Вербальные вложения и сплетения групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 512.543.2

Микаеляи Ваагн Гамлетович

ВЕРБАЛЬНЫЕ ВЛОЖЕНИЯ И СПЛЕТЕНИЯ ГРУПП

(01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел)

46479

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 9 МАЙ 2011

Москва - 20 П

Работа выполнена на кафедре дискретной математики и теоретической информатики Ереванского государственного университета.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Альфред Львович Шмелькин,

доетор физико-математических наук,

профессор Владимир Никанорович Ремесленников,

доктор физико-математических наук,

профессор Михаил Владимирович Волков.

Ведущая организация:

Ярославский государственный университет имени П. Г. Демидова.

Защита состоится 10 июня 2011 года в 16 час. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 при Московском государственном университете по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, МГУ имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж). Автореферат разослан 8 мая 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

О А. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вложения групп, существование вложений с определенными заданными свойствами являются одними из самых интересных и продуктивных тематик исследований в теории групп. Можно сказать, что мотив вложений проходит через всю теорию групп, начиная с ее зарождения. Причем вложения групп часто сами оказываются очень полезными инструментами для решения задач в других областях теории групп: с их помощью строят примеры групп с заданными свойствами, решают алгоритмические вопросы и т. д..

Цель настоящей работы - разработать методы вербальных нормальных и субнормальных вложений групп, другие методы связанные со сплетениями групп я с их помощью решить ряд проблем, обобщить известие результаты в теории многообразий групп, обобщенных разрешимых, обобщенных нильпотентных групп, сплетений групп, вложений групп, хопфо-вых групп и по близким вопросам. Так как эти методы в диссертации применяются к разным вопросам теории групп, то ниже будет удобнее представить краткую предысторию каждого из вопросов непосредственно перед результатами, полученными по данной теме.

Вложение (мономорфпьш гомоморфизм) <р : Н ■ С группы // в группу С с образом // = // = Н* < С называется нормальным или субнормальным, если II нормальная или, соответственно, субнормальная подгруппа в <7. Пусть V С Р<х> - множество слов. Назовем это вложение V-вербальным (или просто вербальным), если Н лежит в вербальной подгруппе У(С), где \/(С) = (ь(<]\,..., д„)|и = 1>(х],..., :г„) € V: <}\, ...,дп € С). Понятие вербального вложения есть обобщение таких широко используемых понятий, как «вложение в коммугант группы», «вложение в и-ый член нижнего центрального ряда группы» и т. д..

Основные методы исследования. Основными в работе являются классические методы вложений групп, многообразий групп, сплетений групп, обобщенных разрешимых и обобщенных нильпотентных групп,

1

в частности методы Ф. Холла, Б. X. Ноймана, А. Ю. Ольшанского, А. Л. Шмелькипа, Г. Хайнекена, Л. Ковача. Также используются методы, введенные автором: методы вербальных (нормальных, субнормальных) вложений, методы построения конструкций, «близких» к сплетениям и т.д..

Научная новизна и основные результаты. Основные результаты диссертации являются новыми. Они заключаются в следующем:

• Решается проблема Г. Хайнекена о нормальной вербальной вло-жимости групп: когда для данной группы Н и данного множества слон V существует группа <3, допускающая нормальное вербальное вложение II в <?? Этот вопрос был решен Г. Хайнекеном для всех конечных р-групп1. Б. Айк решила2 вопрос дня случая всех конечных групп. Мы даем полный ответ для случая любой группы Н.

• Доказывается, что в отличии от нормального случая, субнормальная вербальная вложимость имеет место всегда. Даны усиления ряда известных теорем о вложениях счетных групп, в частности, теоремы о вложимости любой счетной группы в 2-порожденную группу'®. Каждая счетная группа для любого нетривиального множества слов К-вербально вложима в 2-порожденную группу, причем это вложение может быть субнормальным. В качестве иллюстрации решается один из пунктов Проблемы 14.10 деля Арпа и Бридсона из Коуровской Тетради4 о явной шгожимости группы рациональных чисел (¡3.

*Н. Heineken, Normal cmbeddings ofp-groups into p-groups, Proc. Edinburgh Math. Soc. 35 (1992) , 309 -314.

-B. Eick, The converse of a theorem о} W. Gaschiitz on Fraltini subgroups, Math. Z. 221, (1997), 1, 103-111. см. также: В. Eick, Chamcterine.rtmg und Konstruktion von Frattinigruppcn mit Anwendungen in der Konstruktion endlicher Gruppen, Aachener Beiträge zur Mathematik, Band 17, Aachen, 1996.

3B. II. Neumann, Наша Neumann, Embedding theorems for groups, ,/. London Math. Soc. 34 (1959), 4G5 479.

'Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории ipyiin, 14-е издание, под ред. Мазурова В.Д., Хухро Е.В.. Сибирское отделение РАН, Институт математики, Новосибирск, 1999.

• Изучаются случаи, когда счетная группа данного класса шюжима в 2-порожденную группу того же класса и когда это вложение может быть вербальным, сохраняющим отношение порядка на группах. Именно: если счетная группа является разрешимой группой, SN '-группой, 57*-группой, Л'Л'-груипой, 57-грушюй, SN- ipyimoû, SZ-ipyiniofl или же SD-группой, то для любого нетривиального множества слов V существует субнормальное V-bs рбальное вложение этой груш ты в 2-порожден-ную группу, которую можно выбрать в том же из перечисленных классов. Подобное не верно для классов абелевых групп, нильпотентных групп, Z/1-грунн или Л'-групп.

• Обсуждаются многообразия, порожденные сплетениями абелевых групп и сплетениями множеств абелевых групп. Находятся критерии, классифицирующие все случаи, когда для данных множеств абелевых групп X и 2) их сплетение X Wr2) порождает произведение var (X) var (2)) многообразий, порожденных множествами X и 2). Если множества состоят каждая из одной группы, мы получаем критерии, классифицирующие случаи, когда v;tr (A W'r В) — var (Л) var (В). Эти результата обобщают известные факты, например, теорему Хоутоиа.

• Мы используем (вербальные) вложения групп для построения групп и классов групп с различными свойствами. Например, доказывается, что существует континуум 3-порожденных разрешимых пехопфовых групп, порождающих попарно различные многообразия групп. Дана геометрическая конструкция, иллюстрирующая известную концепцию бесконечны.*- сплетенных степеней Ф. Холла и с их помощью дан ответ на один вопрос Плоткина. Приводятся примеры локально-неразрешимых SI*-групп.

Теоретическая и практическая ценность. Рабога имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в различных задачах теории ipynn, в частости вложений групп, многообразий групп, сплетений групп.

з

Апробация результатов. Результаты диссертации начиная с 1997 г. неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах, международных конференциях и воркшопах. В их числе можно отметить:

• XXII Международный математический конгресс в Берлине, Германия, 1998.

• Объединенный алгебраический семинар университетов Фрайбурга, Нюрнберга и Вюрцбурга, Германия, 1998.

• Биместр памяти Рейхолда Бэра в Университете Неаполя, Италия, 2002 (два часовых доклада).

