Отношение аннулирования между элементами полугрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КОСТЫРЕВ Игорь Иванович

ОтаОШЕНИЕ АННУЛИРОВАНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ПОЛУГРУПП

01.01.06-Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2011

2 4 [.¡АР 2011

4841164

Работа выполнена на кафедре алгебры факультета математики Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор |ЛЯПИН Евгений Сергеевич

доктор физико-математических наук, профессор ГОРДЕЕВ Николай Леонидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор КУБЛАНОВСКИЙ Станислав Ицхокович (ТПО «Северный очаг»)

кандидат физико-математических наук, доцент БОРИСОВ Анатолий Алексеевич

(Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского)

Ведущая организация: Поморский государственный университет

им. М. В. Ломоносова

Защита состоится " Р-И^ел* 2011 г. в часов на заседании совета Д 212.232.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. реки Фонтанки, д. 27, ауд. 311 (помещение ПОМИ РАН).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан "_"_2011г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Нежинский В. М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Изучение многообразий алгебраических систем с теми или иными условиями конечности является определяющим направлением в современных алгебраических исследованиях. Одним из таких условий конечности является финитная аппроксимируемость алгебраических систем относительно предикатов. Широкое применение аппроксимационных методов связано с именем академика Мальцева. В его работах середины прошлого века сформировалось общее понятие финитной аппроксимируемости алгебраических систем относительно предикатов и получен ряд основополагающих результатов.

Важность введённого А. И. Мальцевым понятия в значительной степени определяется связью с алгоритмическими проблемами, именно, как отметил А. И. Мальцев [1], финитная аппроксимируемость конечно порождённой алгебраической системы в многообразии, заданном конечным набором тождеств, относительно некоторого предиката, влечёт алгоритмическую разрешимость проблемы этого предиката в рассматриваемой системе. Например, из теоремы Холла о финитной аппроксимируемости конечно порождённых метабелевых групп следует положительное решение проблемы равенства слов для метабелевых групп. Аппроксимационными методами С. И, Кублановским был положительно решён вопрос алгоритмической разрешимости проблемы делимости в целой серии многообразий полугрупп. М. В. Сапир установил эквивалентность для ряда многообразий полугрупп проблемы равенства и финитной аппроксимируемости конечно определённых полугрупп.

Выбор того или иного предиката обусловлен ролью, которую он играет в теории определённых классов алгебраических систем. Так, например, в группах важнейшими предикатами являются: предикат равенства, регулярной сопряжённости, предикат вхождения в подгруппу, в конечно порождённую подгруппу. В кольцах и алгебрах важную роль играют предикат равенства, нильпотентности, вхождения в подкольцо (подалгебру). В полугруппах исследовались предикаты делимости, отношения Грина, предикат равенства и вхождения в различного вида подсистемы (идеал, подполугруппа, подгруппа и т.п.). Указанные предикаты явились объектом многочисленных исследований и с точки зрения алгоритмической разрешимости проблем этих предикатов и с точки зрения аппроксимации. В полугруппах особо значимым является предикат делимости. На языке делимости определяются отношения Грина, простота, регулярность и её модификации, распознаваемость (в смысле Эйленберга [2]) и другие важные свойства полугрупп. Следует отметить, что распознаваемость полугрупп систематически изучается целым рядом зарубежных авторов, таких, как Г. Лаллеман, Д. Перрен, К. Рейс, С. Рэнкин, Ж. Сакарович, Т. Тамура, Г. Тьеррен, С. Эйленберг и др. в связи с потребное™-™ теории кодирования.

Одним из важных случаев отношения делимости является отношение аннулирования. На языке отношения аннулирования определяется фундаментальный порядок на множестве идемпотентов в кольцах и полугруппах. Это отношение естественным образом возникает при рассмотрении инверсных полугрупп, полуструктур групп и полуструктур ниль-полугрупп.

Особый интерес представляет алгоритмический аспект. Если система задана некоторым набором определяющих соотношений и некоторым набором тождеств, то возникает вопрос: существует ли алгоритм, который для любых двух слов определяет, является ли одно слово нулём для другого. В общем случае ответ отрицательный. В частности это следует из результата Новикова П. С. [3].

Для алгоритмических вопросов важна элементарная аксиоматизируемость исследуемых классов. Как показывают исследования, в большинстве случаев условия финитной аппроксимируемости объектов относительно предикатов нельзя сформулировать на языке первой ступени. Одним из способов получения элементарных критериев является поиск необходимых и достаточных условий аппроксимируемости не отдельных алгебр, а различных производных классов от этих алгебр.

