Матрицы Мальцева двойственных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

КОСТРОМИНА Юлия Владимировна Матрицы Мальцева двойственных групп

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

5 т 2013

Томск - 2013

005542392

005542392

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский педагогический государственного университет», на кафедре алгебры математического факультета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор ФОМИН Александр Александрович Официальные оппоненты:

Гриншпон Самуил Яковлевич доктор физико-математических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», кафедра алгебры механико-математического факультета, профессор

Ельцова Тамара Александровна, кандидат физико-математических наук, доцент, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники», кафедра высшей математики, доцент

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров

Защита состоится 20 декабря 2013 г. в 14 ч. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.267.21, созданного на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», по адресу: 634050, Томск, ул. Ленина, 36 (корпус 2, ауд. 304).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан « 18 » ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Малютина

Александра Николаевна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Настоящая работа посвящена изучению абелевых групп без кручения конечного ранга. Начальный этап систематического изучения бесконечных абелевых групп пришелся на 20-30-е годы XX века. Во второй половине 30-х годов были заложены основы для изучения абелевых групп без кручения. Р. Бэр [3] на языке типов дал описание групп без кручения ранга 1, а А. Г. Курош [11], А. И. Мальцев [16] и Д. Дерри [6] с помощью матриц с р-адическими элементами получили важное с теоретической точки зрения описание групп без кручения конечного ранга. Описание Куроша-Дерри, вошедшее в монографии [15] и [17], получило широкую известность. Однако во многих ситуациях описание Мальцева оказывается более удобным. Недавно А. А. Фомин [7] показал, что описание Мальцева можно рассматривать как двойственность некоторых категорий.

В 40-50-е годы произошло выделение теории абелевых групп из общей теории групп в самостоятельное направление алгебры. В 60-70-е годы теория абелевых групп достигла своего пика развития. Рост интереса к теории абелевых групп был обусловлен в том числе и выходом монографий JI. Фукса [17], в которых освещались последние ее достижения. К этому периоду относится интересующая нас работа Р. Бьюмонта и Р. Пирса [4], в которой они ввели и описали с точностью до квазнизоморфизма класс факторно делимых групп без кручения конечного ранга. На основе описания факторно делимых групп был получен ряд хороших результатов, из которых наиболее интересными на наш взгляд являются работы [1], [5], [8], [9], [12], [14].

Другой интересующий нас класс — локально свободные группы. Они были введены Р. Уорфилдом в [13] в связи с изучением абелевых групп без кручения и их групп гомоморфизмов. В данной работе решается задача нахождения матриц Мальцева группы, двойственной локально свободной группе в смысле Уорфилда. Также решается задача нахождения матриц Мальцева группы, двойственной факторно делимой группе в смысле Д. Арнольда. Другими словами, перевода двойственности Уорфилда и двойственности Арнольда на язык матриц Мальцева. В 2007 г. в [18] А. А. Фомин ввел категорию матриц специального вида и доказал, что она эквивалентна категории факторно делимых групп и двойственна категории групп без кручения. A.A. Фомин

матрицы данной категории называл редуцированными матрицами. Заметим, что это фактически те матрицы, которые А. И. Мальцев называл совершенными, а функторы двойственности категории матриц и категории групп без кручения можно рассматривать как новую версию описания Мальцева [16].

Из приведенного обзора видно, что тема исследования достаточно актуальна.

Цель работы. Целью диссертационной работы является переосмысление результатов Мальцева в контексте современного уровня развития теории абелевых групп без кручения конечного ранга и перевод на язык матриц Мальцева двойственности Уорфилда для локально свободных групп и двойственности Арнольда для факторно делимых групп.

Общая методика исследования. Исследование базируется на общих методах теории абелевых групп, модулей и категорий.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основными результатами можно считать следующие:

1. Описано строение матриц Мальцева локально свободных групп и строение матриц Мальцева факторно делимых групп.

2. Найдены соотношения между матрицами Мальцева группы без кручения (7 конечного ранга и матрицами Мальцева групп Нот (Л, б) (Теорема 3) и Нот (С, Л) (Теорема 7), где (7 — локально свободная группа, Я — группа без кручения ранга 1.

3. Найдены соотношения между матрицами Мальцева факторно делимой группы и матрицами Мальцева двойственной ей группы в смысле Арнольда (Теорема 8).

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер и может быть использована при дальнейших исследованиях в области абелевых групп без кручения.

Апробация результатов. Результаты диссертационной работы докладывались на научно-методической конференции Рязанского военного автомобильного института (Рязань, 2009), на Всероссийском симпозиуме "Абеле-вы группы" (Бийск, 2010), на Всероссийской конференции посвященной 110-летию математического факультета "Математика, информатика и методика их преподавания" (Москва, 2011), на 5-ом Всероссийском симпозиуме "Абе-

левы группы" (Бийск, 2012), а также на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры МПГУ.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 72 страницах и состоит из введения, трех глав, разделенных на 7 параграфов, и списка литературы, включающего 48 наименований.

Содержание работы. Все рассматриваемые в работе группы являются абелевыми.

Во введение дается обзор результатов, обосновывающих актуальность исследования, и краткая характеристика работы.

Первая глава посвящена изложению предварительных методов и результатов, которые используются для получения основных. Она состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе приводится определение матриц Мальцева и их основные свойства.