• Международная конференция но теории групп и групповых колец в Гливице, Польша, 2003.

• Международная алгебраическая конференция в Москве к 250-летнему юбилею Московского государственного университета, и к 75-летнему юбилею кафедры алгебры Московского государственного университета, Москва, Россия, 2004.

• Международная конференция по комбинаторной и геометрической теории групп в Университете Вандербильдг, Нэшвклль, США, 2005.

• Международная конференция к 80 юбилею профессора Бориса Плот-кина, Иерусалим, Израиль, 2006.

• Первая международная конференция по алгебре и геометрии в Армении, Ереван, 2007.

• Семинар по теории групп кафедры высшей алгебры Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия, 2011.

• Кафедральный семинар кафедры высшей алгебре Московского государственного университета им. М. В.Ломоносова, Москва, Россия, 2011.

Большинство результатов диссертации включены в опубликованные тезисы этих конференций.

Работа автора Subnormal embedding theorems for groups (J. London Math. Soc., 62 (2000), 398-406) была удостоена Первой международной премии имени Эмиля Аргона в 2001 г. (см. Notices of the American Mathematical Society 2001, 48, 8, c. 834): http ://www.ams.org/notices/200108/people.pdf

Публикации. Результаты работы представлены is статьях [l]-[15], указанных в конце автореферата. В этом списке приведены только публикации в международных реферируемых журналах, указаны MR-коды статей п Mathematical Reviews. Публикации п других изданиях и тезисы докладов не включены в этот список.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, из 5 глав (разбитых на параграфы) и из списка литературы. Нумерация параграфов, теорем, лемм, определений и т.д. - сквозная. Полный объем диссертации 167 страниц, библиография включает 87 наименований, из которых 15 - публикации автора но теме диссертации.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. Нормальные вербальные вложения групп.

Стартовой точкой для работы над вербальными вложениями для нас послужила проблема Г. Хайпекена'' о нормальных вербальных вложениях, т. е. о классификации тех случаев, когда заданная группа Я для заданного множества слов V нормально и вербально вложима в какую-либо группу G (как ранее было неоднократно отмечено в литературе, есть ¡руины Н и множества V, для которых такие группы G не существуют). Нормальным вербальным вложениям посвящена Глава 1.

Вот предыстория проблемы и основные результаты. В 1912 В. Берисайд доказал, что неабелева группа с циклическим цетром или неабелева

'■"Эта задача была темой исследования ангора в 1997-98 гг. но прздрамме DAAD (German Acadcmic Hxcbangc Scrvice, grant Nr. A/97/13683). См. статьи:

II. Hcinukcu, Normal embeddings ofp-groups into p-groups, Proc. Edinburgh Math.

Soc. 35 (19Ü2) , 309 -314.

H. Hcinckcn, V. H. Mikaclian, On normal verbal embeddings of groups. J. Math. Sei., New York, 100 (2000), 1, 1915-1921.

V. H. Mikaeliau, Uber die normalen verbalen Einbettungen einiger Klassen der Gruppen (On normal verbal embeddings о/ноте elasscs of groups), Beiträge zur Algebra und Geometrie, 45 (2004), 2, 501-510.

группа, индекс коммутанта которой есть р2, не может быть коммутантом (или вложенным в коммутаот) какой-либо р-гругшы1'. С другой стороны Ешэкбурн нашел все 2-норождепные р-фуппы, которые являются коммутантами (или могут бьпъ вложены в коммутанты) р-групп 7. Г. Хайне-кен поставил вопрос шире и рассмотрел вместо коммутанта или члена нижнего центрального ряда случай вербальных подгрупп для любого слова у 6 F-х. Он показал8, что конечная р-группа нормальна в некоторой (конечной) р-надгрунпе G и лежит в ее вербальной подгруппе '«.'(G) тогда и только тогда, когда v(L) Э Irin (Н), где L есть некоторая силовская р-подфуппа в группе автоморфизмов Aut(//). Им же был поставлен вопрос описания как можно более широких классов групп и множеств слов, для которых имеет место нормальная вербальная вло-жимость в какую-либо группу. В. Айк решила0 этот вопрос для случая любой конечной группы Я и любого слова v € F^. Интерес к нормальной вложимости связан и с алгоритмическими, вычислительными задачами (в частности, в компьютерной системе GAP).

Полный ответ для случая любой фуппы И и для любого нетривиального множества слов V был дан в пашей совместной работе с Г. Хайнеке-ном [2]. Теорема 1 в Парафафе 4 диссертации описывает ситуацию: для данного нетривиального множества споа V и для данной группы Н существует группа G и нормальное V-вербальное сложение (р : Н —> G тогда и только тогда, когда имеет место:

K(Aut(tf))2Inn(tf).

GW. Burnside, On some properties of groups whose ordern arc powers of primes.

Proc. London Math. Soc. (2) 11 (1912) 225 245.

TN. Blackburn, On prime power (¡roups in which the derived уroup has two i/enera-

lors. Proc. Cambridge Philos. Soc. 53 (1957), 19-27.

8H . Heincken, Normal embeddinqs ofp-groups into p-groups, Proc. Edinburgh Math. Soc. 35 (1992) , 309 -314.

yD. Eick, The converse of a theorem of \V. Coschütz on Frattini subgroups, Math. Z. 224, (1997), 1, 103-111. см. также: В. Eick, Characterisierung und Konstruktion von Frattinigruppcn mit Anwendungen in der Konstruktion endlicher Gruppen, Aachener Beiträge zur Mathematik, Band 17, Aachen, 199G.

6

И если II - конечной (конечно-порожденнаяJ группа, rno G тоже может быть выбрана конечной (конечно-порожденной). В качестве простого примера применения этого критерия дается описание всех случаев нормальной вербальной вложимости для всех (конечных или бесконечных) симметрических групп.

Далее в Главе 1 рассматриваются нормальные вербальные вложения «с дополнительными условиями»: т. е. когда можно выбрать группу G абелевой (иильпотептной, разрешимой и т. д.) для ^-вербального вложения группы Я, если группа II сама является абелевой (нильпогентной, разрешимой и т. д.). С помощью полученного критерия » Параграфе 7 дается одно обобщение теоремы В. Бернсайда о вложениях конечных ;>-групп. Глава 1 заканчивается иллюстрацией использованной техники определением одной конструкции, «близкой» к конструкции сплетений групп.

Глава 2. Субнормальные вербальные вложения групп

Эта глава посвящена результатам о субнормальных вербальных вложениях групп - естественным продолжениям результатов Главы I о нормальных вербальных вложениях групп. В отличии от нормального вербального случая, субнормальная вербальная вложимость групп имеет место всегда: по пункту А Теоремы 10 в Параграфе 10, Эля любой группы И и для любого нетривиального множества слов V всегда существует группа G, допускающая субнормальное вложение if : Н —* G. которое вербапъно: ¡р{Н) < V{G).

Более того, в случае субнормальных вложений полученные методы вербальных вложений имеют приложения к более широкому кругу задач. Например, ограничиваясь лишь счетными группами, можно получил» усиления ряда известных теорем о вложениях счетных групп, в частности, знаменитой Теоремы Г. Хигмена и Нейманов10 о вложимости любой

lflG. Higuian, В. Neumann. Hanna Neumann, Embedding theorems for groups, J. London Math. Soc. 3 24, (iO-li)), 247-254.

