Учет геометрических размеров при рассеянии на малых неоднородностях в тонких упругих пластинах, контактирующих с акустической средой тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ

на правах рукописи

Андронов Иван Викторович

УЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РАЗМЕРОВ ПРИ РАССЕЯНИИ НА МАЛЫХ НЕОДНОРОДНОСТЯХ

В ТОНКИХ УПРУГИХ ПЛАСТИНАХ, КОНТАКТИРУЮЩИХ С АКУСТИЧЕСКОЙ СРЕДОЙ

Специальность 01.04.06 - акустика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 ■

Санкт-Петербург 2008 г.

003454024

Работа выполнена на кафедре вычислительной физики Санкт-Петербургского государственного университета.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, снс Шарфарец Борис Пинкусович

Ведущая организация Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится 18 декабря 2008 и 16ю в ауд. 167 на заседании диссертационного совета Д 212.228.04 СПбГМТУ по адресу: г. Санкт-Петербург, Ленинский проспект, д. 101.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГМТУ. Автореферат разослан ' ноября 2008 г. Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук доцент Лавров Юрий Аркадьевич

доктор технических наук,

профессор Осетров Александр Владимирович

кандидат технических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Моделирование процессов рассеяния на тонкостенных конструкциях играет важную роль в задачах гидроакустики, звукоизоляции помещений, и др. При этом необходим учет влияния различных крепежных элементов шла ребер жесткости, а также отверстий и других неоднородностей конструкции. В зависимости от соотношения длины волны падающего излучения и размера крепежного элемента, отверстия или неоднородности можно выделить несколько характерных ситуаций. На низких частотах, когда на длину волны приходится много ребер или иных неоднородностен, их учет возможен в форме усреднения массы, момента инерции и других характеристик неоднородности, "размазывании" по конструкции, что сказывается лишь на замене параметров пластины или оболочки на некоторые эффективные значения При повышении частоты, когда расстояния между неоднородностя-ми становятся сравнимы с характерной длиной волны, подход с усреднением неоднородностей по конструкции перестает быть применим. В этом случае приходится учитывать расположение неоднородностей, но сами неоднородности можно еще считать точечными. Этот диапазон частот обслуживают гранично-контактные задачи математической физики. Дальнейшее увеличение частоты в конечном счете приводит к необходимости рассматривать задачу в трехмерной постановке теории упругости. И здесь возможен лишь трудоемкий численный анализ. Однако молено выделить некоторый промежуточный диапазон частот, когда неоднородность уже нельзя считать точечной, но пластину еще можно описывать в рамках приближенной модели. Вопросу моделирования процессов дифракции на препятствиях имеющих малые, но не нулевые размеры и посвящена данная диссертация.

Цель работы. Классические точечные модели приводят к задачам, решение которых может быть получено в явном виде. Благодаря этому анализ волновых полей достаточно прост. Однако точность моделирова-

л

'С

ния процессов дифракции, которую обеспечивают классические точечные модели может оказаться недостаточной. Для получения поправок поля, которые бы учитывали конечность поверхности препятствия, приходится привлекать достаточно трудоемкие методы интегральных уравнений или применять также весьма трудоемкую процедуру сшивания локальных асимптотических разложений. Основной целью диссертации является разработка обобщенных точечных моделей препятствий, которые бы позволяли вычислять волновые поля с большей точностью, чем классические точечные модели, и в то же время приводили к явно решаемым задачам.

Научная новизна. В диссертации предтожен новый класс точечных моделей неоднородностей тонкой упругой пластины, находящейся в контакте с акустической средой. Обобщенные точечные модели расширяют набор явно-решаемых точечных моделей в гранично-контактных задачах акустики, при этом классические точечные модели являются их частным случаем. Условия в задачах рассеяния на обобщенных точечных моделях формулируются в виде некоторых линейных соотношений, накладываемых на коэффициенты локальных асимптотических разложений акустического поля и поля изгибных деформаций пластины вблизи рассеивающего центра, что может быть проинтерпретировано как замена препятствия пассивными точечными источниками. В основе данной техники лежит теория потенциалов нулевого радиуса, которая впервые применена к гранично-контактным задачам математической физики.

Основной проблемой при построении обобщенных моделей является выбор параметров в указанных соотношениях адекватно моделируемому рассеивателю. На основе анализа структуры условий предложен упрощенный метод определения параметров модели на основе рассмотрения более простых вспомогательных задач. Этот метод сформулирован в виде гипотезы, которая затем проверена для нескольких вариантов пре-

пятствий.

Научная и практическая ценность. Построенные модели конкретных препятствии, а также другие обобщенные точечные модели, которые могут быть получены предложенным в диссертации способом, могут быть использованы во всех прикладных задачах, где ранее использовались классические точечные модели. Это приведет к расширению области применимости соответствующих решений в сторону более высоких частот. Обобщенные точечные модели могут быть также использованы для моделирования препятствий, которые не описываются классическими точечными моделями, что возможно позволит обнаружить интересные физические аффекты.

Ранее, для получения поправок к полям, отвечающим классическим точечным моделям, приходилось привлекать громоздкие математические меюды (метод интегральных уравнений с последующим переходом к асимптотике или метод сращивания локальных асимптотически разложений). Построение же поправок к старшим членам асимптотик решений при помощи обобщенных точечных моделей сводится к решению алгебраической системы небольшой размерности, что существенно более эффективно.

Апробация работы

Основные результаты диссертации доложены на Выездных научных совещаниях научного совета АН СССР по проблеме "Акустика" по теме Колебания и излучение механических структур, Репино 1989, 1991 гг.; IV Всесоюзной конф. "Смешанные задачи механики деформируемого тела", Одесса 1989; Всесоюзном симпозиуме ''Взаимодействие волн с упругими телами", Таллинн 1989; 10-ом Всесоюзном Симпозиуме по дифракции и распространению волн, Винница 1990; Всесоюзной конф. ''Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики", Влади-

восток 1990; NATO Advanced Research Workshop on Classical and Modern Potential Theory and Applications, Chateau Bonnas (Франция), 1993; 915th Meeting of the AMS, Chattanooga (США), 1996; 4-ой Крымской осенней математической школе, Батилиман, Крым, 1997; VIII Symposium sobre Polinomios Ortogonales y sus Applicaciones, Sevilla (Испания), 1997; The 9-th Internal. Colloquium on Differential Equations, Plovdiv (Болгария); Workshop on the Analytical and Computational Methods for Convection-dominated and Singular Peiturbed Problems, Lozenetz (Болгария), 1998; 5-th Inteinat. Conference Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation, Santiago de Compostella (Испания), 2000; 1-st к 2-nd IMA Conferences on Boundary Integral Methods: Theory and Applications, Salford к Bath (Великобритания), 1998 к 2000; Marcus Wallenberg Symposium in memory of S.Ivovalevski: Differential equations к applications, Stockholm (Швеция), 2000, IUTAM Symposium on Diffraction and Scattering in Fluid Mechanics and Elasticity, Manchester (Великобритания), 2000; Symposium "Theoiy of partial differential equations and special topics of theory of ordinary differential equations dedicated to 150-th anniversary of birthday of Sofia V. Kovalevskaya", St.Petersburg, 2000; The 2001 Internal. Congress and Exhibition on Noise Control Engineering, The Hague (Голландия), 2001; The 7-th Internat. Conference on Integral Methods in Science and Engineering (IMSE), Saint-Etienne (Франция), 2002, Symmetry and Perturbation Theory Conference (SPT), Cala Gonone, Sardinia (Италия), 2004 а также неоднократно на Международных семинарах ''День Дифракции", С.-Петербург.

Были также сделаны доклады на семинаре мех-мат МГУ, на семинаре кафедры теории упругости математико-механического факультета СПбГУ, на семинаре по прикладной математике в университете Keele (Великобритания), и на семинаре в ENS Cachan, Париж (Франция).

Результаты, вошедшие в диссертацию, неоднократно докладывались на семинаре по математическим вопросам теории дифракции в Ленинградском - Петербургском отделении математического института АН

СССР - РАН и семинаре по вычислительной и теоретической акустике в Институте проблем машиноведения РАН.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в монографии [30], 35 статьях, приведенных в конце автореферата, а также в тезисах и трудах всесоюзных и международных конференции.

Объем работы составляет 258 страниц, 29 рисунков и графиков. В списке цитированной литературы приведено 207 наименований.

Краткое содержание работы

Работа состоит из введения, 6 глав, заключения, трех приложений и списка цитированной литературы

Введение. Во введении указана основная тема диссертации, обоснована ее актуальность, дана общая характеристика работы, представлен обзор литературы по теме диссертации, указаны основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава: "Общие свойства рассеянных полей". В этой главе приведены уравнений колебания пластин, сформулированы условия излучения, установлены формулы, выражающие рассеянное поле в виде контурного интеграла от аналитического продолжения диаграммы, получены формулы, связывающие амплитуды поверхностных волн с вычетами аналитического продолжения диаграммы акустической волны, приведены формулировки оптической теоремы, доказаны теоремы единственности в общей постановке.

В параграфе 1.1 приводится обобщенное импедансное граничное условие

(А^) тхд'гУ>0)+1\и(*,у,0) = 0, (1)

описывающие тонкую упругую пластину, находящуюся в контакте с акустической средой. Здесь ко — {л2дИ/И)1!4 — волновое число изгибных

волн в изолированной пластине, N = и>2до/Б — параметр, характеризующий нагружение, ¡)и — плотности пластины и акустической среды, Л и О — толщина п цилиндрическая жесткость пластины, и> — частота колебаний. Условие (1) допускает существование волны, распространяющейся вдоль пластины без затухания и экспоненциально убывающей при удалении от пластины.

В параграфе 1.2 приводится общая формулировка задач дифракции на компактных препятствиях в присутствии тонкой упругой пластины. Задачи являются двуканальными, что находит отражение в частности в условиях излучения

Здесь ы. — волновое число поверхностной волны, (I = 2 или 3 — размерность задачи, и введены сферическая (г, и цилиндрическая (р, системы координат (в двумерных задачах соответственно полярная (г, г)) и декартова, при этом р — |аг|).

В параграфе 1.3 для невозмущенной задачи (без препятствия) приводятся функции Грина. Одна функция Грина, С(г,г0), отвечает акустическому источнику, расположенному в точке Го (дельта-функции в уравнении Гельмгольца). Вторая, б(г, р0), отвечает сосредоточенной силе, приложенной к пластине в точке р0 (дельта-функции в обобщенном импедансном граничном условии).