Определение 1. р-примитивной подгруппой группы без кручения С при данном базисе Х\,Х2, —, хТ называется подгруппа образованная теми элементами д группы С, которые могут быть представлены в виде рад = т\Х\ + + ТП2%2 + ••• + ттхг, где т* € 2, а е N.

Обозначим через <3(р») множество всех элементов д группы которые могут быть представлены в виде р8д = тп\Х1 + гп^х^ + ... + ттхг, где ттц 6 Ъ. Группа <3(р.) называется в-тым слоем подгруппы С^.

Рассмотрим целочисленную квадратную матрицу порядка г: Ая = (ау), г, ] —

= 1~Р.

Определение 2. Матрица А3 называется матрицей слоя б^.), если элементы !--—--(г = 1,..., г) порождают группу С{р,у

рЗ

Рассмотрим следующие преобразования матриц А3:

(а) умножить или разделить по модулю р3 какую-либо строку матрицы на число, не делящееся на р.

(/3) из одной строки матрицы вычесть другую, умноженную па любое целое число.

Определение 3. Матрица группы С?^») называется нормальной, если она перестановкой столбцов может быть приведена к виду

гМ

(рЛ' П12РА1

О рЛ2 О

«1гР

п2гр

Л2

, где

О ... р^

О < Ах < Л2 < ... < Лг < 5

/

(1)

(2)

и О П,* < р

Из данного определения следует, что с каждой матрицей связана подста-

Л 2 ... Л

новка I I, которая приводит матрицу к виду (1).

¿2 ... гт)

Пусть последовательность (2) имеет вид 0 ^ ... ^ 0 < Л1 ^ ... ^ А„ ^ в для каждого 0 < в € 2, где первые т чисел равны нулю и г = т + п. Тогда р-матрица 6-го слоя имеет вид:

/1 0 ... О оц а\2 ... а\п \ О 1 ... О 021 а22 ... а,2„

Л =

о о о о о о

1 ат 1 О рЛ' О О

Лт2

ЩпРМ

р-

Л2

И2пР

М

\0 О ... О О О ... рА» /

Обозначим в — А; через а*. Так как 0 < Ах < А2 < ... < А„, то 5 — А1 > ^ в — А2 ^ ... > в — А„, то есть «1 ^ аг ^ ... ^ а„ ^ 0.

Следуя А. И. Мальцеву [16], запишем в компактном виде последовательность матриц Ль А2,..., Д„..., взятых по всем слоям. Элементы ау из первых т строк матриц {А,},5еи определяют целые р-адические числа йу. Заметим, что количество р-адических строк — это инвариант группы (7, совпадающий с числом г (С) — гр(С), где гр(С) — р-ранг группы й.

Последние п строк матрицы получаются следующим образом: так как числа пу не зависят от номера слоя, то последовательность этих чисел в обобщенной матрице можно записать соответствующим классом вычетов пу.

Определение 4. Матрицы вида (3) мы будем называть р-матрицами Мальцева группы С, матрицу Л5 — в-гпой компонентой матрицы А.

(1 0 . . 0 Ô11 à 12 • • âO e

0 1 . . 0 Ô21 Й22 • • Ô2n e Zp

0 0 . . 1 âmi âm2 • ûmn e %

0 0 . . 0 1 п 12 • • пы e TL'çf* 1

0 0 . . 0 0 I . ■ П2п e

V0 0 . . 0 0 0 . ■ ï G ZpQn

Заметим, что р-матрицы Мальцева содержат информацию о типе Ричмена группы G. Из определения р-матриц Мальцева следует, что выполняются соотношения 0 ^ ar < ar_i < ... < ai- Пусть F — свободная подгруппа ранга г группы G, порожденная базисом х\, х2, —, хг. Тогда имеет место следующее разложение:

[g/f)p s* z в(Р, e z qW e... е z вМ,

где Z (р) (г = Т~т) — циклическая группа при < оо, или квазициклическая р" i

(р)

группа при а; = оо.

Как было показано выше, показатели степени каждого простого числа р расположены в порядке возрастания: 0 < а^ < < ... ^ а^ < оо. Если р пробегает множество всех простых чисел, то получается возрастающая последовательность характеристик: (а< (&r-i) ^ ••• ^ Эти харак-

теристики определяют типы: тг = [(afp))], rr_i = [(o^i)], —, П = [(a^)], где тг = IT(G) — внутренний тип группы, tj = ОТ (G) — внешний тип группы [2]. Последовательность типов тг < rr_i ^ ... ^ т% — тип Ричмена группы G.

В своей работе [16] А.И. Мальцев рассмотрел вопрос о том, как меняются подгруппы G(p) и их р-матрицы при переходе к новому базису. А.И. Мальцев показал, что линейные преобразования базиса эквивалентны следующим преобразованиям матриц:

(7) к j-пгому столбцу р-матрицы А прибавляется г-тый столбец, умноженный на целое число а.

(7) У всех элементов г-того столбца знак меняется на обратный.

(5) г-тый столбец р-матрицы А делится на некоторое натуральное простое число д.

(е) г-тый столбец р-матрицы А умножается на число д.

Определение 5. Систему р-матриц ... будем называть систе-

мой р-матриц группы С при базисе Х\,Х2, ...,хГ.

Определение 6. Две системы р-матриц назовем эквивалентными, если из одной системы можно получить другую, произведя конечное число преобразований (а), (/?) над каждой матрицей системы отдельно и конечное число преобразований (7), (7 ), (<5). (г) над всеми матрицами системы одновременно.