С конца 1960-х годов по настоящее время появилось большое количество работ, посвященных финитной аппроксимируемости многообразий различных классов. Интерес к этим вопросам нашёл отражение в работах как российских (А. Ю. Ольшанский, С. Г. Мамиконян, Э. А. Голубов, М. В. Сапир, С. И. Кублановский, Л. Н. Савина), так и зарубежных алгебраистов (С. Гроувз, Д. Герхард).

Отметим некоторые результаты по данной тематике.

В своей работе А. Ю. Ольшанский [4] получил описание многообразий финитно аппроксимируемых групп. Многообразия финитно аппроксимируемых коммутативных полугрупп были описаны С. Г. Мамиконяном [5]; многообразия финитно аппроксимируемых идемпотентных полугрупп описал Д. Герхард [6] независимо друг от друга многообразия финитно аппроксимируемых полугрупп описали Э. А. Голубов и М. В. Сапир [7] и С. И. Кублановский. В работах [8], [9] С. И. Кублановский дал описание на языке тождеств многообразия полугрупп, финитно аппроксимируемых относительно целого ряда известных предикатов: делимости, Грина, вхождения в идеал, подполугруппу, подгруппу и т. п. В своей диссертации [10] Л. Н. Савина дала описание полугрупп, финитно аппроксимируемых относительно предикатов регулярности и идемпотентности.

В 2000-е годы появился целый ряд диссертаций, посвященный тематике финитной аппроксимации полугрупп.

Постановка задачи. Описать многообразия полугрупп, финитно аппроксимируемых относительно предикатов аннулирования первого и второго рода.

Цель работы. Целью данной работы является полное описание многообразий полугрупп на языке тождеств и индикаторных систем, финитно аппроксимируемых относительно предикатов аннулирования.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми.

Методы исследований. При описании многообразий полугрупп, финитно аппроксимируемых относительно предикатов аннулирования первого и второго рода, использованы теоретико-полугрупповые методы разложения полугрупп в коммутативные связки неразложимых компонент, а также общие структурные методы, связанные с описанием алгебраических систем.

Теоретическая и практическая ценность. Данная диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты исследования могут быть использованы для решения алгоритмических проблем равенства слов для ряда мнообразий полугрупп.

Апробация работы. Ряд результатов настоящей диссертации был освещен на Городском алгебраическом семинаре в ПОМИ РАН, Санкт-Петербургском городском семинаре по теории полугрупп в РГПУ им. А. И. Герцена, а также на 60-х Герценовских чтениях в Санкт-Петербурге.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведён в конце автореферата.

Объём и структура диссертации. Работа состоит из введения и двух глав, разделённых на три параграфа.

Диссертация занимает 70 страниц рукописного текста и содержит 32 наименования литературы.

Основные результаты диссертации.

Диссертация состоит из двух глав.

Центральным понятием в данной работе является понятие аппроксимируемости. Общее определение строится следующим образом.

Пусть £ - некоторая полугруппа, 3 - класс полугрупп, Г1|, Пг — однотипные предикаты на Я. Полугруппа Я аппроксимируема относительно Пь Пг в классе 3, если из истинности предиката П2 при всех гомоморфизмах из 51 в полугруппы класса 3 следует истинность П] в 5. Предикаты Пь П2 могут совпадать. Аппроксимируемость называется финитной, если рассматриваются гомоморфизмы в конечные полугруппы.

Одним из объектов изучения в данной работе является предикат аннулирования (I рода), обозначаемый а:

(а, Ь) е а о аЬ = Ьа = а.

Ему, а именно описанию многообразий полугрупп, финитно аппроксимируемых относительно данного предиката, посвящено содержание первой главы.

В первом параграфе главы 1 вводятся определения необходимых понятий и описываются обозначения, используемые на протяжении главы. Второй параграф содержит доказательства вспомогательных утверждений, на основании которых выводится общий результат. Третий параграф главы 1 посвящен доказательству основной теоремы данного раздела, носящей обобщающий характер.

