Вполне характеристические подгруппы абелевых групп и f.i. -корректность тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

стр.

Введение . 2

Некоторые обозначения . . . . 19

ГЛАВА I. L. - корректные примарные абелевы группы

§ I. Гомоморфные оболочки подгрупп абелевых групп и / с. - корректность.21

§ 2. Почти изоморфизм примарных абелевых групп по вполне характеристическим подгруппам.

U. - последовательности.30

§ 3. L. - корректные примарные абелевы группы.46

ГЛАВА П. Вполне характеристические подгруппы абелевых групп без кручения и f.L.- корректность.58

§ 4. Транзитивные абелевы группы без кручения . . 59

§ 5. - группы.70

§ 6. Вполне характеристические подгруппы транзитивно разложимых абелевых групп без кручения.86

§ 7. fit— корректные абелевы группы без кручения.94

ГЛАВА Ш. Почти голоморфно изоморфные абелевы группы

§ 8. Голоморф абелевой группы и его свойства

§ 9. Почти голоморфно изоморфные периодические абелевы группы . III

§ 10. Почти голоморфно изоморфные абелевы группы без кручения.124

Актуальность темы.

Одной из важных задач теории абелевых групп является изучение строения их вполне характеристических подгрупп. Знание свойств вполне характеристических подгрупп абелевой группы существенно помогает как при изучении свойств самой группы, так и при исследовании свойств её кольца эндоморфизмов, группы автоморфизмов и других алгебраических систем, связанных с исходной группой (см., например, [II] , [31] , [Зб] , [20] , [35] и другие работы). Выяснение строения вполне характеристических подгрупп абелевых групп представляет также интерес при изучении вполне характеристических (вполне инвариантных) подмодулей и подалгебр модулей и алгебр. Информацию о вполне характеристических подгруппах абелевых групп полезно иметь и при исследовании абелевых групп, как модулей над своими кольцами эндоморфизмов.

Для некоторых классов р- групп описание вполне характеристических подгрупп получено в работах Бэра [19] , Капланского [30] и других авторов. Эти классы р- групп включают в себя, например, все сепарабельные и все тотально проективные р- группы. Как правило, эти описания вполне характеристических подгрупп абелевых групп даются не на наиболее удобном для этих групп языке инвариантов Ульма-Капланского. И в ряде случаев требуется преодолеть значительные трудности для перевода такого описания на этот язык.

0 вполне характеристических подгруппах абелевых групп без кручения и связях их строения со строением самой группы в отличие от примарных групп известно, вообще, очень мало, что связано в первую очередь с тем, что сами группы без кручения ещё недостаточно изучены.

В настоящей работе предложен подход к изучению вполне характе-ристичеаких подгрупп абелевых групп без кручения и связей их строения со строением самой группы. Основная идея этого подхода, изложенного в главе П, состоит в следующем. Задаётся некоторое свойство вполне характеристической подгруппы абелевой группы без кручения, записываемое в терминах характеристик элементов группы, а затем в различных классах абелевых групп без кручения выделяются и описываются группы, в которых все вполне характеристические подгруппы обладают заданным свойством. Выбор свойства, которому должны удовлетворять вполне характеристические подгруппы осуществляется, конечно, так, чтобы группы, определяемые таким свойством, составляли достаточно широкий класс групп. Таким образом, приходим к понятию X-группы, т.е. такой абелевой группы С без кручения, в которой каждая вполне характеристическая подгруппа имеет вид v} , где - характеристика элемента Cj, , (17ггсг?. v vr"J. ) - некоторая последовательность, состоящая из целых неотрицательных чисел и символов оо . Отметим, что во всякой группе без кручения А её подгруппы вида А [1/1 вполне характеристичны и, как правило, любая группа без кручения А достаточно "насыщена" вполне характеристическими подгруппами такого вида.

Выделение X -групп в ряде классов абелевых групп без кручения фактически равносильно описанию вполне характеристических подгрупп в выделенных группах.

Всякая X -группа является транзитивной абелевой группой без кручения, то есть группой, в которой для любых двух элементов jc и tL таких, что Х-С*-) £ существует эндоморфизм и> со свойством Lp(?c)= . Транзитивными группами являются, в частности, алгебраически компактные, квазисервантно иньективные, сильно однородные и другие группы без кручения. Заметим, что изучению как самих транзитивных групп, так и других групп "богатых" эндоморфизмами уделяется в последнее время большое внимание (см., например, [5] , [б] , [18] , [37] ).

Отметим, что указанный подход к изучению вполне характеристических подгрупп даёт возможность установить различные их инварианты, получить информацию об их решетке и решить ряд задач, связанных с вполне характеристичностью.