Теорема 1 [16]. Для того чтобы две системы совершенных р-матриц определяли изоморфные группы, необходимо и достаточно, чтобы эти системы были эквивалентными.

Во втором параграфе вводится определение ортогонального дополнения модуля и его основные свойства.

Пусть р — простое число, 0 ^ в € О < г 6 2. Рассмотрим декартову степень М = {ЪР»У как модуль над кольцом классов вычетов по модулю р". Элементами модуля М являются векторы (71, ...,7Г), где 7* € Zp»,г = 1 , г.

Определение 7. Пусть М = N — подмодуль модуля М. Элемент с = (71,..., 7Г) е М называется ортогональным подмодулю N С М, если 71 & + ••• + 7гРг = 0 для всякого элемента Ъ = (Д, ...,/?г) € N. Множество всех элементов ортогональных подмодулю N само является 2р»-подмодулем модуля М. Этот подмодуль обозначается И1- и называется ортогональным дополнением модуля N.

Третий и четвертый параграфы посвящены изучению матриц Мальцева локально свободных и факторно делимых групп, соответственно.

Пусть С — группа без кручения, обозначим В,(С) = (1 ,р~п \ рв = С; п 6 6 М) С (¡2; = б (§) <0>р, где <0>р — кольцо рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с р.

Определение 8. Группа без кручения б называется локально свободной над Н(С) тогда и только тогда, когда Ср свободна (как <0>р -модуль) для всех простых р со свойством рб ф <2.

р-матрица локально свободной группы имеет вид:

А =

(\ пи

О I

«1Л

П2г

О о

1

е е

'р<*2

е Ъ*

где = ЩС) и [(а?0)] = ОТ(С).

Определение 9. Группа без кручения С называется факторно делимой, если она содержит такую свободную подгруппу F конечного ранга, что С)Р — делимая периодическая группа.

р-матрица факторно делимой группы без кручения имеет вид:

\

А =

(I О О 1

О аи а,12 О Й21 а2 2

&2п

е е

\0 о ... 1

Заметим, что данная р-матрица является квадратной, но так как последние п строк нулевые, мы их опускаем из рассмотрения.

Во второй главе описываются матрицы Мальцева двойственных по Уор-филду групп.

В пятом параграфе мы рассматриваем группу гомоморфизмов Нот(Д, (7), где <7 — локально свободная группа конечного ранга, Я — группа без кручения ранга 1. Будем считать, что 2 С Д С

Пусть х — некоторая характеристика. Обозначим через Ох = {ж € (7 | | скаг(х) ^ х}- Тогда справедлива следующая теорема:

Теорема 2 [13]. Пусть Я — группа без кручения ранга 1 и пусть \ = = скат (1д). Если (7 — группа без кручения конечного ранга, то

Нот (Я, в) = вх.

Теорема 3. Пусть х = скаг( 1д), С — локально свободная группа с базисом XI, Х2, •••, хТ! относительно которого она определена набором р-матриц Мальцева по всем простым числам р:

А<*) = /т 0 п 12 . т . • п1г ■ е ze(P, 6 Z„w р

1° о . ■ Т) е zJP) р

и набором подстановок ( V 1 Ар) ч 2 . Ар) 2 &Ч . Если х

(а^'), то базис

Х\,Х2, ...,хТ принадлежит группе Сх и группа Сх определяется относительно этого базиса следующим набором р-матриц Мальцева:

/т п<Р) 1 п12

о т

о о

и тем же набором подстановок

п1 г € 6 Z (р) Р°1-' Z (р) Р 2

Т j € Z (р) аà -»

2 ... г\

,-(Р) (р) №

2 ... lr J

где

р-тая компо-

нента характеристики \ в группе R.

В шестом параграфе мы рассматриваем группу гомоморфизмов Hom(G, R), где G — группа без кручения конечного ранга с фиксированным базисом xi,...,xr, R — группа без кручения ранга 1. Группа Hom(G,R) называется двойственной в смысле Уорфилда [13]. Также показываем связь между двойственными по Уорфилду группами и модулями, являющимися взаимно ортогональными дополнениями друг друга.

Пусть т = [(тпр)] некоторый тип. Группа без кручения конечного ранга G принадлежит классу ЯЛГ, если G является р-делимой для всякого простого р с тр = оо и OT(G) ^ т. Заметим, что группы класса ШТ являются локально свободными.

Теорема 4 [13]. Функтор G i—> Hom(G, R), где type(R) = т, является двойственностью на категории ШТ (с гомоморфизмами в качестве мор-физмов).

Будем рассматривать матрицы Мальцева для одного фиксированного простого числа р. Обозначим через в — р-ую компоненту характеристики единицы в группе Я. Пусть

Обозначим через В1,В2,...,ВГ — столбцы матрицы Ля. Через будем обозначать класс вычетов, представителем которого является элемент Ьу для всех г = 1 ,г,] = 1, г.