счетной группы в 2-порожденную группу. По пункту В Теоремы 10 в Параграфе 10 нашей работы, каждая счетная группа для любого нетривиального множества слов V-вербально впооюша в 2-порожденную группу, причем это сложение может быть субнормальным.

Ранее в литературе были доказаны теоремы о таких вложениях счетных групп в 2-порожденные группы, которые на самом деле являются вложениями даже в коммутант или во второй коммутант 2-порожценной группы (что есть частные случаи вербальных подгрупп). Так что Теорема 10 обобщает сразу несколько теорем такого рода. Более подробно о вложениях счетных групп будет сказано в Главе 3.

Далее в Главе 2 рассматривается один из пунктов Проблемы 14.10 П. де ля Арпа и М. Бридсона в Коуровской Тетради": существует ли явное вложение аддитивной группы рациональных чисел Q в конечно-порожденную группу? Мьг дали положительный ответ: такое явное вложение построено12. Более того, эта конечно-порожденная группа может быть 2-порожденной (см. Параграф 15).

Глава 2 заканчивается рассмотрением вложений вполне упорядоченных групп в Параграфе 16 и Параграфе 17.

Глава 3. Вложения счетных обобщенных разрешимых и обобщенных нильпотентных групп

Известная теорема о вложимости любой счетной группы в 2-порожденную группу стала началом обширных исследований о вложениях счетных групп в 2-порожденные группы (или вообще в конечно-порожденные группы) с дополнительными условиями. Краткий перечень ссылок на

"Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теория групп, 14-е издание, поя ред. Мазурова В.Д., Хухро Е.В.. Сибирское отделение РАН, Инсппуг математики, Новосибирск, 1999

'-V. Н. Mikadian, On a problem on explicit embeddings of the group Q, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2005:13 (2005). 2119 2123.

8

эти результаты дан в Параграфе 10. Основная цель Главы 3 - изучение случаев, когда счетная группа данного класса (нильнотентная группа, обобщенная разрешимая группа и т. д.) аложима в 2-порождешгую группу того же класса. Параллельно рассматривается, когда это вложение может быть вербальным, сохраняющим отношение порядка на группах и т. д..

В частности, по Теореме 16 и Теореме 15 в Параграфе 21 и по Теореме 18 в Параг рафе 25, если счетная группа Н является разрешимой группой, ¿ТУ* -группой, Б1* -группой, 8N-группой, 31 -группой. Б N-группой, 3 Г-группой или же БО-группой (см. определения и обозначения в Параграфе 19), то для любого нетривиального множества слое V существует 2-порожденная группа С и субнормальное V-вербальное вложение : Н —* С, причем группу О можно выбрать в том же из выше перечисленных классов, которому принадлежит исходная группа Н.

Более того, если группа Н вполне упорядочена, то группу С можно выбрать вполне упорядоченной так, что порядок на ней продолжает порядок изоморфной копии группы Н.

Такие утверждения имеют место не для всех классов групп, конечно. Например, не все счетные абелевы группы вложимы в 2-порожденные абелевы группы (очевидный факт), не все счетные нильиотентные группы вложимы в 2-порожденные ншгьпотентные группы (факт следует из того, что в конечно-порожденной нильпотентной группе все подгруппы тоже конечно-порожденные). Еще два примера мы приводим в Параграфе 24: такими классами обобщенных нильпотенпгых групп, счетные группы из которых не всегда могут быть вложены в 2-порожденные группы того же класса, являются классы ¿ГЛ-групггы и N-группы (см. определения в Параграфе 19).

Глава 4. Многообразия, порожденные сплетениями абелевых групп

Глава посвящена многообразиям, порожденным сплетениями абелевых групп и сплетениями множеств абелевых групп. Хотя полученные в этой главе результаты не всегда касаются вербальных вложений групп, тем не менее техника примененная здесь (особенно сплетения групп) тесно связана с методами, используемыми в других главах.

Основная задача главы - найти эффективные критерии, классифицирующие все случаи, когда для данных множеств абелевых фупп X и 2) их декартово сплетение

хТог а) = {х т у | х е х, у € у}

или их прямое сплетение

= {ХчггУ |Х € Х,У € 2)}

порождают произведение многообразий, порожденных данными множествами групп I и Ш:

таг(ЗЕ)уаг(2)).

В частности, когда множества X и 2) состоят каждая из одной группы: X = {А} иЗ) = {#}, мы получаем критерии, классифицирующие все случаи, когда \'аг {Л \¥г В) = \-аг (Л) уаг (В) и \-аг (Л \уг В) = уаг (А) уаг (В). Эти результаты обобщают известные факты о выполнении таких равенств в частных случаях (см. в частности результаты К. Хоутона или Г. Хигмена, упомянутые ниже). В Главе 4 мы попупю приведем и другие результаты в смежных вопросах.

Используем обозначение С для бесконечной циклической группы и обозначение Сп для циклической группы порядка п. Первый результат о многообразиях, порожденных сплетениями абелевых групп (Лемма

4.5 и Пример 4.9 в работе Г. Хигмепа или 24.65, 54.41 в монографии Нойман14), принадлежит Г. Хигмену, который показал, что если Ср иСп конечные циклические группы порядков р и п (р - простое число не дспяилре п), тогда сплетение C¡, wr С„ порождает произаеде-Hue2lp5l„, где, как обычно, 2ín = var (С„) есть многообразие всех абе-левых групп конечных экспонент, делящих п. Результат Хоутона описал все случаи с А — Ст и В — Сп. Именно, равенство

var (Cm wr Сп) = var {Ст) var (С„) = 2lm2l„

имеет место тогда и только тогда, когда tri и п взаимно просты.

Для удобства изложения нашего критерия дадим его сначала для случая сплетения абеяевых групп А и В, а не множеств групп. Обозначим через Вр так называемую р-примарную компоненту абелевой группы В конечного порядка (т. е. подгруппу группы В, состоящую из элементов, порядки которых еезъ степени простого числа р). По Теореме Прюфера каждая абелева группа конечной экспоненты, в частности и ;ы1римарная компонента Вр группы В, есть прямая сумма конечных циклических групп, порядки которых есть степени простых чисел:

iet

Обозначим через к' самую высокую из этих экспонет- k¡. Тогда, по Теореме 19 в Параграфе 28 Для любых абелевых групп А и В равенство var (.4 Wr В) = var (Л) vas (В) выполняется тогда и только тогда, когда:

(1) если хотя бы одна из этих групп А и В не имеет конечную экспоненту;

13G. Higman, Some remarks on varieties of ¡¡roups. Quart. J. Math. Oxford, (2) 10 (1969), 1G5-178.

14Hamia Neumann, Varieties of Groups, Springer -Verlag, Berlin (19(i7).

u

(2) или если exp А — rn и exp В = n обе конечные и для любого простого делителя р чисел т и п. р-примарная компонента

ВР = Су,, (/>., i 6 /) «е/

группы В содержит бесконечно много слагаемых С-^ порядка //'. где pk' есть наивысшая степень р, делящая п.

