Определяемость абелевых групп своими подгруппами и почти изоморфизм тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Некоторые обозначения.

Введение.

ГЛАВА I. КОРРЕКТНОСТЬ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП И

ИХ ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ СВОИМИ ПОДГРУППАМИ.

1.1 Определения и известные результаты.

1.2 ^-изоморфные и s-изоморфные абелевы группы.

1.3 Связь между корректностью абелевых групп и их определяемостыо своими подгруппами.

ГЛАВА II. ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ ПРЯМЫХ СУММ

ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП СВОИМИ ПОДГРУППАМИ И КОРРЕКТНОСТЬ р-ГРУПП.

2.1 Определяемость прямых сумм циклических групп своими подгруппами.

2.2 Определяемость прямых сумм циклических групп своими собственными подгруппами.

2.3 Корректность р-групп.

ГЛАВА III. ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ И ОБОБЩЕННО ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМЫХ ГРУПП СВОИМИ ПОДГРУППАМИ.

3.1 Определяемость групп без кручения своими подгруппами.

3.2 Корректность обобщенно вполне разложимых групп и их определяемость своими подгруппами.

Актуальность темы. Две абелевы группы называются почти изоморфными, если каждая из них изоморфна некоторой подгруппе другой группы [J]. Две абелевы группы называются почти изоморфными по подгруппам с некоторым свойством, если каждая из них изоморфна некоторой подгруппе другой группы, обладающей этим свойством. Задача об изоморфизме почти изоморфных групп привлекала внимание многих алгебраистов. В одной из тестовых проблем Капланского [К] ставится вопрос об изоморфизме абелевых групп, почти изоморфных по прямым слагаемым. Для счетных редуцированных примарных групп эта проблема имеет положительное решение [К], однако П. Кроули привел пример неизоморфных р-групп, каждая из которых изоморфна прямому слагаемому другой группы [Сг]. В ряде работ исследуются, когда из почти изоморфизма абелевых групп по сервантным или вполне характеристическим подгруппам вытекает их изоморфизм (например, [G], [Р1], [Ш], [Г1], [Г2]).

Известная теоретико-множественная теорема Кантора-Шредера-Бернштейна являлась источником постановки аналогичных задач в алгебре не только для абелевых групп. В [С] изучается теоретико-кольцевой, а в [ТК] теоретико-категорный аналоги теоремы Кантора-Шредера-Бернштейна. Рассматриваются также почти изоморфные модули (например, [Bu], [Н], [Р2]). Подобные задачи возникают и в других областях математики, в частности, в топологии ([Во], с. 20-21).

Существует также логический аспект задачи о почти изоморфизме, основанный на том, что если модули почти изоморфны по чистым подмодулям, то они элементарно эквивалентны [Е].

Для рассмотренных аналогов теоремы Кантора-Шредера-Бернш-тейна характерно, в отличие от самой теоремы, наличие примеров отрицательного решения соответствующих задач, а также изучение классов объектов, для которых эти задачи имеют положительное решение.

Абелева группа А называется корректной, если для любой абелевой группы В из того, что А = В' и В = А', где А\ В' подгруппы групп А и В соответственно, следует изоморфизм А = В [Г1].

Для абелевой группы А обозначим соответственно через S(A) и

Sub(A) - множества ее подгрупп и ее собственных подгрупп. Будем t говорить, что группы А и В t-изоморфиы (обозначение А = JB), если существует биективное отображение множества S(A) на множество S(B), при котором соответствующие подгруппы групп А и В изоморфны. Будем говорить, что группы Aw В s-изоморфиы (обознаs чение А = В), если существует биективное отображение множества Sub(A) на множество Sub(B), при котором соответствующие подгруппы групп А и В изоморфны. Естественно возникает вопрос: в каких случаях ^-изоморфные (s-изоморфные) группы изоморфны. Если абелева группа А такова, что для любой абелевой группы В t S из А = В(А = В) вытекает А = В, то будем говорить, что группа А определяется своими подгруппами (своими собственными подгруппами).

