Вынужденные колебания и акустические свойства элементов конструкций, взаимодействующих со средой тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОГО МАШИНОСТРОЕНИЯ

На правах рукописи

БЕШЕНКОВ Сергей Николаевич

УДК 539.3:534.1

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И АКУСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ СО СРВДОЙ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва - 1992

Работа выполнена в Московском авиационном институте.

Научный консультант - доктор физико-математических наук,

профессор А.Г.Горшков. Официальные оппоненты- доктор физико-математических наук,

профессор С.А.Рыбак ; . -

- доктор физико-математических наук, профессор А.Н.Фролов ;

- доктор физико-математических наук, профессор Г.Н.Чернышев.

Ведущая организация - Институт гидромеханики АН Украины.

Защита состоится " 2.2 " о^.Гус^>и 1992 г. в // часов на заседании специализированного совета Д 043.68.01 при Московском институте электронного машиностроения по адресу: П3054, Москва, Малая Пионерская ул.-, д. 12/3, ауд._

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института

Автореферат разослан " С С ¿V г* 4 1992 г. у

Ученый секретарь специализированного П

совета, кандидат физико-математических у

наук, доцент ^-у/ В.М.Яганов

кмЪ'ОЛ'ХКА 3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

О

• Актуальность проблемы. Пластины и оболочки, взаимодейст-вущие со средой, являются распространенной расчетной схемой элементов подводных емкостей и трубопроводов, судовых и авиационных конструкций, а так ? конструкций энергетического и транспортного машиностроения, гидротехнического и промышленного строительства. Это приводит к необходимости исследования их поведения при действии заданных динамических нагрузок и возникающей при колебаниях реакции акустической среды. Самостоятельный интерес определение указанной реакции представляет при расчетах звуковых полей, создаваемых в среде вибрирующими конструктивными элементами, а также при оценке их акустических характеристик, к которым нередко предъявляются повышенные требования, гак как уменьшение излучения и передачи звука тонкостенными элементами конструкций является одним из наиболее эффективных средств борьбы с шумом.

Теоретическое исследование вибрационных и звуковых полей упругих структур, взаимодействующих со средой, сводится к рассмотрению совокупности краевых задач для уравнений движения конструкции и уравнения Гельмгольца. Основная сложность их решения заключается в том, что эти задачи связаны между собой, поскольку, во-первых, должны выполняться условия совместного движения среды и структуры и, во-вторых, в уравнения движения последней входит разность граничных значений звукового давления по обе ее стороны. Большинство работ, в которых соответствующие исследования проводились без привлечения тех или иных упрощающих допущений о характере взаимодействия конструкции и среды, ограничено конкретными немногочисленными расчетами на ЭВМ, поскольку практическая реализация предложенных процедур требует сравнительно тонких и сложных вычислений, больших объемов памяти ЭВМ и значительных затрат машинного времени. В связи с этим многие вопросы, относящиеся к рассматриваемой проблеме, остаются частично или полностью неизученными, а разработка эффективных методов расчета и проведение фактических исследований вынужденных колебаний, излучения и передачи звука элементами конструкций, взаимодействующими со средой, сохраняют свою актуальность.

Целью настоящей работы является разработка эффективных методов расчета и проведение на их основе систематических исследований закономерностей гидроупругих колебаний, излучения и передачи звука однородными и трехслойными пластинами и цилиндрическими оболочками при строгом учете механизма их взаимодействия с идеальной сжимаемой жидкостью (газом), а также применение предлагаемых методов к решению практически важных задач стационарного деформирования указанных конструкций и определения их акустических: характеристик.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- разработан численно-аналитический метод расчета гидроупругих колебаний, звукоизлучения и звукопроницаемости ограниченных пластин и цилиндрических оболочек, строго учитывающий механизм их взаимодействия с акустической средой и отличающийся от известных сравнительной простотой реализации соответствующих численных процедур ;

- развита методика численного решения рассматриваемых задач для пластин сложной формы и подкрепленных ребрами жесткости, основанная на конечно-элементном анализе их деформирования ;

- получены решения новых задач о взаимодействии с акустической средой экранированных трехслойных пластин с несжимаемым и сжимаемым заполнителями ;

- проведено систематическое исследование вибрационных и звуковых : полей указанных элементоз конструкций в зависимости от их геометрических и физических параметров ;

- разработаны новые методы расчета звукоизоляции и звукоизлучения бесконечных трехслойных пластин и цилиндрических оболочек, учитывающие особенности их деформирования и допускающие вместе с тем физический анализ исследуемых процессов ;

- установлены основные закономерности излучения и передачи звука трехслойными конструкциями и даны рекомендации по выбору их параметров.

Достоверность основных научных положений и выводов диссертации подтверждается обоснованностью используемых математических моделей ; тщательным чнсленним исследованием сходимости предложенных решений ; совпадением результатов, полученных различными методами, между собой и с известными в литературе ;

анализом соответствия решений их физическому смыслу.

Практическая ценность работы заключается в создании эффективных методов расчета вынужденных колебаний и акустических характеристик пластин и цилиндрических оболочек, взаимодейст-.вунцих со средой. Разработанные методы и алгоритмы их реализации на ЭВМ могут быть использованы в НИИ и КБ при проектировании элементов конструкций новой техники, зданий, сооружений, оборудования и т.д. с учетом прочностных или (и) акустических критериев качества.

В частности, в рамках хоздоговорной тематики кафедры прикладной математики Запорожского госуниверситета внедрены программы и результаты исследований звукоизоляции слоистых цластин и оболочек (ПО "Автозаз", г.Запорожье), гидроупругих колебаний подкрепленных пластин сложной формы (ПО "Теплообменник", г.Нижний Новгород), составных оболочечных конструкций (НИИ машиностроения, г.Дзержинск), оболочек с заполнителем (НИИ полимерных материалов, г.Пермь).

Апробация работы. Отдельные результаты, содержащиеся в работе, докладывались на П Всесоюзном симпозиуме по влиянию вибраций на человека и проблемам виброзащиты (Москва, 1974) ; УП научной конференции по применению .ЭВМ в механике деформируемого твердого тела (Ташкент, 1975) ; семинаре по виброакустическим исследованиям Секции шумов и вибраций Научного Совета по акустике АН СССР (Москва, 1976) ; 1У Всесоюзной конференции по статике и динамике пространственных конструкций (Киев, 1978) ; Ш Республиканской конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе" (Канев, 1982) ; I Всесоюзной конференции "Численная реализация физико-механических задач прочности" (Горький, 1983) ; I Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур (Львов, 1987) ; Ш научно-технической конференции "Повышение надежности и долговечности машин и сооружений" (Запорожье, 1988) ; Ш Всесоюзной конференции "Прочность, жесткость и технологичность изделий из композиционных материалов" (Запорожье, 1989) ; ХУ Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Казань, 1990) ; I Всесоюзной конференции "Технологические проблемы прочности несущих конструкций" (Запорожье, 1991).

