Некоторые позитивные формулы на полугруппах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи Малышев Андрей Николаевич

Некоторые позитивные формулы на полугруппах

Специальность 01.01.06 - алгебра, математическая логика и теория

чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль 2005

Работа выполнена на кафедре алгебры Российского государственного педагогического университета им. А.И.Герцена.

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки РСФСР

Ляпин Евгений .Сергеевич.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Кублановский Станислав Ицхокович;

кандидат физико-математических наук Башкин Михаил Анатольевич.

Ведущая организация - Российский государственный гидрометеорологический университет.

Защита состоится

"Я." MxJtoM

п innmnVii «п

2005 года

у/ е$ в /У час.

на

заседании ученого совета Д 212.002.03' в Ярославском государственном университете им. П.Г.Демидова. Адрес: г. Ярославль, ул. Союзная 144.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ЯрГУ. Автореферат разослан " 2005.

Ученый секретарь диссертационного совета

Яблокова С.И.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория многообразий алгебр—один из ниболее популярных разделов алгебры, берущий своё начало с классической работы Биргко-фа [34]. Заметное место в этом направлении занимают исследования по многообразиям полугрупп. Достаточно отметить обзорные статьи Эванса [36], А. Я. Айзенштат и Б. К. Богуты [2], Л. Н. Шеврина и М. В. Волкова [31].

Одним из естественных обобщений понятия тождества являются позитивные формулы первой ступени. Ещё А.И.Мальцев [26] указывал на важность изучения позитивных формул в вопросе об описании всех делителей (то есть подсистем гомоморфных образов) некоторого универсально аксиоматизируемого класса алгебраических систем. Такое описание для класса вполне 0-простых полугрупп было получено С. И. Кублановским [37]. Среди позитивных формул особое место занимают дизъюнктивные тождества и тождественные включения. На языке тождественных включений описываются многие классы полугрупп, не раз являющиеся предметом различных исследований. Впервые понятие тождественного включения в теорию полугрупп ввёл Е. С. Ляпин [21, 39]. В частности им показано [38], что изучение тождеств на глобальных полугруппах сводится к изучению тождественных включений на соответствующих полугруппах. Э. Г. Шутовым [32] показано, что совокупность полугрупп, всякая подполугруппа которых является правым (левым) идеалом, удовлетворяет некоторой совокупности тождественных включений. Совокупностями полугрупп, задаваемые с помощью некоторого тождественного включе-

ния являются эксклюзивные полугруппы (Т. Tamura [42], L. О'СоггоП, Б. М. Шайн [35], М. Jamada [43, 44]), полугруппы, всякое подмножество которых является подполугруппой (А. Е. Евсеев [11], Е. С. Ляпин [25]), полугруппы, у которых все подмножества тернарно замкнуты (Е. С. Ляпин), полугруппы с катенарно ассоциативными подмножествами (А. Е. Евсеев [12]), полугруппы с сингулярно нулевым умножением (А. Е. Евсеев [11]) и многие другие классы полугрупп. Отметим, что, как показано автором данной диссертации, класс всех деревьев тгакже описывается некоторым тождественным включением. С.И.Кублановским на санкт-петербургском городском семинаре по теории полугрупп показано, что задача об описании всех полугрупповых алгебр, удовлетворяющих некоторому полиномиальному тождеству, эквивалентна условию о выполнимости в соответствующей полугруппе некоторой совокупности дизъюнктивных тождеств.

Пусть X—произвольный счетный ' алфавит, а Т (Х)[Т !(Х)]—свободная полугруппа слов [с пустым словом] над алфавитом А'. Пусть и € Т(А'), V С Т (X), V Ф 0. Тогда запись вида и ё V называется тождественным включением (т. включением). Тождественное включение и ё V выполняется в полугруппе S, если для любого гомоморфизма <¿> : Т {X) —>• S выполняется ip(u) € <p(V), где <p{V) = {ip{v) | v € V}. Пусть Ф—некоторая совокупность тождественных включений. Тогда через П(Ф) мы будем обозначать совокупность всех полугрупп, на каждой из которых выполняется любое тождественное включение из Ф. Совокупность по-

•»3T«íHfM»-. ' 4

лутрупп П(Ф) называется тождественно включительным многообразием (т. в. многообразием). Е. С. Ляпиным [21] описаны атомы решётки всех тождественно включитель-ных многообразий полугрупп.

Если множество V одноэлементно, то тождественное включение и ё V будет являться тождеством. Если множество V бесконечно, то тождественное включение и € V не является формулой первой ступени и не всегда может быть эквивалентно некоторой совокупности формул первой ступени. Соответствующий контрпример приведён С. Н. Братчиковым [б]. Если множество V конечно, то тогда тождественное включение является универсальной позитивной формулой первой ступени. Такие тождественные включения называются конечными. В данной диссертации рассматриваются в основном конечные тождественные включения.

Также, как и для тождеств, для тождественных включений актуальна задача об описании всех тождественных включений, выполняющихся в некотором классе полугрупп. Е. С. Ляпиным [25] были описаны тождественные включения в двухэлементной цепи и в классе всех цепей. Исследовния тождественных включений в классе полурешеток были продолжены С. Н. Братчиковым [7], который опцсал решётку всех тождественно включитель-ных многообразий эксклюзивных полурешёток, то есть коммутативных и идемпотентных полугрупп, удовлетворяющих тождественному включению хуг <Е {ху,хг,уг}. Кроме того, С. Н. Братчиковым были описаны тождественные включения аннулирующих связок полугрупп [8], доказана конечность базиса тождественных включений не

более чем трехэлементных полугрупп [9]. Л. Н. Бобриковой [4, 5] были описаны тождественные включения конечных циклических полугрупп. В. А. Дрёмов [10] привёл пример четырехэЛементной коммутативной полугруппы, имеющей бесконечный базис тождественных включений. Заметим, что любая коммутативная полугруппа имеет конечный базис тождеств.