Полученные в работе результаты о Х- - группах могут быть применены затем к изучению вполне характеристических подгрупп различных теоретико-групповых конструкций, полученных из исследованных групп. Такие конструкции, в частности, прямые суммы групп, уже не являются, вообще говоря, ни X - группами, ни даже транзитивными группами. Однако в целом ряде случаев возможно получить исчерпывающую информацию о вполне характеристических подгруппах таких групп (см. § б).

Заметим также, что многие результаты о транзитивных абелевых группах без кручения и их вполне характеристических подгруппах, полученные в работе, могут быть перенесены на К - прямые ([1б]:, с. 54) суммы групп без кручения <[54],.

При изучении вполне характеристических подгрупп абелевых групп и связей их строения со строением самой группы важную роль играет понятие почти изоморфизма по вполне характеристическим подгруппам, представляющее и самостоятельный интерес. Две группы А и В , каждая из которых изоморфна подгруппе другой группы, называются почти изоморфными [29] . Две группы А и В называются почти изоморфными по подгруппам с некоторым свойством, если каждая из них изоморфна подгруппе другой группы, обладающей этим свойством. Задача об изоморфизме почти изоморфных групп привлекала внимание многих алгебраистов. В одной из тестовых проблем Капланского ,[30] ставится вопрос об изоморфизме абелевых групп, почти изоморфных по прямым слагаемым. Для счетных редуцированных примарных групп эта проблема имеет положительное решение. Однако в работе [25] приведён пример неизоморфных р- групп, каждая из которых изоморфна прямому слагаемому другой группы. Для групп без кручения примеры такого рода были построены в [24 J и [38] . Естественно ставить вопрос об изоморфизме абелевых групп почти изоморфных по некоторым специальным подгруппам (сервантным, вполне характеристическим и другим). В работах [27] и [15] исследовано когда из почти изоморфизма групп по сервантным подгруппам вытекает их изоморфизм. В [12] рассматривались вполне разложимые абелевы группы без кручения, изоморфные всякой группе, которой они почти изоморфны по вполне характеристическим подгруппам. Понятия, близкие к изоморфизму (почти изоморфизм, квазиизоморфизм и другие), оказались очень полезными при изучении строения абелевых групп и их колец эндоморфизмов. (См.,например, [29] , [361,

7]).

Известная теоретико-множественная теорема Кантора-Бернштейна (Шредера-Бернштейна) явилась источником постановки аналогичных задач в алгебре не только для абелевых групп. В [23 ] изучается теоретико-кольцевой, а в [39] теоретико-категоряый . аналоги теоремы Кантора-Бернштейна. Почти изоморфные модули (то есть такие модули А и В , каждый их которых изоморфен некоторому подмодулю другого модуля) рассматриваются в работах [22] , [28] , [13] и [I4J . Подобные задачи возникают и в других областях математики, в частности, в топологии ( [4], стр. 20-21).

При изучении абелевых групп, почти изоморфных по некоторым подгруппам, удобно считать, что одна группа зафиксирована, а другая пробегает класс всех абелевых групп. Назовём абелеву группу A if.l.- корректной, если для любой абелевой группы В из того, что А = b' и В = А' , где В' , А' - соответственно вполне характеристические подгруппы групп Ь , А (то есть А и В почти изоморфны по вполне характеристическим подгруппам), следует изоморфизм А = В .

Изучение Iкорректных абелевых групп представляет интерес по следующим причинам. Во-первых, каждая /.L - корректная абеле-ва группа даёт положительное решение задачи об изоморфизме абелевых групп, почти изоморфных по вполне характеристическим подгруппам. Во-вторых, при изучении ^.1.- корректных абелевых групп глубже выявляются связи между строением абелевой группы и строением ее вполне характеристических подгрупп. В-третьих, как известно, имеется связь между цепочками вполне характеристических подгрупп {Xi}ity абелевой группы А и стабилизаторами этой цепочки, которые являются нормальными делителями группы её автоморфизмов JLd(A) ( Г17] , стр.300). Если 0=Хо а Х^ • --■ • — А - такая вполне упорядоченная цепочка подгрупп группы А , что Хт вполне характеристична в Х^ при 2*<Л, то для Iкорректной группы А такая цепочка обладает интересным свойством: либо эта цепочка не содержит собственных подгрупп, изоморфных А , либо существует такое Z ^уд. , что = А для всех Я ^ ТГ .

Так как всякая вполне характеристическая подгруппа абелевой группы А является нормальной подгруппой её голоморфа Г(АЛ то обобщением задачи об изоморфизме абелевых групп, почти изоморфных по вполне характеристическим подгруппам является следующая задача. Пусть А и Е> - абелевы группы и А = Б' , 3 = /)' , где А' , Вг - соответственно нормальные подгруппы групп Г(А) и Г (В) (такие группы будем называть почти голоморфно изоморфными). Будут ли сами группы А и В изоморфны ? Изоморфизм почти голоморфно изоморфных конечно порожденных абелевых групп был показан в [32 J . Всякая группа является нормальной подгруппой своего голоморфа, поэтому задача об изоморфизме почти голоморфно изоморфных групп является также обобщением задачи об опреде-ляемости группы своим голоморфом. Некоторые классы групп, определяющиеся своими голоморфами, были выделены в [32] , [2] и [з] .

