Низкочастотные асимптотики в гранично-контактных задачах математической физики и теория расширений симметричных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

п

I ••- * • -I. •

ИИШЮТЕРСТВО ВЫСШЕГО й СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОЭСР.

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

АДЦРОНОВ Иван Викторович

ш 534,28:517.4

НИЗКОЧАСТОТНЫЕ АСИМПТОТИКИ В ГРАНИЧНО-КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ

ОХ.01.03 - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИШКА

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученая степени кандидата физико-математических наук

ЛЕНИНГРАД 1991

ЛЕНЙНГРАЛСЖИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАШЙ! ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНЕЕЕРС}ТШГ

На призах рукописи

АКДРСЮ Йязп Вгаггарокм 1

УД!( 534.23:517.4

НИЗКОЧАСТОТНЫЕ АСИМПТОТИКИ

в гршгпю-шгглктал; задачах математической фшвш И ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЙ СИММЕТРИЧНЫХ операторов

01.01.03 "- МЛГёЗАТИЧЕСКАЯ ОГ'йЗЗСЛ

А в Т О Р Е О Е Р А Т

! диссертации на соиек&ние ученой степями каиди-ггата &гаико--ы»Т£ыатичеехш< маус '

ЛЕНИНГРАД 19Я1

Работа выполнена на кафедре вычислительной физики физичеа-кого факультета Ленинградского ордена Ленина и ордена Трудового Красного Еваиени государственного университета.

Научный руководители; доктор физико-математических наук, вед.н.с. Б. П. БЕЛИНСКИЙ,

Официальные оппонента

доктор физико-математических наук М. М. Попов, кандидат физико-математических наук II. Е. Кардашина

Ведущая организация: Ленинградский. ордена Ленина государственный морское технический университет.

Запита состоится "16" мая 1991 г. в . часов на ваоеда-нии сгащзлизировзнного совета К 063.57.17 по присуждению ученой степени каядацата физико-математических наук в Ленинградском государственном университете по адресу: 199004, Ленинград, Университетская наб., 7x9. .

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького при ЛГУ.

Автореферат разослан "5" апреля 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета

0. 11. Манида

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тени Изучение ^¡фракционных 'явления в акустических скстеглзг, содэркзпрт ТОВКОСТОНЕШ упруг-та 2ЛЭК9НТН, представляет значительная кзтэрзс, связазнь-И, прежде есзго, с приложениям корабэльнсз згсустгапт и дефектоскопии издали га упругих материалов. В случае сравнительно невысоких частот дат описания колебания тонкостенных упругих элементов мокно гарзата от уравнения теории упругости к упрощенным моделям. Одной га таких моделей является модель Кирхгофа.

При исследовании нрэззых задач для ангармонического опора-тора, описывающего колебания пластин в вэкуукэ, и гранично-контактных задач акустики особое внимание удалялось явно решаемым задачам1 и задачам дифракция на неоднородности .больаих волновых рзЕ."лровй. Низкочастотная область исследована значительна кеньиз. Позтсиу разработка методов вычисления дифракционных ползи на неоднородности: упругих элементов, имеющих малые волновые разетры, представляет собой актуальную задачу. Креме того, при рассмотрении гранична-коптакгпых задач предполагалось, что акустическая среда является однородной. В связи с исследованием подледаого распространения ¡звука в океане3 актуальным является гарэнесениэ основных результатов теории этих задач на случаи неоднородной акустической среда.

При исследовании дифракции волн на малых отверстиях в идеальных экранах применяется метод моделирования неоднородностеа потенциалами нулевого радиуса"1. Аналогичный подход к гранично-контактным задачам математически базируется на результатах

1 см. работы Д.П.Коузсвз с сотрудниками.

3 метода решения аналогичных задач теории упругости развиты в работах И. И. Ворозича, В. М. Александрова, В. А. Езбошко. Численные катода разработаны также Г.Я.Поповым с сотрудниками.

3 Грудою® С.М. О рзечата поля точечного источника звука в волновода с поверхностью, частично покрытой упругой пластиной-В кн Математические катода прикладной акустики. РТУ, 1ЙЙС. С.06-77.

4 см. работы Б.С.Павлова, М.Д.ФаддееЕЭ, И.Ю.Попоза.

теории расширения для бйтариояиетского опэрэтора7. Цзль рчботы.