Пусть щ, VI, «2,^2) • • • т^п £ Т{Х). Универсальная замкнутая позитивная формула первой ступени

щ = VI V и2 = Ь2 V ... V ип = ьп

называется дизъюнктивным тождеством (Э-тождеством). Для дизъюнктивного тождества щ = г>1 V щ = '«г V ... V ип = уп всякое тождество щ = и,, где г = 1,2,... ,п, будем называть его дизъюнктивным членом. Очевидно, что всякое тождество является частным случаем дизъюнктивного тождества. С другой стороны, дизъюнктивное тождество: сг3 = (х = у V у = г VI = г) выполняется во всех не более чем двухэлементных полугруппах. Как показано С. Ю. Кулабухо-вым в [18], существуют совокупности дизъюнктивных тождеств, не эквивалентных никакой совокупности тождественных включений. Аналогичными методами можно показать, что вышеприведённое дизъюнктивное тождество <7з также не эквивалентно никакой совокупности тождественных включений. Можно отметить, что полугруппы с сингулярно единично нулевым умножением, рассматриваемые А. Е. Евсеевым [13], описываются ^-тождеством ху = х У ху = у V ху = ху1 V хуи = и.

Дизъюнктивные групповые тождества в классе групп эквивалентны тождественным включениям. Это следует

из наличия в группах обратных элементов. Дизъюнктивными групповыми тождествами занимались Б. И. Плот-кин, С. М. Вовси, Ь. АкИапвкп, А. КизЫшку [30, 33]. Полугрупповые дизъюнктивные тождества изучал С. Ю. Кулабухов [16]— [19]. В частности, им описаны все атомы решетки дизъюнктивных многообразий полугрупп, решётки дизъюнктивных многообразий некоторых атомов решётки многообразий полугрупп, теорема о полноте для полугрупповых дизъюнктивных тождеств.

Постановка задачи. Описать все тождественные включения и дизъюнктивные тождества для известных классов полугрупп, выяснить строение эксклюзивных полурешёток для различных многообразий, исследовать решётку дизъюнктивных подмногообразий малых многообразий.

Цель работы. Целью данной работы является описание в известных классах йолугрупп всех дизъюнктивных тождеств или всех тождественных включений, описание классов полугрупп, удовлетворяющих определенной совокупности тождественных включений, приведение примера малого многообразия, содержащего континуум дизъюнктивных подмногообразий.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми.

Методы исследований. При описании тождественных включений и дизъюнктивных тождеств, выполняющихся в некоторых классах полугрупп, а также их базисов, используются стандартные комбинаторные методы, аналогичные при решении подобных задач теории многообразий. Описание полурешеток, удовлетворяющих неко-

торой совокупности тождественных включений, потребовало существенно использовать понятие 0-прямой суммы полугрупп [15]. При приведении примера малого многообразия, содержащего континуум дизъюнкитвных подмногообразий, приводится пример бесконечной неприводимой совокупности дизъюнктивных тождеств. -

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшего изучения тождественных включений и дизъюнктивных тождеств на полугруппах. Некоторые тождественно включительные многообразия полурешёток могут быть использованы в теории графов. Тождественное включение, задающее класс деревьев в многообразии полу решёток, может быть использовано в теоретической информатике при оптимизации алгоримов.

Апробация работы . Результаты данной диссертации докладывались на Санкт-Петербургском городском семинаре по теории полугрупп, на семинаре по теории полугрупп (г. Ростов-на-Дону), на 56-х, 58-х и 59-х Гер-ценовских чтениях в С.-Петербурге.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Первая глава состоит из четырёх параграфов. Вторая и третья главы состоят из двух параграфов. Работа занимает 73 страницы рукописного текста и содержит 49 наименований списка литературы.

Основные результаты диссертации

Диссертация состоит из трех глав;

В первой главе описываются тождественные включения и дизъюнктивные тождества известных классов полугрупп. Данная глава состоит из черырёх параграфов.

Далее мы будем использовать следующие обозначения:

1) х(и)—множество всех букв, из оторых состоит слово и 6 Т(Х)-,

2) V' = {и 6 V | х(и) £ Для некоторого т. включения .и ё V;

3) х(Э)—множство всех букв, входящих в запись дизъ-юнктвного тождества 0;

4) ©(Г) [Ер (Г)]—множество всех тождественных включений [дизъюнктивных тождеств], выполняющихся в классе полугрупп Г.

В первом параграфе вводятся основные определения и обозначения.

В параграфе 1.2 описываются т. включения и их базис полурешётки по включению произвольного множества относительно операции пересечения. Пусть М— некоторое множество. Через В(М) обозначим множество всех подмножеств множества М. Далее, (В(М), П) будем обозначать просто через В(М) и будем далее называть данную полурешетку булеаном. Если | А/ |= т, то положим В(М) = Вт и будем называть Вт булеаном га-элементного множества.

Теорема 1. Т. включение и ё V выполняется в буле-ане п-элементного множества Вп тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия

1) ,хп_! € х(«))(3«' ,х„-1 € х(О);

2) (Ухь... ,хп € х(«))(3« € 6 *(«)).

Теорема 2. Булеан Вп обладает конечным базисом т. включений, а именно, следующие три т. включения образуют неприводимый базис:

1) х2 = х;

2) ху = ух;

3) ххх2 ■. ■ хп € {хгх2. ■ ■ хп-1,хххг... х„_2хп,... , Х2Х3 ■■■хп, Х1Х2. ..хпг}.

В параграфе. 1.3 описываются дизъюнктивные тождества класса всех цепей.

Пусть Г1—класс всех цепей.

Если для £>-тождества 0 £>-тождество 5' состоит только из дизъюнктивных членов £)-тождества то £>-тождество 0' называется под!)-тождеством И-тождества 3.

Теорема 3. Дизъюнктивное тождество Ь выполняется в классе всех цепей Гх тогда и только тогда, когда в данном Б-тождестве существует такое под И-тождество Э' = {щ — V щ = ■Уг V ... V ип — ьп), для которого выполняется следующее условие

(Ух € х(Э'))(Зг е {1,2----- п})(гг € хЫ П х(«.)).

В четвёртом параграфе доказывается, что для любой конечной группы её полугрупповой базис тождественных включений конечен. Отметим, что в [30] доказано, что любая конечная группа имеет конечный базис групповых дизъюнктивных тождеств.