В параграфе 1.4 выводятся интегральные представления рассеянного поля, устанавливаются его аналитические свойства, которые могут быть сформулированы в виде следующей теоремы: Теорема (с? = 3)

Пусть П произвольная ограниченная область и пусть фунщия {/(г) удовлетворяет вне П уравнению Гельмгольца при г > 0 и граничному условию (1), а также условиям излучения (2).

<¡-1

1А г— 1г(с1—

Тогда .*

1) Диаграмма из асимптотики (2) является мероморфной функцией ß.

2) Имеет место формула типа формулы Зоммерфельда. выражающая функцию U б виде интеграла от аналитического продолжения ее диаграммы Ф

'2тг + гоо

U(r) — —J dip j cos ú di) exp (ik(x eos ú sin cos i) cos <p+z sin ß)) Ф(-!?, <p),

0 тт/2

где интегрирование no i) проводится от к/2 до +гоо по модифицированному контуру Зоммерфельда. изображенному на рис.. 1.

3) Имеет место следующая формула связи каналов

Ф(^) = -2пг'- Res Ф(гЛ^), tT = arceos (к//с).

К !? = !?*

Аналогичная теорема имеет место и в случае двумерной задачи (d — 2). При этом

</;± = —2ni Res Ф(<?), д± = arccos(±K/fc).

В параграфе 1.5 для корректно поставленной задачи дифракции (при отсутствии активных источников в препятствии) формулируется закон сохранения энергии ("оптическая" теорема).

Далее (в параграфе 1.6) доказывается теорема единственности решения задачи дифракции на компактном препятствии в присутствии

Imtf

0* )

— к/2 7Г/2 7Г

0

Рис. 1: Модифицированный контур Зоммерфельда

бесконечной пластины. Исторически впервые доказательство единственности было_ дано в1, но оно использовало специфическую структуру препятствий. Следующий шаг был сделан в [18], [27], где структура препятствия была не существенна Распространение техники на случай (I = 3 сделано автором, что позволяет считать вопрос единственности решения гранично-контактной задачи дифракции на компактном препятствии полностью решенным.

Для задач дифракции изгибных волн в изолированной пласшне георема единственности доказана лишь для таких краевых условий, когда на части границы обращаются в нуль смещения ш, а на оставшейся части границы обращаются в нуль углы поворота дю/ди. В параграфе 1.7 для условий импедансного типа приведен пример задачи, в которой существует локализованная волна, что отвечает дискретному спектру на непрерывном

Вторая глава: "Обобщенные точечные модели" В параграфе 2.1 рассматриваются классические точечные модели защемленной точки, трещины, прикрепленной массы и момента инерции. Описывается процедура построения решения, разработанная Д.П. Коуювым2, и приводятся формулы и численные результаты для диаграмм Ф рассеянных полей.

В параграфе 2.2 предлагается способ расширить класс точечных моделей. При этом условия Мейкснера заменяются некоторыми иными условиями, которые допускают существование сингулярностей поля. Сначала такие условия выводятся для случая жесткого экрана, затем для случая изолированной пластины и наконец для пластины, контактирующей с акустической средой.

'Белинский В П. (1981) О единственности решения стационарных задач акустики подкрепленных пластип // Записки паучн ссмин ЛОМИ, т 104, с 14-19

2Коузов Д П (1964) О явлении резонанса при дифракции плоской гидроакустической волны на системе трещин в упругой пластине // ПММ Т 28. N 3. с. 409-417.

О а

Рис. 2: Геометрия задачи об узкой трещине.

В параграфе 2.3 обсуждается структура обобщенных точечных моделей и высказывается гипотеза связи параметров моделей в трех задачах: о жестком экране, об изолированной пластине и о пластине, находящейся в контакте с акустической средой. Согласно этой гипотезе выбор параметров модели может осуществляться по следующей схеме. Сначала строится модель препятствия в жестком экране, которая формулируется в виде уравнений, налагаемых на коэффициенты локального асимптотического разложения поля давления. Затем строится модель препятствия в изолированной пластине, которая задается системой уравнений на коэффициенты локальной асимптотики смещения пластины Затем эти две системы уравнений объединяются, что и дает модель препятствия в погруженной пластине. Данная процедура применена в последующих главах.

Третья глава: "Модель узкого выреза" В этой главе исследуется задача рассеяния на узком вырезе в тонкой упругой пластине, находящейся в одностороннем контакте с акустической средой. Геометрия задачи представлена на рис. 2.

Сначала в параграфе 3.2 рассматривается случай жесткого экрана Решение такой задачи может быть найдено, например, в3. Далее рассма-

3Хенл X , Мауэ А , Вестпфаль К. (1964) Теория дифракции М Мир, 428 с

тривается задача о трещине в изолированной пластине, которая формулируется в виде краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. В параграфе 3.4 строится обобщенная точечная модель узкой трещины, которая формулируется в виде следующих условий. Акустическое давление имеет асимптотику вида

t/~--ln(2r/a) + o(l), г -> О

7Г

с произвольным с. Смещение пластины удовлетворяет контактным условиям

w"(±0) = 0, ш'"(±0) = О

В параграфе 3 5 строится решение задачи рассеяния на обобщенной точечной модели узкой трещины. Диаграмма рассеянного поля дается точной формулой

iN к2 sin ú sin i?o / к4 cos2 & cos2 ^о к6 cos3 0 cos3 i?0

Ф=Т L(Í))L(0о) \ Di De

тг (М{д) + NJ2D?k2 cos") (M(i?0) + NJiD^k2 cosg) 1

1 п(ка/4) + С - гтт/2 - nNJ + ttNJ¡Da

-i

(3)

Здесь

M(Ú) = fc4cos4i? - fc4, L{ß) = iksinúM(i)) +N, (4)

и введены гранично-контактные интегралы

1 ,. Т +„\(«A)VA2-fcJ „ т 1 7(«А)' »

— lim / е ; -¿A, J, = — / ^тс/А,

2тг С-++0 J L{X) 2тт J

1(A)

+ 00

—со

В параграфе 3 6 исследуется дифракция на узкой трещине в точной постановке. С использованием функции Грина невозмущенной задачи,

выводится интегральное представление для рассеянного поля. В атом представлении присутствуют неизвестная функция, имеющая смысл вертикальных смещений на свободной поверхности, и 4 постоянные, выражающие смещения и повороты кромок пластины. При подстановке интегрального представления в условие Дирихле на отрезке [—я, я] и в гранично-контактные условия в точках ±я возникает интегро-алгебраическая система уравнений. С использованием теорем из приложения В проводится исследование разрешимости этой системы. Затем строится асимптотика решения при я-»0 и вычисляется диаграмма Ф.

В параграфе 3.7 обсуждаются полученные формулы. Первые два слагаемых в фоомуле (3) отвечают классической точечной модели трещины. Последнее слагаемое по параметру ка имеет логарифмический порядок малости, однако является старшим по параметру к/г (/г — толщина пластины), который должен быть малым для применимости модели тонкой пластины. Формула (3) с точность порядка о(1/1а(ка)) совпадает с асимптотикой Ф, полученной в параграфе 3.6. Таким образом обобщенная точечная модель подправляет классическую и позволяет заключить, что классической точечной моделью можно пользоваться лишь в случае экспоненциально узких трещин (ка ехр (—(М)-8/0)) и при неортогональном падении.

В параграфе 3 8 построенная обобщенная модель переформулируется для случая косого падения. Это позволяет исследовать кромочные волны, сосредоточенные у узкой трещины, что сделано в параграфе 3.9. Численно установлено, что поправка на ширину трещины мало влияет на свойства кромочных волн. Показано, что симметричная кромочная волна существует при любых параметрах системы пластина -акустическая среда, а антисимметричная волна существует лишь при слабом нагружении пластины и лишь в ограниченном диапазоне частот /х < / < /2. Для акустической среды с малой плотностью (воздуха) нижняя критическая частота составляет доли герца, а верхняя /2 прак-

тически совпадает с частотой совпадения = ("2тг)—1 с2\fghjl). При увеличении плотности акустической среды /1 увеличивается, а /2 уменьшается, п для стальной пластины в воде диапазон [/ь/г] вырождается и антисимметричная кромочная волна не распространяется. Проводится анализ потоков энергии, переносимой кромочными волнами, и профилей прогиба пластины.

В параграфе 3.10 обсуждаются другие обобщенные точечные модели препятствий в пластине, приведены численные расчеты эффективных поперечников рассеяния таких препятствий.

Четвертая глава: "Модель выступающего ребра в упругой пластине" Геометрия задачи представлена на риъ. 3. Построение обобщенной точечной модели проводится по той-же схеме, что и в главе 3, и приводит к следующей формулировке: акустическое поле V должно иметь локальную асимптотику вида

и = Ьх (~Г (г + Тг + г)со:3д + 6 + ь*г 15511д + ^

где Ьх,Ь\\Ьг — произвольные постоянные, Н — высота ребра, а смещение пластины подчиняется контактным условиям

£>[гг'"] = ш3Ми>[ 0), £[«/'] = -V/«.•'( 0). отвечающим присоединению точечной массы М и момента инерции I.

Я

X

Рис. 3: Геометрия задачи о выступающем ребре.

В параграфе 4.5 найдено выражение дтя диаграммы рассеянной волны

i Лг.4 к2 bin ú sin 0о Г 1 к2 cos 0 cos i^o

V (t:,o)= т £(ú)£(ú0) \D0-DH^M) TTQ X

1 тгЯ2

+

(^N (/c4 eos4 Ú0 - ¡4) (к4 cos4 ¿> - A,-4) -

D2 + D/(/-;2) )_}'

_D2 + D/(IX2) 2

J2 (í;4 eos4 t)0 + к4 cos4 i] - + Zn

где

Zn -

V ^ 2 2 J 2ж J ¿(A)

2тг V 2 2 У 2тг У ¿(А)\Д2-)к2

— СЮ

д = - ДГТЖ^1))

Результаты, полученные Б.П. Белинским4, для асимптотики решения задачи дифракции на выступающем ребре жесткости в точной постановке позволяют заключить, что модель воспроизводит поле с точностью до членов порядка Я2.

Пятая глава: "Модель короткой трещины" В этой главе рассматривается трехмерная задача дифракции на пластине с трещиной вдоль отрезка {.г = 0, —а<у< а}. Геометрия задачи приведена на рис. 4. Сначала в параграфе 5.2 исследуется задача рассеяния на короткой трещине в изолированной пластине. Задача сводится к паре интегральных уравнений свертки на отрезке. Ядра являются суперсингулярными с особенностями вида \x-t\~2 и — ¿|-4. Решение ищется в классах функций вида

___/ \ 3/2

«МО, и ф2{1)= -¿2) Ф2(0 (8)

4Белинский Б П (1978) Дифракция плоской волны на пластине, подкрепленной выступающим ребром // ПММ, т 42(3), с. 486-493

Рис. 4: Геометрия задачи рассеяния на короткой трещине.