В настоящей работе мы даём полное описание многообразий полугрупп, финитно аппроксимируемых относительно предиката аннулирования. Для каждого натурального п зафиксируем тождества:

Ь, п'.ху = х"+1у"+1,

/?.ху = (ху)"+1,

т п+1

1з, »--ху=х у,

т п+1

15,„-.хуа = уха,

16, „: аху = аух, /7, „: уха = уху" а, к. аху = ау"ху, Ь. п- X — X,

1,0, „: хуа = хуа(ха)"*', и, „: аух = (ах)"+'аух,

т п П ПгП п п Пгп

112,„: а ху о = ау х о , Ьз, „■ (ахуЬ)" = (аухЬ)" 1ц „: аху"Ь = ау"хЪ 1ц „: ахуЬ = аухЬ

Автором был получен следующий результат.

Теорема 1. Для многообразия полугрупп V следующие утверждения эквивалентны.

1) V финитно аппроксимируемо относительно предиката аннулирования.

2) В многообразии V имеет место одно из условий:

(0 Выполнены тождества I,, „, /¡з. „ при некотором натуральном п, и все силовские подгруппы групп из Vабелевы;

(и) Выполнены тождества 13 „, I; „ для некоторого натурального п; (Ш) Выполнены тождества 14, „, /«, „ при некотором натуральном п.

3) V финитно аппроксимируемо относительно предиката равенства. Доказательству теоремы предшествуют двадцать шесть вспомогательных

утверждений.

Во второй главе исследуются многообразия, финитно аппроксимируемые относительно предиката аннулирования второго рода, обозначаемого га и получающегося из а сужением области определения, а именно ограничением, накладываемым на элемент Ь:

(а, Ь) е /а о аЬ = Ьа = а, Ь2 = Ь (то есть Ь - идемпотент). Несмотря на внешнее сходство, это совершенно другой предикат, и многообразия, финитно аппроксимируемые относительно /а, устроены отличным образом по отношению к рассмотренным в первой главе. В настоящей работе также затронут алгоритмический аспект данной проблемы, в частности связанный с использованием следующих индикаторных полугрупп, заданных при помощи таблицы Кэли:

= {а, Ь, с, 0}

а Ь с 0

а 0 с 0 0

Ь с 0 0 0

с 0 0 0 0

0 0 0 0 0

Зон = {а, х, е, 0}

а X е 0

а 0 0 а 0

X 0 0 а 0

е 0 0 е 0

0 0 0 0 0

Sou = {x, e,f,g}

X e f g

X e e f g

e e e f g

f e e f g

g f e f g

Son = {и, v. e,f, a„ 0}

и V e f a 0

и 0 0 a 0 0 0

V 0 0 0 a 0 0

e 0 0 e e 0 0

f 0 0 f f 0 0

a 0 0 a a 0 0

0 0 0 0 0 0 0

So4i = fe ,a, 0}

е а 0

е е а 0

а 0 0 0

0 0 0 0

Soir- полугруппа, антиизоморфная полугруппе Son, ' = Л 2, 3, 4.

Через L\, R\ обозначим двухэлементные полугруппы левых и правых нулей соответственно с внешне присоединённой единицей.

Итогом исследования является теорема, состоящая из нескольких утверждений.

Теорема 2. Для многообразия полугрупп V следующие условия эквивалентны.

1. V финитно аппроксимируемо относительно предиката аннулирования IIрода.

2. Для некоторого натурального п в многообразии V выполнена одна из групп тождеств:

0) h.nJ,3.n

(2) h. п. h 4, п

(V Iз. п у IN, п

3. Уне содержит полугруппы Sn, Son, S031, Sn2n So3r,

4. V финитно аппроксимируемо относительно предиката вхождения в односторонний идеал.

Доказательство теоремы опирается на двадцать предварительных утверждений, сформулированных в виде лемм.

Как видно из формулировки теоремы, алгоритмическая разрешимость проблемы предиката аннулирования II рода связана с проверкой принадлежности исследуемому многообразию ряда индикаторных полугрупп. Наличие таких полугрупп является главной отличительной особенностью результата исследования в главе 2.

Данная теорема даёт положительный ответ о решении алгоритмической проблемы предиката аннулирования второго рода, а именно имеют место следствия.

Следствие 1. Если многообразие V задано конечным набором тождеств, то за конечное число шагов можно проверить, является ли оно финитно

аппроксимируемым относительно предиката аннулирования второго рода.

Следствие 2. Если в многообразии полугрупп выполнены тождества (1), либо тождества (2), либо тождества (3) из теоремы 2, то во всех конечно определённых полугруппах из этого многообразия алгоритмически разрешима проблема распознавания предиката аннулирования второго рода.