Итак, если всякие почти голоморфно изоморфные группы из некоторого класса групп TL являются изоморфными, то любая группа

УС определяется своим голоморфом в этом классе, и из почти изоморфизма по вполне характеристическим подгруппам таких групп следует всегда их изоморфизм (то есть любая группа С* € Tt- <f.L. -корректна в классе YL ).

Интерес к изучению почти голоморфно изоморфных групп вызван с одной стороны отмеченными выше связями с Jf.l.- корректностью абелевых групп и определяемостью групп своими голоморфами, а с другой стороны тем, что при этом изучении удаётся получить определённую информацию о нормальных подгруппах голоморфов абелевых групп, а также - о вполне характеристических и характеристических подгруппах абелевых групп.

Цель работы.

1. Получить описание вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения из ряда классов групп.

2. Установить связи между строением абелевой группы и строением её вполне характеристических подгрупп.

3. Выделить J.L- корректные группы в ряде классов абелевых групп.

4. Выяснить в каких случаях почти голоморфно изоморфные абелевы группы являются изоморфными.

Краткое содержание работы.

Основное внимание в главе I уделено изучению примарных абелевых групп, почти изоморфных по вполне характеристическим подгруппам. Результаты § I носят общий характер и применяются на протяжении всей работы. В этом параграфе вводится понятие гомоморфной оболочки подгруппы А ' группы А в группе Ь , и с помощью него устанавливаются некоторые свойства вполне характеристических подгрупп абелевых групп. Доказана следующая теорема, которая даёт представление вполне характеристической подгруппы S абелевой группы (л , зависящее от строения делимой и редуцированной частей Gr :

Теорема 1.6. Пусть Сг - абелева группа, где R и V0 - соответственно её редуцированная и делимая без кручения части, а I/р - примарная р - компонента делимой части группы Сг . Подгруппа S группы G- вполне характеристична в Gr тогда и только тогда, когда она имеет один из следующих двух видов:

1) S=R'®L:Ql/p[pKrl , где £- периоди

Р Г ' Р о , п' ческая вполне характеристическая подгруппа группы /с ( К^ - примарная р - компонента группы R! ) и Jup^ef^) j ( Kp - целое неотрицательное число или о*? , причём полагаем V? ) ;

2) S =■ R.' © \/0 ® 12Ф1/Р , где R. - вполне характеристир г ческая подгруппа группы Ц .

Из этой теоремы следует известный результат Брамре [21] о вполне характеристических подгруппах абелевых групп иг вида где Т - делимая примарная группа, - делимая группа без кручения, а И - редуцированная группа без кручения.

В § 2, используя описание Капланского [30] вполне характеристических подгрупп примарных абелевых групп одного класса в терминах последовательностей специального вида ( LL- последовательностей), удалось получить ответ на вопрос: какие пары последовательностей задают почти изоморфизм по вполне характеристическим подгруппам и будет ли следовать из этого почти изоморфизма изоморфизм самих групп (теорема 2.7). В лемме 2.6. осуществлён перевод с языка " Ц - последовательностей" на язык "инвариантов Ульма-Капланского" для неограниченной вполне характеристической подгруппы S редуцированной сепарабельной р - группы Сг . В §2 вводится понятие абелевой группы /\ - транзитивной относительно функции yfy :fi Н , где Н - некоторая нижняя полурешетка, а Ц>н-функция со специальными свойствами и показывается, что при изучении вполне характеристических подгрупп абелевых групп полезно рассматривать группы транзитивные относительно таких функций (предложение 2.1). Основные результаты главы I содержатся в § 3. В этом параграфе рассматриваются примарные абелевы группы, почти изоморфные по вполне характеристическим и большим подгруппам. (Подгруппа L примарной абелевой группы Сг называется её большой (широкой) подгруппой, если она вполне характеристична в Сг и вместе со всякой её базисной подгруппой порождает группу Сг [35] ).

Будем говорить, что р- группы G и G'базисно изоморфны, если их базисные подгруппы изоморфны. Группы Сг и Сг будем называть базисно эквивалентными по большим подгруппам, если каждая из групп базисно изоморфна большой подгруппе другой группы. Обозначим через (^множество, состоящее из р- группы Сг и всех её больших подгрупп. Группу Сг назовём BL - группой, если всякие две базисно изоморфные группы множества3C,(Gr)изоморфны. BL - группами являются, в частности, группы разложимые в прямые суммы своих циклических подгрупп, и замкнутые группы.

