Обобщенные точечные модели в гранично-контактных задачах акустики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Обобщенные точечные модели в гранично-контактных задачах акустики

Специальность 01.01.03 математическая физика

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

на правах рукописи

Андронов Иван Викторович

АВТОРЕФЕРАТ

Санкт-Петербург 2004

Работа выполнена на кафедре вычислительной физики Санкт-Петербургского государственного университета

Официальные оппоненты

- доктор физико-математических наук, профессор Коузов Даниил Петрович

Ведущая организация Кубанский государственный университет

Защита состоится 13 мая 2001 в 1 500 на заседании диссертационного совела Д 212.232.24 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034 Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9, аудитория БФА.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. Горького СПбГУ. Автореферат разослан 31 марта 2004 г. Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук, профессор Назаров Сергей Александрович

докюр физико-математических наук, профессор Попов Михаил Михайлович

доктор физико-математических паук

Общая характеристика работы

Тематика работы. Термин "гранично-контактная задача" был введен D 1961 году В. Н. Красилышковым1.

Гранично-контактной задачей называется краевая задача математический физики, в граничном условии которой на подмногообразии границы меньшей размерности ставятся дополнительные граничные условия. Эти "граничные условия в граничном условии" приняло называть гранично-контактными.

Интерес к гранично-контактным задачам в течение длительного времени был связан с запросами акустики (в особенности корабельной). Известны также отдельные работы по гранично-контактным задачам гидродинамики. В последнее время возник интерес к гранично-контактным задачам электродинамики.

Актуальность темы. Гранично-контактные задачи акустики образуют особый класс краевых задач для уравнения Гельмгольца, при постановке которых кроме краевых условий на поверхности тел ставятся дополнительные гранично-контактные условия в отдельных точках или на отдельных линиях границы. Имевшиеся в литературе доказательства единственности решения таких задач в неограниченной области в отсутствие поглощения носили частный характер. Доказательство теоремы единственности решения гранично-контактных задач в более общей постановке представляется одной из актуальных задач, решенных в диссертации.

Применение точечных моделей в гранично-контактных задачах акустики приводит к явно-решаемым задачам. Анализ явных выражений для поля позволил понять многие физические эффекты, имеющие место в акустических системах, состоящих из тонкостенных упругих элемен-юв, находящихся в контакте со средой. К настоящему времени практи-

'Красильников В Н. (1961) О решении неноюрых I |»нииип ми I ш п 1)д м линейной 1 идродинАчики // ПММ, т. -26, N 4, с. 764 ТбГнОС. НАЦИОНАЛЬНА» I

1 БИБЛИОТЕКА*!

I нет

чески все явно-решаемые задачи уже исследованы, и для анализа новых более тонких эффектов взаимодействия звука и вибрации приходится рассматривать более сложные гранично-коитактиые задачи, требующие применения все более трудоемких методов решения. Расширение класса явпо-решаемых моделей является второй актуальной задачей.

Диссертация написана на основе монографии автора "Generalized point models in structural mechanics.", опубликованной в 2002 г. в издательстве ''World Scientific" [18].

Цель работы состоит с одной стороны в исследовании граиично-кон-тактных задач акустики как задач математической физики, в доказательстве теорем единственности решений, в установлении контрольных тождеств типа оптической теоремы, в исследовании аналитических свойств решений. С другой стороны целью работы является разработка сравнительно простой процедуры построения асимптотических разложений поля, рассеянного на неоднородности, занимающей малый объем по сравнению с характерной длиной волны, и расширение класса явно-решаемых точечных моделей.

Научная новизна работы заключается в применении теории расширений симметричных операторов к гранично-контактным задачам акустики. Впервые методы теории расширений симметричных операторов были применены к гранично-контактным задачам в диссертации автора "Низкочастотные асимптотики в гранично-контактных задачах математической физики и теория расширений симметричных операторов1' на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Дальнейшее развитие идеи моделирования процессов рассеяния в гра-ничио-коитактиых задачах акустики при помощи потенциалов нулевого радиуса привело к сформулированной в данной диссертации процедуре, позволяющей выбирать параметры обобщенной точечной модели на основании исследования более простых, предельных задач, в одной

из которых механическая конструкция предполагается абсолютно жесткой, D другой изолированной (отсутствует акустическая среда).

Научная и практическая ценность результатов диссертационной работы определяемся возможностью использования разработанного метода обобщенных точечных моделей для изучения акустических и вибрационных процессов D тонкостенных механических конструкциях, находящихся в контакте с жидкостью или газом. Разработанный метод расширяет класс точечных моделей в гранично-контактных задачах акустики. Полученные в работе обобщенные точечные модели имеют более широкую область применимости, чем их классические аналоги, где таковые имеются.

Обнаруженные физические эффекты позволяют лучше понять процессы взаимодействия звука и вибрации.

Достоверность основных положений и результатов диссертации обеспечивается использованием строгих методов математического анализа, теории операторов, асимптотических методов. Достоверность результатов подтверждается сравнением с результатами других авторов, где это возможно.