Так как декартово и прямое сплетения любых двух групп всегда порождают одно и то же многообразие, аналог этого утверждения имеет место и для прямых сплетений.

Когда Л и В конечные группы, наше условие просто означает, что var (Л Wr В) = var (Л) var (В) выполняется тогда и только тогда, когда их порядки rrt и н взаимно просты.

А для случая сплетений множеств абелевых групп имеет место Теорема 20 в Параграфе 29: Для любых множеств абелевых групп X и 2) равенство var(X Wr2)) = var (_Т) var (2)) выполняется тогда и только тогда, когда:

(1) если хотя бы одно из множеств X и 2) не имеет конечную экспоненту;

(2) или если ехрХ = т и ехр2) = п обе конечны и для любого простого делителя р чисел гп и п. и для любого положительного целого числа s множество 2) содержит группу В{s) такую, что р-примарная компонента

B(s)p = С>" &>*'!".г' е '(*))

группы В (а) содержит не менее .ч прямых слагаемых Cflt< порядка рк , где ;/'' наивысшая степень числа р, делящая п.

Аналог утверждения верен и для случая прямых сплетений.

12

В Главе 4 также собрано много примеров конкрешых случаев применения этих критериев к сплетениям абелевых групп. В Параграфе 39 мы используем полученный критерий для описания всех подмногообразий многообразия порожденных сплетениями негривиальных абелевых групп.

А в Параграфе 40, заключающем Главу 4, рассматриваются некоторые связанные со сплетениями вопросы о произведениях многообразий групп. Вот, например, один немного неожиданный результат. В литературе часто использована известная теорема Г. Баумслага и Нойманои о том, что для любой группы А и для любой дискриминирующей группы В сплетение A Wr В дискриминирует (а поэтому и порождает) многообразие var (Л) var (Bf'. Оказг >1вается, для абелевых групп это условие -необходимое и достаточное: Для любых нетривиальных абелевых групп. А и В сплетение A Wr В дискриминирует многообразие

var (A) var (В)

тогда и только тогда, когда В дискриминирует многообразие var (В) (см. Теорему 33, Теорему 34 и ремарку Дж. Гроувза в Параграфе 40).

Глава 5. Групповые конструкции, основанные на вербальных вложениях групп

В заключительной главе мы используем (вербальные) вложеиия групп для построения групп и классов групп с различными свойствами.

Группа G называется хопфовой, если С! не изоморфна ни одной из своих собственных фактор-групп. Каждая конечно-порожденная финитно-аппроксимируемая группа (в частности, каждая свободная группа конечного ранга или каждая свободная полинильпотегггшя группа конечного ранга) является хопфовой группой10. С другой стороны легко

"Hanna Neumann, Varieties of Croups, Springer-Verlag, Berlin (11)07). »'А. И. Мальцев, Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами, Мат. Сб. 28 (1940), 405-422.

видеть, что свободная группа бесконечного ранга или свободная абе-лева группа бесконечного ранга - нехопфовы группы. Этот контраст делаег примеры конечно-порожденных нехопфовых групп интересными (на самом деле оригинальная проблема Хайнца Хопфа была поставлена им в 1930-х годах именно о существовании таких групп17. Первые ответы на этот вопрос были даны Б. Нойманом18 и Г. Хигменом10.

В Теореме 37 в Параграфе 42 доказывается, что существует континуум'¿-порожденных разрешимых нехопфовых групп, порождающих попарно различные многообразия групп. Длина разрешимости этих групп не более девяти. Там же дана одна иллюстрация к Проблеме 16 Ханны Нойман и к результату Дж. Гроувза21'. В пашей конструкции мы используем множество мощности континуум {Ar,|í € /} счетных групп N¡, порождающих попарно различные многообразия групп, построенное А.Ю. Ольшанским21 дая решения известной проблемы конечной базы тождеств.

Далее в Главе 5, в Параграфах 46 - 49 дана геометрическая конструкция, иллюстрирующая известную концепцию бесконечных сплетенных степеней Ф. Холла и с их помощью дан ответ на один вопрос Б.И. Плоткииа: Существует ли 2-порожденная группа G = (х, у) такал, что G не разрешима (поэтому она и не локально-разрешима). но нормальное замыкание {х'р элемента х в G есть локально разрешимая подгруппа. Мы даем положительный ответ на этот вопрос двумя явно сконструированными группами, из которых первая основана на бесконечных сплетенных степенях Ф. Холла, а вторая

"Н. Hopf, Beiträge zur Klassifizierung der Flächenabbildungen. J. Reine Angew. Math. 1965 (1931), 225-230.

18B. II. Neumami, A two-generator ipxmp isomorphic to a proper factor group. J. London Math. Soc. 25 (1950). 247-248.

Higinan, Л finitely related group with an isomorphic proper factor group, .). London Math. Soc. 20 (1951), 59-61.

20J. R. J. Groves, On some finiteness conditions for varieties of mnianitpotent groups, Arcli. Math. 24 (1973), 252-268.

«А. iO. Ольшанский, О проблеме конечного базиса тождсста а группах, Изп. АН СССР. Сер. магем., 34 (1970), 376 384.

и

дается как фуппа автоморфизмов некоторого специально сконструированного фафа.

Глава 5 закрывается третьим примером использования вербальных вложений групп для построения новых классов фупп. В Парафафе 50 мы приводим примеры локально-неразрешимых 5/'-групп. Из всех типов обобщенных разрешимых фупп ЙТ'-группы, т. е. группы, допускающие возрастающий (не обязательно конечный) нормальный ряд с абелевыми факторами, в каком-то смысле самые близкие к разрешимым группам (среди всех классов обобщенных разрешимых фупп).

Но в литературе до настоящего времени был всего один пример такой фуппы, построенный в шестидесятых годах независимо Ф. Холлом2", Л. Ковачем и В. Нойманом"1. Мы строим континуум примеров таких групп, все лежащие в многообразии

21 • ((Яр п е„) и (©5 п ®8,;г)) • а3.

Более того, эти фуппы не только попарно неизоморфны, но порождают попарно различные многообразия фупп.

Заметим, что так как, согласно работам А.Ю. Ольшанского21 или С.И. Адяна"'' множество всех многообразий имеет мощность континуум, получаем, что многообразий, порожденных локально-неразрешимыми ¿'/'-группами «столько же», сколько и вообще всех многообразий фупп.

22Р. Hall, The Frattiny subgroups о/finitely generated groups, Proe. London Math. Soc.. (3) 11 (1961), 327-352.

2:iL. G. Kovacs, В. H. Neumann, An embedding theorem for some countable i/roups, Acta Sci. Math. (Szegol) 2G (1965), 139-142.

'Д. Ю. Ольшанский, О проблеме конечного (хыиса ггюждеста в группах, Изв. АН СССР. Сер. метем., 3-1 (1970), 376-384.

