Резонансное рассеяние в гранично-контактных задачах акустики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГ6 ОД

г 9

ГАНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ПОКРОВСКИЙ Алексей Андреевич

РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ В ГРАНИЧНО-КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧАХ АКУСТИКИ '

специальность 01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени, кандидата физико-математических наук

С'анкт-Петероург Н№

АНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ПОКРОВСКИЙ Алексей Андреевич

РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ В ГРАНИЧНО-КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧАХ АКУСТИКИ

специальность 01.01.03 математическая физики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени гандидата физнко-магематичеенг- наук

Сань Г-Кетсроург

Работа выполнена на кафедре математической физики физического факультета Санкт-Петербургского Госуударствен-ного Университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических на,ук, профессор Борис Сссергеевич ПАВЛОВ.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, Владимир Алексеевич ЗОЛОТАРЕВ, кандидат физико-матечатических наук, Мйхацл Аалександрович НАРБУТ.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Петербургское отделение математического института им. В. А.Стекло!

^цита состоится " ..ШШ^Я......... 199^ года в

[£. часов на заседании специализированного совета К.06-3.57.17 по прмсуждению степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу:

199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М.Горы Санкт-Петербургского Государственного Университета.

Автореферат разослан года..

Ученый сектетарь специализированного совета

С'.Н.Мннида

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тем.л. Исследование совместных колебаний акустической среды и тонких упругих структур (пластин, мембран и оболочек различной конфигурации) представляет большой теоретический и прикладной интерес. Подобные системы возникают в гидроакустике, при проектировании виброизоляции, в сейсмологии и акустике океана.

При теоретическом исследовании таких систем возникают гранично-контактные задачи математической физики — уравнения в частных производных с граничными условиями специального вида в точках контакта, акустической среды и упругой структуры. Возможность колебаний упругой структуры приводит к появлению в граничных условиях дифференциальных операторов высокого порядка, а условие контакта с жидкостью обуславливает зависимость граничных условий от частоты.

Обычно гранично-контактные задачи исследуются в стационарной постановке, то есть, амплитуда колебаний разыскивается в предположении, что колебания системы гармоничны с заданной частотой. Переход же от стационарных решений к динамическим, то есть явно включающим производные по врем'.*ни, представляется весьма важным. В частности, он позволил бы проанализировать динамику распределения энергии для произвольных начальных данных. Однако, такой переход связан со значительными трудностями; например, необходимо доказывать базисность системы стационарных решений в подходящих функциональных пространствах.

В связи с этим представляет интерес исследование гранично-контактных задач акустики средствами функционального ана-

ли за. в особенности методами спектрального анализа самосопряженных операторов и методами теории рассеяния.

Цель работы.

1. Построение самосопряженных <>1.ораторов в 1гпРос Т1,ангТ1Е,а* для акустических систем, и которых акустическая среда осциллирует в контакте с тонкими упругими структурами пластиьками. мембранами и оболочками, которые, и спою очередь, могут иметь дефекты, сосредоточенные в точках или на линиях (точечные массы, трещины или узкие ребра жес ткости).

'2. Спектральный анализ операторов для однородных систем, г которых бесконечная упругая''структура (пластин или мембрана) колеблется в контакте с полупространством, заполненным акустически;! средой. Доказательство базиености системы рассеянных и поверхностны': волн.

3. Построение теории'рассеяния для однородных гранично-контактных систем и анализ резон нсных явл ний в терминах геоме" ¡>ии гильбертовых про транстг.

Положен!; -!, выносимые на защиту.

1. Построены самосопряженные операторы в ¿¿-пространс твах для акустических систем с взаимодействием звука и . лбра-ции. Доказано, что 'спектральная, задача дли построенных операторов эквивалентна исходно Л системе уравнении с гранич контактными условиями В ТОЧК(; . соприкосновения акус тиче-ской среды и у пругих с.трукту; .

2. Построен ортонормгроранный базис расе« .иных и поиерх-

НОСТНЫХ ВОЛН ЛЯ бесконечных'упругих структур. КоНТаКТИ-0

рующих с акустической средой'. Доказано совпадение коэффициента отражения в 1т цнонарной задаче с матрице" рас-

сеяния во временной теории рассеяния.