1. Исслэдовзшю низкочастотных стационарных колзбания пластины о короткими прямолинейными Еводеородаостши и оправданна чис-лонеых методов решения возникающих интегральных уравнения саврггки с соответствующими особенностями ядер.

2. Пареиесенмз методов роашия гранично-контактных вадач на неоднородные среда, свойства которых зависят от ортогональной к пластине координаты.

3. Сравнение традиционных методов с методикой, возникающей в схеме моделирования неодлороданоствя пластины потенциалами нулевого радиуса.

Научная новизна работы.

1. Исследовано поведение штоков анергии в упругой пластине в окрестности конца тонкой треаины, оправданы условия, аналогичные условиям Майкскэра, для изгибных колебании пластины.

2. Задачи дифракции на конечноа прямолинейной трещине и оапвм-лании для бнгармонического ошратора сведены к интегральным уравнениям свертки с ядрами, и?,какими определенные особенности. Эти интегральные уравнения иссладованы с точки врения теорем, существования и единственности решений и их гладкости. Доказано прихеншость численных алгоротмов типа метода Галэркинз для их решения. Проведены конкретные численные расчеты, получены длинноволновые асимптотики.

При численном и асимптотическом исследовании задач ди£рак-ции выявлены некоторые максимумы эффективного сечзний рассеяния в зависимости от волновой длины неоднородности, приведена их интерпретация. Исследованы зависимости парататрсв рассеяния для материалов с отрицательными значениями коэффициента Пуассона. Исследована дифракция изгибных волн на шрли 6 настком экране и нэ упругом ребре, дарокрываодзм эту щель. Обнаружены явление

7 Кяржпмиа D.E., Павлов Б.О. Взаимодействие нулавого радиуса для бетзрмонического и полигармонического уравнения // Матем. ЗЗМЭТКИ. i960. 1.40. №1. 0.49-59.

- б -

резонанса и шзеркалшсэ отразгзгою волн.

3. Катода ратания гранично-контактных задач в«устихи для тгаа-тины с трощиязяи над однородная полупространством пэренэсзяы па случая стрятгЯЩфоагяноа жидкости. Джл гослзднза са.хрлп получены варианта оптичгсаоз тсорэны, доказана теорема эдинстван-поото р^гглшт а отсутствии попто^ештн.

4. Из оспоез Езэлиза дутянозолновых асимптотик, построенных традиционными кзтода:а, прадзвжэн вариант ютодз потенциалов яулавого радиуса п задачах дгеЦракции акустических na.ni па пластика с пэодаородносткми. По методу потенциалов нугавого радиуса получаны дхинноеолноеуз аскапготики рошоаил задач да^рлшдш акустических воля на пластина с треаданоп и завргизптэгс здоль от-рггка. Псстрсзпн потенциалы нулевого радиуса с внутрзшпгз вза-ккодэзствизм, кодоиругздеэ раЗра кэсткзста а здоальноа экране.

Научная и практическая ценность работы. В работа ппстрсзг:; низкочастотные асшггтотичосюю разложения рассеянного шля в рядэ нов'ч задпч акустыси. Рассглтрзниэ потоков экэрпгл у конца тонкого дефекта придает пзобходиауа математическую строгость формулировка краоЕых устава для бигармонкчэского одаратора. С точностью до процэдуры построения репениз "глубинного" уравнэ-ния получены явные решения гранично-контактных задзч в слуге стратифицированной среды. Предложенный в работа .затод построэния низкочастотны! асимптотических разлаженна в гранично-коя-тактных задачах акустики приводит к существенный упрощениям схемы получения асимптотик рассеянного поля в ряда новых задач и расширяет круг явно решаемых задач. Проведено больпов числа конкретных вычислзниа рассеянных полэа.

Апробация работы. Результаты, изложенные в работе, докла-дадывались на Международном Симпозиуме Еиготео.-^/и на Всесоюзных конференциях: 4-о2 по смешанным задачам механики деформируемого тела, 15-оз по теории пластин и оболочек, "Интегральные уравнения и краевые задачи матемзтическоа физшси"; на Всесоюзных Симпозиумах: "Взаимодеаствиэ акустических волн с упругими телами", 10-ом по дифракции и распространению волн; на выездном научном совещании научного совета АН СССР щ проблема "Акустика" по те"Колебания и излучение механических структур", а

— ß -'

us сзжзарэ по pacjgasrpassiua вола при ¿КЛ1 AU poo?, гудьтйты работы годностью докладазашаь на сосазсгаоа сс.ш»гфз ЛГУ и т\ га грашгшо-ксстажпшп еадач&м.