Вторая глава состоит из двух параграфов. В данной главе описываются совокупности полугрупп, удовлетворяющих некоторым совокупностям тождественных включений.

В первом параграфе данной главы описываются некоторые т. в. многообразия полу решеток. Особое место в те-рии полурешёток занимают так называемые эксклюзивные полурешётки. Это полурешётки, удовлетворяющие тождественному включению хуг ё {ху, хг, у г}. Как хорошо известно, полурешётка является эксклюзивной тогда и только тогда, когда она не содержит подграфов вида

С. Н. Братчиковым [7] в 1997 г. построена решётка тождественно включительных многообразий эксклюзивных полу решёток, изображённая на рисунке 2.

Рис. 1.

где Е = П(х = у);

Г0 = П(х2 = х, ху- ух, хуё{х,уг}); Г1 = П(ж2 = х, ху = ух, хуё{х,у}); Г2 = П{х2 = х, ху = ух, хуё{х,хуг})-, Г3 = Щх2 -х, ху = ух, хуё{х,у,хг,уг}); Г4 = Щх2 = х, ху = ух, хуё{х, у,хуг}\, Г5 = П(х2 = х, ху = ух, хугё{ху, у г})-, Г6 = Щх2 -х, ху = ух, хугё{ху,хг,угг})\ Г7 = Щх2 = х, ху = ух, хугё{ху,уг,хг}).

Е. С. Ляпиным описаны строения полурешёток из классов Г0 и Гь Строение пблурешёток из класса Г2 очевидно. Этот класс состоит из полурешёток, содержащих не более чем двухэлементных цепей. Автором получено описание полурешёток из Гз,Г4,Г5 и Г6.

Пусть ^ | i € /}—произвольная совокупность полугрупп с нулем. Тогда полугруппа 5 будет называться 0-прямой суммой полугрупп данной совокупности, если 5 есть их объединение, при г ^из I следует, что Б^Эз = О и = ЗД = 0.

Под понятием решётки далее будем понимать нижнюю полурешётку (то есть коммутативную и идемпо-

тентную полугруппу), частично упорядоченное множество которой является решёткой. Решётка, удовлетвоояю-щая тождественному включению ху € {х, у, хуг}, называется полуцепной. Другими словами, полуцепной называется решётка, в которой произведение любых двух несравнимых элементов есть 0. Рис. 7.а дает представление о строении решёток из этого класса.

Теорема 4. 1) Полурешётка принадлежит классу Г3 тогда и только тогда, когда она является 0-прямым объединением некоторых полурешёток из класса всех цепей IV Для того, чтобы полурешётка принадлежала классу Гз необходимо и достаточно, чтобы она не содержала подполуреше-ток вида

Рис. 3.

2) Полурешётка принадлежит классу Г4 тогда и только тогда, когда она являет,ся 0-прямой суммой некоторых полуцепных решёток. Полурешётка принадлежит классу Г4 тогда и только

тогда, когда она не содержит подполурешетки вида

Рис. 4.

3) Для того, чтобы полурешётка принадлежала классу Г5 необходимо и достаточно, чтобы она не содержала подполурешетки вида

Рис. .5.

Данный класс решеток—это в точности класс всех деревьев.

4) Для того, чтобы полурешётка принадлежала

классу Г6 необходимо и достаточно, чтобы она не содержала подполурешёток вида

Рис. 6.

На рисунке 7 изображены некоторые примеры полурешёток из класса Г4.

Рис 7

Во втором параграфе второй главы рассматриваются некоторые обобщенные свойства эксклюзивности. Полугруппу 5 будем называть п-эксклюзивной. если она удов-

летворяет тождественному включению:

ап - {Х\Х2...Хп € {ХхХ2 . • .Хп-иХ^ ■ ■ • Хп-2Хп, ■ ■ ■

... ,х2х3 . ..хп}).

Т. в. многообразие П(<т„) далее будем называть классом п-эксклюзивных полугрупп, а т. включение сгп—т. включением п-эксклюзивности.

Предложение 1. Если полугруппа 5 является п-эксклюзивной, то для любого х € 5 х имеет тип (к, 1), где к < п — 1.

Далее, будем говорить, что полугруппа 5 является бесконечно эксклюзивной, если она не удовлетворяет ни одному тождественному включению ап для любого п € Лг\{1}. Из предложения 1 следует, что любая полугруппа, содержащая неодноэлементную группу, не является п-эксклюзивной ни для какого п.

Предложение 2. Конечная коммутативная полугруппа 5 является п-эксклюзивной для некоторого п € ]У\{1} тогда и только тогда, когда Б не содержит неодноэлементных подгрупп.

В третьей главе рассматриваются бесконечные совокупности дизъюнктивных тождеств.

В параграфе 3.1 исследуются бесконечные совокупности дизъюнктивных тождеств в классе коммутативных полугрупп. С помощью результатов работы В. А. Дрёмова [10] доказывается, что совокупность дизъюнктивных тождеств

¿2*+1 = и3 ё {Х1Х2,Х2Х3: . . . ,Х2кХ2к+1,Т2к+\Х1}), к £ N

в классе коммутативных полугрупп является бесконечной приводимой совокупностью дизъюнктивных тождеств, не эквивалентная никакой своей конечной подсистеме. Известно, что для тождеств таких совокупностей не существует.

Многообразие называется малым, если оно имеет конечную решетку подмногообразий. В параграфе 2 третьей главы получен положительный ответ на известную проблему: может ли малое многообразие иметь континуум дизъюнктивных подмногообразий. С. И. Кубланов-ским в 1998 г. высказана гипотеза, что таких дизъюнктивных подмногообразий не более счётного множества. Следствие, вытекающее из следующей теоремы, опровергает эту гипотезу.

Теорема 5. Подсовокупность совокупности дизъюнктивных тождеств

<5п = (У1У2УЗ € {Х\Х2, Х2Х3, ... ,ХпХ1}),П е N

является неприводимой тогда и только тогда, когда для любых 68 е Ф выполняется '/. в &; в /Л).

Следствие 1. Малое многообразие Щх^хд — у'2) имеет континуум дизъюнктивных подмногообразий.