с гладкими Ф1т2- Проводится регуляризация интегральных уравнений, которая заключается в вынесении за знак интеграла дифференциальных операторов соответственно второго и четвертого порядка. При помощи теорем из приложения В устанавливается разрешимость и единственность решений интегральных уравнений в соответствующих классах. Для не слишком больших значений fco« предлагается численная процедура решения интегральных уравнений, состоящая в применении .метода ортогональных многочленов. Для бесконечных систем линейных алгебраических уравнений обосновывается метод редукции. Приводятся численные результаты для эффективного сечения рассеяния и коэффициентов интенсивности напряжений. Для малых fc0a строятся асимптотики диаграммы направленности. В старшем порядке имеем

/ / л 1<1 * (о- c°s2 9 + sin2 <р)(а COS2 <fo + sin2 . ,

Mv>) ~ ¡М-(i-ff)(3 + <r)-• (9)

В диссертации приведены также члены порядка О ((к0а)4).

Интерпретация асимптотики (9) как диаграммы изгибной волны, рассеянной пассивным точечным источником позволяет сформулировать в параграфе 5.3 обобщенную точечную модель короткой трещины сначала в изолированной, а затем и в погруженной пластине. Условие на точечном препятствии формулируется в виде асимптотики изгибных смеще-

НИИ

ab2 о + 6о2 "2

(1 - ст)(3 + а)

r2 i/2

+ 6o0 + 6iox + 6oiy + 620— + bnxy + b02~- + ■ • •. И (10)

Здесь коэффициенты btJ — произвольные.

В параграфе 5.4 строится решение задачи рассеяния на обобщенной точечной модели

íkNa2 к3 sin 1) cos2 i) к3 sin д0 cos2 ú0

Ф = .4-

тг(1 — <т)(3 + с) £(tf 0)

x 7 eos2 + sin2 (cr eos2 o + sin2 x

-1

Здесь

(гЛ)'Л clX

Затем, в параграфе 5.5, та же задача дифракции на короткой трещине в упругой пластине исследуется методом интегральных уравнений. Характер особенностей ядер оказывается таким же как и в случае изолированной пластины. Асимптотический анализ приводит к асимптотике диаграммы, которая в старшем члене совпадает с формулой (11).

Шестая глава: "Модель отверстия малого радиуса" Построенные в главах 3, 4 и 5 обобщенные точечные модели обосновывались путем сравнения с решением соответствующих задач в точной постановке. В данной главе такого обоснования не проводится. Здесь строится модели отверстия малого радиуса (см. рис. 5). На свободной поверхности жидкости ставится условие Дирихле и рассматриваются два варианта гранично-контактных условий на кромке отверстия: условия свободной

Рис. 5: Геометрия задачи рассеяния на отверстии малого радиуса.

кромки и условия зажатой кромки. Вспомогательные задачи рассеяния на круговом отверстии в жестком экране и на круговом препятствии в изолированной пластине допускают разделение переменных. Их решения известны0. Обобщенная точечная модель кругового отверстия радиуса а со свободными кромками формулируется в виде двух асимптотических разложений

— (ТО? х^ у^

10 ~ --{Ь2а + Ь02)1п(р1а) + Ь0о + Ь1ох + Ьо1у + Ь2о— + Ьпху+ Ь02—+ о(р2)

I — <7 II

с произвольными с и Ь1у

В параграфе 6.6 исследуются волны, сосредоточенные у периодического набора точечных дефектов. Сначала исследуется случай точечных масс, являющийся задачей с классическими контактными условиями6. Исследуются условия существования незатухающих волн в изо-

°Решение первой см , например, Хенл X , Мауэ А , Вестпфаль К. (1964) Теория

дифракции М Мир, 1964, 428 с ; решение второй см в Коненков Ю.К (1964) Ди-

фракция изгибной волны на круговом препятствии в пластине // Акуст журн , т

10(3), с. 186-190

6Коузов ДП , Лукьянов В.Д (1976) О звукопрозрачности тонкой упругой пластины, подкрепленной в дискретном наборе точек // Акуст ж , т. 22(1), с. 43-52

лированной пластине и в пластине, находящейся в контакте со средой. Установлено, что в изолированной пластине распространяющаяся вдоль защемленных точек волна возможна лишь при достаточно малом шаге (Ы < 1.65). При уменьшении массы, шаг может быть увеличен В случае пластины, погруженной в жидкость, волны бегущей вдоль защемленных точек не существует. Затем исследуются волны распространяющиеся вдоль периодического набора отверстий малого ради\са а. В случае изолированной пластины задача оказывается эквивалентной случаю с прикрепленными массами

I — а а;'

в случае пластины, контактирующей с водой, волн, распространяющихся вдоль набора отверстий не существует, а в случае контакта с воздухом волны существуют лишь в ограниченном сверху и снизу диапазоне частот.

Заключение В заключении обсуждаются общие свойства моделей, перечисляются все построенные в диссертации модели, анализируются возможности дальнейшего обобщения.

Приложение А: "Исследование и регуляризация гранично-контактных интегралов". Асимптотики рассеянных полей и точные решения в задачах рассеяния для классических и обобщенных точечных моделей содержат гранично-контактные интегралы Некоторые из них определяются как пределы и требуют регуляризации. Процедура такой регуляризации для интегралов разработана Д.П.Коузовым. Аналогичная процедура может быть применена и к другим гранично-контактным интегралам, появляющимся в диссертации Процедура регуляризации и явные выражения для интегралов 0(, 3 и др. приведены в приложении А.

Приложение В: "Интегральные уравнения типа свертки на конечном интервале". Здесь изложены некоторые вопросы теории интегральных, пнтегро-дифференцпальных и ннтегро-алгебранческих уравнений и систем, которые возникают при исследовании задач дифракции на препятствиях типа отрезка, изучаемых в главе 3. Вводятся классы Sm, определяемые как множество функций p(t) таких, что

p(t) = (1 - t2)m~1+S PeC2[-l,l], ¿ > 0, (12)

и доказываются теоремы разрешимости. В частности следующая Теорема

Пнтегро-дифференциальное уравнение i

d2m f

— J К(х - L)p{t)dl = /(.г), |а-| < 1, -i

с ядром, имеющим секториалъный символ и представимом 6 виде

K(s) = In |s| + a(s2) In \s\ + b(s2), a(0) = 0

с a,b 6 C°° имеет единственное решение в классе §m для любой / 6 С2. При этом в представлении (12) параметр 6 = 1/2, и для / £ Сп+2 функция Р 6 С",+".

Приложение С: "Варианты системы пластина—акустическая среда, используемые для численных расчетов" содержит числовые значения параметров двух моделей, использованных в диссертации для численных иллюстраций:.

Положения, выносимые на защиту

1. Формула связи каналов рассеяния, выражающая амплитуды поверхностных волн через вычеты аналитического продолжения диаграммы в комплексном полюсе, и формула, выражающая рассеянное поля в виде интеграла по модифицированному контуру Зом-мерфельда от аналитического продолжения диаграммы.

2. Класс обобщенных точечных моделей и способ подбора параметров этих моделей, а также модели для конкретных препятствий, имеющих малые волновые размеры.

3. Асимптотики решений ряда задач дифракции акустических и поверхностных волн на пластинах, однородность которых нарушена в компактной области, и свойства кромочных волн и волн, распространяющихся вдоль периодического набора масс или отверстий в тонкой упругой пластине.

4. Теорема существования и единственности решения суперсингулярных интегральных уравнений типа свертки, а также способ регуляризации интегрального уравнения первого рода с гладким ядром, имеющим особенность вида (х — #)21п |а- — и теорема существования и единственности решения интегро-алгебраического уравнения, возникающего в результате такой регуляризации.

Список основных публикаций по теме диссертации

1. Андронов II.В. (1990) Рассеяние нзгибной волны на конечной прямолинейной трещине в упругой пластине //ПММ, т. 54, вып. 2, с. 312— 321.

2. Андронов И.В., Белинский Б.П. (1990) О гранично-контактных задачах акустики для вертикально стратифицированной среды, ограниченной сверху пластиной с сосредоточенными неоднородностями//ПММ, т. 54, вып. 3, с. 443-449.

3. Андронов И В., Белинский Б.П. (1990) О потоках энергии в окрестности конца трещины в изгибно колеблющейся пластине //Механика твердого тела, N 3, с. 184-187.

4. Андронов И.В. (1990) Моделирование процесса рассеяния на трещине в упругой пластине при помощи потенциалов нулевого радиуса //Записки научных семин. ЛОМИ, т. 186, с. 14-19.

5. Андронов И.В., Белинский Б.П. (1991) Об особенностях рассеяния изгибных волн на конечной прямолинейной трещине в упругой пластине //Акуст. жури., т. 37, вып. 4, с. 817-819.

6. Андронов И.В., Белинский Б.П. (1992) Прохождение изгибной волны сквозь неоднородность в абсолютно жестком ребре, подкрепляющем упругую пласпшу //Исследования по теории пластин и оболочек, Изд. Казанского Университета, 1992, вып. 24, с. 124-130.

7. Андронов И.В. (1992) Применение точечных моделей трещин в гранично-контактных задачах акустики //Журн.выч.матем. и ма-тем.физики, т. 31, вып 2, с. 285-295.

8. Андронов И.В. (1992) Интегро-дифференциальные уравнения свертки на конечном промежутке с ядром, имеющим логарифмическую особенность //Записки научн. семин. ЛОМИ, т. 20-3, с. 5-11.

9 Андронов И.В (1993) Оптическая теорема для системы пластина — стратифицированная жидкость //Акуст. журн,, т. 39, вып. 1, с. 1318.

10. Андронов И.В. (1993) Распространение звука в жидкости под упругой пластиной с трещиной //ПММ, т. 57, вып, 2, с. 141-146.

11. Andronov I.V. (1993) Application of zero-range models to the problem of diffraction by a small hole in elastic plate //J. of Mathematical Physics, v. 34, N 6, p. 2226-2241.

12. Андронов И.В. (1994) Прохождение изгибной волны сквозь неоднородность в абсолютно жестком ребре, подкрепляющем упругую пластину //Записки научн. семин. ПОМИ, т. 210, с. 22-29.

13. Андронов И.В. (1995) Применение потенциалов нулевого радиуса для построения явно решаемых моделей неоднородностей в упругих пластинах //ПММ, т. 59, вып. 3, с. 451-463.

