О группах с элементами конечных рангов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

1 л

о Ч

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

ГОМЕР Владимир Оскарович

УДК 512.54

О ГРУППАХ С ЭЛЕМЕНТАМИ КОНЕЧНЫХ РАНГОВ

01.01.06.—

математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 1992

Работа выполнена в Красноярском государства ином университете.

Научный руководитель - доктор Сизико-натематич ишх наук,

профессор В.П. ш у н к о в. Официальные оппонента: доктор физико-катематичеоких наук,

профессор Н.О.Ч ерников; кандидат физико-математических наук, доцент В.И.О анисов.

Ведущая организация - Омский государственный университет (г.Омск).

Защита состоятся с-С^й Рй 19Э2 г. в чааав на

ваоедыши специализированного совета Д.002.23.01 при Институте математики Сибирского отделения Российской АН по адресу: 830090, Новосибирск, Академгородок, Университетский проспект, 4.

О диссертацией мокло ознакомиться в библиотеке Института математики 00 РАН.

Автореферат разослал ( ОЗ , 1992 г.

Ученый секретарь ппвцааляиированного совета

к.ф-и.в

J -

В 1940 г. С.H.Черняков доказал, что всякая локально 1 «

разрешимая группа о усласти кинималшости почти абелева till. Позднее почти абэлява группа о условием минимальности была названа чернштбиксй.

Так в рамках общей теории групп отвло развиваться большое и плодотворное) направление, связанное . а различного рода хяракт-риэзцпямн чертковских груш в различных классах групп. В частности, внима7ше больше, .ti числа советских и оарубекных специалистов было привлечено, _ "проблемой ганимзльноотн О.Н.Черяисора": является ля группа о условием минимальности для подгрупп черпйковскоа?

0 одной стороны, она была положительно решена в классе локально конечных групп Пунковш В.ПЛ18],0.Кегвлем и В.Верфритцем 1191, а В.Пупковым даже при более слабом у славил минимальности дня вбеловых подгрупп ИТ]. С другой стороны,в общем виде ата проблема била отрицательно реиена Ольшанским А.ВДбК

В связи с этим сталл особэнно интерееннмз олодуизкэ два вопроса:

1) в каких еце классах периодических групп, оодарзащих клаоо локально конечных групп, полоиггольно решается правлена иинямальнопти;

2) какие еще условия для известных (или вводимых) классов периодических групп гарантируют чэрниковость втих групп?

Как показывает развитие теории групп в последнаэ 15-20 лат, точку в рвпении этих вопросов ставить ещэ рано.

Таким образом была введены классы бинарно конечных (Отрунков В.П.) q-бипримитивно конечных групп (Щунков В.П. [161), сопряяеняо q-бипримитивно конечных групп (Щунков В.П. 1111) и многие другие

-3-

классы.

Что касаатся второго вопроса, укакем некоторые ' деловая конечности, оОоадачивапциа черниковооть:

а) конечность специального ранга для локально конечных груш (Иягкова H.H.141);

б) конечность и ограниченность в совокупности специальные рангов вбелевше подгрупп локально разрешишь груш (Каргалолов U.M. ¡21); заметим, что Ыэраляков Ю.И, 13] указал пример локально разрешимой групш, ранги абелешх подгрупп которой конечны, но на ограничены в совокупности;

а) условие минимальнооти для абелевих подгрупп сопряженно блпримигивно конечных групп (ОотшювскиЯ А.Н. 17)).

г) некоторые условия, налагаемые на централизатор адаманта простого порядка различных р-груип (Йогов А.ЫЛ81).

Одшш иг методов наложения условна конечности является требование черниковости оиловсхих (то есть максимальных) р-подгрутш. ( Локально конечная группа о черниковокими силовскиыи p-подгруппами по данному простому числу р, называется S ^-группой; вот группа является Б^Р-группой для любого постого числа р, то ose называется S1-группсй.)

