Абелевы группы без кручения малых псевдо-рациональных рангов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

Обозначения и некоторые определения

1 Двойственность между категориями Т и QTT

1.1 Модули над кольцом псевдо-рациональных чисел

1.2 R-модули псевдо-рационального ранга 1.

1.3 Матрицы ^-отношений.

1.4 Категория Т.

1.5 Модуль псевдо-рациональных отношений.

2 Некоторые классы абелевых групп без кручения конечного ранга

2.1 Абелевы группы без кручения псевдо-рационального ранга

2.2 Почти делимые группы.

2.3 Условие равенства псевдо-рационального и обычного ранга группы.

2.4 Связь между псевдо-рациональным рангом и модулем псевдо-рациональных отношений.

Первая волна интереса к абелевым группам без кручения конечного ранга возникла еще в рамках общей теории групп в связи с открытием двойственности JI. С. Понтрягина [10] в 1934 г. В этой работе, в частности, был построен пример неразложимой группы без кручения ранга 2 и доказан критерий свободности счетной абе-левой группы.

Дальнейшее развитие теории групп без кручения конечного ранга связано с работами А. Г. Куроша [8], А. И. Мальцева [9] и Д. Дерри [31], вышедшими в 1937 - 1938 гг., где они независимо друг от друга получили описание абелевых групп без кручения конечного ранга при помощи классов последовательностей матриц с р-адическими элементами. Тогда же вышла работа Р. Бэра [25], которая на протяжении длительного времени была основным источником идей при исследовании этого класса. В частности, в [25] с помощью типов были описаны группы без кручения ранга 1, а также установлена неразложимость сервантных подгрупп группы целых р-адических чисел, т. е. получены неразложимые группы произвольных мощностей, не превосходящих мощность континуума.

Важное с теоретической точки зрения матричное описание Ку-роша-Малыдева-Дерри не имело хороших приложений, так как указанные матрицы слишком привязаны к базису группы и дают мало информации о группе в целом. В 1976 г. А. В. Яковлев [19] показал, что задача классификации абелевых групп без кручения конечного ранга является «дикой» в том смысле, что она содержит в качестве подзадачи тестовую задачу о паре матриц. Позднее аналогичные результаты были получены Е. Лейди [35] и Д. Арнольдом [24] для некоторых более узких классов групп.

В 40-е, 50-е годы, в основном благодаря работам JI. Я. Куликова [3] - [7], теория абелевых групп выделилась в самостоятельную ветвь алгебры. В работах [3] - [7] существенную роль играла идея перехода от групп к более просто устроенным модулям над различными кольцами. Эта же идея лежит в основе методов, применяемых в данной диссертации.

Вторая волна интереса к классу абелевых групп без кручения конечного ранга возникла в конце 50-х годов в связи с работами Б. Йонссона [33] и [34]. С тех пор интерес к этому классу групп не снижался и особенно велик в настоящее время. Б. Ионссон открыл аномальность в прямых разложениях абелевых групп без кручения конечного ранга. В примере Б. Йонссона группа ранга 4 раскладывается в прямую сумму неразложимых групп ранга 2, она же раскладывается в прямую сумму неразложимых групп ранга 3 и 1. Б. Йонссон нашел выход из создавшегося положения путем замены понятий изоморфизма и гомоморфизма на близкие к этим понятиям им же введенные понятия квазиизоморфизма и квазигомоморфизма. Так возникла категория квазигомоморфизмов абелевых групп без кручения конечного ранга, объектами которой являются эти самые группы, а морфизмами - квазигомоморфизмы. Б. Йонссон [34] доказал, что в этой категории любой объект однозначно раскладывается в прямую сумму неразложимых объектов, которые называются сильно неразложимыми группами, т. е. в этой категории имеет место теорема Крулля-Ремака-Шмидта. Категория квазигомоморфизмов абелевых групп без кручения конечного ранга широко используется в предлагаемой диссертации для получения основных результатов.

После работ Б. Йонссона возникло два направления в дальнейших исследованиях. Первое направление - дальнейшее изучение аномальных прямых разложений. Здесь наиболее значительные результаты получили А. Корнер [30], Е. А. Благовещенская и А. В. Яковлев [1]. В настоящее время, в особенности после работы А. В. Яковлева [20], этот вопрос можно считать хорошо изученным. Другое направление исследований основывается на идее описания абелевых групп без кручения конечного ранга не с точностью до изоморфизма, как это делалось в упомянутых работах А. Г. Куроша, А. И. Мальцева, Д. Дерри и также в работах JI. А. Калужнина [2], Г. Чекереша [37], М. Кемпбелла [29], а с точностью до квазиизоморфизма.