Диссертация в целом обсуждалась на научных семинарах

кафедр прикладной математики Запорожского госуниверситета сод руководством проф.Толока В.А. ; сопротивления материалов Московского авиационного института под руководством цроф.Горшкова А.Г. ; математического моделирования физико-механических систем Московского института электронного машиностроения под руководством проф.Кайбороды В.П. ; прикладной механики Московского института инженеров геодезии, аэрофотосъемки и картографии под руководством проф.Сабодаша П.Ф. ; в Институте гидромеханики АН Украины.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 40 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из. введения, семи глав, заключения, списка использованных источников из 251 наименования, приложения и содержит 286 страниц машинописного текста, 128 рисунков, 30 таблиц, всего 386 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность проблемы, составившей предмет исследования, дается ее математическая постановка, выполнен анализ относящейся к ней литературы, поставлена цель работы, излагается ее краткое содержание по главам. Здесь же формулируются основные выносимые на защиту положения, составляющие научную новизну работы.

Систематизация материала в литературном обзоре проводится по изучаемым авторами физическим моделям упругих сгруктур и применяемому математическому аппарату.

Работы, связанные с рассеянием звука упругими конструкциями, не рассматриваются, поскольку этот аспект проблемы взаимодействия, имеющий в сравнении с задачей излучения свои особенности, в диссертации не исследуется. Соответствующая подробная библиография приведена в монографиях Векслера Н.Д., Гринченко В.Т. и Вовка И.В., а также в обзорных статьях Музы-ченко В.В. и Рыбака С.A. , Gaunau,4.ol G. С.

Анализ публикаций по вынужденным колебаниям, излучению и звукоизоляции упругих структур показывает, что в настоящее время достаточно детально исследованы вибрационные и акустические аспекты взаимодействия со средой неограниченных однородных пластин, упругого слоя, цилиндрической оболочки. Основ-

кые полученные здесь результаты отражены в монографиях Брехов-ских Л.М., Заборова В.И., Клгкина И.И., Скучика Е., ШенДеро-ва Е.Л. и обзорах Белоусова ЮЛ. и Римского-Норсакова A.B., Oácjton Fahy F.3..Вопросы, связанные с излучением и

передачей звука неограниченными трехслойными конструкциями, рассматривались Рыбаком С.А., Тартаковским Б.Д., Швилкииой О.Г., Заборовым В.И., Chonan 5. u Kucjo 3., Äymc.U. ц L.an<j M.A., Kuit2e-ß. u Watte* i> Ъ. <*., bal 3.-L-, Ме1ег A.V.,NtC^onñ&, Navaxjanan S>. u ^hanfe hac^ R.L.. Экспериментальные иссле--дования проводились Авферонком Э.И., pövct R. Jj., Lotd Р. u Wqíkezfl.W.,SdmpR.H.S.u ßeachmp 3.W., Srnoieni>klC.P. ц Кго.^обку E.M.

Ограниченность размеров упругой структуры, взаимодействующей со средой, впервые учтена Lamí) Н. , исследовавшим с привлечением ряда упрощавших предположений влияние вода на несколько первых резонансных частот круговой пластины, закрепленной в бесконечном жестком экране. В строгой постановке задача о вынужденных осесимметричных колебаниях круглой экранированной пластины решена UaaeM. путем сведения ее к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения прогиба пластины в ряд по собственным формам колебаний. В дальнейшем процедура Лакса использовалась Г^жасом Д.Р. и Борисовым Л.П., Гуровичем Ю.А., Лямлевым Л.М., Святенко В,А., Шендеровым EJ1. flípetS.n Mqcpafc Е.В., Handt>-сот&3).С.До S.H.,Leppí.n^ton P.G., 'öandmo-n В. "эй -

. 2.uk.iH. и TCthi^ 3. , Waítace t. Е. , изучавшими различные аспекты взаимодействия ограниченных пластин с акустической средой. Наиболее часто в этих работах фигурировала свободно опертая полоса, значительно реже прямоугольная с такими же краевыми условиями и защемленная круглая пластины. Для получения приближенных аналитических зависимостей часто принималось упрощающее предположение об отсутствии взаимосвязи между различными формами колебаний пластины через среду. Анализу этого взаимодействия посвящены работы Коненкова Ю.К., Мхитаро-ва P.A.

С некоторыми видоизменениями процедура Лакса использовалась при анализе колебаний, излучения и звукоизоляции экрани-

рованных цилиндрических оболочек в работах Бернблита М.В., Лебедева A.B., Лямшева J1.M., Музыченко В.Б. и Рыбака С. A., Chouan ?.. , Hoxatt А. и ^><хпо|тап В. Е., Gu^adet 3.L., Uau-£1ерап{.ъеЬепЕ1?..0бобщение метода Лакса на задачи взаимодействия с жидкостью оболочек вращения, а также анализ итерационных схем определения реакции среды даны Воровичем И.И., Поповым О.Н., Ционским А.Я., Единым A.C.

Приближенный подход, основанный на аппроксимации звукового давления вблизи поверхности упругой структуры экспоненциальной функцией нормальной координаты, разработан Головановым В.А., Поповым А.Л., Чернышевым Г.Н.

Различные приближенные представления связи между прогибом и поверхностным звуковым давлением использовались в работах Приходько В.Ю., Тютекина В.В., Музыченко В.В., Рыбака С.А. по вынужденным колебаниям и звукоизлучению вытянутых оболочек вращения. Обсуждению таких приближенных подходов посвящена статья Huan<j H. ц Warvj Y. Е.

Результаты общего характера, определяющие возможные приближенные подходы, при которых задачи на оболочке и в жидкости рассматриваются с некоторой погрешностью отдельно, получены асимптотическим методом Гольденвейзером А.Л., Васильевым Д.Г., Симоновым И.Г., Радовинским А.Л.

Численные методы решения, основанные на конечноэлементной и конечноразносгной дис!фетизациях конструкции, рассматривались Волковым Е.А. и Постновым В.А., Кандидовым В.П. и Хрис-точевским С.А., Головановым В.А. Метод граничных интегральных уравнений применялся Слепяном Л.И. и Сорокиным C.B.,

На основе анализа упомянутых и ряда других работ обосновывается необходимость и актуальность дальнейших исследований, связанных как с разработкой новых, более простых и вместе с тем достаточно точных, методов расчета, так и с систематическим анализом основных характеристик вибрационных и звуковых полей тонкостенных элементов конструкций, взаимодействующих со средой.

