Аналоги для алгебр ЛИ некоторых утверждений из теории групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 512.543.2 + 512.554.33

Сырцов Алексея Владимирович

АНАЛОГИ ДЛЯ АЛГЕБР ЛИ НЕКОТОРЫХ УТВЕРЖДЕНИЙ ИЗ

ТЕОРИИ ГРУПП

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А. Л. Шмелькин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор С. В. Пчелинцев

кандидат физико-математических на} К. К. Андреев

Ведущая организация:

Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого

Защита диссертации состоится 3 июня 2005 г. в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государ- ' ственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08. •

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке механико-математи ческого факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж). Автореферат разослан 3 мая 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Чубариков

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В работе исследуются некоторые проблемы, связанные с понятиями вербального произведения групп и вербального произведения алгебр Ли.

Вербальные произведения групп введены Мораном1 и являются обобщением нильпотентных произведении групп, введенных О. Н. Головиным2. Нильпотентные произведения групп являются, в свою очередь, обобщением широко известного понятия прямого произведения групп. Прямые, нильпотентные, вербальные произведения алгебр Ли были определены по аналогии с соответствующими групповыми понятиями.

Главная часть работы связана с вербальными произведениями магну-совых групп. Напомним, что группа G называется магнусовой группой, если она нильпотентно аппроксимируема и факторы нижнего центрального ряда этой группы не имеют кручения. Свободные группы являются магнусовыми группами. Этот результат доказан Магнусом3,4 и Вит-том5. В дальнейшем было получено множество результатов подобного типа. Были поставлены следующие вопросы. 1) В каких многообразиях групп все свободные группы являются магнусовыми группами? 2) В каких многообразиях групп класс магнусовых групп замкнут относительно операции свободного произведения?

В отношении первого вопроса известно, что

1) свободные полинилъпотентные группы являются магнусовыми группами (А. Л. Шмелькин6);

2) свободные группы многообразия где к > 1,1 > 1, явля-

1Могап S. Associative operations on groups, IJI Proc. London Math. Soc. 1956. V.3. №6. P.581-596.

2Головин О. H. Нильпотентные произведения групп // Матем. Сб. 1950. Т.27.

3 Magnus W. Beziehungen zwischen Gruppen und Idealen in einem speziellen Ring // Math. Ann. 1935. 111. 259-280.

4 Magnus W. Uber Beziehungen zwischen höheren Kommutatoren // J. reine angew. Math. 1937. 177. 105-115.

5 Witt E. Treue Darstellung Liescher Ringe // J. reine angew. Math. 1937. 177. 152-160.

"Шмелькин A. JI. Свободные полинилъпотентные группы // Изв. АН СССР, сери* матем. 1964. Т.28. С.91-122.

С.427-454.

ются магнусовыми группами (М. Р. Вон-Ли, В. Тасич7). В случае, когда I = к + 1 этот результат был доказан Э. Б. Кикодзе8.

В отношении второго вопроса известно, что

1) в многообразии всех групп класс магнусовых групп замкнут относительно операции свободного произведения (А. Л. Шмелькин9);

2) в многообразии 9t2 всех метабелевых групп класс магнусовых %Р-групп замкнут относительно операции Я?-произведения (Д. И. Эй-делькинд10).

Ряд авторов привели примеры, показывающие, что в многообразии 9îc(i)9îc(2) • • • 91с(п) всех полинилъпотентных групп, соответствующих последовательности с(1),..., с(п), где либо п > 2, либо с(1) > 1, класс магнусовых 91е(1)91с(2) • • • ^Пс(п)-груш1 не является замкнутым относительно 9tc(i)9tc(2) • • • <Пс(п)-проиэведения (см. сноску [10]). Возникает вопрос: верно ли, что в многообразии 21*ПС всех групп с абелевым (с+1)-ым членом нижнего центрального ряда класс магнусовых 2Wtc-rpynn замкнут относительно 2ЦПс-произведения? В настоящей работе дается положительное решение этой проблемы.