Цитированная литература:

1. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы [текст] / Учен. зап. Ивановск. пед. ин-та: сб. науч. тр. - Иваново, 1958. - № 5.

2. Eilenberg, Samuel. Automata, languages and machines. Academic Press, Inc. Orlando, FL, USA, 1974.

3. Новиков П. С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории групп. М., Изд-во Акад. наук СССР, 1955.

4. Ольшанский А. Ю. Многообразия финитно аппроксимируемых групп // Изв. АН СССР, сер. Матем., т. 33.

5. Мамиконян С. Г. Многообразия финитно аппроксимируемых полугрупп [текст] / С. Г.Мамиконян // Мат. сб.: сб. науч. тр. - М., 1972. - № 37.

6. Gerhard J. A. Subdirectly irreducible idempotent semigroups. "Semigroup Forum", 1973, 5, № 4.

7. Голубов, Э. А., Сапир M. В. Многообразия финитно аппроксимируемых полугрупп [текст] / Э. А. Голубов, М. В Сапир // Докл. АН СССР. Т. 247. - 1979. - № 5.

8. Кублановский, С. И. О финитной аппроксимируемости предмно-гообразий полугрупп относительно предикатов [текст] / С. И. Кублановский // Современная алгебра: Межвуз. сб. науч. тр. - Л.: ЛГПИ, 1980. - с. 58-88.

9. Кублановский, С. И. Финитная аппроксимируемость и алгоритмические вопросы [текст] / С. И. Кублановский // Современная алгебра: Межвуз. сб. науч. тр. - Л.: ЛГПИ, 1983 - с. 59-78.

10. Савина Л. Н. Аппроксимация полугрупп относительно предикатов делимости [текст] : дисс. на соискание уч. степ. канд. физ.-мат. наук: 01.01.06 / Савина Любовь Николаевна.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Костырев И. И. Об алгоритмической разрешимости проблемы распознавания предиката аннулирования второго рода для многообразий

полугрупп / Вестник Санкт-Петербургского Университета. - Серия 1, вып. 4. -СПб., 2010.-е. 45-50.

Другие публикации:

2. О финитной аппроксимируемости многообразий полугрупп относительно предиката аннулирования [текст] / И. И. Костырев; М-во образования Рос. Федерации, РГПУ им. А. И. Герцена. - М., 2005. — 19 с. — Библиогр.: с. 19. - Деп. в ВИНИТИ, № 1428 - В2005.

3. Костырев И. И. О финитной аппроксимируемости многообразий полугрупп относительно предиката аннулирования / Современная аглебра: Межвуз. сб. науч. тр., № 8 (28). - Ростов-на-Дону, 2010. - с. 35 - 49.

4. Костырев, И. И. О финитной аппроксимируемости многообразий полугрупп относительно предиката аннулирования II рода / Известия Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена. Аспирантские тетради. - Вып. 1(1).- СПб., 2006- 8 с.

Введение.

Глава 1. Финитная аппроксимируемость многообразий относительно предиката аннулирования.

1.1 Определения и обозначения

1.2 Вспомогательные утверждения

1.3 Основная теорема.

Глава 2. Финитная аппроксимируемость многообразий относительно предиката аннулирования II рода.

2.1 Определения и обозначения

2.2 Вспомогательные утверждения.

2.3 Основная теорема.

Актуальность темы. Изучение многообразий алгебраических систем с теми или иными условиями конечности является определяющим направлением в современных алгебраических исследованиях. Одним из таких условий конечности является финитная аппроксимируемость алгебраических систем относительно предикатов. Широкое применение аппроксимациоппых методов связано с именем академика Мальцева. В его работах середины прошлого века сформировалось общее понятие финитной аппроксимируемости алгебраических систем относительно предикатов и получен ряд основополагающих результатов.

Важность введённого А. И. Мальцевым понятия в значительной степени определяется связью с алгоритмическими проблемами, именно, как отметил А. И. Мальцев [16], финитная аппроксимируемость конечно порожденной алгебраической системы в многообразии, заданном конечным набором тождеств, относительно некоторого предиката, влечёт алгоритмическую разрешимость проблемы этого предиката в рассматриваемой системе. Например, из теоремы Холла [25] о финитной аппроксимируемости конечно порождённых метаболевых групп следует положительное решение проблемы равенства слов для метабелевых групп. Аппроксимациоппыми методами С. И. Кубла-иовекпм был положительно решён вопрос алгоритмической разрешимости проблемы делимости в целой серии многообразий полугрупп. М. В. Сапир установил эквивалентность для ряда многообразий полугрупп проблемы равенства и финитной аппроксимируемости конечно определённых полугрупп.