В первой главе рассматриваются одномерные (по формам цилиндрического изгиба и осесимметричные) гидроупругие колебания экранированных однородных пластин, возбуждаемых гармоническими нагрузками. При решении указанных задач неиввестное

распределение реакции среды по поверхности пластины аппроксимируется кусочно-линейной функцией и раскладывается в ряд по ее собственным формам колебаний. Аналогичными разложениями представляются возбуждающая нагрузка и искомый прогиб, причем коэффициенты последнего ряда определяются из уравнения изгиба пластины. Для отыскания неизвестных узловых значений реакции среды полученное выражение для прогиба

\лкзе;> =

Л" Т —^ СО! э (I)

подставляется в интеграл Гюйгенса и записывается разность граничных значений звуковых давлений по обе стороны пластины в произвольном ее узле

(2)

о

» О (3)

й г = х*- - г эг. ос 9

соответственно в плоской и осесимметричной задачах. Здесь параметр, равный I или 2 при контакте пластины со средой одной или двумя сторонами.В результате рассматриваемая задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений относительно значений звукового давления на пластину в ряде ее фиксированных точек (узлов). При вычислении содержащихся в коэффициентах этих систем интегралов

1=[у/даНп'ск ь Г Гмсх^в^л^е^ (4)

< .) к о 0 г. л J % О

о 0 о

интегрирование по элементам, не содержащим узел с координатой

, осуществлялось по квадратурным формулам Гаусса. При интегрировании по двум остальным элементам в 14 предварительно выделялась логарифмическая особенность, интегрировавшаяся затем по специальной формуле, а в 1 особенность устранялась переходом к локальной полярной системе координат

или

с центром в узле . Из решения полученной системы находится распределение реакции среды по поверхности пластины, затем определяемый формулой (I) прогиб и характеристики напряженного состояния.

для плоского случая реализован также подход, заключающийся в прямой подстановке ряда для прогиба в интегродифференциальное уравнение гидроупругих колебаний пластины и последующем отыскании коэффициентов разложения из условия ортогональности собственных форм колебаний, что, по сути дела, эквивалентно применению процедуры Бубнова-Галеркина. Рассмотрены приближения, основанные на гипотезах о совпадении резонансных форм колебаний пластины с соответствующими собственными формами и об отсутствии взаимодействия между последними через среду.

Выражение (I) использовано далее цри анализе вынужденных колебаний круглой пластины, контактирующей с жидким полупространством и закреплённой в экране радиуса Ь . Реакция жидкости в произвольной точке, лежащей в плоскости пластины, записывается в этом случае в виде

иг*

о о

, <*> ¿1 (5)

^ о

где 17"(х) неизвестное распределение колебательной скорости на свободной поверхности жидкости, аппроксимируемое кусочно-линейной функцией с узловыми значениями V, ; . Переход к системе уравнений относительно неизвестных рч ( р^ .. _ р < 1/,, ... осуществляется совмещением точки наблюдения последовательно с узлами на поверхности пластины и жидкости с учетом того, что при х >Ь давление равно нулю.

Проведенные расчеты, точность которых контролировалась путем сопоставления результатов, получаемых при последовательном увеличении числа узловых неизвестных и удерживаемых в рядах членов, показали:

- на определенных частотах возбуждения модули прогибов пластины в различных ее точках, а также их мнимые составляющие

фстигагат максимума, в то время как действительные части меняют знак ;

- этот эффект соответствует последовательным резонансам ■ лластины смещенным, по сравнению со случаями ее колебаний в вакууме, в область более низких частот ;

- с ростом номера резонанса амплитуда колебаний убывает с гой особенностью для пластины-полосы, что на резонансах с четным числом полуволн по ее длине амплитуда колебаний значительно больше, чем на соседних с нечетным ;

- при ис^енении параметров пластины и краевых условий ее резонансные частоты качественно изменяются также, как и собственные частоты, однако количественного соответствия не наблюдается ;

- смещение резонансов в высокочастотную область сопровождается уменьшением соответствующих амплитуд колебаний ;

- при совпадении спектров собственных частот резонансные частоты гидроупругих колебаний пластины с меньшим погонным весом расположены ниже и амплитуды ее колебаний больше ;

- конечность размеров экрана приводит к смещению резонансов в область более высоких частот с одновременным сужением и возрастанием соответствующих им максимумов прогиба ;

- расчет гидроупругих колебаний по методу Бубнова-Галер-кина с использованием указанных выше гипотез дает сравнительно точные значения резонансных частот, но заниженные значения амплитуд колебаний на всех резонансах кроме первого.

Во второй главе исследуются одномерные гидроупругие колебания трехслойных пластин. Для описания осесимметричного деформирования круговой пластины используются дифференциальные уравнения, построенные с привлечением гипотез о линейном распределении тангенциальных перемещений по толщине заполнителя и его несжимаемости в поперечном направлении. Обоснованность указанных допущений предварительно проверяется на результатах исследования вынужденных колебаний трехслойных пластин путем решения методом конечных элементов осесимметричной задачи стационарной теории упругости. От известных в литературе и построенных на аналогичных гипотезах предлагаемые уравнения отличаются наличием дополнительных инерционных членов и слагаемых, учитывающих действие касательной нагрузки. Чтобы обойти значительные

трудности, связанные с отысканием собственных форм колебаний трехслойной пластины, решение рассматриваемой задачи ищется в виде рядов по функциям Бесселя

км к«

удовлетворяющих только условию равенства нулю прогиба на контуре. Для удовлетворения остальк'ым краевым условиям к контуру прикладываются изгибающий момент M и касательная сила Т . Суммарная нагрузка на пластину, таким образом, оказывается состоящей из возбуждающей нагрузки с^сг) , звукового давления рс?) и дополнительных нормальной и касательной нагрузок су и t таких, что

- fc^ -г eta-Ê-É/.Q-ei. 1_(Ч,*есс|-£;а] . ' t о, -г ею, а-£-£,) ' "I о, тг е [о; а-Ê) '

(V)

я'^р'-, te^oT-

После представления перечисленных составляющих нагрузки рядами по функциям Бесселя из уравнений движения пластины находятся выражения для коэффициентов V/ и Ч" к , содержащие неизвестные величины М , Т . р. (¿4, ¿,....N4) • Чтобы привести их к виду

^ = ^ + 21 К. Р. , (8)

* 11 ¡Г, ^ М '

содержащему в качестве неизвестных только узловые значения реакции среды, используются оставшиеся краевые условия, например с^/с^^Ч^О при У. - а. в случае защемления контура. Дальнейший ход решения задачи совпадает с описанным в первой главе.

