Симметричный подход в граничных задачах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

Г I У !...!.

На правах рукописи

2 2 ДПР Ш)

ХАБИБУЛЛИН ИСМАГИЛ ТАЛГАТОВИЧ

о

СИММЕТРИИНЫИ ПОДХОД В ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧАХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург -1996

Работа выполнена в Институте математики с ВЦ Уфимского Научного Центра Российской Академии Наук.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.Б.Борисов; доктор физико-математических наук, профессор А.К.Погребков; чл.-корр. РАН, профессор А.М.Ильин. Ведущая организация: Институт теоретической физики

им. Л.Д.Ландау РАН.

Защита состоится 15 мая 1996 г. в 14 часов на заседании Диссертационного совета Д 002.07.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте математики и механики Уральского Отделения РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ГСП-384, ул. С.Ковалевской. 16.

• С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики Уральского Отделения РАН.

Автореферат разослан " " 1996 года.

Ученый секретарь Диссертационного совета

к.ф.-м.н. М.И.Гусев

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Открытие метода обратной задачи рассеяния оказало чрезвычайно плодотворное влияние аа развитие теории нелинейных уравнений математической физики. Оно стимулировало приток свежих идей, в смежные области математики, такие как теория функций, спектральная теория, групповой анализ дифференциальных уравнений и др Приложения метода и в собственно математической физике охватывают весьма широкий спектр проблем, включающий отыскание явных частных решений нелинейных моделей и анализ их "общего" решения . По степени эффективности при исследовании задачи Коши МОЗР в известном смысле сравним с методом Фурье в линейных задачах.

Иначе обстоит дело с начально-краевыми задачами. Граничные условия для интегрируемых уравнений не могут быть произвольными, если стремиться сохранить свойство полной интегрируемости полученной краевой задачи. Попытки исследования классов подходящих граничных условий предпринимались достаточно давно, однако лишь в последнее время появился реальный прогресс в описании таких условий в конечном зиле пли терминах данных рассеяния. Важный результат для задачи па отрезке был получен в работе Е.К.Склянина, сформулировавшего концепцию "интегрируемого граничного условия" и нашедшего первые нетривиальные примеры "интегрируемых" задач па отрезке. Здесь интегрируемость означает наличие бесконечного числа коммутирующих интегралов движения. Смешанная задача на полуоси для нелинейного уравнения Шрединге-ра с линейным однородным граничным условием в случае произвольных начальных условий (включая солитонный сектор) была явно проинтегрирована при помощи метода обратной задачи рассеяния В.О.Тарасовым и А.С.Фокасом. Конечиозонные решения задачи на отрезке и полуоси с ип-

тегрируемыми граничными условиями для НУШ и sine-Gordon уравнения впервые предъявлены А.Р.Итсом и Р.Ф.Бикбаевым.

В серии работ А.Б.Борисова, В.В.Киселева и Г.Г.Талуца и Д.Kayna исследована математическая модель вихря в двумерном магнетике представляющая собой эллиптическую краевую задачу с краевым условием совместимым с МОЗР.

В связи с этими примерами возникла потребность аксиоматического определения интегрируемого граничного условия, разработка эффективного формального критерия интегрируемости и полного описания классов таких граничных условий.

Целью данной работы является изучение связи между симметри-ями и граничными условиями; классификация интегрируемых граничных условий; развитие аналитического механизма^^«грирования начально-краевой задачи для интегрируемых уравнений.

Методика исследования. Задачи, рассмотренные в диссертации решаются на основе использования результатов солитониой теории и теории групп преобразований Ли-Беклунда. Основными понятиями являются высшие симметрии, дифференциальные связи, преобразование Бекл.унда.

Автором диссертации получены следующие результаты, которые выносятся на защиту:

1) На основе симметрийного подхода разработан эффективный способ проверки совместимости граничною условия с интегрируемостью. В качестве приложений симметрийного теста перечислены интегрируемые граничные условия для уравнений Бюргерса, Кортевега-де Фриза, Гарри Дима, sine-Gordon, Жибера-Шабата-МихаМлова, мпотополевых интегрируемых аналогов уравнений Бюргерса и Шредингера.

2) Для нелинейных цепочек Вольтерра и Тоды получено описание широкого класса конечномерных редукций, сохраняющих интегрируемость.

Исследована связь конечномерных редукций этих цепочек с трансценден-тами Пенлеве.

3) Найдена связь между граничными условиями, совместимыми со свойством полной интегрируемости уравнения, его точечными симметриями и преобразованием Беклунда. Показано, что решение соответствующей начально-краевой задачи является "неподвижной точкой" композиции преобразования Беклунда и симметрии типа отражения. На основе этого наблюдения проанализировано взаимодействие солитонов уравнения Иши-мори с интегрируемым граничным условием.

4) Построен устойчивый рекуррентный алгоритм решения задачи Ри-мана о факторизации матричных функций, основанный на итерациях преобразования Беклунда.

Основные результаты диссертации являются новыми. Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на семинарах: отделов дифференциальных уравнений и математической физики Института математики Уфимского научного центра РАН, кафедры дифференциальных уравнений Башкирского университета, Уральского филиала Международного института нелинейных исследований.

Отдельные результаты работы были доложены на конференциях и семинарах:

-IV Международная конференция "Нелинейные и турбулентные процессы в физике" (Киев, 1989);

-VI Международная конференция "Нелинейные уравнения и динамические системы" (Дубна, 1990);

-VIII Международная конференция "Нелинейные уравнения и динамические системы" (Дубна, 1992);

-Международная конференция "Нелинейное уравнение Шредингера: достижения, проблемы, перспективы" (Москва, 1994);

-Международная конференция "Симметриии в нелинейной математической физике" (Киев. 1995);

а также на семинарах теоретического отдела Института ядерной физики Сибирского отделения РАН (Новосибирск), отдела функционального анализа Института математики АН "Украины (Киев), отдела квантовой теории поля Института математики им. В.А.Стеклова РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-17]. л .

Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Текст разбит на 19 параграфов, а крупные парагра^ фы разделены на пункты. Общий объем работы составляет 239 страниц, библиография содержит 129 наименований.

2 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, кратко изложено содержание работы по главам и параграфам, сформулированы основные результаты.

Обсуждение интегрируемых начально-краевых задач открывает первую главу диссертации. В заметке [1] диссертанта (см. также работу [2]) была обнаружена тесная связь между граничными условиями, совместимыми со свойством интегрируемости уравнения, его точечными симме-триями и преобразованием Беклунда. Было показано, что смешанная задача на полуоси для уравнения эволюционного типа с произвольным начальным условием и с краевым условием взятым из списка Скляиина может быть в принципе решена эффективно путем сведения при помощи преобразования Беклунда к задаче Коши на всей оси, к которой уже применим МОЗР. Этот подход к интегрируемым граничным условиям воз-

ник на основе переосмысления формул "примесного" подхода Склянина-Тарасова и оказался технически более удобным. Идея сведения начально-краевой задачи к задаче Коши на всей оси посредством преобразования Беклунда нашла затем свое приложение к конкретным смешанным задачам для нелинейного уравнения Шредингера, уравнения sine-Gordon и уравнения Жибера-Шабата-Михайлова в работах В.О.Тарасова, Р.Ф.Бикбаева, Р.А.Шарипова, Р.И.Ямилова и в работах диссертанта [3], [4], [16].

Напомним, что уравнение в частных производных вида

Щ = ...ип), (1)

где U = u(x,t) - вообще говоря, векторнозначная функция и щ — дги/дхг, допускает преобразование Беклунда вида

р(й, и, щ, щ, ...йк, ик) = 0, ^

• ' щ = q(u,u,uuu1,...v,hui),

если для любого решения и(ху t) уравнения (1) переопределенная система (2) совместна и его решение й(х, t) также удовлетворяет уравнению (1). Фактически дифференциальная связь (2) определяет некоторое отображение, действующее в классе решений исходного уравнения (1). Предположим теперь, что исходное уравнение (1) не изменяет своего вида при следующей замене переменной и(х, t)' —> h(u(—x, t)), а его преобразование Беклунда инвариантно относительно преобразования вида й{х, t) —> h(u(—x,t)),u(x,t) —> h~l(u(—x,t)),raeh = h(u) некоторая гладкая обратимая функция, a /i-1 обратная к ней. Рассмотрим решения уравнения (1), являющиеся неподвижными "точками" последнего преобразования, т.е. решения, удовлетворяющие уравнению й(х, t) = h(u(—x, t)). Ясно, что при X = 0 первое соотношение в преобразовании Беклунда (2)

переходит в некоторое локальное граничное условие

p(/^x),u./l„ubub...,"ufc)|.r=:() = 0, (3)

совместимое с интегрируемостью уравнения (1). Здесь h.u(u) - матрица Якоби отображения, переводящего и в h(u).

Начально-краевую задачу на полуоси с граничным условием вида (3), в принципе, можно свести к задаче Коши на всей оси пользуясь следующим алгоритмом. Пусть при t = 0, X > 0 задано гладкое начальное условие

и(а:.0) = -и„(а:), (4)

согласованное в точке X = 0 с краевым условием (3). Восстановим функцию й(х, 0) при X < 0 из условия редукции й(.т, 0) = h(u( — X, ())). Затем продолжим начальную функцию 'п(х, 0)- на отрицательную полуось в

4

силу обыкновенного дифференциального уравнения

р(й,иЛ1,щ, ...йк,ик) = 0, х < 0 (5)

Предположим, что уравнение (5) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию и(х, 0) —> 'tio(O), при х —' 0 (условие непрерывности в нуле) и пусть это решение определено на всей отрицательной полуоси х < 0. Тогда мы имеем начальное условие U(х, 0) = щ(х), продолженное навею действительную ось. Решение u(x,t) задачи Коши на всей оси для уравнения (1) с начальным условием щ(х) безусловно будет удовлетворять начально-краевой задаче (1), (3), (4). Это следует из того, что условие й(х, t) = h(u(—X, ¿)), и соотношение (2) совместимы с уравнением (1).

В качестве приложений этой идеи в диссертации исследованы примеры начально-краевых задач для нелинейного уравнения Шредингера, уравнения sine-Gordon и уравнения Ишимори.

Для нелинейного уравнения Шредингера рассматривается следующая начально-краевая задача:

гут = ухх — 2к\у\2у, х > О, (С)

ух{0,т) = ст(0,г), г £ Я, (7)

у(х, 0) = Уо(х), х > 0. (8)

В работе доказано теорема.

Теорема 1.1. Для любого быстроубывающего начального условия 'Уо(ж). согласованного в нуле с краевым условием (7) решение задачи на полуоси (6)-(8) является при к = —1 сужением на полуось решения задачи Ко-ши для (6) с быстроубывающим начальным условием, полученным из (Б) продолжением в силу некоторого обыкновенного дифференциального уравнения. При этом данные рассеяния удовлетворяют инволюции вида

¿■21(A) =.?21(-Л)^, Vij=VlkT

(9)

Теорема была доказана в работе диссертанта [3] (январь, 1991). где связь параметров Aq, С предъявлена в неявной форме 2Ад = Апалогич-

ный результат был получен почти одновременно (июнь, 1991) в работе работе Бикбаева и Тарасова, где авторы доказали, что 2Aq = ( — 1)Л_1С.

Теорема такого же сорта доказывается и для уравнения sine-Gordon Чц — ■Uxx + Sin,U = 0. Проблема граничных условий для этого уравнения является привлекательной с точки зрения приложений в физике (моделирование Джозефсоновских контактов, задачи квантовой теории поля) и к ней мы возвращаемся во второй главе диссертации.