Работы автора по теме диссертации

[1] Малышев А. Н. Некоторые тождественно-включительные многообразия полу решеток. // Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Выпуск 6(26). Ростов-на-Дону, 2004 г. С. 28-30.

[2] Малышев А. Н. Об п-эксклюзивных полугруппах. // Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Выпуск 6(26). Ростов-на-Дону, 2004 г. С. 31-32.

[3] Малышев А. Н. Описание дизъюнктивных тождеств в классе всех цепей. // Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Выпуск 7(27). Ростов-на-Дону, 2005 г. С. 26-27.

[4] Малышев А. Н. Пример малого многообразия, имеющего континуум тождественно включительных подмногообразий. // Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Выпуск 7(27). Ростов-на-Дону, 2005 г. С. 28-31.

[5] Малышев А. Н. Тождественные включения в некоторых классах решеток. // Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Выпуск 6(26). Ростов-на-Дону, 2004 г. С. 21-27.

Используемая литература

[1] Айзенштат А. Я. О решетке многообразий полугрупп, не содержащей других атомов, кроме П(х1х2 = 2/1У2), П(ху = х). // Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ленинград, 1977. Вып 6. С. 3-15.

[2] Айзенштат А. Я.,Богута Б. К. О решетке многообразий полугрупп.—В. сб.—Полугрупповые многообразия и полугруппы эндоморфизмов. Л., 1979, С. 346.

[3] Бирюков А. П. О бесконечных совокупностях тождеств в полугруппах. "Алгебра и логика. Семинар.", 4, N-2, 1965.

[4] Бобрикова Л. Н. Тождественные включения конечных циклических групп // Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1997. Вып. 2(22). С. 6-9.

[5] Бобрикова Л. Н. Тождественные включения конечных моногенных полугрупп// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1998. Вып. 3(23). С. 8-10.

[6] Братчиков С. Н. О существовании слабо свободных полугрупп в коллективных многообразиях// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1999. Вып. 4(24). С. 35-38.

[7] Братчиков С. Н. Тождественно включительные многообразия полурешеток // Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1997 Вып. 2(22). С. 18-24.

[8] Братчиков С. Н. Тождественные включения аннулирующих связок полугрупп // Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1998. Вып. 3(23). С. 27-31.

[9] Братчиков С. Н. Конечная базируемость коллективных тождеств трехэлементных полугрупп // Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1998. Вып. 3(23). С. 32-42.

[10] Дрёмов В. А. Пример четь!рехэлементной полугруппы, не имеющего конечного базиса тождественных включений.// Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1999. Выпуск 4(24), С. 53-56.

[11] Евсеев А. Е. Сборн. ''Современый анализ и геометрия", Ленинград, 1972, С. 98-109.

[12] Евсеев А. Е. Полугруппы с катенарно ассоциативными подмножествами.// Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1999, Выпуск 4(24), С. 57-59.

[13] Евсеев А. Е. Полугруппы с сингулярно единично нулевым умножением.// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ленинград, 1975, Выпуск 3, С. 52-57.

[14] Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп // М.: Мир.-1972.-Т.1.

[15] Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп // М.: Мир.-1972.-Т.2.

[16] Кулабухов С. Ю. О полугрупповых классах, замкнутыми универсальными дизъюнктивными формулами// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1996. Вып. 1(21). С. 41-48.

[17] Кулабухов С. Ю. О решетке ^-многообразий конечных полугрупп // Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1997. Вып. 2(22).

- С. 40-45.

[18] Кулабухов С. Ю. О полугрупповых классах, заданных замкнутыми дизъюнктивными универсальными формулами. Автореферат на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук, Ростов-на-Дону, 1996.

[19] Кулабухов С. Ю. Теорема о полноте для полугрупповых дизъюнктивных тождеств.// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1998. Вып. 3(23). С. 40-45.

[20] Ляпин Е. С. Полугруппы. М. Физматгиз, 1960. 592 с.

[21] Ляпин Е. С. Атомы решетки тождественно включите льных многообразий полугрупп // Сиб. мат. жур. 1975. Т. XVI. № 6. С. 1224-1230.

[22] Ляпин Е. С. Одна бесконечная неприводимая совокупность полугрупповых тождеств. Мат. заметки, 7, N^5, 1970.

[23] Ляпин Е. С. Полугруппы, у которых все подмножества тернарно замкнуты.// Алг. дейст. и упоряд. Л., 1983. С. 82-88.

[24] Ляпин Е. С. Порождаемость классов при помощи гомоморфизмов// Полугруппы и их гомоморфизмы. Л., 1991. С. 39-53.

[25] Ляпин Е. С. Тождественные включения в полугруппах, у которых всякое подмножество есть подполугруппа // Современная алгбра (сборник). Л., 1978. С. 118-133.

[26] Мальцев А. И. Алгебраические системы. М., 1970. 392 с.

[27] Мальцев А. И. Нилыготентные полугруппы.—Учен, зап. Ивановск. пел. ин-та, 1953, т. 4. С. 107-111.

[28] Обшая алгебра. Под общ. ред. J1. А. Скорнякова.— М.: Наука-1990.-Т.1. 592 С.

[29] Общая алгебра. Под общ. ред. JI. А. Скорнякова.— М.: Наука-1991 .-Т.2. 480 С.

[30] Плоткин Б. И.. Вовси С. М. Многообразия представлений групп. Рига, 1983.

[31] Шеврин JI. Н., Волков М. В. Тождества полугрупп. Изв. ВУЗов. Математика. N а 11, 1985. С. 3-47.

[32] Шутов Э. Г. Полугруппы с идеальными подполугруппами // Мат.сб. 1962. 57(99). Na2. С. 179-186.

[33] Alshanskii L.. Kushkuley A. Identities of the natural representation of the infinitely based semigroup// Proc. Amer. Math. Soc. 1993, V. 118. P. 931-936.

[34] Birkhoff G. On the structure of abstrakt algebra.—Proc. Cambridge Philos. Soc., 1935, v. 31. P. 433-454.

[35] О'Carrol L., Schein В. M. On exclusive semigroups.— Semigroup Forum, 1972, v. 3. P. 338-348.

