Факторно делимые группы ранга 1 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

003494623

Давыдова Ольга Ивановна

Факторно делимые группы ранга 1

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2010

2 5 МД?

003494623

Работа выполнена на кафедре алгебры математического факультета Московского педагогического государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ФОМИН Александр Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор БЛАГОВЕЩЕНСКАЯ Екатерина Анатольевна

кандидат физико-математических наук, доцент МАНОВЦЕВ Андрей Анатольевич

Ведущая организация:

ГОУ ВПО «Томский государственный университет»

Защита состоится 5 апреля 2010 года в 17 часов на заседании диссертационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, ауд. 108.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, г. Москва, ул. М. Пироговсая, д. 1.

Автореферат разослан ¿м/ъык 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

О. В. Муравьева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Впервые факторно делимые группы без кручения были введены в 1961 г. Р. Бьюмонтом и Р. Пирсом [4]. В 90-е годы интенсивно изучался класс смешанных групп, называемый Q. Этот класс был введен в 1994 г. С. Глаз и У. Уиклессом [12] и ему посвящено значительное количество работ. Как обобщение факторно делимых групп без кручения и групп из класса Q в 1998 г. A.A. Фомин и У. Уиклесс в работе [8] определили смешанные факторно делимые группы и доказали, что категории смешанных факторно делимых групп и групп без кручения конечного ранга с квазигомоморфизмами в качестве морфизмов двойственны.

Категорная двойственность Уиклесса-Фомина полезна для изучения как смешанных факторно делимых групп, так и групп без кручения конечного ранга. Это прейде всего относится к свойствам, сохраняющимся при квазиизоморфизмах. Знания о группах без кручения конечного ранга и двойственность Уиклесса-Фомина позволяют прогнозировать свойства смешанных факторно делимых групп. Класс смешанных факторно делимых групп к настоящему времени мало изучен. Список работ, посвященных этому классу [1], [2], [8], [10], [И], [13], [14], [15], [16], близок к полному.

В группах без кручения конечного ранга важную роль играют группы ранга 1. В 1937 г. Р. Бэр в работе [3] дал полное описание групп без кручения ранга 1. Две группы без кручения ранга 1 изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же тип, каждый тип реализуется в качестве типа группы без кручения ранга 1. Любой метод изучения групп без кручения опирается на понятие типа. Учитывая, что двойственность Уиклесса-Фомина сохраняет ранг без кручения, изучение смешанных факторно делимых групп также должно основываться на смешанных факторно делимых группах ранга 1. Именно этому классу и посвящена данная диссертационная работа.

Цель работы. Основной целью диссертации является описание смешан-

ных факторно делимых групп ранга 1 на языке характеристик.

Общая методика исследования. Исследование базируется на общих методах теории абелевых групп.

Основные результаты работы. Все основные результаты работы являются новыми. Главными результатами диссертации являются следующие.

1. Доказано, что две смешанные факторно делимые группы ранга 1 изоморфны, тогда и только тогда, когда их кохарактеристики равны.

2. Доказано, что каждая характеристика реализуется в качестве кохарактеристики смешанной факторно делимой группы ранга 1.

3. Описано тензорное произведение смешанных факторно делимых групп ранга 1.

4. Описаны группы гомоморфизмов и эндоморфизмов для смешанных факторно делимых групп ранга 1.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях по теории абелевых групп и модулей, а также при чтении спецкурсов для студентов старших курсов и аспирантов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались автором на конференции молодых ученых ММФ МГУ (Москва, 2006), на конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В.Е. Воскресенского (Самара, 2007), а также на алгебраических семинарах кафедры высшей алгебры МГУ и кафедры алгебры МПГУ.

Также результаты диссертации обсуждались на Всероссийском симпозиуме по абелевым группам (Бийск, 2006), на Международной конференции по абелевым группам (Storrs, CT, USA, 2007), на 18 алгебраическом коллоквиуме стран Латинской Америки (Medellin, Columbia, 2007), на Международной конференции по абелевым группам (Colorado Springs, СО, USA, 2008) и на 4-м Международном семинаре «Универсальная алгебра, теория чисел и их

приложения» (Волгоград, 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах, одна из которых опубликована в журнале, рекомендованном ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 65 страницах и состоит из введения, двух глав, разделенных на 7 параграфов, и списка литературы, включающего 37 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается обзор результатов, обосновывающих актуальность исследования, и краткая характеристика работы.

