Сплетения, изометрии полуконечных бэровских метрик и финитно аппроксимируемые группы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ЖМ1ЛГРАДСШЙ 0РДЕ11Л ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДЛРСГВЫШЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СУЩАНСКШ Виталий Иванович

СПЖММЯ, ИЗОШТРИИ ПОЛУКОНИЧНЫХ БЭРОВСКИХ МЕТНЖ И ФИНИТНО А1ШР0Ш1ШРУЁШЕ ГРУППЫ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ленинград - 1991

Работа выполнена на кафедре алгебры и математической логики Шевского государственного университета им. Т.Г.Шевченко

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук, доцент

ВАВИЛОВ НИКОЛАЙ МЕКСАЛДРиГЛЧ

доктор физико-математических наук, профессор ШЕЛШН i, ЛЬВОВИЧ

Ведущая организация - Институт математики All БССР

на заседании Специализированного совета Д 063.57.29 в Ленинграда« государственном университете /адрес совета: 198904, Ленинград, Ст. Петергоф, Библиотечная пл.,2, математико-механичесшш факультет ЛГУ /. Защита будет проходить по адресу: 191011, Ленинград, наб. реки Фонтанки,27, 3-й этаж, зал 311 /помещение ЛОМИ/.

С диссертацией мо;шо ознакомиться в библиотеке им. А.М.Горьког Ленинградского государственного университета, Университетская наб.

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник РОМАНОВСКИЙ НИКОЛАЕ СёШЮЬДЧ

Защита диссертации состоится

и

'¿¿¿у "^¿¿yfet 1991 Г. в /Л

час

7/9.

Автореферат разослан

н

1991 г.

Ученый секретарь Социализированного совета, доцент

АИЛИЬЕИСИШ с

Г Vil". Г- Î.i

":•;:.' ОЩЛН XAPAICIEBlûBIltt PAEOIH

" ■ 'fi Актуальность томи. 13 последние два десятилетия в теории ■"PfiYffA >1j о рг.в 1 ро в а л с j i обширный новый раздел, связанный с »следованием' групп преобразований дискретно структурированных множеств. К налу относятся большое одело работ по изучению действий групп па деревьях / К.Тите, Ii.-H.Cepp, Р.Альперин, Н.Басс и др./, графах более общего Ш!да и метрических пространствах / М.Громов, Дн.Морган, Ф,Пулен, В.Ицрих и др./, исследованию строения групп автоморфизмов различных порядков и комбинаторно-логических структур /' П.Иакферсон, М. Дрост, В.Холланд и др./. К этому не разделу естественно отнести и целый ряд работ, в которых предлагаются конструкции финитно аппроксимируемых периодических груш преобразований, воэнинаюцне как группы автоморфизмов определенных дискретных структур. Интерес к таким группам стимулировался известными проблемами У.Бернсанда о периодических группах с конечным числом порождающих. Достаточно полно исследованы эти вопроси для матричных групп над полями / У.Бернсайд, И.Шур, А.И.Мальцев,

B.II.Платонов /'. Отрицательное решение неограниченной проблемы Бернеайда получено в работе Е.С.Голода 1964 г., а решению общей проблемы посвящена серия фундаментальных работ П.С.Новикова и

C.И.Адяна 1968 г. Периодические финитно аппроксимируемые группы преобразовании с конечным числом порождающих впервые возникли в работе С.В.Алешина*. Группы С.В.Алешина - это группы преобразовании шомества слов над конечным алфавитом, образующие которых задаются конкретными конечными автоматами над тем же алфавитом. Иоз:г.е были предложены и другие конструкции таких групп преобразо-

^Алешин C.B. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодически:: группах // Цатси. заметки.-1972.-т.II, !> 3.-C.3I9-3P.C.

ъаний, наиболее простои и изящной из которых является конструкция Р.И.Григорчука . В последующих работах Р.И.Григорчука она была существенно обобщена, что позволило ему построить континуальные серии конечно порожденных бесконечных р-групп и решить с помощью предложенных общих конструкций ряд известных задач, включая проблему Милнора о группах с промажутоиными функциями роста. Из работ других авторов в этом направлении следует отметить публикации Ю.И.Мерзлякова, в которых прослеживается связь между группами G.В.Алешина и:'Р.И.Григорчука, Н.Гупта и С.Сидки, б которых исследуете;! аналогичная конструкция, использующая ап?снорфизкы бесконечных деревьев, А.В.Рожкова, изучающего естественные обобщения первоначальной конструкции Алешина и Н.Р.Диксона, ТЛ.Фурнеля, использовавших при построении конкретных примеров конечно порожденных бесконечных периодических групп сплетения.

