Коллективные тождества полугрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

/

Министерство общего и профессионального образования

Российской федерации Российский государственный педагогический университет

им. А. И. Герцена

Братчиков Сергей Николаевич

Коллективные тождества полугрупп

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

Ляпин Евгений Сергеевич,

доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки.

Санкт-Петербург

на правах рукописи

1999

Содержание.

Введение........................................................ 5

§ 1. Основные результаты диссертации........................ 10

§ 2. Основные определения и обозначения...................... 15

Глава I. Коллективные тождества в клаесах полугрупп 21

§ 1. Коллективные тождества эксклюзивных полурешеток. ... 21

1.1. Предварительные сведения........................... 22

1.2. Тождественные включения полугрупп с внеш-

ними нулем или единицей........................... 23

1.3. Тождественные включения некоторых экслю-

зивных полурешеток................................ 24

1.4. Решетка всех коллективных многообразий эк-

склюзивных полу решеток........................... 28

§ 2. Коллективные тождества аннулирующих связок полугрупп.35

2.1. Тождественные включения последовательно аннулирующих связок полугрупп.................... 35

2.2. Тождественные включения конечной галоид-

ной полугруппы..................................... 37

2.3. Тождественные включения взаимно аннулирующих связок полугрупп...........................40

Глава II. Аксиоматизируемость и базируемость коллективных многообразий ............................42

§ 1. Коллективные и дизъюнктивные многообразия...........43

1.1. Предварительные сведения...........................44

1.2. Не аксиоматизируемые коллективные многообразия. 46

1.3. Коллективные многообразия, являющиеся дизъ-

юнктивными......................................... 50

1.4. Слабо свободные полугруппы в коллективных

многообразиях....................................... 52

§ 2. Отношение следования для коллективных тождеств....... 57

2.1. Предварительные сведения и определения............ 57

2.2. Механизм получения следствий для коллективных тождеств. ................................... 59

2.3. Решетка коллективных подмногообразий мно-

гообразия П (хур = х,ху — ух)......................64

2.4. Бесконечные совокупности коллективных тож-

деств в классе коммутативных полугрупп..........65

Глава III. Конечная базируемость трехэлементных полугрупп ...............................................71

§ 1. История вопроса........................................... 71

§ 2. Коллективные тождества трехэлементных полугрупп..... 74

2.1. Предварительные сведения........................... 74

2.2. Коллективные тождества полугрупп с внеш-

ними нулем или единицей........................... 76

2.3. Коллективные тождества полугрупп без внешних нуля или единицы............................... 78

§ 3. Конечная базируемость трехэлементных полугрупп.......84

3.1. Предварительные сведения, известные факты........ 84

3.2. Конечная базируемость трехэлементных по-

лугрупп с внешними нулем или единицей........... 84

3.3. Конечная базируемость трехэлементных по-

лугрупп без внешних нуля или единицы............ 91

Литература.....................................................97

Введение

Бурное развитие теории полугрупп, произошедшее за последние несколько десятилетий, сопровождается развитием методов исследований, в процессе которого возникают все новые и более общие конструкции и подходы. Одним из таких подходов к изучению классов полугрупп, является использование языка первой ступени, впервые предложенное А. И. Мальцевым (например, [31]) для классификации алгебраических систем в соответствии с их свойствами. Такой, достаточно общий подход, может быть разделен на несколько самостоятельных направлений, значимость которых, в настоящий момент, не вызывает сомнений. К числу таковых относятся теории многообразий, квазимногообразий и дизъюнктивных многообразий полугрупп.

Но как известно, не все свойства полугрупп можно выразить с помощью языка первой ступени. Использование же языка второй ступени представляется крайне затруднительным в силу отсутствия, в общем случае, логической простоты утверждений. Этим и продиктована необходимость в использовании конструкций, которые с одной стороны являлись бы некоторым обобщением ряда "классических" понятий и, с другой стороны, были бы достаточно наглядны и естественны.

Одной из таких конструкций является понятие коллективного тождества, введеное Е. С. Ляпиным в работе [30] в 1991 году. Там же показано, что понятие тождественного включения, введенного ранее, в 1974 году в XII главе монографии [44], эквивалентно понятию коллективного тождества с точки зрения выполнимости в полугруппах.