а) Локально разрешимая SP-rpynna G обладает полной часть». Воли к тону ве *(С) конечно, то О - черниговская группа (Каргашлоа Ы.И. (2]).

б) Периодическая бинарно разрешимая группа С с чершковскоди сшювсшши подгруппами обладает полной чаатьь. Если к тому в» %(G) конечно, то О - черниковская группа (Седова Ь'.И. (91).

( Бинарна разрешимой навивается групиэ, любао два влоыонта которой порождают разрешимую подгруппу.)

-4-

(«лпдуадкм логичным шагом в этом направлении является наложение" условия минкмальпости на силовскиа р-подгрушш только по одному простому чкглу р.

Теорпыа Чррюгкова С.П.. Почта локально разрсшихая Sp?-rpyitna G для дэнного х(О) кмпот чоршлсовскуп фактор-Группу G/0p. (С) 110).

С юдуя В.П.!'ут;опу С161 , назовем грушу G р-здажрежпъко аппроксипщ/ихсй дат дшшо»о ретс(С), осли G обладает такой нормчльнпц г'-подгруппой ÏÏ, что 0/И ^яаллэ гея чэршэсовской группой. Аналог Toopewj Черникова, кюОщэ говоря, ¡¡ввдрон даээ для локально конзчш« групп (например, групп типа РЗЬ(г,й), гда к - локально конечное полэ печатной характеристики). Он невареп и для групп конечного периода t 1 ]. Поэтому велись шпсеск дополштолышх условий, накладываема! на группу.

Одно из такгсг. услоппй было найдено В.П.Щупкопам С1б). Это -конечность ранга р-элонентов, ЕЕэдзняоа пи для локально коночных груш. Приводам здесь обобщопаэ этого попятил, данпоэ овтероа для произвольных групп.

Пусть С - пропзЕольпая груша, g - оа алэгдзнт, и H -произвольная конечно перолдепная подгруппа из G, содержащая олзкэнт ff. Полошим

о, если либо gtK<U, либо |Я| - простое число;

таг|Н:11|, где JT - мпкепмльшй нормальный делитель в Я и g0.

Число r(g,G)»mi ф <Н), где В проОэгаэт вез коштастороздэшшэ в а

подгруппы из С, содержащие олэиэпт g, назовем ранеол олекэпта g а rpymra G.

Теорема Шункова В.П.. ЗГГ-группа 0 р-вкстремальяо

-Б-

аппроксимируема тогда и только тогда, когда все еа ц-вломанты имей в С конечный ранг.

Обобщенно понятия ранга влемента в группе yi аэнным выше • образом, позволило получить аналог втсй теоремы для q-бипримитиЕНО конечных групп ( см. 5 6 главы II). Построенная пример позволил , покцзать, что паллий апалог теоремы Щуикова В.П. длн произвольных ч-биприштивно конечных групп неверен.

При доказательство втого результата существенно исюдьзоваи признак непростоты (теорема 4):

бесконечная группа, обладающая адамантом конечного рингп, непроста.

Этот признак дает, в честности, положительный ответ на вопрос III.2 из книги О.Кегеля и Б.Верфрктца 1191:

влечет ли существование вломэнта конечного ранга в локально конечной группа ее непростоту?

Далее, о помощью понятия ранга влемента в группе, ислучез , полный аналог теоремы О.Н.Черникова для периодических бинарно разрешимых групп ({5 главы II)

В 1984 г. появилась первая (11) из Сирии фувдамонтолышх рвбот В.П.Шункова 111,12,13,17), посвяцчнная так называемым М -грушам. В 1990 г. ВШШ1 И монография í 14), В которой систекатиаированно изложена теория Ы^-групп. Как оказалось, многие на упомянутых выше результатов, снизанных о чрршпеоискими группами, могут бить истолкованы в римках тоарии Мр-групп. Напомним определение Ыр-грушш в общем вида 114): Пусть О - группа, В - но бесконечная носильная полная абелава q-подгруппа с условием юатлапьтпй, ueG - вломент порядка р (p,q - простые числа) такие, что лгуЗяя (и)-инвариантная

-6-

локально конечная q-подгруппз S из G конечна над В, то есть |В:ЗПВ|'.ш. в втом случав группа С называется Ыр-груптюй о q-аОрод В к ручкой (а).