14. Andronov I.V., Belinskiy B.P. (1995) Scattering of a flexuial wave on a finite stright crack in elastic plate //J. Sound and Vibration, v. 180, N 1, p. 1-16.

15 Andronov I.V., Belinskiy B.P., Dauer J.P. (1996) The connection between the scattering diagram and the amplitudes of the suiface waves for acoustic scattering by a baffled flexible plate //.J. Sound Vibration, v. 195, N 4, p. 667-673.

16. Andronov I.V., Belinskiy B.P., Dauer J.P. (1996) Scattering of acoustic wave by a narrow crack in elastic plate //Wave Motion, v. 24, p. 101-115.

17 Андронов И.В., Белинский Б.П. (1997) Рассеяние гидроакустических волн на узком вырезе в упругой пластине //ПММ, т. 61, вып. 2, с. 202-209.

18. Andronov I.V., Belinskiy B.P. (1998) Sommerfeld's formula and uniqueness for the boundary value contact problems //.J.Physics A.: Math. Gen., v. 31, p. L405-L411.

19. Andronov I.V., Belinskiy B.P. (1998) Acoustic scattering on an elastic plate described by the Timoshenko model: Contact conditions and uniqueness of the solution //JASA, v. 103, N 2, p. 673-682.

20. Андронов И.В. (1998) О сравнении моделей дефектов пластин в гранично-контактных задачах акустики //Акусг. журн., т. 44, вып. 2, с. 149-154.

21. Andronov I.V. (1998) Application of Zero Range Potentials for Fractures Modelling in Fluid Loaded Elastic Plates //Applicable Analysis, v. 68, p. 3-29.

22. Андронов И.В. (1999) О волнах, распространяющихся вдоль узкой трещины в упругой пластине //Акуст. журн., т. 45, вып. 4, с. 445-449.

23. Andronov I.V. (1999) Zero-range potential model of a protruding stiffener //J. Physics A: Math. Gen., v. 32, p. L231-L238.

24. Andionov I.V. (2000) Generalized point model of a narrow crack in a fluid loaded elastic plate, in: Analytical and Numerical Methods for Convection-Dominated and Singularly Perturbed Problems. Nova Science Publishers, Inc., N.Y., 2000.

25. Андронов И.В. (2001) О потоке мощности, распространяющемся вдоль прямолинейной трещины в упругой пластине //Акуст. журн., т. 47, вып. 3, с. 293-296.

26. Андронов И.В. (2001) Дифракция изгибной волны на коротком спае полубесконечных упругих пластин //ПММ, т. 65, вып. 5, с. 895-905.

27. Андронов И.В., Белинский Б.П. (2001) О единственности решения задач дифракции на бесконечной пластине с локальными неодно-родностями //Акуст. журн., т. 47, вып. 1, с. 7-14.

28. Andronov I.V., Belinskiy В.P. (2002) Acoustic scattering from an elastic plate supported by a rigid narrow rib //Wave Motion, v. 35, p. 277-287.

29. Andronov I.V. (2002) Generalized pomt models in boundary contact value problems of hydroelasticity //Operator Theory: Advances and Applications, v. 132, p. 77-86, Birkhauser Verlag Basel/Switzerland.

30. Andronov I.V. (2002) Generalized point models in structural mechanics, (Series on stability, vibration and control of systems, Series A volume 5) //World Scientific 2002, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong.

31. Андронов И.В. (2003) Дифракция и излучение изгибных волн круговым отверстием с распределенной нагрузкой на краю (неединственное и несуществующее решения) //Акуст. журн., т. 49, вып. 4, с. 465468.

32. Andronov I.V., Belinskiy В.P., Xu Y., Gilbert R. (2003) Some mathematical and numerical aspects of acoustic scattering //Recent Res. Devel. Acoustics, v. 1, pp. 171-203.

33. Andronov I.V. (2004) Stoneley type flexure waves in thin elastic plates //J. of low frequency noise, vibration and active control, v. 23, N 4, pp. 249-257.

34. Андронов И.В. (2007) Об аналитических свойствах и единственности решений задач рассеяния на компактных препятствиях в бесконечной пластине, описываемой моделью Уфлянда-Миндлина //Акуст. журн., т 53, N 6, с. 741-748.

35. Андронов II.В. (2008) О влиянии импеданса на распространение волн соскальзывания //Акуст. журн т 54, N 2, с. 173-180.

Подписано в печать 05 06 2008 г Формат бумаги 60x84'/|6 Бумага офсетная Гарнитура Тайме Печать ризографическая Уел печ л 2,0 Тираж 100 экз Заказ 4226 Отпечатано в отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр 26

Введение б

1 Тема и общая характеристика работы.

2 Обзор литературы по теме диссертации

3 Цели и основное содержание работы.

4 Положения, выносимые на защиту.

5 Публикации и апробация.

1 Общие свойства рассеянных полей

1.1 Система пластина - акустическая среда.

1.2 Задачи рассеяния и общие свойства решений.

1.3 Функция Грина невозмущенной задачи.

1.4 Интегральное представление.

1.5 Оптическая теорема.

1.6 О единственности решения.

1.7 Изгибная волна, сосредоточенная у кругового отверстия

2 Обобщенные точечные модели

2.1 Классические точечные модели.

2.2 Обобщенные точечные модели.

2.2.1 Обобщенные модели для жесткого экрана

2.2.2 Изолированная пластина.

2.2.3 Обобщенные точечные модели для пластины в контакте со средой.

2.3 Структура моделей.

3 Модель узкого выреза

3.1 Схема изложения.

3.2 Случай идеально жесткого экрана.

3.3 Случай изолированной пластины.

3.4 Обобщенная точечная модель узкой трещины.

3.5 Рассеяние на точечной модели узкой трещины.

3.6 Дифракция на трещине конечной ширины в пластине, погруженной в жидкость.

3.6.1 Постановка задачи

3.6.2 Вывод интегральных уравнений.

3.6.3 Асимптотика поля при ка <С 1.

3.7 Обсуждение и численные результаты.

3.8 Модель узкой трещины для косого падения.

3.9 Кромочные волны, сосредоточенные у узкой трещины

3.10 Обсуждение моделей

4 Модель выступающего ребра в упругой пластине

4.1 Предварительные замечания.

4.2 Классическая постановка задачи.

4.3 Акустическая компонента.

4.4 Изгибная компонента.

4.5 Обобщенная модель выступающего ребра жесткости

4.6 Численные результаты.

5 Модель короткой трещины

5.1 Введение.

5.2 Рассеяние на короткой трещине в изолированной пластине 145 5.2.1 Постановка задачи

5.2.2 Вывод интегральных уравнений.

5.2.3 Численный анализ.

5.2.4 Численные и асимптотические результаты

5.3 Обобщенная точечная модель короткой трещины

5.3.1 Изолированная пластина.

5.3.2 Пластина в контакте с акустической средой

5.4 Рассеяние на обобщенной точечной модели короткой трещины

5.5 Дифракция на короткой трещине в пластине, находящейся в контакте с акустической средой.

5.6 Обсуждение.

6 Модель отверстия малого радиуса

6.1 Введение.

6.2 Случай абсолютно жесткого экрана.

6.3 Случай изолированной пластины.

6.4 Обобщенная точечная модель.

6.5 Другие модели отверстий.

6.6 Периодический набор препятствий.

6.6.1 Изолированная пластина с периодическим набором точечных масс

6.6.2 Погруженная пластина с периодическим набором точечных масс.

6.6.3 Изолированная пластина с периодическим набором отверстий.

6.6.4 Погруженная пластина с периодическим набором отверстий.

1 Тема и общая характеристика работы

Моделирование процессов рассеяния на тонкостенных конструкциях играет важную роль в задачах гидроакустики, звукоизоляции помещений, и др. При этом необходим учет влияния различных крепежных элементов типа ребер жесткости, а также отверстий и других неод-нородностей конструкции. В зависимости от соотношения длины волны падающего излучения и размера крепежного элемента, отверстия или неоднородности можно выделить несколько характерных ситуаций. На низких частотах, когда на длину волны приходится много ребер или иных неоднородностей, их учет возможен в форме усреднения массы, момента инерции и других характеристик неоднородности, "размазывании" по конструкции, что сказывается лишь на замене параметров пластины или оболочки на некоторые эффективные значения. При повышении частоты, когда расстояния между неодно-ронос гями становятся сравнимы с характерной длиной волны, подход с усреднением неоднородностей по конструкции перестает быть применим. В этом случае приходится учитывать расположение неоднородностей, но сами неоднородности можно еще считать точечными. Этот диапазон частот обслуживают гранично-контактные задачи математической физики. Дальнейшее увеличение частоты в конечном счете приводит к необходимости рассматривать задачу в трехмерной постановке теории упругости. И здесь возможен лишь трудоемкий численный анализ. Однако можно выделить некоторый промежуточный диапазон частот, когда неоднородность уже нельзя считать точечной, но пластину еще можно описывать в рамках приближенной модели. Вопросу моделирования процессов дифракции на препятствиях имеющих малые, но не нулевые размеры и посвящена данная диссертация.

В диссертации предложена схема построения обобщенных точечных моделей различных типов неоднородностей в задачах дифракции на неоднородной пластине, находязейся в контакте со средой, и построены некоторые конкретные модели. Обобщенные точечные модели расширяют набор явно-решаемых точечных моделей в гранично-контактных задачах акустики, при этом классические точечные модели являются их частным случаем.

Диссертация, написана на основе монографии автора "Generalized point models in structural mechanics", опубликованной в 2002 г. в издательстве "World Scientific" [32].

Заключение

1 Общие свойства моделей

Обобщенные точечные модели препятствий в погруженных в среду тонких упругих пластинах воспроизводят рассеянное поле при помощи подходящих пассивных источников, помещенных в центральной точке препятствия. Амплитуды этих источников определяются так, чтобы поле имело заданную локальную асимптотику вблизи силового центра. Однако эта асимптотика устанавливает не прямую пропорциональность амплитуд падающему полю, а включает своего рода "само-воздействие" источников как схематически показано на рис. 1. Падающая волна (акустическая и/или изгибная) создает вблизи препятствия некоторое регулярное поле, заданное своим разложением в ряд Тейлора. Модель напрямую связывает амплитуды пассивных источников с этим регулярным полем и эта связь согласно гипотезе определяется только самим препятствием. Однако, пассивные источники в свою очередь создают регулярное поле вблизи силового центра, это поле возникает ввиду присутствия среды, отражений от удаленных объектов и т.п. Это воздействие источников через окружающую среду на самих себя зависит от глобальных свойств механической системы и акустической среды, оно "знает" общую геометрию задачи, но не "знает" ничего о препятствии. Такое разделение параметров на глобальные, характеризующие среду и пластину, и локальные, зависящие только от препятствия, играет важнейшую роль в процедуре построе

Рис. 1: Схема обобщенных моделей ния обобщенных моделей.

