Модули над кольцом псевдорациональных чисел и факторно делимые группы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи □□34Э4518

ЦАРЕВ Андрей Валерьевич

Модули над кольцом псевдорациональных чисел

и

факторно делимые группы

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 5 МАР 2010

Москва - 2009

003494518

Работа выполнена на кафедре алгебры математического факультета Московского педагогического государственного университета

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор ФОМИН Александр Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор КРЫЛОВ Петр Андреевич

доктор физико-математических наук, профессор МИХАЛЕВ Александр Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор ТУГАНБАЕВ Аскар Аканович

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится 5 апреля 2010 года в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, ауд. 108.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, г. Москва, ул. М. Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

О.В. Муравьева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. На начальном этапе изучение абелевых групп шло в рамках общей теории групп, однако, самобытность применяемых здесь методов привела во второй половине XX века к выделению теории абелевых групп в самостоятельную ветвь алгебры.

Замечателен тот факт, что любая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел, что сближает теорию абелевых групп с теорией модулей, являясь для последней источником аналогий. Отметим, что, исследуя модули над некоторым фиксированным кольцом, мы также получаем информацию и о самом кольце, следовательно, изучение абелевых групп можно рассматривать и как один из подходов к исследованию целых чисел.

Из всего вышесказанного видно, что теория абелевых групп, находясь на стыке важных математических разделов (теории групп, теории модулей, теории чисел и др.), представляет собой актуальное направление современной алгебры.

Важную роль в теории абелевых групп играют факторно делимые группы. В самом общем случае абелеву группу А можно назвать факторно делимой, если она содержит такую свободную подгруппу что Л/F — делимая периодическая группа. Эти группы впервые были рассмотрены Бьюмонтом и Пирсом (именно они ввели термин «факторно делимая группа») в [3] при изучении аддитивных групп колец без элементов конечного порядка. Для факторно делимых групп без кручения конечного ранга они построили систему инвариантов, задающих эти группы с точностью до квазиизоморфизма. Это был один из первых примеров описания абелевых групп не с точностью до изоморфизма, а с точностью до квазиизоморфизма, что весьма актуально в свете работ Йонссона [9] и А. В. Яковлева [20]. Данный подкласс факторно делимых групп (без кручения конечного ранга) широко известен также благодаря тому, что относительно квазигомоморфизмов он образует самодвой-

ственную категорию [2]. В этом прослеживается явная аналогия с известной самодвойственностью линейных пространств.

В диссертации рассматриваются только факторно делимые группы конечного ранга без кручения, не содержащие делимых периодических подгрупп. Эти группы впервые рассмотрели Уиклесс и А. А. Фомин в [4], где они построили категорию факторно делимых групп с квазигомоморфизмами в качестве морфизмов и показали, что данная категория двойственна хорошо известной категории групп без кручения конечного ранга с квазигомоморфизмами в качестве морфизмов.

Одним из самых действенных способов изучения абелевых групп является привлечение модулей над какими-либо кольцами. Классическими примерами этого является использование модулей над кольцом целых р-адических чисел при описании абелевых групп без кручения конечного ранга (так называемое описание Куроша - Мальцева - Дерри [16]) и рассмотрение абелевых групп как модулей над своими кольцами эндоморфизмов (подробнее об этом см. в [11]).

Л. Я. Куликов при изучении р-локальных групп [14] (он называл их обобщенно примарными) активно использовал модули над кольцами 2Р — целых р-адических чисел и <0>р — рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с р, а при изучении алгебраически компактных групп [15] (он

называл их универсально полными) использовал кольцо Ъ — П Ър> кото-

реР

рое он называл кольцом универсальных чисел. Обобщая целые р-адические и универсальные числа, А. А. Фомин построил класс колец т-адических чисел. С их помощью он получил ряд новых важных результатов относительно групп без кручения конечного ранга (см., например, [17], [18]). При изучении аддитивных групп регулярных и 7г-регулярных колец Фукс, Гальперин и Ран-гасвами [7], [8] использовали модули над кольцами В.х, частным случаем которых является кольцо псевдорациональных чисел. Позже, П. А. Крылов [12], [13] и А. А. Фомин [5] использовали /^-модули для изучения абелевых групп

из класса Я, состоящего из всех таких самомалых групп (7, что —

делимая группа конечного ранга.

В данной работе развивается идея А. А. Фомина из [6] о возможности привлечения модулей над кольцом псевдорациональных чисел Я для изучения факторно делимых групп. Это связано с тем, что каждую факторно делимую группу можно вложить в некоторый конечно порожденный Я-модуль (называемый ее псевдорациональной оболочкой), который, как правило, устроен проще самой группы и при этом несет достаточно много информации о ней. Этот подход позволяет вводить для факторно делимых групп новые понятия и инварианты, такие как псевдорациональный ранг, модуль псевдорациональных отношений, кослед кольца псевдорациональных чисел и др. Кроме того, техника работы с модулями над кольцом псевдорациональных чисел существенно используется при доказательстве основных фактов о факторно делимых группах.

Отметим также, что в силу оригинальности и красоты результатов теория модулей над кольцом псевдорациональных чисел заслуживает и независимого внимания. Более того, на сегодняшний день существуют конструкции, обобщающие кольцо псевдорациональных чисел. Прежде всего, это кольца псевдоалгебраических чисел. Видимо, впервые они встречаются в работе Альбрехта, Гетерса и Уиклесса [1]. Изучению этих колец и модулей над ними полностью посвящена диссертационная работа Е. Г. Зиновьева [10].

Цель работы. Основной целью диссертации является построение теории факторно делимых групп с использованием взаимосвязи последних с модулями над кольцом псевдорациональных чисел. Для достижения этого ставятся и решаются следующие задачи.

1. Описать основные классы модулей над кольцом псевдорациональных чисел, такие как проективные, плоские, конечно представленные, образующие и кообразующие модули.

2. Разработать технику исследования конечно порожденных модулей над

кольцом псевдорациональиых чисел.

3. Выявить связи между факторно делимыми группами и конечно порожденными модулями над кольцом псевдорациональных чисел.

4. Применить технику, построенную при рассмотрении конечно порожденных модулей над кольцом псевдорациональных чисел, для изучения факторно делимых групп.

5. Построить и исследовать класс групп (колец), обобщающий факторно делимые группы (кольца) ранга 1.

Общая методика исследования. Исследование базируется на общих методах теории абелевых групп и теории модулей. Важную роль в диссертации играет псевдорациональная оболочка факторно делимой группы, что позволяет использовать теорию модулей над кольцом псевдорациональных чисел для изучения факторно делимых групп.

Основные результаты работы.

1. Построена полная система инвариантов для проективных и конечно представленных модулей над кольцом псевдорациональных чисел.

2. Описаны некоторые легко проверяемые условия, при которых конечно порожденные модули над кольцом псевдорациональных чисел раскладываются в прямую сумму циклических модулей.

3. Показано, что категория плоских конечно порожденных модулей над кольцом псевдорациональных чисел с псевдогомоморфизмами в качестве мор-физмов двойственна сама себе.

4. Описаны некоторые условия, при которых факторно делимые группы раскладываются в прямую сумму факторно делимых групп ранга 1.

5. Построена система инвариантов, задающая факторно делимую группу с точностью до квазиизоморфизма.

6. Описаны группы с конечно порожденными модулями псевдорациональных отношений.

7. Для колец Ь{х) — обобщающих факторно делимые кольца ранга 1 —

полностью решен вопрос о разложении в прямую сумму существенно неразложимых идеалов.

8, Построена полная и независимая система инвариантов для класса колец Ь{х) с минимальным многочленом элемента х вида (и — I)2.