Публтсацш. Основные результаты дассаргецеа оцуйшсовагы б рсйотаг fi-Bi и додойлгзш на конЗзранцжа и склсзнуаах to-«у.

Структура я обьзм даосортеген. £ясоргацв;. состоит ез дэ&зя» трзз глаз, оапаяонил и пркгзггзм. В&ти «и <яракц, Е:1АЭЮграфия содержит 62 нанхэновакня, рисункоз — ю.

СОДЕШШЕ РАБОТЫ

В работе лроЕодоа адааэ кодрлзя штанцлалав nyjssoro рз-,-V.:yca дая задач о кодабалиях шзстсаи с Еоодасродаосшш, .пезо-дтчэЕоя з вакуума ала гсшздзшюа в г^'стичоисуа срэду. В 'года глiaaaa было устааовлэно, что ¿гказБВныэ кэдзли яаляатся УСТОЙЧИВЫМИ и но кэняотсп при гор^одо к в накоторса сшслз близкая задачам (в частности при пзрохсдо от вакуумных задач к задачам со срздои). ¡/гот ф^кт позволяя разработать слздзвдув процздуру построения асааштотик роаолка гранично-контактных задач вкуста-iai в длинноволновом приближении. Сначала подо;раэтея упроаднпая вакуумная задача (¡Зудам условно взвывать со эталонной), которая исслэдуотся кдасеткооккаи штода:,а1. Вычисляются старше члзги асимптотики какои-хйо характеристики поля в далщзя воно, например, диагракглы направленности круговая веши, расходился от неоднородности. Затем выбиргэтия сайосапр/шйннсо рлегфзпэ некоторого сижзтричного оператора (строится потенциал нул-зваго радиуса), такса, чтобы б задача рэссояния дет зтого'расЕирвния фор?мрсвэлась бы полна с диаграммой, асинпготичзскз совиадаадзв с подученной в зталошгаз задача. Дзлоо эта кодзль, которая задается некоторой ЭрмитоБОЗ цзтрицза, переносится Ез задачу со средой, и с ео помощью строятся требуемые асквятгогзи.

При проввдашш списанной вьшз процедуры ело дует убедиться о возможности переноса модели с вакуумной задачи на полную и йГрЗБЗДЛИВОСТИ модели для полной задачи. Условней возможности такого переноса модели является совшдешю индексов дефекта су-«йавь» операторов в исходной и эталонной задачах. То есть, при Euöapc. атадоаноа задачи надо позаботиться об этом совпадении.

Cjrrra га сргуизатсз а пользу спр^ЕзяЕшоста иояэхц, по крг^эк гзрэ па 2,'рогва пягатэзи, яшлтся совпадет® фермы Ъатояатппэо-wirvca грак1ГО!0-йсятактша: услспхз в полаоа задача и крга-Л1ш уажня в зтзлзпотч. Cr:-vi п г.я-?пяь!м Ергунзнтса з пользу яязязгса проверю этого факта для ешсото-т.сто ппбгт/? гпр?:пх)рг.чх сптуацра.

Гггпэгпцяйгпсэ паторкагз было подтитэса акра

разргЗогпм гатодэ потекшая® яу^йеого радиуса ,тда грязгпа-j'onT; ~rrr,*~ ггдг.ч г.:ц?отзпз5.

D ¡гргоз глг,гз рс:'1ггл"ся вэкотсрвз зсдэти рассзлпия для du-гсргагттэяяаго огорзтора,' потерю расскатркзгэтоя далгэ' кгх г/гакгхко. Dil рассматриваются потоки nraprpi з оярэстцбста ГСЗХЭ тонкого дафэ1гга, ксслэдуэтся кэззшея гэрэраспря^лэшгя гатьназ, ейвгтачкз^тгка отсутств::з гэлучония гаергга ксетря трядаа, госглотрл па пагичгэ шкатмрфуекса особенности у пз-р^рзи-шанира . Вэаультаты этого параграфа оправу übt из-гастаг) а хггзрлтурз условия, яотср-'э ставятся у концов тожик .г.г'лктоп шастшл