Вопрос об определяемости группы своими подгруппами (своими собственными подгруппами) представляет самостоятельный интерес и как оказалось этот вопрос тесно связан с исследованием корректных абелевых групп.

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование корректных групп и групп, определяющихся своими подгруппами и своими собственными подгруппами в ряде классов абе-левых групп.

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие.

• Установлены связи между t-изоморфизмом, s-изоморфизмом и почти изоморфизмом абелевых групп, а также - между опреде-ляемостью групп своими подгруппами или своими собственными подгруппами и корректностью.

• Получены критерии определяемости прямой суммы циклических групп своими подгруппами и своими собственными подгруппами, а также - корректности такой группы.

• Получено полное описание корректных периодически полных (замкнутых) р-групп.

• Исследована корректность и определяемость групп своими подгруппами или своими собственными подгруппами в классе абелевых р-групп, у которых не все инварианты Ульма-Капланского конечны.

• Получен критерий корректности обобщенно вполне разложимых групп в классе обобщенно вполне разложимых групп, а также найден критерий определяемости обобщенно вполне разложимой группы своими подгруппами в классе обобщенно вполне разложимых групп.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях по теории абелевых групп и модулей, а также при чтении спецкурсов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на XXII и XXIII Конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2000 г. и 2001 г.), на Международной конференции "Математика в Восточных регионах Сибири" (Улан-Удэ, 2000 г.), на Четвертом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск,

2000 г.), на Международном семинаре по теории групп (Екатеринбург,

2001 г.), на Международной конференции "Алгебра и ее приложения" (Красноярск, 2002 г.), на Международной конференции по математике и механике (Томск, 2003 г.). Основные результаты неоднократно докладывались на семинарах кафедры алгебры Томского государственного университета.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 10 публикациях. В совместной статье постановка задачи и выбор метода исследования принадлежит С. Я. Гриншпону. Диссертанту принадлежат формулировки и доказательства всех теорем.

Структура и объем работы. Представляемая диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, трех глав и списка литературы. Первая и вторая главы содержат по три параграфа, третья глава - два параграфа. Работа изложена на 69 страницах. Список литературы содержит 37 наименования.

1. Бо. Борсук К.Теория ретрактов. - М.: Мир, 1971.

2. Г1. Гриншпон Я. f.i.-корректность абелевых групп без кручения/ / Абелевы группы и модули. - 1989. - Вып. 8. - 65-79.

3. Г2. Гриншпон Я. f.i.-корректные абелевы группы / / Успехиматем. наук. - 1999. - Я 6^. - 155-156.

4. ГЗ. Гриншпон Я. Вполне характеристические подгруппыабелевых групп и вполне транзитивность: Дисс. ... докт. физ.мат. наук. - Томск. - 2000.

5. Ку1. Куликов Л. Я. К теории абелевых групп произвольноймощности / / Матем. сб. - 1941. - Jf^ 9. - 165-182.

6. Ку2. Куликов Л. Я. К теории абелсвых групп произвольноймощности / / Матем. сб. - 1945. - X^16. - 129-162.

7. П. Приходько И. А. Е-корректные абелевы группы / / Абелевыгруппы и модули, - 1984. - 90-99.

8. Р1. Росошек К. Строго чисто корректные абелевы группы безкручения / / Абелевы группы и модули. - 1979. - 143-150.

9. Р2. Росошек К. Чисто корректные модули / / Изв. ВУЗов.

10. Математика. - 1978. - Я^10. - 143-150.

11. Ф1. Фукс л . Бесконечные абелевы группы. Т. 1. - М.: Мир, 1974.

12. Ф2. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 2. - М.: Мир, 1977.

13. Ш. Шерстнева А. И. U-последовательности и почти изоморфизмабелевых р-грунп по вполне характеристическим подгруппам / / Изв. ВУЗов. Математика. - 2001. - JV^ 5. - 72-80.

14. Ва. Baer R. Der Kern, eine charakteristische Untergruppe / / Compositio Math. - 1934. - K l^ - P. 254-283.