Из формул (9) видно, что локальным граничным условиям соответствуют некоторые дополнительные инволюции, накладываемые на данные

рассеяния. Инволюции задаются посредством конформного преобразования плоскости спектрального параметра и некоторого автоморфизма (антиавтоморфизма) группы матриц. Обобщим такую инволюцию добавлением к автоморфизму еще и операции сопряжения рациональной по Л матричной функцией. Полученные инволюции также порождают локальные граничные условия. Проблема описания инволюций, а следовательно, и соответствующих граничных условий обсуждается в третьем параграфе.

Метод обратной задачи с успехом используется и в задачах более высокой чем дваразмерности. Наиболее известными объектами здесь являются уравнения Кадомцева-Петвиашвили и Деви-Стюартсона - обобщения уравнений Кортевега-де Фриза и нелинейного уравнения Шредингера, имеющие многочисленные приложения в естествознании. В работе рассматривается 1-1-2-мерное обобщение уравнения Гайзенберга, найденное Иши-мори. Метод построения граничных условий, совместимых с МОЗР в многомерном случае апробируется именно на этом примере. Предъявлено несколько экземпляров граничных условий для уравнения Ишимори, получающихся сопряжением преобразования Беклунда симметриями типа отражения. Показано, что они действительно совместны с методом обратной задачи, найдены инволюции данных рассеяния, отвечающие этим граничным условиям. Подробно обсуждается взаимодействие солитонов уравнения с границей.

В начальной стадии развития теории преследовались такие цели как поиск новых примеров интегрируемых граничных условий либо аналитическое описание решения соответствующей начально-краевой задачи. Но по мере накопления фактического материала назрел естественный вопрос о полной классификации граничных условий, совместимых с: методом обратной задачи. Результаты многолетней успешной работы А.Б.Шабата. А.В.Жибера. Н.Х.Ибрагимова, С.И.Свинолупова, В.В.Соколова, Р.И.Ями-

лова, В.А.Магадеева и А.В.Михайлова по классификации интегрируемых уравнений позволяют заключить, что требование наличия высших симметрии абсолютно адекватно формализует такое свойство нелинейного уравнения^ как интегрируемость по методу обратной задачи рассеяния. Это обстоятельство сыграло решающую роль при разработке в .работах автора [8], [9] следующего симметрийного теста на интегрируемость для граничной задачи.

Итак, пусть задано интегрируемое уравнение эволюционного типа

щ = ¡(и,и!,и2, ..., ип), (10)

где и = и[х, искомая функция, а нижний индекс обозначает порядок частной производной по X: = Соотношение вида

р{и,иииг,...,ик)\х=о = 0, (11)

наложенное в точке х = 0 будем называть граничным условием в точке X = 0. Мы здесь "ограничиваемся автономными граничными условиями, т.е. не содержащими явной зависимости от времени, хотя в принципе.пред-яагаемый ниже тест вполне годится и в более общем неавтономном случае. Примеры неавтономных граничных условий для цепочки Тоды рассмотрены в третьей главе. Задачу (10)-(11) будем называть граничной задачей. Граничную задачу (10)-(11) (иногда просто граничное условие (11)) будем называть совместимой с симметрией уравнения (10)

ит = д(и,ии...,ит), (12)

если для достаточно широкого класса начальных данных уравнения (10) и (12) имеют совместное решение, удовлетворяющее граничному условию

(11). Строго говоря, мы имеем в виду следующее. Продифференцировав соотношение (11) по переменной т, получим соотношение

(щ)г = о. (13)

где производные по Т следует заменить в силу уравнения (12). Граничная задача (10)-( 11) совместима с симметрией (12), если соотношение (13) выполняется тождественно в силу (11) и его дифференциальных следствии, получающихся при дифференцировании по переменной t в силу самого уравнения (10). Отметим, что поскольку соотношение (11) имеет место лишь в фиксированной точке X = 0, то его нельзя дифференцировать пи переменной х.

Для поиска граничных условий, совместимых с симметриями, удобно выбрать новый набор динамических переменных, состоящий из вектора V = [и, щ, 42, и его производных по уи, ■■■ ■ Ясно, что про-

изводные и высокого порядка по переменной-ж, т.е. и,- для г > 'п. а также уже их производные по /, можно выразить через новые динамические переменные в силу уравнения (10). Здесь п. порядок уравнения (10). Поэтому как симметрию (12), так и граничное условие (11) можно переписать в терминах новых динамических переменных

ут = С {у,урли, ...уп..Л) (14)

и

ду дк1и,

Следующее утверждение является прямым следствием перехода к новым динамическим переменным и играет ключевую роль при исследовании граничных условий. Фактически оно служит удобным и эффективным критерием совместимости граничного условия с симметрией.

Теорема 2.1. Для того, чтобы граничная задача (10)-(11) была совместима с симметрией (12) необходимо и достаточно, чтобы дифференциальная связь (15) была согласована с динамикой по т в силу системы уравнений (14), т.е. чтобы выполнялось соотношение

дт>

7^ = 0, [то(1 р = 0). (16)

от

Следует отметить, что переход к новому набору динамических переменных является нелинейным преобразованием, вообще говоря, имеющим особенности. Действительно, если граничное условие таково, что выполнено тождество 5//9ггд.-|(ц) = 0, то невозможно привести (11) к виду (15). Такие вырожденные граничные условия исследуются отдельно.

Граничное условие (11) будем называть совместимым со свойством интегрируемости уравнения (10), если задача (10)-(11) совместима с симме-триями уравнения (10) сколь угодно высокого порядка.