3. Теория рассеяния Лакса-Филлипса сформулирована для рассеяния звука на ясконечных тонких упругих структурах. Выполнен анализ особенностей коэффициента отражения как аналитической функции частоты. Выделены два качественно различных типа этих особенностей; выяснена их связь с убыванием энергии рассеянных волн в ограниченных областях и со спектром соответствующей диссипативной полугруппы. Продемонстрирован резонансный характер головных волн в тонких структурах. Выделен набор элементарных головных волн, таких, что всякая головная волна может быть представлена в виде волнового пакета из элементарных.

Научная новизна работы. Следующие результаты являются новыми:

1. Найдена общая схема, позволяющая строить самосопряженные операторы в ¿^-пространствах для широкого класса акустических систем с взаимодействием звука и вибрации.

2. Проведел полный спектральный анализ операторов для однородных гранично-контактных задач акустики общего вида. Доказана теорема разложения по ортонормированному базису рассеянных и поверхностных волн. В трансляционном представлении явно построена резольвента оператора.

3. Построена временная теория рассеяния для однородных гранично-контактных систем общего вида. Доказано, что коэффициент отражения совпадает с матрицей рассеяния.

4. Для рассеяния звука в однородных системах построена теория ЛакОа-Филлипса. Найдена связь матрицы рассеяния Лакса-Филлипса (которая,.вообще говоря,.отличается от матрицы рассеяния временной теории1 и коэффициента отраже-

ния. Тем самым выделены два класса особенностей коэффициента отрашечиЯ, которые связаны с двумя качественно различными типами резонансов. Один из них соответствует обычным резонансам, когда плоская волна сначала полностью поглощается упругой границей, а затем излучается обратно в жидкости. Другой класс, резонансов представляет собой головные волны, когда энергия передается через упругую границу со скоростью, превышающей скорость звука в акустической среде. Найдены явные выражения для обоих типов резонансных функций.

Наугная и практическая ценность работы. Построение самосопряженных операторов для задач с взаимодействием звука и вибрации, выполненное в работе, позволяет разрешить сразу несколько математических вопросов, возникающих в « вязи с гранично-контактными задачами акустики. Например, из самосопряженности оператора следует существование и единственность решения задачи о стационарных колебаниях системы с учетом затухания. Из самосопряженности оператора также следует возможность строгого перехода от стационарных решений задачи к решениям, зависящим от времени. Переход от стационарных решений к динамическим осуществляется -.методом разложения по ортонормнль-ному базису обобщенных собственных функций, которые найдены В явном виде для однородных гранично-контактных систем.'' ■■■.■:■■..■■■'..■■.

Построение теории рассеяния Лакса-Филлипса позволяет сделать заключение о резонансном характере рассеяния на бесконечных тонких упругих структурах. Убывание энергии рассеянных волн в ограниченных областях связано с характе-

г,

ром особеншн тей коэффициента отражения. Удалось строго сформулировать резонансный характер головных волн в однородных гранично-контактных системах: доказано, что головные волны представляют собой особый вид резонансов и связаны с нарушением формальной причинности, понимаемой как распространение сигналов со скоростью звука в акустической среде. Тем самым проаяалйзирозано влияние не-огпаниченности рассеивателя на аналитическую структуру 5-матрицы.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, были доложены на международной ¡конференции "Лень Дифракции-94" (май 1994 г.), на семинаре Восточно-Европейской Ассоциации Акустиков (март 1994, г., Кораблестроительный ин-т.), на семинарах по дифракции И распространению волн ПО M И РАН (ноябрь 1993 г., апрель 1994 г,, март 1995 г.). на семинаре кафедры теории упругости мат.-мех. факультета СПбГУ (январь 1995 г.), на семинарах кафедры мат. физики физического факультета СПбГУ (март 1994 г. и январь ■ 1995 г.). ; :

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5]. ••■•'•'.':'•*

Структура и объем работы.' Диссертация состоит из введения, четырех глав заключения и-'списка использованной литературы. Общий объем работы — 123 с траницы. 16 рисунков. библиография — 103 наименований.

ОБЩЕЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актз'альность работы, сформулированы цели и основные результаты и их связь с ранее известными. Кратко изложена Структура и содержание работы.