[36] Evans T. The lattice of semigroup varieties. — Semigroup Forum. 1971, v. 2. Na 1. P. 1-43.

[37] Kublanovsky S. I. Decidable and undecidable problems related to completely 0-simple semigroups// Semigroup with application includinge semigroup ring. S.Petersburg, 1999. P 127-144.

[38] E. S. Ljapin Identities valid globally in semigroups. // Semi8groups Forum, 1982, Vol. 24, P. 263-269.

[39] Ljapin E.S. Semigroups, Third edition, 1974, Amer. Mat. Soc., Capter XII.

[40] Mashevitzky G. On a finite basis problem for universal positive formulas// Algebra Universalis, 35(1996), P. 124-140.

[41] Perkins P. Bases for equational theories of semigroups. J. Algebra, 11, N* 2, 1969.

[42] Tamura T. On commutative exclusive simigroups.— Semigroups Forum, 1971. v. 2, N& 2. P. 181-187.

[43] Yamada M. Note on exclusive semigroups.— Semigroup Forum, 1971, v. 3, Na 2. P. 160-167.

[44] Yamada M. Exclusive semigroups.—J. Austral. Math. Soc., i973, v. 15. P. 332-352.

Лицензия ПД 00661. Формат 60x84 1/16. Печ.л.1. Заказ 1484. Тираж 100. Отпечатано в типографии Ярославского государственного технического университета г. Ярославль, ул. Советская, 14 а, тел. 30-65-63.

H 8 8 0 Ö

РНБ Русский фонд

2006-4 20001 <4

Г 7

Введение

1 Описание формул для известных классов полугрупп

1 1 Основные понятия и результаты

1 2 Тождественные включения в некоторых классах решеток

1 3 Описание дизъюнктивных тождеств в классе всех цепей

1 4 Полугрупповые позитивные формулы групп

2 Некоторые инклюзивные многообразия полугрупп

2 1 Некоторые тождественно-включительные многообразия полурешеток

2.2 Об n-эксклюзивных полугруппах

3 О мощности решетки дизъюнктивных многообразий

3.1 О совокупностях дизъюнктивных тождеств в классе коммутативных полугрупп

3.2 Пример малого многообразия, имеющего континуум дизъюнктивных подмногообразий

Актуальность темы. Теория многообразий алгебр—один из нибо-лее популярных разделов алгебры, берущий свое начало с классической работы Биргкофа [39] Заметное место в этом направлении занимают исследования по многообразиям полугрупп Достаточно отметить обзорные статьи Эванса [41], А Я Айзенштат и Богуты [2], Л Н Шеврина и М В Волкова [36]

Одним из естественных обобщений понятия тождества являются позитивные формулы первой ступени Еще А.И.Мальцев [26] указывал на важность изучения позитивных формул в вопросе об описании всех делителей (то есть подсистем гомоморфных образов) некоторого универсально аксиоматизируемого класса алгебраических систем. Такое описание для класса вполне 0-простых полугрупп было получено С И Кубланов-ским [42] Среди позитивных формул особое место занимают дизъюнктивные тождества и тождественные включения На языке тождественных включений описываются многие классы полугрупп, не раз являющиеся предметом различных исследований. Впервые понятие тождественного включения в теорию полугрупп ввел Е С Ляпин [21,44]. В частности, им показано [43], что выполнение тождеств на глобальных полугруппах эквивалентно выполнению тождественных включений на соответствующих полугруппах Э Г Шутовым [37] показано, что совокупность полугрупп, всякая подполугруппа которых является правым (левым) идеалом, удовлетворяет некоторой совокупности тождественных включений Совокупностями полугрупп, задаваемые с помощью некоторого тождественного включения являются эксклюзивные полугруппы (Т Tamura [47],

L O'Corroll, Б. M Шайн [40], М Jamada [48, 49]), полугруппы, всякое подмножество которых является подполугруппой (А. Е Евсеев [11], Е. С Ля-пин [25]), полугруппы, у которых все подмножества тернарно замкнуты (Е С Ляпин), полугруппы с катенарно ассоциативными подмножествами (А Е Евсеев [12]), полугруппы с сингулярно нулевым умножением (А Е Евсеев [11]) и многие другие классы полугрупп. Можно отметить, что, как показано автором данной диссертации, класс всех деревьев также описывается некоторой совокупностью тождественных включений. Кроме того, С И Кублановским на санкт-петербургском городском семинаре по теории полугрупп показано, что задача об описании всех полугрупповых алгебр, удовлетворяющих некоторому полиномиальному тождеству, эквивалентна условию о выполнимости в соответствующей полугруппе некоторой совокупности дизъюнктивных тождеств.

Пусть X—произвольный счетный алфавит, а Т(Х)[Т1(Х)]—свободная полугруппа слов [с пустым словом] над алфавитом X. Пусть и € Т (X), УСТ (X), V ф 0 Тогда запись вида и G V называется тождественным включением (т. включением). Тождественное включение и £ V выполняется в полугруппе S, если для любого гомоморфизма ip Т(Х) —^ S выполняется (р(и) £ ф{У)-> где <p(V) = {<p(v) | v £ V} Пусть Ф—некоторая совокупность тождественных включений Тогда через П(Ф) мы будем обозначать совокупность всех полугрупп, на каждой из которых выполняется любое тождественное включение из Ф Совокупность полугрупп П(Ф) называется тождественно включительным многообразием (т в многообразием) Е. С Ляпиным [21] описаны атомы решетки всех тождестввенно включительных многообразий полугрупп

Если множество V одноэлементно, то тождественное включение и € V будет являться тождеством Если множество V бесконечно, то тождественное включение и 6 V не является формулой первой ступени и не всегда может быть эквивалентно некоторой совокупности формул первой степени Соответствующий контрпример приведен С Н Братчиковым [6] Если множество V конечно, то тогда тождественное включение является универсальной позитивной формулой первой ступени Такие тождественные включения называются конечными В данной диссертации рассматриваются в основном конечные тождественные включения

Также, как и для тождеств, для тождественных включений актуальна задача об описании всех тождественных включений, выполняющихся в некотором классе полугрупп. Е. С. Ляпиным [25] были описаны тождественные включения в двухэлементной цепи и в классе всех цепей. Иссле-довния тождественных включений в классе полурешеток были продолжены С Н Братчиковым [7], который описал решетку всех тождественно включительных многообразий эксклюзивных полурешеток, то есть коммутативных и идемпотентных полугрупп, удовлетворяющих тождественному включению xyz £ {ху, xz, yz} Кроме того, С Н Братчиковым были описаны тождественные включения аннулирующих связок полугрупп [8], доказана конечность базиса тождественных включений не более чем трехэлементных полугрупп [9] Л. Н. Бобриковой [4, 5] были описаны тождественные включения конечных циклических полугрупп В А Дремов [10] привел пример четырехэлементной коммутативной полугруппы, имеющей бесконечный базис тождественных включений Заметим, что любая коммутативная полугруппа имеет конечный базис тождеств.