Отметим, что все известные ранее граничные условия, совместимые с методом обратной задачи рассеяния удовлетворяют предлагаемому сим-метрийному тесту. Граничные условия, полученные при помощи преобразования Беклунда заведомо проходят тест. Сложнее обстоит дело с обратным утверждением. Очевидно, что представить граничное условие в виде (3) означает фактически погрузить его в схему МОЗР. На основе симме-трийного подхода были получены новые примеры граничных условий. Некоторые из них (например, для цепочек Тоды и Вольтерра) удалось представить в форме (3), для других (случаи уравнений КдФ, МКдФ, Гарри Дима, Жибера-Шабата-Михайлова) проблема погружения в схему МОЗР остается нерешенной. В этих случаях можно лишь утверждать, что соответствующие граничные задачи допускают ' счетно-параметрические семейства конечнозонных решений.

В линейной теории интегрируемость краевых задач принято связывать скорее со свойствами классической группы, чем с алгеброй высших симметрий. Напомним, что дифференциальные связи - основной ингредиент симметрийного теста на интегрируемость граничного условия, широко используется в математической физике для построения решений уравнений в частных производных. '

Центральное место в главе II занимают теоремы 2.2 и 2.3, где формулируются некие общие свойства дифференциальных связей, совместных с высшими симметриями. В первой утверждается, что связь, совместная хотя бы с одной высшей симметрией, при определенных условиях, совместна также с некоторой бесконечной серией симметрий. В другой предпринимается попытка охарактеризовать пробную симметрию, т.е. симметрию наименьшего порядка, с которой совместны все интегрируемые граничные условия. При некотором дополнительном условии, пробную симметрию можно указать явно.

Далее, в качестве приложений излагаемой теории, рассматриваются конкретные уравнения, такие как уравнение Бюргерса, Кортевега-де Фриза, модифицированное уравнение КдФ, Гарри Дима, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение sine-Gordon, уравнение Жибера-Шабата-Михайлова, многополевые обобщения уравнений Бюргерса и нелинейного уравнения Шредингера. Начнем с широко известного и хорошо изученного уравнения нелинейной теплопроводности - уравнения Бюргерса

Щ = ихх +2иих. (17)

. Для этого уравнения задача об описании интегрируемых граничных условий решается полностью. Ответ дается в следующей теореме. Теорема2.4 Если граничное условиер(и, Ui)Jx=q = 0 совместимо хотя бы с одной симметрией уравнения Бюргерса (17), то оно имеет вид с(и\ +

■и2)+С1 и + Сз = 0 и совместимо с любой однородной симметрией четного порядка, а также с любой линейной комбинацией таких симметрий.

Из теоремы 2.4 ясно, что для описания класса граничных условий для уравнения (17), совместимых хотя бы с одной из высших симметрий достаточно перечислить дифференциальные связи, допускаемые например, однородной симметрией четвертого порядка, которую можно рассматривать как пробную симметрию.

В качестве следующего примера мы рассмотрим известное уравнение Гарри Дима

иг+и3щ = 0, (18)

отличительная особенность которого состоит в том, что оно имеет непостоянную сепаранту (коэффициент при старшей производной). Рассмотрим задачу о построении граничных-условий вида

р(и,щ,и2) — 0, (19)

совместимых с уравнением Гарри Дима. Для этой цели перепишем сначала иерархию высших симметрий уравнения (18) в терминах соответствующих динамических переменных: и, V = их, V) = ихх, Щ, ги4, ... . Заметим, что преобразование, переводящее стандартный набор динамических переменны^ И, их, ихх, иххх, ... в новый не является регулярным - оно имеет особенность, точнее особую поверхность, задаваемую уравнением И г О, поскольку в основе этого преобразования лежит формула

Щ = -щ/и3-

Поэтому граничное условие и = 0|х=о требует дополнительного рассмотрения. Можно проверить, что как само уравнение (18) так и вся иерархия

его однородных высших симметрий вида иТ{ = Д1+1,их, г > 2 допускает нечетную редукцию X —► —ж, и —» —и, ^ —* Здесь .К оператор рекурсии этой иерархии

Д = и3£>3м£>-г ДГ (20)

и2

Следовательно, граничное условие 0) = 0 согласовано с высшими симметриями.

Остановимся более подробно на граничных условиях, отличных от и = 0, т.е. допускающих переход к нестандартному динамическому набору. Нетрудно доказать, что симметрии пятого и седьмого порядков не совместимы ни с каким граничным условием в силу того, что после перехода к виду (14) они имеют вырожденные главные части. Простейшая из симметрий, для которой матрица, составленная из старших производных невырожден-на это симметрия девятого порядка: ит = +... .В результате весьма громоздких и трудоемких вычислений получаем следующий результат. Теорема 2.7. Граничное условие

ъ

. с и

их = си 1^0 , ихх = —. (21)

совместимо со всеми высшими симметриями уравнения Гарри Дима вида ит = Ь{Е?)П(. где Ь произвольный полином со скалярными постоянными коэффициентами.

Уравнение Кортевега-де Фриза

^ = + бг^и . (22)

не обладает четностью по X. Тем не менее оно-допускает граничные усло-

- У -. '

вия, удовлетворяющие симметрийному тесту.на интегрируемость:

и

(г, ж = 0) = а, , ж = 0) = -За:2. • (23)

Этот факт был обнаружен в [9] и опроверг первоначально сложившееся мнение, что интегрируемые граничные условия присущи только уравнениям, допускающим симметрию типа отражения.

Поиск граничных условий более высокого порядка, совместимых с пробной симметрией непосредственно по определению становится-затруднительно. Однако воспользовавшись преобразованием Беклунда, по найденному интегрируемому граничному условию можно построить новые граничные условия. С целью упрощения формул мы перейдем от стандартного вида (22) уравнения КдФ к потенциированному, т.е. полученному введением потенциала й так, что йх = U,

щ = йххх + 3й2х. (24)

При этом переменные (и, v,w) пересчитываются по формулам V = и, W = v, Wx = Щ — 3Ъ>2 = W. Так, что граничное условие найденное выше приобретает вид V — а, Щ — 0 или интегрируя последнее, находим йх\х=0 — <*, й|1=0 = const.