В 1961 г. вышли совместные работы Р. Бьюмонта и Р. Пирса

26] и [27], в которых два класса абелевых групп без кручения конечного ранга были описаны с точностью до квазиизоморфизма, это класс факторно делимых групп [26] и класс групп без кручения ранга 2 [27]. И тот и другой классы были описаны при помощи новых инвариантов, которые для разных классов никак не связаны между собой.

На основе описания факторно делимых групп был получен ряд хороших результатов, из которых наиболее интересными на наш взгляд являются работы А. А. Фомина [16] и Д. Арнольда [21] (результаты последних имеют непосредственное отношение к данной диссертации). Но особенно большой резонанс имело описание групп ранга 2. Число публикаций по этой теме составляет ни один десяток статей. Увеличить ранг на единицу, т. е. построить инварианты в духе Бьюмонта-Пирса, описывающие с точностью до квазиизоморфизма группы без кручения ранга 3, удалось только в 1989 г. А. А. Фомину [13]. После чего им была получена и общая теорема для произвольного конечного ранга [14].

Приведенный обзор литературы по абелевым группам без кручения конечного ранга далеко не полон. Мы, например, не касаемся в этой работе открытого в 1965 г. класса групп Батлера [28], т. е. класса сервантных подгрупп вполне разложимых групп без кручения конечного ранга. Это довольно узкий, но очень интересный класс. Количество публикаций по группам Батлера сравнимо с количеством публикаций по группам ранга 2 хотя и несколько меньше. Важно отметить, что в 1989 г. появились совместные раб боты Д. Арнольда и Ч. Винсонхалера [22], [23], в которых группы Батлера описываются с точностью до квазиизоморфизма.

Центральное место в диссертации занимает изучение нового числового инварианта, введенного А. А. Фоминым [15], - псевдорационального ранга. Основными решаемыми вопросами являются: условие равенства псевдо-рационального ранга 1 и соотношение между псевдо-рациональным и обычным рангом.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Первая глава имеет вводный характер. В ней приводятся необходимые определения и доказываются результаты, составляющие основу нашей техники.

1. Е. А. Благовещенская, А. В. Яковлев, Прямые разложения абе-левых групп конечного ранга без кручения, Алгебра и анализ, 1 (1989), вып. 1, 111-127.

2. JL А. Калужнин, Bemerkung zu einer Arbeit von Herrn A. Kurosch, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 12 (1938),247-255.

3. JL Я. Куликов, К теории абелевых групп произвольной мощности, Матем. сб., 9 (1941), 165-182; 16 (1945), 129-162.

4. JI. Я. Куликов, Обобщенные примарные группы, Труды Моск. матем. об-ва, 1 (1952), 247-326; 2 (1953), 85-167.

5. JI. Я. Куликов, О прямых разложениях групп, Укр. матем. ж., 4 (1952), 230-275; 326-347.

6. JI. Я. Куликов, Универсально полные группы, Труды III Все-союзн. матем. съезда, М., 1956, 26-28.

7. JI. Я. Куликов, Группы расширения абелевых групп, Труды IV Всесоюзн. матем. съезда, т. 2, JL, 9-11.

8. А. Г. Курош, Primitive torsionsfreie abelsche Gruppen vom endlichen Range, Ann. of Math., 38 (1937), 175-203.

9. А. И. Мальцев, Абелевы группы конечного ранга без кручения, Матем. сб., 4 (1938), 45-68.

10. JI. С. Понтрягин, The theory of topological commutative groups, Ann. of Math., 35 (1934), 361-388.

11. A. M. Себельдин, Абелевы группы с изоморфными полугруппами эндоморфизмов, Успехи мат. наук., 49 (1994), N 6, 211— 212.

12. А. М. Себельдин, Определяемость сепарабельных абелевых групп без кручения полугруппами эндоморфизмов, Алгебра и логика, 34 (1995), N 1, 207-208.

13. А. А. Фомин, Абелевы группы без кручения ранга 3, Матем. сб., 180 (1989), N 9, 1155-1170.

14. А. А. Фомин, The category of quasi-homomorphisms of abelian torsion free groups of finite rank, Proc. of Intern. Mal'cevs Conf., AMS, 1991.

15. А. А. Фомин, Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers, in the book: Proceedings of the Dublin's Conference on Abelian Groups, 1999, 87-100.