В первой главе диссертации приводятся основные свойства факторно делимых групп.

Под группой всюду подразумевается абелева группа, записанная аддитивно. Рангом (без кручения) называется мощность максимальной линейно независимой системы элементов группы. Размерность группы А/рА, рассматриваемой в качестве векторного пространства над полем Zp, называется р-рангом группы А и обозначается гр(А). Для произвольного непустого подмножества 5 группы М определим сервантную оболочку множества 5 в группе М, как группу (5),, состоящая из всех элементов х 6 М таких, что пх лежит в линейной оболочке (5) для некоторого целого ненулевого п. В частности, сервантная оболочка (5), содержит все периодические элементы группы М. Через ¿(Л) и 1Р(А) обозначаются периодическая часть группы Л и ее р-примарная компонента соответственно. N — множество натуральных чисел, Р = {р1, рг, • • • I Рп, •••}"" множество всех простых чисел, <0> — поле рациональных чисел. Через Ъ и Ър обозначаются кольца целых и целых р-адических чисел соответственно. Квазигомоморфизмами из группы Л в группу В называются элементы множества (¡2 ® Нот(Л, В). Обратимые квазигомоморфизмы называются квазиизоморфизмами.

Параграф 1 является вводным. В нем рассматриваются некоторые факты о р-базисных подгруппах, необходимые для изучения свойств факторно делимых групп. В параграфе 2 приводятся теоремы, которые используются для доказательства основных результатов.

Определение 2.1. Группа А называется факторно делимой, если она не содержит ненулевых периодических делимых подгрупп, но содержит такую свободную подгруппу ^ конечного ранга, что А/Р — периодическая делимая группа.

Линейно независимую систему элементов X = {хг,... ,хп}, порождающую группу .Г будем называть базисом факторно делимой группы А, а ранг группы F — рангом факторно делимой группы А.

Теорема 2.2. [10] Пусть А — факторно делимая группа ранга п. Тогда

1) гр{А) ^ п для каждого простого числа р;

2) р-примарная компонента tp(A) периодической части группы А — конечная группа (Гр(1р(Л)) ^ гр(А)) и выделяется прямым слагаемым в А, то есть, А — ^(А) © А'р, где группа А'р не имеет элементов порядка р для каждого простого числа р;

3) Периодическая подгруппа (.(А) группы А изоморфно отображается в периодическую часть группы А при Ъ-адическом пополнении ц : А —> А,

Теорема 2.3. [10] Первая ульмовская подгруппа факторно делимой группы является делимой группой без кручения или равна 0.

Теорема 2.4. Если А — факторно делимая группа иТ — периодическая подгруппа группы А, то А/Т является факторно делимой группой.

Теорема 2.6. Пусть А = А) (В А'р - факторно делимая группа с базисом XI,..., хп и отображение жр: А —> ¿Р(А) — проекция. Тогда ¿Р(Л) = {пр(х1),...,лр{х„)).

Теорема 2.7. Факторно делимая группа А расщепляется, то есть, А = t{A)@B, тогда и только тогда когда, периодическая частьt(A) группы А конечна.

Вторая глава диссертации является основной. Она посвящена описанию факторно делимых групп ранга 1. В параграфе 3 приведено описание Р. Бэра групп без кручения ранга 1 с помощью типов. В параграфе 4 введено понятие кохарактеристики и котипа элемента и рассмотрены основные свойства кохарактеристик и котипов.

Определение 4.1. Для элемента а из группы А и простого числа р определим тр как наименьшее целое неотрицательное число такое, что элемент ртра делится на любую степень числа р в группе А. Если такого числа не существует, полагаем 7Пр — оо. Характеристика (тПр1,7Пр2,... ,тпрп,.. .) называется кохарактеристикой элемента а в группе А и обозначается cochar(a). Тип, содержащий характеристику (тр), называется котипом элемента а и обозначается cotype(a).

Под конъюнкцией и дизъюнкцией двух произвольных кохарактеристик Xi = (тр) и Х2 = (kp) будем понимать

Xi Л Х2 = (min{mp, kp}) и Xi V Хг = (max{mp, kp}).

Следующие свойства кохарактеристик и котипов элементов следуют очевидным образом из определения:

1. cochar(-a) = cochar(a) для всех элементов а из группы А.