Часть работы посвящена проблемам изоморфизма нильпотентных разложений колец и алгебр Ли. Первоначально такие проблемы исследовали в теории групп. Ремак11 доказал, что любые два разложения конечной группы в прямые произведения с неразложимыми сомножителями изоморфны, т.е. между сомножителями этих разложений можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие сомножители изоморфны. После введения О. Н. Головиным нильпотентных произведений групп, встал следующий вопрос: при каких условиях разложения группы в п-нильпотентные произведения с неразложимыми сомножителями изоморфны? А. Л. Шмелькин12

7Tasic V., Vaughan-Lee M. R. Torsion in certain relatively free groups // Bull. London Math. Soc. 1995. V.27. №4. P.327-333.

'Кикодзе Э. Б. О свободных группах некоторых многообразии // Алгебра и логика. 1966. Т.5. т. С.15-23.

"Шмелькин А. Л: О нижнем центральном ряде свободного произведения групп // Алгебра и логика. 1969. Т.8. №1. С.129-137.

10ЭЙделькинд Д. И. Вербальные произведения групп Магнуса // Матем. сб. 1971. Т.85 (127). С.504-526.

' uRèmak R. Uber die Zerlegung der endlichen Gruppen in direkte unzerlegbare Faktoren // J. reine angew. Math. 1911. 139. 293- 308.

'" "Шмелькин A. JI. Об "изоморфизме нильпотентных разложении нильпотентных групп без кручения // Сиб. матем. ж. 1963. Т.4. №6. С.1412-1425.

указал ряд условии, при которых некоторые разложения нильпотентных групп без кручения изоморфны. В. В. Лиманский13 доказал, что любые разложения в n-нилыготентные произведения с неразложимыми сомножителями группы, обладающей главным рядом, изоморфны. В работе приведены аналоги этих утверждений для колец Ли.

Часть работы посвящена построению вложений некоторых фактор-алгебр свободного произведения алгебр Ли в вербальные сплетения алгебр Ли. Магнус14 построил вложение группы F/R!, где F - свободная группа, R - нормальная подгруппа группы F, Rf - коммутант группы R, в сплетение A wrF/R, где А - свободная абелева группа того же ранга, что и F. Это вложение, называемое вложением Магнуса, является одним из главных инструментов исследования групп вида F/R!. А. Л. Шмель-кин15,16, во-первых, обобщил результат Магнуса на группы вида F/43(R), где %J(R) - вербальная подгруппа группы R, соответствующая многообразию 9J, и, во-вторых, построил соответствующее вложение для групп вида G/4J(R), где G = ГКе/ G{ - свободное произведение семейства групп (Gi)ie/, R лежит в декартовой подгруппе группы G.

Также А. Л. Шмелькин построил аналоги этих утверждений для алгебр Ли17,18. Н. С. Романовский19 получил результат, являющийся обобщением выше сформулированных групповых результатов А. Л. Шмель-кина. А именно, Н. С. Романовский построил подобное вложение для групп вида (G * F)/%t(R), где G = П»<=/ G¿ - свободное произведение семейства групп (G¿),-e/, F - свободная группа, R - нормальная подгруппа группы G * F, такая, что для всех i R П <7,- = 1. Аналог этого утверждения для алгебр Ли является совместным результатом автора и А. Л. Шмелькина.

13 Лиманский В. В. Изоморфизмы нильпотентных разложений групп, обладающих главным рядом // Тр. Моск. матем. о-ва. 1979. Т.39. С.135-155.

"Magnus W. On a theorem of Marshall Hall //Ann. Math. 1939. V.40. №4. P.764-768.

15Шмелькин A. JI. Сплетения и многообразия групп // Изв. АН СССР, серия матем. 1965. Т.29. №1. С.149-170.

18Шмелькин А. Л. О свободных произведениях групп // Матем. сб. 1969. Т.79 (121). №4(8). С.616-620.

17 Шмелькин А. Л. Вложение в сплетение некоторых фактор-алгебр свободной суммы алгебр Ли // Записки кафедры высшей алгебры МГУ.

18Шмелькин А. Л. Сплетения алгебр Ли и их применения в теории групп // Тр. Моск. матем. о-ва. 1973. Т.29. С.247-260.

19 Романовский Н. С. О вложениях Шмелькина для абстрактных и проконечных групп // Алгебра и логика. 1999. Т.38. №5. С.598-612.