В 1984 г. З.П.Шунковым была доказана следующая, осповополнгаицая в теории Мр-групп,

Теореив (В.П.Шунков) Пусть G - группа без инволгадай, В - еа полная бесконечная абэлева р-подгруппа о условием минимальности, а

- элемент из С порядка р, уде:1летворяпциа следующим условиям:

1) if«H0(B) является мр-грушгаа с p-ядром В и ручкой <а>, причем в Сн (а) все локально конечные р-подгрушш конечны;

• 2) для любого элемента geG\fl группа <а,а*> кошчна;

3) |Са (a):ifnoo(a)|<B>, и Ш30(а) оодзряит вое р'-элзмэнтн конечного порядка из G0(a);

4) если Q - конечная (а)-пнваразптная ч-подгруппа из И о уолоаием 0П0о(а)г«1 и чИр, то H0(QKff.

Тогда В<С ( то ость G - Мр-группа a p-ядром В а ручкой <а>).

Предмет настоящего воодедованвл-Ыр-групш: в главах I н II - чаршставскиа группа, а глава III

- собственно М2-групш.

Цель даооартацин - возможно более полное обобщении укоаашшх теорем О.Н.Чарнтювв я В.П.Щункова.

Оонокым результатом главы I являатоя теорема 1 (61). Эта -аналог теоремы С.Н.Чэрникова для периодических бинарно разрешимых групп. с пошцью втого результата доказывается теорема о том, что

любой влемент бесконечной бинарно разрешимой группы вкладывается в бесконечную локально разрешимую подгруппу (теорема 2).

Теоремы влокашя всегда очень вахни в приложениях,к теорема 2 сразу ке находит свое применение - в {3 дана следущая характеризация париодачешсих локально разрешимых олс:ио конечных груш в класое периодических бинарно разрешима групп (теорема 3):

Пусть в периодическая бинарно разрешимая группа, а - ее елемэнт простого порядка р, такие чао:

1) в С0(а) любая локально конечная подгруппа слойно конечна в имеет конечные силовские ч-подгрутш по всем простим </;

2) любая локально конечная подгруппа, содержащая элемент а, словно конечна.

Тогда О - локально разрешимая (локально конечная) слойно конечная группа.

Глава II посвящена группам о влементами конечных рангов. В 54 доказано,что

любая бесконечная груша, обладающая хотя бы одним (элементом коночного ранга, непроста (теорема 4),

В {С а помощью этого признака непростоты получены условия, при которых периодическая бинарно разрешимая группа о черниковскими силовскими р-подгруппеми по данному реи(С) р-вкстрвмально аппроксимируема (теорема 6); ото полный гналог теоремы С.Н.Черникова, о ели учесть свойство 3) из 54.

{8 посвящен доказательств упомянутого ьывд необходимого и достаточного условия ч-акстромальной лпироконмируемости о-бшцшштшшо конечных групп:

Теорема 7. Для ч биирим гиишэ ксничпоЗ грунш с, о черникивскимм оиловмаш ч-подгрукпа:«! по данному чей (Т) следу ицие условия акыюалпктиы:

1 ) Eoii q- влошита на G имэвт кокечшо ринга а С;

2) фактор-группа р,^»/Ор,(С) являоТся группой одного на слэдущих видов: :

а) С, - чврникоЕская группа;

¡5) Gt обладает чвршгковскоЗ локально конь'шой иорлэлъад.й шдгрушюО it, такой что суй является ч'-грушюл.