На защиту выносятся следующие положения:

1. По классической теории гранично-контактных задач акустики:

(а) Представление рассеянного поля в виде интеграла по модифицированному контуру Зоммсрфельда от аналитического продолжения диаграммы.

(б) Формула связи каналов рассеяния, выражающая амплитуды поверхностных волн через вычет аналитического продолжения диаграммы в комплексном полюсе, и аналогичная формула для кромочных волн релеевского типа.

(в) Доказательство теоремы единственности решения корректно поставленной (т.е. в случае препятствий, не излучающих энергии) гранично-контактной задачи акустики для упругой пластины с компактным препятствием общего вида в отсутствие поглощения.

(г) Теорема единственности для рассеяния в изолированных пластинах и пример неединственного решения корректно поставленной задачи рассеяния на импедансном круговом препятствии.

(д) Постановка и решение гранично-контактной задачи акустики для пластины, разделенной бесконечной прямолинейной трещиной и спаянной в точке.

(е) Исследование кромочных волн, распространяющихся вдоль бесконечной прямолинейной трещины в упругой пластине, покрывающей акустическое полупространство.

2. По гранично-контактным задачам акустики, сводящимся к интегральным уравнениям:

(а) Асимптотика решения задачи дифракции на трещине конечной ширины в упругой пластине.

(б) Асимптотика и численный расчет решения задачи дифракции на короткой трещине в изолированной упругой пластине и в пластине, находящейся в контакте с акустической средой.

(в) Рассеяние на сочленении изолированных полубесконечных пластин вдоль короткого отрезка.

3. По обобщенным точечным моделям:

(а) Процедура построения обобщенных точечных моделей.

(б) Обобщенные точечные модели в двумерных гранично-контакт-ных задачах акустики (модели узкой трещины, отверстия с зажатыми краями, воздушного пузырька).

(в) Обобщенные точечные модели в трехмерных гранично-контактных задачах акустики (модели короткой трещины, круговых отверстий с зажатыми и со свободными кромками).

(г) Обобщенная точечная модель короткого спая полубесконечных пластин.

(д) Обобщенная модель выступающею ребра жесткости.

4. По теории интегральных уравнений:

(а) Теорема существования и единственности решения суперсингулярных интегральных уравнений типа свертки.

(б) Регуляризация и теорема существования и единственности не-интегрируемого решения интегральных уравнений первого рода с гладким ядром.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доложены на Выездных научных совещаниях научного совета АН СССР по проблеме "Акустика" по теме "Колебания и излучение механических структур", Репино 1989, 1991 гг.; IV Всесоюзной конф. "Смешанные задачи механики деформируемого тела", Одесса 1989; Всесоюзном симпозиуме "Взаимодействие волн с упругими телами", Таллинн 1989; 10-ом Всесоюзном Симпозиуме по дифракции и распространению волн, Винница 1990; Всесоюзной конф. "Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики'', Владивосток 1990; NATO Advanced Research Workshop on Classical and Modern Potential Theory and Applications, Chateau Bonnas (Франция), 1993; 915-th Meeting of the AMS, Chattanooga (США), 1996; 1-ой Крымской осенней математической школе, Батилиман 1997; VIII Symposium sobie Polinomios Ortogonales y sus Applicaciones, Sevilla (Испания), 1997; The 9-th Internat. Colloquium on Differential Equations, Plovdiv (Болгария), 1998; Workshop on the Analytical and Computational Methods for Convection-dominated and Singular Perturbed Problems, Lozcnrtz (Болгария), 1998; 5-ой международной конференции "Mathematical and Nu-

merical Aspects of Wave Propagation1', Santiago de Compostella (Испания), 2000; 1-st &. 2-nd IMA Conferences on Boundary Integral Methods: Theory and Applications, Salford & Bath (Великобритания), 1998 &; 2000; Marcus Wallenberg Symposium in memory of S.Kovalcvski "Differential equations & applications", Stockholm (Швеция), 2000: IUTAM Symposium on Diffraction and Scattering in Fluid Mechanics and Elasticity, Manchester (Великобрша-ния), 2000; Symposium "Theoiy of partial diffeiential equations and special topics of theory of ordinary differential equations dedicated to 150-th anniversary of birthday of Sofia V. Kovalcvskaya'', St.Petersburg, 2000; The 2001 Intcrnat. Congress and Exhibition on Noise Control Engineering, The Hague (Нидерланды), 2001; The 7-th Intcrnat. Conference on Integral Methods in Science and Engineering (IMSE), Saint-Etienne (Франция), 2002; а также неоднократно на Международных семинарах "День Дифракции", С.-Петербург.

Были также сделаны доклады на семинаре кафедры теории упругости математико-механического факультета СПбГУ, па семинаре по прикладной математике в университете Keele (Великобритания) и на семинаре, руководимом G. Lebeau, Ecole Polytechnique, Париж (Франция).

Результаты, вошедшие в диссертацию, неоднократно докладывались на семинаре по матемахическим вопросам теории дифракции в Ленинградском - Петербургском отделении математического института АН СССР - РАН и на семинаре по вычислительной и теоретической акустике в Институте проблем машиноведения РАН.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в монографии [18], 30 статьях, приведенных в конце автореферата, а также в тезисах и трудах всесоюзных и международных конференций.