Цель работы

Цель работы - завершение классификации тех многообразий полиниль-потентных групп, в которых свободные произведения магнусовых групп являются магнусовыми группами; получение утверждений об единственности разложений в нильпотентные произведения алгебр Ли; построение вложений определенных фактор-алгебр свободной суммы алгебр Ли в вербальные сплетения.

Методы исследования

В работе используются методы и результаты теории алгебр Ли и теории групп.

Научная новизна

Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1) Показано, что в многообразии 2С91с всех групп с абелевым (с 4- 1)-ым членом нижнего центрального ряда класс магнусовых 2Ю1с-групп замкнут относительно ЯЮ^-пронз ведения.

2) Показано, что [9?с, 91£+х]-произведение магнусовых 5КЛс-групп является магнусовой группой.

3) Приведены аналоги для колец Ли результатов А. Л. Шмелькина и В. В. Лиманского об единственности разложений групп в нильпотентные произведения (см. сноску [12] на с. 2, сноску [13] на с. 3).

4) Построено обобщение результатов А. Л. Шмелькина о вложении определенных фактор-алгебр свободного произведения алгебр Ли в вербальное сплетение (см. сноску [17] на с. 3).

Практическая и теоретическая значимость

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в различных задачах теории групп и алгебр Ли.

Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ, на семинаре по теории групп на механико-математическом факультете МГУ, на международной алгебраической конференции (Москва, 2004 г.).

Публикации

Основные результаты опубликованы в 2 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, раздела обозначений и предварительных замечаний, пяти глав и списка литературы. Полный объем диссертации - 77 страниц, библиография включает 33 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении отражена история вопросов, рассмотренных в диссертации, кратко сформулированы основные результаты.

В разделе обозначений и предварительных замечаний выписаны основные обозначения, используемые в работе, и сформулированы необходимые теоретические сведения.

В первой главе исследуются вербальные произведения магнусовых групп. Для вспомогательных целей построена база 2КГСс-свободного произведения алгебр Ли. Основным результатом является

Теорема 5. Пусть в = С?» - ЖЯс-свободное произведение

магнусовых групп £7*, г € I, принадлежащих многообразию Тогда группа £? - магнусов а группа.

Вместе с результатами Эйделькинда теорема 5 завершает классификацию многообразий полинилыготентных групп, в которых свободные произведения магнусовых групп являются магнусовыми группами. С помощью теоремы 5 доказавается

Теорема 6. [91с,91с+1 ]-произведение магнусовых %Я\.с-групп является магнусовой группой.

Этот результат является обобщением выше сформулированного результата Кикодзе.

Также приведен пример, показывающий, что [21, О^-произведение магнусовых [21,91г]-групп не обязательно является магнусовой группой.

Во второй главе исследуется проблема изоморфизма нильпотент-ных разложений колец Ли. Приведены аналоги для колец Ли групповых результатов А. Л. Шмелышна. Основным результатом является

Теорема 2. Пусть <3 - хопфово нильпотентное кольцо Ли без кручения. Пусть

О = - • • (п)С* (1)

- нильпотентное разложение кольца (7. Предположим, что все б* имеют класс нильпотентности < п. Тогда для любого другого разложения

С = Я1(п)---(п)Я, (2)

с неразложимыми множителями будет к — I и между множителями разложений (1) и (2) можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие множители изоморфны, и если какой-либо из них имеет ранг > 1, то его можно замещать соответствующим множителем другого разложения.

В третьей главе приведены аналоги для колец Ли групповых результатов В. В. Лиманского. Доказана Теорема. Пусть

С = Сх(п) • • • (п^ = Ях(п) • • ■ (т»)Я,

- два нильпотентных разложения с неразложимыми ненулевыми сомножителями кольца Ли, обладающего главным рядом. Тогда к = I и после возможной перенумерации сомножителей <3* ^ Я;, 1 < г < к, причем существует такой п-центральный автоморфизм £ кольца (7, что

= Ни 1 < г < к.

В четвертой главе исследована проблема изоморфизма прямых разложений алгебр Ли над полем. Доказана

Теорема. Пусть С = Щ/ С» = - два прямых разложения

с неразложимыми ненулевыми сомножителями алгебры Ли над полем. Тогда между сомножителями первого и второго разложений можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие сомножители изоморфны.