Последовательность CtD) ., . кардинальных чисел (конечных и бесконечных) назовём сильно зависимой, если при выполняются равенства: гДе Ьк-и** (*) •

Причем среди сумм, стоящих в правых частях равенств ( ) могут быть и вырожденные, то есть состоящие из одного слагаемого, но равенств вида CI: = CL: может быть лишь конечное число, и если ъ- j40 , то в последовательности fr^tz»-- должна существовать хотя бы одна пара не равных между собой чисел.

Основная теорема § 3 (теорема 3.2) даёт полный ответ на вопрос: когда всякая абелева р - группа Н , базисно эквивалентная абелевой р - группе Сг по большим подгруппам, будет базисно изоморфной группе С .

Теорема 3.2. Пусть С- - абелева р- группа. Всякая абелева р- группа Н , базисно эквивалентная группе С- по большим под- -группам, будет базисно изоморфной Сг тогда и только тогда, когда группа Сг удовлетворяет одному из трёх условий:

1) редуцированная часть группы Сг ограничена;

2) все инварианты Ульма-Капланского ^ (ь) (с ~ О, Z,. •• ) группы Сг равны и бесконечны;

3) последовательность инвариантов Ульма-Капланского группы С ( 0,1,2, .) не является сильно зависимой.

С помощью этого результата для BL - групп полностью решена задача, когда из почти изоморфизма групп по большим подгруппам следует их изоморфизм (следствие 3.4), а также получены необходимые и достаточные условия корректности для некоторых наиболее важных классов сепарабельных р- групп (следствия 3.6 и 3.7).

В главе П проводится изучение вполне характеристических подгрупп и связей их строения со строением самой группы для достаточно широких классов абелевых групп без кручения. С помощью подхода к исследованию вполне характеристических подгрупп, предложенного в этой главе, устанавливаются связи между строением вполне характеристических подгрупп рассматриваемых групп и строением самих групп, даётся некоторая информация о решетке вполне характеристических подгрупп, а также решается задача об изоморфизме групп, почти изоморфных по вполне характеристическим подгруппам.

Из полученных в главе П результатов следует все известные нам результаты, связанные с описанием вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения.

При изучении вполне характеристических подгрупп абелевых групп G без кручения интерес представляют группы, в которых каждая вполне характеристическая подгруппа имеет вид , где £(р - характеристика элемента if = (Vir^3^ . , Vf7J"-} ~ некоторая последовательность, состоящая из целых неотрицательных чисел и символов . Как следует из предложения 2.1, такие группы являются транзитивными группами без кручения, то есть группами, в которых для любых двух элементов Х- и ^ таких, что ^ ЛСу) существует эндоморфизм со свойством iffjc)-у. § 4 посвящен изучению транзитивных абелевых групп без кручения. Важность изучения транзитивных групп обуславливается ещё и связью этих групп с проблемой 17а) из [16] : изучить свойства квазисервантно инъективных групп (то есть таких групп/4 , что всякий гомоморфизм С* —>А , где G- - сервантная подгруппа группы А » индуцируется эндоморфизмом группы А ). Эта связь вызвана тем, что всякая квазисервантно инъективная абелева группа без кручения транзитивна.

В § 4 доказана теорема 4.2, дающая полный ответ на вопрос: коги нии да абелева группа без кручения, разложимая в прямую сумму групп, является транзитивной группой? Ранее известны были критерии транзитивности разложимых абелевых групп без кручения лишь в случае, когда прямые слагаемые принадлежат довольно узкому классу групп.

Назовём множество абелевых групп без кручения транзитивной системой групп, если для каждой пары групп (А^А^) jht (/С 7 {е OL из того, что сьбАр , и следует, что существует у 6 Ht7/rz /Wg^ Af) со свойством fa. = 4 .

Пусть М ~ Ji — некоторое множество абелевых групп без кручения. Будем говорить, что система групп М удовлетворяет условию монотонности для характеристик, если для всякой группы А; с любого элемента ОФ tZj € Aj, из выполнения соотноше а) Lnf{), ХСл£я), .PXfcs)} , где а^бА^ i-к6 , LK± i€ при и б) XCap^t

X-C^eJ Для всех Л= следует существование элементов со следующими свойствами: I) ++

Ctj ; 2) для каждого элемента сх^ найдётся такой элемент к = £fS) , чт§ Х(•

Теорема 4.2. Пусть - абелева группа без кручения.

Let}

Группа G- транзитивна тогда и только тогда, когда система групп {Al}i6y транзитивна и удовлетворяет условию монотфнности для характеристик.