Пусть щ, г>1, U2, V2,. ■ ,un,vn G Т (X). Универсальная замкнутая позитивная формула первой ступени

U\ — Vi V U2 = V2 V . V Url = vn называется дизъюнктивным тождеством (D-тождеством) Для дизъюнктивного тождества щ = v\ V «2 = V2 V . V uTI = vn всякое тождество иг — vt, где г = 1,2, ,п, будем называть его дизъюнктивным членом Очевидно, что всякое тождество является частным случаем дизъюнктивного тождества С другой стороны, дизъюнктивное тождество аз = (х — у\/у = гУ х = z) выполняется во всех не более чем двухэлементных полугруппах. Легко показать, что данное дизъюнктивное тождесво не эквивалентно никакой совокупности тождеств. Как показано С Ю Кулабуховым в [18], существуют совокупности дизъюнктивных тождеств, не эквивалентных никакой совокупности тождественных включений Аналогичными методами можно показать, что вышеприведенное дизъюнктивное тождество 03 также не эквивалентно никакой совокупности тождественных включений Можно отметить, что полугруппы с сингулярно единично нулевым умножением, рассматриваемые А Б Евсеевым [13], описываются D-тождеством ху = хУ ху = у У ху = xyt\Jxyu = и

Дизъюнктивные групповые тождества в классе групп эквивалентны тождественным включениям. Это следует из наличия в группах обратных элементов Дизъюнктивными групповыми тождествами занимались Б И. Плоткин, С М. Вовси, L Alshanskii, A Kushkuley [35, 38] Полугрупповые дизъюнктивные тождества изучал С. Ю Кулабухов [16]— [19] В частности, им описаны все атомы решетки дизъюнктивных многообразий полугрупп, решетки дизъюнктивных многообразий некоторых атомов решетки многообразий полугрупп, получена теорема о полноте для полугрупповых дизъюнктивных тождеств

Основные результаты диссертации. Диссертация состоит из трех глав

В первой главе описываются тождественные включения и дизъюнктивные тождества известных классов полугрупп Данная глава состоит из черырех параграфов

Далее мы будем использовать следующие обозначения:

1. х(и)—множество всех букв, из оторых состоит слово и Е Т(Х),

2 V' — {г> Е V | x(v) Q x(w)} Для некоторого т включения и Е V]

3 х(Ъ)—множство всех букв, входящих в запись дизъюнктвного тождества с);

4 ©(Г)[Ед(Г)]—множество всех тождественных включений [дизъюнктивных тождеств], выполняющихся в классе полугрупп Г

В первом параграфе вводятся основные определения и обозначения В параграфе 1 2 описываются т включения и их базис полурешетки по включению произвольного множества относительно операции пересечения Пусть М—некоторое множество Через В(М) обозначим множество всех подмножеств множества М Далее, (В(М), П) будем обозначать просто через В(М) и будем далее называть данную полурешетку буле-аном Если | М \— т, то положим В(М) = Вт и будем называть Вт булеаном m-элементного множества

Теорема 1. Т включение и Е V выполняется в булеане пэлементного множества Вп тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия

1) (Ухъ . , xv-1 G x(u))(3v' € V')(x i,. , € х(г/));

2) (\/жь , хп Е G . ,жяехН)

Теорема 2. Булеан Вп обладает конечным базисом т включений, а именно, следующие три т включения образуют неприводимый базис.

1 х2 = х,

2 ху = ух,

3 X\X2 хп G {X\X2 Xn-hXiX2 Хп-2Хг,, , Х2Х% ХтХ \Х2 . Xnt})

В параграфе 1 3 описываются дизъюнктивные тождества класса всех цепей

Пусть Гх—класс всех цепей.

Если для D-тождества Т) D-тождество с)' состоит только из дизъюнктивных членов /^-тождества 0, то D-тождество с)' называется под£>-тождеством D-тождества t)

Теорема 3. Дизъюнктивное тождество с) выполняется в классе всех цепей Г\ тогда и только тогда, когда в данном D-тождестве существует такое под D-тождество с)' = (и\ = vi\Zu2 = v2V Уип = vn). для которого выполняется следующее условие

Ух G е {1, 2,. , п}){х G хЫ П хЫ)

В четвертом параграфе доказывается, что для любой конечной группы ее полугрупповой базис тождественных включений конечен Отметим, что в [35] доказано, что любая конечная группа имеет конечный базис групповых дизъюнктивных тождеств

Вторая глава состоит из двух параграфов. В данной главе описываются совокупности полугрупп, удовлетворяющих некоторым совокупностям тождественных включений.

В первом параграфе данной главы описываются некоторые т в многообразия пол}фешеток Особое место в терии полурешеток занимают так называемые эксклюзивные полурешетки. Это полурешетки, удовлетворяющие тождественному включению xyz £ {ху, xz, yz} Как хорошо известно, полурешетка является эксклюзивной тогда и только тогда, когда она не содержит подграфов вида

С. Н Братчиковым [7] в 1997 г построена решетка тождественно включительных многообразий эксклюзивных полурешеток, изображенная на рисунке 2 где Е = П(ж = у), "Г? Г0 = Щх2 = х, ху = ух, xye{x,yz}),

Е С Ляпиным описаны строения полурешеток из классов Гц и Fi Строение полурешеток из класса Гг очевидно. Этот класс состоит из

Рис 1

Рис. 2 полурешеток, содержащих не более чем двухэлементных цепей Автором получено описание полурешёток из Г3, Г4, Г5 и Г6.