В пятой главе содержатся результаты, полученные автором совместно с А. Л. Шмелькиным. Пусть Л - коммутативное кольцо с 1; (Д)«б/ ~~ некоторое семейство Л-алгебр Ли; X - свободная А-алгебра Ли со свободным порождающим множеством {х3 \ j £ J } , Р = (£]* * X -свободное произведение; Я - такой идеал алгебры Р, что ЯПВ, = {0}(г € /). Пусть В = .Р/Я, и (В) - универсальная обертывающая алгебры В. Пусть выполнены 2 условия: 1) В - свободный А-модуль, 2) для любого » Bi - свободный А-модуль и любая его база может быть дополнена до базы алгебры В. Пусть А - свободная абелева алгебра Ли со свободным порождающим множеством (а^ = АгигВ - сплетение алгебр А и В, Т - идеал, порожденный А в IV. Гомоморфизмы

В, -> \¥ : Ь, (Ьг + Я) + [<ц, Ь + Я] (Ъ € Ви г £ I),

X V/ : х{ {х, +Щ + а, {з € 7)

индуцируют гомоморфизм ф : Г/В? ^ IV.

Основным результатом главы 5 является

Теорема 1. Гомоморфизм ф является мономорфизмом.

Ясно, что сплетение \¥ можно отождествить с алгеброй Ли М матриц вида

С

Теорема 2. Матрица a¡v,Лт,leJо) тог^а и только тогда принадлежит образу ф, когда 1) при любом г е / щ лежит в правом идеале, порожденном В{ в и{В), 2) в 17(В) справедливо равенство £,е/ + Еуеу (хз + Я)и; = и.

Автор глубоко благодарен д.ф.-м.н. профессору А. Л. Шмелькину за постановку задач и помощь в работе.

Работы автора по теме диссертации

1) Сырцов А. В. Вербальные произведения магнусовых групп // ФПМ. 2004. Т.10(3). С. 199-213.

2) Шмелькин А. Л., Сырцов А. В. О вложениях некоторых фактор-алгебр свободной суммы алгебр Ли // ФПМ. 2004. Т.10(4). С.235-241.

А. Л. Шмелькину принадлежит идея доказательства основного утверждения, диссертанту принадлежит доказательство основного утверждения.

Издательство ЦПИ при механико-маггематическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать 25, ВЦ. О 5 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. О $

Тираж Д^экз. Заказ ДЗ

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

IS" 963 1

РНБ Русский фонд

2006-4 25583

Работа состоит из пяти глав. В первых четырех главах исследуются некоторые проблемы, связанные с понятиями вербального произведения групп и вербального произведения алгебр Ли. В пятой главе приводится аналог для алгебр Ли одной групповой теоремы о вложении.

Вербальные произведения групп введены Мораном (см. [26]) и являются обобщением нильпотентных произведений групп, введенных О. Н. Головиным (см. [20]). Нильпотентные произведения групп являются, в свою очередь, обобщением широко известного понятия прямого произведения групп. Прямые, нильпотентные, вербальные произведения алгебр Ли были определены по аналогии с соответствующими групповыми понятиями.

В главе 1 изучаются некоторые вопросы, касающиеся вербальных произведений магнусовых групп. Напомним, что группа G называется магнусовой группой, если она нильпотентно аппроксимируема и факторы нижнего центрального ряда этой группы не имеют кручения. Свободные группы являются магнусовыми группами. Этот результат доказан Магнусом и Виттом (см. [21], [22], [24]). В дальнейшем было получено множество результатов подобного типа. Были поставлены следующие вопросы. 1) В каких многообразиях групп все свободные группы являются магнусовыми группами? 2) В каких многообразиях групп класс магнусовых групп замкнут относительно операции свободного произведения?

В отношении первого вопроса известно, что

1) свободные полинильпотентные группы являются магнусовыми группами (А. Л. Шмелькин [6]);

2) свободные группы многообразия [91с,91с+1], где 9tc - многообразие всех нильпотентных групп ступени нильпотентности не выше с, являются магнусовыми группами (Э. Б. Кикодзе [11]).