С помощью этой теоремы получено ряд результатов о свойствах транзитивных абелевых групп без кручения, а также описано строение транзитивных абелевых групп в некоторых классах абелевых групп без кручения. Показано, например, что I) если где Сг гп Ь 6Т однородная сепарабельная группа типа с , / - некоторое множество типов (в частности, Сг - вполне разложимая группа), то транзитивная тогда и только тогда, когда выполняется условие: если "t^t^ Тг -Lt Ф t^ 9 то дЛЯ любого простого числа р такого, что pcl +& имеет место pCL = Ck \ 2) если г <z = 1 рея. Г где JU - некоторое множество простых чисел, С-^ - прямые суммы групп без кручения, полных в своей уэ-адической топологии, то Сг - транзитивная группа (следствия 4.12 и 4.13).

В § 5 изучаются абелевы группы Сг без кручения, называемые X - группами, вполне характеристические подгруппы S которых имеют вид S = Cr[v3 = vj , где у - некоторая последовательность, состоящая из целых неотрицательных чисел и символов °*=> . Как было отмечено выше, всякая X -группа является транзитивной абелевой группой без кручения. Обратное, в общем случае, неверно. Получены необходимые и достаточные условия, при которых X - группами являются прямые суммы групп.

Теорема 5.9. Пусть

- транзитивная редуцированная абелева группа без кручения. Группа А является /£ - группой тогда и только тогда, когда каждая группа А^(оСв (Л.) - % -группа.

Следствие 5.10. Пусть = - редуцированная абелева ч. £г ISL группа без кручения. А - -группа тогда и только тогда, когда выполняются условия: I) система групп транзитивна;

2) система групп удовлетворяет условию монотонности для характеристик; 3) каждая группа А*. (<*- £ - 7L -группа.

Л -группы в классе редуцированных абелевых групп А без кручения с линейно упорядоченным (относительно естественного порядка) множеством где

ПА)- множество всех различных типов элементов группы А , выделяет следующая

Теорема 5.II. Для транзитивной редуцированной абелевой группы А без кручения с линейно упорядоченным множеством Т(АJ следующие условия эквивалентны:.(I) А - Л -группа;

2) если характеристики элементов (X и группы А содержат символы с*3 на одних и тех же местах, то тип элемента а~ равен типу элемента & .

С помощью полученных результатов удаётся выделить X-группы в ряде классов абелевых групп без кручения. Показано, например, что а) однородно разложимая редуцированная абелева группа А без кручения является 7L -группой тогда и только тогда когда А -транзитивная группа (следствие 5.15); б) всякая сепарабельная группа типа Р+ [Ю] (в частности, всякая редуцированная абелева группа без кручения, на которой можно задать структуру унитарного Qp - модуля, где - кольцо целых р-адических чисел) являг-гф W ется 7i -группой (предложение 5.21); в) если Сг= Сг , где сг Г У ус - некоторое множество простых чисел, Ьгр - прямые суммы групп без кручения, полных в своей р -адической топологии, то

G - Л -группа (следствие 5.20).

В § 5 получено также описание решетки всех вполне характеристических подгрупп /С -группы.

В § б введен класс транзитивно разложимых абелевых групп без кручения, содержащий многие известные классы групп, как, например, класс всех прямых сумм однородных сепарабельных групп без кручения, класс всех прямых сумм однородных алгебраически компактных групп без кручения, класс всех вполне разложимых групп и другие классы групп.

Редуцированную однородно разложимую абелеву группу A А^ без кручения ( Т - некоторое множество типов, А± - однородная группа типа i: ) назовём транзитивно разложимой, если система групп £Аt}ieT ~ транзитивна.

В § б получено описание вполне характеристических подгрупп транзитивно разложимых групп (теорема 6.1).

Пусть /! = Е% - транзитивно разложимая группа. Рассмотрим функции / , отображающие множество Г в множество(X - множество всех последовательностей, состоящих из целых неотрицательных чисел и символов ) и удовлетворяющие следующим уеловиям (чтобы сократить количество скобок будем записывать аргумент как индекс): I) либо "ft**• - для некоторой € , либо для всех к ; 2)^^=0= , для всех

К , для которых рк = Aj. ; 3) если z^. г £z fiSj z^^ 7V t то для всякого к такого, что р^ ^^^ А^. имеем ^ .

Обозначим через F(A) множество функций, удовлетворяющих свойствам I) - 3). F(A) является решеткой относительно такого частичного порядка: тогда и только тогда, когда (последовательности сравниваются покоординатно) для всякого £ бТ . Пусть - решетка всех вполне характеристических подгрупп группыА.

Основным результатом § б является следующая

Теорема 6.1. Всякая вполне характеристическая подгруппа транзитивно разложимой группы A имеет вид А £ ] , где fe F(A) . Соответствие ju. : ^ Л ^ ^ определяет антиизоморфизм решеток F(A) и А ) .