15. Bu. Bumby R. Modules which isomorphic to submodules each other/ / Arch. Math. - 1965. - V. 16. - P. 184-185.

16. C. Cornel I. Some ring theoretic Schroder-Bernstein theorems / /

17. Trans. Amer. Math. Soc. - 1968. - V. 132. - P. 335-351.

18. Cr. Crawly P. Solution of Kaplansky's test problem for primaryabelian groups / / J. Algebra. - 1965. - No. 4. - P. 413-431.

19. E. Eklof P., Sabbagh G. Model-completions and modules / / Ann.

20. Math. Log. - 1971. - V. 2. - P. 251-299.

22. G. de Groot J. Equivalent abelian groups / / Canad. J. Math. - 1957.- No. 9. - P. 291-297.

23. H. Holzsager R., Hallahan C. Mutual direct summands / / Arch.

24. Math. - 1974. - V. 25. - P. 591-592.

25. J. Jonson B. On direct decomposition of torsion free abelian groups/ / Math. Scand. - 1959. - No. 2. - P. 361-371.

26. K. Kaplansky I. Infinite abelian groups. - Michigan: Univ. of Michigan Press. Ann Arbor, 1954.

27. Meg. Megibben Ch. Separable mixed group / / Comment. Math. Univ.

28. Carolin. - 1980. - No. 4. - P. 755-768.

29. Prl. Priifer H. UnendHche abelsche Gruppen von Elementen endUcher

30. Ordnung, Dissertation / / BerUn. - 1921.

31. Pr2. Priifer H. Untersuchungen iiber die Zerlegbarkeit der abzahlbarenprimaren abelschen Gruppen / / Math. Z. - 1923. - №17. - P. 35-61.

32. S. Szele T. On the basic subgroups of abehan p-groups / / Acta Math.

33. Acad. Sci. Hungar. - 1954. - V. 5 - P. 129-141.

34. TK. Trnkova V., Koubek V. The Cantor-Bernstein theorem for fuctors/ / Comment. Math. Univ. Carol. - 1973. - V. 14. - P. 197-204.

35. Ml. Мордовской A. K. Абелевы группы с соответственноизоморфными подгруппами / / Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ2000), посвященный памяти М. А. Лаврентьева (1900-1980):

36. Тезисы докладов, ч. IV - Новосибирск. - 2000. - 111-112.

37. М2. Мордовской А. К. Связь строения абелевых групп со строениемее подгрупп / / Математика и методы ее преподавания. - Улан1. Удэ. - 2000. - 57-60.

38. М4. Мордовской А. К. Изоморфизм подгрупп абелевых групп / /

39. Абелевы группы и модули. - 2000, - Вып. 15. - 38-45.

40. М5. Мордовской А. К. Прямые суммы абелевых групп ссоответственно изоморфными подгруппами / / Аналитические и численные методы в математике и механике. Труды XXII

41. Конференции молодых ученых механико-математическогофакультета МГУ. - М. МГУ. - 2001. - 120-121.

42. Мб. Мордовской А. К. Определяемость прямых сумм циклическихгрупп своими подгруппами / / Международный семинар по теории групп, посвященный 70-лети1о А. И. Старостина и 80летию Н. Ф. Сесекина. Тезисы докладов. - Екатеринбург. 2001. - 147-150.

43. М7. Гриншпоп Я., Мордовской А. К. Определяемостьабелевых групп своими подгруппами и почти изоморфизм / / Исследования по математическому анализу и алгебре.

44. Томск. - 2001. - Вып. 3. - 72-80.

45. М8. Мордовской А. К. Группы, определяюш,иеся своимиподгруппами / / Современные исследования в математике и механике. Труды XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. Часть II. - М.

47. М9. Мордовской А. К. Абелевы группы без собственных подгрупп,изоморфных группе / / Международная конференция "Алгебра и ее приложения". Тезисы докладов. - Красноярск. - 2002. - 88-89.

48. М10. Мордовской А. К. Факторно редуцированная корректностьпериодически полных р-групп / / Международная конференция по математике и механике. Тезисы докладов. 1. Томск. - 2003. - 51.