Также справедливы некоторые обобщения этих результатов (см. [2], [10], [14], [15], [16]).

Особенно отметим результат М. Р. Вон-Ли и В. Тасича: свободные группы многообразия [91^,91/], где к > 1,1 > 1, являются магнусовыми группами ([16]).

Результатов по второму вопросу меньше:

1) в многообразии всех групп класс магнусовых групп замкнут относительно операции свободного произведения (А. Л. Шмелькин [3]);

2) в многообразии 212 всех метабелевых групп класс магнусовых Ч8?-групп замкнут относительно операции 212-произведения (Д. И. Эй-делькинд [9]).

Конечно, если в многообразии Ш класс магнусовых групп замкнут относительно 93-произведения, то в многообразии Ш П9ТС класс магнусовых групп замкнут относительно 05 П 9Тс-произведения. Таким образом,

1)' в многообразие Щс класс магнусовых У\с-групп замкнут относительно У1с-произведения (А. Л. Шмелькин [3]);

2)' в многообразие QL2 П9ТС класс магнусовых 212 П У1с-групп замкнут относительно 212 П^с-произведения (Д. И. Эйделькинд [9]).

Ряд авторов привели примеры, показывающие, что в многообразии ^c(i)^c(2) • • • ^Пс(п) всех полинильпотентных групп, соответствующих последовательности с(1),., с(п), где либо п > 2, либо с(1) > 1, класс магнусовых ^0(1)^(2) • • • 91с(„)-групп не является замкнутым относительно • • • 91с(„)-произведения (см. [9]). Возникает вопрос: верно ли, что в многообразии всех групп с абелевым (с + 1)-ым членом нижнего центрального ряда класс магнусовых 219Тс-групп замкнут относительно 2191с-произведения? В главе 1 дается положительное решение этой проблемы.

В главе 1 также строится пример, показывающий, что [01,912]-произве-дение магнусовых [21, О^-групп не обязательно является магнусовой группой. Вместе с тем, справедливо следующее обобщение сформулированного выше результата Кикодзе: [9tc,9tc+i]-произведение магнусовых 21 У1с-групп является магнусовой группой.

В главах 2, 3, 4 рассматриваются проблемы изоморфизма нильпотентных разложений колец и алгебр Ли. Первоначально такие проблемы исследовали в теории групп. Ремак в [25] доказал, что любые два разложения конечной группы в прямые произведения с неразложимыми сомножителями изоморфны, т.е. между сомножителями этих разложений можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие сомножители изоморфны. После введения О. Н. Головиным нильпотентных произведений групп, встал следующий вопрос: при каких условиях разложения группы в n-нильпотентные произведения с неразложимыми сомножителями изоморфны? А. Л. Шмель-кин в [5] указал ряд условий, при которых некоторые разложения нильпотентных групп без кручения изоморфны. В. В. Лиманский в [12] доказал, что любые разложения в n-нильпотентные произведения с неразложимыми сомножителями группы, обладающей главным рядом, изоморфны.

Мы приводим аналоги для колец Ли теорем А. Л. Шмелькина и В. В. Лиманского.

В связи с результатами работы [5] А. Л. Шмелькин поставил вопрос: верно ли, что все n-нильпотентные разложения с неразложимыми сомножителями конечнопорожденной нильпотентной группы без кручения изоморфны? В частности, верно ли, что все разложения конечнопорожденной нильпотентной группы без кручения в прямые произведения с неразложимыми сомножителями изоморфны? В. В. Лиманский в [13], приведя соответствующий пример, дает отрицательный ответ. Мы приводим аналог этого примера для колец Ли.

В случае алгебр Ли над поле ситуация другая - на это указывает следующая теорема: любые разложения алгебры JIu G над полем К в прямые прох13веденья с неразложимыми сомножителями изоморфны.

Глава 5 содержит результаты, полученные автором совместно с А. Л. Шмелькиным.