Выбор того или иного предиката обусловлен ролыо, которую он играет в теории определённых классов алгебраических систем. Так, например, в группах важнспшимп предикатами являются: предикат равенства, регулярной сопряжённости, предикат вхождения в подгруппу, в конечно порождённую подгруппу. В кольцах и алгебрах важную роль играют предикат равенства, нильпотентности, вхождения в подкольцо (подалгебру). В полугруппах исследовались предикаты делимости, отношения Грина, предикат равенства и вхождения в различного вида подсистемы (идеал, подполугруппа, подгруппа и т.п.). Указанные предикаты явились объектом многочисленных исследований и с точки зрения алгоритмической разрешимости проблем этих предикатов и с точки зрения аппроксимации. В полугруппах особо значимым является предикат делимости. На языке делимости определяются отношения Грина, простота, регулярность и её модификации, распознаваемость (в смысле Эйленберга [22]) и другие важные свойства полугрупп. Следует отмстить, что распознаваемость полугрупп систематически изучается целым рядом зарубежных авторов, таких, как Г. Лаллемап, Д. Перрен, К. Рейс, С. Рэпкин, Ж. Сакарович, Т. Тамура, Г. Тьерреп, С. Эйлснберг и др. в связи с потребностями теории кодирования. Одним из важных случаев отношения делимости является отношение аннулирования. На языке отношения аннулирования определяется фундаментальный порядок па множестве идем-по'юитов в кольцах и полугруппах. Это отношение естественным образом возникает при рассмотрении инверсных полугрупп, полуструктур групп и полуструктур ниль-полугруин.

Особый интерес представляет алгоритмический аспект. Если система задана некоторым набором определяющих соотношений и некоторым набором тождеств, то возникает вопрос: существует ли алгоритм, который для любых двух слов определяет, является ли одно слово нулём для другого. В общем случае ответ отрицательный. В частности это следует из результата Новикова П. С. [18].

Для алгоритмических вопросов важна элементарная аксиоматизируемость исследуемых классов. Как показывают исследования, в большинстве случаев условия финитной аппроксимируемости объектов относительно предикатов нельзя сформулировать на языке первой ступени. Одним из способов получения элементарных критериев является поиск необходимых и достаточных условий аппроксимируемости не отдельных алгебр, а различных производных классов от этих алгебр.

С конца 1960-х годов по настоящее время появилось большое количество работ, посвященных финитной аппроксимируемости многообразии различных классов. Интерес к этим вопросам нашёл отражение в работах как российских (А. Ю. Ольшанский, С. Г. Мамикопян, Э. А. Голубов, М. В. Са-пир, С. И. Кублаповский, Л. Н. Савина), так и зарубежных алгебраистов (С. Гроувз, Д. Герхард).

Отметим некоторые результаты по данной тематике.

В своей работе А. Ю. Ольшанский [19] получил описание многообразий финитно аппроксимируемых групп. Многообразия финитно аппроксимируемых коммутативных полугрупп были описаны С. Г. Мамиконяпом [17]; многообразия финитно аппроксимируемых идемиотептпых полугрупп описал Д. Герхард [23], [24]. Независимо друг от друга многообразия финитно аппроксимируемых полугрупп описали Э. А. Голубов и М. В. Саппр [1] и С. И. Кублаповский [9]. В работах [9], [10] С. И. Кублаповский дал описание на языке тождеств многообразия полугрупп, финитно аппроксимируемых относительно целого ряда известных предикатов: делимости, Грина, вхождения в идеал, подполугруппу, подгруппу и т. п. В своей диссертации Л. Н. Савина [20] дала описание полугрупп, финитно аппроксимируемых относительно предикатов регулярности и идемпотентности.

В 2000-е годы появился целый ряд диссертаций, посвященный тематике финитной аппроксимации полугрупп.

Постановка задачи. Описать многообразия полугрупп, фппптпо аппроксимируемых относительно предикатов аннулирования первого и второго рода.