2. Пусть cochar(a) = (тр). Если mPi = 0, то cochar(p¡a) = cochar(a), иначе cocharfaa) = (mPl, mV2, ..., mp¡ — l,mPj+i, ...) (мы полагаем оо — 1 = оо).

3. cochar(b + с) < cochar(b) V cochar(c) для любых b, с € А.

4. Для всякого гомоморфизма f: А В и любого а € А имеет место неравенство соскагл(а) ^ соскагв(/(а)).

5. Если mb = пс для ненулевых целых тип, го cotype(b) = cotype(c).

6. cotype(b + с) ^ cotype(b) V cotype(c) для любых b, с е А.

7. Для всякого гомоморфизма /: А —> В и любого а 6 /1 имеет место неравенство cotype(a) ^ cotype(f (а)).

Теорема 4.1. Пусть А — факторно делимая группа ранга 1 с базисом х. Если простое число р делит элемент х, то группа А является р-делимой.

Теорема 4.2. Пусть А — факторно делимая группа ранга 1 с базисом х и cochar{x) = (mp). Тогда для любого простого числа р такого, что О < тпр < оо выполняется

1) р-примарная компонента tp(А) периодической части группы А является циклической группой порядка р™?;

2) В прямом разложении А — tp(A) © А'р группа А'р является р-делимой без р-кручения и А'р = рт"+3А для любого целого неотрицательного числа s;

3) Подгруппа А'р из условия 2) является факторно делимой группой и определена однозначно.

Для факторно делимой группы А ранга 1 с базисным элементом х и cochar(x) = (тр) имеет место разложение

Л = гР1(Л) ® • - ■ 0 tPn(A) © А',

где pi, P'¡, ..., рп — такие простые числа, что mPi < оо для базисного элемента а: и Л' является ^¡-делимой без р;-кручения факторно делимой группой ранга 1 для каждого г = 1, 2, ..., п.

Кохарактеристика любого элемента факторно делимой группы ранга 1 не превосходит кохарактеристику ее любого базисного элемента. В частности, кохарактеристики двух произвольных базисных элементов факторно делимой группы ранга 1 совпадают.

Определение 4.2. Кохарактеристикой факторно делимой группы А ранга 1 будем называть кохарактеристику любого ее базисного элемента и обозначать cochar(A).

Произвольной характеристике х можно поставить в соответствие множество всех элементов а 6 А, кохарактеристики которых удовлетворяют неравенству cochar(a) ^ х- Множество А(х) является вполне характеристической подгруппой группы А.

Теорема 4.5. Пусть А — факторно делимая группа ранга 1. Если характеристики cochar(A) и х удовлетворяют неравенству [х] ^ [cochar(A)}, то А(х) является факторно делимой подгруппой группы А, причем

cochar(A(x)) = cochar(A) Л х-

В заключении параграфа исследуется тензорное произведение факторно делимых групп ранга 1.

Теорема 4.6. Если АиВ — факторно делимые группы ранга 1, то группа А® В — факторно делимая ранга 1, причем

cochar(A ®В)— cochar(A) Л cochar(B).

В параграфе 5 решен вопрос о существовании гомоморфизма из факторно делимой группы ранга 1 в произвольную факторно делимую группу.

Теорема 5.2. Пусть А — факторно делимая группа ранга 1 с базисным элементом х, В — произвольная факторно делимая группа и у € В. Если сосНога(х) ^ соскагв{у), то существует единственный такой гомоморфизм f:A-+B, что f(x) = у.

Интерес представляет следующее следствие.

Следствие 5.4. Факторно делимая группа А ранга 1 изоморфна своей группе эндоморфизмов.

Таким образом, любая факторно делимая группа ранга 1 допускает структуру кольца с нетривиальным умножением. Этим свойством факторно дели-

мые группы ранга 1 отличаются от групп без кручения ранга 1.

Основным результатом диссертации является теорема 5.5, которая описывает условие изоморфности двух факторно делимых групп ранга 1.

Теорема 5.5. Две факторно делимые группы ранга 1 изоморфны тогда и только тогда, когда их кохарактеристики равны.

С помощью теоремы 5.5. получен следующий результат. Теорема 5.6. Пусть А — факторно делимая группа ранга 1 кохарактеристики х и В — произвольная факторно делимая группа такая, что выполняется cochar(y) < х для любого у Е Б. Тогда Нот (Л, В) = В.

Теорема 5.8. описывает условие квазиизоморфности двух факторно делимых групп ранга 1.