Коллективные многообразия (определяемые коллективными тождествами классы полугрупп) неоднократно исследовались различными авторами. Основополагающими для теории работами являются исследования Е. С. Ляпина. Им описаны (см. [26, 27]) некоторые участки решетки коллективных многообразий, введено понятие полугруппы, слабо свободной в классе и доказано существование таких полугрупп в некоторых коллективных многообразиях (см. [46]). Строение некоторых коллективных многообразий изучалось в работах А. Е. Евсеева (см. [13, 14])."Проблема конечного базиса для коллективных тождеств рассматривалась Г. И. Машевицким (см. [47]). Отметим также работы Л. Н. Бобриковой [2, 3, 40] и Г. А. Шестакова [37], посвященные изучению коллективных тождеств полугрупп.

Известно, какую важную роль в теории полугрупп (да и вообще алгебраических систем) играет понятие тождества. Достаточно указать обзорные статьи Т. Evans [41], А. Я. Айзенштадт и Б. К. Бо-гуты [1], Л. Н. Шеврина и М. В. Волкова [36], посвященные этому направлению.

Понятие коллективного тождества является достаточно естественным обобщением понятия тождества. Поэтому теорию многообразий можно рассматривать как часть теории коллективных многообразий. В связи с этим, в теории коллективных тождеств остается актуальной проблематика теории тождеств. Тем не менее, первая

имеет существенные отличия по многим вопросам. В настоящей работе будут выявлены некоторые из них.

Другим обобщением понятия тождества является дизъюнктивное тождество (позитивная V-формула языка I ступени). Связь между коллективными и дизъюнктивными многообразиями ранее уже рассматривалась, например, С. Ю. Кулабуховым (см. [17]). В данной работе так же будут выявлены некоторые соотношения между ними.

Помимо того, что теория коллективных многообразий включает в себя достаточно развитое направление теории полугрупп — теорию многообразий, интерес к ней продиктован так же тем, что многие классы полугрупп, привлекающие внимание исследователей, являются коллективными многообразиями.

Приведем примеры таких коллективных многообразий.

1. И{х\х2 ё {^1, Х2}) — класс полугрупп, в которых всякое непустое подмножество является подполугруппой. Полугруппы этого

класса не раз исследовались различными авторами. При помощи

>

конструкции последовательно аннулирующей связки они описаны в работе Е. С. Ляпина [24].

2. П(жхж2£з ё {яъ-£2,жз}) — класс полугрупп, в которых всякое непустое подмножество тернарно замкнуто. Строение полугрупп этого класса описано Е. С. Ляпиным [29].

3. ЩХ1Х2Х3 ё {x\x2->%2%z,xi%z}) — класс эксклюзивных полугрупп. Строение данного класса полугрупп неоднократно изучалось различными авторами (Т. Tamura [52], L. О'Corroí и Б. М. Шайн [48], М. Jamada [42]).

" 4. П({ж, у, ху} = {ж, у, ух}) — класс полугрупп, у которых произ-

ведение любых двух неперестановочных между собой элементов равно одному из сомножителей.

5. П(хуг ё {х,у, г,ху,у:г}) — класс полугрупп, в которых всякое подмножество является катенарно ассоциативным (подмножество В полугруппы А называется катенарно ассоциативным если (Ух, у, г € В)(ху,уг € В =Ф- хуг € В). Полугруппы с катенарно ассоциативными подмножествами изучались А. Е. Евсеевым [14].

6. П(ху ё {х, ж2,...}) — класс полугрупп, в которых каждая подполугруппа есть правый идеал (данный класс совпадает с классом П(жу ё {х2,х3}) [13]). Полугруппы этого класса изучались Э. Г. Шутовым [38, 39]. Им получены структурные теоремы и, по-видимому, впервые показана аксиоматизируемость этого класса.

7. Щху ё {у,х,х2,.. .},ху ё {х,у,у2,...}) — класс полугрупп, в которых все подполугруппы единично идеальные. Описание полугрупп, принадлежащих данному классу получено Е. С. Ля-пиным и А. Е. Евсеевым [23].

8. И(Х1Х2 ... хп ё {х\,х\,..., Х2, х2, ■. ■, хп, ж2,...}) — класс полугрупп, в которых объединение любых п подполугрупп является подполугруппой. Некоторые подклассы такого коллективного многообразия для п = 2 описаны А. Е. Евсеевым [13].

9. П(х1Х2Хз = У1У2УЪ,ХУ% ё {ху,уг}) — класс всех трехступен-но нильпотентных полугрупп, каждая из которых вложима в некоторую вполне 0-простую полугруппу.