С помощью полученного описания вполне характеристических подгрупп установлена связь между некоторыми инвариантами группы и соответствующими инвариантами её вполне характеристической подгруппы (теорема 6.2).

Из полученных в §§ 4-6 результатов следует известный результат Гёбеля [2б] о строении вполне характеристических подгрупп К - прямых сумм бесконечных циклических групп (в частности, групп Бэра-Шпекера и групп, являющихся прямыми суммами или прямыми произведениями бесконечных циклических групп), а также результаты других авторов, связанные с описанием вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения.

Полученные в §§ 4-6 результаты применяются затем в § 7 для изучения jf.L.- корректных абелевых групп без кручения. Показано, что однородные транзитивные и однородно разложимые транзитивные абелевы группы без кручения являются I.- корректными группами (теорема 7.1. следствие 7.3). Получены также условия £I - корректности вполне разложимых абелевых групп без кручения (теоремы 7.5, 7.10 и их следствия).

В главе Ш изучаются почти голоморфно изоморфные абелевы группы. В §8 формулируются вспомогательные леммы и устанавливаются некоторые свойства нормальных абелевых подгрупп голоморфов абелевых групп. В § 9 рассматриваются почти голоморфно изоморфные периодические абелевы группы. Доказано, что если периодические группы 6г и Н почти голоморфно изоморфны, то соответствующе примар-ные компоненты групп С и Н также почти голоморфно изоморфны (предложение 9.1). В предложении 9.3 установлена связь между почти голоморфным изоморфизмом абелевых р-групп и почти изоморфизмом их первых ульмовских подгрупп.

Показано, что почти голоморфно изоморфные абелевы р -группы ( р > 2) А и В изоморфны, если одна из них - нередуцированная группа с ограниченной редуцированной частью (теорема 9.7). Теорема 9J0утверждает, что почти голоморфно изоморфные абелевы р-группы изоморфны, если одна из них - ограниченная редуцированная группа.

Доказано, что почти голоморфно изоморфные редуцированные сепа-рабельные р - группы с неубывающими инвариантами Ульма-Капланс-кого имеют изоморфные базисные подгруппы (теорема 9.II).

Изучение почти голоморфно изоморфных абелевых групп без кручения проводится в § 10. Важную роль здесь играет лемма 10.1 о связи между типами элементов абелевой группы С без кручения и типами элементов нормальной абелевой подгруппы её голоморфа Г(Сг). Доказано, что в голоморфе делимой абелевой группы А без кручения не содержатся ненулевые нормальные абелевы подгруппы, отличные от

4 (теорема 10.6). Установлено, что следующие почти голоморфно изоморфные вполне разложимые группы изоморфны: I) однородные группы; 2) группы, у которых типы прямых слагаемых канонических разложений попарно несравнимы (теоремы 10.9 и 10.II).

В § 10 построен пример двух вполне разложимых групп конечного ранга, которые являются почти голоморфно изоморфными, но неизоморфными (теорема 10.12).

Научная новизна. а) Получено описание вполне характеристических подгрупп для достаточно широких классов абелевых групп без кручения и установлены связи между строением абелевой группы и строением её вполне характеристических подгрупп. б) Исследованы свойства и строение транзитивных абелевых групп без кручения из ряда классов групп. в) Осуществлено систематическое изучение абелевых групп, почти изоморфных по вполне характеристическим подгруппам, и выделены классы корректных групп. г) Найдены классы абелевых групп, в которых почти голоморфно изоморфные группы являются изоморфными, и установлены некоторые совйства нормальных абелевых подгрупп голоморфов абелевых групп. д) Из полученных в главе П утверждений о вполне характеристических подгруппах абелевых групп без кручения и корректных группах следуют ранее известные результаты.

В диссертации разработан также аппарат для изучения вполне характеристических подгрупп и связей их строения со строением исходной группы для абелевых групп без кручения из ряда классов групп.

Теоретическая и практическая ценность.