Уравнение КдФ (24) допускает преобразование Беклунда (ниже мы опускаем черту над буквой) задаваемое уравнением

их + и'х = с-2(и- и')2 (25)

где и и v! два решения уравнения (24). Допустим, что решение и' удовлетворяет в точке X = 0 граничному условию

tt'jxso = 0, lt'|I=0 = const. (26)

Найдем граничное условие, которому удовлетворяет решение и из формулы (25). Запишем (25) и его дифференциальное по X следствие в следующем

виде (подставив (26)):

V = с — 2 (и — С1)2,

и> + го'=—4(и — сх)у, (27)

гид. + го^. = — 4-г/2 — 4(и — С1)(гг/ — гу').

Заменяя теперь 11) х = Щ — Зг>2, т'х — и[ — З?/2 = 0 и исключая 11)[ находим

щ + и2 + 8(и - С1)(ихх + 2(и - с)их)\х=0 = 0. их-с + 2{и - С!)2|х=0 = 0,

Аналогичным образом, подействовав преобразованием Беклунда можно пересчитать граничное условие (26) и т.д., при этом порядки производных, входящих в граничные условия будут возрастать.

Близкое к (22) модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза

Щ = иххх + 6и2их ■ (29)

допускает граничное условие вида

и{г, х = о) = о, их{г, х = о) = о, (зо)

совместимое с интегрируемостью.

Преобразование Миуры и = —Ух — V , связывающее решения уравнений КдФ (22) и МКдФ (29) позволяет пересчитать граничное условие и = и2 = 0 в граничное условие для уравнения МКдФ

Ух + = 0, ^^

^г + 2уу2 — 4г»4|х_о = 0.

Как известно, уравнение МКдФ (29) допускает преобразование Беклунда следующего вида

ух - у'х = (-у + у')г, г2 =с +(у - у')2.. , . (32) 17

Здесь и и и' два решения уравнения МКдФ. Действуя преобразованием (32) на граничные условия (30) и (31) можно получить новые граничные условия. В силу того, что преобразование (32) совместимо со всей иерархией симметрий МКдФ, полученные граничные условия также будут совместимы с бесконечным набором симметрий. Например, полагая, что в (32) решение V1 = г>'(ж,£) удовлетворяет условиям (30) нетрудно убедиться, что второе решение V = г»(а;, удовлетворяет условиям

ух - уу/с + у2\х=0 = 0,

VI ~ (2 у2 -су- 4г>3|х=о) = 0.

Нетрудно видеть, что при с = 0 из граничного условия (33) следует (31).

Резюмируя приведенные выше факты об уравнениях КдФ и МКдФ можно сформулировать следующие утверждения Следствие 2.11. ¿) Уравнения КдФ и МКдФ имеют счетно-параметрические семейства конечнозонных решений, удовлетворяющих на оси X = 0 условию Дирихле и = а и и,— 0, соответственно.

и) Уравнение МКдФ имеет счетно-параметрическое семейство конечнозонных решений, удовлетворяющих на оси х = 0 условию Неймана их = 0; • .

ш) Для любого с € С уравнение МКдФ имеет счетно-параметрическое семейство конечнозонных решений, удовлетворяющих на оси ж = 0 гра-

ничному условию вида их = Мус + и2.

¿у) Для любых с, С\ Е Д потенциированное уравнение КдФ (24) допускает счетно-параметрическое семейство конечнозонных решений, удовлетворяющих на оси х = 0 граничному условию вида = с — 2{и — с^)2 или вида и = с.

Для построения этих решений достаточно воспользоваться высшими симметриями уравнений КдФ и МКдФ, совместимыми с граничными усло-

виями (23), (30) и (33), соответственно. Стационарные решения высших уравнений (т.е. конечнозонные решения) при подходящем выборе постоянных интегрирования дают решения граничной задачи. Для sine-Gordon уравнения

utt — ихх + sin и — 0, (34)

ищется класс граничных условий вида

а{и,их)\х=0 = 0' (35)

совместимых с пробной симметрией. Пробная симметрия выбирается из следующих соображений: во-первых она должна быть как можно меньшего порядка, во-вторых, удовлетворять некоторому априорному требованию невырожденности матрицы коэффициентов при старших производных (симметрии с вырожденной матрицей вообще не могут допускать никаких связей). В рассматриваемом случае пробная симметрия имеет вид

ит = Utft + иу2 - и^г, - и*/2 + аип + Ьщ,

Теорема. Граничные условия для sine-Gordon уравнения

■u|x_o = const

и

их - С\ cos(w/2) - с2 sin(w./2)|I-o = 0,

совместимы с пробной симметрией (36) при а = —Ь.

По теореме 2.2 граничные условия (37), (38) совместимы с бесконечным числом симметрий.

Граничное условие (38) было найдено в таком виде в работе А.Б.За-молодчикова, а различные частные случаи, соответствующие — 0 и

(36)

■ (37) (38)

С\ — 0, - ранее Е.К.Скляниным и Тарасовым, соответственно. Проблема вложения начально-краевой задачи с граничным условием (37) либо с граничным условием (38) в схему МОЗР остается пока нерешенной. Кета-ти, эти два граничных условия очень тесно связаны одно с другим: условие (38) получается из (37) одеванием при помощи преобразования Беклунда. С точки зрения симметрийного анализа уравнение

ихх ~ Щг = ехр(п) + ехр(—2-й) (39)

выделено тем, что его высшие симметрии имеют порядок не ниже пятого. Впервые это уравнение появилось в начале века в связи с исследованиями по теории поверхностей постоянной кривизны в работе Цицейки. Наличие высших симметрий уравнения (39), было установлено А.В.Жибером и А.Б.Шабатом. Будем искать граничные условия вида

а[и, их) = 0, ' (40)

совместимые с высшими симметриями уравнения (39), выбрав в качестве пробной следующую симметрию

Щ = + 5- - щиу + и| - итчт-

5{ит] Г]Щщ — иг)иЩ т? — — и®

(41)

В результате довольно больших вычислений по поиску связей совместимых с этой системой найдено два примера:

Теорема 2.14. Граничное условие (40), совместимое с пробной симметрией (41) с необходимостью совпадает с одним из следующих равенств

их + Ъе~и|1=0 = 0, их + аеи12 ± е~и\х=0 = 0, (42)

где а и Ь произвольные числа и совместимо с бесконечной серией симметрии уравнения (39).

