Группа Hom(A, B) как инъективный модуль над кольцами эндоморфизмов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

ПАХОМОВА Елена Григорьевна

ГРУППА Нош(А,В) КАК ИНЪЕКТИВНЫЙ МОДУЛЬ НАД КОЛЬЦАМИ ЭНДОМОРФИЗМОВ

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1997

Работа выполнена на кафедре алгебры Томского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор КРЫЛОВ ПЛ.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор МИХАЛЁВ А.В.

кандидат физико-математических наук, доцент КОМПАНЦЕВА ЕЛ.

Ведущая организация - Институт математики СО РАН.

Защита состоится «. 43 .часов

на заседании диссертационного Совета К 053.01.02 в Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., д. 14, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ по адресу: 119435, Москва, Малая Пироговская ул., д. 1.

Автореферат разослан «.. года.

Ученый секретарь диссертационного Совета

КАРАСЕВ ГА

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Хорошо известно, что гомоморфизмы абелевой группы А в абелеву группу В сами образуют абелеву группу Нот(А,В), называемую группой гомоморфизмов (см. [13, глава VIII). Группа Han как основной функтор широко изучалась Картаном и Эй-ленбергом [23. Тот факт, что гомоморфизмы образуют группу Нош оказался исключительно глубоким. Обнаружилось, что группы гомоморфизмов обладают многими замечательными свойствами и могут быть использованы в различных задачах теорий абелевых групп, колец и модулей.

Большое внимание уделялось алгебраическому строению группы гомоморфизмов. Однако точное строение группы Нош(А,В) известно лишь в некоторых случаях. Например, если А - периодическая группа или если В - алгебраически компактная группа, то группа Нош(Л,В) - алгебраически компактна [13. Один из основных случаев, когда В пе имеет кручения, еще мало изучен. Даже для группы В ранга 1 описание строения группы Нош(А,В) представляет собой трудную задачу [1, проблема 303. Вопрос о строении группы гомоморфизмов Нош(А,В) ставился в самых различных видах. Исследовались также гомологические, топологические и иные ее свойства.

Мало внимания однако уделялось тому обстоятельству, что группа Нош(А,В) естественным образом является левым Е(В)-модулем и правым Е(А)-модулем над кольцами эндоморфизмов группы В и А соответственно. Говоря точнее, Нош(А,В) есть Е(В)-Е(А)-бимо-дуль. Поэтому возможен модульный подход к изучению группы гомоморфизмов. Многие задачи приводят к необходимости рассмотрения группы Нош(А,В) как модуля над кольцами эндоморфизмов. Так, в связи с известной задачей о вычислении проективной размерности абелевой группы над ее кольцом эндоморфизмов [1, проблема 123 возникает вопрос о проективности Е(В)-модуля Нот(А,В) (см. [33). Е(В)-модуль и Е(А)-модуль Нот(А,В) играют исключительно важную роль при отыскании эквивалентностей или двойственностей между различными категориями абелевых групп и категориями модулей над кольцами эндоморфизмов [4 - 73. Модульные свойства группы Нот(А,В) используются в процессе решения и многих других задач.

Следует признать, что имеется лишь небольшое количество сведений о Е(В)-модуле и Е(А)-модуле Нош(А.В) . Изучение этих модулей интересно само по себе. Другая причина изучения этих модулей заключается в том, что оно дает содержательную информацию как о группе Нот(А,В) , так и о самих группах А, В , позво-

ляет выделить новые классы групп и обнаружить различные связи между ними. Концентрируя внимание на группе гомоморфизмов Нот(А,В) как модуле, мы получаем возможность использовать мощные теоретико-кольцевые и теоретико-модульные методы, которые позволяют получить в этом направление новые результаты.

Наконец, необходимо отметить следующее важное обстоятельство. Изучение группы Нош(А,В) как Е(В)-модуля и Е(А)-модуля объединяет такие классические направления в теории айелевых групп и их колец эндоморфизмов, как исследование групп как модулей над их кольцами эндоморфизмов и исследование самого кольца эндоморфизмов как левого или правого модуля над самим собой. Действительно, при А = Z, где Z - кольцо целых чисел, существует изоморфизм левых Е(В)-модулей Hom(Z,B) = В, а при А = В имеем Нош(А,А) = Е(А).