Уже поверхностный анализ показывает, что упомянутые конструкции , вплоть до языка описания, можно интерпретировать как подгруппы определенных "универсальных" финитно аппроксимируем«: групп Класс таких групп представляет интерес и с других точек зрения. В частности, они обладают различными свойствам! универсальности относительно различных других подклассов класса финитно аппроксимируемых групп и являются группами пзометрий одного из самых естественных типов ультраметрических пространств - пространств Бэра. Описание таких групп существенно опирается на предложенную Л.А.Ка-лукниным в 1948 г. конструкцию сплетения по бесконечным поеледо-

q

вательностш групп подстановок . Это приводит к необходимости ^Григорчук Г'Л1. К проблеме Вернсавда о периодических группах // 2унк. анализ и его прило;:с.-1900,.-т. 14,вып. 1.-е.53-54.

Калужнин Л.А. Об одном обобщении, силовсгих р-подгрупл симметрических групп f/Jcla. sei ШаН, Ни-пд. .-1951,- .2, -4,-р.IS0-22I

эучвшп такой конструкции при наследовании строения указанных' рупп изометрпн. Развитие теории представлений финитно аппрокои-ируешх групп иэомотриямн бэровских метрик может служить оффек-■ивным инструментом но только в теории периодических финитно ап-

I

роксишруемых групп, но и я других ее разделах.

Цель работы. Исследовать строение "универсальных" групп казанного вида, т.е. групп иэометрий полуконечных пространств 1эра, изучить вопросы представимости финитно аппроксимируемых 'рупп такими изометрилш. Разработать методику выделения широких :лассов периодических подгрупп в универсальных группах, построить :овыо классы конечно порожденных бесконечных периодических групп о свойством финитной аппроксимируемости, применить их при решении :звестнпх проблем теории факторизуемых групп.

Методика исследования. Использовались методы, конструк-;ии и результаты из теории групп и групп подстановок, топологии ; алгебраической комбинаторики.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются ноши. С помощью конструкции Ц - сплетения описаны группы изо-¡етрий полуконечных боровских метрик, охарактеризована решетка их ашнутых нормальных подгрупп. Развита теория представлений фи-итно аппроксимируемых групп изометриями полуконечных бэровских ¡етрпк, построони специальные вложения таких р-групп в группу ¡зонетрий кольца целых р-адических чисел. Доказаны редукционные 'еоремы, позволяющие сводить многие задачи о финитно аппронсими-¡уешх р-группах к случаю 2-иорожденных р-подгруш группы изо-ютрий кольца целых р-адических чисел. Установлены критерии уни-юрсальности по вложению групп изомотрий полукопечных бэровских ¡етрик в классах счетных финитно аппроксимируемых групп и проко-

.ночных групп счетного Беса. НаНдеп критерий периодичности конечно порожденных подгрупп I - сплетений циклических групп простых порядков, развита методика выделения конечно порожденных бесконечных периодических подгрупп в таких сплетениях. Построены конкретные серии примеров конечно порожденных бесконечных Т - групп. Предложена обцач конструкция построения финитно аппроксимируемых груш, разложимых в общее произведение нескольких подгрупп. В классе финитно аппроксимируемых групп построены не локально конец 1ше периодические и емгаланше группы, разло.жимые в произведение споих локально конечных подгрупп.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в теории периодических групп, в теории проконечных групп, a также при исследовании групп, разложимых в общее произведение своих подгрупп.

Лппробацця работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Международной конференции, посвященной памяти Л.И.Мальцева /Новосибирск, 1989/, III Междунородиой конференции по теории груш при Дебреценском университете /Дсбрецен, 1990/, Всесоюзных алгебраических конференциях /Красноярск, 1979; Юшш-нев,, 1985/, Всесоюзных симпозиумах по теории групп /Сути, 1982; Свердловск, 1989/, на семинаре им.А.Г.Куроша при МГУ /1981, 1985, 1988/, на семинаре по теория групп при МГУ /1979, 1984, 1989/, Минском городском семинаре "Алгебра к топология" /1989/, на объединенном семинаре Ж)Ш и ЛГУ /1980, 1988/, на алгебраическом семинаре при КГУ /1979 - 1989/'.

Публикации. Осношше результаты диссертации опубликованы в 12 работах автора, список которых приведен в конце реферата, lio совместной публикации ГXJ в диссертации используются результата, принадлежащие лично автору.

Структура и обьом работы. Диссертация состоит из введе-пня и четырех глав, разбитых на 12 параграфов. Обьем диссертации-217 машинописных страниц. Список литературы содержит 100 наименований.

СОДрРЙАШЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертационной работы рассматриваются ———- р

основные свойства сплетений по бесконечным последовательностям групп подстановок /кратко - I -сплетений/ и, с их помощью, изучается строение групп изометрий полуконечшлх бэровских метрик. Пусть ( С- ^ , М,), ,Мг)~ бесконечная последовательность групп подстановок. £ -сплетением групп семейства (0-1, М-\.) 4- & д/ называется группа 0- - § всевозможных бесконечных наборов /на-

¿е //

зываемых таблицами/ вида

и- Г 9<> ■■■ 3 '

где ризе*,..., ХС.,>* е- М' *-*М<-' ( Съ А).