Теорема 5. Пусть С — локально свободная группа с фиксированным базисом XI,...,хг, Я — группа без кручения ранга 1 такая, что Ьуре(Я) ^ ^ ОТ {О) и бесконечности у данных типов на одинаковых местах. И пусть С* = Нот ((7, Я) — группа, двойственная группе (7, с дуальным базисом х\,...,х*, который определяется следующим образом:

Пусть С\, С2, ...,сг — целые числа, являющиеся представителями классов вычетов 71,72, —,7г по модулю ра. Тогда

Определение 10. Пусть (7 — локально свободная группа с базисом Х\, ..., хг, Р = {х\,...,хг), р — простое число, такое, что С не является р-дслимой, 0 ^ в е Ъ, — в-ый слой группы <3. Тогда подмодуль N = G(p>)/F модуля М = (р~яЯ)/F = ТТр, будем называть р"-модулем группы (7 относительно базиса хх, ...,хГ.

Теорема 6. Пусть т = [(тр)] — некоторый тип, Я — группа ранга 1 типа т такая, что характеристика единицы равна (тр). б — локально свободная группа класса ШТ, Х\,Х2, ...,хг — базис группы С, для которого (а^) ^ (тр). Тогда рт" -модули двойственной в смысле Уорфилда группы Нот (С, Л) относительно дуального базиса х\,х2-, ...,х* являются ор-

х*(х^) = 0, если г ф j; х*(хг) = 1.

с\х\ + ... + сгх\ р5

€ С!* 71 В1 + ... + 7ТВГ = 0 в кольце Ъгр

тогоналънъши дополнениями рГПр -модулей группы С? относительно базиса Х\,Х2,..., хг для всех простых чисел р с тр < оо.

Теорема 7. Пусть С — локально свободная группа ранга г с базисом XI,Х2,..., хТ, относительно которого она определена наборомр-матриц Мальцева по всем простым числам р:

АЮ =

1 п

(р) 12

1г

^Р)

О о

и набором подстановок

М М

г1 г2

е е

¡у»

^уДг

»

, Л — группа без кручения ранга 1,

заданная типом Бэра. И пусть Нот(С?, Я) — группа, двойственная группе <3 в смысле Уорфилда, такая что 1уре{К) ^ ОТ(С) и бесконечности у данных типов на одинаковых местах. Через в обозначим р-тую компоненту характеристики единицы в группе В.. Тогда группа Нот(С, К) определяется следующим набором р-матриц Мальцева:

/Т ,00 з<Р) \

О 1

о

V0

о о

-¿р)

6г2

5г—1,2

эг 1

■м

Г—1,1

,00 6 21

е е

е е

и набором подстановок

00 »

гг

Г—1

М

н

, где

Эк,к = 1,

$к,к-1 = Щ-1,к (через пу будем обозначать разность — п^),

Эк,к-2 = Пк-2,к - Пк-2,к-1^к,к-и

вк,к-3 = Щ-3,к — Пк-3,к-2$к,к-2 ~ Пк-Хк-1^к,к-1,

В третьей главе описываются матрицы Мальцева факторно делимых групп, двойственных по Арнольду.

Теорема 8. Пусть б — факторно делимая группа ранга г с базисом Х\,Х2, хг, относительно которого она определена наборомр-матриц Мальцева по всем простым числам р:

О 1

О а,

(р) 21

"12 • а00 "22 • ■ а£? G G z»

(р) ат2 ■ • Otmn G zv

0 . . 0 е ^Xm+1

0 . . 0 е ZW2

\0 О

О о

о

о / G ZXr

. И пусть G* — группа двойствен-

и набором подстановок I , \ /„■) <„)

Ч> ... гГ

ная группе С в смысле Арнольда, тогда группа С определяется следующим набором р-матриц Мальцева:

(\ О ... О аУ а.

=

и набором подстановок [ („\

\ir ir-l ■■ . ,

Кольцо Ъх = Y\KP, определяется характеристикой х = (тр)> а именно: р

Кр = Z/pmpZ, если тр < оо, и Кр = Zp, если тпр = оо.

Из предыдущей теоремы мы получили следующий факт, доказанный Д. Арнольдом в [1].

Теорема 9 [1]. Существует двойственность категорий факторно делимых групп без кручения конечного ранга с квазигомоморфизмами на себя,

такая что:

(1) r(G) = r{G*); (2 )rp{G*) = r{G)-rp{G).

Следующие результаты показывают, что соответствующие модули взаимно двойственных по Арнольду групп являются взаимно ортогональными.

пы в относительно базиса ..., хТ. Модуль N называется р-адическим модулем группы в относительно базиса х\,..., хг тогда и только тогда, когда N совпадает с подмодулем модуля (Хр)г, порожденным строками (йц,...,

Теорема 10. Пусть (3 — факторно делимая группа, х\,...,хг — базис факторно делимой группы, б. Тогда р-адические модули двойственной в смысле Арнольда группы б* относительно дуального базиса х\,...,х* являются ортогональными дополнениями р-адических модулей группы С? относительно базиса XI, ...,хг.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору Александру Александровичу Фомину за введение в данную тематику и обсуждение изложенных в диссертации вопросов, за поддержку и всестороннюю помощь, профессору Андрею Валерьевичу Цареву за внимание к работе и полезные замечания.

Список литературы

[1] D. M. Arnold, A duality for quotient divisible abelian groups of finite rank, Pacific J. of Math., 42, 1972, 11-15.

[2] D. M. Arnold, Finite Rank Abelian Torsion Free Groups and Rings, Lecture Notes in Math., v.931, 1982.

[3] R. Baer, Abelian groups without elements of finite order, Duke Math. J., 3, No. 1, 1937, 68-122.

[4] R. Beaumont, R. Pierce, Torsion free rings, Illinois J. Math., 5,1961, 61-98.

oir),..., (äri, ...,arr).