В настоящей работе развивается модульный подход к изучению группы гомоморфизмов Нош(А,В) . Исследуются абелевы группы А и В такие, что Нот(А,В) является инъективным левым модулем над кольцом эндоморфизмов Е(В) группы В или инъективным правым модулем над кольцом эндоморфизмов Е(А) группы А. Хорошо известно фундаментальное значение инъективных объектов в математике. Инъектив-ность (наряду с проективностью) является важнейшим понятием теории колец и модулей. Инъективность и существование инъективных оболочек были открыты Бэром [83. Важность для теорий абелевых групп и колец эндоморфизмов круга задач, связанных с понятием инъективности, подчеркивает постановка проблем 12, 29 и 84(г) в книгах [1, 93.

В своей известной работе [101 Ричмен и Уокер описали те абелевы группы, которые являются инъективными модулями над своими кольцами эндоморфизмов. С другой стороны, Рангасвами [113 выяснил когда кольцо эндоморфизмов редуцированной абелевой группы само-инъективно справа, т.е. является инъективным правым модулем над самим собой. Позже A.B. Иванов [123 существенно расширил этот результат. Он охарактеризовал произвольные абелевы группы, кольца эндоморфизмов которых самоинъективны слева или справа. Эти статьи Ричмена и Уокера, Рангасвами, Иванова можно отнести к указанным выше двум направлениям в теории колец эндоморфизмов.

В данной работе значительно развиваются и обобщаются исследования Ричмена и Уокера, Рангасвами, Иванова. Описываются абелевы группы А и В такие, что группа гомоморфизмов Нот(А,В) является инъективным левым Е(В)-модулем или инъективным правым

Е(А)-модулем. При этом одновременно в процессе доказательства находится строение инъективного Е(В)-модуля Нош(А,В) . Прежде характеризуются произвольные абелевы группы А и В , для которых группа Нот(А,В) алгебраически компактна. Это объясняется тем, что любой инъективный модуль алгебраически компактен как абелева группа (см. замечания в конце главы VII книги [13). Теорема Ричмена и Уокера [101 приводится в $1, поскольку мы неоднократно используем ее. Что касается теорем А.В.Иванова С123 об абе-левых группах с самоинъективными слева кольцами эндоморфизмов и Рангасвами [11] о редуцированных абелевых группах с самоинъективными справа кольцами эндоморфизмов, то они могут быть выведены из результатов настоящей работы (см. §§4 и 5).

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются разнообразные сведения об абелевых группах, группах гомоморфизмов и кольцах эндоморфизмов, а также кольцах и модулях, особенно инъективных модулях. Применяются методы теорий абелевых групп, колец и модулей.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Описать абелевы группы А и В , для которых группа гомоморфизмов Нот(А,В) является инъективным левым модулем над кольцом эндоморфизмов Е(В) группы В или инъективным правым модулем над кольцом эндоморфизмов Е(А) группы А .

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все результаты диссертации являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие:

1. Найдены условия, при которых группа Нот(А,В) является алгебраически компактной группой.

2. Описаны абелевы группы А и В , для которых группа гомоморфизмов Нот(А,В) является инъективным левым Е(В)-модулем.

3. Найдено строение инъективного левого Е(В)-модуля Hom(A,B) для произвольных абелевых групп А и В .

4. Охарактеризованы абелевы группы А и В такие, что Нот(А,В) - инъективный правый Е(А)-модуль. Установлены связи между вопросом об инъективности Е(А)-модуля Нот(А,В) и вопросом о плоскостности группы А как Е(А)-модуля.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа имеет теоретическое значение. Результаты данной работы могут быть использованы при изучении групп гомоморфизмов абелевых групп и модулей, колец эндоморфизмов абелевых групп и модулей, абелевых групп как модулей над своими кольцами эндоморфизмов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации были представлены на симпозиуме "Абелевы группы" (Бийск, 1994), на между-

народной алгебраической конференции (Санкт-Петербург, 1997), докладывались на международной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике" (Томск, 1997), неоднократно обсуждались на алгебраических семинарах Томского государственного университета.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 4 работы:

1. Крылов П.А., Пахомова Е.Г. Абелевы группы как инъективные модули над кольцами эндоморфизмов//Симпозиум Абелевы группы: Тезисы выступлений участников. Бийск: НИЦ БиГПИ, 1994. С. 15-16.