В главе 1 излагается общий метод построения операторов для акустических систем с взаимодействием звука и вибрации. В § 1 оператор (действующий на функции смещения) выводится для модельной системы из вариационного принципа, предложенного В.М.Бабичем. Используя этот подход, удаетс-г. построить оператор и в терминах акустического потенциала. Этот оператор действует уже в .^-пространствах. В § 2 формулируется общий метод построения операторов. В § 3 приведен явный вид операторов для простейших бесконечных упругих структур, ограничивающих полупространство акустической среды.

В главе 2 проводится спектральный анализ операторов, описывающих осцилляции бесконечных упругих структур, находящихся в контакте с полупространством, заполненным акустической средой. Используя трансляционную инвариантность однородных систем, удается построить СП' ктраль-ный анализ соответствующих операторов в явном виде, в частности, доказать теорему разложения по системе, рассеянных и поверхностных волн. При этом возникает ортогональный интеграл из одномерных операторов, каждый из которых (с точностью до сдвига) формально совпн/ает с оператором, известным в квантовой механике и описывающим взаимодействие квантовой частицы на полуоси с потенциалом нулевого. радиуса о внутренней структурой: Система собственных

функций для исходной задачи оказывается связанной с собственными функциями одномерных операторов Шредингера.

Предъявление обобщенного базиса'рассеянных и поверхностных волн позволяет строго переходить от динамическтх уравнений с производными по времени к стационарной постановке задачи, обычно используемой в терии дифракции. В отсутствие самосопряженных операторов для системы доказательство законности перехода от временных уравнений к стационарным (доказательство базисности системы собственных функций) требовало применения сложных математических методов даже для ограниченных резонаторов и волноводов с упругими стенками . Для случая же задач дифракции в бесконечных областях доказательство базисности собственных функций отсутствовало.

В третьей главе диссертации построена временная теория рассеяния для некоторых важных гранично-контактных задач. В § 1 для рассеяния на компактных оболочках и пластинах удается доказать, что S-матрица, полученная в стацит онарном подходе, совпадает с оператором рассеяния во временной теории.

' .В § 2 той же главы исследуется временная теория рассе--яния для однородных упругих плоскостей, соприкасающихся с полупространством акустической среды. НевозмущенНую; динамику задает волновое уравнение в полупространстве R!j.;

' tl,l ~ ('All.

с граничным условием'• Дирихле. н| = 0; Естественно возникает невозмущенная группа L'n(t). описыв'ающа я лременную эволюции» решений в гильбертовом пространстве начальных данных с' конечной энергией: .Оператор l\){t)-действует на

решение в начальный момент времени, а результат его действия — решение в момент времени Аналогичная группа унитарных операторов возникает и для исходной (возмущенной) задачи.

Для построения теории рассеяния необходимо рассматривать только рассеянные волны возмущенной системы, так как поверхностные волны не могут быть асимптотически близки к решениям невозмущенного уравнения при I —» ±эо. Доказано, что существует оператор рассеяни^ во временной теории рассеяния, определяемый как

Б* = 1Г., (Г"1,

где волновые операторы унитарны на подпространстве рассеянных волн и определены стандартными формулами1.

. .№± = 8- Нш 1/0(~/)Д,Г(/),

где Рр обозначает ортогональный проектор на пространство начальных данных невозмущеиной задачи. Доказано, что оператор рассеяния в спектральном представлении свободной задачи (5-матрица) совпадает с коэффициентом отражения, известным в теории дифракции.

Оказывается, что ''временная" матрица рассеяния может . иметь полюса на физическом листе. При рассеянии на компактных препятствиях такие полюса соохветстуют связанным состояниям и, вообще говоря, запрещены для рассеяния звуковых волн. В нашем же случае рассеиватель неограничен. И такие полюса не ведут к возникновению связанных состояний. В То же время йх-смысл неясен с точки зрения временной теории рассеяния.

Для интерпретации этих особенностей необходимо использовать Подход Лакеа-Филлит а. чю выполнено в главе 4.

Основой ого являются приходящее (-) и уходящее (+) подпространства П± и пространстве начальных данных с конечной энергией, удовлетворяющие требованиям

¡) ?(/)/•>» С /Л. « > 0 . и(Щ)- С Л-. * < О И) ДГ(/)/>, -ДГ(М/>.. =0

I л

¡и) УГ(1)1), -- уГ(ПО. = н

I I ' '

п.-) И+ ± П.