[5] R. Beaumont, R. Pierce, Subrings of algebraic number fields, Acta Sei. Math. (Szeged), 22, No.3-4, 1961, 202-216.

[6] D. Derry, Uber Eine Klasse von Abelischen Gruppen, Proc. London Math. Soc., 43, 1938, 490-506.

[7] A.A. Fomin, Invariants for abelian groups and dual exact sequences, J. of Algebra, 322, 2009, 2544-2565.

[8] A.A. Fomin, W. Wickless, Quotient divisible Abelian groups, Proc. Amer. Math. Soc., 126, 1998, 45-52.

[9] A. A. Fomin, Quotient divisible mixed groups, Contempt. Math., 273, 2001, 117-128.

10] B. Jonsson, On direct decompositions of torsion free abelian groups, Math. Scand., 5, 1957, 230-235; 7, 1959, 361-371.

11] A. G. Kurosch,Primitive torsions freie abelsche Gruppen vom endlichen Range, Ann. Math., 38, No. 1, 1937, 175-203.

12] С. E. Murley, The classification of certain classes of torsion free abelian groups, Pasific J. Math., 40, No.3, 1972, 647-665.

13] R. B. Warfield,Jr., Homomorphisms and duality for torsion-free groups, Math. Z., 107, 1968, 189-200.

14] О. И. Давыдова, Факторно делимые абелевы группы ранга 1, Фунд. и прикл. матем., 2007, т. 13, №3, с. 25-33.

15] А. Г. Курош,Теория групп, Москва, 1967.

16] А. И. Мальцев, Абелевы группы конечного ранга без кручения, Матем. сб., 1938, №4, с. 45-68.

17] Л. Фукс, Бесконечные абелевы группы, Т.1, 2. М.: Мир, 1974, 1977.

18] A.A. Фомин, Категория матриц, представляющая две категории абеле-вых групп, Фундаментальная и прикладная математика, 2007, 13 (3), с. 223-244.

Статьи, опубликованные в журналах, которые включены в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций:

1. 10. В. Костромина, Исследование некоторых групп гомоморфизмов абе-левых групп // Математические заметки, 2012, Т. 91, №6, С. 942-945.

2. Ю. В. Костромина, Двойственность Уорфилда и матрицы Мальцева // Фундаментальная и прикладная математика, 2011/2012, Т. 17, № 7, С. 7794.

3. Ю. В. Костромина, Двойственность Арнольда и матрицы Мальцева // Вестник Томского государственного университета, 2012, Т. 18, № 2, С. 23-28.

Статьи в других научных изданиях:

4. Ю. В. Костромина, Группы гомоморфизмов абелевых групп // Математика, информатика, физика и их преподавание,Сборник статей к 75-летию кафедры математического анализа МПГУ, Москва, МПГУ, 2009, С. 94-96.

5. Ю. В. Костромина, Матрицы Мальцева группы, двойственной группе без кручения конечного ранга// Абелевы группы, Материалы Всероссийского симпозиума, посвященного 95-летию Л. Я. Куликова, Бийск, 2010, С. 39-41.

6. Ю. В. Костромина, Строение матриц Мальцева группы Ногп(Я, б) // Математика, информатика и методика их преподавания, Материалы Всероссийской конференции, посвященной 110-летию математического фа, культета, Москва, МПГУ, 2011, С. 62-63.

7. Ю. В. Костромина, Матрицы Мальцева группы, двойственной факторно делимой группе// Абелевы группы, Материалы Всероссийского симпозиума, Бийск, 2012, С. 32-35.

Тираж 100. Заказ 1128. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40. Тел. 533018.

Московский педагогический государственный университет

КОСТРОМИНА Юлия Владимировна Матрицы Мальцева двойственных групп

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

04201455498

На правах рукописи

Научный руководитель

доктор физико-математических наук,

профессор А. А. Фомин

Москва - 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 3

Обозначения и некоторые определения 16

Глава 1. Матрицы Мальцева 22

§ 1. Описание Мальцева групп без кручения конечного ранга .. 22

§ 2. Ортогональные модули ............................................................................32

§ 3. Матрицы Мальцева локально свободных групп ..........................33

§ 4. Матрицы Мальцева факторно делимых групп ............................35

Глава 2. Двойственность Уорфилда и матрицы Мальцева 38

§ 5. Матрицы Мальцева группы Нот (Я, С) ..........................................38

§ 6. Матрицы Мальцева группы Нот((7, Я) ..........................................42

Глава 3. Двойственность Арнольда и матрицы Мальцева 57

§ 7. Матрицы Мальцева группы

двойственной факторно делимой группе ........................................57

Список литературы 67

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Начальный этап систематического изучения бесконечных абелевых групп пришелся на 20-30-е годы XX века и был связан главным образом с периодическими абелевыми группами. Уже к середине 30-х годов была получена полная классификация счетных примарных абелевых групп, основанная на результатах Прюфера [20], Ульма [23] и Цыпи-на [25]. Во второй половине 30-х годов были также заложены основы для изучения абелевых групп без кручения. Бэр [4] на языке типов дал описание групп без кручения ранга 1, а А. Г. Курош [17], А. И. Мальцев [33] и Д. Дерри [7] с помощью матриц с р-адическими элементами получили важное с теоретической точки зрения описание групп без кручения конечного ранга.