2. Пахомова Е.Г. Группа Нош(А.В) как инъективный модуль над кольцами зндоморфизмов//Симпозиум Абелевы группы: Тезисы выступлений участников. Бийск: НИЦ БиГПИ, 1994. С. 21.

3. Крылов П.А., Пахомова Е.Г. Исследование группы Нош(А,В) как инъективного Е(В)-модуля//Абелевы группы и модули. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1996. Вып. 13-14. С. 132-169.

4. Пахомова Е.Г. Об инъективности Нот(А,В) как Е(В)-моду-ля//Межд. алгебр, конф. СПб., 1997. С. 253-254.

В совместных работах постановка задачи и выбор метода исследования принадлежат научному руководителю. Диссертанту принадлежат формулировки и доказательства результатов.

СТРУКТУРА И ОБЪЁМ РАБОТЫ. Диссертация выполнена на 86 страницах машинописного текста и состоит из введения и двух глав. Библиография содержит 29 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Данная работа посвящена изучению группы гомоморфизмов Нош(А,В) как инъективного левого или правого модуля над кольцом эндоморфизмов группы В или А соответственно.

В работе две главы. Основная цель главы I - найти условия при которых Нот(А,В) будет инъективным Е(В)-модулем. Эта глава содержит 4 параграфа (§§1 - 4).

§1 носит вспомогательный характер. Здесь собраны хорошо известные факты и некоторые результаты, которые будут часто использоваться во всей работе.

В $2 Нот(А,В) рассматривается как группа. Ставится задача выяснить, когда она будет алгебраически компактной. Этот вопрос интересен как сам по себе, так и в связи с тем, что любой инъективный модуль алгебраически компактен как абелева группа. Пусть

А и В - произвольные группы. Положим S (В) = L «А. Подгруп-

А «: А-»В

па SA(B) называется следом группы А в группе В (или А-цо-

колем). Она вполне характеристична в В . Группу Нош(А,В) естественным образом можно отождествить с группой Нош(А,Зд(В)) .

Напомним также, что р-адическим модулем называется модуль над

*

кольцом целых р-адических чисел Qp. Основным результатом этого параграфа является следующая теорема, дающая необходимые и достаточные условия алгебраической компактности группы Нош(А.В) .

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть А и В - некоторые группы, Bi - редуцированная часть группы В, S = SA(Bi). Группа Нош(А,В) алгебраически компактна тогда и только тогда, когда существуют вложения

Е® Ср s S s П Ср , рет рет

где Т - какое-то множество простых чисел, Ср - р-адический модуль для каждого р е Т, причем, если р-бааисная подгруппа группы А не является периодической для некоторого р е Т, то Ср - алгебраически компактная группа, и наконец, S^(P) = S, где Р = П^СР.

Эта теорема используется при доказательстве практически всех основных утверждений работы. По поводу доказательства её самой следует заметить, что интересным моментом здесь является то, что

для получения искомых групп Ср потребовалось превращение следа в

*

модуль над кольцом П 0о и использование того, что аддитивная р

группа этого кольца есть Z-адическое пополнение группы Z . Отметим также, что теорема 2.1 остается справедливой и для копериоди-ческих групп (следствие 2.2).

В й 3 и 4 группа Нош(А.В) рассматривается как левый модуль над кольцом эндоморфизмов группы В . Оказалось, что важную роль здесь играет наличие в В делимой части. Это вызвало необходимость рассматривать отдельно случай редуцированной и нередуцированной группы В . В $3 изучается Е(В)-модуль Нош(А,В) для редуцированной группы В . Основной результат здесь - следующая теорема, которая дает полный ответ на вопрос, когда этот модуль инъективен.