£ Ä + г r'Vrt} + г3''2 ril/z>(p> + осгЪ , г —t о

за 2-4 посвзгрЕЫ гаслздавшгз копхротных задач рассз.'гскя, D 32 исаяэдуотся рассэянга па конечной пряяолипзаноа трзггяэ. ¡Задача спадала к двум жтзхро-диффэронциалыша уравнениям свэр-ТКИ ИЗ отрэп'д С ЯДрЗИЯ, ККСЩИО! С-ЯЗДУШИ2 ВИД ( п ■ 2 и •» )

d'1

L Cai га

Sn|s| + an(al ln|a| t- t>n<e> , a^COJ я О tl>

ЗДЗСЬ а^Сп), Ьп<ж) с СГЧ-(о,са>, ТЗЮВ ЧТО^ СУЙВОЛ ЯДра - СЯКТОр:!-агэн. Вэгулягггзация шггеградоэ состоит в бьгеосоши оператора дйМерэшгфованкя кз под знака пнтэгрзла. Установлэна олодуетая Теорема I В класса функция вида и » <1-я,>",""'',исх>, и « « о5!-!,« реазнкз интегрального уравнения гароого рода типа спзртки на отрэзкэ с ядрам «> суажттувт и вдашствшшсгЧшш лхСоа прзвой частя га с^-ьп и при

ЭТОМ и е <Л-1,1].

Дгд численного решения указанных интегральных уравнения прадло-эзнз схема катода ортогональных ишогочлвнов (рззлохвнт яадгтеп

da

ш полиномам Чвбааава второго рода и Гегенбаузра значка 2), доказано. свомтва *вгсинэ квазирегулярности" возникаете баско-начньа систем. Получены численные и аскмпшшчвскйз по калошу параметру к0а ( "к0— волновое числа изгвбаыа: кодзбазкз, а — палу длина Еаодасродаости) результаты ддя диагра*шы напрц^изн-ности V рассеянной волны и ддя казффщкззтоа интенсивности иа-прдаэща »г

* ч Г I- „ 2

« л Г V О> Г , Г коа 1 я За1 * га + 8

* [т} С1.оКа+е> ( £ " I } 5 1ШШГ

+ < (¥) ^ «»»»о+ °[(¥) ]}+

+

+ г

<}Ср> И <п1п2р '+ сТ<й1 В Са1п!р + С2-оО соагр)

^ С соз'й +

К* - - * В Ь сз . £ ♦ 0(к* ."Ъ

здесь а — коэффициент Пуассона, е — кодуль Сага, ь — тсщкна пластины. Отмечены особенности в зависимости эффективного сочз-ния рассеяния на трещине дда| материалов с отрицательными значениями коэффициента Пуассона.

В & 3 исследована дифракция на конечное пряколива£но:л сэ-шемлании пластины. Интегральные уравнения, к которым сводятся задача дифракции, щшатгся уравнениями первого рода типа свертки на отрезке с ядрами <Ь при «»о и ( & в последнем случае следует понимать как двукратное интегрирование). Путем регуляризации второго уравнения (п--2) доказывается теорема I и в случае отрицательных п. Получены асимптотики диаграммы направленности и коэффициентов интенсивности. Установлзно, что влияние трещины и защвмлэния в ближнеа зоне одинакова по порядку дшта рассеивателя, а в дальне! зоне влияние защэмлвния существенно больше, чем трещины.

iífe ais - , , sin p ain í>

: > » -i/»n + —0— I x* + i 1 + t -1-- +

0 rr2 1 J 23 - 1

соя p cea p0 Ск0»>г z . .

+• í--+ - I СОЯ P + сея p I -

2г + ! 2n 0 J

- i (k0»>5 cosCp+po> ees p coa po + 0 £ СкоаЛ*2 J

Здесь "= м ьскоа/4> + r - ín/4 , y — постоянная "гитара.

JC* в - V¡? k* ^ j^jb- ( 1 + 2 co=:Po) +

3 3 4 иссдэдуется прохождение изпйноа волны через цзль в лсстком экрзна, а также через пззль, перекрытую ребром шсткос-ти. В последнем случзэ уравнения, к которым сводится задача, яплялтел штогро-даМюренциальпыни взда (ft+tiH)u=f, где д — дифференциальный оператор, описывавший колебания ребра, нэ связанного с пластиной, и — огорзтер сверли с ядром нэда си. Предполагается, что влияние пластины относительно невелико (мала константа связи с). При асимптотическом я чкслэнном реаения задачи обнаружен аналог яшэния незеркзльного отражения.