В 40-50-е годы произошло выделение теории абелевых групп из общей теории групп в самостоятельное направление алгебры. Большая заслуга в этом принадлежит Л. Я. Куликову, особенно следует отметить его знаменитую работу «К теории абелевых групп произвольной мощности» [31].

В 60-70-е годы теория абелевых групп достигла пика своего развития. Особенно бурно в это время развивались два ее направления: примарные группы и группы без кручения (преимущественно конечного ранга). Рост

интереса к теории абелевых групп был обусловлен в том числе и выходом монографий Капланского [16], Фукса [40] и Гриффита [8], в которых освещались последние ее достижения. О высоких темпах развития теории абелевых групп в это время говорит и тот факт, что, задумав второе издание своей книги, Фукс написал совершенно новую двухтомную монографию [40].

В последующие годы интерес к примарным группам постепенно снизился, уровень же внимания к группам без кручения и в настоящее время остается стабильно высоким. Во многом это объясняется особенностями прямых разложений групп без кручения. Так, например, существование «аномальных» прямых разложений, открытых Йонссоном [15], вызвало несколько новых направлений дальнейших исследований. Во-первых, это само изучение таких аномальных прямых разложений (особенно значительных результатов здесь достигли Корнер, Е. А. Благовещенская и A.B. Яковлев [26], [41]), во-вторых — изучение почти вполне разложимых групп (бурное развитие данного направления отражено в монографии Мадера [18]), и в третьих — исследование групп без кручения конечного ранга с точностью до квазиизоморфизма.

Бьюмонт и Пирс [5] и Рейд [21] уточнили понятие квазиизоморфизма и ввели несколько схожих новых. Понятие квазиизоморфизма не сыграло заметной роли в решении структурной проблемы для групп без кручения конечного ранга. Тем не менее комплекс идей и понятий, связанных с ним, оказались очень полезными при изучении различных классов абеле-

вых групп и их колец эндоморфизмов. Например, в своих статьях [12], [39] А. А. Фомин получил описание с точностью до квазиизоморфизма некоторых весьма широких классов групп без кручения конечного ранга. Это описание включает известную характеризацию Бьмонта и Пирса групп без кручения ранга 2.

В литературе 70-х годов отмечалось, что трудность в исследовании групп без кручения в малочисленности используемых методов. Лучше обстоит дело с группами конечного ранга. Несколько новых идей, возникших в 70-х годах, оказались довольно удачными и вызвали бурное развитие теории групп без кручения конечного ранга [3]. Результаты Бьюмонта и Пирса, Рейда, связанные с понятием квазиизоморфизма, приобрели новое значение.

Также Р. Пирсом были получены основные результаты относительно групп гомоморфизмов. Тот факт, что множество всех гомоморфизмов абе-левой группы А в абелеву группу В образует абелеву группу Нот(Д.В), оказался исключительно важным. В последнее время тематика, связанная с группой Ногп(Л, В) и вообще с гомоморфизмами абелевых групп, приобретает все большую актуальность. Это связано с многочисленными приложениями этих вопросов в смежных областях, а именно, при решении задач в теории групп и модулей. Список работ [13], [14], [22], [24], [27]—[30], [34]—[36], посвященный изучению групп гомоморфизмов абелевых групп и их свойств, далеко не полный.

В 1961 г. в совместных работах Р. Бьюмонта и Р. Пирса [5] были описаны

два класса абелевых групп без кручения конечного ранга с точностью до квазиизоморфизма, это класс факторно делимых групп и класс групп без кручения ранга 2. И тот и другой классы были описаны при помощи новых инвариантов, которые для разных классов никак не связаны между собой. На основе описания факторно делимых групп был получен ряд хороших результатов, из которых наиболее интересными на наш взгляд являются работы [2], [6], [10], [11], [19], [28]. Но особенно большой резонанс имело описание групп ранга 2. Число публикаций по этой теме составляет ни один десяток статей. Увеличить ранг на единицу, т. е. построить инварианты в духе Бьюмонта-Пирса, описывающие с точностью до квазиизоморфизма группы без кручения ранга 3. удалось только в 1989 г. А. А. Фомину [38]. После чего им была получена и общая теорема для произвольного конечного ранга [12].

В настоящее время все активнее идет изучение абелевых групп с использованием языка категорий. Р. Уорфилд работал с категорией локально свободных групп с гомоморфизмами в качестве морфизмов. Д. Арнольд изучал категории факторно делимых групп с квазиизоморфизмами в качестве морфизмов.

Как уже отмечалось выше абелевы группы без кручения конечного ранга были описаны А. Г. Курошем, Д. Дерри и А. И. Мальцевым в конце 30-х годов XX века. Описание Куроша-Дерри, вошедшее в монографии [32] и [40], получило широкую известность. Однако во многих ситуациях описание Мальцева оказывается более удобным. Недавно А. А. Фомин [9] по-

казал, что описание Мальцева можно рассматривать как двойственность некоторых категорий.

В данной работе с использованием описания Мальцева исследуется двойственность Уорфилда для локально свободных групп и двойственность Арнольда для факторно делимых групп.