В аналогичной постановке решена задача о гидроупругих колебаниях свободно опертой трехслойной пластины-полосы. Искомые перемещения представляются при этом тригонометрическими рядами, удовлетворяющими всем краевым условиям, поэтому необходимость

введения дополнительных нагрузок отпадает и расчетные формулы упрощаются.

Для оценки влияния эффекта поперечной сжимаемости заполнителя на гидроупругие колебания пластины эта же задача решена с использованием для описания движения заполнителя уравнений динамической теории упругости, а для несущих слоев уточненных уравнений тонких пластин. Метод построения решения основан на предварительном выводе зависимостей, выражающих нагрузки на заполнитель через параметры и перемещения обшивок, возбуждающие усилия, звуковые давления и последущем интегрировании уравнений Ляпе с отысканием постоянных интегрирования из условий непрерывности перемещений и напряжений на границах сопряжения слоев. Входящие в полученные таким путем выражения для поперечных перемещений обшивок узловые значения звуковых давлений по обе стороны пластины отыскиваются, как и ранее, из системы линейных алгебраических уравнений.

На основе проведенных исследований установлено, что характерными особенностями гидроупругих колебаний трехслойных пластин, обусловленными спецификой их деформирования по сравнению с однородными, является значительно более медленное чем у последних убывание амплитуды колебаний с ростом номера резонанса и появление в высокочастотной области дополнительных резонан-сов из-за взаимодействия масс обшивок с упругостью заполнителя. При равном погонном весе резонансные частоты трехслойных гщас-тин лежат ниже соответствуыцих частот однородных пластин, изготовленных из материала обшивок, и амплитуды колебаний у них в несколько раз больше. Исключение составляет смещенный в область более высоких частот основной резонанс пластин с легкими заполнителями. При увеличении несимметрии строения пластины с сохранением постоянной суммарной толщины обшивок значение первой резонансной частоты уменьшается и сопровождается ростом амплитуды колебаний на ней, особенно в случае тяжелого заполнителя. Значения же последующих резонанасных частот оказываются меньше, а амплитуды колебаний больше у пластин симметричного строения, причем наиболее ярко этот эффект выражен у пластин с легким низкопрочным заполнителем. Выполненный путем введения комплексных упругих постоянных учет демпфирующих свойств заполнителя показал, что существенное уменьшение амплитуды ре-

зонансных колебаний достигается только при больших ( -Ю"*.. 4 0"' ) значениях коэффициента потерь, когда демпфирование колебаний за счет рассеяния энергии становится сравнимым с их демпфированием жидкостью.

Третья глава посвящена рассмотрению двумерных гидроупругих колебаний однородных и подкрепленных ребрами жесткости пластин. В случае прямоугольной пластины ее поверхность разбивается на малые прямоугольные элементы, в пределах каждого из которых рас пределение реакции среды аппроксимируется билинейной функцией

с коэффициентами, выраженными через координаты узлов и значения звуковых давлений в них. Это позволяет представить правую часть уравнения изгиба пластины рядом по ее собственным формам колебаний и найти коэффициенты й тп аналогичного ряда для прогиба

ни юн

г_1_ £ Рч м (10)

Реакция среды в произвольном узле пластины определяется после этого с помощью интеграла Гюйгенса и записывается в виде

I /«.«Ч»®3^ а™»,;

»1:1 » о **

(II)

При совмещении наблюдения последовательно с каждым из узлов пластины формируется система из ( N + \ ) ( ММ ) уравнений, решение которой аппроксимирует распределение звукового давления по поверхности пластины и позволяет найти ее прогиб. Входящие в (II) интегралы вычислялись аналогично интегралам из (4).

При анализе неосесимметричных колебаний круговой пластины возбуждающая нагрузка и прогиб представляются тригонометри-

ческими рядами Фурье по окружной координате. Коэффициенты

0 о

аналогичного разложения реакции среды находятся по стандартной схене после подстановки в интегральное выражение для разности звуковых давлений по обе стороны пластины ряда для прогиба и перехода к новой переменной интегрирования Ч* = В, .В результате рассматриваемая задача сводится к совокупности несвязанных между собой одномерных задач, решение каждой из которых строится по изложенному выше методу.

Дм пластин сложной формы и подкрепленных ребрами жесткости, отыскание собственных форм колебаний которых является самостоятельной сложной задачей, кусочная аппроксимация реакции среды используется в сочетании с конечноэлементным анализом их деформирования. Особенность применяемого подхода состоит в том, что для достижения одинаковой точности аппроксимации всех слагаемых функционала полной энергии при вычислении матрицы жесткости используется кубическое представление прогиба на треугольных элементах, а при вычислении матрицы массы - линейное. В результате получается разрешающая система, 2/3 уравнений которой не содержат множителя юг , что позволяет исключить из рассмотрения вектор узловых значений производных от прогиба и перейти к системе

[ КЗ ГV/] = [ + (.ННР] , (13)

содержащей в левой части в качестве неизвестных только узловые значения прогиба. Последнее обстоятельство является весьма важным, так как после представления вектора узловых значений звукового давления на пластину в виде ГР]~£63 все узловые неизвестные оказываются связанными между собой. Вклад отдельного элемента в |-к> строку матрицы [б] находится при этом по формуле

[ Ь^^^К'^Ч К^ек] ;

5е « 1 ^ (14)

!С= сое -*л -

где [л, I,,, 1ч - треугольные координаты.

Интегрирование по элементам, не содержащим рассматриваемый узел, проводилось численно, в противном случае в соответствующем интеграле выделялась особенность

Г (15)

1 £е £ <|

и второй интеграл рассматривался в локальной полярной системе координат.

Учет подкрепляющего набора осуществляется путем добавления к глобальным матрицам массы и жесткости пластины вкладов от расположенных на границах треугольников (что всегда может быть достигнуто соответствующей дискретизацией пластины) балочных элементов ребер жесткости.

Проведено исследование особенностей гидроупругих колебаний пластины на резонансах с различным числом узловых линий но осям координат, а также с образованием и без образования узловых диаметров. Отмечено, что для соседних резонансных частот наибольшие прогибы имеют место при асимметричном распределении прогиба по поверхности пластины, хотя резонансные максимумы являются при этом весьма узкими. Например, для круглой защемленной пластины (сталь; а.= 0,6М; Ь = 0,01м), возбуждаемой равномерно распределенной по половине ее поверхности нагрузкой, максимальные резонансные прогибы при колебаниях по зонтичной форме и с образованием узлового диаметра отличаются примерно в 16 раз. Сравнение амплитуд резонансных колебаний однородных и подкрепленных пластин с различными условиями закрепления подтвердило ранее сделанный вывод о том, что увеличение жесткости пластины приводит к смещению резонансов в область более высоких частот и уменьшению соответствующих амплитуд колебаний.