Такой набор действует на элемент , тк, -.) е М. =П Мс согласно равенству

«г,,*«,,.../'- т*""! т'-1 ...

<Г

из которого легко получить правила умножения таблиц и нахождение обратной таблицы. Группа (? содеркит подгруппу (г , состоящую из таблиц с конечным числом неединичных координат, которая называется усеченным £ -сплетением групп подстановок ( , М-,) , £ е .А/ . В § I суммируются основные свойства этих конструкций. В частности, описаны орбиты усеченного сплетения транзитивных групп, разбиения множества М в области импримитивности С -сплетения примитивных групп, установлено, как ведут себя эти конструкции относительно операций объединения и пересечения сплетаемых

групп. Выделяется базисный ряд нормальных делителей, к -тый член которого состоит из всех таблиц с первыми к единичными координатами = /, доказано, что сплетение С- является

предельной группой обратного спектра конечно итерированных спле-

к

тений f Сс / iccyV / с естественными эпиморфизмами, а топология проективного предела на С- совпадает с топологией, задаваемой базисным рядом. Отмечается, что t -сплетение конечных групп является прокоиечной группой, усеченное сплетение - всюду плотная подгруппа в полном сплетении, сформулирован критерий замкнутости подгрупп в полном сплетении.

В § 2 изучаются группы изометрий полукопечных бэровски> метрик. Метрика р ультрамсгрического пространства Т удовлетворяет условию ранжировки с основанием ^ / ° < ^ с у ссли для любых сс,уеТ, жну, существует kcJJ такое, что f> ' , Такое пространство 7 однородно, если при любом к множества разбиений дисков радиуса ла диски радиуса имеют

одинаковую мощность ггн . Последовательность кардинальных чисел с rii , Пц,...) называется типом пространства Т . Однородное пространство полуконечно, если все компоненты его типа - натуральные числа. Полные однородные пространства будем называть бэровскими. Группа изометрий пространства Вора типа < п^,пх,... совпадает с t -сплетением симметрических групп $ п, , S. ... /предложение 2.2/. В частности, группа изометрий. пространства Л р целых р--адически>: чисел с естественной метрикой является £ -сплетенной степенью симметрической группы 5 р на себя. 'Гак как полуконечное пространство Бэра в* типа Ж компактно по метрике р на В х определяется метрика р на В *, задаваемая »№ любых и, v е. Cfc В * равенстзом

р { и, TTJ - гпаж р с ос « , ж J .

' 1,8'

Эна совпадает /предложение 2.4/ с естественной метрикой ё- -сплетения, определяемой членами базисного ряда. Представление групп изометрий боровеких метрик как £ -сплетений симметрических групп позволяет*подробно изучать их строение. Например, силовская р-подгруппа Уз В ж разлагается в & -сплетение силовских р-подгрупп сплетаеншх симметрических групп, а если тип ж имеет вид <г ри\ ... ;> , то она изоморфна & -сплетенной степени регулярной циклической группы степени р на себя. Здесь же выделяется ряд естественных подгрупп хруппы В " , найдеш их системы порождающих. В частности, указаны подгруппы в Ул В * , ж - < п, л, ... > , изоморфные группе конечно автоматных преобразований над алфавитом из п. букв, действующей на множестве бесконечных слов, причем в каждом состоянии реализуется подстановка на буквах алфавита,или се подгруппе тех преобразований, для которых такая подстановка - регулярная циклическая. Дается характеристика орбит таких подгрупп, если В Х - 2р .

Б § 3 описывается решетка замкнутых нормальных делителей группы изометрий полуконечного бэровского пространства. Сначала изучаются т.н. расщепляемые нормальные делители, т.е. такие, что наряду с каждой таблицей содержат все таблицы, отличающиеся от нее некоторым единичным началом. Каждая замкнутая расщепляемая подгруппа и < % В * однозначно определяется набором координатных подгрупп Г И*}, Сил3,... . Число единичных подгрупп, стоящих в начале этой последовательности, называется глубиной 1Л . Поэтому задача обозрения замкнутых расщепляемых нормальных подгрупп сводится к рассмотрению соответствующих свойств координатных подгрупп. Пространство Бэра В типа > естественно отождествляется с декартовым произведением П , I Л1С1 - п1 ,

I * м

и для лроисчольного к определено фактор-нространстло В> к* ,

- 8 -к

соответствующее произведению П М-1 . Группа У ^ % 8 индуцирует на 8 группу преобразований У "" ( к ^ Ы) . На множестве Вов В 1К) определена структура абелевой группы относительно операции симметрической разности. Подгруппы этой группы, элементы которых являются объединением орбит группы , называются к - системами. Пусть - множество бесконечных последовательностей над , - решетка к: - систем СИ - множество всевозможных троек вида < к, Г), и > , к с А/ и , П £ ^ , I,,. . На множестве (X. вводится отношение порядка £

Теорема 3.5. Замкнутые расщепляемые нормальные делители группы однозначно характеризуются тройками из (X..