Однако эти абстрактные условия не определяют искомые подпространства однозначно. Для их полной фиксации используется условие обращения решний в ноль в заднем (.0+) и переднем (О:.) конусах:

V), [Г(/)/Л](.'-,/л)-0. с/ > 1'.г.//)1, />()

V).. [С<0/;>.= 0. -С^> |(.,/<0

Доказано, что построенные таким образом подпространства .удовлетворяют условиям Цг-иг) и могут быть получены также как подпространства, удовлетворяющие условию формальной причинности (с точки зрения акустической среды). Именно, предлагается рассматривать подпространства, в Которых плотны плоские волны специального вида, когда +) падающа я и отраженная волна обе отличны от нуля только после своих волновых фронтов, и

—) падающая и отраженная волна обе отличны от нуля только перед своими волновыми фронтами. ' Доказано, что полученные таким образом 'Подпространства' совпадают с полученными в терминах конусов.

'Матрица рассеяния 5'% полученная с помощью этих подпространств, дается формулой

6,<; = (1)

где 5± — унитарные на вещественной оси и аналитические на физическом.листе оператор-функции, такие, что

Если операторы, описывающие вибрации свободной границы, являются дифференциальными операторами конечного порядка, то такая факторизация единственна, ибо тогда 5'1 ес ть отношение полиномов. Стандартная полугруппа сжимающих операторов

где Р± —-ортопроекторына соответственно, описывает излучение рассеянных волн из конечных областей. В частности, доказана теорема об убывании энергии, аналогичная классическим результатам в монографии Лаке а и Филлипса "Теория рассеяния". Следует отметить, что в нашем случае полугруппа сжатий исследуется исходя из свойств 5-матрицы. в то время как в цитированной монографии последовательно использовался обратный подход — исследование генератора диссипативной полугруппы и вывод из него свойств 5-матрицы.

Резонансы в системе, совпадающие с множеством особенностей 5Ь. (а с ледовательно, и спектр дис< ипативного оператора В = ) естественным образом разделяются на два'класса, в соответствии с факторизацией (??).' Именно, полюс а соответствуют "обычным" резонансам. когда па-.

дающая плоская полна полностью поглощается пластине», а затем излучается обратно в акустическую среду.

Полюс а же 5 соответствуют системе плоских полн. в которой "отраженная" полна излучается упругой границей до того момента как падающая полна в жидкости достигнет излучающей области. Падающая волна поглощается пластиной без отражения. Следовательно, энергия вибрации передается через пластину со скоростью, превышающей скорость звука в акустической среде. Решения такого типа головные (или боковые) волны хорошо известны в акустике, сейсмологии и радиофизике. Таким образом, получена интерпретация головных волн в терминах теории резонансного рассеяния для самосопряженных операторов.

Общие результаты использованы для анализа Спектра резонансов и матрицы рассеянии для важнейших ппнорешаемых Г/анично-контактных задач: однородные бесконечные структуры. лежащие на полупространстве жидкости мембраны, пластины н классической теории (Кирхгоффа) и пластины п уточненной тсо| ии Гимошелко-Миндлина. Также возможно обследование МНОГОСЛОЙНЫХ пластИН.

Основные результаты диссертации изложены D следующих публикациях:

I. А. А. Рок voyski. A.Y.Ba<bnin. Limar ()¡u rutar Tu iifiuiiil of a iiomiilni ¡)-C<n\inrt \'<i!nt Aroustir PmMrm. IPRT preprilit Xr. I ">-!).'! • \\)<X\).

2. А.-Л.Покровский. Самосопряженные опера Горы, описывающие шапмодснстнпе .шуьа II вибрации. П'пннпя üi>¡кии г кия .У fit пп ма mu 41 ruin »i/.vo.i« Ihm in ¡т/и нг i; in чип и u:i-ri '. .'.'.>

29 апреля 1994 г- Тезисы докладов, стр.116.

3. А.В.Баданин, А.А.Покровский. О модели подкрепленной ребром пластины. Вестник СпбГУ, сер.4, вып.3(18), с. 94-97 (1994).

4. A.A.Pokrovski, A.V.Badanm. Lax-Phillips theory for scattering by thin elastic bodies. IPRT preprint Nr.23-94 (1994).

5. A.A.Pokrovski. Casuality and Analyticity in Acoustic Systems with Infinite Vibrating Planes. IPRT preprint Nr.45-94 (1994).

i-l