В четвертой главе анализируется излучение и передача звука ограниченными пластинами, взаимодействующими со средой. Давление излучения на поверхности плоской упругой структуры, совершающей установившиеся колебания под дейстзием заданной возбуждающей нагрузки, выражается через найденное распределение реакции среды по формулам

соответственно при п = I и 2.

В произвольной точке среды звуковое давление вычисляется с помощью интеграла Гюйгенса, а в точках наблюдения, расположенных в дальнем звуковом поле, по несколько более простым формулам, содержащим расстояние до пластины за знаком интеграла.

По известному распределению звукового давления по поверхности пластины и ее колебательной скорости находится представляющая в прикладной акустике основной интерес мощность излучения упругой структуры

где звездочка означает комплексную сопряженность, а интегрирование ведется по площади пластины.

При возбуждении колебаний пластины, распространяющимися в среде плоскими звуковыми волнами единичной амплитуды, действующая на нее нагрузка складывается из давлений в падащей, отраженной от абсолютно жесткой плоскости, и излученных пластиной волнах и записывается в виде

=£еэср[йкосасоьЧадО+!^пЧ,у.пе);^ рс»,^ (18)

В результате исследование прохождения звука через ограниченную пластину сводится к анализу ее установившихся колебаний и мощности излучения (17) при действии нагрузки су с зс, у ) = ^ехр^^ссемМ^п 0 + ^ д^пЧ" -*лп 0) } . Коэффициент звукопроницаемости пластины и связанная с ним величина звукоизоляции определяются после этого по формулам

где N0 - 5/<~р0С0 ~ мощность звука в падающих волнах.

На основе выполненных исследований закономерностей излучения и передачи звука пластинчатыми элементами конструкций установлено:

- на резонансных частотах модули и мнимые составляющие звукового давления в точках на поверхности пластины достигают максимума, а действительные части меняют знак ;

(17)

5

(19)

- с ростом номера резонанса величина звукового давления, в отличие от амплитуды колебаний, не убывает, а растет ;

- при изменении параметров пластины, приводящем к смещению резонансов в область высоких частот, резонансные значения звукового давления на ее поверхности могут как возрастать, так и убывать, в зависимости от начального значения частоты и величины смещения ;

- распределение звукового давления по поверхности пластины на каждой из частот в целом повторяет распределение прогиба, с тем отличием, что на контуре его значение отлично от нуля и далее убывает по мере удаления от краев пластины;

- вблизи пластины в направлении нормали к ее поверхности давление убывает по квазиэкспоненциальному закону;

- при уменьшении размеров экрана резонансы пластины смещаются в область более высоких частот, а соответствующие им максимумы давления возрастают ;

- с ростом частоты возбуждения происходит усиление направленности излучения ограниченных пластин, вызванное компенсацией давления, создаваемого в дальнем поле участками пластины, колеблющимися в противофазе ;

- мощность излучения и звукоизоляция ограниченных пластин достигает соответственно максимумов и минимумов на резонансных частотах, а вне резонансных зон с ростом частоты приближаются к значениям, рассчитанным с использованием бесконечной модели.

Последнее обстоятельство, а также тот факт, что из-за присутствующих всегда в реальных механических системах потерь энергии и возрастания плотности резонансов, отдельные резонансные отклики с ростом частоты возбуждения проявляются все слабей, служат обоснованием бесконечной модели, на которой в последующих двух главах исследуются излучение и передача звука трехслойными пластинами.

В пятой главе рассматривается 1 излучение звука бесконечными трехслойными пластинами, возбуждаемыми гармоническими нагрузками. С помощью метода сил данная упругоакустическая задача сводится к решению системы дифференциальных уравнений Ляме

( Л 4£(ИмЧ-^ско^о!-? = -ри)г"Г си, ^ -иг)

и двух уравнений Гельмгольца

при выполнении гранично-контактных условий на поверхностях пластины

Ы = -Г- "ПН 1 . (22

условий непрерывности перемещений и напряжений на границах сопряжения слоев

а также условий излучения на бесконечности. В формулах (24) ТГ- , 5- , 6*. касательные и нормальная нагрузки на заполнитель, предварительно выраженные через параметры и перемещения обшивок, возбуждакщие усилия, граничные значения звуковых давлений в полупространствах.

При построении решения к уравнениям (20), (21) применяется двумерное интегральное преобразование Фурье и из полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений находятся трансформанты искомых функций. Постоянные интегрирования и перемещения в несущих слоях определяются с помощью переписанных в изображениях соотношений (22)-(24). Указанным путем найдены интегральные выражения для звуковых давлений, создаваемых в полупространствах трехслойной пластиной при действии на нее произвольно распределенных нормальных и касательных сил. В качестве частных случаев рассмотрено излучение звука при возбуждении пластины нагрузками, вызывающими в ней состояние плоской или осесимметричной деформации. С целью оценки влияния симметричных колебаний трехслойных структур на их звукоизлуче-ние рассматриваемая задача решена также с использованием уравнений движения пластин, построенных на основе гипотезы "ломаной линии".

Для различных случаев возбуждения (точечная сила, нормаль-

(23)

(24)

ная и касательная силы и момент, действуюцие по линии на верхнюю обшивку) методом перевала найдены звуковые поля в дальних зонах ( к0. ^ >;> 1 ) верхнего и нижнего полупространств. На основе проведенного в этой зоне анализа частотных зависимостей звукового давления и угловых характеристик направленности излучения "вперед" (в нижнее полупространство) пластин с несжимаемым и сжимаемым заполнителями установлено, что изгибные колебания дают основной вклад в излучение только на частотах, удовлетворяющих неравенствам

с£е2кеЬ » ¿^¿кеЬ»^^- (25)

чГ

соответственно при излучении в воздухе и при одностороннем контакте с водой. Здесь д , ^ - плотности и толщины обшивок, |<е - волновое число продольных волн в заполнителе толщиной и плотности р .

Излучение трехслойных пластин при выполнении условий (25) качественно не отличается от излучения звука однородными пластинами и угловые характеристики направленности имеют, как правило, вид пологих кривых или прямых, а наблюдаемый при определенных характеристиках заполнителя и обшивок максимум излучения в среду малой плотности (воздух) обусловлен совпадением следа излученной звуковой волны с длиной изгибной волны в плао-тине.