Цель работы. Цслыо данной работы является полное описание многообразий полугрупп на языке тождеств и индикаторных систем, фппптпо аппроксимируемых относительно предикатов аннулирования.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми.

Методы исследований. При описании многообразий полугрупп, финитно аппроксимируемых относительно предикатов аннулирования первого и второго рода, использованы теоретико-полугрупповые методы разложения полугрупп в коммутативные связки неразложимых компонент, а также общие структурные методы, связанные с описанием алгебраических систем.

Теоретическая и практическая ценность. Данная диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты исследования могут быть использованы для решения алгоритмических проблем равенства слов для ряда миообразпй полугрупп.

Апробация работы. Ряд результатов настоящей диссертации был освещен па Городском алгебраическом семинаре в ПОМИ РАН, Сапкт-Петер-бургском городском семинаре но теории полугрупп в РГПУ им. А. И. Герце-па, а также па 60-х Герценовских чтениях в Санкт-Петербурге.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведён в конце диссертационной работы.

Объём и структура диссертации. Работа состоит из введения п двух глав, разделённых на три параграфа. Диссертация занимает 70 страниц машинописного текста и содержит 32 наименования литературы.

Заключение

При написании данной диссертационной работы ставились цели и задачи описания многообразий полугрупп, фппптно аппроксимируемых относительно предикатов аннулирования первого п второго рода, используя язык тождеств и индикаторных систем. При этом предполагалось затронуть алгоритмический аспект проблемы, выводы относительно которого представляли наибольший интерес.

Главным образом поставленные цели были достигнуты. Опишем полученные результаты с точки зрения их соотнесения с заявленными целями.

Исследование многообразий, финитно аппроксимируемых относительно предиката аннулирования первого рода, вылилось в двадцать шесть вспомогательных утверждений и имело итогом основную теорему первой главы, в которой указаны тождества, выполнение которых необходимо и достаточно для того, чтобы выполнялся данный вид финитной аппроксимируемости. Данные тождества были разбиты па три группы, каждая из которых гарантирует требуемое свойство многообразий.

Кроме того, в первой главе было установлено, что финитная аппроксимируемость многообразии полугрупп относительно предиката аннулирования равносильна финитной аппроксимируемости относительно предиката равенства, притом что сами данные предикаты не являются эквивалентными.

Во второй главе проводилось исследование многообразий полугрупп, финитно аппроксимируемых относительно предиката аннулирования второго рода, который на аппулпруемый элемент накладывал дополнительное условие идемпотентности. Данное условие существенным образом повлияло па свойства многообразий. Двадцать одна лемма, основна51 теорема и следствия, позволили нам заключить, что необходимым и достаточным условием финитной аппроксимируемости многообразий относительно предиката аннулирования второго рода, является выполнение в нём ряда тождеств. Также была установлена, эквивалентность условий финитной аппроксимируемости многообразий полугрупп относительно предикатов аннулпровапия и вхождения в максимальную подгруппу.

Алгоритмическая проблема, к решению которой пс удалось подойти в первой главе, была решена во второй главе для многообразий полугрупп, финитно аппроксимируемых относительно предиката аннулирования второго рода. Итогом стало нахождение нескольких индикаторных полугрупп, по наличию которых в многообразии можно судить о его финитной аппроксимируемости относительно данного предиката. Данный результат резюмирован в двух следствиях из основной теоремы.

Итак, полное описание многообразий полугрупп, финитно аппроксимируемых относительно предиката аннулирования первого рода было получено па языке тождеств. На языке тождеств и индикаторных полугрупп были описаны и многообразия, финитно аппроксимируемые относительно предиката аннулирования второго рода.

Данный результат полностью соответствует поставленным целям.

1. Голубов, Э. А., Санир М. В. Многообразия финитно аппроксимируемых полугрупп текст. / Э. А. Голубов, М. В Санир // Докл. АН СССР. Т. 247. - 1979. - № 5.

2. Голубов, Э. А. О финитной отделимости в полугруппах текст. / Докл. АН СССР. Т 189. 1969. - № 1.

3. КлиффордА., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.; Мир, 1972.

4. О финитной аппроксимируемости многообразий полугрупп относительно предиката аннулирования текст. / И. И. Костырев; М-во образования Рос. Федерации, РГПУ им. А. И. Герцена. М., 2005. - 19 с. -Библиогр.: с. 19. - Деп. в ВИНИТИ, № 1428 - В2005.