Прокомментируем приведенные выше факты. Наиболее хорошо изученное линей ное однородное краевое условие для нелинейного уравнения Шре-дингера совместимо с "половиной" высших симметрий, т.е. с подпространством, натянутым на множество всех однородных симметрий четных порядков. Граничные условия, найденные выше для уравнений КдФ, МКдФ й ненулевое для уравнения Гарри Дима совместны лишь с "третью" множества всех симметрий, т.е. с более узким классом. В настоящий момент не ясно, достаточно ли этого для совместимости с методом обратной задачи рассеяния. Что касается Двух последних граничных условий для sine-Gordon уравнения, то они совместны в точности с тем же классом симметрий, что и граничное условие, найденное Е.К.Скляниным и которые, как известно вкладываются в схему МОЗР. *

В двух последних разделах этой главы обсуждаются результаты по интегрируемым граничным условиям для многополевым интегрируемых уравнений, ассоциированных с левосимметрическИми алгебрами й тройными Йордановыми системами, полученные в нашей совместной работе с С.И.Свинолуповым.

В третьей главе диссертации исследуются обрывы нелинейных интегрируемых цепочек

= /fe+Ь Qj, 9з-0' < 3 < (43)

сохраняющие интегрируемость. На бесконечномерную систему (43) накладываются граничные условия вида

Чм — F{qM+1) • • • ite+m), qn = G(gjv-1, • ■ •,QN-n), м < N (44)

сводящие ее к конечномерной системе. Мы требуем, чтобы граничные условия (44) были совместны с интегрируемостью при любом выборе пара-

метров М < N (при фиксированных ш, п). Таким образом, граничные условия на левом и правом концах предполагаются независимыми друг от друга, так что фактически мы работаем с полубесконечной цепочкой.

Под совместимостью граничного условия со свойством интегрируемости понимается, в духе симметрийного подхода, его согласованность с потоками, определяемыми высшими симметриями цепочки.. Обрыв цепочки (43) будет называться согласованным с некоторой симметрией этой цепочки, если он сохраняет условие коммутирования потоков. Поясним сказанное. Пусть цепочка

Чзл = <?(<7я-ь Ч]+к-1, -оо <1< +оо (45)

является симметрией цепочки (43) и пусть обрыв последней определен граничным условием до = ■ • • уЧт)- Но при к > 1 это граничное условие не обрывает цепочку (45), поскольку недоопределены значения переменных (¡—к1 Я—к+1) •••<7-1- Доопределим эти переменные в силу условия до = F и его дифференциальных по х следствий. Это всегда удается сделать за исключением особых - вырожденных граничных условий. Наше требование согласованности означает, что после такого доопределения переменных цепочки остаются коммутирующими. Следует отметить, что вырожденные граничные условия устроены так, что они обрывают цепочку (45). Более того верен следующий общий факт.

Теорема. Вырожденные граничные условия согласованы со всеми высшими симметриями цепочки (45).

• Ниже в главе III эта теорема доказана для цепочек типа Вольтерра и типа Тоды, т.е. для цепочек вида (43) и вида = /(^+1, "7л ^-1)-где = ^¿(з;) скалярная функция. Основное внимание в третьей главе уделяется трем классическим моделям: цепочкам Тоды и Вольтерра и дискретному нелинейному уравнению Шредингера. Обсуждается также дву-

меризованная версия цепочки Тоды.

Хорошо известны конечномерные варианты цепочки Тоды

Яз,хх = ехр(д,-+1 - д,) - ехр(д,- - qj-l), (46)

называемые в литературе обобщенными цепочками Тоды. Именно, каждой простой алгебре Ли конечного роста соответствует своя цепочка Тоды, интегрируемая в том или ином смысле. В работе предпринимается попытка переосмысления теории конечномерных интегрируемых систем экспоненциального типа с точки зрения интегрируемых обрывов. Например, показано, что обобщенные цепочки Тоды, соответствующие как классическим сериям конечномерных простых алгебр Ли, так и сериям алгебр Каца-Муди, можно представить в виде редукции бесконечной цепочки (46) с граничными условиями (44), совместимыми с высшими симметриями. Следует подчеркнуть, что периодические цепочки, соответствующие серии А, а также цепочки, отвечающие особым алгебрам Ли, остаются вне нашего рассмотрения в силу сделанного предположения о независимости граничных условий на левом и правом концах. С другой стороны, развитый в работе подход позволяет изучать также граничные условия, выводящие за пределы систем экспоненциального типа. Выявление алгебраических структур, соответствующих таким граничным условиям, представляет собой открытую задачу.

' Как известно, симметрии цепочки Тоды, записанные в эволюционном виде, совпадают с иерархией 28-АК^, и нахождение интегрируемых граничных условий эквивалентно нахождению дифференциальных связей, согласованных с нечетными членами этой иерархии, в частности, с системой

Щ3 = иххх + 6ших,

Уи — Уххх + 6 ЬПУХ, .