Отношению включения таких нормальных делителей отвечает отношение ^ на множестве СК.

Пусть и - произвольный замкнутый нормальный делитель группы С . Наибольшую по включению расщепляемую замкнутую нормальную подгруппу из С/ назовем его фундаментом. На счетной декартовой степеш1 С циклической группы порядка 2 зададим метрику, полагая, что два различных элемента находятся на расстоянии

— - к

Л в том и только в том случае, когда их начала длины к совпадают.

Теорема 3.6. Любой замкнутый нормальный делитель группы С/ однозначно задается своим фундаментом и некоторой замкнутой подгруппой ультра!,ктрической группы С . Решетка замкнутых нормальных делителей глубины к изоморфна решетке замкнутых подгрупп группы С

Во второй главе рассматриваются представления финитно ашюоксишруешх групп изомстркяш полу к он очных пространств Бэра. 3 2 4 строится т.н. прйсоедшеююе представление групп, обладав-

щих убывающими 3? - радами подгрупп. Рдц (г • Сг„ > 6ч >... напивается а? - рядок, а? - < п1> , если С \ J = п. ¡чеАЛ и ^.П * $ 1 } . Группа с нормальным а* - рядом финитно аппроксимируемая, на ней естественно вводится неархимедова метрика, согласованная с групповой операцией. Пусть 0- - П £ I , где

I

(г I (гс - множество правых классов смежности группы 0- по подгруппе С-с ( <•' е л/) ) _ подмножество (г ,состоящее из таких последовательностей , , С- , ЧТо х, => х^ э... . Если на Iг определить метрику Бэра, то (г превращается в метрическое пространство, которое изометрично пространству Бэра В ж типа -ж. . Группа Сг действует на в- сдвигами

...)<■ Г X,, хЛ , е 5- , С- ).

Это позволяет, при заданной биекции у •• (г ~~ В х ,'определить действие & на 6 * . Отображение г ; I? (11 6 "е) бу~ дет иоометрией В

Теорема 4.1. Пусть (г - группа с фиксированным а? - радом. Отображение у ; С- У1 В *, определяемое равенством </Г (д) - уу _будет мономорфизмом группы & в группу В * при любом выборе биенции |/> . Если эе - ряд является нормальным, то вложение у метрической группы (г в группу % В* с естественной метрикой будет изометрическим.

Любой гомоморфизм (г в группу Ъ й' будем называть аг - изометрическим представлением /?- ; если же а; » = р. р, ■ ■ > , то говорим о р-изометричесжих представлениях, Образ любого а? - изометрического представления - некоторая подгруппа -сплетения симметрических гругш, т.е. группа таблиц. Построенное в теореме 4.1 представление назовем присоединенным.

Теорема 4.2. Пусть уг: О- —• "У* в ж- присооди-

ценное зе _ изометрическое представление группы & с фшссиро ванным нормальным а? - рядом ^ > й, >#■*>.... Тогда

I/ если , , то в точности первые >с коор-

динат таблицы Т/Л г ^ единичные ; 2/ координатные функции таблицы У < д> либо тождественно равны единице, либо не принимают единичных значений . Следующая теорема является обобщением известной георемы Краснера-Калужнша на случай групп с выделенный бесконечными рядами подгрупп.

Теорема 4.3, Пусть С- - произвольная группа с фиксированным субнормальным ж -радом С- = (г, > >... , причем I С-. - (СъМ). Грушу С- можно изоморфно погрузить о В -снлгл'ение регулярных групп подстановок Я ,

Кроме того, в <"■ 4 наущены условия универсальности по вложению группы % в* в классах счетных финитно аппроксимируемы; групп и счетных групп, аппроксимируемых конечными р-группами и доказана ззлокимость счегнвх групп, аппроксимируемых конечными № - гру ппаш /¡Ли л или ¿Г /в £ -сплетение подходящих циклических групп Ср, , Срх, ... / рс « /.

В 5 5 изучаются специальные влоиения 2-пороэденпых финитно аппроксимируемых р-гругш в % З.р .

Теорема Пусть группа С- аппроксимируется

конечными р-группаш и порождается двумя элементам!, один из которых имеет порядок р. Тогда существует точное р-изометрическое представление группы С- , при котором образами ее порождающих и , V /' и.-I / будут, соответственно, таблицы С ¿, о, ..Л , [о, , О) сх,, х,},... ] , где а1(эг1) не имеет ну лей в .