Теорема 5.8. Пусть А и В — факторно делимые группы ранга 1. Тогда следующие условия эквиваленты:

J.) Кохарактеристики групп А и В принадлежат одному типу.

2) Группы А и В различаются конечными прямыми слагаемыми.

3) Группы А и В квазиизоморфны.

В параграфе 6 найден способ построения факторно делимой группы ранга 1 произвольной кохарактеристики.

Пусть х — imp) ~ произвольная характеристика. Для каждого простого числа р возьмем кольцо Кр, где Кр = Z/pm"Z, если 0 < тр < оо или

КР = Ър, если тр — оо. Рассмотрим кольцо Ъх = П Кр. Если характери-

рёР

стика х принадлежит нулевому типу, то определим кольцо Rx = <Q> © Zx. Если характеристика х не принадлежит нулевому типу, то определим кольцо R* = (1), С Zx.

Основным результатом параграфа 6 является следующая теорема. Теорема 6.1. Если А — факторно делимая группа ранга1 кохарактеристики х, то группа А изоморфна аддитивной группе кольца Rx, а ее кольцо

эндоморфизмов Е(А) изоморфно кольцу Rx.

Следствие 6.2. Факторно делимая группа А ранга 1 имеет коммутативное кольцом эндоморфизмов.

В параграфе 7 описаны группы гомоморфизмов факторно делимых групп ранга 1. Основным результатом этого параграфа является следующая теорема.

Теорема 7.1. Пусть Rx и RK — факторно делимые группы ранга 1, X = (тр) и к — (кр).

1) Если неравенство [xj ^ [к] не имеет места, то группа Horn (Rx, RK) периодическая, все р-примарные компоненты которой являются циклическими группами. Если для некоторого простого числа р выполняется кр = 0 или кр = оо, то р-примарпая компонента группы Нот (Rx, RK) равна 0. Если для некоторого простого числа р выполняется 0 < кр < оо, то р-примарпая компонента группы Нот (Rx, RK) имеет порядок pmm(mP>kr).

2) Если выполняется [х] ^ [к],то Нот (RX,RK) = RxAk. В частности, если х ^ я, то Нот (Rx, RK) S RK.

Автор благодарна своему научному руководителю профессору Александру Александровичу Фомину за постановку задачи, постоянное внимание и поддержку, а также Андрею Валерьевичу Цареву за критические замечания и всесторонную помощь.

Список литературы

[1] Albrecht U. F., Wickless W. Finitely generated and cogenerated qd groups // Lecture Notes in Pure and Applied Math., 236, Dekker, NY, 2003, 13-26.

[2] Albrecht U. F., Breaz S., Vinsonhaler C., Wickless W. Cancellation properties for quotient divisible groups //J. Algebra, 70, 2007, 1-11.

[3] Baer R. Abelian groups without elements of finity order // Duke Math. J., 3, 1937, 68-122.

[4] Beaumont R., Pierce R. Torsion free rings // Illinois J. Math., 5,1961, 61-98.

[5] Files S., Wickless W. Direct sums of self-small mixed groups // J. of Algebra, 222, 1999, 1-16.

[6] Fomin A. A., Wickless W. Categories of mixed and torsion free abelian groups // Abelian Groups and Modules. - Boston: Kluwer, 1995, 185-192.

[7] Fomin A. A., Wickless W. Self-small mixed abelian groups G with G/T(G) finite rank divisible // Comm. in Algebra, 26,1998, 3563-3580.

[8] Fomin A. A., Wickless W. Quotient divisible abelian groups // Proc. Amer. Math. Soc., 126, 1998, 45-52.

[9] Fomin A. A. Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers // Abelian Groups and Modules, Trends in Math., Birkhaeuser, Basel, 1999, 87-100.

[10] Fomin A. A. Quotient divisible mixed groups // Contempt. Math., 273, 2001, 117-128.

[11] Fomin A. A. Quotient divisible and almost completely decomposable groups, in the book: Contributions to Module Theory, de Gruyter, 2007,147-167.

[12] Glaz S., Wickless W. Regular and principal projective endomorphism rings of mixed abelian groups // Comm. in Algebra, 22,1994,1553-1565.

[13] Wickless W. Multy-isomorphism for quotient divisible groups // Houston J. Math, 31, 2006, 1-19.

[14] Фомин А. А. Категория матриц, представляющая две категории абеле-вых групп // Фундамен. и приклад, матсм., 2007, Т. 13, №3, С. 223-244.