9. Показано, что для аддитивных групп колец Ь(х) конечного ранга имеет место теорема типа Бэра-Капланского.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер и может быть использована при дальнейших исследованиях в области абелевых групп.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всероссийских симпозиумах по абелевым группам (Бийск, 2005, 2006), на Международной конференции «Алгебра и ее приложения», поев. 75-летию В. П. Шун-кова (Красноярск, 2006), на Международной алгебраической конференции, поев. 100-летию Д. К. Фадцеева (Санкт-Петербург, 2007), на Международной алгебраической конференции, поев. 100-летию А. Г. Куроша (Москва, 2008), на Международной научной конференции «X Белорусская математическая конференция» (Минск, 2008), на Всероссийской конференции по математике и механике (Томск, 2008), на Международной алгебраической конференции, поев. 100-летию А. И. Мальцева (Новосибирск, 2009), на 4-м Международном семинаре «Универсальная алгебра, теория чисел и их приложения» (Волгоград, 2009), а также на научных семинарах кафедры высшей алгебры Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова и кафедры алгебры Томского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 17 работах, 7 из которых опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 196 страницах и состоит из введения, четырех глав, разделенных на 27 параграфов, и списка литературы, включающего 84 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введение дается обзор результатов, обосновывающих актуальность исследования, и краткая характеристика работы.

В первой главе определяется кольцо псевдорациональных чисел, и описываются некоторые классы модулей над ним. Результаты, полученные здесь, используются в следующих главах, однако, многие из них имеют не только вспомогательное, но и самостоятельное значение.

Под группой всюду понимается абелева группа записанная аддитивно, под кольцом — коммутативное кольцо, но не обязательно содержащее единичный элемент. Рангом (без кручения) называется мощность максимальной линейно независимой системы элементов группы. Через 2, и 2Р обозначаются кольца целых, рациональных и целых р-адических чисел соответственно. Под характеристикой (тр) подразумевается последовательность, состоящая из целых неотрицательных чисел и символов оо, занумерованная простыми числами. Для произвольного непустого подмножества М группы б через (М) будем обозначать линейную оболочку множества М, а через (М)„ — сервант-ную оболочку множества М, состоящую из всех таких д 6 что пд £ (М) при некотором п € N. В частности, (М), всегда содержит периодическую часть 1(С) группы С.

Параграфы 1 и 2 являются вводными. В них строится кольцо псевдорациональных чисел, рассматриваются его свойства и даются основные понятия и определения, необходимые для изучения модулей над этим кольцом.

Пусть х = {тр) ~ произвольная характеристика. Поставим ей в соответствие набор колец Кр, где Кр = Ър или Кр - соответственно при

тр = оо и тр < оо. Через Ъх обозначим кольцо П Кр, а через ер будем

рбР

обозначать единицу кольца Кр или ее образ в кольце Ъх.

Определение 1.1. Если характеристика х содержит бесконечно много

ненулевых р-компонент, то рассмотрим подкольцо Дх кольца Ъх = Д КР)

реР

сервантно порожденное идеалом ф Кр и единицей кольца:

рер

Rx = <1, $ Kp)t С

р€Р

Если все р-компоненты характеристики х, за исключением рь ..., р„, равны нулю, то определим кольца Кх = Кп Ф ... © КРп и Rx — Q ф Кх. Если X = (оо) — характеристика группы рациональных чисел, то кольцо Rx будем называть кольцом псевдорациональных чисел и обозначать просто R.

Важным результатом этой вводной части первой главы является теорема 1.1, в которой описываются идеалы кольца псевдорациональных чисел.

Теорема 1.1. [12] Множества следующего вида, и только они, являются идеалами кольца Rx:

1. Ф Р°>Кр, где Рг С Р, sp £ N U {0}; реЛ

2. (1 - ePl - ... - ePn)Rx © 0 p*>Kp, где Pl С {рь ..., pn}. □

pePi

В параграфах 3-5 рассматриваются проективные, инъективные, плоские, конечно представимые и образующие модули над кольцом псевдорациональных чисел.

Пусть М — произвольный Д-модуль, Т = ф Zp — идеал кольца R, тогда

р£Р

R/T = Q, и следовательно, М/ТМ — векторное пространство над полем Q. Величина dirriQ М/ТМ называется псевдорациональным рангом Я-модуля М и обозначается г*(М).

Модуль над кольцом псевдорациональных чисел называется делимым, если структура R-модуля на нем совпадает со структурой Q-пространства. й-модуль, не содержащий делимых подмодулей, называется редуцированным. A.A. Фомин в [5] показал, что всякий Я-модуль М содержит наибольший делимый подмодуль divM,

divM = {m € М | Tm = 0}, 9

который выделяется в М прямым слагаемым. Отметим, что существуют редуцированные Я-модули с делимыми аддитивными группами. Например, аддитивная группа поля Ор всех р-адических чисел является делимой без кручения, но ИЗр — редуцированный Д-модуль.

Теорема 3.4. Пусть М\ и М2 — произвольные проективные Я-модули, тогда, если ТМг = ТМ2 и Мх/ТМх ~ М2/ТМ2, то Мх £ М2.

Пусть М — произвольный проективный Д-модуль. Рассмотрим его подмодуль ТМ. Он также проективен, более того ТМ — $ ерМ, где ерМ —

свободный 2р-модуль. Каждое слагаемое ерМ с точностью до изоморфизма задается кардинальным числом гр, равным мощности множества прямых слагаемых вида в его свободном разложении. Далее, фактормодуль М/ТМ является векторным пространством над полем рациональных чисел, следовательно, задается величиной сИтд М/ТМ, равной по определению псевдорациональному рангу Д-модуля М.

Из вышесказанного и теоремы 3.4 следует, что псевдорациональный ранг и множество кардинальных чисел составляют полную систему инва-

риантов проективного Я-модуля М.

В [19] показано, что вопрос об инъективности Я-модуля М сводится к вопросу инъективности 2р-модулей ерМ для каждого р £ Р.

Теорема 4.1. Модуль над кольцом псевдорациональных чисел является плоским тогда и только тогда, когда в нем нет отличных от нуля элементов конечного порядка.

Следствие 4.8. ¡{-модуль конечно представим тогда и только тогда, когда он раскладывается в прямую сумму проективного и конечного Н,-модулей.

Наконец, в пятом параграфе доказывается, что Д-модуль является образующим тогда и только тогда, когда содержит прямое слагаемое вида Я (теорема 5.2).

Последний параграф главы 1 посвящен описанию Д-модулей с коммутативными, нетеровыми и артиновыми кольцами эндоморфизмов. Отметим, что наличие у Я-модулей «большого» числа прямых слагаемых делает работу с их кольцами эндоморфизмов сродни работе с кольцами эндоморфизмов периодических абелевых групп. Эта аналогия прослеживается как в приемах, так и в результатах. Примером этого служат следующие теоремы.

Теорема 6.2. Произвольный редуцированный Я-модуль М имеет коммутативное кольцо эндоморфизмов тогда и только тогда, когда его подмодуль Мр = ерМ изоморфен одному из модулей

Ъ(ркЪ, 2р, Ор или %®Ъ/ркЪ

при каждом простом р.

Теорема 6.10. Я-модуль М имеет нетерово слева кольцо эндоморфизмов тогда и только тогда когда выполняются следующие условия.

1. Делимая часть К-моду ля М конечно порождена;

2. £РМ = 0 почти для всех простых р;

3. Если ерМ ф 0, то он имеет один из следующих двух видов:

(г) £рМ £ © ... © йр*„ Ф (2р»)т;

(и) ЕрМ = ф (2Р)к ф (Цр)

Теорема 6.11. Я-модуль М имеет нетерово справа кольцо эндоморфизмов тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия.

1. Делимая часть Я-модуля М конечно порождена;

2. ерМ = 0 почти для всех простых р;

3. Если £РМ ф 0, то он имеет один из следующих двух видов:

(г) ерМ й 2р*: ф... Ф Ъркп 9 (%)к;

(и) £РМ ф (Ърос)т Ф (<0>р)'. □

11

Во второй главе диссертации рассматриваются конечно порожденные модули над кольцом псевдорациональных чисел. Этот класс нами выделяется, прежде всего, в силу своей «близости» к факторно делимым группам. Важная роль при изучении конечно порожденных Д-модулей принадлежит обобщенной кохарактеристике и модулю псевдорациональных отношений.

Если М = х2, ..., ат„)я, то ерМ = (ерх1, ерХ2, ..., а значит,

ерМ раскладывается в конечную прямую сумму циклических 2р-модулей,

ерМ £ Ъ/рк»Ъ ® ... ф Ъ/рЬ'Ъ ® $ Ър («+ а = п),

Данное разложение определяет следующую упорядоченную последовательность целых неотрицательных чисел и символов оо:

О ^ к\р < ... <

кпр ^ оо,

где последние я членов есть символы оо (0 < в ^ п). Данная последовательность по всем простым р определяет последовательность характеристик. Несколько первых характеристик могут быть нулевыми, если их отбросить, то получим последовательность Х\ ^ • • • ^ Хк, которая называется обобщенной кохарактеристпикой конечно порожденного Д-модуля М.