Здесь йо доказывается, что любая ксчеик» порокдепная Фшштио ш)проксшш\'>уошя р.-групна (г и.'»<я:оруко погружается в

финитно аппроксимируемую р-группу (г с двумя порождающими /теорема 5.2/ и изоморфна некоторому фактору подходящей финитно аппроксимируемой р-группы с двумя порождающим! порядка р или порядков 2,4 при р=2 /теорема 5.3/. Для произвольных финитно аппроксимируемых групп аналог теоремы 5.2 был доказан А.К.Румянцевым и В.А.Романьковым /1980 г./. Теоремы 5.2 и 5.3 в ряде случаев позволяют сводить задачи о произвольных конечно порожденных финитно аппроксимируемых р-группах к рассмотрению таких групп с двумя порождающими порядка р /соотв . 2,4/. В частности, используя'их и теорему 5.1 можно доказать, что т.н. ослабленная проблема Бернсай-да Еi/t,^*) решается положительно для всех тогда и

только тогда, когда любая бесконечная подгруппа группы jfc , пороззденная двумя таблица!«! вида «* С i >£>,...] , гг = С ) ,

as(xt,xi),... ] , где ir удовлетворяет некоторым дополнительным условиям, имеет неограниченную экспоненту. Это утверждение может служить основой для поиска чисто группового решения проблемы ß . ( г , />" ) .

В § б устанавливается, когда группы вида Э» В будут универсальными по вложению в классе проконечных групп счетного веса.

Теорема 6.2.Группа изометрий полуконечного метрического пространства Бэра ß* , > является универсальной по вложению в классе всех проконечных груш счетного веса тогда и только тогда, когда последовательность ,... неограниченная.

Как следствие из этой теоремы получаем, что £ -сплетение регулярных циклических групп порядка р универсально по вложению в классе всех про-р-групп счетного веса.

В третьей главе изучаются бесконечные конечно порожденные периодические подгруппы L -сплетений абелевых групп. D 5 7

IE

сформулированы общее правило нахождения порядка преобразовании из произвольных i -сплетений и критерий периодичности конечно порожденных подгрупп сплетений абелевых групп в терминах мультипликативных соотношешзй, накладываемых на их порождающие. Все рассуждения основываются на том, что преобразование и, из i -сплетения ff = ! Oi имеет конечшй порядок тогда и только тогда,

ies/

когда порядки начал и* таблицы и ограничены в совокупности. Это позволяет проводить все рассмотрения в конечно итерированных сплетениях. Оййзначим через 71^ <и.) множество орбит подстановки ип на М<а)= JUn ■ Дерево орбит Ю c^j преобразования и.е G- строится следующим образом. Вершинам п -того уровня 3>t^j взаимно однозначно сопоставляются орбиты из 21 п (и.). Все вершины первого уровня соединены с корневой вершней, а вершин I п.ч) -го уровня, соответствующая орбите Ое 21 п г uj соединяется с той верминой п -того уровня, которая .соответствует проекции & п. ( по последней координате. Каждой вершине /кроме корневой/ приписывается метка - длина орбиты, которая ей соответствует. Обозначим С S3 (п) - множество путей дерева 3) ги) , исходящих из корневой вершины, и пусть и. ( П) - наибольшая из меток вершин пути Л , если такая существует.

Теорема 7.1. Преобразование u е- С- имеет конечный порядок тогда и то;;ьйо тогда, когда, метки всех вершин дерева ограничены в совокупности-. Если это условие выполнено, то имеет место равенство

пор. и . НОЯ ( J. ( П) / П е с £> ( и.)).

Пусть "V/ - подгруппа £ -сплетения G абслесых групп; порожденная таблица»! vf; =[ а'/3, ... j < i < its)

•",:■■_<.; .лих цор/доов. Дпя гроисшльпого набора ( i* , ... ¿л) ( п-м,

/ < ¿е ( $ , £ - <. ...п ) ПОЛОМИМ и, - ИГ1, . ..., . Дчипы ¿Г, ,

орбит преобразований а» , м„,, на кортеж« .с- с <? М , е Л совпадают тогда-л только тогда, когда вы-

полнено соотношение

г.о </•' 1г—» /1/

которое превращается в равенство

л' п а"'' - * , /2/

если ( С~ , транзитивная группа. Учитывая это, получа-

ем следующее утвернденио.