5. Костырев И. И. О финитной аппроксимируемости многообразий полугрупп относительно предиката аннулирования / Современная алгебра: Межвуз. сб. науч. тр., № 8 (28) Ростов-на-Дону, 2010. - с. 35 - 49.

6. Костырев И. И. Об алгоритмической разрешимости проблемы распознавания предиката, аннулирования второго рода для многообразий полугрупп / Вестник Санкт-Петербургского Университета. Серия 1, вып. 4. - СПб., 2010 - с. 45 - 50.

7. Кублаиовский, С. И. Аппроксимация алгебраических систем относительно предикатов текст. : дисс. на соискание уч. стен. канд. физ.-мат. Наук: 01.01.06 / Кублаиовский Станислав Ицхокович. ЛГПИ. Л., 1983. - 156 с. - Библиогр.: с. 152-156.

8. Кублаиовский, С. И. О финитной аппроксимируемости иредмпогообра-зий полугрупп относительно предикатов текст. / С. И. Кублаиовский // Современная алгебра: Мсжвуз. сб. науч. тр. Л.: ЛГПИ, 1980. - с. 58-88.

9. Кублаиовский, С. И. Финитная аппроксимируемость и алгоритмические вопросы текст. / С. И. Кублаиовский // Современная алгебра: Мсжвуз. сб. науч. тр. Л.: ЛГПИ, 1983 - с. 59-78.

10. Кублаиовский, С. И., Лссохин. М. М. Об отделимости в полугруппах. Всесоюзный алгебраический симпозиум. Гомель, 1975.

11. Лесохин, М. М. Об аппроксимируем ост и полугрупп относительно предикатов текст. / М. М. Лесохин // Сб. тр. ЛГПИ им. А. И. Герцена: сб. науч. тр. Л., 1972

12. Лесохин, М. М. Об отделимости инверсных полугрупп текст. / М. М. Лесохин // VIII Всесоюзный алгебраический коллоквиум. Резюме научных сообщений. Рига, 1967.

13. Ляпип, Е. С. Полугруппы. М., Физматгиз, 1960.

14. Мальцев, А. И. Алгебраические системы. М., "Наука 1970.

15. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы текст. / Учен, зап. Иваповск. пед. ин-та: сб. науч. тр. Иваново, 1958. - № 5.

16. Мамиконян С. Г. Многообразия финитно аппроксимируемых полугрупп текст. / С. Г.Мамикопяп // Мат. сб.: сб. науч. тр. М., 1972. - № 37.

17. Новиков П. С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории групп. М., Изд-во Акад. наук СССР, 1955.

18. Ольшанский А. Ю. Многообразия финитно аппроксимируемых групп // Изв. АН СССР, сер. Матем., т. 33.

19. Савина JI. Н. Аппроксимация полугрупп относительно предикатов делимости текст. : дисс. на соискание уч. стен. капд. физ.-мат. паук:0101.06 / Савина Любовь Николаевна. ЛГПИ. Л., 1986./

20. Birkhoff G. On the structure of abstract algebra. Proe. Cambridge Philos. Soc., 1935, v. 31.

21. Eilenberg, Samuel. Automata, languages and machines. Academic Press, Inc. Orlando, FL, USA, 1974.

22. Gerhard, J. A. Subdirectly irreducible idempotent semigroups. Pacific J. Math., 1971, 39.

23. Gerhard J. A. Some subdirectly irreducible idempotent. semigroups. Semigroup Forum, 1973, 5, № 4.

24. Hall M. The theory of groups. New York: Macmillan, 1959.

25. Lallement G. Semigroups and combinatorial applications, Wiley, 1979.

26. Petrich M. Introduction to semigroups. Pennsylvania State University, 1973.

27. Petrich M., Reilly N. R. Completely regular semigroups. John Wiley and sons, New York, 1999.

28. Rankin S. A., Reis C. M. and Tliierrin G. Recognizable Semigroups, American Mathematical Society.volume 70, № 2, July 1978.

29. Sakarovitch J. Easy multiplications i. the realm of Kleene's theorem. Information and Computation, 74(3): 173-197, September 1987.

30. Tamura T. Some remarks on semigroups and all types of order 2, 3, J. Gakugei Tokushima Univ. 3, (1953), 1-11.

31. Tamura T. Notes on nite semigroups and determination of semigroups of order 4, J. Gakugei Tokushima Univ. 5, (1954), 17-27.