В работе [23] Магнус построил вложение группы F/R', где F - свободная группа, R - нормальная подгруппа группы F, R' - коммутант R, в сплетение A wrF/R, где А - свободная абелева группа того же ранга, что и F. Это вложение, называемое вложением Магнуса, является одним из главных инструментов исследования групп вида F/B!. A. JL Шмель-кин, во-первых, обобщил результат Магнуса на группы вида F/%J(R), где %J(R) - вербальная подгруппа группы R, соответствующая некоторому многообразию Ш, и, во-вторых, построил соответствующее вложение для групп вида G/$J(R), где G = П!е/Ф ~ свободное произведение семейства групп (Gi)iei, R лежит в декартовой подгруппе группы G (см.

И, [8]).

Также A. JI. Шмелькин построил аналоги этих утверждений для алгебр Ли (см. [1], [2]).

Н. С. Романовский получил результат, являющийся обобщением выше сформулированных групповых результатов А. Л. Шмелькина (см. [18]). А именно, Н. С. Романовский построил подобное вложение для групп вида (G * F)/Q3(i2), где G = П(*е/ ~ свободное произведение семейства групп (Gi)izi, F - свободная группа, R - нормальная подгруппа группы G * F, такая, что для всех i ЙПС,- = 1.

Главный результат главы 5 - аналог для алгебр Ли результата Романовского. Также приведено одно приложение полученного результата.

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре по теории групп на механико-математическом факультете МГУ, а также на международной алгебраической конференции (Москва, 2004 г.) и опубликованы в [30], [31], [32], [33]. Работа выполнена под руководством проф. А. Л. Шмелькина, которому автор выражает свою глубокую благодарность.

Обозначения, предварительные замечания

1. Q - поле рациональных чисел; Z - кольцо целых чисел.

Пусть Л - коммутативное кольцо с 1, дМ - Л-модуль, Т - подмножество модуля дМ. Тогда А[Т] - подмодуль, порожденный множеством Т.

2. Алгебры Ли мы будем рассматривать по умолчанию над коммутативным кольцом Л с 1. Цель этого состоит в том, чтобы не дублировать определения для колец Ли и для алгебр Ли над полем.

3. Если х, у - элементы группы, то ху = у~1ху, [х, у] = х~ху~1ху.

Если х, у - элементы алгебры Ли, то [х, у] - произведение этих элементов. 7nG - n-ый член нижнего центрального ряда группы G. Ln - n-ый член нижнего центрального ряда алгебры Ли L. Если К - поле, то подалгебру Ли, порожденную алгебрами Ли Д , г G I, будем обозначать через alg{Li,i 6 /}.

Подгруппу, порожденную группами Gi, г € /, будем обозначать через gp{Ghi е /}.

Для подкольца Ли, порожденного кольцами Ли Ri, i G /, будем использовать обозначение ring{Ri, i € /}.

Если А - подалгебра Ли (подгруппа) алгебры Ли (группы) G, то AG -идеал (нормальный делитель), порожденный А в G.

4. 21 - многообразие всех абелевых алгебр Ли (групп);

9tc - многообразие всех нильпотентных ступени не выше чем с алгебр Ли (групп).

Пусть Я , Ю - многообразия алгебр Ли (групп). Тогда произведение этих многообразий 11Q3 определяется как класс всевозможных расширений алгебр Ли (групп) из 11 при помощи алгебр Ли (групп) из Ш. Qt2 - многообразие всех метабелевых алгебр Ли (групп);

Q10Tс - многообразие всех алгебр Ли (групп) с абелевым (с + 1)-ым членом нижнего центрального ряда;

9tc(i)9tc(2) • • • 9tc(n) ~~ многообразие всех полинильпотентных алгебр Ли (групп), соответствующих последовательности с(1),., с{п).

Пусть F - свободная алгебра Ли (группа) счетного ранга; 11(F) -вербальный идеал (вербальныя подгруппа), соответствующий(ая) многообразию Н; 92(F) - вербальный идеал (вербальныя подгруппа), соответствующий (ая) многообразию QJ. Тогда коммутатор [И, Ш] этих многообразий определяется вербальным идеалом (вербальной подгруппой) [11(F), 51(F)] алгебры (группы) F.

91с,9Тс+1] - многообразие всех алгебр Ли (групп) у которых (с+ 1)-ый член нижнего центрального ряда коммутирует с (с + 2)-ым членом н. ц. р.