Если X = {XI, Х2, ..., £„} — система образующих Я-модуля М, то

АМХ = {(п, г2, • • -, г„) е Д" | г\Х1 + г2Х2 + ■ ■ ■ + гпхп = 0}

называется модулем псевдорационалъных отношений Д-модуля М.

Отметим также, что при рассмотрении Я-модулей наряду с характеристиками и типами существенную роль играют квазитипы — множества характеристик, отличающихся конечным числом позиций (независимо от того конечные или бесконечные элементы стоят на этих позициях).

В параграфах 7 и 8 вводятся описанные выше понятия, и доказывается ряд связанных с ними вспомогательных результатов, необходимых для дальнейшего изложения. В § 9 доказываются некоторые достаточные условия, при

которых конечно порожденный Д-модуль раскладывается в прямую сумму циклических Д-модулей. Наибольший интерес представляет

Теорема 9.6. Если обобщенная кохарактеристика конечно порожденного редуцированного Н-модуля М состоит из принадлежащих одному квазитипу характеристик XI, Х2, ■ • •, Хп, количество которых равно наименьшему числу порождающих модуля М, то

М = ЯХ1@НХг ф ... © Дх„ или М £ КХ1 © КХ2 ®... ф КХп.

В параграфах 10-11 рассматриваются различные морфизмы Д-модулей: гомоморфизмы, квазигомоморфизмы и псевдогомоморфизмы.

Определение 10.1. Квазигомоморфизмами из Д-модуля М\ в Д-модуль Мг называются элементы множества ® Ношд {М\, Мъ). Обратимые квазигомоморфизмы называются квазиизоморфизмами.

Теорема 10.8. Конечно порожденные И-модули квазиизоморфны тогда и только тогда, когда они различаются (с точностью до изоморфизма) конечными прямыми слагаемыми.

Квазигомоморфизмы играют существенную роль при изучении групп без кручения, однако, для работы с Д-модулями более выгодно использовать не квазигомоморфизмы, а близкие к ним псевдогомоморфизмы.

Определение 11.1. Пусть А^ и АГг — произвольные Д-модули. Элементы Д-модуля Нотд (Мг, М2)/Потк(Ми ТМг) называются псевдогомоморфизмами из М\ в Д/2. Обратимые псевдогомоморфизмы называются псевдоизоморфизмами.

Нами показано, что Д-модули М\ и Мг псевдоизоморфны тогда и только тогда, когда М\ © X = Мг © У для некоторых Д-модулей X и У псевдорационального ранга 0 (предложение 11.1).

Категорию псевдогомоморфизмов конечно порожденных Д-модулей выгодно использовать и потому, что любой ее объект раскладывается в конечную прямую сумму неразложимых объектов, причем единственным образом,

в том смысле, что в этой категории имеет место теорема Крулля-Ремака-Шмидта.

В 12-м параграфе рассматривается категория псевдогомоморфизмов плоских конечно порожденных Я-моду л ей. Основным результатом этого параграфа является следующая

Теорема 12.4. Категория плоских конечно порожденных R-модулей с псевдогомоморфизмами е качестве морфизмов двойственна сама себе.

Эта двойственность аналогична двойственности Арнольда для факторно делимых групп без кручения с квазигомоморфизмами в качестве морфизмов.

Третья глава является основной в диссертации. Она посвящена изучению факторно делимых групп, при этом нами существенно используется тот факт, что любая факторно делимая группа вкладывается в некоторый конечно порожденный Д-модуль.

Определение 13.1. Группа G называется факторно делимой, если она не содержит периодических делимых подгрупп, но содержит такую свободную подгруппу F конечного ранга, что G/F — периодическая делимая группа. Подгруппа F называется фундаментальной подгруппой группы G, а любой базис подгруппы F — фундаментальной системой группы G.

Пусть G — произвольная факторно делимая группа, divG — ее делимая часть и a: G G — естественный гомоморфизм из группы G в ее Z-адическое пополнение G. Группа G является Z-модулем, а значит, и R-модулем.

Определение 13.2. Я-модуль divG © {a(G))a будем называть псевдорациональной оболочкой факторно делимой группы G и обозначать 7Z(G).

Предложение 13.4. Свободная подгруппа F факторно делимой группы G, такая что r(F) = г (G) является фундаментальной подгруппой группы G тогда и только тогда, когда (F)r = TZiG).

Из данного предложения, в частности, следует, что псевдорациональная

оболочка факторно делимой группы обязательно является конечно порожденным Я-модулем.

Использование псевдорациональной оболочки позволяет определить для факторно делимых групп ряд инвариантов и понятий из теории конечно порожденных Д-модулей. Так, псевдорационалъным рангом и обобщенной коха-рактеристикой факторно делимой группы мы будем называть соответственно псевдорациональный ранг и обобщенную кохарактеристику ее псевдорациональной оболочки.

Особенно важную роль при работе с факторно делимыми группами играет модуль псевдорациональных отношений. Пусть X = {х\, х2, ■ ■ ■, хп} — произвольная система элементов факторно делимой группы С, рассмотрим множество

ДСх = {(гь г2, ..., г„) € Л" | Г1Х1 + г2х2 + ... + гпхп е ¿гиС}.

Если X — фундаментальная система группы С, то Д<2х называется модулем псевдорациональных отношений факторно делимой группы С.

В параграфах 15 и 16 рассматриваются гомоморфизмы и прямые разложения факторно делимых групп. Существенную роль при этом играет модуль псевдорациональных отношений. С его помощью, например, получен следующий результат, аналогичный теореме 9.6.

Теорема 15.9. Если обобщенная кохарактеристика факторно делимой группы состоит из характеристик, принадлежащих одному типу, и их количество равно рангу группы, то эта группа разлагается в прямую сумму факторно делимых групп ранга 1.

Полностью решен вопрос о существовании гомоморфизма, переводящего фундаментальную систему группы в произвольную систему элементов другой группы.

Теорема 16.3. Пусть (? и Н — произвольные факторно делимые группы, X — {^1, х2, ..., хп} — фундаментальная система элементов группы (?,

У = {У1> У2, •■■, Уп} — система произвольных элементов группы Н. Тогда гомоморфизм /: й —> Н, такой что /(аг<) = у{ (1 ^ г ^ п) существует тогда и только тогда, когда ДС* С ДНу.

Основным результатом 17-го параграфа является

Теорема 17.2. Факторно делимые группы О иН квазиизоморфны тогда и только тогда, когда для произвольных фундаментальных систем X и У из групп (? и Н соответственно существует целочисленная матрица А € СЬ (п, ($), такая что ДС^ • А = ДЯу.

В этой теореме фактически утверждается, что факторно делимая группа С? с точностью до квазиизоморфизма задается своим модулем псевдорациональных отношений, а точнее классом эквивалентных подмодулей свободного модуля (два подмодуля М, Ь С Л" эквивалентны, если М ■ А = Ь, где А — некоторая обратимая целочисленная матрицы). Отметим также, что в силу наследственности кольца К модуль псевдорациональных отношений всегда проективен.

В § 18 основные результаты предыдущего параграфа переведены на кате-горный язык.

В заключительных параграфах третьей главы, наряду с модулем псевдорациональных отношений, для факторно делимой группы С? вводятся еще два сопутствующих й-модуля:

(г, \

ДО£ = {(г1,...,гп)€Дп1Д£л: ...

\гп /

для которых имеет место следующее соотношение:

= 0} и Кс(Я)= П Ьегр,

(ДС^)7Д<?л- = Яе(Д)/ЖЧ;С. Используя эти модули, удалось доказать ряд утверждений, наибольший

интерес из которых представляют

Теорема 19.1. Редуцированная факторно делимая группа {? имеет конечно порожденный модуль псевдорациональных отношений тогда и только тогда, когда ее обобщенная кохарактеристика имеет вид

Ръ Рк, Хь ■■■■> Хт,

где характеристики р\, ■ Рк принадлежат квазитипу \р\ = |(оо)|, характеристики XI| • • •, Хт принадлежат нулевому квазитипу и к = г*(в).