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть А и В - группы, причем В - редуци-

рованная, S = S (В) . Группа Hom(A,B) является инъективным

Е(В)-модулем тогда и только тогда, когда существуют вложения

Е® Ср — S s П Ср , рет р рет р

где Т - некоторое множество простых чисел, Ср - конечная р-группа для всех реТ и выполняются следующие условия:

а) S (Р) = S , где Р = ПСР ;

А реТ

б) порядки элементов группы Ср не превосходят порядков циклических прямых слагаемых р-компоненты группы А при любом р е Т;

в) для каждого р е Т существует разложение В = Ср ® Нр , где Нр - некоторая р-делимая подгруппа группы В .

Будем обозначать далее г(Х) - ранг некоторой группы X , г0(Х) - ранг без кручения группы X, а гр(Х) - ее р-ранг, т.е. гр(Х) = г(Х/рХ) , где р - простое число. Теперь можно сформулировать более простые условия инъективности исследуемого модуля для некоторых основных ситуаций, а именно:

СЛЕДСТВИЕ 3.2. Если А - некоторая группа, С - конечная р-группа, то Е(С)-модуль Нош(А,С) инъективен тогда и только тогда, когда порядки элементов группы С не превосходят порядков циклических прямых слагаемых р-компоненты группы А . В этом

случае Horn (А, С) = П С .

г (А) р

СЛЕДСТВИЕ 3.3. Если А и В - редуцированные периодические группы, то Horn(А,В) является инъективным Е(В)-модулем тогда и только тогда, когда для каждого р такого, что Ар * 0 и Вр * О, выполняется следующее: Вр есть конечная р-группа и порядки ее элементов не превосходят порядков циклических прямых слагаемых группы Ар .

СЛЕДСТВИЕ 3.4. Пусть А - группа без кручения, В - редуцированная периодическая группа. Тогда Нош(А,В) - инъективный Е(В)~ модуль в том и только в том случае, когда S^(B) = Вр , где

Т - некоторое множество простх чисел; Вр - конечная р-группа для каждого р е Т и каждая сервантная подгруппа ранга 1 группы А является р-делимой для почти всех р е Т .

Е(В)-модуль Нош(А,В) для нередуцированной группы В рассматривается в $4. Появление делимой части привело к возникновению серьезных трудностей, особенно е случае, когда группа А не является периодической. Их удалось преодолеть, используя понятие

- 9 -

идеализации бимодуля и следующую лемму.

ЛЕММА 4.1. Пусть R и S - кольца, М - R-S-бимодуль,

К - идеализация бимодуля М . Предположим, что U - левый К-мо-r s 04

дуль, причем 1 Q Q 1 s Anr^U , являющийся инъективным левым

R-модулем. Для того, чтобы U был инъективным К-модулем необходимо и достаточно выполнения равенства Нотп(М,и) = 0 .

К

Для произвольной нередуцированной группы В фиксируем обозначения в прямом разложении В = G © D , где G - редуцированная часть группы В . Таким образом, мы предполагаем, что D * О . Группа G может быть равной нулю. Делимая группа D единственны}-!

образом представляется в виде прямой суммы D = Е® Dp © D0, где р

р

пробегает некоторое множество простых чисел, Dp - делимая р-груп-па (т.е. р-компонента группы D), D0 - делимая группа без кручения.

Основной результат §4 - теорема 4.6. Она дает необходимые и достаточные условия инъективности указанного модуля.