5. Пусть (Gi)iei - семейство алгебр Ли (групп), G = П!е/Ф ~ их сво~ бодное произведение, [Gj]G - декартова подалгебра ( подгруппа); IX -некоторое многообразие; 11(G) - вербальный идеал (вербальная подгруппа) алгебры (группы) G, соответствующий (ая) многообразию 11. Тогда фактор-алгебра (фактор-группа) G/ ([Сч]с П 11(G)) называется вербальным Н-произведением алгебр (групп) G{.

Будем обозначать вербальное 11-произведение семейства (Gi)ie/ через llfl*e/ Gi. Если I = {1,2}, то вербальное произведение также будем обозначать через G\ G2.

Пусть (Gi)iei - семейство алгебр Ли (групп), G = ПП^е/^» ~ веР~ бальное 11-произведение этих алгебр (групп). Пусть (Pi : Gi —)■ Я, г G I, - такое семейство гомоморфизмов в алгебру Ли (группу) Н, что семейство подалгебр (подгрупп) (<?»¥>»)»€/ алгебры (группы) Н обладает следующими свойствами:

1) Н порождается множеством {Gi<pi \ i G /};

2) вербальный идеал (вербальная нормальная подгруппа) 1Х(Я) алгебры (группы) Н имеет тривиальное пересечение с идеалом (нормальной подгруппой), порожденным(ой) множеством

9h,9i2] I 9h € Ghiph,gi2 е Gi2<ph,ii ф i2,iui2 G /}.

Тогда существует единственный гомоморфизм ср : G —> Н, такой, что для каждого i ограничение ip на Gi совпадает с <pi.

Нильпотентные произведения, введенные О. Н. Головиным, совпадают с 91с-произведениями, с > 1. Для этих произведений используется специальное обозначение: с-нильпотентное произведение семейства (Gi)izi обозначают через ГШ/ если I = {!> 2}> то используется также обозначение G\{c)G2.

6. Пусть F - свободная алгебра Ли со свободным порождающим множеством X = {я,- | i € /}. Напомним способ построения базы F, предложенный А. И. Ширшовым (см. [29]).

Множество X линейно упорядочим и назовем его элементы правильными неассоциативными словами длины 1. Пусть уже определены и упорядочены правильные слова длины, меньшей п. Пусть w - неассоциативное слово от X длины п > 1, w = uv. Назовем w правильным словом, если

1) и, v - правильные слова;

2) и > V,

3) из и = щи2 следует и2 < v.

Множество правильных слов длины, не большей п, упорядочим линейно так, чтобы выполнялись два условия:

4) упорядоченность слов длины, меньшей п, оставалась прежней;

5) если w = uv, то w > v.

Теорема Ширшова утверждает, что полученная система образует базу алгебры F.

7. Пусть задано свободное произведение L = П{е/ А-свободных алгебр Ли. Пусть в каждой алгебре Li выбрана база В{ = {е^- | j G J,} и множество В = UBi линейно упорядочено.

Рассмотрим множество Y(B) левонормированных произведений [e»(i)i(i)>e»(2)j(2)]>" • ,ei(n)j(n)],n > 2, удовлетворяющих условиям: а) ei(l)j(l) > ei(2)j(2) < • • • < et(n)j(n), б) если z(fc) = г'(1), то ецкЫк) > ещщг) (к = 1,2,., п).

Согласно результату Д. И. Эйделькинда множество Y(B) свободно порождает декартову подалгебру алгебры L (см. [9]).

Элементы из Y(B) называются элементарными одночленами от В.

1. Шмелькин A. J1. Вложение в сплетение некоторых фактор-алгебр свободной суммы алгебр Ли // Записки кафедры высшей алгебры МГУ.

2. Шмелькин А. Л. Сплетения алгебр Ли и их применения в теории групп //Тр. Моск. матем. о-ва. 1973. Т.29. С.247-260.

3. Шмелькин А. Л. О нижнем центральном ряде свободного произведения групп // Алгебра и логика. 1969. Т.8. №1. С.129-137.

4. Шмелькин А. Л. Нильпотентные произведения и нильпотентные группы без кручения // Сиб. матем. ж. 1962. Т.З. №4. С.625- 640.