-,JC. И. Адяи, Бесконечные неприводимые системы групповых тождеств, ДАН СССР, 1970, 190, 3, 499--501.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1| V. Н. Mikaelian, Subnormal embedding theorem« for groups, J. London Math. Soc., 62 (2000), 398- 400. MR1783633

[2] H. Hcinekcn, V. II. Mikaelian, On normal verbal embeddings of ¡¡roups, Algebra, 12. J. Math. Sei. (New York) 100 (2000), no. 1, 1915-1924. MR1774361 («иссертату принадлежит основной критерий о нормальной вербальной юо-жимосги дня всех групп упомянутый в Главе 1 диссертации.)

[3] V. Н. Mikaelian, On varieties of yroups generated by wreath products of abelian groups, Abelian groups, rings and modules (Perth, Australia, 2000). 223-238, Contcmp. Math., 273, Amor. Math. Soc., Providence, RI, 2001. MR1817165

[4] V. H. Mikaelian, On embeddings of countable generalized soluble, groups in two-generated groups, J. Algebra, 250 (2002), 1 17. KR1898374

[5] V. H. Mikaelian, Two problems on varieties of groups generated by wreath product* of groups, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 31 (2002), 2, 05-75. HR1916454

(6| V. H. Mikaelian, An embedding construction for ordered groups, J. Austral. Math. Soe. (A), 74 (2003), 379 392. MR1970055

[7J V. II. Mikaelian, On wreath products of finitely generated abelian groups, Advances in Group Theory, Proc. Internat. Research Bimester dedicated to the memory of Reinhold Baer, (Napoli, Italy, May-June, 2002), Aracnc, Roma, 2003, 13-24. HR2053433

(8| V, H. Mikaelian, Über die normalen verbalen Einbettungen einiger Klassen der Gruppen, Beiträge zur Algebra und Geometrie, 45 (2004), 2. 501-51G (Deutsch und Englisch). MR2093021

V. H. Mikaelian, On normal verbal embeddings of some classes of groups, Contributions to Algebra and Geometry, 45 (2001), 2, 501-51G (in German and English). MR2093021

[9] V. H. Mikaelian, Infinitely many not locally soluble SI*-givups, Ricerche di

Maiematica, Univ. Studi Napoli, Naples, 52 (2003), 1-19, MR2090057 (10j V. H. Mikaelian, On embedding properties of SD-groups, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2004:2 (2004) 65-76. MR2471850 [1 lj V. II. Mikaelian, On a problem on exjMeit embeddings of the. group Q, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2005:13 (2005) 2119-2123. MR2177699 [12j V. H. Mikaelian, Metabelian varieties of groups and wreath products of abelian groups, J, Algebra, 2007 (313), 2, 455-485. MR2329555

[13] V. H. Mikaclian, On finitely generated soluble non-Hopfian groups, an application to a problem of Neumann, IJAC, International Journal of Algebra and Computations, 17 (2007), Nos. 5-6, 1107-1113. MR2355688 |14] V. H. Mikaclian, SD-groups and ernbaldings, Armen. J. Math. 1 (2008), no. 3, 23-42. MR2471850

[15] В. Г. Микасшш, О конечно порождённых разрешимых нехопфовых группах, Фундамент. и ирнкл. матсм., 14:8 (2008), 185-202 (па русском и английском). MR2355688

V. Н. Mikaelian, Оп finitely generated soluble non-Hopfian groups, Fundain. Prikl. Mat., 14:8 (2008), 185202 (in Russian and English). HR2355688

Подписано в печать 29.04.2011 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1111 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

ВВЕДЕНИЕ

Вербальные вложения групп

Основные результаты

Апробация результатов

Публикации и тексты статей

Структура диссертации

Подробное описание работы: результаты и техника

ГЛАВА 1. Нормальные вербальные вложения групп

1. Введение и содержание главы

2. Обозначения и определения нормальных и субнормальных вложений групп

3. Задача Хайнекена о нормальных вербальных вложениях групп 19 4 Критерий нормальной вербальной вложимости для групп

5. Простой пример: нормальные ^-вербальные вложения симметричских групп

6. Нормальная вербальная вложимость классов групп

7. Обобщение теоремы Бернсайда о нормальных вложениях р-групп в коммутанты групп

8. Конструкция группы И г(О, Д А)

ГЛАВА 2. Субнормальные вербальные вложения групп

9. Введение

10. Субнормальная вербальная вложимость для любой группы и для любого нетривиального множества слов

11. Конструкция субнормального вербального вложения

12. О дефекте субнормальных вложений, случай нормальных вложений

13 «Экономичные» вербальные вложения разрешимых групп в разрешимые группы

ОГЛАВЛЕНИЕ з

14. О вербальных вложениях конечных групп в конечные группы

15. Проблема явного вложения группы (ф в 2-порожденную группу

16. Определеиние полного порядка над группами, и связанные с этим понятия

17. Вложения вполне упорядоченных групп

ГЛАВА 3. Вложения счетных обобщенных разрешимых и обобщенных нильпотентных групп

18. Введение 54 19 Обозначения и определения 55 20. Теорема Ковача и Ноймана, вложения обобщенных разрешимых и обобщенных нильпотентных групп

21 Основные теоремы о вложениях обобщенных разрешимых групп

22. Основная конструкция вложения

23. Случай нормальных вложений, связь с проблемой Хайнекена, примеры

24. Примеры групп не вложимых в 2-порожденые группы

25. О вложениях 5Д-групп

ГЛАВА 4. Многообразия порожденные сплетениями абелевых групп

26. Основная задача

27. Результаты Хигмена и Хоутона, примеры

28. Общий критерий для случая сплетения любых абелевых групп

29. Общий критерий для случая любых множеств абелевых групп

30. Структура доказательства

31. Дискриминирующие множества групп

32. Некоторые специальные обозначения для абелевых групп

33. Сплетения множеств групп и произведения многообразий групп

34. Случай многообразий, порожденных сплетениями конечных абелевых групп. Теорема Хоутона.

35 Редукция к случаю бесконечных множеств счетных абелевых групп конечных экспонент

36. Случай множеств абелевых р-групп

4 ОГЛАВЛЕНИЕ

37. Случай множеств абелевых групп ï и 2) конечных составных экспонент

38. Общий критерий, примеры для нильпотентных и разрешимых групп

39. Некоторые иллюстрации и приложения 10?

40. Критерий для сплетений типа A Wr (В © В)

ГЛАВА 5. Групповые конструкции основанные на вербальных вложениях групп

41. Введение и основные результаты

42. Конечно-порожденные разрешимые нехопфовы группы

43. Вложение 2-порожденных групп в 3-порожденные нехопфовы группы

44. Континуум 2-порожденных групп, порождающих попарно различные многообразия групп, вложения в 2-порожденные группы

45. Заключительные доказательства

46. Вопрос Плоткина о 2-порожденных группах

47. Первое доказательство, основанное на бесконечных сплетенных степенях

48. Второе доказательство, основанное на геометрическом подходе

49. Сравнение аргументов и другие приложения метода

50. О локально неразрешимых «S7*-rpynnax

Вложения групп, существование вложений с определенными заданными свойствами являются одними из самых интересных и продуктивных тематик исследований в теории групп. Можно сказать, чго мотив вложений проходит через всю теорию групп начиная с ее зарождения. Причем вложения групп часто сами оказываются очень полезными инструментами для решения задач в других областях теории групп: с их помощью сгроят примеры групп с заданными свойствами, решают алгоритмические вопросы и т. д.