Глава III полностьп посьящеиа U^-rpyautM. Дшааптельспт л,3t« 21-24 кеприведпни из-за того, что они д-.каяивахггся tu«h.ï -мсю, как лолыы 1-4 из till. Лоиш 5-7 з рнбога ill) iiocBfl^oiJi доказательству того, что ядро ö ^-пвд-руп.ш ti )lu(ßi грущщ С обладает коночными шдгруплаш, нормализатор ..старых не .wsmv а II, леммы 25-27, хотя и в несколько иной, чем н (111, формулировка, тому ко. Уже здесь начала лрслплиться "четная специфика". Ловд.м 23-31 дины боз доказательств по той ко причине, что и доимы 21 -<¡4. Утворадання га, аналогичные ломызм 1"-Г? из 1111 восбщи из понадобились из-за хорошо известного отроения конечных грули, порожденных двумя инволюциями.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах 121-301 .докладывались на I-оЯ Ыеадуиародной конфарешдо по luv-jöpo памяти А.И.Мальцева (г.Новосибирск, 1989 г.), 2-ой Кавдунпродной KJialfapuiiurtit iuî алгебре намята А.Л.Ширяева (г.Барнаул, 1991 г-Ь иимишфш "Алгебра и логика" (ИМ 00 РАН, г.Новиоийирос), Мяьриот Галуа" (IiiУ, г.Новосибирск), Ьсесовзных коирпрош^ьх по алгебре, ik'ecot.'uiux симпозиумах по теории групп, Красноярским rop<V("KO« семинаре "Алгобраичаскиа сисгигш".

U .ткличонии fliif.Jp ыцшжгшг глубокую благодарность д.ф. м.н., нрофиссору В.П.Шунког.у зь пои*иконку задач, поогояннсм шиминко к роботе и за чолоычоскпй участии.

-9-

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИ'ХЬТЛТЛи

1. А д я в О.И. Проблема ^нсаЗда и товдеотва в грушгах. -М: Кдука,197Б.

£. Кар г а полов М.К. Локально конечные группы оо

споцигиышми оиловяккми р-иодгрувпони,'/Авторвф. канд. даос., Пярм-Ую:В('Рси,гэт» 1956.

3. Мерзляков D.H. Иатргшое представление груш внешних

.. автокор&шмон черниковских групл//АлгоОра и логика.-19G9. • 8, М9. 0.478-482.

4. М й г К о в а H.H. О грушах конечного ранга// Kan.All COOP,

■ Очр.иатвм. -1949.- Т.13.- 0.495-512. 6. Ольшанский A.D. Бесконечные группы о подгруппами простых порядков// Иаа.АН Q0CP, очр.ыатем.-1900.- 44,Ш,-0.Э0Э-321.

6. Ойтыловокий Д.Н.', ш у Н X о В :i.n. О q -оипримитивно конечных группах о уолпвкем минимальности для q-шдгрутт// Алгобро а лодаса.И97а.-Н,»1 .-0.61-78. Т. оптылойоккй А.Н. Локальная конечность некоторых групп п услопием китамальноотк для абелевых подгрупп// Алгебра и логика.-1977.- 16,А1.-0.63-73.

8. П о п о в А.Ы. К вопросу о характерипацта одного класса

чершковских груЬп/ КПП - Красноярск, 1986,- 24 с, - Рус, -Доп. с ШИГМ 1.10 85, JS7327-b5.

9. О о д с в о Е.И. О группах с абедевыми подгруппами коночных

рангов//Алгойра в Логика.-19в2,-81,»3.-0.321-343.

10. ЧерниховО.Н. Группы о заданными свойстпчми слстомы

подгрупп.- М.: Наука, 1980.

-10-

11. Ш у н к о в В.П. Ыр-грутш//Алг0ара в логика.-1884,-23,*«.- О.

446-470. .

12. Ш у н к о в В.II,Ир-грулНы о ядром произвольного ранга. //

Алгебра И логика.-1983.- 25,*0.-0.4!>7-4Ш.

13. Ш у н к о в В.П. К опрэдвлению Ир-грутм//Алгвора а кгяа. -

1986.-26,*1.-0.111-113.