Наиболее близкими к понятию коллективного тождества [коллективного многообразия], как уже отмечалось выше, являются понятия тождества [многообразия] и дизъюнктивного тождества [дизъюнктивного многообразия].

Проблематика в изучении и характеризации коллективных тождеств, очевидно, заимствована из теории многообразий. Она включает в себя:

1) описание коллективных теорий полугрупп;

2) характиризацию решеток коллективных подмногообразий коллективных многообразий;

3) вопросы базируемости коллективных тождеств.

Изучение связи коллективных многообразий с дизъюнктивными приводит к рассмотрению следующих вопросов:

4) аксиоматизируемость коллективных многообразий полугрупп;

5) порождаемость коллективных многообразий некоторыми своими полугруппами при помощи гомоморфизмов.

При выполнении этой работы автор придерживался этого плана.

§ 1. Основные результаты диссертации.

Настоящая работа посвящена изучению коллективных тождеств и классов полугрупп, ими определяемых.

Цель работы заключается в исследовании общих свойств коллективных тождеств и коллективных многообразий, а так же в выявлении, коллективных тождеств, выполняющихся в различных классах полугрупп.

В качестве методов исследования используются некоторые методы теории многообразий полугрупп (в основном анализ и описание эква-циональной теории), общеполугрупповые, а так же некоторые методы из теории множеств и упорядоченностей.

Известно (см. [26]), что коллективные многообразия образуют относительно включения полную решетку Ее, атомы которой исчерпываются коллективными многообразиями:

ГI = П (ху = х), Гг == П (ху = у),

г5)2 = П(ху = ух,х2 = х,ху ё {х,уг}),

Г9,Р = ЩХУ = УХ1 хРУ = У,х € {У,У2, - ■ ■ ,УР, ХУ}),

где коллективные многообразия Г/, Гг, Го совпадают с многообразиями полугрупп левых нулей, правых нулей и полугрупп с нулевым умножением соответственно, а Т3>2 и Г9;Р состоят из двух полугрупп: одноэлементной и, в первом случае двухэлементной полурешетки, а во втором — группы простого порядка р.

Дизъюнктивные многообразия также образуют полную решетку Ед [17], среди атомов которой есть коллективные многообразия Г5;2

и Г5)Р, остальные исчерпываются дизъюнктивными многообразиями:

Го,2 = П(ж — у V у — г V х = 2, ху — Гг;2 = П(® = у V у — г V х = г, ж = ху)] ГГ;2 = П(ж = уУу = хУх = г,х = ух).

Эти классы состоят из одноэлементной полугруппы и двухэлементной из соответствующего многообразия — Го, Г/, Гг.

Класс всех эксклюзивных полурешеток является коллективным многообразием П(ху = ух,х2 = х,хух Е {ху,хг,уг}).

В первом параграфе главы I (теорема 1.1.15) описана решетка всех коллективных многообразий эксклюзивных полурешеток.

Описание эквациональной теории конечной голоидной полугруппы дано в [28]. В работе [27] дано описание коллективных тождеств, выполняюющихся в произвольной полугруппе, разложимой в последовательно аннулирующую связку своих подполугрупп.

В первом параграфе первой главы описаны коллективные тождества полугрупп с внешними нулем или единицей (теорема 1.1.3). Тем самым описание, данное в работе [27] несколько уточняется. Во втором параграфе первой главы в качестве следствия приведенного уточнения дано описание коллективных тождеств конечной голоидной полугруппы (следствие 1.2.4). Там же описаны (теорема 1.2.5) коллективные тождества полугрупп, разложимых во взаимно аннулирующую связку своих подполугрупп некоторого вида. Показано, что решетки коллективных подмногообразий некоторых коллективных многообразий, состоящих из полугрупп, разложимых в аннулирующую связку, конечны (следствия 1.2.2 и 1.2.7).

Коллективные многообразия можно условно разделить на два вида — аксиоматизируемые (они же коллективные многообразия, явля-

ющиеся дизъюнктивными) и не аксиоматизируемые (замечания II. 1.5 и П.1.6). В связи с этим возникает необходимость совместного исследования решеток Ес и Ед. В первом параграфе главы II выявлены некоторые их соотношения.