Объем работы составляет 319 страниц, 24 рисунка. В списке цитированной литературы приведено 201 наименование.

Краткое содержание работы

Работа состоит из введения, четырех глав, грех приложений и списка цитированной литературы.

Введение. Во введении указана основная тема диссертации, обоснована со актуальность, дана общая характеристика работы, представлен обзор литературы по теме диссертации, указаны основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава: "Колебания тонких упругих пластин и классические точечные модели". Доказанные автором теоремы единственности решений гранично-контактных задач акустики в общей постановке и установленные аналитические свойс1ва решений завершают исследование гранично-контактных задач для системы пластина жидкость как задач математической физики, что позволяет изложить теорию гранично-контактных задач акустики в замкнутом виде. Такое изложение приведено в первой главе и сочетает использование известных результатов и результатов, полученных автором.

В параграфе 1.1 приводится вывод уравнений и краевых условий для модели Кирхгофа, описывающей изгибные колебания тонкой пластины. При этом анализируются ограничения на применимость модели. В параграфе 1.2 выводятся обобщенное импедансное граничное условие

описывающие тонкую упругую пластину, находящуюся в контакте с акустической средой. Здесь ки = (и.'^Д/- волновое число изгибных вочн в изолированной пластине, Л' = и}2д0/О — параметр, характеризующий нагружение, д и до — плотности пластины и акустической среды, к и Б толщина и цилиндрическая жесткость пластины, частота колебаний. Условие (1) допускает существование волны, распространяющейся вдоль пластины без затухания и экспоненциально убывающей при удалении от пластины.

В параграфе 1.3 приводится общая формулировка, задач дифракции на компактных препятствиях в присутствии топкой упругой пластины. Задачи являются двукаиальными, что находит отражение в частности в условиях излучения

Здесь к — волновое число поверхностной волны, с1 — 2 или 3 — размерность задачи, и введены сферическая и цилиндрическая системы координат (в двумерных задачах соответственно полярная и декартова, при этом

Для невозмущенной задачи (без препятствия) приводятся функции Грина. Одна функция Грина, С(г,Го), отвечает акустическому источнику, расположенному в точке г0 (дельта-функции в уравнении Тельм-гольца). Вторая, отвечает сосредоточенной силе, приложенной

к пластине в точке р0 (дельта-функции в обобщенном имиедансном граничном условии). Выводятся интегральные представления рассеянного поля, устанавливаются его а политические свойства, которые могут быть сформулированиы в виде следующей теоремы: Теорема (й = 3)

Пусть П произвольная ограниченная область и пусть функция £/(г) удовлетворяет вне О, уравнению Гельмгольца при г > 0 и граничному условию (1), а также условиям излучения (8).

Тогда:

1) Диаграмма из асимптотики (2) является мероморфной функцией г).

2) Имеет место формула типа формулы Зоммерфельда, выражающая функцию и в виде интеграла от аналитического продолжения ее диаграммы Ф

...

0* )

-г/2 п/2 я

......0.

Нег?

Рис. 1. Модифицированный контур Зоммсрфсльда

1/(г) = —У^ JсоаМ ¿д ехр (гТс(хсоаг?81пу'+(/с'оьг?со5^ + г811171'))

где интегрирование по г? проводится от тт/2 до +гоо по модифицированному контуру Зоммерфельда, изображенному на рис. 1. 3) Имеет место следующая формула связи каналов

ф{р) = — 2ттг— Кез I?* = аюсоа(к/к).

Аналогичная теорема имеет место и в случае двумерной задачи ^ = 2). При этом

± _

= -2тп Иев Ф(^), = агссоз(±к/&).

Для корректно поставленной задачи дифракции (при отсутствии активных источников в препятствии) формулируется закон сохранения энергии ("оптическая" теорема).

Далее доказывается теорема единственности решения задачи дифракции на компактном препятствии в присутствии бесконечной пластины. Исторически впервые доказательство единственности было дано в2, но оно использовало специфическую структуру препятствий. Следующий шаг был сделан в [26], [28], где структура препятствия была иг существенна. Распространение техники на случай d — 3 сделано автором, что

2Белннский Б П. (1981) О единственное!и решения стационарных зада',1 акуслики подкрепленных пластин // Записки научн. семпн. ЛОМИ, т. 104, с. 14 19.

позволяет считать вопрос единственности решения гранично-контактной задачи дифракции на компактном препятствии полностью решенным.

Для задач дифракции изгибных волн в изолированной пластине теорема единственности доказана лишь для таких краевых условий, когда па части границы обращаются в нуль смещения ш, а на оставшейся части границы обращаются в нуль углы поворота Для условий

импедансного типа приведен пример задачи, в которой существует локализованная волна, что отвечает дискретному спектру на непрерывном.