Теорема 7.2. Пушгь _ подгруппа £ -спле-

тения (г абслевых групп, порожденная элементами иг*, ..., игг такими, что О-'У (хх1) с 1,.:., 5 ; к е у/) . Подгруппа

будет периодической тогда и только тогда, когда для любого набора (¿{. -.¿п) < б ; а е л/) при произвольном выборе последовательности £ в П М, число значений , для которых нарушается соотношение /I/ /а в случае сплетений регулярных групп подстановок - равенство /2// конечно и не зависит от выбора последовательности ее

Б § В предложена методика выделения конечно порожденных периодических подгрупп ¿ -сплетений регулярных циклических о

групп простых степеней. Пусть аг - ,/>,....> - бесконечная последовательность , составленная из конечного тала различных простых чисел, Ср- - регулярная циклическая группа степени р.- < £ С- • $ я . Группа £? р. действует сдвигами на множестве

о?^ вычетов по модулю р1 , т.е. операция в ней будет за-

писываться аддитивно. Положим • ■ «? ,?>(!?

~ л- Л А ' 31 ¿и/ Л

Множество кортежей Л. с U Z^' назовем правильным, если оно замкнуто относительно проектирований по последней координате и для любого кортежа х < А длины * в Л существует единственный кортеж длины «ч , проектирующийся на * . Кортеж

' является значащим для преобразования и ] ,

если а г О , Если tK - значащий, то его проекцию по последней координате назовем начальным кортежем для преобразования и . Множество значащих кортежей преобразования и обозначим Т с " ) , а множество его начальных кортежей /включая пустой/ - Ь ( и } .

Определение 8.2. Таблицу ««Са^а^/г,.) - 1 * & назовем * - таблицей, если выполнены условия :

I/ В f и) - содержится в правильном множестве ; 2/ ß <«> ПТ(ю=^. ^ - таблицу, которая удовлетворяет дополнительному условию

3/ существует бесконечно много таких, что для любого

tM ji к имеет место равенство

« < , > ' ° /з/

будем называть ^ - таблицей. ^

Набор у -таблиц ут^ ,..., согласован, если .0 В г содержится в правильном множестве, В(иЯ) П Тсг^.= 1,...,$^ и для любого найдется номер ^»к такой, что при произвольном

равенства /3/ для £ -тых координат таблиц выполняются одновременно, причем числа - к ограничены в совокупности для всех £ е , К. е^/ .

4 *

Теорема 8.1. Любая подгруппа сплетения (г порожденная конечным согласованным набором -таблиц явля-

ется периодической,

О - спектром таблицы и. назовем множество (и) номеров се нулевых координат, а 0 - спектром набора таблиц - пересечение их О - спектров. Набор таблиц называется О - устойчивым, если координаты любого кортежа е Т

номера которых входят в О - спектр этого набора, не зависят от выбора ¿е .По любой последовательности а- е и спектру 5р (иг*, ...,Щ) таблиц , ..., ига однозначно определяется последовательность 0 а , получаемая из а вписыванием дополнительных нулевых координат так, чтобы координаты & последовательно стали в точности на тех местах, номера которых содержатся в Ьр , . Символом Ж 5 обозначим множество тех последо-

вательностей из ¿г , которые отличаются от 05 лишь конечным числом координат.

Теорема 8.2. Любая •'."'рута, порожденная О - ус-' тойчивым набором ^ - таблиц ..... н^ С5 >,л.) , одна из которых совпадает с [ 1,а,...] .действует транзитивно на множестве -?а . а е 2, определенном по эр сиг^ . .... иг,) .

Теорома 8.3. Пусть ^Х/ - группа, порожденная О - устойчивым множеством - таблиц , ..., сь\а.) , одна из которых совпадает с [ 1,0, .„ ] . Группа "\У будет бесконечной тогда и только тогда, когда множество У^''//^ Ьр сиЪ , пвляется^шнечгшм.

Аналогичные утверждения имеют место для таблиц, отличающихся от оС - или £ - таблиц некоторым началом , которое может быть произвольным.

В § 9 строятся конкретные примеры бесконечных конечно порожденных ¿Г - групп. Из них отметим следующие.

а/ Пусть - подгруппа £ -сплетешш регулярной циклической

группы порядка р на себя, порожденная таблицами

" = С ' , . ° , 3 , У1 = £ о , о, а4 < ) , ... ] 1

где координаты ¿>¿(£¿.1) определяются следующим образом. Занумеруем пари , •<■ * к пусть < л. > - пара с номером с / * » I ь ¡>* /. Припишем каждой координате таблицы «л некоторую пару - тип этой координаты - так, чтобы тип I равнялся (•'»'У» > > гЛе р1 > • Полозам, что лишь следующие значения координат таблицы «л отличны от нуля : а 1 ( I > = I , oi ( о, о, I). 1 > аг (1, о,о,1 )>-у: , если ( ) - тип I V-]. И - , ' ) ' ' » ьсли

Теорема 9.1. Для любого простого р, р*2 , группа ^ является бесконечной р-группой. Этот пример был построен нами в работе [2] ; он является третьим повремени появления после работ Е,С.Голода и С.В.Алешина, б/ Пусть И - .....?5> - разбиение , все компоненты ко-

торого - бесконечные множества, причем существует такое натуральное вдело ^исИ; , что на любом целочисленном интервале длины ь^ч.И) содержатся числа из всех классов разбиения. По Л строим -таблицы с»и'<'51>,...