ТЕОРЕМА 4.6. I. Если А - непериодическая группа, В - нередуцированная группа, то Нош(А,В) - инъективный Е(В)-модуль тогда и только тогда, когда S^(G) = Е^ Ср , где Т - некоторое множество простх чисел, Ср - конечная р-группа для каждого р е т и выполняются следущие условия:

a) S (Р) = SAB) , где Р = П Ср ;

А А рет

b) порядки элементов группы Ср не превосходят порядков циклических прямых слагаемых р-компоненты группы А при любом р е Т;

c) для каждого р е Т существует разложение В = Ср ® Dp ® Нр, где Нр - некоторая вполне характеристическая подгруппа группы В (компонента Dp может равняться нулю);

ф делимая группа D имеет конечный ранг и является либо группой без кручения, либо периодической группой;

e) если D - группа без кручения, то G - периодическая группа;

f) если D - периодическая группа, то для каждого р с Dp * * 0 имеем Ар = 0 , причем для р с Dp / 0 , но Ср = 0 р-ком-понента группы G - ограниченная группа, G/T(G) - группа конечного ранга и r(G/T(G)) = rp(G/T(G)) .

II. Если А - периодическая группа, В - нередуцированная группа, то Нош(А,В) - инъективный Е(В)-модуль тогда и только

тогда, когда S (В) = L® CD , где Т - некоторое множество А рет

простых чисел, Ср - конечная р-группа для каждого р е Т и выполнятся условия Ь) и с) из I (причем в с) Dp = OJ .

Как следствия из теоремы получаются следующие утверждения. СЛЕДСТВИЕ 4.7. Пусть А - произвольная группа, D - делимая группа. Е(В)-модуль Hom(A,D) инъективен тогда и только тогда, когда группа D имеет конечный ранг и является либо группой без кручения, либо периодической группой. В последнем случае для всякого р с Dp * 0 должно быть Ар = 0 .

СЛЕДСТВИЕ 4.8. 1) Если D0 - делимая группа без кручения

конечного ранга, то Hom(A,D0) = П D0 , где г0(А) - ранг без

г (А) о

кручения группы А .

2) Если Dp - делимая р-группа ранга n , А - такая группа, что

Ар = 0 , то n

Нош (A, Dp) s П Dp Ф П Fp , % Tío

где Tip - ранг р- базисной подгруппы V группы А , TIq - ранг без кручения группы A/V , Fp - поле р-адических чисел. В частности, Hom(A,Z(p°°)) й П Z(p°°) © П Fp .

Tip Tto

СЛЕДСТВИЕ 4.9. Пусть Ср - конечная р-группа, Dp - делимая р-группа ранга n . Е(СР е Dp) - модуль Hom(A,Cp е Dp) инъективен тогда и только тогда, когда р-компонента группы А равна нулю. В этом случае

Нот(А,Ср Ф Dp) П (Ср Ф Dp) Ф П Fp , Tip fio

где Tip - ранг р-базисной подгруппы V группы А , По - ранг без кручения группы A/V .

Интересным является замечание 4.10, в котором указывается, что в ходе доказательства теорем 3.1, 4.6 и их следствий находится и строение инъективного Е(В)-модуля Нош(А,В) для произвольных групп А и В . А именно, пусть Ср - конечная р-группа, Dp - делимая р-группа конечного ранга np , D0 - делимая группа без кручения конечного ранга, Q - поле рациональных чисел. Все левые модули Hom(Z,Cp) , Hom(Z,Cp ® Dp), Hom(Z,Dp) , Hom(Q,Cp Ф Dp), Hom(Q,Dp) и Hom(Q,D0) инъективны над кольцами эндоморфизмов соответствующих групп. Инъективный модуль Нот(А,В) может быть представлен как произведение какого-то числа экземпля-

ров каждого из этих модулей для различных р , т.е. модулей Ср,

Пр

Ср ® Бр , Ор , Рр и 0о. Более определенно можно утверждать, что для редуцированной группы В или нередуцированной группы В и периодической группы А Нот(А,В) есть произведение экземпляров модуля Ср для различных р. В случае нередуцированной группы В и непериодической группы А Нот(А,В) является либо произведением экземпляров модуля Ср для различных р и модуля 0о>

пр

либо произведением экземпляров модулей Ср, Ср ® 0Р и Рр для различных р, где число р для модулей двух последних видов принимает конечное число значений. Можно определить число экземпляров того или иного модуля, присутствующего в Нош(А,В). Так, это число для модуля 0о равно г0(А) , где г0(А) = г(А/Т(А)) -ранг без кручения группы А , для модулей Ср и Ср © 0р равно гр(А), где Гр(А) = г(А/рА) - р-ранг группы А .