В параграфе 1.4 формулируются и анализируются классические точечные модели закрепленной точки, присоединенной массы и трещины для двумерных гранично-контактных задач, а также модель точечной массы для трех-мерной задачи. При помощи стандартной схемы, использующей общее решение3, строятся точные решения и численно исследуются их диаграмы

В параграфе 1.5 рассматриваются задачи дифракции в присутствии пластины с бесконечной прямолинейной трещиной. Трещина приводит к появлению кромочных волн, что требует указания дополнительных условий излучения. Далее исследуется случай изолированной пластины, исправляется опечатка в формулировке оптической теоремы в4. Показано, что амплитуды кромочных волн, рассеянных на компактном препятствии, связаны с диаграммой поверхностной волны

Здесь н — волновое число кромочной волны.

Далее формулируется и исследуется явно решаемая задача дифракции на точечном спае двух изолированных полубесконечных пластин.

Зсм. например Коузов Д.П. (1964) О явлении резонанса при дифракции плоской гидроакустической волны на системе трещин в упругой пластине // Г1ММ. Т. 28. N 3. с. 409-417.

4Белинекий Б.П. (1981) Оптическая георема рассеяния волн ъ упругой пласшне // Записки научных семин. ЛОМИ, г. 104, с. 20 -23.

Вычисляется диаграмма направленности

-1

sin <^>Л(со8 ф) sin w4(cos ip0) W(cos<^>) I'V'(cosv?u) '

W(A) = Л2(A)\/Ä*~=7- (Л(Л) - 2)2 v/F+7, Л(^) = (1-er) cos2 sp + 1

(Здесь и далее при интегрировании вдоль вещественной оси особенности подинтегральных выражений, лежащие на положительной полуоси обходятся снизу, а лежащие на отрицательной полуоси, — сверху.) Проводится численное исследование формулы (3) при различных значениях коэффициента Пуассона а.

Вторая глава: "Операторные методы в гранично-контактных задачах". Для более точного моделирования процессов дифракции на препятствиях, занимающих малую по сравнению с характерными длинами волн область в среде и на пластине, требуется создать более точные, чем классические, точечные модели неоднородиостей. Такие модели строятся в главе 2 в форме потенциалов нулевого радиуса.

В параграфе 2.1 рассматриваются задачи рассеяния для операторов, "действующих" в двух каналах рассеяния: для оператора Лапласа (оператор А) и бигармонического оператора (оператор В). Затем строится модель со взаимодействием каналов, отвечающая задаче о совместных колебаниях пластины и находящейся с ней в контакте акустической среды. Приводится также вторая модель из5. Достоинством первой модели является се простота и ясный физический смысл используемых функций. Однако частота и входит в оператор задачи сложным образом. Вторая модель приводит к стандартной спектральной задаче с квадратом частоты в качестве спектрального параметра.

5Badanin А.V., Pokrovskii A.A. (1995) Он the linear operator for the boundary-contat I value acoustic problem // New Zealand J. of Maths., v. 24, p. 65 79

В параграфе 2.2 строятся потенциалы нулевого радиуса сначала для операторов в изолированных каналах, а затем для двух моделей со взаимодействием. Отмечается, что наличие двух каналов приводит к блочной структуре матрицы 5', параметризующей потенциалы нулевого радиуса. Указанная структура играет основную роль в предлагаемой в главе 3 процедуре выбора параметров в обобщенных точечных моделях.

Третья глава "Обобщенные точечные модели". Основной проблемой в методе потенциалов нулевого радиуса является выбор параметров. В главе 3 предлагается процедура нахождения параметров модели из рассмотрения более простых вспомогательных задач. Эта процедура формулируется в виде гипотезы, которая затем проверяется для нескольких вариантов препятствий.

Гипотеза состоит в следующем: Пусть потенциал нулевого радиуса оператора А5 приближает процесс рассеяния па препятствии П в акустической среде, ограниченной идеально жестким экраном, и пусть потенциал нулевого радиуса оператора В2 приближает процесс рассеяния на том-же препятствии П в изолированной пластине. Тогда параметры потенциала нулевого радиуса, который моделирует процесс рассеяния на препятствии П в пластине, находящейся в контакте с акустической средой, образуют матрицу

где S параметр оператора Л5, Б -- матрица параметров оператора В5, а векторы ли л* — нулевые.

В параграфе 3.2 рассматривается двумерная задача дифракции на узкой трещине (вырезе) ширины 2а в бесконечной пластине (рис. 2а). Кромки трещины предполагаются свободными (перерезывающие силы и изгибающие моменты равны нулю), а давление на свободной поверхности (на отрезке [—я]) удовлетворяет условию Дирихле.

/

—а 0 «

х

(а)

(б)

х г ^ х

(в)

(г)

Рис. 2. Геометрии задач. (Толщина пластины на рис. (а) и ширина трещин на рис. (б) и (г) - нулевые.)