14. ш у и к о 6 В.П. Мр-груаш.- М.: Наука.- 1я£0

16. Ш у н к о в В.П. Об одном классе р-гру<т//Алгаоре и 1970.-9, -0.484-406,

16. Ш у н к с в В.П. и локально конечной грунгм о вийтрьыялгиам*

СИЛОГ,СКИ№1 р-шдгрупгтмя но нькоторому г.расгсэд числу »..'/см, мат.иурнал.-1907.-6,»1.-С.213-229.

17. Ш у и к о в В.П. О локально конечных группах о условлен

минимальности длл аболевых подгрупп//АлгаОра И логаи ,-1ЭТ0. -, 9, >56.-0.853-873.

18. Ш у н к о в В.П. О проблема юшималъкийтй Длл ликадщй

конечных групп//Алгебра и лоПц(а,9,Лй(1В7П)( 228-240.

19. X а а о 1 О.Л., II е И г Г г 1 и, В.А,У. 1якз11у ШПо

вгсира. Апа 1 ш"<1дл-1лш5оп-Нэ»Уог1{, 1973,

20. * а 1 * Г й о а р в о II <Г.0. ВоШМШу ог впиири ох скш

ОГбвР// ГПкИМ.Иаиь^ОД-У. 775-1039.

ПШИКАЦШ! ВО ГШ ДИССКГТАЩГИ;

21. Гомер бЛ.О. ¡Шьрнй раврошммиа грушы о влймантс»«

ионичного ранга/ Красноир.гос.ун-т - Кроовоярск,19Э2,- Эл.-Виблиогр.{ 10 нпзв.- Гуо.-Лаи.а ВИНИТИ 13.06.02,Л

22.Г опор Вл.о. ОбоС1ф)1Шв понятия раш'в влимонта в группа/ Красаояр.гоо.уи-т - Красноярск,1992.- Юо.-Виалиогр.:* назв.

-рус.-Дан. а ВИНИТИ 12.05.92, & 1Ь6Э-В92. 23. Гомер Вл.О. О ОинаркJ раврепимых rpynnax/KСХИ- Красноярск, 19ЭО.-31о.- Вяблиогр.:1 j паза.- Рус. -Деп.в ВИНИТИ 9.10.00, »1654 В-SO.

Г о м о р Вл.О. Группы с элементами конечных рангов// Укрвин. матом.«урпал.- т.44,*67-1Э92.~ с.83(И339. ГБ. Г о м ь р Вл.О. М,-группы / Алгебра н логика. В печати. 2G. Г о м е р Вл.О. Периодические бинарно разрешимые групш о • чефнякояскгга скжщсишмп р-подгруппяки для одного р/ В !Ш."ШП Всеоото. алгебраическая конференция. 9-11 сентября

ч

1D03 г.,Кетюк. Теп. докл."-1933. 2V, ■ Т с м е р Вл.О. К теории Up-rpyr¡n/ В кн. "ШI Всасога. гадгозиум по теории групп. 9-11 сентября 1986 г.Гокэль. Тез. докл." -1986.

28. Г о и в р Вл.О. £рряетвризшщл одного класса Ыр-групп/ В кн.

"XX Есеооюз. конференция. 9-11 сентября 1S87 г.

Льют. Тез. дозд,« - 1937.

29. Г о м в р Bs.O, 13 -группа при произвольном р/ В кп. "1-я

г

1гзадуваро&!ал кднфзренция по алгебре памяти А.И.Ыальцэва. Ей-25 августа г. Нозоснбарск. Тоз. докл." - 1Э8Э.

30. Г о м е р Вл,0, 0 группах с олаиэнтама конечных ршгоо/ в кн.

"11-я Ыеядунвродаая конфорешсш ш алгебре паылтп А.Л.Еприова. 20-йБ августа 1991 г. Барнаул. Tea. докл." -ШЬ

Тиг-ЮО. П/'О "С ибири1'.

-12■