Пусть {51, | г Е /}—произвольная совокупность полугрупп с нулем. Тогда полугруппа S будет называться 0-прямой суммой полугрупп данной совокупности, если S есть их объединение, при г ф j из / следует,

Под понятием решетки далее будем понимать нижнюю полурешетку (то есть коммутативную и идемпотентную полугруппу), частично упорядоченное множество которой является решеткой. Решетка, удовлетво-ояющая тождественному включению ху Е {х,у: xyz}, называется полуцепной Другими словами, полуцепной называется решетка, в которой произведение любых двух несравнимых элементов есть 0 Рис 7 а дает представление о строении решеток из этого класса.

Теорема 4. 1. Полурешетка принадлежит классу Г3 тогда и только тогда, когда она является 0-прямым объединением некоторых полурешеток из класса всех цепей Г1 Для того, чтобы полурешетка принадлежала классу Г3 необходимо и достаточно, чтобы она не содержала подполурешеток вида

2 Полурешетка принадлежит классу Г4 тогда и только тогда, когчто St П S, = 0 и S7S} = SjS, — 0.

Рис 3. да она является 0-прямой суммой некоторых полуцепных решеток. Полурешётка принадлежит классу Г4 тогда и только тогда, когда она не содержит подполурешетки вида

3 Для того, чтобы полурешетка принадлежала классу Г5 необходимо и достаточно, чтобы она не содержала подполурешетки вида

Рис. 5

Данный класс решеток—это в точности класс всех деревьев.

4 Для того, чтобы полурешетка принадлежала классу Гд необходимо и достаточно, чтобы она не содержала подполу решеток вида

Рис 4.

Рис 6

На рисунке 7 изображены некоторые примеры полурешеток из класса Г4.

Во втором параграфе второй главы рассматриваются некоторые обобщенные свойства эксклюзивности. Полугруппу S будем называть п-эксклюзивной, если она удовлетворяет тождественному включениюсг„ = (хгх2 . хпе{хгх2 . Хп-1,Х1Х2 Хп-2Хп, • ,х2х3 хп}).

Т в многообразие П(сг„) далее будем называть классом п-эксклюзивных полугрупп, а т. включение <т„—т включением п-экск люзивности.

Предложение 1. Если полугруппа S является п-эксклюзивной, то для любого х £ S х имеет тип (k, 1), где к < п — 1

Далее, будем говорить, что полугруппа S является бесконечно эксклюзивной., если она не удовлетворяет ни одному тождественному включению сг„ для любого п (Е Из предложения 1 следует, что любая полугруппа, содержащая неодноэлементную группу, не является п-эксклюзивной ни для какого п.

Предложение 2. Конечная коммутативная полугруппа S является п-эксклюзивной для некоторого п (Е N тогда и только тогда, когда S не содержит неодноэлементных подгрупп. а Ъ

Рис. 7

В третьей главе рассматриваются бесконечные совокупности дизъюнктивных тождеств.

В параграфе 3 1 исследуются бесконечные совокупности дизъюнктивных тождеств в классе коммутативных полугрупп. С помощью результатов работы В А Дремова [10] доказывается, что совокупность дизъюнктивных тождеств

1 = (х3 е Х2Х3, . , Х2кХ2к+1, V2k+lXl}), к £ N в классе коммутативных полугрупп является бесконечной приводимой совокупностью дизъюнктивных тождеств, не эквивалентная никакой своей конечной подсистеме Известно, что для тождеств таких совокупностей не существует.

Многообразие называется малым, если оно имеет конечную решетку подмногообразий. В параграфе 2 третьей главы получен положительный ответ на известную проблему: может ли малое многообразие иметь континуум дизъюнктивных подмногообразий С И. Кублановским в 1998 г высказана гипотеза, что таких дизъюнктивных подмногообразий не более счетного множества Следствие, вытекающее из следующей теоремы, опровергает эту гипотезу

Теорема 5. Подсовокупность совокупности дизъюнктивных тождеств (з/ШУз € %2Хз, , хпхг}), п Е N является неприводимой тогда и только тогда, когда для любых St, 5Ь Е Ф выполняется {t/ s & s/.t)

Следствие 1. Малое многообразие И{х\х2хз = у2) имеет континуум дизъюнктивных подмногообразий.

1. Айзенштат А Я. О решетке многообразий полугрупп, не содержащей других атомов, кроме П(ж1ж2 = У1У2), П(ху = х) // Современная алгебра Межвуз сб. научн. трудов Ленинград, 1977 Вып 6 С 3-15

2. Айзенштат А. Я, Богу та Б. К. О решетке многообразий полугрупп —В сб —Полугрупповые многообразия и полугруппы эндоморфизмов. JI , 1979, С 3-46

3. Бирюков А П О бесконечных совокупностях тождеств в полугруппах. "Алгебра и логика Семинар ", 4, N-2, 1965

4. Бобрикова Л Н Тождественные включения конечных циклических групп // Современная алгебра. Межвуз сб. научн трудов Ростов-на-Дону, 1997 Вып 2(22) С 6-9

5. Бобрикова Л Н. Тождественные включения конечных моногенных полугрупп// Современная алгебра Межвуз. сб научн трудов Ростов-на-Дону, 1998 Вып. 3(23) С 8-10

6. Братчиков С Н О существовании слабо свободных полугрупп в коллективных многообразиях// Современная алгебра Межвуз сб научн трудов Ростов-на-Дону, 1999 Вып 4(24) С 35-38

7. Братчиков С. Н. Тождественно включительные многообразия полурешеток // Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1997. Вып 2(22) С 18-24.