Результаты работы имеют теоретическое значение. Проведённое систематическое изучение IX.-корректных групп и вполне характеристических подгрупп абелевых групп из ряда классов представляет интерес для теории абелевых групп и модулей. Полученные в работе результаты и метод исследования, разработанный в главе П, могут быть использованы для решения различных задач теории абелевых групп (модулей), связанных с вполне характеристическими (вполне инвариантными) подгруппами (подмодулями), а также для решения ряда задач, связанных с голоморфами абелевых групп и аффинными группами модулей ( [i], с. 158). Кроме того результаты главы Ш расширяют наши знания о голоморфах абелевых групп и их нормальных подгруппах.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях семинара по общей алгебре МГУ (1974, 1980 г.г.), семинаре кафедры МГПИ им.В.И.Ленина (1974г.), семинаре по теории групп Киевского госуниверситета (1978, 1981 г.г.),алгебраическом семинаре ТГУ, а также на семинаре по общей алгебре и математической логике в Институте Математики с ВЦ АН MCGP (Кишинёв, 1982г.). Кроме того результаты работы докладывались на XI Всесоюзном алгебраическом коллоквиуме в Кишинёве в 1971 году, на ХП Всесоюзном алгебраическом коллоквиуме в Свердловске в 1973 году, на 1У Всесоюзном симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей в Кишинёве в 1980 году, на ХУ1 Всесоюзной алгебраической конференции в Ленинграде в 1981 году и на итоговых научных конференциях по математике и механике Томского госуниверситета в 1970, 1972, 1973, 1974, и 1981 годах.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 15 работ ( [41]-[55] ).

Объём работы.

Диссертация состоит из введения, списка обозначений, трёх глав и списка литературы из 55 наименований. Диссертация содержит 139 страниц машинописного текста.

1. Басс X. Алгебраическая К - теория. - М.: Мир, 1973, - 591 с.

2. Беккер И.Х. Абелевы группы с изоморфными голоморфами. Изв. высш. учеб. заведений. Математика, 1975, JS 3, с. 97-99.

3. Беккер И.Х. Об определяемости редуцированных абелевых групп своими голоморфами. Новосибирск, 1976 г. - 26 с. - Рукопись представлена редколлегией "Сиб.мат.лс." Деп. в ВИНИТИ 15 июня 1977, Ш 2192-76.

4. Борсук К. Теория ретрактов. М.: Мир, 1971. - 291 с.

5. Добрусин Ю.Б. Квазисервантно инъективные и транзитивные абелевы группы без кручения. Томск, 1977 г. - 45 с. - Рукопись представлена Том. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 30 июня 1977, № 294277.

6. Крылов П.А. О вполне характеристических подгруппах абелевых групп без кручения. В кн.: Сб.аспирантских работ по матем. Томск, 1973, с. 15-20.

7. Крылов П.А. Радикалы колец эндоморфизмов абелевых групп без кручения. Матем. сб., 1974, т.95, 12, с.214-228.

8. Куликов Л.Я. К теории абелевых групп произвольной мощности. -Матем.сб., 1945, т.16, с.129-162.

9. Куликов Л.Я. Обобщенные примарные группы, I. Труды ММО, 1952, т.1, с. 247-326.

10. Прохазка Л. Прямые суммы групп типа Р*. Comment\ Waifi. UniV. сало£. , 1967, £ I, с.85-114.

11. Мишина А.П. Абелевы группы. В кн.: Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. М., 1979, т.17, с. 3-63.

12. Пятков B.C. О решетке вполне характеристических подгрупп одного класса сепарабельных абелевых групп без кручения. В кн.: Группы и модули. Томск, 1976, с. 49-56,

13. Росошек С.К. Чисто корректные модули. Изв.высш.учеб.заведений. Математика, 1978, В 10, с. 77-82. '14. Росошек С.К. Корректные и чисто корректные модули. - В кн.: Абелевы группы и модули. Томск, 1979, с. 127-142.

14. Росошек С.К. Строго чисто корректные абелевы группы без кручения. В кн.: Абелевы группы и модули. Томск, 1979, с.143150.

15. Фукс JI. Бесконечные абелевы группы. т. I. - М.: Мир, 1974. -335 с.

16. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. т.2, - М.: Мир, 1977. -416 с.

17. BcofrtScp /TZeda&s го-PLc сЛ. мр/тоър-Асс dct^rnpzlzcPtJ of e-tuA etfar. #>ccA. ШЗГis. p

18. Ce/bszeP-£ Sp/rze tAeeveicc SoAsc^/oz. BevszjZe^niAe&te/m. SPcctnS. Soc.} 7f. /3Z.

19. Cox.n&z, tZ. Z. pTsepp tzeUcczat T-o-ucPrz-fazerUng U a,n e.nde/Tzs'CjpAzt 'jfrz ъс '/т^. ~ Pzec. Xtprzafesz ftlatfi. Soc. , /SS3, ^Г^г, /р. £<Г7- 7/0.25. (sccuur&f P. Section у zW ^Txp-g&zsnfet jvu/пал.^ J, d&fe&XL, p.