Теорема 20.7. Для факторно делимой группы (? следующие условия равносильны:

1. — почти делимая группа;

2. г*(<7) = г*(Ка(К));

3. 7= Кд{В) © К, где К — плоский конечно порожденный Я-модулъ псевдорационального ранга 0;

4. й = Кс{К) ф Н, где Н — почти делимая группа без кручения.

Ключевым понятием четвертой главы является кольцо Ь(х), точнее, целый класс колец Ь(х), так как построение кольца Ь(х) зависит от выбора элемента х в некотором кольце Zx. Кольца Ь(х) обобщают факторно делимые кольца ранга 1 (последние — это в точности кольца Ь(х) ранга 1) и тесно связаны с кольцами псевдоалгебраических чисел (частным случаем которых является кольцо псевдорациональных чисел), подкольцами полей алгебраических чисел и кольцами Мерли. Аддитивные группы колец Ь(х) во многом схожи с факторно делимыми группами, более того, если Ь{х) — кольцо с единицей, то его аддитивная группа является факторно делимой. Таким образом, теория колец Ь(х) органично связана и с теорией факторно делимых групп, и с теорией модулей над кольцом псевдорациональных чисел.

Так как кольца Ь(х) образуют новый неизученный класс колец, то первостепенной задачей является построение аппарата для их изучения. Решение

этой задачи сопряжено с исследованием взаимосвязей колец Ь(х) с другими уже известными, «близкими» к ним объектами, в первую очередь с кольцами псевдоалгебраических чисел и факторно делимыми группами. О факторно делимых группах многое сказано выше, поэтому первый параграф четвертой главы (§ 21) посвящен кольцам псевдоалгебраических чисел.

В §22 дается определение колец Ь(х), рассматриваются примеры и некоторые свойства этих колец.

Пусть х = (хр) — произвольный ненулевой элемент кольца Ъх. Ему соответствует идемпотент £ = (£р) € Ъх, такой что = ер при хр ф 0 и £р = О при хр = 0. Рассмотрим группу Ь(х), сервантно порожденную множеством всех натуральных степеней элемента х в идеале £,ЪХ,

Ь{х) = (хк | к € Я), С (г*.

Нетрудно видеть, что Ь{х) замкнуто относительно операций + и ■, определенных в кольце и удовлетворяет всем условиям кольца. Отметим также, что = ЪХх. Характеристику будем называть кохарактеристикой кольца Ь(х) и обозначать сосЬаг{Ь(х)).

Основным результатом 22-го параграфа является

Теорема 22.3. Ь{х) является кольцом с единицей тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1. Ь(х) имеет конечный ранг;

2. Элемент х почти не имеет ненулевых нильпотентных р-компонент.

Из этой теоремы вытекает следующий важный результат.

Теорема 22.6. Пусть Ь(х) — кольцо конечного ранга, тогда

Ь(х) = Ь(х{) ® Ь{х2), где XI — пильпотентный элемент, а Ь(х2) — кольцо с единицей.

В 23-м параграфе вводится понятие минимального многочлена элемента х G Ъх, с помощью которого полностью решается вопрос о разложении колец L{x) в прямую сумму существенно неразложимых идеалов.

Пусть х — элемент кольца Zx, f = «о + aiu + ■ ■ ■ + апип ~ целочисленный многочлен. Если ао = 0, то положим f(x) = ti\x + ... + апхп, если же ао ф О, то определим значение f(x) только для тех х, для которых L(x) — кольцо с единицей, следующим образом:

f(x) — ао£ + aix + ... + апхп,

где £ — единица кольца L(x).

Многочлен / будем называть минимальным многочленом элемента х, если / — целочисленный многочлен наименьшей степени, такой что f(x) = 0.

Напомним, что кольцо (абелева группа) называется существенно неразложимым (où), если любое его (ее) прямое разложение содержит конечные прямые слагаемые.

Предложение 23.1. Если элемент х 6 Ъх имеет минимальный многочлен, являющийся степенью неприводимого над Z многочлена, то L(x) — существенно неразложимое кольцо.

Теорема 23.5. Если L(x) — бесконечное кольцо с единицей, f — минимальный многочлен элемента х и f = /['• — его каноническое разложение в кольце Z[u], то

1. L(x) — L{x\) Ф L(x2) ф ... Ф L{xk), причем f[* является минимальным многочленом элемента Xi для каждого г 6 {1, 2, ..., к};

2. Слагаемые в разложении из п. 1 определяются однозначно с точностью до порядка следования и конечных прямых слагаемых.

В следующих двух параграфах рассматриваются кольца L(x), у которых минимальный многочлен элемента х удовлетворяет специальным условиям. Так, в § 24 рассматривается случай, когда минимальный многочлен элемента

х неприводим, а в § 25 — случай, когда минимальный многочлен имеет вид ип или (и - 1)". Оказалось, что в первом случае кольца Ь{х) тесно связаны известными классами колец.

Напомним, что характеристика, не содержащая символов оо, называется локально свободной, а характеристика, состоящая только из символов 0 и оо называется идемпотпентной. Группа (? называется группой Мерли, если С — группа без кручения и сИтС/р(? < 1 для любого простого р.

Следствие 24.2. Если элемент х € Ъх имеет локально свободную ко-характеристику, содержащую бесконечно много ненулевых элементов, и неприводимый минимальный многочлен, то Ь{х) является кольцом псевдоалгебраических чисел.

Теорема 24.7. Для кольца с единицей К следующие утверждения равносильны.

1. Кольцо К является подкольцом поля алгебраических чисел, а его аддитивная группа является редуцированной группой Мерли.

1. Кольцо К изоморфно кольцу Ь(х) с идемпотпентной кохарактеристи-кой и неприводимым минимальным многочленом элемента х.

Кольца Ь{х) с минимальным многочленом элемента х вида ип это в точности кольца Ь{х) с нильпотентным элементом х. Из следующей теоремы видно, что описание таких колец сводится к кольцам с единицей Ь{ 1 + х).

Теорема 25.7. Если х и у — нильпотентные элементы, то Ь(х) = Ь(у) тогда и только тогда, когда ¿(1 + х) = £(1 + у).

Особый интерес представляют кольца Ь(х) локально свободной кохарак-теристики х — {тр) с минимальным многочленом элемента х вида (и — I)2. Для каждого простого р, такого что тр ф 0, имеет место равенство

хр = ер + рк"ар, (1)

где схр £ 2%ртр и 2кр ^ тр. Нетрудно видеть, что в качестве кр можно взять число тр — (ниже через кр будем обозначать именно тр — ).

Рассмотрим кольцо где х = и элемент а = (ар) Е который

определяется следующим образом: если тр = 0, то ар = 0, а если тр ф О, то в качестве ар возьмем образ элемента ар из равенства (1) при естественном гомоморфизме Ър™Р Ъртр-к„. Элемент х определяет элемент а € Щ, а значит, и группу

Г(х) = (а), С Ц.

Заметим, что элемент ар из равенства (1) определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого из множества рт>,~к,'%р™г>■ Но при естественном гомоморфизме 2ртР —>■ Ъ множество ртр~кр%р™Р отображается в ноль, следовательно, элемент ар определен однозначно, а значит, и группа Г(х) определена однозначно.

Теорема 25.9. Если элементы х и у имеют общий минимальный многочлен (и — I)2 и локально свободные кохарактеристики, то Ь(х) = Ь(у) тогда и только тогда, когда сосНаг(Ь{х)) = сосНаг(Ь{у)) и Т(х) = Г(у).

В 26-м параграфе рассматриваются особенности колец Ь{х) в р-локальном случае, т. е. когда Ь(х) — подкольцо кольца целых р-адических чисел Ър. Интересно, что в этом случае Ь(х) — Ър П 0>(:е) и поэтому Ь(х) однозначно задается полем 'Q(x).

В последнем параграфе изучаются аддитивные группы колец Ь(х). Основные полученные здесь результаты связаны с кольцами эндоморфизмов этих групп. Если Ь(х) — кольцо с единицей, то легко показать, что кольцо эндоморфизмов группы Ь(х)+ изоморфно самому кольцу Ь(х). Случай же, когда х — нильпотентный элемент, уже нетривиален.