Сначала асимптотика рассеянного поля строится с использованием обобщенной точечной модели. Для этого рассматриваются две вспомогательные задачи. В одной пластина заменяется жестким экраном, то есть рассматривается классическая задача дифракции на узкой щели в жестком экране. Из анализа асимптотики дальнего поля выбирается параметр расширения для компоненты акустического канала. Другая вспомогагельная задача о колебаниях изолированной пластины записывается для обыкновенного дифференциального уравнения. В старшем по порядке параметры расширения отвечают условиям свободных кромок бесконечно узкой трещины. Объединение этих условий с требованием выполнения асимптотики

(здесь постоянная с произвольна) даст обобщенную точечную модель узкой трещины в упругой пластине, погруженной в акустическую среду.

и~ ——1п(2г/а) + о(1), г О

7Г

Точное решение задачи рассеяния на таком потенциале нулевого радиуса строится при помощи стандартной процедуры: сначала вводится общее решение, которое содержит 5 параметров (для классической точечной модели число параметров равно 4), затем эти параметры находятся из линейной алгебраической системы. В случае падения плоской волны под углом ûo диграмма рассеянною поля имеет вид

tN к2 sin ^ sin tfo Г к4 cos2 д cos2 т>0 A*6 cos3 ^ cos3 ^о

Ф =

ntfo (k4i

M I

Здесь

тг ¿(â)L(iJo) I D4 De

тг {M(ê) + NJjD-'pLos8) (M(âu) + AV2Z)4-4-2cobg) N ln(b/4) + С - гтг/2 - тгNJ + irNJ$D?

A/(i?) = к4 cos4 i) - к4, L(0) = tk sin ОМ(д) + N,

и введены гранично-контактные интегралы

(ixyjxrrr

Dt = ~ lim /

277 £->+0 J

1.2

1(A)

d A, Je

+CO 2Î /

1(A)

с/А,

(4)

(5)

J

+OS

2тг / J

с/А

L(A)VA2 - ^

1(A) = (A4 - ¿-y) \/A2 - F - A\ (6)

Первые два слагаемых в формуле (4) отвечают классической точечной модели трещины. Последнее слагаемое по параметру ка имеет логарифмический порядок малости, однако является старшим по параметру кН (к толщина пластины), который должен быть малым для применимости модели Кирхтофа.

Далее задача дифракции на узкой трещине в упругой пластине исследуется классическими методами. Применяя функцию Грина невозмущенной задачи, выводится интегральное представление для рассеянного поля. В этом представлении присутствуют неизвестная функция, имеющая смысл вертикальных смещений на свободной поверхности, и 4

постоянные, выражающие смещения и повороты кромок пластины. При подстановке интегрального представления в условие Дирихле на отрезке [—а, а] и в гранично-контактные условия в точках ±а возникает интегро-алгебриаческая система уравнений. С использованием теорем из приложения В проводится исследование разрешимости этой системы. Затем строится асимптотика решения при и вычисляется диаграмма

Старшие члены асимптотики Ф совпадают с формулой (4).

Таким образом справедливость гипотезы и применимость процедуры построения обобщенных точечных моделей подтверждается для конкретного препятствия — узкой трещины. Отмечено также, что классическая точечная модель дает неверную низкочастотную асимптотику диаграммы для

В параграфе 3.3 рассматривается трехмерная задача дифракции на пластине с трещиной вдоль отрезка {х = 0, —а < у < а} (см. рис. 26).

Сначала применяется метод обобщенных точечных моделей. Для этого исследуется задача дифракции изгибных волн в изолированной пластине. Задача сводится к паре интегральных уравнений свертки на отрезке. Ядра являются суперсингуляриыми с особенностями вида |.т—f|_2 и ¡r — í|-4. Решение ищется в классах функций вида

с гладкими Фл,2- Проводится регуляризация интегральных уравнений, которая заключается в вынесении за знак интеграла дифференциальных операторов соответственно второго и четвертого порядка. При помощи теорем из приложения В устанавливается разрешимость и единственность решений интегральных уравнений в соответствующих классах. Для не слишком больших значений коа предлагается численная процедура решения интегральных уравнений, состоящая в применении метода ортогональных многочленов. Для бесконечных систем линейных алгебраических уравнений обосновывается метод редукции. Приводятся

и

(7)

численные результаты для эффективного сечения рассеяния и коэффициентов интенсивности напряжений. Для малых к0а строятся асимптотики диаграммы направленности. В старшем порядке имеем

2 Т(^)Т(<^о)

Фо(у) ~ т(*ч»а) .. ,

4 (1 - ст)(3 + а)

Т(<р) = (1 - <7)соа2^- 1- (S)

В диссертации приведены также члены порядка

Интерпретация асимптотики (8) как диаграммы изгибной волны, рассеянной па потенциале нулевого радиуса для бигармонического оператора, позволяет сформулировать обобщенную точечную модель короткой трещины в изолированной пластине. Условие на точечном препятствии формулируется в виде асимптотики изгибных смещений

(9)

Здесь коэффициенты — произвольные.

Согласно гипотезе полученная обобщенная точечная модель короткой трещины переформулируется для пластины, находящейся в контакте с акустическим полупространством. При этом условие в силовом центре потенциала нулевого радиуса объединяет условие Майкснера для давлепия и асимптотику (9) для смещения

Решение задачи рассеяния на таком потенциале нулевого радиуса строится в явном виде. Диаграмма рассеянной акустической волны имеет вид

Здесь

Затем та же задача дифракции на короткой трещине в упругой пластине исследуется методом интегральных уравнений. Характер особенностей ядер оказывается таким же как и в случае изолированной пластины. Асимптотический анализ приводит к асимптотике диаграммы, которая в старшем члене совпадает с формулой (10).