играющей роль пробной симметрии. Эта задача решается при помощи преобразований Бэклунда. Отмечено, что в силу найденных дифференциальных связей малого порядка система (47) редуцируется в интегрируемые скалярные уравнения Кс^, тК(1У и уравнения Калоджеро-Дегаспериса (см. [15]).

В разделе 3.1.3 показано, что накладывая на левый и правый конец цепочки Тоды всевозможные комбинации четырех простейших граничных условий из числа найденных, можно получить обобщенные цепочки Тоды, соответствующие всем бесконечным сериям алгебр Ли конечного роста (кроме серии А). Кроме того, показано, что цепочки Тоды серии И могут быть представлены в виде редукции цепочек серии А. Отметим, что хотя для цепочек серий В и С связь с серией А вполне очевидна и давно известна, для цепочек серии этот вопрос оставался открытым. Доказана теорема (предложение 3.1): пусть решение цепочки Тоды, соответствующей простой алгебре Ли типа А2п—Ь удовлетворяет дополнительному условию типа зеркальной симметрии, тогда оно задает также решение цепочки Тоды, соответствующей алгебре Ли типа /)„.

В разделе 3.1.4 найденные граничные условия подвергаются деформации qj —> qj + ЕХ. Новые граничные условия также интегрируемы, но содержат явную зависимость от х и совместны с другим набором симметрии. При наложении на оба конца цепочки граничных условий, соответствующих одному и тому же значению параметра £, весь этот набор симметрий переходит в симметрии полученной конечномерной системы, что и обусловливает ее интегрируемость. Ситуация, однако, принципиально меняется, • если на разные концы накладывать граничные условия, соответствующие несовпадающим значениям параметра Е. Оказывается, что в малых размерностях здесь возникают уравнения Пенлеве. В 3.1.4 приводятся следующие типы конечномерных редукций, сводящиеся к уравнениям Пенлево.

полученные в нашей совместной с В.Э.Адлером работе [15].

1) Применим граничные условия ви^а:

е-9-1 = аа® + /3, е* = 'уе4х^0 + 6е2х.

Над = (¡о имеем дифференциальное уравнение

Чхх = те41-27 + бе2*-" - ае2д - ре".

Легко проверить, что замена = ¿у(г), г = ех переводит его в 3-е уравнение Пенлеве

уг2 = у1-У-1+1-{Ау2 + В) + Су> + -

у г г у

со значениями параметров А = —/3, В =-6, С — — а, И = 7.

2) Наложим палевый конец граничное условие вида

= ,„ _ & + ^+ «-«) +С ^ е„ = ое21-,„ + ,

е<7о _ е~Яо

На ц = ^о имеем дифференциальное уравнение

= - 1) +/3ех(е-9 - е*)+

; с2(ед + е-д) + с: 1 - е-2'

Легко проверить, что замена = |, г = ег, переводит его в 5-е уравнение Пенлеве

,пу(у + 2/-1

со значениями параметров 8А =' —Су — 2С2, 8В = С\ — 2С2, С =

2/3. И = 2а.

3) В качестве последнего примера рассмотрим граничные условия

¿11 _

?0.х + «(е№ + е"в0) + Ь

еЯо _

£<10—21 _ ®>

Разрешая эти уравнения относительно е'п , и подставляя найденные

значения в формулу (/о.*! = _ <7—1, получаем над = неко-

торое дифференциальное уравнение 2-го порядка. Можно проверить, что замена

еФ1 = уН + ^Д рХ = 1 +у? У(2) - 1 - у/г

переводит его в 6-е уравнение Пенлеве

1.1 1 1 . 2 Л 1 1 .

Угг = Г " + -Г + -)У1 - ~ + -- + -)УЛ

¿у у — 1 у — г г 2 — 1 у — г

+У(у-Щу-г)1А + В4 + +

22(г - 1)" ;'У (1/ - 1)" (г/ - ~)2

с' параметрами

8А = -Ь -2а, 8В = Ь- 2а, 8С = -й - 2с, 8£> = <1 - 2с + 4.

При рассмотрении другой модели - цепочки Вольтерра«„( = и„ ('и.71+1 —'и>т1—1) обнаруживается, что пробная симметрия выбирается неоднозначно. Высшие симметрии цепочки Вольтерра. переписанные в форме эволюционных уравнений являются ни чем иным, как симметриями системы уравнений

vT + vtt = [2vw + v2)t,

In , 2\ Wt - Wtt = (2WW + tw")t

Простейшая система уравнений из этой иерархии, допускающая нетривиальные дифференциальные связи - это система третьего порядка:

' VT = vttt + (3vH2 - 3vtH - 2v\-3c(-vtt + (2vw + v2)t), .

v)r = wttt + (3wH2 -f 3wtH — 2vj3)t —3c(wtt -f (2vw'+ w2)t.

где Я = v + w.u{0) = v.u{ 1) = w. u( — 1) = 2) = n-'f.

u{—2) = d*"^—— и т.д. Дифференциальная связь первого порядка ¡' = p{w) совместимая с системой уравнений (49) имеет вид v -г w — с.

Двумеризовапная цепочкаТоды восходит к классическим работам Лапласа и Дарбу по теории линейных уравнений в частных производных. Как известно, ее обрывы (вырожденные обрывы) тесно связаны с разрешимостью в квадратурах линейного гиперболического уравнения с переменными коэффициентами. С современной точки зрения это наиболее простой пример интегрируемого уравнения с тремя независимыми переменными. Его периодические замыкания приводят к уравнениям sine-Gordon и Жибера-Шабата-Михайлова. В разделе 3.4 рассматриваются квазипери-одические замыкания этой цепочки и получены ее конечные по п редукции. Симметрийный подход к отысканию интегрируемых обрывов можно применять и к двумеризованной цепочке. Случаи малых порядков обсуждаются в разделе 3.4.1. Здесь ассоциированная с цепочкой эволюционная система содержит нелокальные переменные, однако поиск дифференциальных связей, несодержащих нелокальностей не представляет принципиальных трудностей.