Цель настоящей работы - разработать методы вербальных нормальных и субнормальных вложений групп, другие методы связанные со сплетениями групп, и с их помощью решить ряд проблем и обобщить известные результаты в теории многообразий групп, обобщенных разрешимых и обобщенных нильпотентных групп, вложений групп в группы с заданными свойствами, хопфовых групп и по близким вопросам.

Вложение (мономорфный гомоморфизм) <р : Н —(7 группы Н в группу С с образом Н = Н = Н{р < С? называется нормальным или субнормальным, если Н нормальная гаи, соответственно, субнормальная подгруппа в С. Пусть V С Ех - множество слов. Назовем эго вложение V-вербальным (или просто вербальным) если Н лежит в вербальной подгруппе где У(С) = (и(ди дп) \и = у(хх,.,хп) <Е У\дг,.,дп £ С). Очевидно понятие вербального вложения есть обобщение таких широко используемых в литературе понятий как «вложение в коммутант группы», «вложение в 7?-ый член нижнего центрального ряда группы» ит. д.

Основные результаты

Ниже в этом Введении будет дано подробное описание глав работы, и техники использованной в них (стр. 9-16). Но дня удобства обзора кратко приведем основные результаты. Работа состоит из пяти глав.

В Главе 1 решается проблема Хайнекена о нормальной вербальной вложимости групп: когда для данной группы Н и данного множества слое V существует группа С?, допускающая нормальное вербальное вложение Н в (?? Этот вопрос был решен Хайнекеном для всех конечных р-групп в [45]. Айк в [31, 32] решила вопрос для случая всех конечных групп. Полный ответ для случая любой группы Н был дан в нашей совместной работе с Хайнекеном [2] (см. Теорему 1 в Параграфе 4 настоящей работы). В Главе 1 также рассматриваются нормальные вербальные вложения «с дополнительными условиями», и с их помощью дается одно обобщение теоремы Бернсайда о вложениях конечных р-групп.

В Главе 2 обсуждаю гея субнормальные вербальные вложения групп. Доказывается, что в отличии от нормального случая, субнормальная вербальная вложимоегь имеет место всегда: По пункту А Теоремы 10 в Параграфе 10, для любой группы Н и для любого нетривиального множества слов V всегда существует группа С?, допускающая субнормальное ^-вербальное вложение Я в С. Более того, можно получигь усиления ряда известных теорем о вложениях счетных групп, в частности, знаменитой Теоремы Хигмена и Нойманов о вложимости любой счетной группы в 2-порожденную группу [46, 74]. По пункту В Теоремы 10 в Параграфе 10, каждая счетная группа для любого нетривиального множества слов V вербалъно вложима в 2-порожденную группу, причем это вложение может быть субнормальным. Далее, в качесгве иллюстрации метода, решается один из пунктов Проблемы 14.10 де ля Арпа и Бридсона из Коуровской Тетради [53] о явной вложимости аддитивной группы рациональных чисел <0> в конечно-порожденную группу. Положительный ответ был дан в [11] (см. Параграф 15). Глава 2 заканчивается рассмотрением вложений вполне упорядоченных групп.

В Главе 3 рассматриваются субнормальные вложения счетных групп с дополнительными условиями. Основная цель - изучение случаев, когда счетная группа данного класса (ниль-потентная группа, обобщенная разрешимая группа и г. д.) вложима в 2-порожденную группу того же класса. Параллельно рассматривается когда это вложение может быть вербальным, сохраняющим отношение порядка на группах, и т. д. В частности, по Теореме 16 и Теореме 15 в Параграфе 21, и по Теореме 18 в Параграфе 25, если счетная группа Н является разрешимой, группой, Б М* -группой, Б1*-группой, 3N-группой, БI-группой, БЫ- группой, Б Г-группой илиже Б П-группой, то для любого нетривиального множества слов V существует 2-порожденная группа и субнормальное V-вербальное вложение Н в С некоторую группу (?, причем группу б? можно выбрать в томже из выше перечисленных }спассов, что и Н. Приводятся контрпримеры, показывающие, что подобное утверждение не верно для классов абелевых групп, нильпотентных групп, 2.4-групп или УУ-групн (см. определения « Параграфе 19).

В Главе 4 обсуждаются многообразия, порожденные сплетениями абелевых групп и сплетениями множеств абелевых групп. Находятся критерии, классифицирующие все случаи, когда для данных множеств абелевых групп X и 2) их декартово сплетение X \\т 2) = {Х\УгУ|Л" € Х,У е 2)} или их прямое сплетение 3£\уг2) = {Х^хУ\Х е Х,У е 2)} порождают произведение уаг (ЗС) уаг (2)) многообразий порожденных данными множествами групп X и 2). В частности, когда множества X и 2) состоят каждая из одной группы: X = {А} и 2) = {В}, мы получаем критерии, классифицирующие все случаи, когда уаг (А \\'г В) = уаг (А) уаг (В) и уаг (А \уг В) = уаг (Л) уаг (В). Эти результаты обобщают известные факты о выполнении таких равенств в частных случаях. Например, результат Хоутона, изучившего случай циклических групп А = Ст, В — Сп: равенство уаг (Ст Сп) = уаг (Ст) уаг (СТ!)'"-01тШп имеет место тогда и только тогда, когда т и п взаимно просты [75].

В Главе 5 мы используем (вербальные) вложения групп для построения групп и классов групп с различными свойствами. Например, в Теореме 37 в Параграфе 42 доказывается, что существует континуум 3-порожденных разрешимых нехопфовых групп, порождающих попарно различные многообразия групп. Длина разрешимости этих групп не более девяти. Там же дана одна иллюстрация к Проблеме 16 Ханны Нойман [75] и к результагу Гроувза [35]. Далее в Главе 5, в Параграфах 46 - 49 дана геометрическая конструкция иллюстрирующая известную концепцию бесконечных сплетенных степеней Ф. Холла, и с их помощью дан ответ на один вопрос Плоткина: Существует ли 2-порожденная группа С? = (х, у) такая, что С не разрешима (поэтому, она и не локально-разрешима), но нормальное замыкание (х)с элемента жаб есть локально разрешимая подгруппа? Глава 5 закрывается примерами локально-неразрешимых 57*-групп. Мы строим континуум примеров таких групп, все лежащие в 21 • [(Яр П <£„) и (05 П ОЗадг)) ■ 213.

ВВЕДЕНИЕ Апробация результатов

Результаты диссертации начиная с 1997 г. неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах, международных конференциях и воркшопах. В их числе можно отметить:

• XXII Международный математический конгресс в Берлине, Германия, 1998. *•

• Объединенный алгебраический семинар университетов Фрайбурга, Нюрнберга и Вюрц-бурга, Германия, 1998.

• Биместр памяти Рейхолда Бэра в Университете Неаполя, Италия, 2002 (два часовых доклада).

• Международная конференция по теории групп и групповых колец в Гливице, Польша, 2003.