16. А. А. Фомин, Quotient divisible mixed groups, Contempt. Math., 273 (2001), 117-128.

17. JI. Фукс, Бесконечные абелевы группы, т. 1, М.: Мир, 1974.

18. JL Фукс, Бесконечные абелевы группы, т. 2, М.: Мир, 1977.

19. А. В. Яковлев, К проблеме классификации абелевых групп без кручения конечного ранга, Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР, 57 (1976), 171-175.

20. А. В. Яковлев, Абелевы группы без кручения конечного ранга и их прямые разложения, Зап. науч.сем. ЛОМИ АН СССР, 175 (1989), 135-153.

21. D. М. Arnold, A duality for quotient divisible abelian groups of finite rank, Pacific J. Math., 42 (1972), 11-15.

22. D. M. Arnold, C. Vinsonhaler, Quasi-isomorphism invariants for a class of torsion free abelian groups, Houston J. Math., 15 (1989), N 3, 327-340.

23. D. M. Arnold, C. Vinsonhaler, Invariants for a class of torsion free abelian groups, Proc. Amer. Math. Soc., 105 (1989), N 2, 293-300.

24. D. M. Arnold, C. Vinsonhaler, W. Wickless, Quasi-pure projective and injective torsion free abelian groups of rank two, Rocky Mountain J. Math., 6 (1976), 61-70.

25. R. Baer, Abelian groups without elements of finite order, Duck Math. J., 3 (1937), N 1, 68-122.

26. R. A. Beaumont, R. S. Pierce, Torsion free rings, 111. J. Math., 5 (1961), 61-98.

27. R. A. Beaumont, R. S. Pierce, Torsion free groups of rank two, Mem. Amer. Math. Soc., 38 (1961), 1-41.

28. M. C. R. Butler, A class of torsion free abelian groups of finite rank, Proc. London Math. Soc., 15 (1965), 680-698.

29. M. O'N. Campbell, Countable torsion-free abelian groups, Proc. London Math. Soc., 10 (1960), 1-23.

30. A. L. S. Corner, A note on rank and direct decompositions of torsion free abelian groups, Proc. Cambridge Philos. Soc., 57 (1961), 230-233; 66 (1969), 239-240.

31. D. Derry, Uber eine Klasse von abelischen Gruppen, Proc. London Math. Soc., 43 (1937), 490-506.

32. A. A. Fomin, W. Wickless, Quotient divisible abelian groups, Proc. Amer. Math. Soc., 126 (1998), 45-52.

33. B. Jonsson, On unique factorization problem for torsion free abelian groups, Bull. Amer. Math. Soc., 51 (1945), 364.

34. B. Jonsson, On direct decompositions of torsion free abelian groups, Math. Scand., 5 (1957), 230-235; 7 (1959), 361-371.

35. E. L. Lady, Splitting fields for torsion free modules over discrete valuation rings, J. Algebra, 49 (1977), 261-275; 66 (1980), 281306.

36. О. Mutzbauer, Fastabelsche Minimaxgruppen, Dissertation, Erlangen (1971).

37. G. Szekeres, Countable abelian groups without torsion, Duck Math. J., 15 (1948), 293-306.

38. А. В. Царев, Конечно порожденные Я-модули, Науч. труды мат. факультета МПГУ, М.: Прометей, 2000, 285-289.

39. А. В. Царев, Я-модул и псевдо-рационального ранга 1, IV Международная конференция «Современные проблемы теории чисел и ее приложения», посвященная 180-летию П. JI. Чебышева и 110-летию И. М. Виноградова, Тула, 2001, тезисы докладов, 32-33.

40. А. В. Царев, Критерий изоморфности объектов категории Т, МПГУ, деп. в ВИНИТИ 12.07.2002, N 1329-В2002, 8с.

41. А. В. Царев, Абелевы группы псевдо-рационального ранга 1, МПГУ, деп. в ВИНИТИ 28.08.2002, N 1524-В2002, 17с.

42. А. В. Царев, Абелевы группы псевдо-рационального ранга 1, Международная алгебраическая конференция, посвященная памяти 3. И. Боревича, СПб., 2002, тезисы докладов, 69-70.

43. А. В. Царев, Модуль псевдо-рациональных отношений группы, Чебышевский сборник, т. 3, вып 1, Тула, 2002, 120-134.РОССИЙСКАЯгосударе;:mmwlБИБЛИОТЕКА/