Анализ классических точечных моделей показывает, что они являются частными примерами обобщенных моделей, в которых присутствуют только такие пассивные источники, которые не приводят к сингулярностям поля в силовом центре. Структура, схематично представленная на рис. 1 может быть обнаружена и в классических точечных моделях.

2 Обобщенные модели как пассивные источники

Перечислим построенные в диссертации обобщенные модели препятствий в двумерных гранично-контактных задачах.

1. Модель узкой трещины (со свободными кромками) и = —— 1п(2г/а) + о(1), г —>- 0, и>"(±0) = 0 , «/"(±0) = 0 .

7г

2. Модель узкого выреза с зажатыми кромками (2а — ширина выреза)

11 = —— 1п(2г/а.) + о(1), г —» 0, ги(±0) — 0 , «/(±0) = 0 .

7г

3. Модель пузырька (а — радиус пузырька)

17 = —— 1п(2г/а) + о(1), г-> 0, те С3.

7Г

4. Модель выступающего ребра ^-г 1п(г)^ + г^ сое $ + Ь + вт д + о (г)

Я[и/"] = о;2М'ш(0), Г>К1 = -^2/™'(0).

5. Предельные модели выступающего ребра при М, 1 — 0 или оо.

В приведенных выше условиях величины с, Ьх, & и являются произвольными постоянными.)

Эти модели комбинируют пассивные источники из следующего набора: акустический центр расширения, акустический диполь, пререзы-вающая сила, приложенная к пластине, крутящий момент, излом или разрыв пластины. Напомним, что при этом пока запрещена комбинация акустического диполя и разрыва пластины. Исследование свойств перечисленных моделей приведено в конце глав 3 и 4.

Обобщенные модели в трехмерных задачах комбинируют 6 пассивных источников в канале изгибных волн с одним источником в акустическом канале. В двумерных моделях вклады всех источников, приложенных к пластине, не зависят от размера препятствия и диаграммы рассеянных волн в моделях (1)-(4) имеют порядок О(а0). В случае трехмерных задач пассивные источники на пластине зависят от размера препятствия. Исследование этого эффекта позволяет лучше понять структуру параметров моделей.

Рассмотрим сначала случай изолированной пластины. Как и в случае двумерных задач классические точечные модели из параграфа 2.1 можно записать в виде обобщенных моделей с ограниченным набором пассивных источников. Собирая все эти модели вместе с моделями, построенными в главах 5 и б, получим следующий набор1:

6. Зажатая точка

00 = 0, Coi = Сю = С20 = Си = С02 = О,

7. Прикрепленная точечная масса (ср. со стр. 63) D

00 = с00, С01 = Сю = С20 = СП = С02 = о, ш2М

8. Короткая трещина (см. стр. 166),

9. Круговое отверстие со свободной кромкой (см. стр. 185), 10. Круговое отверстие с зажатой кромкой (см. стр. 188).

Матрицы S-1 для этих моделей имеют специальную структуру Sn 00000^

0 Si 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 5б

0 0 0 0 S4 0 0 0 0 Sq 0 s5

6.27) которая отвечает симметрии пассивных источников по переменным х и у. Элемент 5о задает массу М препятствия В

So = ы2М'

Этот параметр не зависит от геометрии препятствия, его размера и формы. В моделях (8) и (9) этот параметр равен бесконечности, что означает, что соответствующий элементарный источник в этих моделях отсутствует.

1 Используется сплошная нумерация.

Параметры и 52 определяют дипольные источники. Эти параметры пропорциональны логарифму эффективного радиуса и определяют логарифмически малые члены в асимптотике дальнего поля. Такие параметры представлены в модели (10).

Параметры £3, 64, 65 и бд пропорциональны квадрату эффективного радиуса. Эти параметры определяют квадрупольные источники и соответствуют контактным условиям, выражающим отсутствие изгибающего момента на некоторой кривой. В моделях (8) и (9) это единственные источники. Для того, чтобы определить параметры 63, 54, 65 и 5б в обобщенной модели для конкретного препятствия, надо знать члены второго порядка малости в асимптотике дальнего поля.

Отметим, что поворот препятствия приводит к следующему преобразованию параметров. Пусть 8 - матрица, отвечающая исходному положению препятствия, а 8' - матрица, отвечающая препятствию повернутому на угол а. Тогда где

Ща) = 1 0 0 \ о Rl о о о R2 ) (

Rs = cos2 а

Rt = sin 2 a cos a — sm a sin a cos a

• 2 \ sm a x sin 2a cos 2a I sin 2a sin2 a — sin 2a cos2 a у Обобщенные модели препятствий в пластине, находящейся в контакте с акустической средой, имеют дополнительный пассивный источник акустических колебаний. Параметр <Su, который характеризует этот источник, пропорционален эффективному радиусу препятствия. Согласно гипотезе, параметры в составной модели унаследуются от моделей для разделенных акустической и изгибной компонент. Поэтому структура (6.27) сохраняется и в составной модели.

Мы строили модели препятствий, опираясь на асимптотическое исследование двух вспомогательных задач, отвечающих предельным случаям исходной задачи, — рассеяния на абсолютно жестком экране и рассеяния на изолированной деформируемой пластине. Однако, построив достаточно большой набор обобщенных моделей и зная структуру матриц в, можно выделить некоторые повторяющиеся блоки и использовать их при конструировании новых моделей.

3 Возможные обобщения

Мы рассматривали модели, в которых пластина находится в одностороннем контакте с акустической средой. Аналогичным образом можно рассмотреть пластину, контактирующую с акустической средой с двух сторон, при этом среды по разные стороны пластины могут различаться параметрами. В этом случае обобщенные точечные модель будут имеет три компоненты и соответствующие матрицы параметров будут состоять из трех диагональных блоков.

Более существенные изменения происходят при рассмотрении полубесконечных объектов. Известна лишь одна модель — потенциал нулевого радиуса для изолированной пластины с полу-бесконечной трещиной [111].

Мы описывали деформации в пластине по теории Кирхгофа. Эта теория применима для достаточно тонких пластин или при достаточно низких частотах. При более высоких частотах вступают в действие сдвиговые деформации и используются уравнения теории Уфлянда-Миидлина [197]. Все обобщенные модели, приведенные выше, могут быть перестроены для теории Тимошенко-Миндлина.

Кроме изгибных (и сдвиговых) деформаций пластины подвержены продольным или симметричным деформациям, которые для тонких пластин отделяются и практически не взаимодействуют с акустической средой. Однако на угловых сочленениях пластин, возникает взаимодействие изгибных и симметричных волн. Такие сочленения также можно было бы описывать обобщенными точечными моделями, для чего надо добавить канал симметричных деформаций пластины.

Можно также попробовать распространить подход обобщенных точечных моделей на искривленные поверхности, описываемые теориями оболочек.

1. Справочник по специальным функциям под ред. М. Абрамовича и И.Стиган М.: Наука 1979, 832 с.

2. Abrahams I.D. (1981) Scattering of sound by heavily loaded finite elastic plate // Proc. Royal Soc. London, v. 378, p. 89-117.

3. Al-Arja O.A., Lavrov Yu.A., Lukyanov V.D. (2002) Sound transmission through a thin elastic partition, loaded with mass points, in a rectangular waveguide // Internat Semin "Day on Diffraction 2002", Proceedings. St.Petersburg, 2002, p. 8-12.

4. Albeverio S., Kurasov P. (2000) Singular perturbations of differential operators. Solvable Schrodinger type operators, London Math. Soc. Lecture Notes Ser., v. 271, Cambridge University Press.

5. Андронов И.В. (1990) Рассеяние изгибной волны на конечной прямолинейной трещине в упругой пластине // ПММ, Т. 54. Вып. 2. С. 312-321.

6. Андронов И.В. (1990) Моделирование процесса рассеяния на трещине в упругой пластине при помощи потенциалов нулевого радиуса // Записки научных семин. ЛОМИ, т. 186, с. 14-19.

7. Андронов И.В. (1992) Применение точечных моделей трещин в гранично-контактных задачах акустики // Журн. выч. матем. и матем. физики, Т. 31, вып. 2, с. 285-295.

8. Андронов И.В. (1992) Интегро-дифференциальные уравнения свертки на конечном промежутке с ядром, имеющим логарифмическую особенность // Записки научн. семии. ЛОМИ, т. 203, с. 5-11.

9. Андронов И.В. (1993) Оптическая теорема для системы пластина— стратифицированная жидкость // Акуст. журн., т. 39, вып. 1, с. 13-18.

10. Андронов И.В. (1993) Распространение звука в жидкости иод упругой пластиной с трещиной // ПММ, т. 57, вып. 2, с. 141— 146.

11. Anclronov I.V. (1993) Application of zero-range models to the problem of diffraction by a small hole in elastic plate // J. of Mathematical Physics, v. 34, No 6, p. 2226-2241.

12. Андронов И.В. (1994) Прохождение изгибной волны сквозь неоднородность в абсолютно жестком ребре, подкрепляющем упругую пластину // Записки научн. семин. ПОМИ, т. 210, с. 22-29.

13. Андронов И.В. (1995) Применение потенциалов нулевого радиуса для построения явно решаемых моделей неоднородностей в упругих пластинах // ПММ, т. 59, вып. 3, с. 451-463.

14. Andronov I.V. (1997) Scattering by a Narrow Crack in Fluid Loaded Elastic Plate // Proc. Internat. Seminar "Day on Diffraction-97", СПб: НИИ химии СПбГУ, p. 121-127.

15. Andronov I.V. (1997) Application of Orthogonal Polynomials in the Boundary-Contact Value Problems // VIII Symposium sobre Polinomios Ortogonales у sus Applicaciones, Sevilla, 1997, p. 32.

16. Андронов И.В. (1998) О сравнении моделей дефектов пластин в гранично-контактных задачах акустики // Акуст. ж., т. 44(2), с. 149-154.

17. Andronov I.V. (1998) Application of Zero Range Potentials for Fractures Modelling in Fluid Loaded Elastic Plates // Applicable Analysis, v. 68, p. 3-29.

18. Andronov I.V. (1998) Generalized models in multichannel scattering problems // Abstr. of Invited Lectures and Short Commun. Delivered at the 9-th Internat. Colloquium on Differential Equations, Plovdiv, Bulgaria, 1998, p. 8.

19. Andronov I.V. (1998) Edge waves along a narrow straight crack in fluid loaded clastic plate // Proc. Internat. Seminar "Day on Diffraction-98", СПб: НИИ химии СПбГУ, p. 20-28.

