О группах конечного ранга тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ



на правах рукоштпг

ОСТЫЛОВСКИЙ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

О ГРУППАХ КОНЕЧНОГО РАНГА

01.01.00 - Математическая логика, алгебра п теория чисел

Автореферат диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 1995

РаПота выполнена в вычислительном центре СО ГАН (г.Красноярс и н Красноярском сельскохозяйственном институте

Научный руководитель - доктор физико-математических наук.

профессор Шунков В.П. ()ф1ишальные оппоненты - доктор физико-математических наук.

профессор Яковлев Б.В..

кандидат физико-математических наук.

доцент Сенатов В.И.

Ведущая организация - Омский государственный университет

Защита состоится г. в часов на заседай

диссертационного совета Д.064.61.02 при Красноярском государств« ном университете. г.Красноярск, пр.Свободный, 79

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярск* государственного университета.

Автореферат разослан 1996г.

Ученый секретарь диссертационного совета у"^

доктор физико-математических наук, профессор 'Знаменский С.]

Как показывают примеры групп Е.С. Голода [2], П.С. Новикова С.И. Адяна [9], А.К). Ольшанского [11] и C.B. Алешина [1] клан-фподических групп гораздо шире класса локально конечных групп. .П. Щунковым в классе периодических групп Пыли выделены, п лас г-зсти, подклассы (сопряженно) бипримитнвно конечных групп и F'-зупп. Причем класс /"-групп строго содержит класс (сопряженно) шрпмптпвно конечных групп [10].

'пределение. Группа G называется (сопряженно) бипрпжативио кч-гчной. если для любого простого числа q (q £ 7Г(<S')) и для любой, энечной подгруппы H группы G в фактор-группе Nc;(H)/H .любы* за (сопряженных) элемента порядка q порождают конечную под-туппу [20].

пределе ние. Группа G называется Fp-группой, (р £ t(G')) если дм я обой ее конечной подгруппы H и любых элементов a.h £ Т = Nq(H) /И урядкар существует элемент с £ Т такой, что гр(а, c~lbc) конечна, ела всякая подгруппа из G является Fp-группой , то G называется *-группой.- Если G является F*-группой для любого р G ~{G), то G гзывается F*-группой.

*-группа с конечными силовск-ими подгруппами называется КF* -груной.

з упомянутых примеров, группа Голода [2] с числом порождающих > 2 ¡ляется сопряженно бпиримитивно конечной группой, а группа Оль-анского [11] является /"-группой.

В 1947 году А.Г. Курошем [5] поставлена проблема: будет лп счетна гуппа с условием минимальности ? Легко показать, что положитель-ie решение проблемы А.Г. Куроша является следствием положптель-

huí и решения другой извссикш проблемы счетностп: будет ли счет группа, все собственные подгруппы которой счетны ? В классе лока." но конечных групп обе проблемы ротоны положительно В.П. Шуш Бы.м [18]. а в классе бинарно конечных групп С.П. Струнковьш [1 Теорема 1.2.1 обобщает теоремы В.П. Шункова п С.П. Стрункопа класс пе]и:одических сопряженно Гшпрцмитивно конечных Г])упп ir г лолептольно решает обе. укачанные проблемы.

Теорема 1.2.1. Периодическая сопряженно бипримитиьно конечн группа G с четна, если ьсс. сс собственные подгруппы счстны. С ■идстьи.е 1.2.3. Сопряженно бипримитивно конечная группа с ycj (.í/(.,ii минимальности счстна.

Л что касается произвольных периодических групп, то как покат АЛО. Ольшанский [10]. обе проблемы решаются отрицательно. Суи ствуот несчетная группа (артпнова конечного периода), все собств( ные подгруппы которой счетны. В частности, существует перподп' екая несчетная группа с абелевымп подгруппами конечных рангов [1 Конечность специальных рангов абелевых подгрупп является одн; из наиболее известных условий конечности в группах. Понятие cnei ального ранга было введено А.И. Мальцевым [6]. В дальнейшем, cnei альныи ранг в смысле А.И. Мальцева будем называть просто ранге Хорошо известны теоремы А.И. Мальцева [С]. М.И. Каргаполова [ Ю.И. Мерзлякова [7. 8], Ю.М. Горчакова [3] п В.П. Шункова [19]. Т А.И. Мальцев [6] доказал, что полпциклпческая группа с абелевы: подгруппами конечных рангов разрешима. Затем М.И. Каргаполов показал, что в разрешимой группе из конечности рангов абелевых п< групп следует конечность ранга самой группы. В работах Ю.И. Ме]