В гл.Z метода, применяемые при решения гранично-контактных задач в случае однородной среда, перенесены на задачи с акустической ерэдей, свойства которой заЕиспт от ортогональной к пластине координаты. Доказана теореяа единственности решения в отсутствии поглощения. Офоркулирована оптичэсхзя теорема: Теорема 2 Решения гранично-контактной задачи в двумерном случав удовлетворяет тождеству

П L

* ■ ir j I*1®»!" d9 + к 1 NcKl* ♦ ■

• о I -о

. - Re £ KíOQ) f<-»aJ J <2>

Цдзсь £ - зффаетишюз сачзнш рассзшшя, и[ а - козффэдзнти воабуадзния распространяющихся иод волнового кадглд, — их валношэ числа, ф<»> — диаграмма расходящейся цлшццпчойЕоа волны, не»! — -коэффицкэнт отражения от стратЕфицировапиого слоя, покрытого однородной ПЛаСТКЕОП.

Установдэно, что тонкий неоднородные слой жидкости ( с « о скм^'и/ь « 1, где к — волноЕое число, ь — толщина пластаны, н — толщина слоя неоднородности) не влияет из старший члзн низкочастотной асимптотики шля.

Получено тождество, аналогичное а>, для трехмерного случая

В В 2 построена асимптотика далыгло поля в задаче рассеяния плоской волны на упругой пластина с трещиной вдоль отрезка. Для доиграны направленности поверхностной и сферическое вола справедливы асимптотики:

*поВ. - - £ апа-Гкз^з

•«сфер. " ¿пС1-о>(3^а> co.fi =1пге <)€„> рср^

«

где » определяется частотой о> , плотностью р и цилиндрической «йсткостьв о пластины: » ■ рш2/и. Эти асимптотики используется для обоснования возможности шреноса моделей точечных дефектов,

• построенных в главе 3, с вакуумных задач на задачи со средой.

В главе 3 строятся модели потенциалов нулевого радиуса для трещины и защемления в эталонных задачах главы I. Потенциалы параметризуются эрмитовыми матрицами, которые связывают козффи-

• цивнты асимптотического по г —> о разложения функций из области определения оператора,' описыванщэго колебания пластины с неоднородностью (здесь г - расстояние до силового цэнтра потенциала). Рассеянное поле в модельной задаче строится в виде разложения по мультиполям, принадазжащим ьг1ос<Е*>

(и т- а1 *' г ■ ) с —у—- асх,у,о,о>

В результате решение сводится к отысканию коэффициентов этого разложения таких, что вектор с-ссоо,с1о,со1,сго удов-

•ЯВТВОрЯЭТ СИСТ8М8

з ■ в + ©з }

Здесь вектор ®"<ьоо,^1в,ьо1,ь1о,'ь11'ьо»* определяется падапция

годен г'"с*,у>: ьи - . Матрица в строится го

асимптотика при г о функции Грина. ас*,у,о,оэ вадачи без неоднородности

Г а{*,у,х ,у > - 11 . у вП 4 4 ♦ ■•

I "00 еп ) I Л и ¡ЛГ 5Т

0 0 »00

Маггрнца * выбирается путей сравнения диаграмм расходящихся волн в эталонное и модельной задачах. Для трещины и защэмлэния матрицы КИВОТ ВИД

Г а2 О а

л>ча

«*■ - ООО

о О 1

А

трепйша

с :•)

а-0><3+03

<33

затеммние

Лп

о

о о

-*-2 О

О О

-»-2 О

О .0 -»-2 >»+1 О О

V

О О

о

2а

о гага"1 О

-*-2 О О

-2а'1 О

-2а*

С4>

ЗДЭСЬ « ■ 1пСа/25.