Далее показывается, что одно из условий теоремы 4.6 (и соответствующее условие теоремы 3.1) можно заменить более обозримым групповым условием. Для произвольной группы X определим множество простых чисел П(Х) = {р|рХ * X} , а для группы А фиксируем

обозначение А, где А = А/Т(А). Пусть Т - некоторое множество

простых чисел, Св - ограниченная р-группа, р е Т. Используем

также обозначения Б = Е® С0 и Р = П Ср . Тогда справедливо

рет ^ реТ

следующее утверждение.

ЛЕММА 4.11. 1) Равенство Нот(А,5) = Нот(А,Р) справедливо тогда и только тогда, когда П(Х) п Т - конечное множество для

любой сервантной подгруппы X ранга 1 группы А . В частности, если существует подгрупп а X такая, что П(Х) состоит из всЬк за исключением конечного множества простх чисел, то Т - конечное множество.

2) Предположим дополнительно, что |Т| = Хо и Б е БД(Р) . Тогда Бд(Р) = Р , если и только если найдется сервантная подгруппа X ранга 1 группы А такая, что Т е П(Х) .

В заключение $4 формулируется теорема Иванова [12] об абеле-вых группах с самоинъективными слева кольцами эндоморфизмов, которая может быть выведена из теорем 3.1 и 4.6.

Во второй главе группа гомоморфизмов Нот(А,В) рассматривается как правый Е(А)-модуль. Прежде всего доказывается следующая

теорема, которая дает основание для отдельного рассмотрения случаев редуцированной и делимой группы В .

ТЕОРЕМА 5.1." Пусть А и В - некоторые группы, В = G е D, где G - редуцированная, D - делимая группы. Е (А) -модуль Нош(А,В) инъективен тогда и только тогда, когда инъективны модули Hom(A.G) и Hom(A,D) .

Инъективность Е(А)-модуля Нош(А.В) для редуцированной группы В рассматривается в $5. В этом случае на поставленный вопрос получен полный ответ.

ТЕОРЕМА 5.2. Пусть А и В - группы, причем В - редуцированная. Положим S = Sft(B) . Группа Нот(А,В) является инъективным Е(А)-модулем тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) существуют вложения Ср s S s pQxCp •

где Т - некоторое множество простх чисел, Ср - прямая сумма циклических р-групп одного и того же порядка для каждого pel;

2) S (Р) = S , где Р = П Ср ;

A pel

3) для каждого р е Т существует разложение А = Ар ® Dp, где Dp - р-делимая группа, Ар - ограниченная р-группа, причем порядки элементов группы Ар не превосходят порядков циклических прямых слагаемых группы Ср .

Из этой теоремы теперь можно получить более простые условия инъективности Е(А)-модуля Нот(А.В) для редуцированных периодических групп А и В , а если привлечь еще теорему 3.1 - то и условия одновременной инъективности группы Нот(А,В) как Е(В)~ модуля и Е(А)-модуля для редуцированной группы В . Здесь имеют место такие утверждения.

СЛЕДСТВИЕ 5.3. Пусть А и В - редуцированные периодические группы, Ар и Вр - р-компоненты этих групп. Е(А)-модуль Нош(А,В) инъективен тогда и только тогда, когда для любого р из Ар * 0 и Вр * 0 следует, что Ар есть ограниченная группа, а группа Вр не имеет циклических прямых слагаемых порядков, меньших порядков элементов группы Ар .

СЛЕДСТВИЕ 5.4. Пусть А и В - редуцированные группы, S = Бд(В) . Группа Нош(А,В) одновременно является инъективным

левым Е (В)-модулем и инъективным правым Е(А)-модулем тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

- 13 -

1) существуют вложения Е® Ср s s s П CD ,

peí w рет

где Т - некоторое множество простх чисел, Ср - конечная прямая сумма циклических р- групп одного порядка для каждого р е Т;

2) 5д(Р) = S , где Р =рПтСр ;

3) для всякого р е Т имеют место разложения В = Ср Ф Hp и А = Ар ® Dp, где Ар - прямая суша циклических р-групп порядка, равного порядку циклических прямых слагаемых группы Ср , Нр и Dp - р-делимые группы.