Теорема 27.5. Если х — нильпотентный элемент, то

Е(Цх)+) (1, х, ..., х"-2, П

где п — индекс нильпотентности элемента х, (тр) — кохарактеристика кольца L(x), kp = hp{x) при трф 0 и кр = О при тр = О.

Замечательным является тот факт, что для аддитивных групп колец Ь{х) конечного ранга имеет место теорема типа Бэра-Капланского об определяе-мости группы своим кольцом эндоморфизмов.

Теорема 27.8. Если Е(L(x)+) = Е(L(y)+), где L{x) и L(y) - кольца конечного ранга, то группы L(x)+ и L{y)+ изоморфны.

Автор благодарен своему научному консультанту профессору Александру Александровичу Фомину за введение в данную тематику и обсуждение изложенных в диссертации вопросов, профессору Генннадию Александровичу Карасеву за постоянную поддержку и всестороннюю помощь и доценту Егору Александровичу Тимошенко за внимание к работе и полезные замечания.

Список литературы

[1] Albrecht U.F., Goeters Н.Р., Wickless W. The flat dimension of mixed abelian groups as ^-modules // Rocky Mountain J. Math., 25, No. 2, 1995, 569-590.

[2] Arnold D.M. Finite rank abelian torsion free groups and rings // Lecture Notes in Math., 931, Springer, New York, 1982.

[3] Beaumont R., Pierce R. Torsion free rings // Illinois J. Math., 5,1961, 61-98.

[4] Fomin A. A., Wickless W. Quotient divisible abelian groups // Proc. Amer. Math. Soc., 126, No. 1, 1998, 45-52.

[5] Fomin A. A. Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers // Abelian Groups and Modules,'Trends in Math., Birkhaeuser, Basel, 1999, 87-100.

[6] Fomin A. A. Quotient divisible mixed groups // Contemp. Math., 273, 2001, 117-128.

[7] Fuchs L., Halperin I. On the imbedding of a regular ring with identity // Fund. Math., 54, 1964, 285-290.

[8] Fuchs L., Rangaswamy К. M. On generalized regular rings // Math. Z., 107, 1968, 71-81.

[9] Jonsson B. On direct decompositions of torsion free abelian groups // Math. Scand., 5, 1957, 230-235; 7, 1959, 361-371.

[10] Зиновьев E. Г. Кольца псевдоалгебраических чисел и модули над ними, диссертация, Москва, МПГУ, 2009.

[11] Крылов П. А., Михалев А. В., Туганбаев А. А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов, М.: Факториал Пресс, 2006.

[12] Крылов П. А., Пахомова Е. Г., Подберезина Е.И. Об одном классе смешанных абелевых групп // Вестник ТГУ, Томск, 2000, Т. 269, С. 47-51.

[13] Крылов П. А. Смешанные абелевы группы как модули над своими кольцами эндоморфизмов // Фунд. и прикл. матем., 2000, Т. 6, X'- 3, С. 793812.

[14] Куликов JI. Я. Обобщенно примарные группы // Труды ММО, 1952, Т. 1, С. 247-326; 1953, Т. 2, С. 85-167.

[15] Куликов Л. Я. Универсально полные абелевы группы // Труды III Все-союз. матем. съезда, Т. 1, Москва, 1965, С. 26-28.

[16] Курош А. Г. Теория групп, М.: Наука, 1967.

[17] Фомин А. А. Абелевы группы с одним т-адическим соотношением // Алгебра и логика, 1989, Т. 28, № 1, С. 83-104.

[18] Фомин А. А. Абелевы группы без кручения ранга 3 // Матем. сб., 1989, Т. 180, № 9, С. 1155-1170.

[19] Чеглякова С. В. Инъективные модули над кольцом псевдорациональных чисел // Фунд. и прикл. матем., 2001, Т. 7, №2, 627-629.

[20] Яковлев А. В. К проблеме классификации абелевых групп без кручения конечного ранга // Записки научного семинара ЛОМИ АН СССР, 1976, Т. 57, 171-175.

Результаты диссертации опубликованы в следующих статьях

1. Царев А. В. Псевдорациональный ранг абелевой группы // Сиб. матем. ж., 2005, т. 46, J^ 1, с. 217-229.

2. Царев А. В. Псевдорациональный ранг факторно-делимой группы // Фундам, и прикл. матем., 2005, Т. 11, № 3, С. 201-213.

3. Царев A.B. Модули над кольцом псевдорациональных чисел и факторноделимые группы // Алгебра и анализ, 2006, Т. 18, № 4. С. 198-214.

4. Царев А. В. Проективные и образующие модули над кольцом псевдорациональных чисел // Матем. заметки, 2006, Т. 80, № 3, С. 437-448.

5. Царев А. В. Двойственность конечно порожденных плоских R-модулей // Вестник Самарского гос. университета, 2008, №2, С. 102-114.

6. Царев А. В. Некоторые морфизмы модулей над кольцом псевдорациональных чисел // Сиб. матем. ж., 2008, Т. 49, №4, С. 945-953.

7. Царев A.B. Сервантные подкольца колец Ъх // Матем. сб., 2009, Т. 200, № 10, С. 123-150.

8. Царев А. В. Конечно порожденные Я-модули // Научные труды математического факультета МПГУ, М.: Прометей, 2000, С. 285-289.

9. Царев А. В. Модуль псевдо-рациональных отношений группы // Чебы-шевский сборник, 2002, Т. 3, № 1, С. 120-134.

10. Царев А. В. Проективные и образующие модули над кольцом псевдорациональных чисел // Абелевы группы, Труды Всероссийского симпозиума, Вийск: РИО БПГУ, 2005, С. 50-51.

11. Царев A.B. Группы без кручения конечного ранга, факторно делимые группы и конечно порожденные iZ-модули // Абелевы группы, Материалы Всероссийского симпозиума, Бийск: РИО БПГУ, 2006, С. 44-47.

12. Царев A.B. Псевдогомоморфизмы модулей над кольцом псевдорациональных чисел // Международная конференция «Алгебра и ее приложения», Тезисы докладов, Красноярск, 2007, С. 142-143.

13. Царев А. В, Псевдорациональный тип факторно делимой группы // Международная алгебраическая конференция, поев. 100-летию Д. К. Фадде-ева, Тезисы докладов, С.-Петербург, 2007, С. 75-77.

14. Царев А. В. Некоторые сервантные подкольца ранга 2 колец Zx // Международная алгебраическая конференция, поев. 100-летию А. Г. Куроша, Тезисы докладов, Москва, МГУ, 2008, С. 247-248.

15. Царев А. В. Квазиизоморфизм факторно делимых групп // Всероссийская конференция по математике и механике, поев. 130-летию ТГУ и 60-летию мех.-мат. факультета, Тезисы докладов, Томск, 2008, С. 66-67.

16. Царев А. В. Сервантные подкольца колец Ъх // Международная научная конференция «X Белорусская математическая конференция», Тезисы докладов, Минск, 2008, С. 60.

17. Царев A.B. Кослед кольца псевдорациональных чисел // Международная конференция «Мальцевские чтения», Тезисы докладов, Новосибирск, 2009, С. 98.

Подп. к псч. 21.01.2010 Объем 1.5 пл. Заказ № 25 Тир 100 экз. Типография МПГУ

Введение

Обозначения и некоторые определения

Глава 1. Модули над кольцом псевдорациональных чисел

§ 1. Кольца Дх и их основные свойства

§ 2. Модули над кольцом псевдорациональных чисел.