Понятие полугруппы, свободной в некотором классе полугрупп играет важную роль в теории полугрупповых многообразий. Е. С. Ля-пин в работе [46] ввел понятие слабо свободной в классе полугруппы, которое представляет собой достаточно естественное обобщение понятия свободной полугруппы в классе. Благодаря работам [46] и [18] известно, что аксиоматизируемые коллективные многообразия обладают слабо свободными полугруппами, которые порождают их при

помощи гомоморфизмов. В пункте II. 1.1 указаны не аксиоматизируе-

<

мые коллективные многообразия, обладающие таким свойством, а в пункте II. 1.4 — не аксиоматизируемые коллективные многообразия, им не обладающие.

Во втором параграфе II главы приведены способы получения некоторых следствий для коллективных тождеств. В качестве иллюстрации их совместного использования с механизмом получения следствий для дизъюнктивных тождеств дано описание решетки всех коллективных подмногообразий группового атома решетки многообразий полугрупп (теорема II.2.7), а также показано, что тождество коммутативности не включается в бесконечную неприводимую совокупность коллективных тождеств некоторого вида (теорема II.2.11).

Во втором параграфе главы III описаны коллективные тождества каждой из трехэлементных полугрупп. Это необходимо для получения основного результата III главы.

На протяжении многих лет оставался открытым вопрос, постав-

ленный в 1966 году А. Тарским, о нахождении наименьшего порядка полугруппы, не имеющей конечного базиса тождеств (полную историю вопроса см., например, в [36] или в параграфе I главы III). Усилиями нескольких авторов (полная библиография указана в [36]) этот вопрос был окончательно решен А. Н. Трахтманом в 1991 году (см. [35]): минимальная полугруппа, не имеющая конечного базиса тождеств шестиэлементна.

Г. И. Машевицким в работе [47] приведен пример конечной полугруппы, не имеющей конечного базиса коллективных тождеств. Из результатов работы [26] следует, что любая двухэлементная полугруппа имеет конечный базис коллективных тождеств.

Закономерен вопрос: каков наименьший порядок полугруппы, не имеющей конечного базиса коллективных тождеств?

В теореме Ш.3.10 доказано, что каждая трехэлементная полугруппа имеет конечный базис коллективных тождеств, тем самым положено начало изучению указанного вопроса.

Диссертация состоит из трех глав. Каждая глава разбита на параграфы, а параграфы — на пункты. Ссылка на тот или иной пункт состоит из тройки: номер главы, параграфа, пункта. Нумерация лемм, теорем и др. общая внутри параграфов.

Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции памяти Д. К. Фаддеева [7] (Санкт-Петербург, 1997), на международной конференции, посвященной памяти профессора Л. М. Глускина [6] (Славянск, 1997), на третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти С. Л. Соболева [9] (Новосибирск, 1998), на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова [10]

(Ростов-на-Дону, 1998), на заседаниях 'Терценовских чтений" (Санкт-Петербург, 1997-1998), на Санкт-Петербургском городском семинаре по теории полугрупп, на семинаре по теории полугрупп в РГПУ (Ростов-на-Дону) и на семинаре по теории полугрупп в ТГПИ (Таганрог) .

§ 2. Основные определения и обозначения.

В рамках данной работы X будет обозначать фиксированный счетный алфавит, Р(Х) и — свободную полугруппу над X

и свободную полугруппу над X с присоединенным пустым словом соответственно. Для отображения <£> из X в некоторую полугруппу б' и слова и = ... Хгп через <р(и) будем обозначать элемент полугруппы 5, равный . . . (р(х1п).

Для непустых подмножеств 17, V С Р(Х) выражение вида 17 = V называется коллективным тождеством (к. тождеством).

Если и Е Р(Х) и У —непустое подмножество Р(Х), то выражение вида и Ё V называется тождественным включением (т. включением) .

Коллективное тождество 17 = У [т. включение и Ё V] выполняется в полугруппе 5 если при любом отображении X в имеет место <р(17) = <р(У) [<р(и) Е ф(У) ]•

Легко видеть, что в случае 17 = {и}, У = {г?} [ У = {г>} ] к. тождество 17 == V [т. включение и Ё V] является тождеством и = V.

Если в к. тождестве 17 = У [т. включении и Ё V] выполняется условие 17 = V [ (Зг> Е У) (и ~г>)] (отношение ~ означает графическое совпадение слов), то это к. тождество [т. включение] выполняется в любой полугруппе. Будем называть его тривиальным.

Всякое т. включение эк