Значительное отличие в излучении трехслойных и однородных пластин имеет место на частотах, лежащих выше диапазона (25). Расчеты звуковых давлений, выполненные с учетом и без учета сжимаемости заполнителя показали, что симметричные колебания снижают излучение пластины в воде и, наоборот, усиливают его, если пластина излучает в воздухе или разделяет вакуум в воду. Усиление излучения вызвано волновым совпадением с различными волнами в пластине и резонансным взаимодействием масс обшивок с упругостью заполнителя, причем первый из этих эффектов для пластины, излучающей в воду, выражен очень слабо. Углы максимального излучения в воздухе находятся из дисперсионного уравнения в виде определителя четвертого порядка с элементами, зависящими от частоты возбуждения и характеристик слоев. При равенстве толщин верхней и нижней обшивок это уравнение распада-

ется на два независимых:, одно из которых определяет экстремумы излучения из-за совпадения с симметричными волнами, а другое -с антисимметричными. Формулы для вычисления резонансных частот излучения в воздух и воду имеют вид:

(Р< Л ? V Ь = р к, + Л ) (26)

Расчеты звуковых полей, выполненные с представлением упругих постоянных среднего слоя в комплексной форме, показали, что увеличение коэффициента потерь приводит к уменьшению звукового давления на резонансных частотах и частотах пространственного совпадения. При излучении в воду снижение давления проявляется только при достаточно больших значениях коэффициента потерь. На низких частотах введение потерь не эффективно и уменьшение излучения достигается увеличением массы пластины.

В шестой главе исследуется звукоизоляция неограниченных трехслойных пластин. Коэффициенты отражения и прохождения плоской звуковой волны находятся для пластины несимметричного строения из решения системы шести алгебраических уравнений, к которым приводят после интегрирования дифференцйальных уравнений (20) граничные условия (22) и (24). При одинаковых несущих слоях полученные выражения представляются через импедансы 2с и колебаний симметричных относительно средней плоскости и антисимметричных по отношению к плоскости равновесия, что облегчает физический анализ процесса прохождения звука и позволяет оценить вклад каждого из двух типов колебаний в передачу звука трехслойной пластиной.

Приведенное в нормируемом (до10 Гц) диапазоне частот сравнение абсолютных величин и 1с показало, что на частотах, удовлетворяющих первому из условий (25) при ( р = ^ , )

имеет место соотношение |£е|» I 2-0.1 . т.е. передача звука осуществляется за счет колебаний изгиба. Угловые зависимости коэффициента прохождения имеют при этом вид плавных кривых, монотонно возрастающих от минимального значения при нормальном падении волны до единицы - при касательном, или аналогичных

кривых, но имеющих еще один максимум при углах, отличных от

На более высоких частотах 12а| и 12е1 становятся величинами одного порядка, а при дальнейшем увеличении частоты импеданс антисимметричных колебаний в широком интервале углов падения волны может превосходить импеданс симметричных колебаний, поэтому здесь учет сжимаемости заполнителя необходим.

Отмеченные особенности передачи звука трехслойными пластинами определяют характер изменения их звукоизоляции в диффузном звуковом поле. Известный закон массы, согласно которому звукоизоляция ограждения пропорциональна его массе и возрастает с частотой, справедлив для симметричных трехслойных пластин с изотропными заполнителями в частотном интервале, удовлетворяющем условию (25) и лежащем ниже граничной частоты

На более высоких частотах происходит значительное снижение изоляции, вызванное либо волновым совпадением при изгибных колебаниях панели, либо ее интенсивными симметричными колебаниями (совпадение плюс резонанс), или тем и другим одновременно, в зависимости от геометрических и физических параметров слоев. Частота провала звукоизоляции находится в первом случае по формуле (28), а во втором - из уравнения

Выше частоты провала кривая звукоизоляции имеет сложный вид с большим количеством локальных максимумов и минимумов. Уменьшение передачи звука достигается здесь увеличением коэффициента потерь в материале среднего слоя.

Указанные закономерности сохраняются и для несимметричных пластин с тем отличием, что увеличение несимметрии строения при постоянном весе панели приводит к смещению зоны пониженной звукоизоляции в область более низких частот. Аналогичный эффект наблюдается при переходе от непрерывного (жесткого) контакта слоев к скользящему.

С учетом этих обстоятельств в диссертации разработана

-Г/2.

^ с-г е ь с с / ь + \ * <?*/зн Ушс',

(28)

(29)

методика проектирования трехслойных ограждающих конструкций, позволяющая подобрать при заданном весе пластины такие ее параметры, чтобы в нормируемом диапазоне частот отсутствовали провалы звукоизоляции.

Смещение областей пониженной звукоизоляции в желаемую сторону достигается также использованием в качестве заполнителей анизотропных материалов. Соответствующие расчеты, проведенные на основе уравнений анизотропной теории упругости, показали, что снижение изолирующей способности из-за волнового совпадения при изгибных колебаниях наблюдается у пластины с ортотропным заполнителем в тем более широком интервале частот, чем больше различие между характеристиками материала по главным направлениям упругости в плоскости панели. Частота снижения звукоизоляции вычисляется по формуле (28), в которой необходимо положить (при Ег > ) или & -<5^* (при ё^Е^ ). Таким образом, изменением величин модулей сдвига > у* и модуля упругости Ег частоты (28) и (29) легко вывести за нормируемый диапазон.

Найденные выражения для коэффициента прохождения звука через трехслойные конструкции с ортотропным средним слоем использованы при анализе звукоизоляции пластин с сотовым заполнителем и заполнителем из армированного пенопласта. В расчетные формулы при этом подставлялись приведенные упругие параметры указанных заполнителей.

Выполнено сравнение расчетных и имеющихся в литературе экспериментальных частотных зависимостей звукоизоляции ряда трехслойных панелей с изотропными и сотовыми заполнителями и отмечено их хорошее качественное и удовлетворительное количественное совпадение.

Развитие и обобщение разработанных методов расчета гидроупругих колебаний и акустических характеристик плоских упругих структур на случай оболочечных конструкций дается в седьмой главе. Разрешающая система алгебраических уравнений относительно узловых значений реакции среды формируется теперь на основе интегрального уравнения Гельмгольца, которое с учетом условия совместного движения оболочки и среды принимает вид

Iк Й ¿к й

2 = К=1АВ| (30)

Аналитическое выражение для нормального перемещения уу конструкции строится с учетом принятой аппроксимации поверхностного звукового давления р(Ь) также, как и при отсутствии жидкости, и содержит неизвестные узловые значения этого давления. Точка наблюдения А совмещается последовательно с каждым из узлов.