Основные понятия и определения

§ 3. Проективные и инъективные Д-модули

§ 4. Плоские и конечно представимые Д-модули

§ 5. Образующие Д-модули

§ 6. Связи Д-модулей и их колец эндоморфизмов

Глава 2. Конечно порожденные модули над кольцом псевдорациональных чисел

§ 7. Обобщенная кохарактеристика Д-модуля

§ 8. Модуль псевдорациональных отношений

§ 9. Прямые суммы циклических Д-модулей

§ 10. Гомоморфизмы и квазигомоморфизмы конечно порожденных Д-модулей

§ 11. Псевдогомоморфизмы конечно порожденных Д-модулей —

§ 12. Двойственность плоских конечно порожденных Д-модулей

Глава 3. Факторно делимые группы

§ 13. Свойства и примеры факторно делимых групп

§ 14. Модуль псевдорациональных отношений факторно делимой группы

§ 15. Прямые суммы факторно делимых групп ранга

§ 16. Гомоморфизмы факторно делимых групп

§ 17. Квазиизоморфность факторно делимых групп

§ 18. Категория %

§ 19. Группы с конечно порожденными модулями псевдорациональных отношений

§ 20. Кослед кольца псевдорациональных чисел

Глава 4. Сервантные подкольца колец Ъх и их аддитивные группы

§ 21. Кольца псевдоалгебраических чисел

§22. Кольца Ь(х)

§ 23. Минимальный многочлен элемента х € Ъх

§ 24. Кольца Ь(х) с неприводимым минимальным многочленом элемента х

§ 25. Кольца Ь(х) с нильпотентными элементами бесконечного порядка

§ 26. р-локальные кольца Ь(х)

§ 27. Аддитивные группы колец Ь(х)

Начальный этап систематического изучения бесконечных абелевых групп пришелся на 20-30-е годы XX века и был связан главным образом с периодическими абелевыми группами. Уже к середине 30-х годов была получена полная классификация счетных примарных (а значит, и периодических) абелевых групп, основанная на результатах Прюфера [36], Ульма [38] и Цыпи-на [43]. Во второй половине 30-х годов были также заложены основы для изучения абелевых групп без кручения. Бэр [8] на языке типов дал характе-ризацию групп без кручения ранга 1, а А. Г. Курош [29], А. И. Мальцев [55] и Дерри [13] с помощью матриц с р-адическими элементами получили важное с теоретической точки зрения, но почти не имеющее хороших приложений описание групп без кручения конечного ранга. Очевидный на сегодня факт, что группы без кручения далеко не исчерпываются прямыми суммами и произведениями групп ранга 1, также можно считать одним из важнейших достижений начального этапа изучения абелевых групп.

Интерес к абелевым группам в 40-50-е годы был менее высок, чем в предыдущие и последующие десятилетия, однако именно в это время была осознана самобытность методов теории абелевых групп, что привело к ее выделению из общей теории групп в самостоятельное направление алгебры. Большая заслуга в этом принадлежит Л. Я. Куликову, особенно следует отметить его знаменитую работу «К теории абелевых групп произвольной мощности» [52].

В 60-70-е годы теория абелевых групп достигла пика своего развития. Особенно бурно в это время развивались два ее направления: примарные группы и группы без кручения (преимущественно конечного ранга). Рост интереса к теории абелевых групп был обусловлен в том числе и выходом монографий Капланского [28], Фукса [22] и Гриффита [26], в которых освещались последние ее достижения. О высоких темпах развития теории абелевых групп в это время говорит и тот факт, что, задумав второе издание своей книги [22], Фукс написал совершенно новую двухтомную монографию [64].

В последующие годы интерес к примарным группам постепенно снизился, уровень же внимания к группам без кручения и в настоящее время остается стабильно высоким. Во многом это объясняется особенностями прямых разложений групп без кручения. Так, например, существование «аномальных» прямых разложений, открытых Йонссоном [27], вызвало несколько новых направлений дальнейших исследований. Во-первых, это само изучение таких аномальных прямых разложений (особенно значительных результатов здесь достигли Корнер [12], Е. А. Благовещенская и А. В. Яковлев [44], [67]), во-вторых — изучение почти вполне разложимых групп (бурное развитие данного направления отражено в монографии Мадера [33]), и в третьих — исследование групп без кручения конечного ранга с точностью до квазиизоморфизма.

К изучению смешанных групп существует два основных подхода. Первый, выраженный в книге Фукса [64], говорит о том, что теория смешанных групп вторична по отношению к теории периодических групп и групп без кручения. В таком контексте большое внимание уделяется условиям рас-щепляемости, а также описанию классов смешанных групп с определенными периодическими частями или определенными факторами по периодическим частям. Наибольшим успехом данного подхода является описание счетных смешанных групп ранга без кручения 1, полученное Ротманом [37], Меджиб-беном [34] и В. И. Мышкиным [56]. Другой взгляд на смешанные группы выразил Уорфилд в своей известной программной статье [40]. По его мнению, главным является не перенос результатов с периодических групп и групп без кручения на смешанные группы, а построение самостоятельной теории смешанных групп со своими собственными проблемами и методами их решения. В частности, из этого следует, что изучение смешанных групп, в свою очередь, можно рассматривать и как метод изучения групп без кручения (или периодических групп).

На сегодняшний день разделение абелевых групп по методам изучения на периодические, группы без кручения и смешанные группы выглядит весьма условным. Это'связано с тем, что в рассмотрение вводятся все новые и новые довольно широкие классы, состоящие из абелевых групп разного типа, имеющие единую технику исследования. Примерами таких классов являются алгебраически компактные группы и рассмотренные Л. Я. Куликовым в [53] обобщенно примарные группы (сейчас их называют р-локальными). Другой важный пример — это класс факторно делимых групп, построенный Уиклессом и A.A. Фоминым как обобщение факторно делимых групп без кручения конечного ранга, введенных Бьюмонтом и Пирсом [9]. Последний-пример интересен еще и тем, что, как показали Уиклесс и A.A. Фомин [18], категории факторно делимых групп и групп без кручения конечного ранга с квазигомоморфизмами в качестве морфизмов двойственны. Класс факторно делимых групп, несмотря на двойственность Уиклесса-Фомина, в целом сравнительно мало изучен. Список работ, посвященных этому классу, [5], [6], [18], [20], [42], [45], [60], [63], [70], [73] близок к полному. Такое положение дел связано прежде всего с тем, что двойственность Уиклесса-Фомина дает примерное представление о свойствах факторно делимых групп, но, как правило, не дает технических средств для работы с ними. В настоящей работе разработаны некоторые приемы работы с факторно делимыми группами, основанные на идее А. А. Фомина о возможности привлечения для этих целей модулей над кольцом псевдорациональных чисел R. Дело в том, что любую факторно делимую группу можно вложить в конечно порожденный Д-модуль. Это позволяет вводить для факторно делимых групп новые понятия и инварианты (такие как псевдорациональный ранг, модуль псевдорациональных отношений, кослед кольца псевдорациональных чисел и др.) и строить доказательства теорем о факторно делимых группах на основе техники работы с модулями над кольцом псевдорациональных чисел.

Важную роль при изучении абелевых групп играет использование модулей над какими-либо- кольцами. Выше говорилось, что уже на начальном этапе для описания групп без кручения конечного ранга существенно использовались модули над кольцами целых р-адических чисел (вообще на связь между группами без кручения и р-адическими модулями впервые указал еще Леви в 1917 г. [32]). Докторская диссертация JI. Я. Куликова, основное содержание которой отражено в [53],. посвящена изучению счетно порожденных модулей над кольцами Ър (целых р-адических чисел) и-(рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с р), однако полученные им результаты легко* переносятся на случай произвольных областей дискретного нормирования'(теория модулей над областями дискретного нормирования очень близка к теории абелевых групп по технике исследования и результатам, ее систематическое изложение приведено в-монографии П. А. Крылова и A.A. Туганбаева-[51]). Л.Я. Куликов при работе с абеле

Ч /Ч выми группами- использовал также кольцо Ъ — J~J Ър, которое он называл рЕР кольцом универсальных чисел. Модули над этим кольцом естественно возникают, например, при работе с Z-адическими пополнениями абелевых групп. Обобщая целые р-адические и универсальные числа, А. А. Фомин построил класс колец целых т-адических чисел. С их помощью он получил ряд новых важных результатов, касающихся групп без кручения конечного ранга (см., например, [61], [62]). При изучении аддитивных групп регулярных и тг-регулярных колец Фукс, Гальперин и Рангасвами [23], [24] использовали модули над кольцами Rx (подробно об этих кольцах написано в § 1 настоящей работы), частным случаем которых является кольцо псевдорациональных чисел. Позже П.А. Крылов [47], [48] и A.A. Фомин [19] использовали Rx-модули для изучения абелевых групп из класса Q, состоящего из всех таких самомалых групп G, что G/t(G) — делимая группа без кручения конечного ранга.

