в случае точных групп Ли .

В случае трехмерных уравнений газовой динамики имеет место соответствующий аналог леммы I.

В 4l :вертом параграфе найденные решения ВОУ применяются для построения различных новых редукций и нахождения точных решений газодинамических уравнений. В частности, найдено решение, которое можно интепретировать как трансзвуковое двумерное мизантропическое течение газа; проинтегрирована система пяти обыкновенных диффереш тальных уравнений, полученная в результате редукции из трехмерных стационарных уравнений.

Третья глава посвящена обобщенному разделению переменных. Сначала рассматриь тся уравнение для функции тока

+ V " ш<®>- • <21>

описывающее двумерное стационарное движение идеальной жидкости.

Будем говорить, что решение уравнения (21) подучено с помощыи нетривиального обобщенного разделения переменных, если это решение имеет вид

Ф = a{f(x) + g(t/))

где a,/,g - некоторые функции, причем ни одна из функций f,g. не является многочленом ниже третьей степени. Основным результатом данного параграфа является

Теорема. Уравнение (21) допускает нетривиальное обобщенное разделение переменных только тогда, когда его правая часть задается одной из формул (20).

Главная трудность в доказательстве теоремы заключается в получении дифференциальных уравнений, которым должны подчиняться функции / и g.

Во втором параграфе производится качественный анализ решений, получаемых с помощью обобщенного разделения переменных, а также построение соответствующих картин линий тока. При этом предполагается, что константа й , стоящая в правой части уравнения отлична от нуля. К числу решений, полученных с помощью обобщенного разделения переменных, относятся : периодические по х и у вихревые течения, движения между двумя параллельными стенками , течение между цилиндрами и ряд других. С помощью теоремы Арнольда несложно доказать устойчивость некоторых решений.

В следу, дем параграфе описывается ряд структур, возникающих в пространственных стационарных течениях идеальной жидкости при наличии осевой симметрии. С этой целью исследуются решения

\

уравнения для функции тока

О +® - -4-Ф » ггйт. + Р(Ф). ' (22)

ее гг Г г

В физике плазмы это уравнение принято называть уравнением Грэда-Шафранова.

Н сожалению, с помощью групповой классификации уравнения (22) не удается обнаружить достаточно интересных структур. С другой стороны, можно показать, что В - определяющее уравнение для

фгг + ~ -р^г = ВФгп.|Ф|". (23)

А.ВеН

обладает нетривиальным решением. Необходимо отметить, что существование этого решения ВОУ связано с тем, что уравнение (23) допускает разделение переменных. Именно с помощью разделения переменных удается обнаружить ряд интересных вихревых образований. К ним относятся: (а) экспоненциально затухающий вихрь, экранированный двумя стенками, (б) некий невязкий аналог тороидальных роликовых вихрей Тейлора, (в) периодическая "петлевая дорожка" VI ряд других течений. Кроме того, получен ряд магнитных структур в плазме типа "спаренных вихрей", списываемых с помощью уравнения Лонга. Кратко рассматривается плоское стационарное движение стратифицированной жидкости, анализируются некоторые вихревые образования в неоднородной жидкости.

В заключительном параграфе этой' главы рассматриваются стацио н арные уравнени я осесимметричного движения идеального политропного газа. С помощью р-деления переменных задача

нахождения решений этих уравнений сводится к интегрированию системы четырех обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта система обладает тремя первыми интегралами и поддается качественному исследованию. Найденные решения газодинамических уравнений описывают трансзвуковые и сверхзвуковые ней энтропи-ческие течения идеального газа.

В последней главе продолжено изучение точных решений двумерных стационарных уравнений Эйлера. Все представленные решения выражаются через элементарные и эллиптические функции- Они получаются с помощью обобщенного разделения переменных и комплексного преобразования Бэклунда.

Так для нахождения решений уравнений

Ф + ® = еэШ, хх vv

Ф + Ф = ваШ,

хх уу '

|£| = I

используется мультипликативные разделения переменных Ф = 4 arctg(f(x)g(.y)),

t

Ф = 4arcth(f(x)s{y))

при этом функции f,g выражаются через эллиптические функции Якоби или вырождаются в элементарные функции. Некоторые найденные решения имеют простую гидродинамическую интерпретацию. К ним, в частности, относятся: источник (сток) в завихренной жидкости, движение в прямоугольном цилиндре, соударение двух "струй", периодическое течение над ровным дном.

Кроме того, во втором параграфе найдены решения уравнения, выражающиеся через элементарные функции, которые получаются с помощью разделения переменных

Ф = 21п

шиху * я(и)

2

Зто разделение переменных было найдено при доказательства теоремы третьей главы.

В последнем параграфе кратко рассматривается уравнение

ДФ » 6едр(-2<2) - ехр2, .