Последняя четвертая глава диссертации посвящена приложению сим-метрийной теории к аналитическому и численному решению задачи Ри-мана. Задача Римана о факторизации заданной на единичной окружности матрицы-функции т(\) лежит в основе метода обратной задачи рассеяния для дискретных эволюционных уравнений. Рассматриваемая задача о факторизации формулируется как задача о построении функций ф(А) и "ф(^), допускающих невырождающееся аналитическое продолжение с единичной окружности внутрь и вне круга, соответственно, таких, что

ф(\)г(\) = <ф(\) (50)

при |А| — 1, ф(0) = 1. Будем предполагать, что заданная функция т(А) и функции' ф^(А), т/;±1(Л) принадлежат винеровской алгебре IV, состоящей из абсолютно сходящихся рядов Фурье.

В настоящем разделе предлагается алгоритм решения задачи Римана в классе функций, удовлетворяющих условию г(А) > 0 для всех Л, |А| = 1 , разработанный в статье автора [11]. Это условие, как извест: но, является достаточным условием разрешимости задачи (50). Предлагаемый метод основан на итерациях преобразования Беклунда и по степени конструктивности сравним с алгоритмом разложения функции в непрерывную дробь.

Суть алгоритма состоит в следующем. Матрицу г( А) мы продолжаем по дискретному параметру п таким образом, чтобы при п <С 0 рассматриваемая задача решалась в явном виде. Продолжение по параметру в обратном направлении полученного решения выполняется на основе простой формулы, использующей связь задачи Римана с обратной задачей теории рассеяния и с аппроксимацией Паде. По-сушеству, продвижение по п есть ни что иное, как последовательное выполнение преобразования Беклунда. Хотя формула продолжения и содержит в себе операцию деления.

алгоритм является устойчивым. Как это следует из априорной оценки, полученной ниже, все знаменатели равномерно отделены от нуля. Рассмотренный здесь алгоритм можно использовать для решения обратной задачи рассеяния для дискретных уравнений.

Следует отметить, что предложенный в [11] алгоритм был доведен А.Г.Шагаловым до вычислительного пакета программ решения задачи Ри-мана [12] и задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера [13]. Им же был проведен тщательный сравнительный анализ, подтверждающий, что алгоритм по эффективности не уступает традиционным конечно-разностным схемам. В качестве приложения в нашей совместной работе [13] приведено численное решение задачи Коши в сингулярном случае, которое невозможно получить традиционными конечно-разностными методами.

Позже алгоритм решения задачи Римана из заметки [11] нашел еще одно приложение. В.М.Адуков применил его при вычислении факторизаци-онных индексов для одного класса матричных функций.

3 ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Литература

[1] I.T. Habibullin, in: Proc.IV Int. Workshop on nonlinear and turbulent processes in physics, Vol.1, Kiev, 1989, (Singapore, 1990), p.259. •

[2] И.Т.Хабибуллин, Преобразование Беклунда и интегрируемые начально-краевые задачи, Матем. Заметки, т.49, 1991, N4, с.130-138.

[3] И.Т.Хабибуллин, Об интегрируемыех начально-краевых задачах, ТМФ, т.86,1991, N1, с.43-51.

[4] И.Т.Хабибуллин, Граничные задачи на полуплоскости для уравнения Ишимори, совместимые с методом обратной задачи рассеяния. ТМФ, т.91,1992, N3. с.363-376.

[5] И.Т.Хабибуллин, Начально-краевая задача на полуплоскости для уравнений Ишимори и Деви-Стюартсона, в сб. Задачи математической физики и асимптотика их решений, под ред. Л.А.Калякипа, Уфа. 1991, с.50-59.

[6] I.T.Habibullin, S.I. Svinolupov, Integrablc boundary value problem for the multicomponent Schrödinger equations, Physica D, v.87, 1995, p.101-106. .

[7] I.T.Habibullin Boundary problems for integrable equations. Proceedings of VIII International Workshop NEED'S92, Dubna near Moscow 1992, World Scientific, Singapore, 1993.

[8] I.T.Habibullin Symmetries of boundary problems, Pliys. Letts A, 178. 1993, p.369-375.

[9] B. Giirel, M. Gürses, I.T.Habibullin Boundary value problems, compatible with symmetries, Phys. Lett. A, 190,1994, 231-237.

[10] B.Giirel,

M.Giirses, I.T.Habibullin, Boundary value problems, compatible with symmetry algebra, Journ. Math. Phys., т.36, 1995, N.12, c.6809-6821.

[11] И.Т.Хабибуллин, О задаче линейного сопряжения на окружности, Математические заметки, т.41,1987, N.3, с.342-347.

[12] И.Т.Хабибуллин,- А.Г.Шагалов, Численное решение задачи аналитического сопряжения Римана, Журнал. Выч. Мат. и Мат. Физ.. т.29,1989, N.3, с.382-392.

[13] И.Т.Хабибуллин, А.Г.Шагалов. Численная реализация метода обратной задачи рассеяния. Теор. и Мат. Физ., т.83, 1990, N.3, е.323-333.

[14] И.Т.Хабибуллин, Дискретная система Захарова-Шабата, Зап. научи. семин. ЛОМИ, T.14G, 1985, с.137-146.

[15] V.E.Adler, I.T.Habibullin (1995) Integrable boundary conditions for the Toda lattice. Jour. Pliys. A Math. Gen. v.28, p.6717-6729.

[16] И.Т.Хабибуллин, Граничные условия для нелинейных уравнений. -совместимые с интегрируемостью, Теор. Мат. Физ., 96, 1993, N1,

с.109-122.

[17] I.T.Habibullin, Boundary conditions for integrable chains, Phys. Letts. A, v.207,1995, N.5, p.263-268.