Локально свободные группы рассматривались Р. Уорфилдом в [24] в связи с изучением абелевых групп без кручения и их групп гомоморфизмов. В данной работе решается задача нахождения матриц Мальцева группы, двойственной локально свободной группе в смысле Уорфилда. Также решается задача нахождения матриц Мальцева группы, двойственной факторно делимой группе в смысле Арнольда. Другими словами, перевода двойственности Уорфилда и двойственности Арнольда на язык матриц Мальцева. В 2007 г. в [37] А. А. Фомин ввел категорию матриц специального вида и доказал, что она эквивалентна категории факторно делимых групп и двойственна категории групп без кручения. А. А. Фомин матрицы данной категории называл редуцированными матрицами. Заметим, что это фактически те матрицы, которые А. И. Мальцев называл совершенными, а функторы двойственности категории матриц и категории групп без кручения можно рассматривать как новую версию описания Мальцева [33].

Цель работы. Целью диссертационной работы является переосмысление результатов Мальцева в контексте современного уровня развития теории абелевых групп без кручения конечного ранга и перевод на язык матриц Мальцева двойственности Уорфилда для локально свободных групп и

двойственности Арнольда для факторно делимых групп.

Новизна работы. Все основные результаты работы являются новыми. Главными результатами диссертации являются следующие.

1. Описано строение матриц Мальцева локально свободных групп и строение матриц Мальцева факторно делимых групп.

2. Найдены соотношения между матрицами Мальцева группы без кручения конечного ранга и матрицами Мальцева групп Нот(Д, С) и Нот(С, Я), где С — локально свободная группа, Я — группа без кручения ранга 1.

3. Найдены соотношения между матрицами Мальцева факторно делимой группы и матрицами Мальцева двойственной ей группы в смысле Арнольда.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях по теории абелевых групп и модулей, а также при чтении спецкурсов для студентов старших курсов и аспирантов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на научно-методической конференции Рязанского военного автомобильного института (Рязань, 2009), на Всероссийском симпозиуме "Абе-левы группы" (Бийск, 2010), на Всероссийской конференции посвященной 110-летию математического факультета "Математика, информатика и методика их преподавания" (Москва, 2011), на 5-ом Всероссийском симпозиуме "Абелевы группы" (Бийск, 2012), а также на научно-исследовательском

семинаре кафедры алгебры МПГУ. По теме диссертации опубликовано 7 работ ([42]—[48]).

Структура и объем работы. Представляемая диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, трех глав, разделенных на 7 параграфов, и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 72 страницы. Список литературы содержит 48 наименований.

Содержание работы. В первой главе диссертации рассматривается описание Мальцева групп без кручения конечного ранга. В первом параграфе приводится строение и основные свойства матриц Мальцева. Во втором параграфе вводится определение ортогонального дополнения модуля и рассматриваются его свойства. В третьем параграфе исследуется строение матриц Мальцева локально свободных групп. В четвертом параграфе — строение матриц Мальцева факторно делимых групп.

Во второй главе диссертационного исследования получено описание двойственности Уорфилда на языке матриц Мальцева. В четвертом параграфе найдены соотношения между матрицами Мальцева группы без кручения С конечного ранга и матрицами Мальцева группы Нот(Я, С), где С — локально свободная группа, Я — группа без кручения ранга 1. Главным результатом четвертого параграфа является следующая теорема.

Теорема 4.3. Пусть х — скаг( 1д); где И — группа без кручения ранга!. С — локально свободная группа с базисом х\} х'2, хг, относительно которого она определена набором р-матриц Мальцева по всем простым числам р:

/т ^

0 I

(р)\

п1г -(р)

П2г

и набором подстановок

О

1 2

Лр) Лр) ч Н

е £ (р)

р 1

Е г ы

р2

1 / е й аы

. Если х ^ базис

М

Оу

Х\,Х2, ...,хг принадлежит группе = {х е с | сНаг(х) ^ х} и группа определяется относительно этого базиса следующим набором р-матриц Мальцева:

О Т

*т(р)\

п

1 г

-(р) 2г

о

е ъ

£ ^ „м

р '

1 / е ъ о(Р)_4

г/ гае,м э/се набором подстановок

Ар) Лр)

г

Лр)

иу

понента характеристики х 6 группе Я.

, где з — р-тая ком-

В пятом параграфе найдены соотношения между матрицами Мальцева группы без кручения конечного ранга С и матрицами Мальцева группы Нот(С, К), где С — локально свободная группа, Я — группа без кручения ранга 1. Основной результат данного параграфа также сформулирован на языке ортогональных дополнений. Главными результатами пятого параграфа являются следующие теоремы.

Пусть А£

(\х ... О

р-матрица й-го слоя группы

у6Г1 ... 6ггу

Обозначим через В1, В2,..., Вг — столбцы матрицы А3. Через Р^ будем

обозначать класс вычетов, представителем которого является элемент 6,

г.]

для всех г — 1, г, у = 1, г.

Теорема 6.3. Пусть С — локально свободная группа с фиксированным базисом хх, хг,..., хг, Я — группа без кручения ранга 1 такая, что Ьуре{Я) ^ ОТ (О) и бесконечности у данных типов на одинаковых местах. И пусть С* = Нот(С, Я) — группа, двойственная группе (7, с дуальным базисом ..., х*. который определяется следующим образом:

х*{х^) = 0, если г ^

х*(хг) = 1.

Пусть С1, С2,..., сг — целые числа, являющиеся представителями классов вычетов 7ь 72, 7г по модулю рв. Тогда

С1х1 + С2Х*2 + ...+СгХ; еС* ^ в1 + ъВ2 + ___ + ъВг = 0 е колъ_ рв

це Ъгг.