Устанавливается, что голе, рассеянное на потенциале нулевого радиуса, заданном матрице! <а>, совпадагт в стареем порядке с низкочастотными асимптотика«! поля в гранично-контактноя задаче для пластины с трэниной, покршзгери однородаое акустическое полупространства. Гаки» образом построенные для вакуумных моделей матрицы <з> и, го аналогии, м> «югут быть использованы и в гранично-контактных задачах акустики. Методами теории потенциалов нулевого радиуса строятся низкочастотные разложения поля в дальней зоне при дифракции плоской акустической волны на пластине, зацзмлонноа вдоль отрезка. Высказывается предположат®, что слабая неоднородность акустической сроду и

пластины не нарушает применимость построенных моделей трвщиш я защемлэния. В В 3 предлагается модель кззли в жестком экрана и модель упругого стертая» порвкрьшаюшего. эту в^аль к прикрепленного к пластине. 'В последнем случао потенциал нулового радиуса имеет внутренние структуру. При помощи этой .иодэли строятся асимптотика диаграммы направленности расходяиэЕся волны

t <k а)2 SCp> SCpo>

*** - г l + i f + s I ^

SCp}. Ю Ein P ( i slnp + T 1+C03z?5

Здесь P - волновое число крутильных коазбашш ребра, « е d/i: — константа связи колебаний, определяемая цилиндрической нюст-костыэ ь пластины и крутильной месткостыо ребра к. Асимптотика справедлива как вдали от резонансных частот, так и вблизи ресо-нансов четной формы крутильных■колебаний. Таким сбразом при помощи .потенциалов нулевого радиуса возможно построение глобальных по частоте асиогготическиз: разложений рассеянного шлл аз локальных асимптотик, полученных классическижи метода®. Устанавливается тот факт, что модели вооднородноеггеа б вида потенциалов нулевого радиуса дает старшие члэны разложения поля Es только на бесконечности, но и на расстояниях порядка ооЛ, <5>ба>о (где а - дина рассеикзтеля).

Ззклотвниэ содержит общие вшочакия по пркгззкзстЕ ццгген цизлов нулевого радиуса в гранично-контактных задачах аяусггюш • Описаны некоторые трспактивы развития метода.

По материалам диссертация опубликованы следущйэ работы: ,

1. Андронов И. В. Рассеяние изгиЗной волны на конечной прямолинейной трещине в упругой пластине // ГШ,1090, Т.54, Вып. 2. 0.312-321.

2. Авдронов И. В. Моделирование процессов рассеяния на трещине в упругой пластине при помощи потенциала нулевого радиуса // Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1990. Т. 188. С. 14-19.

3. Андронов И. В. Рассеяние изгиЗных волн на тонких неоднород-

ностга в упругая пластине// Дэп. ВИНИТИ № 68-В80 от 4.01.80. 19с. «

4. Андронов И. В., Белинский Б. П. О потоках ЗЕоргии в окрост-носта конца трзщаш з изпзЗно колэбли^эася шгаспЕэ // HIT, ISS0. №3, 0. 1В4-Ш7.

5. Андронов ¡1. В., Еэлшскиз Б. П. О гранично-контактных задачах акустики для вертикально стратифицированной среда, ограниченной сверху плзстазой с сосредоточенными неоднородностя-кл // Ш1.1, I2S0. Т.54. Екп.З. 0. 443-449.

3. Андронов И.В., Еэлинскиа Б.П. Интегро-дифференциальныэ урав-пзшп свертки, Еознинашда в задачах рассеяния на препятствиях ттз отрззка - В кн. Интегральные уравнения й крзевкз задачи глзтст^атичаскоа физики. Тезисы докладов Всесоюзной копфзрэнции, Владивосток, 22-28 октября 1990г.

7. Андронов И. В., Белинский Б. П. Дифракция на конечной трэщи-вэ в упругой пластине - В кн. Скешаные задачи механики деформируемого тола. 4 Всесоюзная конференция, Одесса IS89, Тезжы докладов, ч. I, 0.22.

8. Андронов И. в!, Белинский Б. П. Распространение звука в жидкости под упругой пластиной с трещиной или торосам - В кн. Всесоюзный симпозиум "Взаимодействия волн с упругими тела-гаГ, Таллинн 1989, Краткие тезисы докладов. 0.14-18.

9. Андронов И. В., Белинский Б. П. О задачах дивакцин акустических волн, сводящихся к интегро-дифференциальньи уравнениям типа свертки - В кн. х Всесоюзный Симпозиум по дифракции и распространенно волн. Винница 1990. Кн. I. С. 398-401.

XO.Andronov I.V., Belinskli BP. Integro-defferentlal equations of the convolution type corresponding to diffraction problems - Colloquium on Applications of Mathematics on occasion of the 80th birthday or Lothar Collatz, Hamburg, 1990, Program and abstracts of lectures, p.27.

Отпечатано nt

3«««э H sy

Tup«« r^V

ротепринте. 487,

«ДО ' •м.