20. Андронов И.В. (1999) О волнах, распространяющихся вдоль узкой трещины в упругой пластине // Акуст. журн., т. 45(4), с. 445-449.

21. Andronov I.V. (1999) Zero-range potential model of a protruding stiffener // J. Physics A: Math. Gen., v. 32, p. L231-L238.

22. Andronov I.V. (2000) Waves propagating along a narrow crack in an elastic plate // Proc. 5-th Internat. Conference Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation, Santiago de Compostella, Spain, 2000, p. 103-107.

23. Andronov I.V. (2000) On integral equation with non-integrable solution in diffraction problem on a short joint of half-plates // Abstracts, 2-nd IMA Conference on Boundary Integral Methods: Theory and Applications, Bath (UK), 2000.

24. Andronov I.V. (2000) Diffraction of hydroacoustic wave by a short joint of two semi-infinite elastic plates // Proc. Internat. Seminar "Day on Diffraction-98", СПб: НИИ химии СПбГУ, p. 7-26.

25. Andronov I.V. (2000) Generalized point models in boundary contact value problems of hydroelasticity // Abstr. Marcus Wallenberg Symposium in memory of S.Kovalevski: Differential equations & applications, Stockholm (Sweden), 2000, p. 4-5.

26. Андронов И.В. (2001) О потоке мощности, распространяющемсяУвдоль прямолинейной трещины в упругой пластине // Акуст. ж., т. 47(3), с. 293-296.

27. Andronov I.V. (2001) On long living vibrations in thin elastic plate // The 2001 Internat. Congress and Exhibition on Noise Control Engineering, The Hague, The Netherlands, 2001, p. 883-886.

28. Андронов И.В. (2001) Дифракция изгибной волны на коротком спае полубесконечных упругих пластин // ПММ, т. 65(5), с. 895905.

29. Andronov I.V. (2002) Generalized point models in boundary contact value problems of hydroelasticity // Operator Theory: Advances and Applications, v. 132, p. 77-86, Birkhauser Verlag Basel/Switzerland.

30. Andronov I.V. (2002) A new class of point models in diffraction by thin elastic plates // Proc. IUTAM Symposium on Diffractionand Scattering in Fluid Mechanics and Elasticity, Manchester (UK), 2000, p. 261-268, Kluver Academic Publishers 2002.

31. Andronov I.V. (2002) Generalized point models in structural mechanics, (Series on stability, vibration and control of systems, Series A volume 5) // World Scientific 2002, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong, xii+262 p.

32. Andronov I.V. (2002) Diffraction by two semi-infinite elastic plates welded along a short segment of their edges // The 7-th Internat. Conference on Integral Methods in Science and Engineering (IMSE), Saint-Etienne (France), 2002, p. 14.

33. Andronov I.V. (2002) Stoneley type flexure waves in thin elastic plates // Proceedings of the 10th International Meeting on Low frequency Noise and Vibration and its Control. York, England, 2002, p. 191-200.

34. Андронов И.В. (2003) Дифракция и излучение изгибных волн круговым отверстием с распределенной нагрузкой на краю (неединственное и несуществующее решения) // Акуст. ж., т. 49(4), с. 465-468.

35. Andronov I.V. (2004) Zero range potentials as generalized models in structural acoustics // Abstract booklet for SPT 2004, Cala Gonone, 30 May 6 June, 2004., p. 1-2.

36. Andronov I.V. (2004) Stoneley type flexure waves in thin elastic plates //J. of low frequency noise, vibration and active control, v. 23(4), p. 249-257.

37. Андропов И.В. (2007) Об аналитических свойствах и единственности решений задач рассеяния на компактных препятствиях в бесконечной пластине, описываемой моделью Уфлянда-Миндлина // Акуст. журн., т. 53(6), с. 741-748.

38. Андронов И.В., Белинский Б.П. (1989) Распространение звука в жидкости под упругой пластиной с трещиной или торосом // Всесоюзный симпозиум "Взаимодействие волн с упругими телами", Таллинн 1989, Краткие тезисы докладов, с. 14-18.

39. Андронов И.В., Белинский Б.П. (1990) О гранично-контактных задачах акустики для вертикально стратифицированной среды, ограниченной сверху пластиной с сосредоточенными неоднород-ностями // ПММ, т. 54(3), с. 443-449.

40. Андронов И.В., Белинский Б.П. (1990) О потоках энергии в окрестности конца трещины в изгибно колеблющейся пластине // Механика твердого тела, N 3, с. 184-187.

41. Андронов И.В., Белинский Б.П. (1990) О задачах дифракции акустических волн, сводящихся к иптегро-дифференциальным уравнениям типа свертки // X Всесоюзный Симпозиум по дифракции и распространению волн. Винница 1990. Кн. 1, с. 398401.

42. Андронов И.В., Белинский Б.П. (1991) Об особенностях рассеяния изгибных волн на конечной прямолинейной трещине в упругой пластине // Акуст. ж., т. 37, вып. 4, с. 817-819.

43. Андронов И.В., Белинский Б.П. (1992) Прохождение изгибной волны сквозь неоднородность в абсолютно жестком ребре, подкрепляющем упругую пластину // Исследования по теории пластин и оболочек, Изд. Казанского Университета, 1992, вып. 24, с. 124-130.

44. Andronov I.V., Belinskiy В.P. (1995) Scattering of a flexural wave on a finite stright crack in elastic plate // J. Sound and Vibration, v. 180(1), p. 1-16.

45. Андропов И.В., Белинский Б.П. (1997) Рассеяние гидроакустических волн на узком вырезе в упругой пластине // ПММ, т. 61, вып. 2, с. 202-209.

46. Andronov I.V., Belinskiy B.P. (1998) Sommerfeld's formula and uniqueness for the boundary value contact problems // J.Physics A. Math. Gen., v. 31, p. L405-L411.

47. Andronov I.V., Belinskiy B.P. (1998) Acoustic scattering on an elastic plate described by the Timoshenko model: Contact conditions and uniqueness of the solution // JASA, v. 103(2), p. 673-682.

48. Андронов И.В., Белинский Б.П. (2001) О единственности решения задач дифракции на бесконечной пластине с локальными неоднородностями // Акуст. журн., т. 47(1), с. 7-14.

49. Andronov I.V., Belinskiy В.P. (2002) Acoustic scattering from an elastic plate supported by a rigid narrow rib // Wave Motion, v. 35, p. 277-287.

50. Andronov I.V., Belinskiy B.P., Dauer J.P. (1996) The connection between the scattering diagram and the amplitudes of the surface waves for acoustic scattering by a baffled flexible plate // J. Sound Vibration, v. 195(4), p. 667-673.

51. Andronov I.V., Belinskiy B.P., Dauer J.P. (1996) Scattering of acoustic wave by a narrow crack in elastic plate // Wave Motion, v. 24, p. 101-115.

52. Andronov I.V., Belinskiy B.P., Xu Y., Gilbert R. (2003) Some mathematical and numerical aspects of acoustic scattering // Recent Res. Devel. Acoustics, v. 1, p. 171-203.

53. Апельцин В.Ф., Кюркчан А.Г. (1990) Аналитические свойства волновых полей, М.: Изд. МГУ.

54. Baker W.P., Kreismann G.A., Reiss E.L. (1983) Acoustic scattering by baffled cavity backed membranes // JASA, v. 83(2), p. 423-432.

55. Белинский Б.П. (1973) Интегральные уравнения стационарных задач дифракции коротких волн на препятствиях типа отрезка // журн. вычисл. матем. и матем. физики, т. 13(2), с. 373-384.

56. Белинский Б.П. (1974) Дифракция гидроакустической плоской волны на системе ребер жесткости в упругой пластине. В кн.:

57. Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Д.: Наука, 1974, т. 12, с. 20-25.

58. Белинский Б.П. (1978) Дифракция плоской волны на пластине, подкрепленной выступающим ребром // ПММ, т. 42(3), с. 486493.

59. Белинский Б.П. (1981) О единственности решения стационарных задач акустики подкрепленных пластин // Записки научн. семин. ЛОМИ, т. 104, с. 14-19.

60. Белинский Б.П. (1981) Оптическая теорема рассеяния воли в упругой пластине // Записки научных семин. ЛОМИ, т. 104, с. 20-23.

61. Белинский Б.П. (1983) О единственности и неединственности решения гранично-контактных задач акустики // Записки научн. семин. ЛОМИ, т. 128, с. 21-32.

62. Белинский Б.П. (1983) О единственности решений гранично-контактных задач акустики // Вестник ЛГУ, т. 13, с. 5-10.

63. Белинский Б.П. (1984) О собственных колебаниях перемычки в бесконечном волноводе // Акуст. ж., т. 30(1), с. 14-17.

64. Белинский Б.П. (1986) О методе регуляризации в задачах дифракции на подкрепленных пластинах. Дисс. докт. физ.-матем. наук, 01.04.02 теор. и матем. физика. Ленинградский гос. университет.

65. Belinskiy В.Р. (1990) Comments on an 'optical' theorem for acoustic scattering by baffled flexible surfaces //J. Sound Vibration, v. 139, c. 522-523.

66. Belinskiy B.P., Andronov I.V. (1999) Existence and Uniqueness for Boundary Value Contact Problems // Partial Differential and Integral Equations, H.G.W. Begehr et al. (Eds.), Kluwer Academic Publishers, p. 287-301.

67. Белинский Б.П., Вешев В.А. (1986) О распространении волн вдоль пластины, подкрепленной периодическим набором ребер жесткости // А куст, ж., т. 32(4), с. 519-521.

68. Белинский Б.П., Вешев В.А., Левицкий J1.A. (1985) О методе интегральных уравнений в гранично-контактных задачах акустики // Волны и дифракция 85. Тбилиси, 1985, с. 167-170.

69. Белинский Б.П., Егоров С.Б. (1986) Точное решение задачи дифракции плоской волны на пластине, подкрепленной двумя периодическими наборами ребер жесткости // Вестник ЛГУ. Сер. 4. N 1, с. 15-20.

70. Белинский Б.П., Коузов Д.П. (1980) Оптическая теорема для системы пластина— жидкость // Акуст. ж., т. 26, в. 1, с. 13-19.

71. Белинский Б.П., Коузов Д.П. (1981) О формулах типа формул Грина для изгибно колеблющейся пластины // Акуст. ж., т. 27(5), с. 710-718.

72. Белинский Б.П., Коузов Д.П., Чельцова В.Д. (1973) О дифракции акустических волн на пластинах, сочлененных под прямым углом // ПММ, т. 37(2), с. 291-299.