[15] Царев А. В. Псевдорациональный ранг абелевой группы // Сиб. матем. ж., 2005, Т. 46, № 1, С. 312-325. •

[16] Царев А. В. Модули над кольцом псевдорациональных чисел и факторно делимые группы // Алгебра и анализ, 2006, Т. 18, № 4. С. 198-214.

Результаты диссертации опубликованы в следующих статьях

1. Давыдова О. И. Факторно делимые абелевы группы ранга 1 // Фундамен. и приклад, матем., 2007, Т. 13, № 3, С. 25-33.-0,5 п.л. (Бюллетень Высшей аттестационной комиссии Министерства образования РФ, №4, 2005 г.)

2. Давыдова О. И. Факторно делимые группы ранга 1 // Абелевы группы, Материалы Всероссийского симпозиума (Бийск, 19—25 августа 2006), Бийск: РИО БПГУ, 2006, С. 20-21.-0.12 п.л.

3. Давыдова О. И. Прямые суммы факторно делимые группы ранга 1 //Международная конференция по алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В.Е. Воскресенского, Самара (21—25 мая 2007.)— Самара: Изд-во Универс групп, 2007.- С. 17-18.-0.12 п.л.

Подп. к печ. 29.01.2010 Объем 1 п.л. Заказ №24 Тир 100 экз. Типография МПГУ

Введение

Обозначения и некоторые определения

Глава 1. Факторно делимые группы

§ 1. р-базисные подгруппы

§ 2. Основные свойства факторно делимых групп

Глава 2. Группы ранга

§ 3. Описание Бэра групп без кручения ранга

§ 4. Основные свойства и примеры факторно делимых групп ранга

§ 5. Описание факторно делимых групп ранга

§ 6. Построение факторно делимой группы ранга произвольной кохарактеристики

§ 7. Гомоморфизмы факторно делимых групп ранга

Актуальность темы. Аболевы группы составляют один из важнейший класс групп. Теория абелевых групп тесно связана с теориями модулей, колец, множеств, категорий и чисел. Первые работы по абелевым группам относятся к 1917-1925 гг. и принадлежат Ф.Леви и X. Прюферу. В середине 30-х годов была получена полная классификация счетных примарных абелевых групп, основанная на результатах X. Прюфера [21], Х.Ульма [22] и Л. Цыпина [24]. В конце 30-х годов Р. Бэр [3] на языке типов дал описание групп без кручения ранга 1, а А. Г. Курош [20]. А. И. Мальцев [29] и Д. Дерри [6] с помощью матриц с р-адическими элементами получили важное с теоретической точки зрения описание групп без кручения конечного ранга.

В 40-50-е годы произошло выделение абелевых групп из обтцей теории групп в самостоятельное направление алгебры. Большая заслуга в этом принадлежит Л. Я. Куликову, особенно следует отметить его знаменитую работу «К теории абелевых групп произвольной мощности» [30].

В 60-70-е годы теория абелевых групп достигла пика своего развития. В это время развивались два ее направления: примарные группы и группы без кручения. Рост интереса к теории абелевых групп был обусловлен, в том числе, и выходом монографий И. Капланского [19], Л. Фукса [14] и П.Гриффита [16], в которых освещались последние ее достижения. О высоких темпах развития теории абелевых групп в это время говорит и тот факт, что, задумав второе издание своей книги [14], JI. Фукс написал в 1970 и 1974 гг. совершенно новую двухтомную монографию [34].

В последующие годы интерес к примариым группам постепенно снизился, уровень же внимания к группам без кручения и в настоящее время остается стабильно высоким. Во многом это объясняется особенностями прямых разложений групп без кручения. Так, например, существование «аномальных» прямых разложений, открытых Б. Йонссоном [17], вызвало несколько новых направлений дальнейших исследований. Во-первых — это само изучение таких аномальных прямых разложений (особенно значительных результатов здесь достигли А. Корнер [5], Е. А. Благовещенская и А. В. Яковлев [25], [37]), во-вторых — изучение почти вполне разложимых групп (развитие данного направления отражено в монографии А. Мадера [18]), и в третьих — исследование групп без кручения конечного ранга с точностью до квазиизоморфизма.