• Международная алгебраическая конференция в Москве к 250-летнему юбилею Московского государственного университета, и к 75-летнему юбилею кафедры алгебры Московского государственного университета, Москва, Россия, 2004.

• Международная конференция по комбинаторной и геомегрической теории групп в Уж: -верситете Вапдербильдт, Нэшвиль, США, 2005.

• Международная конференция к 80 юбилею профессора Бориса Плоткина, Иерусалим, Израиль, 2006.

• Первая международная конференция по алгебре и геометрии в Армении, Ереван, 2007.

• Семинар по теории групп кафедры высшей алгебры Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия, 2011.

• Кафедральный семинар кафедры высшей алгебре Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия, 2011.

Большинство результатов диссертации включены в опубликованные тезисы этих конференций.

Работа автора Subnormal embedding theorems for groups (J. London Math. Soc., 62 (2000), 398-406) была удостоена Первой международной премии имени Эмиля Артина в 2001 г. (см. Notices of the American Mathematical Society 2001, 48, 8, c. 834): http ://www.ams.org/notices/200108/people.pdf

ПОДРОБНОЕ ОПИСАНИЕ РАБОТЫ- РЕЗУЛЬТАТЫ И ТЕХНИКА Публикации и тексты статей

Результаты работы представлены в статьях [1]-[16]. Основные из полученных результатов приведены в этой работе полностью, вместе с доказательствами и техническими деталями. Остальная часть материала статей приводится без доказательств, но со ссылками на соответствующие части публикаций. Ниже в основном тексте будут даны все необходимые специальные определения и обозначения. А в этом Введении ограничимся лишь несколькими определениями, чтобы не отсылать читателя к другим параграфам слишком часто. См. таю^е обзор основных результатов в [16].

Структура диссертации

Диссертация состоит из Введения, из 5 глав (разбитых на параграфы) и из списка ли-терагуры. Нумерация параграфов, теорем, лемм, определений и т.д. - сквозная. Полный объем диссертации 167 страниц, библиография включает 87 наименований, из которых 16 -публикации автора по теме диссертации.

1. V. Н. Mikaelian, Subnormal embedding theorems for groups, J. London Math. Soc., 62 (2000), 398-406. MR1783633

2. H. Heineken, V. H. Mikaelian On normal verbal embeddings of groups, J. Math. Sei., New York, 100 (2000), 1, 1915-1924. MR1774361

3. V. H. Mikaelian, On varieties of groups generated by wreath products of abelian groups, Abelian groups, rings and modules (Perth, Australia, 2000), 223-238, Contemp. Math., 273, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001. MR1817165

4. V. H. Mikaelian, On embeddings of countable generalized soluble groups in two-generated groups, J. Algebra, 250 (2002), 1-17. MR1898374

5. V. H. Mikaelian, Two problems on varieties of groups generated by wreath products of groups, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 31 (2002), 2, 65-75. MR1916454

6. V. H. Mikaelian, An embedding construction for ordered groups, J. Austral Math. Soc. (A), 74 (2003), 379-392. MR1970055

7. V. H. Mikaelian, On wreath products of finitely generated abelian groups, Advances in. Group Theory, Proc. Internat. Research Bimester dedicated to the memory of Reinhold Baer, (Napoli, Italy, May-June, 2002), Aracne, Roma, 2003, 13-24. MR2053433

8. V. H. Mikaelian, Infinitely many not locally soluble SI*-groups, Ricerche di Matematica, Univ. Studi Napoli, Naples, 52 (2003), 1-19. MR2090057

9. V. H. Mikaelian, On embedding properties of SD-groups, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2004:2 (2004) 65-76. MR2471850

10. V. H. Mikaelian, On a problem on explicit embeddings of the group Q, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2005:13 (2005) 2119-2123. MR2177699161162 ЛИТЕРАТУРА

11. V. Н. Mikaelian, Metabehan varieties of groups and wreath products of abelian groups, J. Algebra, 2007 (313), 2, 455-485. MR2329555

12. V. H. Mikaelian, On finitely generated soluble non-Hopfian groups, an application to a problem of Neumann, IJAC, International Journal of Algebra and Computations, 17 (2007), Nos. 5-6, 1107-1113. MR2355688

13. V. H. Mikaelian, SD-groups and embeddings, Armen. J. Math. 1 (2008), no. 3, 23r42. MR2471850

14. С. И. Адян, Бесконечные неприводимые системы групповых тождеств, ДАН ССС", 1970, 190, 3, 499--501.

15. R. Baer, Die Kompositionsreihe der Gruppe oiler eineindeutigen Abbildungen emer unendlichen Menge auf sich, Studia Math. 5 (1934), 15-17.

16. G. Baumslag, Wreath products and extensions, Math. Z., 81 (1963), 286-299.

17. G. Baumslag, L.G. Kovacs, B.H. Neumann, On products of normal subgroups, Acta Sci. Math. 26, 145-147 (1965).

18. G. Baumslag, В. H. Neumann, Hanna Neumann, P. M. Neumann On varieties generated by finitely generated group, Math. Z., 86 (1964), 93-122.

19. G. Birkhoff, On the structure of abstract algebras, Proc. Cambridge Phil. Soc., 31 (1935), 433-454.

20. N. Blackburn, On prime power groups in which the derived group has two generators, Proc. Cambridge Philos. Soc. 53 (1957), 19-27.

21. N. Blackburn, B. Huppert, Finite Groups (Endhche Gruppen), Springer-Verlag, Berlin (1967-82).ЛИТЕРАТУРА 1631

22. N. R. Brumberg, Connection of wreath product with other operations on groups, Sib. Mat. Zh., 4 (1963), 6, 1221-1234 (Russian).

23. R. M. Bryant, J. R. J. Groves, Wreath products and ultraproducts of groups, Quart J. Math. (2), 29 (1978), 301-308.

24. R. G. Burns, Ph.D. Thesis.

25. W. Burnside, On some properties of groups whose orders are powers of primes, Proc. London Math. Soc. (2) 11 (1912) 225-245.

26. R. Dark, On subnormal embedding theorems of groups, J. London Math Soc. 43 (1968), 387-390.

27. J. L. Dyer, E. Formanek, The automorphism group of a free group is complete, J. London Math. Soc. (2) 11 (1975), 181-190.

28. B. Eick, The converse of a theorem of W. Gaschütz on Frattini subgroups, Math. Z. 224, (1997), 1, 103-111.

29. B. Eick, Characterisierung und Konstruktion von Frattmigruppen mit Anwendungen in der Konstruktion endlicher Gruppen, Aachener Beiträge zur Mathematik, Band 17, Aachen, 1996.

30. L. Fuchs, Partially ordered algebraic systems, Pergamon Press, Oxford, London, New York, Paris, 1963. Russian translation by I. V. Streletski under edition of A. G. Kurosch, Mir, M 1965.

31. F. Galvin, Embedding countable groups in 2-generator groups. Amer. Math. Monthly 100 (1993), no. 6, 578-580. v

32. J. R. J. Groves, On some finiteness conditions for varieties of metanilpotent groups, Arch. Math. 24 (1973), 252-268.