5. Шмелькин А. Л. Об изоморфизме нильпотентных разложений ниль-потентных групп без кручения // Сиб. матем. ж. 1963. Т.4. JVS6. С.1412-1425.

6. Шмелькин А. Л. Свободные полинильпотентные группы // Изв. АН СССР, серия матем. 1964. Т.28. С.91-122.

7. Шмелькин А. Л. Сплетения и многообразия групп // Изв. АН СССР, серия матем. 1965. Т.29. №1. С.149-170.

8. Шмелькин А. Л. О свободных произведениях групп // Матем. сб. 1969. Т.79 (121). №4(8). С.616-620.

9. Эйделькинд Д. И. Вербальные произведения групп Магнуса // Ма-тем. сб. 1971. Т.85 (127). С.504-526.

10. Эйделькинд Д. И. О группах Магнуса // Матем. сб. 1973. Т.92 (134). №2(10). С.208-223.

11. Кикодзе Э. Б. О свободных группах некоторых многообразий // Алгебра и логика. 1966. Т.5. №4. С.15-23.

12. Лиманский В. В. Изоморфизмы нильпотентных разложений групп, обладающих главным рядом // Тр. Моск. матем. о-ва. 1979. Т.39. С.135-155.

13. Лиманский В. В. Изоморфизмы нильпотентных разложений групп // Успехи матем. наук. 1975. Т.30. №2. С.214.

14. Горчаков Ю. М. О центральных рядах свободных групп многообразий // Алгебра и логика. 1967. Т.6. №3. С.13-24.

15. Горчаков Ю. М. Мультинильпотентные группы // Алгебра и логика. 1967. Т.6. т. С.25-30.

16. Tasic V., Vaughan-Lee М. R. Torsion in certain relatively free groups // Bull. London Math. Soc. 1995. V.27. №4. P.327-333.

17. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985, Гл. 8.

18. Романовский Н. С. О вложениях Шмелькина для абстрактных и про-конечных групп // Алгебра и логика. 1999. Т.38. №5. С.598-612.

19. Кукин Г. П. О свободной лиевой сумме алгебр Ли с объединением // Алгебра и логика. 1972. Т.П. №1. С.59-86.

20. Головин О. Н. Нильпотентные произведения групп // Матем. Сб. 1950. Т.27. С.427-454.

21. Magnus W. Beziehungen zwischen Gruppen und Idealen in einem speziellen Ring // Math. Ann. 1935. 111. 259-280.

22. Magnus W. Uber Beziehungen zwischen hoheren Kommutatoren // J. reine angew. Math. 1937. 177. 105-115.

23. Magnus W. On a theorem of Marshall Hall // Ann. Math. 1939. V.40. №4. P.764-768.

24. Witt E. Treue Darstellung Liescher Ringe // J. reine angew. Math. 1937. 177. 152-160.

25. Remak R. Uber die Zerlegung der endlichen Gruppen in direkte unzer-legbare Faktoren // J. reine angew. Math. 1911. 139. 293- 308.

26. Moran S. Associative operations on groups, I // Proc. London Math. Soc. 1956. V.3. №6. P.581-596.

27. Андреев К. К. Нильпотентные группы и лиевы алгебры // Алгебра и логика. 1968. Т.7. №4. С.4-14.

28. Андреев К. К. Нильпотентные группы и лиевы алгебры. II. // Алгебра и логика. 1969. Т.8. №6. С.625-635.

29. Ширшов А. И. О базах свободных алгебр Ли // Алгебра и логика. 1961. Т.1. №1. С.14-19.

30. Сырцов А. В. Вербальные произведения магнусовых групп // ФПМ. 2004. Т.10(3). С.199-213.

31. Сырцов А. В. Вербальные произведения магнусовых групп // Матем. заметки, сдано в печать.

32. Сырцов А. В. О полинильпотентных произведениях групп и алгебр Ли // Международная алгебраическая конференция. Тезисы научных сообщений. Москва 2004.

33. Шмелькин A. JL, Сырцов А. В. О вложениях некоторых фактор-алгебр свободной суммы алгебр Ли // ФПМ. 2004. Т. 10(4). С.235-241.