20. H/p-f&Cg.fflie, сАажгс&илЯс- е^Мг- Ba&r-fyizc&ea-g-c£>uf>. -таЫ. ZiUi.j л/3, S.2M-2&2.27. иг УърбЁ */. . Ca-nartL.J. , /•

21. J onto к. В. {7/t (pCc^ce^r t^j^orrzp&jc &sz т^ы^я/т.CL^egc'a-n gzetyzj. sca/zd^ /Я^ 36/- з7/

22. XcyL^a/t*^ J. J/ifisbltz qJeZca-zz ^r^u/td/Tltc/U^a^z;31. frieze -//<f/z С. Xascge, -du^r^u^s А-отг?-neb/tA^&ru/7Uc6. if-f3j f32. ыМ Ae&MiytA* sffarfefyferumteC

23. Ut//. /ы>/г- aP/TZP-zft/U^/rz ^ c&vfa^'rz Az&sTzPt/zfa. 3ia.sut fctTz&r. /TZa&z. Soc., тГ.34. 2). J. //&zere££ J. fa faty ^гуагг'^^А lu^rpufe

24. R. S. fJem0/TzO'yzAc'J/7z4 e?^ fist^/rza^ a.&e&asz.ез, f.

25. H&coL J. Ргг rU/гр ef Jtca4c--J/лиof zl frvfc'tprt ~^c£>C i$z:, afe&'asz ,

26. RucC J. QuOti-jtute.- u^zctizK&f /^ICOAC -fi^tc

27. Sp-ica-oLa. 8. tle^oU^e- w£uitOri. of J. a■ of Jt. Boticcfe.y/teufiz. . CLcctd-./co£p/z . -$ci . tel. .cutter. /b&tfZ', , > />• 334-33*.39. %п&оггсс V.} XougeA I/. V&e, Couzt&z. ~ b&cru tU/z Ылог^ггиfrfkstz&zt. urutf, p. W-Z04.

28. L. &@e£casc ^tocyzj. But&yz&st: (Z(uzc£e-/7zcccc JtLadO j - 3£?p.

29. Гриншпон С.Я. Почти голоморфно изоморфные абелевы группы.В кн.: XI Всесоюзный алгебраический коллоквиум.: Резюме сообщений и докладов. Кишинев, 1971, с. 126.

30. Гриншпон С.Я. Почти голоморфно изоморфные абелевы группы без кручения. В кн.: Сб. аспирантских работ по матем. Томск, 1973, с. 8-14.

31. Гриншпон С.Я. Об изоморфизме абелевых групп, почти изоморфных по вполне характеристическим подгруппам. Вестник Моск.ун-та. Математика. Механика, 1975, № 6, с. 133.

32. Гриншпон С.Я. Почти голоморфно изоморфные абелевы группы. -Труды Т1У, 1975, т. 220. Вопросы математики, вып. 3, с, 7884.

33. Гриншпон С.Я., Беккер И.Х. Почти голоморфно изоморфные при-марные абелевы группы. В кн.: Группы и модули. Томск, 1976, с. 90-103.

34. Гриншпон С.Я. 0 некоторых классах примарных абелевых групп, почти изоморфных по вполне характеристическим подгруппам. -Изв. высш. учеб. заведений. Математика, 1976, № 2, с. 23-30.

35. Гриншпон С.Я. Примарные абелевы группы, эквивалентные по вполне характеристическим подгруппам. В кн.: Абелевы группы и модули. Томск, 1979, с. 29-36.

36. Гринпшон С.Я. О вполне характеристических подгруппах вполне разлотамых абелевых групп без кручения. В кн.: Абелевы группы и модули. Томск, 1979, с. 37-44.

37. Гриншпон С.Я. Вполне характеристические подгруппы абелевых групп без кручения. Томск, 1979 г. - 29 с. - Рукопись представлена Том. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 15 ноября 1979,3880-79.

38. Гриншпон С.Я. Вполне характеристические подгруппы абелевых групп без кручения некоторых классов и <f. L. корректность.-Томск, 1979 г. - 22 с. - Рукопись представлена Том. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 20 марта 1980, № 1085-80.

39. Гриншпон С.Я. корректные абелевы группы без кручения.-- В кн.: Четвертый Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей.: Тезисы сообщений. Кишинев, 1980, с.29-30.

40. Гриншпон С.Я. Вполне характеристические подгруппы абелевых групп без кручения и L корректность. Вестник Моск. ун-та. Математика. Механика, 1981, Ж, с.97.

41. Гриншпон С.Я. Вполне характеристические подгруппы абелевых групп без кручения. В кн.: ХП Всесоюзная алгебраическая конференция.: Тезисы сообщений. Ленинград, 1981, ч.2,с. 165-166.

42. Гриншпон С.Я. О строении вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения. В кн.: Абелевы группы и модули. Томск, 1982, с. 56-92.

43. Гриншпон С.Я. Вполне характеристические подгруппы К -прямых сумм абелевых групп без кручения. В кн.: Материалы УП региональной конференции по математике и механике (секция алгебры). Томск, 1982, с. 10-15. Деп. в ВИНИТИ 16 марта 1982, № 1197-82.