В заключение параграфа приводится теорема Рангасвами СИ] и Иванова [12] о редуцированных абелевых группах с самоинъективными справа кольцами эндоморфизмов, которая очевидным образом получается из теоремы 5.2.

В §6 рассматривается шгьективность Е(А)-модуля Hom(A,D) для делимой группы D. Обозначим через R кольцо Е(А), Qp - кольцо рациональных чисел со знаменателями взаимно простыми с р. Основным результатом параграфа является следующая теорема, которая дает критерий инъективности, представляющий собой требование плоскостности определенных модулей, ассоциированных с Е(А)-модулем А.

ТЕОРЕМА 6.5. Пусть А - произвольная, D - делимая группы. R-модулъ Hom(A,D) инъективен тогда и только тогда, когда для каждого р с Dp * О А ® Qp - плоский R ® модуль. При этом, если D не имеет кручения, то инъективность модуля Hom(A,D) равносильна плоскостности R s Q-модуля А ® Q .

Отметим, что проблема описания инъективных Е(А)-модулей вида Hom(A,D), где D - делимая группа, включает в себя и довольно известную проблему описания эндоплоских групп, т.е. групп, плоских над своими кольцами эндоморфизмов. Об этом свидетельствует следующее предложение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.2. Пусть А - группа, R = Е(А). Для группы А эквивалентны записанные ниже утверждения:

1) R-модуль Hom(A,D) инъективен для любой делимой группы D;

2) R-модуль Hom(A,Q/Z) инъективен;

3) А - эндоплоская группа;

4) R ® Qp-модуль А ® Qp плоский для каждого р .

В последние годы эндоплоские групп интенсивно исследуются с различных точек зрения. Связь инъективности исследуемого модуля с эндоплоскостностью группы А позволяет в частности утверждать,

что ситуация, когда Е(А)-модуль Нот(А,Б) инъективен, достаточно распространена. Можно, например, полностью описать р-группу А, для которой указанный модуль инъективен. А именно, Е(А)-модуль Нот(А,Б) не будет инъективным лишь в случае А = С © Е, где С -ограниченная, Е - ненулевая делимая группы.

Автор выражает глубокую признательность П.А.Крылову за высокий профессионализм в руководстве работой, внимание и поддержку.

1. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1.

2. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М.: ИЛ,

I960.

3. Douglas A.J., Farahat Н.К. The homological dimension of an abelian group as mogule over its ring of endomorphism, II// Monatsh. Math. 1972. V.76. P. 109-111.

4. Arnold D.M. Finite rank torsion-free abelian groups and rings. Lecture Notes Math. 1982. V. 931.

5. Arnold D.M., Lady E.L. Endomorphism rings and direct sums of torsion-free abelian groups//Trans. Amer. Math. Soc. 1975. V. 211. P. 225-237.

6. Arnold D.M., Murley C.E. Abelian groups A, such that Hom(A,-) preserves direct sums of copies of A//Pacific J. Math. 1975. V. 56, N 1. P. 7-20.

7. Warfield R.B. Homomorphisms and duality for torsion-free groups//Math. Z. 1968. V. 107. P. 189-200.

8. Baer R. Abelian groups that are direct summands of every containing abelian group//Bull. Amer. Math. Soc. 1940. V. 46. P. 800-806.

9. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т. 2.

10. Richman F., Walker Е. Modules over PIDs that are infective over their endomorphism rings.//Ring theory. Academic Press, New York. 1972. P. 363-372.

11. Rangaswamy K.M. Abelian groups with self-infective endomorphism rings//Lect. Notes Math. 1974. V. 372. P. 595-604.

12. Иванов А.В. Абелевы группы с самоинъективными кольцами эндоморфизмов и кольцами эндоморфизмов с аннуляторным условием//Абе-левы группы и модули. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1982. С. 93-109.

ЛИТЕРАТУРА