Показано, что при малых Ь оно имеет решение периодическое по х и у. Это решение порождает дважды периодическую вихревую структуру. В заключении приводится. еще одно решение этого уравнения, выражающееся через элементарные функции.

В приложениях I и 2 представлены простейшие программы в системе БЕШСЕ, позволяющие получать полные выра&зния (с приведением подобных членов) В-определяющих уравнений для уравнений газовой динамики и нелинейного уравнения Пуассона.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты: I. Разработан мах.д выделения классов решений нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными. Основой метода являются Ь - и В - определяющие уравнения, введенные в данной работе. Эти у; эвнения обобщают классические определяющие уравнения, служащие для нахождения допускаемых иифинитезшалышх

операторов Ли и Ли-Беклунда. Способ отыскания решений I - и В -определяли: уравнений близок к известному алгоритму ранения определяющих уравнений.

Решения 1-й В"- определяющих уравяепй служат для построения переопределенных систем дифференциальных уравнений. В _ j60Te, при некоторых дополнительных ограничениях, доказана локальная разрешимость соответствующих переопределенных систем. Эти результаты позволили выдвинуть об!Дую конструкцию построения точных решений уравнений с частными производными. Перспективность данного метода подтверждается решением ряда конкретных дифференциальных уравнений . 1

2. Доказана классификационная лемма о решениях определяющих уравнений для нелинейных волновых уравнений или НВУ. Применение предложенной схемы построения репений позволяет получать нетривиальные решения новых типов НВУ. Найдены новые типы НВУ, обобщающие известное уравнение "sin - Гордон" и уравнение Буллофэ-Додда-Жибера-Шабата. Кроме того, найдено ксвое разделение переменных для уравнения "sh - Гордон".

3. Показано, что существует функциональный произвол в решениях В - определяй®« уравнений для системы двумерных нестационарных уравнений газовой динамики. Найдены неизэнтропичеекие решения двумерных и трехмерных уравнений газовой динамики. Полученные решения описывают трасзвуковне и сверхзвуковые стационарные течения б плоском и осесимметричном случаях.

А. Доказана зорема о том, что существует только пять типов двумерных нелинейных уравнений Пуассона, допускающих обобщенное разделение переменных. Данная теорема позволила построить новые .

классы двумерных стационарных решений уравнений гидродинамики. Топологический анализ этих решений выделил различные плоские вихревые образования в идеальной несжимаемой кидкости. Часть найденных решений удается выразить через элементарные и эллиптические функции. Богатый набор решений получен с помощью комплексного преобразования Беклунда.

5. Построены решения нелинейного уравнения Грэда-Шафранова. Проведена групповая классификация этого уравнения. Найден ряд тороидальных вихревых структур в пространственных стационарных течениях идеальной кидкости при наличии осевой симметрии. Получены некоторые вихревые структуры в стратифицированной жидкости и плазме.

6. Введено понятие инвариантных многообразий эволюционных уравнений с частными производными. Оно является естественным обобщен», л инвариантных множеств систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Использование инвариантных многообразий позволило получить точные решения нелинейных диффузионных уравнений типа Колмогорова-ПетроЕского-Пискунова и построить редукции многомерного уравнения теплопроводности с

• нелинейк а источником.

ПУБЛИГ 501 ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Купцов о.в. Некоторые классц плоских, вихревых течений идеальной жидкости// ГОТО, 1989. вып.1, с .109-117.

2. Капцов О.В. Эллиптические реиеы.г; стационарных уравнений

Эйлера // Докл.' АН СССР. 1988. т.298, JS3. С.597-600.

3. Капцов О.В. Новые решения двумерных стационарных уравнений Эйлера// ПММ. 1990. т.54, вып.З. с.409-415.

4. Капцов О.В. Стационарные вихревые структуры в идеальной жидкости // ЖЭТФ. 1990. Т.98. ш.2(8), с.532-541.

5. Капцов О.В. Точные решения уравнений осесимметричного течения идеального газа // Динамика сплошной среда. Математическое моделирование. Новосибирск.1989. вып. 91. с.37-47.

6. Капцов О.В. Нелинейные диффузионные уравнения и инвариантные многообразия // Математическое моделирование. 1992. т.4. £3. . с.31-46.

7. Kaptsov O.V. Stationary Vortioal Struotures In Invisoid Pluid // Abstracts of international symposium "Generation of Large-Soale Struoturee in Continuous Media".- Perm-Moeoow, 1990.-p. 129. .

8. Kaptsov O.V, Invariant Sets of Evolution Equations //Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applioaticne, vol.19, №8, 1992. pp. 753-761.

9. Kaptsov O.V. Invariant Manifolds of Honlinear Parabolic Equations // Adavanoee in Modelling Analysis, A, AMSE Prase, vol.14, J63, 1993, pp.53-63-