Таким образом справедливость гипотезы и применимость процедуры построения обобщенных точечных моделей подтверждается для конкретного препятствия короткой трещины. Для задач, рассмотренных в последующих параграфах, проверка гипотезы больше не проводится, асимптотики строятся при помощи метода обобщенных точечных моделей.

В параграфе 3.4 рассматривается задача дифракции па круговом отверстии в пластине, покрывающей акустическое полупространство (см. рис. 2в). На свободной поверхности жидкости ставится условие Дирихле и рассматриваются два варианта гранично-контактных условий на кромке отверстия: условия свободной кромки и условия зажатой кромки. Вспомогательные задачи рассеяния на круговом отверстии в жестком экране и на круговом препятствии в изолированной пластине допускают разделение переменных. Их решения известны6. Обобщенная точечная модель кругового отверстия радиуса а со свободными кромками формулируется в виде двух асимптотических разложений

с произвольными с и Ь,у

"Решение первой см., например, Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. (1964) Теория дифракции М.: Мир. 1964, 428 е.; решение второй см. в Коненков Ю.К. (1964) Дифракция изгибной волны на круговом препятствии в пластине // Акуст. журн.; т 10(3), с 186 190

В параграфе 3.5 рассматривается задача, обобщающая рассмотренную D параграфе 1.5 задачу дифракции на точечном спас полубесконечных пластин. Теперь спай происходит па отрезке малой длины 2а (см. рис. 2.г). Сначала рассматривается случай изолированной пластины. При помощи преобразования Фурье выводятся две системы парных интегральных уравнений. Одна отвечаег симметричной части поля, вторая — ангисимметричной. Для симметричной части поля интегральное уравнение, выполненное вне спая, может быть обращено, что приводит к интегральному уравнению первого рода па отрезке. Ядро является разностным и имеет логарифмическую особенность. Решение, имеющее смысл изгибающего момента на спае, ищется в классе функций с корневыми особенностями у концов. Для антисимметричной части поля аналогичная процедура приводит к интегральному уравнению первою рода с гладким ядром. Сингулярность появляется после двукратного дифференцирования. Решение такого уравнения имеет смысл перерезывающей силы на спас и имеет исиптегрируемые особенности у концов. Проводится регуляризация, сводящая уравнение к интегро-аглебраическому вида

Здесь ядро K(y—t) имеет логарифмическую особенность, функции /о(у), заданы, а функция и постоянные подлежат

определению. Функция q>i{t) ищется в классе функций вида (7). С использованием теорем из приложения В устанавливаются свойства разрешимости и единственности решения интегро-алгебраическою уравнения. Для малых строится асимптотика рассеянною поля. В старшем порядке асимптотика совпадает с (3), полученной в рамках точечной модели. Поправочные члены имеют логарифмический порядок малости, их вклад заметен уже при

Обобщенная точечная модель позволяет воспроизвести эти члены.

Такая модель строится и затем переносится на случай пластины, контактирующей с акустической средой. После этого строится явное, но весьма громоздкое решение задачи рассеяния на обобщенной точечной модели узкого спая, находится выражение для диаграммы рассеянной волны. Согласно гипотезе это выражение дает асимптотику диаграммы рассеянного поля на узком спае пластин, находящихся на поверхности акустического полупространства.

Четвертая глава: "Обсуждение обобщенных моделей и нерешенные вопросы" Общие свойства моделей из главы 3 и некоторые обобщения обсуждаются в главе 4. В параграфе 1.1 производится интерпретация полей, рассеянных на обобщенных точечных моделях препятствий, как полей пассивных источников. Обсуждается структура уравнений, определяющих амплитуды этих источников. Производится сравнение рассеянных полей, устанавливается физический смысл элементов матрицы параметров обобщенной модели.

В параграфе 4.2 двумерная обобщенная модель узкой трещины, построенная в главе 3, переформулируется для случая косого падения. В рамках обобщенной точечной модели исследуются кромочные волны. Показано, что поправка, вносимая обобщенной моделью в дисперсионное уравнение кромочных волн, мала. Проводится численный расчет волновых чисел симметричной и антисимметричной кромочных волн. Устанавливается, что симметричная кромочная волна распространяется без затухания при любых параметрах задачи. Незатухающая антисимметричная кромочная волна возможна лишь в ограниченном диапазоне частот Для акустической среды с малой плотностью (воз-

духа) нижняя критическая частота составляет доли герца, а верхняя практически совпадает с частотой совпадения При

увеличении плотности акустической среды увеличивается, а уменьшается, и для стальной пластины в воде диапазон вырождается и антисимметричная кромочная волна не распространяется. Проводится

анализ потоков энергии, перенос имой кромочными волнами, и профилей прогиба пластины.