:якова [Т. 8] доказано, что локально разрешимая группа имеет коноч-:ый ранг если ранги абелепых подгрупп п ной конечны и ограничены : совокупности. Причем условие совокупной ограниченности [кштп .белевых подгрупп является существенным. Однако для пернодичс-кнх локально разрешимых групп и для локально конечных групп, как :оказали К).И. Горчаков [3] я В.П. Шунков [19] из конечности р^нгои беловых подгрупп следует конечность рапга самой группы п не нужно •ребовать совокупной ограниченности рангов абслепых подгрупп. Так З.П. Шунков покачал, что локально конечная группа с абелепымн ш>д-руппами конечных рангов сама имеет конечный ранг, почти локально )азрешпма II обладает полной частью. •

Е.И. Седоза [14, 15] доказала, что периодическая финитно аппроксп-.шруемая F*-гpyппы с абелевымп подгруппами конечных рангов явля-■тся иочтн локально разрешимой группой конечного ранга с конечны-ш спловскнми подгруппами. Затем И.И. Павлюк [12, 13] доказал, что герподическая финитно аппроксимируемая /"'-группа с конечными сп-ювеклми р-подгрунпамп по всем р локально конечна, если в центра-шзаторе некоторого элемента простого порядка абелевы подгруппы шеют конечные ранги. Теорема 2.2.2 обобщает теоремы Е.И. Седовой I И.И. Павлюка. Причем в доказательстве теоремы 2.2.2 результаты 1.И. Павлюка не используются.

Теорема 2.2.2. Пусть <7 — периодическая Р*-группа и цептпрализп-пор некоторого элемента а простого порядкар является Р*-группой : абелевыми подгруппами конечных рангов. Если группа б аппроксимируется конечными разрешимыми группами, то она локально разр< -иима.

Нз теоремы 2.2.2 вытекают:

Следствие 2.2.1 Пусть О — периодическая Г*-группа с конечной си-лот-, к ой 2-подгруппой и централплатор некоторого мементи про ппо.-о порядка р есть Г* -группа с абсле.выми подгруппам,и коне чны: рангов. Если С — финитно аппроксимируемая группа, то она почт. локально разрешима.

С.-и дствие 2.2.2 [12. 13]. Если в периодической финитно ап-проксч .марцелюи. Р*-группе с конечными силовскими подгруппами в центра .1и.1аторс некоторого элемента простого порядка абелевы подгрутн имеют конечные ранги, то она почти, локально разрешим,а. Слсдстьи с 2.2.4 Пусть б — периодическая бинарно разрешимая груп ■на и « централизаторе некоторого элемента простого порядка аб< лечы подгруппы имеют конечные ранги. Если б — финитно аппрог ешшрусмая группа, то она локально разрешима. Следствие 2.2.5 Пусть С — периодическая бинарно разрешимая гру! па с конечными силовскими р-подгруппами по всем р. Если С облад< етп элементом простого порядка, в централизаторе которого. аб< левы подгруппы имеют конечные ранги, то (7 локально разрешима. Необходимо отметить, что условия теоремы 2.2.2 существенны, самом деле, группа Голода, с числом порождающих > 2, являете периодической не локально конечной финитно аппроксимируемой Г группой, а в перподпческой не локально конечной /""-группе Олыпа: ского [11] централизатор любого элемента простого порядка имеет ран В 2-3 изучается периодическая финитно аппроксимируемая КГ группа, обладающая конечной нилыютентной холлов ой к-подгруппе в централизаторе которой абелевы подгруппы имеют конечные ра

. В теореме 2.3.2 доказано, что такая группа почти локальная разрс-има. Теорема 2.3.1 дает критерий сопряженности конечных холловых подгрупп в периодических финитно аппроксимируемых /""'-группах п ;.чяется обобщением теоремы Впланда [17] на этот класс групп. гарема 2.3.1. Пусть периодическая финитно аппроксимируемая Г"->уппа С обладает конечной килъпогпе.нптой холлоаой ж-подгруппой (я- = {р\. Р2,... ,р„}). Тогда все холла вы ж-подгруппы группы С ко-:чны и сопряжены.

В заключительной теореме 2.4.1 главы 2 устанавливается строение "рподцческой финитно аппроксимируемой группы конечного ранга г. оказано, что периодическая финитно аппроксимируемая группа ко-гчного ранга г является расширением прямого произведения примар-лх групп с помощью почти разрешимой группы ступени, ограничен-уй числом т(г), зависящим только от г. .■

В теореме 3.2.1 утверждается, что периодическая группа тогда и ,олько тогда является почти локально разрешимой группой ко нечего ранга, когда она сопряженно бипримитивно конечна и в -ней ыл-олняется условие:

*) нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы делятся локально конечной группой с абелевыми подгруппами кот чны.: а тов.