Указанным путем рассмотрены гидроупругие колебания и зву-коизлучение цилиндрической оболочки, дополненной по краям неде-формируемыми участками с абсолютно жесткими днищами, при возбуждении ее циклосимметричной нагрузкой • Приводятся результаты расчетов показывающие, что отмеченные ранее закономерности взаимодействия со средой плоских упругих структур сохраняются и теперь, однако наличие цилиндрического экрана приводит не к убыванию, а к возрастанию амплитуды резонансных колебаний оболочки и звукового давления на ее поверхности.

Проанализирован приближенный подход, не учитывающий влияние звукового давления на торцевых поверхностях на колебания оболочки. Для этого в разрешающей системе отбрасывались уравнения и неизвестные, соответствующие расположенным там узлам, в результате чего получились заниженные значения резонансной частоты и амплитуды. Величина погрешности при этом тем меньше, чем больше длина экрана.

С целью анализа влияния на колебания элементов составных конструкций эффекта их взаимодействие через жидкость эта задача решена с учетом податливости концевых переборок. Соединение торцевых пластин и оболочек предполагалось достаточно жестким для реализации краевых условий защемления на контуре каждого из элементов. Отмечено, что в случае податливых концевых переборок амплитуда колебаний оболочек возрастает, хотя сам резонансный максимум лишь незначительно смещается в область более высоких частот. На резонансных частотах переборок амплитуда их колебаний резко возрастает, в то время как амплитуда колебаний самой оболочки практически не изменяется.

При исследовании звукоизоляционных свойств трехслойных цилиндрических оболочек движение заполнителя описывается уравнениями динамической теории упругости, а несущие слои рассматриваются как тонкие оболочки. Решения строятся для случаев, когда внутри оболочки расположен источник звука, излучающий расходя-

^уюся волну, и когда внутрь оболочки проходит плоская волна, ]&ронт которой параллелен оси цилиндра. Амплитуды стоячих волн -знутри оболочки и расходящихся - снаружи находятся из системы пести алгебраических уравнений, получающихся при подстановке выражений для перемещений заполнителя в условия совместного цвижения оболочки и среды и в условия непрерывности напряжений на границах сопряженных слоев. Система касательных и нормальных нагрузок на заполнитель со стороны обшивок определяется при этом интегрированием уравнений их равновесия в напряжениях с использованием обычных в теории тонких оболочек допущений.

Для цилиндрических оболочек с произвольным числом слоев предложен другой подход, основанный на интегрировании систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих изменение искомых перемещений по толщине оболочки, методом конечных элементов в форме Галеркина.

Численные результаты, полученные для пластин и оболочек с одинаковыми параметрами слоев, показали, что на низких частотах изоляционные свойства оболочки существенно выше, чем у пластины. Вблизи частоты

наблюдается максимум прохождения звука, вызванный резонансными колебаниями оболочки как кольца. После частоты, кольцевого резонанса звукоизоляция оболочки и пластины различаются незначительно, за исключением узких минимумов, соответствующих последовательным резонансам цилиндрического столба воздуха внутри оболочки.

В заключении приведены основные результаты диссертации и выводы, которые состоят в следующем;

1. Разработаны новые методы расчета и проведено систематическое исследование резонансных частот, амплитуд и форм гидроупругих колебаний ограниченных однородных и подкрепленных пластин.

2. Получены решения плоской и осесимметричной задач взаимодействия трехслойных пластин с акустической средой и установлены особенности их гидроупругих колебаний по сравнению с однородными пластинами.

(31)

3. Проведен анализ звукопроницаемости и акустической мощности излучения ограниченных пластин, а также характеристик их звуковых полей.

4. На основе уточненной модели, использующей для описания движения заполнителя уравнения динамической теории упругости, исследовано звукоизлучение в воздух и воду бесконечных трехслойных пластин, вогСувдаемых нормальными и касательными нагрузками.

5. В аналогичной постановке изучен процесс передачи звука трехслойными пластинами, получены основные характеризующие его аналитические зависимости и разработаны рекомендации по выбору параметров трехслойных звукоизолирующих конструкций.

6. Показана возможность обобщения разработанного метода расчета гидроупругих колебаний ограниченных пластин на случай оболочечных конструкций и проведены исследования вынужденных колебаний, помещенных в жидкость цилиндрических оболочек с абсолютно жесткими и податливыми концевыми переборками.

7. Получены решения задач о передаче звука бесконечной трехслойной цилиндрической оболочкой, возбуждаемой изнутри, и о прохождении звуковых волн внутрь оболочки. Проведено сопоставление звукоизоляционных характеристик пластин и оболочек

с одинаковыми параметрами слоев и отмечены имеющиеся между ними отличия.

В приложении приведены документы, подтверждайте внедрение результатов.

По теме диссертации опубликованы следугацие работы:

1. Бешенков С. Н., Голо скоков Е. Г. .Ольшанский В.П.. Определение граничных частот трехслойных ограждений.//Динамула и прочность машин.Харь ков,1973.Вып Л8.С.21-26.

2. Бешенков С.Н.,Голоскоков Е.Г..Ольшанский В.П. Исследование звукоизоляционных свойств трехслойных конструкций.//Акусти- ' ческий журнал.1974.Т.£0.Бып.2.С.184-189.

3. Бешенков С.Н..Голоскоков Е.Г. Прохождение звука через трехслойные панели.//Известия вузов.Строительство и архитектура. 1974.№ 12.С.70-75.

. Голоскоков Е.Г..Ольшанский Б.П.,Бешенков С.Н. Исследование вукоизоляционных свойств трехслойных панелей.//Влияние вибра-ий на организм человека и проблемы виброзащиты.М.:Наука.1974. .758-761.

. Бешенков С.Н..Голоскоков Е.Г. Излучение звука трехслойной ластиной, возбуждаемой гармонической нагрузкой.//Труды X Все-оюзной конференции по теории оболочек и пластин.Т.2.Тбилиси: ецниереба,1975.С.55-61.

. Голоскоков Е.Г..Ольшанский В.П.»Бешенков С.Н. О свободных олнах в трехслойных пластинах.//Динамика и прочность машин, арьков,1975.Вып.22.С.20-23.

'. Бешенков С.Н..Голоскоков Е.Г. Излучение звука осесимметрич-ю нагруженной трехслойной конструкцией.//Акустический журнал. .977.Т.23.Вып. I.C.24-29.

i. Бешенков С.Н..Голоскоков Е.Г. Выбор параметров трехслойных »вукоизолирущих панелей.//Судостроение. 1977..С. 13-15.

). Бешенков С.Н..Голоскоков Е.Г. Звукоизоляция трехслойных паклей с сотовым заполнителем.//Известия вузов. Строительство 1 архитектура.1978.№5.С.147-150.