В параграфе 4.3 обсуждаются дальнейшие обобщения точечных моделей и анализируются эффекты, которые могут быть описаны обобщенными точечными моделями, в качестве которых выступают потенциалы нулевого радиуса в пространстве Ь-г- Указывался, что эффекты, связанные с дипольными пассивными акустическими источниками, не воспроизводятся такими моделями. В частности не воспроизводится поправка на высоту выступающего ребра жесткости. Обсуждаются возможные пути повышения точности обобщенных моделей: использование весовых пространств, пространств с индефинитной метрикой, и др.

В параграфе 4.4 иллюстрируется подход, использующий потенциалы нулевого радиуса с несколькими (близко расположенными) силовыми центрами. Здесь строится модель ребра жесткости, имеющею силовой импеданс моментный импеданс и выступающего из пластины в акустическую среду па высоту 2^ Потенциал нулевого радиуса, отвечающий каналу акустических волн, строится в виде суперпозиции двух близко расположенных (на расстоянии 2е) пассивных источников с амплитудами с+ и с_. Переходя от амплитуд к амплитудам

отвечающим эквивалентным монополю и диполю, удается получи1Ь матрицу параметров потенциала, не зависящую от £. Для выбора параметров в акустической компоненте используется решение задачи дифракции на полосе ширины Я, описываемой условием Неймана. В компоненте изгибных смещений сохраняются гранично-контактные условия исходной задачи. Поле, рассеянное на построенном потенциале нулевого радиуса, имеет диаграмму

(Гранично-контактные интегралы £)0 н В г и функции Ь и М определены D (6) и (5)). Первые два слагаемых отвечают классической точечной модели и не учитывают высоту ребра. Третье слагаемое совпадает с полученным ранее7 методом интегральных уравнений. Это слагаемое отвечает Дифракции на полосе, описываемой условием Неймана.

Таким образом, гипотеза, лежащая в основе процедуры выбора параметров обобщенной модели, подтверждаемся и в данном случае.

Приложение А: "Исследование и регуляризация гранично-контактных интегралов". Асимптотики рассеянных полей и точные решения в задачах рассеяния для классических и обобщенных точечных моделей содержат гранично-контактные интегралы. Некоторые из них определяются как пределы и требуют регуляризации. Процедура такой регуляризации для интегралов разработана Д.П.Коузовым. Аналогичная процедура может быть применена и к другим гранично-контактным интегралам, появляющимся в диссертации. Процедура регуляризации и явные выражения для интегралов и др. приведены в приложении А.

Приложение В: "Интегральные уравнения типа свертки на конечном интервале". Здесь изложены некоторые вопросы теории интегральных, интегро-дифференциальных и интегро-алгебраических уравнений и систем, которые возникают при исследовании задач дифракции на препятствиях типа отрезка, изучаемых в главе 3. Вводятся классы определяемые как множество функций таких, что

и доказываются теоремы разрешимости. В частности следующая

'Белинский Б П. (1978) Дифракция плоской во.шы на пласлине, подкрепленной высыпающим ребром // ПММ, г. 42(3), с. 486 493.

Теорема

Интегро-дифференциальное уравнение

с ядром, имеющим секториалъный символ и представимом в виде

с а,Ь £ С°° имеет единственное решение ь классе 8т для любой / £ С2. При этом в представлении (11) параметр <5 — 1/2, и для / £ Сп+2 функция Р £ ст+п.

Приложение С: "Варианты системы пластина—акустическая среда, используемые для численных расчетов" содержит числовые значения иараметров двух моделей, использованных в диссертации для численных иллюстраций.

Список основных публикаций по теме диссертации

1. Андронов И.В. (1990) Рассеяние изгибной волны на конечной прямолинейной трещине в упругой пластине //ПММ, т. 54, вып. 2, с. 312321.

2. Андронов И.В. (1990) Моделирование процесса рассеяния на трещине в упругой пластине при помощи потенциалов нулевого радиуса //Записки научных семин. ЛОМИ, т. 186, с. 14-19.

3. Андронов И.В. (1992) Применение точечных моделей трещин в гранично-контактных задачах акустики //Журн.выч.матем. и ма-тем.физики, 1. 31, вып. 2. с. 285-295.

4. Андронов И.В. (1992) Интегро-дифференциальные уравнения свертки па конечном промежутке с ядром, имеющим логарифмическую особенность //Записки научн. семин. ЛОМИ, т. 203, с. о 11.

5. Андронов И.В. (1993) Оптическая теорема для системы пластина стратифицированная жидкость //Акуст, жури., т. 39, вып. 1, с. 13 18.

6. Андронов И.В. (1993) Распространение звука в жидкости под упругой пластиной с трещиной //11ММ, т. 57, вып. 2, с. 141-146.

7. Andronov I. V. (1993) Application of zero-range models to the problem of diffiaction by a small hole in ekbtic plate //J. of Mathematical Physics, v. 31, N 6, p. 2226-2241.

8. Андронов И.В. (1994) Прохождение изгибпой волны сквозь неоднородность в абсолютно жестком ребре, подкрепляющем упругую пластину //Записки научн. семин. ПОМИ. т. 210, с. 22-29.