33. P. Hall, Finiteness conditions for soluble groups, Proc. London Math. Soc., (3) 4 (1954), 419-436.

34. P. Hall, Some constructions for locally finite groups, J. Lond. Math. Soc. 34, 305-319 (1959).

35. P. Hall, Wreath powers and characteristically simple groups, Proc. Camb. Philos. Soc. 58, 170-184 (1962).

36. P. Hall, On non-strictly simple groups, Proc. Camb. Philos. Soc. 59, 531-533 (1963).

37. P. Hall, The Frattiny subgroups of finitely generated groups, Proc. London Math. Soc'., (3) 11 (1961), 327-352.164 ЛИТЕРАТУРА

38. P. Hall, On the embedding of a group into a join of given groups, J. Austral. Math.Soc.,17 (1974), 434-495. • .

39. H. Heineken, J. C. Lennox, The subnormal embedding of complete groups, J. Algebra, 90.(1984), 435-445.

40. H. Heineken, P. Soules, The subnormal embedding of complete groups, J. Austral. Math. Soc. (Series A) 45 (1988), 389-400.

41. H. Heineken, Normal embeddings of p-groups into p-groups, Proc. Edinburgh Math. Soc. 35 (1992) , 309-314.

42. H. Heineken, On normal embedding of subgroups., Geom. Dedicata 83, No.1-3, 211-216 (2000).

43. G. Higman, B. Neumann, Hanna Neumann, 'Embedding theorems for groups', J. London Math. Soc. 3 24, (1949), 247-254.

44. G. Higman, A finitely related group with an isomorphic proper factor group, J. London Math. Soc. 26 (1951), 59-61.

45. G. Higman, Some remarks on varieties of groups, Quart. J. Math. Oxford, (2) 10 (1959), 165-178.

46. H. Hopf, Beitrage zur Klassifizierung der Flàchenabbildungen, J. Reine Angew. Math. 1965 (1931), 225-236.

47. O. Holder, Bildung zusammengesetzter Gruppen, Math. Ann., 46 (1895), 312-422.

48. L. Kaloujnine, M. Krasner, Produit complete des groupes de permutations et le problème d'extension des groupes. Ill, Acta Sci. Math. Szeged, 14 (1951), 69-82.

49. М.И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, 4е издание , (1996). МЛ. Kargapolov, Ju. I. Merzlyakov, Fundamentals of the Theory of Groups, English translation of the second edition by R. G. Burns, Springer-Verlag, New York (1979).

50. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп, 14-е издание, под ред. Мазурова В.Д., Хухро Е.В. Сибирское отделение РАН, Институт математики, Новосибирск, 1999.

51. L. G. Kovâcs, В. Н. Neumann, An embedding theorem for some countable groups, Acta Sci. Math. (Szegel) 26 (1965), 139-142.

52. L. G. Kovâcs, В. H. Neumann, On non-Cross varieties of groups, J. Austral. Math. Soc., 12 (1971), 2, 129-144.

53. A. G. Kuros, The Theory of Groups, third edition, Nauka, Moscow (1967) (Russian). English translation of the second edition by K. A. Hirsch, Chalesa, New York (1960)ЛИТЕРАТУРА

54. F. W. Levi, Ordered groups, Proc. Indian Acad. Sci., 16 (1942), 256-263.

55. F. W. Levi, Contributions to the theory of ordered groups, Proc. Indian Acad. Sci., 17 (1943), 199-201.

56. F. Levin, G. Rosenberger, A class of SQ-universal groups, Group theory (Singapore, 1987), 409-415, de Gruyter, Berlin-New York, 1989.

57. H. Licbeck, Concerning nilpotent wreath products, Proc. Cambridge Phil. Soc., 58 (1962), 443-451.

58. R. C. Lyndon, P. E. Schupp, Combinatorial Group Theory, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York (1977).

59. А. И. Мальцев, Об изоморфном, представлении бесконечных групп матрицами, Мат. Сб. 28 (1940), 405-422.

60. А. И. Мальцев, Нильпотентные группы без кручения, Изв. АН СССР, Сер. мат., 25 (1949), 201-212.

61. D. W. Miller, On a theorem of Holder, Amer. Math. Monthly, 65 (1958), 4, 252-254

62. C. F. Miller, P. E. Schupp, On embeddings into Hopfian groups, J. Algebra 17 (1971), 171-176.

63. В. H. Neumann, On ordered groups, Amer. J. Math., 71 (1949), 1-18.

64. В. H. Neumann, A two-generator group isomorphic to a proper factor group, J. London Math. Soc. 25 (1950), 247-248.

65. В. H. Neumann, 'Embedding theorems for ordered groups', J. London Math. Soc. 35 (1960), 503-512.

66. P. M. Neumann, On the structure of standard wreath products of groups, Math. Z., 84 (1964), 343-373.

67. В. H. Neumann, 'Embedding theorems for groups', Nieuw Arch. Wisk. (3) 16 (1968), 73-78.

68. В. H. Neumann, Embedding theorems for groups. Nieuw Arch. Wisk. (3) 16 (1968), 73-78.

69. В. H. Neumann, On a problem of Hopf, J. London Math. Soc. 28 (1953), 351-353.

70. В. H. Neumann, An essay on free products of groups with amalgamations, Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 246 (1954), 503-554.

71. В. H. Neumann, Hanna Neumann, 'Embedding theorems for gioups', J. London Math. Soc. 34 (1959), 465-479.

72. Hanna Neumann, Varieties of Groups, Springer-Verlag, Berlin (1967).

73. А. Ю. Ольшанский, О проблеме конечного базиса тождеств в группах, Изв. АН СССР. Сер. матем., 34 (1970), 376-384.

74. А. Ю. Ольшанский, Разрешимые почти-кроссовы многообразия групп, Матем. сб., 85(127): 1(5) (1971), 115131.

75. А. Ю. Ольшанский, Вложения счетных периодических групп в простые 2-порожденные периодические группы, Украинский мат. журнал, 43 (1991), 7-8, 980-986.

76. Б. И. Плоткин, К теории локально нипъпотентных групп, ДАН СССР 29 (1965), 149170.

77. Б. И. Плоткин, Обобщенные разрешимые и обобиценные нипъпотентные группы, УМН, сер. матем. 13 (1958), 89-172.

78. D. J. S. Robinson, Finitcness Conditions and Generalized Soluble Groups, SpringerVerlag, Berlin, (1972).

79. D. J. S. Robinson, Recent results of finite complete groups, in Algebra Carbondale 1980, Lecture Notes in Math. 848, Springer-Verlag, Berlin (1981), 178-185.

80. D. J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, second edition, Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg (1996).

81. P. E. Schupp, A note on non-Hopfian groups, J. London Math. Soc. (2) 16 (1977), 235-236.

82. A. JI. Шмелькин, Свободные полинилъпотентные группы, Изв. АН СССР. Сер. матем. 28:1 (1964), 91122.

83. А. Л. Шмелькин, Сплетения и многообразия групп, Изв. АН СССР, сер. матем. 29 (1965), 149-170.

84. J. S. Wilson, P. A. Zalesskii, An embedding theorem for certain residually finite groups, Arch. Math. (Basel) 67 (1996), no. 3, 177-182.