Самостоятельный интерес представляет изучение абелевых групп как модулей над своими кольцами эндоморфизмов. Это направление является одним из основных разделов теории, изучающей соотношения между свойствами абелевых групп и их колец эндоморфизмов. Некоторые результаты, связанные с кольцами эндоморфизмов, приводятся в XV главе книги Фукса [64]. Целиком рассмотрению данной теории посвящена недавно вышедшая монография П. А. Крылова, А. В. Михалева и A.A. Туганбаева [50]'.

Выдающийся советский алгебраист А. Г. Курош в заключении к первому изданию своей известной книги [54] главной- целью общей теории- групп называл «задачу полного описания всех существующих в природе групп или хотя бы достаточно широких классов групп• . достигаемого заданием' групп системами инвариантов», но ниже, анализируя ситуацию в абелевых группах, признавал, что «трудно вообще ожидать,, что во всех случаях можно было бы задавать группы инвариантами, использующими более простые и более привычные понятия, чем сами эти группы». В этом смысле показательна ситуация с абелевыми группами без кручения конечного ранга. Долгое время многие алгебраисты (и А. Г. Курош в том числе) возлагали большие надежды на существующие тогда описания групп без кручения конечного ранга, однако все эти описания многие годы не имели почти никаких серьезных применений, пока наконец в 1976 году А. В. Яковлев не доказал [66], что задача описания абелевых групп без кручения конечного ранга является «дикой» в том смысле, что она содержит в качестве подзадачи тестовую задачу о паре матриц. Из этого не следует, что вообще бесполезно изучать группы без кручения. Просто этот класс настолько богат различными объектами, что невозможно построить для него единой хорошей системы инвариантов. Аналогичная ситуация наблюдается и в других достаточно широких классах абелевых групп. Из этого следует, что расширение знаний о строении абелевых групп должно прежде всего идти путем выделения и изучения узких классов, имеющих хорошую структурную теорию, опираясь на которые можно будет получать содержательные результаты и для более широких классов. Так, например, при помощи описания групп без кручения ранга 1 были построены довольно содержательные теории вполне разложимых, векторных и сепарабельных групп.

Помимо групп без кручения ранга 1, фундаментальную роль в теории абелевых групп играют р-адические модули ранга 1, а точнее их аддитивные группы. Большинство структурных результатов так или иначе опирается именно на эти группы.

Во введении к главе XIII книги [64] Фукс писал: «. классы', групп без кручения с достаточно разработанной структурной теорией немногочисленны и относительно невелики. Речь идет о группах без кручения ранга 1 и о прямых суммах этих групп — но не больше». В настоящее время описаны и другие классы с хорошей структурной теорией, причем не только в группах без кручения. Примерами таких классов являются* блочно-жесткие почти вполне разложимые группы кольцевого типа с циклическим регуляторным фактором (описаны Е. А. Благовещенской [11]), квадратичные р-локальные группы без кручения (введены В. X. Фарукшиным, описаны им совместно с Л. Н. Самсоновой [57]), факторно делимые группы ранга 1 (описаны О. И. Давыдовой [45]). Интересно отметить, что приведенные выше группы изоморфны (почти изоморфны) своим группам эндоморфизмов. По-видимому, данное свойство само по себе является очень сильным. В последней главе настоящей работы нами исследуется класс, многие группы которого обладают этим свойством.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Красной нитью через всю работу проходят факторно делимые группы. В пер

1. U. F. Albrecht, H. P. Goeters, W. Wickless, The flat dimension of mixed abelian groups as ¿^-modules, Rocky Mountain J. Math., 25, No. 2, 1995, 569-590.

2. U. F. Albrecht, J. Hansen, Mixed abelian groups with the summand intersection property, Lecture Notes in Pure and Applied Math., 182, Marcel Dekker, New York, 1996, 123-132.

3. U. F. Albrecht, Mixed abelian groups with artinian quasi-endomorphism ring, Comm. Algebra, 25, No. 11, 1997, 3497-3511.

4. U.F. Albrecht, J.-W. Jeong, Homomorphisms between ^-projective abelian groups and left Kasch rings, Czechoslovak Math. J., 48 (123), No. 1, 1998, 31-43.

5. U. F. Albrecht, W. Wickless, Finitely generated and cogenerated QD groups, Lecture Notes in Pure and Applied Math., 236, Marcel Dekker, New York, 2004, 13-26.

6. U. F. Albrecht, S. Breaz, C. Vinsonhaler, W. Wickless, Cancellation properties for quotient divisible groups, J. Algebra, 317, No. 1, 2007, 424-434.

7. D. M. Arnold, A duality for quotient divisible abelian groups of finite rank, Pacific J. Math., 42, No. 1, 1972, 11-15.

8. R. Baer, Abelian groups without elements of finite order, Duke Math. J., 3, No. 1, 1937, 68-122.

9. R. Beaumont, R. Pierce, Torsion free rings, Illinois J. Math., 5, 1961, 61-98.

10. R. Beaumont, R. Pierce, Subrings of algebraic number fields, Acta Sci. Math. (Szeged), 22, No. 3-4, 1961, 202-216.

11. E.A. Blagoveshchenskaya, Classification of a class of almost completely decomposable groups, Lecture Notes in Pure and Applied Math., 236, Marcel Dekker, New York, 2004, 45-54.

12. A. L. S. Corner, A note on rank and direct decompositions of torsion free abelian groups, Proc. Cambridge Philos. Soc., 57, 1961, 230-233; 66, 1969, 239-240.

13. D. Derry, Uber eine Klasse von abelschen Gruppen, Proc. London Math. Soc., 43, 1938, 490-506.

14. S. Files, W. Wickless, The Baer-Kaplansky theorem for a class of global mixed abelian groups, Rocky Mountain J. Math., 26, No. 2, 1996, 593-613.

15. S. Files, W. Wickless, Direct sums of self-small mixed groups, J. Algebra, 222, No. 1, 1999, 1-16.

16. A. A. Fomin, W. Wickless, Categories of mixed and torsion free abelian groups, Abelian Groups and Modules, Kluwer, Boston, 1995, 185-192.

17. A. A. Fomin, W. Wickless, Self-small mixed abelian groups G with G/T(G) finite rank divisible, Comm. Algebra, 26, No. 11, 1998, 3563-3580.

18. A. A. Fomin, W. Wickless, Quotient divisible abelian groups, Proc. Amer. Math. Soc., 126, No. 1, 1998, 45-52.

19. A.A. Fomin, Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers, Abelian Groups and Modules, Trends in Math., Birkhäeuser, Basel, 1999, 87-100.

20. A. A. Fomin, Quotient divisible mixed groups, Contemp. Math., 273, 2001, 117-128.

21. A.A. Fomin, Quotient divisible and almost completely decomposable groups, Contributions to Module Theory, Walter de Gruyter, Berlin-New York, 2007, 1-21.

22. L. Fuchs, Abelian groups, Publ. House of the Hungar. Acad. Sei., Budapest, 1958; Pergamon Press, New York-Oxford-London-Paris, 1960.

23. L. Fuchs, I. Halperin, On the imbedding of a regular ring with identity, Fund. Math., 54, 1964, 285-290.

24. L. Fuchs, K. M. Rangaswamy, On generalized regular rings, Math. Z., 107, No. 1, 1968, 71-81.

25. S. Glaz, W. Wickless, Regular and principal projective endomor-phism rings of mixed abelian groups, Comm. Algebra, 22, No. 4, 1994, 1161-1176.

26. P. A. Griffith, Infinite abelian group theory, The University of Chicago Press, Chicago-London, 1970.

27. B. Jonsson, On direct decompositions of torsion free abelian groups, Math. Scand., 5, 1957, 230-235; 7, 1959, 361-371.

28. I. Kaplansky, Infinite abelian groups, The University of Michigan Press, Ann Arbor, 1954, 1969.

29. A. G. Kurosch, Primitive torsionsfreie abelsche Gruppen vom endlichen Range, Ann. Math., 38, No. 1, 1937, 175-203.

30. E. L. Lady, On classifying torsion free modules over discrete valuation rings, Lect. Notes in Math., 616, Springer, New York, 1977, 168-172.