где при , ) ■ о при К е

Теорема 9.4. Группа 2/ Е>С£ , порожденная таблицами и, , и, ,...,и, , будет бесконечной 2-группой тогда и только тогда, когда $ - нечетное число. Эта конструкция вполне аналогична уже упомянутой выше конструкции Р.И.Григорчука,

в/ Дяя любых , ..., рк определим функцию £к г я>1) с • » 2

е С равенством

( X ) -

К -1. > -

I при ж„_1 » Ю, ..., о 1 { )

О в остальных случаях ,

Если

* г

то положим также

Ч < -- < -I

О

при = (о, ...,

при » ( о , ...

в остальных случаях

)

о, а )

В частности, функция ёк определена при любом

простом р / т.е. при ¡>ь = ¡>х= ... = --р /, а функция а.к г 5с«.х ) при р*2 . Пусть *■-< р, , рх , ■■■ > - бесконечная последовательность над конечным множеством проспи чисел Я , (^к», причем г * Л . Дня произвольного подмножества 1 £ -Л/ 4 { 1}

О'

расстояния мевдг соседними элементами которого / при естественном упорядочении / ограничен! некоторой константой, положим «-

г £>

•С 11

<4 < > =

' СО, сж / ) ,

а ; С 5 1-. ) при ¿¡.<£14) при

3 - I С.

, где

С. в ? I < ?

Обозначим также

гл >= гЛ

1 '

Теорема 9.6. Для любого конечного набора простых чисел Л , такого что г Ф- тс , груша V- , порозден-

ная таблица!.« и , и1 , является бесконечной периодической й ... - группой. В этих ке условиях группа » порожден-

ная " , гг^ , будет бесконечной при любом выборе подмножества 7 . Она будет £ - группой тогда и только тогда, когда множество ? - бесконечное.

Четвертая глава посвящена "применении £ -сплетений в тео-

рии факторизуемых групп. В § 10 изучаются разложения £ -сплетений в обилие произведения и описывается основная конструкция, применяемая для построения факториауемых групп.

Для казкдого М. с. А/ , М * 0 , совокупность та6-

лщ из сплетения (г , все координаты которых с номерами

из Л/ \ М единичные, а остальные могут быть произвольными, образует подгруппу,

Теорема 10.2, Для любого разбиения ¿ М1 множества Л/ на п. непересекающихся подмножеств сплетение &■ =

= $ разлагается в общее произведете своих попарно переста-

ем

ПОБОЧНЫХ подгрупп , ..........•

Для построения /с помощью £ -сплетения/' бесконечных групп, разложимых в общее произведение своих подгрупп, предложена следующая конструкция. Пусть (гМ) > _ ^ подгруппы

сплетения й- , соответствующие компонентам разбиения множества

71/ на части М...... М„ , Для каждого С / 4 ( с < /'

фиксируем подмножество 11'0" в груше &-м. и полонит И.

= гс.'п-*> /нулевой уровень/. Если подмножества

/<<'(« /и подгруппа Нк *<и'„<:>..........гё:-того уровня

уже определены, то лодмншес тва / < п. /и подгруп-

1а Нкг1 1 (*■■»<> -го уровня задаются равенствами

ц^^а ^/и* иГ. с;.....>,

где для таблицы и «г^, , 1 и таблицы символом иС1Г1

обозначена таблица ,дЛ , ^ 'О,... 3 . Положим Н (ЫГ,а.'"';, £ //« , И (и„и'."/ к-о,*,... ).

Теорема 10.4. При любом выборе подмножеств П.'" в подгруппах (гм_ ч а < а > группа . Н (и'.", ...„ и'"3) разлага-

ется в общее произведение своих перестановочных в целом подгрупп H/U"J), ... , И /И*"1') , т.е. выполнено равенство

и(ы:1},..., ujn>)- и cuj") ... и rur'),

причем для любого j , i < j< п , имеем

<■ н(ип,.... Н(иУ">), нси:'"1), ., жиг')у п н (u:j>)- м.

В § II доказывается следующая

Теорема II.I. Дня любых конечных наборов ^, ... / / простых чисел существует финитно аппроксимируе-

мая ST - группа 16 / Я »/ со следующими свойствами : I/ W раскладывается в произведение своих попарно перестановочных в целом - подгрупп Лк / у « i < S

2/ для любого у / J <j / выполнено равенство

4 Л Jy-, • JJ>< ......^ > =

3/ U нз является локально конечной ; 4/ для каждой выборки / ( . j\ из множества Н,s/ / sjt / подгруппа < , .... > группы локально ко-

нечная.