Группа Новикова-Адяна нечетного периода п > 665 г конечным целом порождающих > 2 удовлетворяет условию *), но не являет-I сопряженно бипримитивно конечной. Следовательно ограничение ействия теоремы 3.2.1 на класс сопряженно бипримитивно конечных рупп является существенным. Более того, это ограничение является

предельным потому, что уже в классе периодических /"-групп утве ждение теоремы 3.2.1 теряет силу. Существует .Г'-группа Олыианск го [10] конечного ранга, которая не является почти локально разреш мой.

Результаты диссертации былп доложены автором на 9 Всесоклн« симпозиуме по теории групп (Москва, 1984), на 10 Всесоюзной кош} ренцпп по теории групп (Гомель, 1986), на 19 Всесоюзной алгебра ческой конференции (Львов, 1987), на семинарах "Алгебра и логик и ''Теория групп" Института математики СО РАН, на Красноярск городском семинаре ''Алгебраические системы", на семинаре " Алгеб] пческпе системы" в Омском государственном университете.

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в [21]~[2

Автор выражает благодарность научному руководителю В.П. Ш] кову за постановку задач и внимание к работе.

Литература

1] Алешин C.B. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах // Матем. заметки, 1972. Т.П. №3, 319-328.

2] Голод Е.С. С) ни ль-алгебрах и фпнптно аппроксимируемых р-группах // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1964. Т.28, №2, 273-276.

3] Горчаков Ю.М. О существовании абелевьгх подгрупп бесконечного ранга в локально разрешимых группах // ДАН СССР., 1964. Т.15С, №1, 17-20.

4] Каргаполов М.И. О разрешимых группах конечного ралга // Алгебра и логика, 1962. Т.1, №5, 37-44.

5] Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

5] Мальцев А.И. О группах конечного ранга // Матем. сб., 1948. Т.22. 351-352.

Г] Мерзляков Ю.И. О локально разрешимых группах конечного ранга // Алгебра и логика, 1964. Т.З, №2, 5-16.

5] Мерзляков Ю.И. О локально разрешимых группах конечного ранги // Алгебра и логика, 1969. Т.З, №6. 689-690.

)] Новиков U.C., Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. М.: Наука, 1974.

)] Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. М.: Наука, 1989.

[11] Ольшанский А.Ю. Бесконечные группы с циклическими подгр нами // ДАН СССР., 1979. Т.245, №4, 785-787. •

[12] Павлюк И.И. О периодических финитно аппроксимируемых грушах // Вопросы теории алгебраических систем, Караган 1981., 79-92.

[13] Павлюк И.И. Некоторые периодические группы с заданными ус виямп конечности для локально разрешимых подгрупп// Авто ферат канд. дисс., 1982. Новосибирск.

[14] Седова Е.И. О группах с абелевыми подгруппами конечных раш // Алгебра и логика, 1982. Т.21, №3, 321-343.

[15] Седова Е.И. Периодические ^-группы с дополнительными ус. вияшг конечности // Автореферат канд. дисс., 1985. Новоспбпр!

[16] Струнков С.П. Нормализаторы и абелевы подгруппы некотор] классов групп // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1967. Т.31, №3, 6о 670.

[17] Холл М. Теория групп. М.: пзд-во Иностр. лит., 1962.

[18] Шунков В.П. О локально конечной группе, с экстремальными с ловскими р поодгруппами по некоторому простому числу р // Сг мат. журн., 1967. Т.8, №1, 213-229.

Шунков В.П. О локально конечных группах конечного р.спгл Алгебра и логика, 1971. Т.10, N¡2, 199-225.

)] Шунков В.П. О достаточных признаках существования в группе бесконечных локально конечных подгрупп // Алгебра п логика. 1976. Т. 15, №6, 716-737.

Статьи автора по теме диссертации

1] Остыловскпй Ал.Н. О периодических финитно аппроксимируемых Г'-группах // Алгебра и логика, 1984. Т.23, №5, 538-545.

2] Остыловскии Ал.Н. О периодических группах со счетными подгруппами // Матем. заметки, 1986. Т.40, №6, 722-725.

3] Остыловскпй Ал.Н. О периодических финитно аппроксимируемых группах конечного ранга // Рукопись депонирована в ВИНИТИ 20 апреля 1989 г. №2575-В89.

I

4] Остыловскпй Ал.Н. О группах конечного ранга // Алгебраические системы, Красноярск, 1995., 38-50. (Препр./СО РАН, ВЦ; №7)