Теорема 6.4. Пусть т = [(тр)] некоторый тип, Я — группа ранга 1 типа т такая, что характеристика единицы равна (тр). С? — локально свободная группа класса Ш1г, £1,Х2, ...,хг — базис группы С, для которого (ск^) ^ (тр). Тогда р171?-модули двойственной в смысле Уорфилда группы Нот(С, Я) относительно дуального базиса х\.х\, ...,х* являются ортогональными дополнениями ртр -модулей группы С относительно базиса

Х\, Х2, •••, хг для всех простых чисел р с тр < оо.

Теорема 6.5. Пусть С — локально свободная группа ранга г с базисом Х\,Х2,...,хг, относительно которого она определена набором р-матриц Мальцева по всем простым числам р:

га 1, заданная типом Бэра. И пусть Нот(С, Я) — группа, двойственная группе С в смысле Уорфилда. такая что Ьуре(Я) ^ ОТ(С) и бесконечности у данных типов па одинаковых местах. Через в обозначим р-тую компоненту характеристики единицы в группе Я. Тогда группа Нот(С?, Я) определяется следующим набором р-матриц Малышева:

(Т ... п^А € Ъ^

О Т ... пЙ? €

\о о ... 1 / е ъ

и набором подстановок

, Я — группа без кручения ран

О О

у о о

и набором подстановок

Зк,к = 1

в к,к-1 — Пк-1,к (через щ3 будем обозначать разность рХ] Хг — щ3),

Як,к-2 = Пк-2,к — Пк-2,к-1$к,к-Ъ

Як,к-3 = Т1к—3,к ~ Пк-3,к-23к,к-2 ~ Т1к-ЗЛ-18к,к-1,

вк,к-1 ~ Пи-г,к ~ ^к—г,к—1+1 Зк,к—г+1 ~ П>к~1,к-1+28к,к-1+2 ~ ■■■ ~ "^к-1,к-\8к,к—1-

В третьей главе диссертационного исследования получено описание двойственности Арнольда на языке матриц Мальцева. В седьмом параграфе найдены соотношения между матрицами Мальцева факторно делимой группы и матрицами Мальцева двойственной ей группы в смысле Д. Арнольда. Основной результат данного параграфа также сформулирован на языке ортогональных дополнений. Главными результатами седьмого параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 7.1. Пусть (7 — факторно делимая группа ранга г с базисом х\, Х2, •••, хг, относительно которого она определена набором р-матриц Мальцева по всем простым числам р:

(

1 0 ... О «<? ... аМ е Z> О 1 ... О а<? ...

АЪ)

о о ... О О о

о о ... о о о

о е ъх.

уо о ... о о о

о у е ъ

и набором подстановок

» »

г

Лр)

ьт

. И пусть С* — группа двой-

ственная группе С в смысле Арнольда, тогда группа С* определяется следующим набором р-матриц Мальцева:

(г о .. 0 1 .. . 0 . 0 (р) (р) а12 (р) -а 21 •• (р) а22 (р)\ ■ ~ат1 (р) ат2 е е 2

а *(р) _ 0 0.. 0 0.. . 1 . 0 (р) ~а\п 0 (р) -«2п -0 (р) О^тп 0 е е 2К1

0 0.. . 0 0 0 0 е

^0 0 .. . 0 0 0 . 0 ) е гьт

набором подстановок (■ 2 Лр) -у

"г-1

Теорема 7.3. Пусть С — факторно делимая группа, £1, хг,..., хг — базис факторно делимой группы С. Тогда р-адические модули двойственной в смысле Арнольда группы С* относительно дуального базиса х\, ...,х* являются ортогональными дополнениями р-адических модулей группы С относительно базиса Х\,Х2,..., хг.

Таким образом из приведенных выше результатов видно, что матрицы взаимодвойственных по Арнольду факторно делимых групп связаны наиболее просто, а именно, их матрицы Мальцева фактически переходят друг в друга при транспонировании. Связь же матриц Мальцева локаль-

но свободных групп менее наглядная. В случае эквивалентных групп мы получаем матрицу с такими же коэффициентами, но с изменением типа Ричмена группы. Случай двойственных групп по Уорфилду оказывается самым трудоемким, матрица Мальцева двойственной группы вычисляется при помощи громоздких реккурентных соотношений.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

N — множество натуральных чисел

Р — множество всех простых чисел

Ъ — кольцо (группа) целых чисел

<0) — поле (группа) рациональных чисел

— кольцо (группа) всех рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с р

Ът — кольцо (группа) классов вычетов по модулю т

Zpoo — квазициклическая группа

— кольцо (группа) целых р-адических чисел <0>р — поле (группа) р-адических чисел

Нош(Л, В) — группа гомоморфизмов из группы А в группу В

А® В — тензорное произведение групп А и В

А 0 В, ф Аг — прямая сумма групп (модулей)

ге1

\\Аг — прямое произведение групп (модулей) ге/

Ап — прямая сумма п копий группы (модуля) А

г (А) — ранг (без кручения) группы А

гр(А) — р-ранг группы А

сНгпр V — размерность ^-пространства V

— р-высота элемента а

— характеристика элемента а

периодическая часть группы А р-примарная часть группы Ь(А) подгруппа, порожденная множеством М подгруппа, сервантно порожденная множеством М

порядок элемента а

Так как все группы, рассматриваемые в настоящей работе, являются абелевыми, то в словосочет