Факторно делимые группы без кручения были введены в 1961 г. Р. Бью-монтом и Р. Пирсом [4]. В 90-е годы интенсивно изучался класс смешанных групп, называемый Q. Этот класс был введен в 1994 г. С. Глаз и У. Уи-клессом [15] и ему посвящено значительное количество работ. Как обобщение факторно делимых групп без кручения и групп из класса Q в 1998 г. A.A. Фомин и У. Уиклесс в работе [10] определили смешанные факторно делимые группы и доказали, что категории смешанных факторно делимых групп и групп без кручения конечного ранга, с квазигомоморфизмами в качестве морфизмов, двойственны. Катсгорная двойственность Уиклесса-Фомина полезна для изучения как смешанных факторно делимых групп, так и групп без кручения конечного ранга. Это прежде всего относится к свойствам, сохраняющимся при квазиизоморфизмах. Знания о группах без кручения конечного ранга и двойственность Уиклесса,- Фомина позволяют прогнозировать свойства факторно делимых групп. Класс смешанных факторно делимых групп к настоящему времени мало изучен. Список работ, посвященных этому классу [1], [2], [10], [12], [13], [23], [33], [35], [36], близок к полному.

В группах без кручения конечного ранга важную роль играют группы ранга 1. В 1937 г. Р. Бэр в работе [3] дал полное описание групп без кручения ранга 1. Две группы без кручения ранга 1 изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же тип, каждый тип реализуется в качестве тина группы без кручения ранга 1. Любой метод изучения групп без кручения опирается на понятие типа. Учитывая, что двойственность Уиклесса-Фомина сохраняет ранг без кручения, изучение смешанных факторно делимых групп также должно основываться па смешанных факторно делимых группах ранга 1. Именно этому классу и посвящена данная диссертационная работа.

Цель работы. Целыо диссертационной работы является описание факторно делимых групп ранга 1 на языке характеристик.

Новизна работы. Все основные результаты работы являются новыми. Главными результатами диссертации являются следующие.

1. Доказано, что две факторно делимые группы ранга 1 изоморфны, тогда и только тогда, когда их кохарактсристики равны.

2. Доказано, что каждая характеристика реализуется в качестве кохарак-теристики факторно делимой группы ранга 1.

3. Описано тензорное произведение факторно делимых групп ранга 1.

4. Описаны группы гомоморфизмов и эндоморфизмов для факторно делимых групп ранга 1.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях по теории абелевых групп и модулей, а также при чтении спецкурсов для студентов старших курсов и аспирантов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались автором иа конференции молодых ученых ММФ МГУ (Москва, 2006), на конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В.Е. Воскресенского (Самара, 2007), а также на алгебраических семинарах кафедры высшей алгебры МГУ им. М.В. Ломоносова и кафедры алгебры МПГУ.

Также результаты диссертационной работы обсуждались на Всероссийском симпозиуме по абелевым группам (Бийск, 2006), па Международной конференции по абелевым группам (Storrs, CT, USA, 2007), иа 18 алгебраическом коллоквиуме стран Латинской Америки (Medellin, Columbia, 2007), на Международной конференции по абелевым группам (Colorado Springs, СО, USA, 2008) и па 4-м Международном семинаре «Универсальная алгебра, теория чисел и их приложения» (Волгоград, 2009).

Структура и объем работы. Представляемая диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, двух глав, разделенных на 7 параграфов, и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 65 страниц. Список литературы содержит 37 наименований.

1. Albrecht U. F., Wickless W. Finitely generated and cogenerated qd groups // Lecture Notes in Pure and Applied Math., 236, Dekker, NY, 2003, 13-26.

2. Albrecht U. F., Breaz S., Vinsonhaler C., Wickless W. Cancellation properties for quotient divisible groups //J. Algebra, 70, 2007, 1-11.

3. Baer R. Abelian groups without elements of finity order // Duke Math. J., 3, 1937, 68-122.

4. Beaumont R., Pierce R. Torsion free rings // Illinois J. Math., 5, 1961, 61-98.

5. Corner A. L. A note on rank and direct decompositions of torsion free abelian groups // Proc. Cambridge Philos. Soc., 57, 1961, 230-233; 66, 1969, 239-240.

6. Derry D. Uber eine Klasse von abelischen Gruppen // Proc. London Math. Soc., 43, 1937, 490-506.

7. Files S., Wickless W. Direct sums of self-small mixed groups // J. of Algebra, 222, 1999, 1-16.

8. Fomin A. A., Wickless W. Categories of mixed and torsion free abelian groups // Abelian Groups and Modules. Boston: Kluwer, 1995, 185-192.