8. Братчиков С. Н Тождественные включения аннулирующих связок полугрупп // Современная алгебра Межвуз сб. научн трудов Ростов-на-Дону, 1998 Вып 3(23) С 27-31

9. Братчиков С. Н. Конечная базируемость коллективных тождеств трехэлементных полугрупп // Современная алгебра. Межвуз сб. научн трудов Ростов-на-Дону, 1998 Вып. 3(23) С 32-42

10. Дремов В А Пример четырехэлементной полугруппы, не имеющего конечного базиса тождественных включений.// Межвуз. сб научн трудов Ростов-на-Дону, 1999, Выпуск 4(24), С. 53-56

11. Евсеев А. Е. Сборн "Современней анализ и геометрия", Ленинград, 1972, С 98-109

12. Евсеев А. Е Полугруппы с катенарно ассоциативными подмножествами // Межвуз сб научн. трудов Ростов-на-Дону, 1999, Выпуск 4(24), С 57-59

13. Евсеев А Е Полугруппы с сингулярно единично нулевым умножением // Современная алгебра Межвуз. сб научн. трудов Ленинград, 1975, Выпуск 3, С 52-57.

14. Клиффорд А., Престон Г Алгебраическая теория полугрупп // М Мир -1972 -Т 1

15. Клиффорд А , Престон Г Алгебраическая теория полугрупп // М Мир -1972 -Т 2

16. Кулабухов С. Ю. О полугрупповых классах, замкнутыми универсальными дизъюнктивными формулами// Современная алгебра. Межвуз сб. научн. трудов Ростов-на-Дону, 1996 Вып 1(21). С. 4148

17. Кулабухов СЮ О решетке D-многообразий конечных полугрупп // Современная алгебра Межвуз сб. научн трудов. Ростов-на-Дону, 1997 Вып 2(22) С 40-45

18. Кулабухов СЮ О полугрупповых классах, заданных замкнутыми дизъюнктивными универсальными формулами Автореферат на со-иск уч степ канд физ -мат наук, Ростов-на-Дону, 1996

19. Кулабухов С. Ю Теорема о полноте для полу групповых дизъюнктивных тождеств // Современная алгебра Межвуз сб научн трудов Ростов-на-Дону, 1998. Вып 3(23) С 40-45.

20. Ляпин Е. С Полугруппы. М Физматгиз, 1960.

21. Ляпин Е. С. Атомы решетки тождественно включительных многообразий полугрупп // Сиб мат жур. 1975. Т. XVI N- 6 С 1224-1230

22. Ляпин Е. С Одна бесконечная неприводимая совокупность полугрупповых тождеств Мат. заметки, 7, N-5, 1970.

23. Ляпин Е. С Полугруппы, у которых все подмножества тернарно замкнуты./ / Алг дейст и упоряд JI , 1983. С 82-88

24. Ляпин Е. С Порождаемость классов при помощи гомоморфизмов// Полугруппы и их гомоморфизмы JI , 1991 С 39-53.

25. Ляпин Е. С. Тождественные включения в полугруппах, у которых всякое подмножество есть подполугруппа // Современная алгбра (сборник). Л , 1978 С. 118-133

26. Мальцев А И Алгебраические системы. М , 1970, 392 с

27. Мальцев А И Нильпотентные полугруппы.—Учен, зап Ивановск пед ин-та, 1953, т. 4, С 107-111.

28. Малышев А Н. Тождественные включения в некоторых классах решеток // Современная алгебра. Межвуз. сб. научн трудов Выпуск 6(26) Ростов-на-Дону, 2004 г. С 21-27

29. Малышев А Н. Об n-эксклюзивных полугруппах. // Современная алгебра Межвуз сб научн трудов Выпуск 6(26) Ростов-на-Дону,2004 г С 31-32

30. Малышев А Н. Некоторые тождественно-включительные многообразия эксклюзивных полурешеток // Современная алгебра Межвуз сб научн трудов. Выпуск 6(26) Ростов-на-Дону, 2004 г С 28-30

31. Малышев А. Н Описание дизъюнктивных тождеств в классе всех цепей // Современная алгебра Межвуз. сб научн. трудов. Выпуск 7(27) Ростов-на-Дону, 2005 г С 26-27.

32. Малышев А Н. Пример малого многообразия, имеющего континуум тождественно включительных подмногообразий // Современная алгебра Межвуз сб научн. трудов Выпуск 7(27) Ростов-на-Дону,2005 г С 28-31

33. Общая алгебра. Под общ ред Л. А. Скорнякова — М Наука -1990 -Т 1 592 с.

34. Общая алгебра. Под общ. ред. JI. А. Скорнякова.— М : Наука-1991.-Т.2. 480 с.

35. Плоткин Б. ИВовси С. М Многообразия представлений групп. Рига, 1983

36. Шевран JI. Н, Волков М. В Тождества полугрупп. Изв ВУЗов. Математика. N- 11, 1985, С 3-47

37. Шутов Э Г Полугруппы с идеальными подполугруппами// Мат сб 1962 57(99) N&2, С 179-186

38. Alshanskzi L , Ku&hkuley A. Identities of the natural representation of the infinitely based semigroup// Proc. Amer. Math Soc, 1993, V. 118 P 931-936

39. Birkhoff G On the structure of abstrakt algebra —Proc Cambridge Philos Soc., 1935, v 31 P 433-454

40. О'Carrol L , Schem В. M On exclusive semigroups.— Semigroup Forum, 1972, v 3. P 338-348.

41. Evans T. The lattice of semigroup varieties —Semigroup Forum, 1971, v 2 Na 1 P 1-43

42. Kublanovsky S J Decidable and undecidable problems related to completely 0-simple semigroups// Semigroup with application mcludinge semigroup ring S -Petersburg, 1999

43. Ljapin E S. Identities valid globally m semigroups // Semigroups Forum, 1982, 24, P 263-269.

44. Ljapm E.S. Semigroups, Third edition, 1974, Amer. Mat. Soc, capter XII.

45. Mashevitzky G. On a finite basis problem for universal positive ioimulas// Algebra Universalis, 35(1996) P 124-140

46. Perkins P. Bases for equational theories of semigroups J Algebra, 11, N- 2 1969

47. Tamura T On commutative exclusive simigroups — Semigroups Forum, 1971 v 2, 2 P 181-187

48. Yamada M. Note on exclusive semigroups — Semigioup Forum, 1971, v 3, Nfi 2 P 160-167

49. Yamada M Exclusive semigroups.—J. Austral Math Soc , 1973, v 15 P 332-352