Группа il строится с помощью описанной выше конструкции. При построении используются описанные в § 9 примеры конечно порожденных бесконечных периодических групп. В частности, при s = л из этой теоремы получаем, что существует период« -ческая не локально конечная группа, разложимая в произведешь двух своих локально конечных подгрупп, т.е. дан отрицательный ответ на известный вопрос В.П.Шункова /задача 2.83 из "Коуровской тетради"^/. Более того, так как теорема верна и при / , то

^Коуровская тетрадь /Нерешенные вопросы теории групп/ 10-е изд. доп.//Новосибирск: Нн-т математики СО АН СССР.-1986.-132 с.

отрицательный ответ можно получить даже в классе р-групп при любом простом р. Из теоремы 11.1 следует также, что для любых простых чисел р I /' Р ? 1 / существует { группа, разложимая в произведение локально конечной р-подгрунпы и локально конечной ^ -подгруппы, но сама не являющаяся локально конечной.

В § 12 строятся непериодические группы, разложимые в произведение локально конечных подгрупп.

Теорема 12.1. Дня любых конечных наборов с з ->- -г J простых чисел существует финитно аппроксимируемая группа V. со следующими свойствами :

I/ И раскладывается в произведение своих попарно перестановочных в целом - подгрупп а * I f б.) ;

2/ Ы содердит элементы бесконечного порядка ;

3/ для любого ^ / л й ь / выполнено равенство

Л/ " > - ;

4/ для произвольного подмножества 4 j^ ,...,/«} множества ■{ ... , £ } / «'<■'5 /подгруппа , • -, ) группы И

локально конечная.

Из теоремы 12.1, в частности, следует, что для любого простого числа р существует группа, разложимая в произведение двух своих /локально конечных/ р-подгрупл, но сама не являющаяся р-группой. Тем самым, отрицательный ответ на вопрос 1.36 из "Коу-розской тетради", поставленный Ш.С.Кемхадзс, получен для произвольного простого числа р. Ранее Я.П.Сысаком были построены периодические факторизуемые группы, дающие ответ на этот вопрос при-некоторых /бесконечно многих/ значениях р. Отметим также, что согласно теореме 12.1 для любых простых чисел р , ^ / р существует группа, разложимая в произведение своих локально конеч-

них р-подгрушш и у, -подгруппы, пой. Это показывает, что условие Ю!»ое в известной задаче Б.Хартли Сыть опущено.

но не являющаяся ! р,-груп-докалшой конечности, фигурнру-о голик произведениях не нокет

Работы автора по теме диссертация

1. Калукннн Л.А., Сущанский В.И. О сплетениях абелевых групп // Труды МЫО. -1973.-т.29.-с. 147-163,

2. Сущанский В.И. Периодические р-группы подстановок и неограниченная проблема Бернсайда //ДАН СССР.-1979.-т.247, № 3.-C.557-562.

3. Сущанский В.И. Об одном способе построения конечно порокденшх бесконечных периодических р-групп //УП Всесоюзный симпозиум по теории груш. Тезисы докладов. Красноярск. :КГУ,-I960.-с.121.

4. Сущанский В.И. Сплетения по последовательности групп подстановок, и финитно аппроксимируемые группы //Докл.АН УССР.-1984.~ а.19-22.

5. Сущанский В.И. Группы изометрий р-пространетв Бэра //Докл.

, АН УССР,-1984.- № 8.-е.28-30.

6.- Сущанский В.И. Представление финитно аппроксимируемых р-групи изомэтрияш прос-транства целых р-здаческих чисел //Докл./Л УССР. -1386,- & 5.-е.23-26.

'7. Оущанс^ий В.И. Представление финитно аппроксимируемых групп изометриями однороднше ультраметрическшс пространств конечной

. ширины '//Докл.АН УССР,-1988.- № 4.-с.19-22.

8. Сущанский В.И. Стандартные подгруппы группы изометрий простран-

, ства целых р-адических чисел //Вестник КПУ, сер.матем. и мех,-

е

1988.-т.ЗО.-с.100-107 /на укр. языке/.

9. Сущанский В.И. Нормальное строение группы изометрий метрическо-. го пространства целых р-адических чисел //Алгебраические структуры и их применение.-Киев*. КГУ.--1988.-сЛ13-128.

10.Сущанский В.И. Сплетения и периодические факторизуеше грушш //Мат.сборник.-1969.-т,180, № 0.-C.I073-I09I.

11.Сущанский В.И. Универсальные по вложению проконечше группы

счетного веса //Записки науч.семин. ЛОМИ.-1969,-г.175.-с.113-

12.Сущанский В.И. Смешанная группа, разлог,ммая в произведение р-подгрупп //Международная конференция по плгс-бре, посвященная

с

памяти Л.П.Мальцева. Тезисы докладов по теории групп.-Новосибирск. -1989 . -с . 117 .