31. E. L. Lady, A seminar on splitting rings for torsion free modules over Dedekind domains, Lect. Notes in Math., 1006, Springer, New York, 1983, 1-48.

32. F. W. Levi, Abelsche gruppen mit abzählbaren Elementen, Habilitationsschrift, Leipzig, 1917.

33. A. Mader, Almost completely decomposable groups, Algebra, Logic and Applications, 13, Gordon and Breach, Amsterdam, 2000.

34. C. Megibben, On mixed groups of torsion free rank one, Illinois J. Math., 11, 1967, 134-144.

35. C. E. Murley, The classification of certain classes of torsion free abelian groups, Pasific J. Math., 40, No.3, 1972, 647-665.

36. H. Prüfer, Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen, Math. Z., 17, No. 1, 1923, 35-61.

37. J. Rotman, Torsion free and mixed abelian groups, Illinois J. Math., 5, 1961, 131-143.

38. H. Ulm, Zur Theorie der abzählbar-unendlichen abelschen Gruppen, Math. Ann., 107, 1933, 774-803.

39. C. Vinsonhaler, W. Wickless, Realizations of finite dimensional algebras over the rationals, Rocky Mountain J. Math., 24, No. 4, 1994, 1553-1565.

40. R. B. Warfield, Jr., The structure of mixed abelian groups, Lect. Notes in Math., 616, Springer, New York, 1977, 1-38.

41. W. Wickless, A functor from mixed groups to torsion free groups, Con-temp. Math., 171, 1995, 407-419.

42. W. Wickless, Multy-isomorphism for quotient divisible groups, Houston J. Math., 31, No. 1, 2005, 1-20.

43. L. Zippin, Countable torsion groups, Ann. of Math., 36, No. 1, 1935, 86-99.

44. E. А. Благовещенская, А. В. Яковлев, Прямые разложения абелевых групп конечного ранга без кручения, Алгебра и анализ, 1989, т. 1, № 1, с. 111-127.

45. О. И. Давыдова, Факторно делимые абелевы группы ранга 1, Фунд. и прикл. матем., 2007, т. 13, №3, с. 25-33.

46. Е. Г. Зиновьев, Об одном обобщении колец псевдорациональных чисел, Вестник ТГУ, Томск, 2006, т. 290, с. 46-47.

47. П. А. Крылов, Наследственные кольца эндоморфизмов смешанных абелевых групп, Сиб. матем. ж., 2002, т. 43, № 1, с. 108-119.

48. П. А. Крылов, A.B. Михалев, A.A. Туганбаев, Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов, М.: Факториал Пресс, 2006.

49. П. А. Крылов, А. А. Туганбаев, Модули над областями дискретного нормирования, М.: Факториал Пресс, 2007.

50. JI. Я. Куликов, К теории абелевых групп произвольной мощности, Матем. сб., 1941, т. 9, № 1, с. 165-181; 1945, т. 16, № 2, с. 129-162.

51. JI. Я. Куликов, Обобщенно примарные группы, Труды ММО, 1952, т. 1, с. 247-326; 1953, т. 2, с. 85-167.

52. А. Г. Курош, Теория групп, М.: Наука, 1967.

53. А. И. Мальцев, Абелевы группы конечного ранга без кручения, Матем. сб., 1938, т. 4, № 1, с. 45-68.

54. В. И. Мышкин, Счетные абелевы группы ранга 1, Матем. сб., 1968, т. 76, № 3, с. 435-448.

55. Л. Н. Самсонова, В. X. Фарукшин, Квадратичные р-локальные группы без кручения, Абелевы группы, Труды Всероссийского симпозиума, Бийск: РИО БПГУ, 2005, с. 32-33.

56. В. X. Фарукшин, Эндоморфизмы редуцированных Q^-rpynn без кручения, Вычисл. математика и матем. физика, М.: МГПИ, 1985, с. 129-137.

57. К. Фейс, Алгебра: кольца, модули и категории, т. 1, 2. М.: Мир, 1977, 1979.

58. A.A. Фомин, Абелевы группы со свободными подгруппами бесконечного индекса и их кольца эндоморфизмов, Матем. заметки, 1984, т. 36, № 2, с. 179-187.

59. A.A. Фомин, Абелевы группы с одним т-адическим соотношением, Алгебра и логика, 1989, т. 28, № 1, с. 83-104.

60. A.A. Фомин, Абелевы группы без кручения ранга 3, Матем. сб., 1989, т. 180, №9, с. 1155-1170.

61. A.A. Фомин, Категория матриц, представляющая две категории абеле-вых групп, Фунд. и прикл. матем., 2007, т. 13, № 3, с. 223-244.

62. JI. Фукс, Бесконечные абелевы группы, т. 1, 2. М.: Мир, 1974, 1977.

63. С. В. Чеглякова, Инъективные модули над кольцом псевдорациональных чисел, Фунд. и прикл. матем., 2001, т. 7, №2, с. 627-629.

64. А. В. Яковлев, К проблеме классификации абелевых групп без кручения конечного ранга, Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР, 1976, т. 57, с. 171-175.

65. А. В. Яковлев, Абелевы группы без кручения конечного ранга и их прямые разложения, Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР, 1989, т. 175, с. 135153.

66. А. В. Царев, Конечно порожденные Д-модули, Научные труды математического факультета МПГУ, М.: Прометей, 2000, с. 285-289.

67. А. В. Царев, Модуль псевдо-рациональных отношений группы, Чебы-шевский сборник, 2002, т. 3, № 1, с. 120-134.

68. А. В. Царев, Псевдорациональный ранг абелевой группы, Сиб. матем. ж., 2005, т. 46, № 1, с. 217-229.

69. А. В. Царев, Псевдорациональный ранг факторно делимой группы, Фунд. и прикл. матем., 2005, т. И, №3, с. 201-213.

70. А. В. Царев, Проективные и образующие модули над кольцом псевдорациональных чисел, Абелевы группы, Труды Всероссийского симпозиума, Бийск: РИО БПГУ, 2005, с. 49-51.

71. А. В. Царев, Модули над кольцом псевдорациональных чисел и факторно делимые группы, Алгебра и анализ, 2006, т. 18, № 4. с. 198-214.

72. А. В. Царев, Проективные и образующие модули над кольцом псевдорациональных чисел, Матем. заметки, 2006, т. 80, № 3, с. 437-448.

73. А. В. Царев, Группы без кручения конечного ранга, факторно делимые группы и конечно порожденные Д-модули, Абелевы группы, Материалы Всероссийского симпозиума, Бийск: РИО БПГУ, 2006, с. 44-47.

74. А. В. Царев, Псевдогомоморфизмы модулей над кольцом псевдорациональных чисел, Международная конференция «Алгебра и ее приложения», Тезисы докладов, Красноярск, 2007, с. 142-143.

75. А. В. Царев, Псевдорациональный тип факторно делимой группы, Международная алгебраическая конференция, поев. 100-летию Д. К. Фадде-ева, Тезисы докладов, С.-Петербург, 2007, с. 75-77.

76. А. В. Царев, Двойственность конечно порожденных плоских Л-модулей, Вестник СамГУ, Самара, 2008, №2, с. 102-114.

77. А. В. Царев, Некоторые морфизмы модулей над кольцом псевдорациональных чисел, Сиб. матем. ж., 2008, т. 49, №4, с. 945-953.

78. А. В. Царев, Некоторые сервантные подкольца ранга 2 колец Zx, Международная алгебраическая конференция, поев. 100-летию А. Г. Куроша, Тезисы докладов, Москва, МГУ, 2008, с. 247-248.

79. А. В. Царев, Квазиизоморфизм факторно делимых групп, Всероссийская конференция по математике и механике, поев. 130-летию ТГУ и 60-летию мех.-мат. факультета, Тезисы докладов, Томск, ТГУ, 2008, с. 66-67.

80. А. В. Царев, Сервантные подкольца колец Zx, Международная научная конференция «X Белорусская математическая конференция», Тезисы докладов, Минск, 2008, с. 60.

81. А. В. Царев, Кослед кольца псевдорациональных чисел, Международная конференция «Мальцевские чтения», Тезисы докладов, Новосибирск, 2009, с. 98.