9. Андропов И.В. (1995) Применение потенциалов нулевого радиуса для построения явно решаемых моделей неоднородностей в упругих пластинах //ПММ, т. 59, вып. 3, с. 451 463.

10. Андронов И.В. (1998) О сравнении моделей дефектов пластин в граничио-контактных задачах акустики //Акуст. жури., т. 44, вып. 2, с. 149-154.

11. Andronov I.V. (1998) Application of Zeio Range Potentials for Fractures Modelling in Fluid Loaded Elastic Plates //Applicable Analysis, v. 68, p. 3-29.

12. Андронов И.В. (1999) О волнах, распространяющихся вдоль узкой трещины в упругой пластине //Акуст. журн., г. 45, выи. 4, с. 445-449.

13. Andronov I.V. (1999) Zero-range potential model of a protruding stiffener //J. Physics A: Math. Gen., v. 32, p. L231-L238.

14. Andronov I.V. (2000) Generalized point model of a narrow crack in a fluid loaded clastic plate, in: Analytical and Numerical Methods for Convection-Dominated and Singularly Perturbed Problems. Nova Science Publishers, Inc., N.Y., 2000.

15. Андронов И.В. (2001) О потоке мощности, распространяющемся вдоль прямолинейной трещины в упругой пластине //Акуст. жури , т. 47, вып. 3, с. 293 296.

16. Андронов И.В. (2001) Дифракция изгибной волны на коротком спае полубесконечных упругих пластин //ПММ, т. 65, вып. 5, с. 895-905.

17. Andronov I.V. (2002) Gcncialized point models in boundary contact value рюЫеть of hydioeldbticity //Opeiatoi Theoiy: Advance's and Applications, v. 132, p. 77-86, Bhkhauser Verlag Basel/Switzeiland.

18. Andronov I.V. (2002) Generalized point models in structural mechanics, (Series on stability, vibration and control of systems, Series A volume 5) //World Scientific 2002, Singapore New Jeisey London-Hong Kong

19. Андропов И.В. (2003) Дифракция и излучение изгибных волн круговым отверстием с распределенной нагрузкой на краю (неединстве-ное и несуществующее решения) //Акуст. журн., т. 49, вып. 4, с. 165 468.

20. Андронов И.В., Белинский Б.П. (1990) О гранично-контактных задачах акустики для вертикально стратифицированной среды, ограниченной сверху пластиной с сосредоточенными неоднородностями//ПММ, т. 54, вып. 3, с. 443 449.

21. Андропов И.В., Белинский Б.П. (1990) О потоках энергии в окрестности конца трещины в изгибио колеблющейся пластине //Механика твердого тела, N 3, с. 184 187.

22. Андронов И.В., Белинский Б.11. (1991) Об особенностях рассеяния изгибных вопи на конечной прямолинейной трещине в упругой пластине //Акуст. журн, т. 37, вып. 4, с. 817 819.

23. Андронов И.В., Белинский Б.Н. (1992) Прохождение изгибной во ты сквозь неоднородность в абсолютно жестком ребре, подкрепляющем упругую пластину //Исследования по теории пластин и оболочек, Изд. Казанского Университета, 1992, вып. 24. с. 124 130

21. Andronov I.Y., Belinbkiy B.P. (109з) Scattering of a ilexmal wave on a finite striglit crack in clastic plate //J. Sound and Vibiation, v. 180, N 1, p. 1 16.

25. Андронов И.В., Белинский Б.11. (1997) Рассеяние гидроакустических волн на узком вырезе в упругой пластине //11ММ. т. 61, вып. 2, с. 202-209.

26. Andronov I.V., Belinskiy B.P. (1998) SommeifekTs formula and uniquenebs foi the boundary value contact problems //J.Physics A.: Math. On., v. 31, p. L105 Mil.

27. Andronov I.V., Belinskiy B.P. (1998) Acoustic scattering on an elastic plate desciibed by the Timoshenko model: Contact conditions and uniqueness of the solution //JASA, v. 103, N 2, p. 673-682.

28. Андропов И.В., Белинский Б.П. (2001) О единственности решения задач дифракции на бесконечной пластине с локальными неодно-родностями //Акус1. журн., т. 47, выи. 1, с. 7-И.

29. Andronov I.V., Belinskiy B.P. (2002) Acoustic scattering from an clastic plate supported by a rigid narrow rib //Wave Motion, v. 35, p. 277 287.

30. Andronov I.V., Belinbkiy B.P., Dauer J.P. (1996) The connection between the scattering diagram and the amplitudes of the surface waves for acoustic scattering by a baffled flexible plate //J. Sound Vibration, v. 195, N 4, p. 667- 673.

31. Andronov I.V., Belinbkiy B.P., Dauei J.P. (1996) Scattering of acoustic wave by a narrow crack in elastic plate //Wave Motion, v. 21, p. 101 115.

ЛР № 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 25 02 2004 г. Формат бумаги 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1,6 усл. пл Тираж 120 экз Заказ 3188 Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

»-7023