73. Березин Ф.А., Фаддеев Л.Д. (1961) Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом // Доклады АН СССР, т. 137(5), с. 1011-1014.

74. Бернблит М.В. (1974) Излучение звука тонкой цилиндрической оболочкой с ребрами жесткости // Акуст. ж., т. 20(5), с. 680-689.

75. Бернблит М.В. (1975) К вопросу об излучении звука цилиндрической оболочкой с ребрами жесткости // Акуст. ж., т. 21(6), с. 839-844.

76. Бернблит М.В. (1976) Излучение звука тонкой цилиндрической оболочкой с жесткими инерционными диафрагмами при возбуждении сосредоточенным усилием // Акуст. ж., т. 22(1), с. 5-12.

77. Бобровницкий Ю.И., Коротков М.П. (1991) Резонансы неоднородных волн в протяженных упругих структурах // Акуст. ж., т. 37(5), с. 5-12.

78. Bonnet-Ben Dhia A.S., Dahi L. (1999) Guided waves in solid-fluid media // Bolletino di Geofisica teoria ed applicate, v. 40, p. 140.

79. Borovikov V.A. (1994) Uniform Stationary Phase Method // The Institution of Electrical Engineers, London, UK.

80. Burroughs C.B. (1984) Acoustic radiation from fluid-loaded infinite circular cylinders with doubly periodic ring supports // JASA, v. 75(3), p. 715-721.

81. Вешев В.А., Клюкин И.И., Коузов Д.П., Лукьянов В.Д. (1977) О распространении колебательной энергии в тонкой упругой пластине постоянной ширины // Акуст. ж., т. 23(2), с. 228-233.

82. Вешев В.А., Коузов Д.П. (1977) О влиянии среды па колебания пластин, сочлененных под прямым углом // Акуст. ж., т. 23(3), с. 368-377.

83. Вешев В.А., Коузов Д.П. (1980) Об изгибных колебаниях Т-образно сочлененных пластин, находящихся в контакте с жидкостью // Акуст. ж., т. 26(3), с. 347-355.

84. Вешев В.А., Коузов Д.П., Пачин В.А. (1975) Отражение изгиб-ной волны в пластине от места входа пластины в жидкость // Акуст. ж., т. 21(2), с. 181-186.

85. Волков В.Г. (1953) К теории резонансных поглотителей звука с неперфорированной упругой стенкой // ЖТФ, т. 23(5), с. 853864.

86. Вялышев А.И., Рыбак С.А., Тартаковский Б.Д. (1978) К вопросу о применении теоремы взаимности для определения звуковых полей упругих оболочек // Акуст. ж., т. 24(2), с. 611-612.

87. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. (1974) Неклассические смешаные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974, 456 с.

88. Ворович И.И., Бабешко В.А. (1979) Динамические задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979, 320 с.

89. Garrelick J.M., Lin G.F. (1975) Effect of the number of frames on the sound radiation by fluid-loaded, frame-stiffened plates // JASA, v. 58(2), c. 499-500.

90. Гахов Ф.Д. (1977) Краевые задачи, M.: Наука, 1977.

91. Григорьяи Ф.Е. (1978) Дифракция в двуслойных волноводах // Акуст. ж., т. 24(1), с. 59-65.

92. Григорьян Ф.Е. (1986) Исследование дифракции в волноводе методом комплексных ортогональных многочленов // Акуст. ж., т. 32(1), с. 44-49.

93. Григорьян Ф.Е. (1989) Прямоугольный волновод с брусково-неоднородным заполнением // Акуст. журн., т. 35(4), с. 611-615.

94. Gunda R., Vijayakar S.M., Singh R., Farstad J.E. (1998) Harmonic Green's functions of a semi-infinite plate with clamped or free edges // JASA, v. 103(2), p. 888-899.

95. Guo Y.P. (1993) Sound scattering from cylindrical shells with internal elastic plates // JASA, v. 93(4), p. 1936-1946.

96. Гусев А.В., Красильников B.H. (1975) О влиянии кольцевой трещины на излучение звука упругой пластиной, покрывающей жидкое полупространство // Акуст. ж., т. 21(6), с. 863-868.

97. Diejen J.F., Tip А. (1991) Scattering from generalized point interactions using selfadjoint extensions in Pontryagin spaces //J. Math. Phys., v. 32(3), p. 630-641.

98. Демков Ю.Н., Островский B.H. (1975) Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. Л.: Изд. ЛГУ, 1975.

99. Eatwell G.P., Butler D. (1982) The responce of a fluid-loaded beam-stiffened plate //J. Sound and Vibr., v. 84(3), p. 371-388.

100. Евсеев В.Н. (1973) Излучение звука бесконечной пластиной с периодическими иеоднородностями // Акуст. ж., т. 19(3), с. 345351.

101. Евсеев В.Н. (1989) Излучение звука оболочкой с продольными ребрами жесткости // Акуст. ж., т. 35(6), с. 1072-1078.

102. Зимнев М.М., Попов И.Ю. (1987) Выбор параметров щелей нулевой ширины // Журн. вычисл. матем. и матем. физики, т. 27(3), с. 466-470.

103. Ильин A.M. (1989) Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, М.: Наука, 1989, 336 с.

104. Канторович JI.B. (1948) Функциональный анализ и прикладная математика // Успехи матем. наук, т. 3(6), с. 89-185.

105. Канторович Л.В., Крылов В.И. (1959) Приближенные методы высшего анализа. М.-Л.: Физматгиз, 1959, 684 с.

106. Карпешина Ю.Е. (1986) Модель трещины в пластине // Линейные и нелинейные краевые задачи. Спектральная теория, Л.: Изд. ЛГУ, 1986. Проблемы математического анализа, в. 10, с. 139-153.

107. Карпешина Ю.Е., Павлов B.C. (1986) Взаимодействие нулевого радиуса для бигармоиического и полигармонического уравнений // Матем. заметки, т. 40(1), с. 49-59.

108. Киселев A.A., Попов И.Ю. (1995) Индефинитная метрика и рассеяние на области с малым отверстием // Матем. заметки, т. 58(6), с. 837-850.

109. Клаусоп A.B., Ms/гсавээр Я.А. (1989) Рассеяние звука на цилиндрической продольно-подкрепленной оболочке // Акуст. ж., т. 35(1), с. 71-75.

110. Klauson A., Metsaveer. (1992) Sound scattering by lengthwise ribs and walls // JASA, v. 91(4), p. 1834-1843.

111. Комаров И.В., Пономарев JI.И., Славянов С.Ю. (1976) Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции, М.: Наука, 1976, 320 с.

112. Кондратье В.А., Олейник O.A. (1983) Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // Успехи матем. наук, т. 38(2), с. 3-76.

113. Коненков Ю.К. (1960) Об изгибной волне релеевского типа // Акуст. ж., т. 6(1), с. 124-126.

114. Коненков Ю.К. (1964) Дифракуия изгибной волны на круговом препятствии в пластине // Акуст. ж., т. 10(3), с. 186-190.

115. Коновалюк И.П. (1968) Дифракция плоской звуковой волны на бесконечной пластине, подкрепленной ребрами жесткости // Акуст. ж., т. 14(4), с. 554-560.

116. Коновалюк И.П. (1978) Рассеяние акустических волн на тонкой упругой цилиндрической оболочке с ребром жесткости. В кн.: Проблемы дифракции и распрос транения воли. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978, т. 16, с. 246-258.

117. Коновалюк И.П., Красильников В.Н. (1965) Влияние ребра жесткости на отражение плоской звуковой волны от тонкой пластины. В кн.: Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: Изд-во ЛГУ, 1965, т. 4, с. 145-149.

118. Коузов Д.П. (1963) Дифракция плоской гидроакустической волны на трещине в упругой пластине // ПММ, т. 27(6), с. 10371043.

119. Коузов Д.П. (1964) О явлении резонанса при дифракции плоской гидроакустической волны на системе трещин в упругой пластине // ПММ, т. 28(3), с. 409-417.

120. Коузов Д.П. (1969) Дифракция цилиндрической гидроакустической волны на стыке двух полубесконечных пластин // ПММ, т. 33(2), с. 240-250.

121. Коузов Д.П. (1979) Энергетический принцип единственности граничных задач акустики // Записки паучн. семин. ЛОМИ, т. 89, с. 124-133.

122. Коузов Д.П. (1979) Об акустическом поле точечного источника в прямоугольном объеме, ограниченном тонкими упругими стенками // ПММ, т. 43(2), с. 305-313.

123. Коузов Д.П. (1980) О единственности решения гранично-контактных задач акустики для системы пластина жидкость // Записки научн. семин. ЛОМИ, т. 99, с. 43-56.

124. Коузов Д.П. (1996) Boundary-contact problems of acoustics and factorization method // Sommerfeld workshop. Modern mathematical methods in diffraction theory and its applications in engineering. Freudenstadt. Germany. 1996.

125. Коузов Д.П., Лавров Ю.А., Лукьянов В.Д. (1993) О прохождении звука через упругую перегородку, разделяющую прямоугольное помещение на два отсека // Доклады Межд. конф. по борьбе с шумом и вибрацией "NOISE-93", С.Петербург, 1993, с. 262-265.

126. Коузов Д.П., Лукьянов В.Д. (1972) О волнах, распространяющихся вдоль кромок пластин // Акуст. ж., т. 18(4), с. 549-559.

127. Коузов Д.П., Лукьянов В.Д. (1975) Влияние точечных неодно-родностей на колебания тонкой пластины // МТТ, N 6, с. 117— 123.

128. Коузов Д.П., Лукьянов В.Д. (1976) О звукопрозрачности тонкой упругой пластины, подкрепленной в дискретном наборе точек // Акуст. ж., т. 22(1), с. 43-52.

129. Коузов Д.П., Никитин Г.Л. (1984) О прохождении акустических волн сквозь тонкую перегородку в цилиндрическом волноводе // Вести. ЛГУ, N 4, с. 24-30.

130. Коузов Д.П., Пачин В.А. (1976) О дифракции акустических волн в плоском полубесконечном волноводе с упругими стенками // ПММ, т. 40(1), с. 104-111.

131. Красильников В.Н. (1961) О решении некоторых гранично-контактных задач линейной гидродинамики // ПММ, т. 26(4), с. 764-768.

132. Krighton D.G., Maidanik G. (1981) Acoustic and vibrations field generated by ribs on a fluid-loaded panel. I. Plane-wave problem for a single rib // J. Sound and Vibr., v. 75(3), c. 437-452.

133. Kriegsmann G.A., Norris A.N., Reiss E.L. (1985) An "optical" theorem for acoustic scattering by baffled flexible surfaces // J. Sound and Vibration, v. 99, p. 301-307.