9. Fomin A. A., Wickless W. Self-small mixed abelian groups G with G/T(G) finite rank divisible // Comm. in Algebra, 26, 1998, 3563-3580.

10. Fomin A. A., Wickless W. Quotient divisible abelian groups // Proc. Amer. Math. Soc., 126, 1998, 45-52.

11. Fomin A. A. Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers // Abelian Groups and Modules, Trends in Math., Birkhaeuser, Basel, 1999, 87-100.

12. Fomin A. A. Quotient divisible mixed groups // Contempt. Math., 273, 2001, 117-128.

13. Fomin A. A. Quotient divisible and almost completely decomposable groups, in the book: Contributions to Module Theory, de Gruyter, 2007, 147-167.

14. Fuchs L. Abelian groups, Publ. House of the Hungar. Acad. Sci., Budapest, 1958; Pergamon Press, New York-Oxford-London-Paris, 1960.

15. Glaz S., Wickless W. Regular and principal projective endomorphism rings of mixed abelian groups // Comm. in Algebra, 22, 1994, 1553-1565.

16. Griffith P. A. Infinite Abelian Group Theory // The University of Chicago Press, Chicago-London, 1970.

17. Jonsson В. On direct decompositions of torsion free abelian groups // Math. Scand., 5, 1957, 230-235; 7, 1959, 361-371.

18. Mader A. Almost completely decomposable abelian groups, Gordon and Breach, Algebra, Logic and Applications, Vol. 13, Amsterdam, 2000.

19. Kaplansky I. Infinite Abelian groups, The University of Michigan Press, Ann Arbor, Mich, 1954, 1960.

20. Kurosh A. G. Primitive torsionsfreie abelsche Gruppen vom endlichen Range // Ann. of Math., 38, 1937, 175-203.

21. Prüfer H. Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären Abelschen Gruppen // Math. Ztschr., 17, 1923, 35-61.

22. Ulm H. Zur Theorie der abzählbar-unendlichen Abelschen Gruppen // Math. Ann., 107, No.5, 1933, 774-803.

23. Wickless W. Multy-isomorphism for quotient divisible groups // Houston J. Math., 31, 2006, 1-19.

24. Zippin L. Countable torsion groups // Ann. of Math., 36, No. 1, 1935, 86-99.

25. Благовещенская E.А., Яковлев A.B. Прямые разложения абелевых групп конечного ранга без кручения // Алгебра и анализ, 1989, Т. 1, № 1, С. 111-127.

26. Давыдова О. И. Факторно делимые группы ранга 1 // Абелевы группы, Материалы Всероссийского симпозиума (Бийск, 19—25 августа 2006), Бийск: РИО БПГУ, 2006, С. 20-21.

27. Давыдова О. И. Факторно делимые абелевы группы ранга 1 // Фунда-мен. и приклад, матем., 2007, Т. 13, №3, С. 25-33.

28. Давыдова О. И. Прямые суммы факторно делимые группы ранга 1 //Международная конференция по алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В.Е. Воскресенского, Самара (21—25 мая 2007.)— Самара: Изд-во Упиверс групп, 2007,— С. 17-18.

29. Мальцев А. И. Абелевы группы конечного ранга без кручения // Матем. сб., 1938, Т. 4, С. 45-68.

30. Куликов JI. Я. К теории абелевых групп произвольной мощности // Матем. сб., 1941, № 9, с. 165-182; 1945, № 16, С. 129-162.

31. Курош А. Г. Теория групп, М.: Наука, 1967.

32. Крылов П. А., Михалев А. В. Туганбаев А. А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов, М.: Факториал Пресс, 2006.

33. Фомин А. А. Категория матриц, представляющая две категории абелевых групп // Фундамсн. и приклад, матем., 2007, Т. 13, № 3, С. 223-244.

34. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы, Т. 1, 2. М.: Мир, 1974, 1977.

35. Царев A.B. Псевдорациональный ранг абелевой группы // Сиб. матем. ж., 2005, Т. 46, № 1, С. 312-325.

36. Царев А. В. Модули над кольцом псевдорациональных чисел и факторно делимые группы // Алгебра и анализ, 2006, Т. 18, №4. С. 198-214.

37. Яковлев А. В. Абелевы группы без кручения конечного ранга и их прямые разложения // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР, 1989, Т. 175, С. 135-153.