[0. Бешенков С.Н..Голоскоков Е.Г. Распространение колебаний по лногослойным пластинам.//Динамика пространственных конструкций. 1'иев:КИСИ. 1978. С. 54-57.

LI. Бешенков С.Н..Голоскоков Е.Г. Излучение звука пластиной, возбуждаемой подвижной нагрузкой.//Акустический журнал.1978. Г. 24. Вып. 5. С. 778-780.

12. Голоскоков Е.Г..Бешенков С.Н. Об особенностях излучения звука трехслойными пластинами.//Динамика и прочность машин. Харьков.1978.Вып.28.С.69-72.

13. Бешенков С.Н..Голоскоков Е.Г..Кленова Л.М.Звукоизоляция

трехслойных цилиндрических оболочек при возбуждении изнутри. //Акустический журнал.1979.Т.25.Вып.2.С.197-202.

14. Бешенков С.Н..Голоскоков Е.Г. Передача звука трехслойными пластинами с анизотропными заполнителями.//Проблемы машиностроения. Киев ,1979.Вып.9.С.9-1I.

15. Голоскоков Е.Г..Бешенков С.Н. Излучение звука пластиной при возвратно-поступательном движении возбуждающей силы. //Вестн.Харьковского политехнического института.№148. Прикладная механика и процессы управления.Вып.1.Харьков: Вица школа,

1979.С.8-10.

16. Бешенков С.Н..Голоскоков Е.Г..Кленова Л.М. Прохождение звука через трехслойную цилиндрическую оболочку.//Депон.ВИНИТИ

1980.№1587-80.22 апреля.14 с.

17. Голоскоков Е.Г..Бешенков С.Н. Упругоакустические задачи динамики трехслойных конструкций.//Харьков:Вица школа,1980. 120 с.

18. Бешенков С.Н. О влиянии характера контакта слоев на излучение и звукоизоляцию трехслойных конструкций.//Депон.Укр. НИИНТИ.1983.№1607 УК-Д83.27 июня.II с.

19. Бешенков С.Н..Толок В.А. Нестационарные колебания ребристых пластин сложной формы.//Динамика и прочность тяжелых машин . Днепро петров с к : ДГУ , 1984 . С . 30-35 .

20. Бешенков С.Н.,Толок В.А. О влиянии деформации срединной плоскости на нестационарное напряженно-деформированное состояние пластин с ребрами жесткости.//Проблемы прочности.1986. М.СЛ03-Ю6.

21. Бешенков С.Н.,Карякин Г.А.,Толок В.А. Колебания составных многослойных оболочек вращения в упругой среде.//Тез.докладов П Всесоюзной конф.по механике неоднородных структур.Львов, 1987.С.34.

2. Вешенков C.h. Излучение звука вибрирующими пластинами конеч-ых размеров.//Тез.докладов ill научно-технической конференции Повышение надежности и долговечности машин и сооружений".Ч.I. иев,199.С.24-25.

:3. Бешенков С.Н..Волкова Т.Д. Применение метода конечных эле-[ентов (мКЭ) к расчету вынужденных колебаний пластин в жидкос-'и.//Прикладные задачи математики и физики.Киев:УМК ВО,1988. :.4-9.

14. Беиенков G.H., Волкова Т.Д. Одномерные колебания и акусти-'еские свойства ограниченных пластин, взаимодействующих со сре-юй. //Депон.Укр.НКИНТИ. 1989.№200-УК 89.6 января.54 с.

2о. Бешенков СЛ.,Волкова Т.Д. ,Карякин Г. А. Динамика и акустические свойства ограниченных трехслойных пластин, взаимодействующих со средой.//Тез.докладов 111 Всесоюзной конф."Прочность, жесткость и технологичность изделий из композитных материалов". Запорожье,1989.С.27-28.

26. Бешенков СЛ. Вынужденные колебания и излучение звука круглой пластиной, взаимодействующей с жидкостью.//Прикладная математика и механика.1989.Т.53.№5.С.761-765.

27. Бешенков СЛ. .Горбань С.Ф. Излучение звука при вынужденных колебаниях круглой трехслойной пластины.//Прикладная механика. 1990.Т.26.№2.С.108-112.

28. Бешенков СЛ. Применение мЮ к расчету прохождения звука через ограниченные пластины!//Акустический журнал.1990.Т.36. Вып.2.С.209-213.

29. Бешенков С.Н..Волкова Т.Д. Вынужденные колебания и акустические свойства прямоугольной пластины, взаимодействующей со средой.//Изв.АН СССР.Механика твердого тела.1990.№4.С.164-169.

30. Бешенков СЛ. Вынужденные колеб!ания ограниченных подкрепленных пластин в жидкости.//Труды ХУ конф. по теории оболочек

и пластин.Т.I.Казань:КГУ,1990.С.127-132.

31. Бешенков С.Н.,Волкова Т.Д. Вынужденные колебания упругой полосы, взаимодействующей с жидкостью.//Динамика и прочность машин.Харьков,1990.Вып.51.С.44-48.

32. Бешенков С.Н..Волкова Т.Д. Неосесимметричные колебания'круглой пластины, контактирующей с жидкостью.//Прикладные проблемы прочности и пластичночти. Численное моделирование физико-механических процессов.Горький,1990.С.84-89.

33. Бешенков С.Н..Волкова Т.Д. Колебания ограниченных трехслойных пластин, контактирующих с жидкостью.//Прикладная механика. 1991.Т.27.№3.0.88-93.

34. Бешенков С.Н..Волкова Т.Д. Акустическое поле упругой полосы, взаимодействующей с жидкостью.//Математические методы и физико-механические поля.Львов,1991.Вып.33.С.45-49.

35. Бешенков С.Н..Клименко М.И. К расчету звукоизоляции многослойных оболочек, возбуждаемых изнутри.//Акустический журнал. 1991.Т.37.Бьш.1.С. 17-21.

36. Бешенков С.Н..ГорбаньС.Ф. Одномерные гидроупругие колебания трехслойных пластин.//Прикладная математика и механика.1991.

Т.55.№3.С.472-477.

37. Бешенков С.Н..Горбань С.Ф. Гидроупругие колебания трехслойных цилиндрических оболочек.//Труды I Всесоюзной конф."Технологические проблемы прочности несущих конструкций".Т.1.4.1.Запорожье, 1991.С.29-33.

38. Бешенков С.Н. Акустическая мощность излучения вибрирующих пластин конечных размеров.//Проблемы машиностроения.Киев,1991. Вып.35.С.34-37.

39. Бешенков С.Н..Горбань С.Ф. Звукоизлучение ограниченных трехслойных пластин в жидкости.//Акустический журнал,1991.Т.37.