134. Лавров Ю.А. (1991) О собственных частотах цилиндрического акустического резонатора с упругими торцевыми стенками // ПММ, т. 37(4), с. 53-59.

135. Лавров Ю.А. (1997) О собственных частотах цилиндрического акустического резонатора с упругой цилиндрической и жесткими торцевыми стенками // Акуст. ж., т. 43(3), с. 425-428.

136. Лавров Ю.А., Лукьянов В.Д. (1999) О собственных частотах акустического резонатора секториальной формы с упругой круговой стенкой // 3-я Международная конференция по морским интеллектуальным технологиям. Сборник докладов, т. 2, с. 230233.

137. Лавров Ю.А., Лукьянов В.Д. (2002) О частотах свободных колебаний усеченного шарового сектора, покрытого тонкой упругой сферической оболочкой // Записки научн. семин. ПОМИ, т. 285, с. 124-134.

138. Лавров Ю.А., Лукьянов В.Д. (2002) Собственные колебания сосуда с жидкостью в форме шарового сектора // Акуст. ж., т. 48(6), с. 799-804.

139. Лавров Ю.А., Лукьянов В.Д., Никитин Г.Л. (1989) О собственных частотах прямоугольного акустического резонатора с упругими стенками // Акуст. ж., т. 35(2), с. 302-307.

140. Лаке П., Филлипс Р. (1971) Теория рассеяния. М.: Мир, 1971, 312 с.

141. Leppington F.G. (1978) Acoustic scattering by membranes and plates with line constraints //J. Sound and Vibr., v. 58(3), c. 319332.

142. Lin G.F., Garrelicl J.M. (1977) Sound transmission through periodically framed parallel plates // JASA, v. 61(4), c. 1014-1018.

143. Lin G.F., Hayek S.I. (1977) Acoustic radiation from point excited rib reinforced plate // JASA, v. 62(1), c. 72-83.

144. Linton C.M., Mclver P., Mclver M. (2000) Embedded trapped modes // Proc. of the 5-th Internat. Conf. on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation, Santiago de Compostella, Spain, 2000, p. 419-423.

145. Лукьянов В.Д., Никитин Г.Л. (1990) Рассеяние акустических волн на упругой пластине, разделяющей две различные жидкости в волноводе // Акуст. ж., т. 36(1), с. 68-75.

146. Лукьянов В.Д., Никитин Г.Л. (1996) О резонансном рассеянии нормальных волн мембраной в акустическом волноводе // Акуст. ж., т. 42(5), с. 653-660.

147. Лямшев Л.М. (1955) Отражение звука тонкими пластинами и обоблочками в жидкости. М.: Изд. АН СССР 1955, 73 с.

148. Лямшев Л.М. (1955) Дифракция звука на тонкой ограниченной пластине в жидкости // Акуст. ж., т. 1(2), с. 138-143.

149. Лямшев Л.М. (1959) К вопросу о принципе взаимности в акустике // Доклады АН СССР, т. 125(6), с. 1231-1234.

150. Лямшев Л.М. (1959) Об одном способе решения задачи излучения звука тонкими упругими оболочками и пластинами // Акуст. ж., т. 5(1), с. 122-124.

151. Лямшев Л.М. (1964) К теории колебаний неоднородных упругих пластин // Акуст. ж., т. 10(1), с. 81-87.

152. Ляпин В.П., Синявский Г.П. (1980) Учет краевой особенности в решении задач дифракции на диафрагмированном стыке плоских волноводов // Радиотехника и электроника, т. 25(1), с. 190194.

153. Ляпунов В.Т. (1968) Распространение изгибных волн в пластине с препятствием, погруженной в воду // Акуст. ж., т. 14(3), с. 423-426.

154. Maidanik G., Dickey J. (1993) Quadratic and energy estimates of the partial response of ribbed panels // JASA, v. 94(3), c. 1435-1444.

155. Малюжинец Г.Д. (1971) Пример двумерных собственных функций с конечной энергией в бесконечном волноводе // М.: Труды Акуст. института, N 15, с. 70-73.

156. Mead D.J., Mallik А.К. (1978) An approximate theoryfor the sound radiated from a periodically line-supported plate //J. Sound and Vibr, v. 61(3), c. 315-326.

157. Михлин С.Г. (1970) Вариационные методы в математической физике, М.: Наука, 1970, 512 с.

158. Назаров С.А. (1998) Асимптотические условия в точке, самосопряженные расширения операторов и метод сращиваемых разложений // Труды СПб Матем. Общ., т. 5, с. 112-183.

159. Назарчук М.П. (1981) Двумерные задачи теории упругости для тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1981, 324 с.

160. Neumann J.V. (1932) Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Berlin: Verlag von Julius Springer.

161. Noble В. (1958) Methods based on the Weiner-Hopff technique for the solution of partial differential equations. London: Pergamon press.

162. Norris A.N. (1994) Flexural edge waves // J. Sound and Vibr., v. 171(4), p. 571-573.

163. Norris A.N. (2002) Flexural edge wave propagation using Mindlin plate theory, in press

164. Norris A.N., Osipov A.V. (1996) On acoustic interaction between two thin elastic plates through an angular welded joint // J. Sound and Vibr., v. 196(1), c. 75-84.

165. Norris A.N., Osipov A.V. (1997) Structural and acoustic wave interaction at wedge-shaped junction of fluid loaded plates // JASA, v. 101(2), c. 867-876.

166. Онищук О.В., Попов Г.Я. (1980) О некоторых задач изгиба пластин с трещинами и тонкими включениями // Изв. АН СССР, МТТ, N 4, с. 141-150.

167. Осипов А.В. (1997) О дифракции звуковых волн на угловом сочленении тонких упругих пластин // ПММ, т. 61(2), с. 230-247.

168. Osipov A.V., Norris A.N. (1997) Acoustic diffraction by a fluid-loaded membrane corner // Proc. Roy. Soc. Lond. Ser. A, v. 453, p. 43-64.

169. Павлов B.C., Фаддеев М.Д. (1983) О рассеянии на полом резонаторе с малым отверстием // Записки научн. семин. ЛОМИ, т. 126, с. 156-169.

170. Павлов B.C. (1984) Модель потенциала нулевого радиуса с внутренней структурой // Журн. теор. и матем. физики, т. 59(3), с. 345-354.

171. Павлов B.C. (1987) Теория расширений и явно решаемые модели // Успехи матем. наук, т. 42(6), с. 99-131.

172. Павлов B.C., Попов И.Ю. (1984) Рассеяние не резонаторах с малым и с точечным отверстиями // Вестник ЛГУ, N 13, с. 116-118.

173. Плахов Д.Д. (1967) Звуковое поле многопролетной пластины // Акуст. ж., т. 13(4), с. 597-603.

174. Плахов Д.Д. (1968) Прохождение акустической волны сквозь многослойную пластину, подкрепленную ребрами жесткости // Акуст. ж., т. 14(1), с. 90-94.

175. Попов Г.Я. (1982) Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982, 334 с.

176. Попов Г.Я., Толкачев В.М. (1980) Проблема контакта жестких тел с тонкостенными элементами // Изв. АН СССР, МТТ, N 4, с. 192-206.

177. Popov I.Yu. (1989) The extension theory and diffraction problems // Lect. Notes Phys., v. 324, p. 218-229.

178. Попов И.Ю. (1992) Резонатор Гельмгольца и теория расширений операторов в пространстве с индефинитной метрикой // Матем. сборник, т. 183(3), с. 3-37.

179. Popov I.Yu. (2002) Nonlinear zero-range potential and Helmholtz resonator // Italian J. Pure and Appl. Math., N 11, p. 69-76.

180. Poter R., Evans D.V. (1999) Rayleigh-Bloch surface waves along periodic gratings and their connection with trapped modes in channels //J. Fluid Mech., v. 386, p. 233-258.

181. D.A. Rebinsky and A.N. Norris, (1995) Acoustic and flexural wave scattering from a three-member junction // JASA, v. 98, p. 33093319.

182. Romilly N. (1964) Transmission of sound through a stretched ideal membrane // JASA, v. 36(6), p. 1104-1109.

183. Romilly N. (1969) Sound transmission through a thin plate under tension // Acoustica, v. 22(3), p. 183-186.

184. Romilly N. (1973) Exact solution for guided sound transmission through a simply supported plate // Acoustica, v. 28(4), p. 234237.

185. Свешников А.Г. (1950) Принцип излучения // Доклады АН СССР, т. 73(5), с. 917-920.

186. Свешников А.Г. (1951) Принцип предельного поглощения для волноводов // Доклады АН СССР, т. 80(3), с. 345-347.

187. Seren С., Hayek S.I. (1989) Acoustic radiation from an insonified elastic plate with a line discontinuity // JASA, v. 86(1), p. 195-209.

188. Смирнов В.И. (1974) Курс высшей математики, т. 1, М.: Наука, 480 с.

189. Смирнов В.И. (1951) Курс высшей математики, т. 4. M.-JL: Го-стехтеориздат, 804 с.

190. Stepanishen P.R. (1978) The acoustic transmission and scattering characteristics of a plate with line impedance discontinuities //J. Sound and Vibr., v. 58(2), p. 257-272.198.199.200. 201.202.203.204.205.206. 207.

191. Timoshenko S. (1959) Theory of Plates and Shells, New York: McGraw-Hill.

192. Тихонов A.H., Самарский A.A. (1953) Уравнения математической физики. М.: Гостехтеориздат, 680 с.

193. Урусовский И.А. (1992) О прохождение звука через две параллельные пластины, скрепленные периодически расположенными ребрами // Акуст. ж., т. 38(4), с. 745-749.

194. Федорюк М.В. (1977) Метод перевала, М.: Наука.

195. ФельдЯ.Н. (1968) Основные уравнения, теорема единственности и граничные задачи электродинамики // 1-я Всесоюзная школа-семинар по дифракции и распространению волн, М.-Харьков, 1968, с. 93-109.

196. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. (1964) Теория дифракции. М.: Мир, 428 с.

197. Но Jin-Meng (1996) Structural and acoustic response of mass-spring loaded cylindrical shells: Spectral formulation and ray synthesis // JASA, v. 99, p. 659-671.

198. Шендеров E.JT. (1966) О связи излучения звука пластинами с их звукопрозрачностью // Акуст. ж., т. 12(3), с. 387-389.

199. Шендеров Е.Л. (1972) Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 348 с.

200. Шендеров Е.Л. (1989) Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение, 304 с.

201. Woolley B.L. (1980) Acoustic scattering from a submerged plate. I. One reinforcing rib // JASA, v. 67(5), p. 1642-1653.