О полугрупповых классах, заданных замкнутыми дизъюнктивными универсальными формулами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

2 11 Ф ЕВ 1997

Кулабухов Сергей Юрьевич

О полугрупповых классах, заданных замкнутыми дизъюнктивными универсальными формулами

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996 .

Работа выполнена в Ростовском государственном педагогическом университете.

Научный руководитель:

доктор фнз.-мат. наук, профессор II. С. Понизовский.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор А. II. Скопин;

кандидат физ.-мат. наук, доцент С. И. Кублановский.

Ведущая организация: Российский государственный

педагогический университет имени А. И. Герцена.

Защита состоится "/Л" 1997 Года в " -/б " часов на

заседании диссертационного совета К 063.57.45 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете (адрес совета: г. Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-ме-ханический факультет Санкт-Петебургского государственного университета) .

Защита будет проходить по адресу: г. Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, зал 311 (помещение ПОМЙ).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. А. М. Горького Санкт-Петербургского университета.

Автореферат разослан 1997 года.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук

Р. А. Шмидт

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. В теории полугрупп в последнее время появился интерес к универсально аксиоматизируемым классам, которые не обязательно являются многообразиями.

Такими классами являются, например, тождественно включи-тельные многообразия полугрупп, введённые Е. С. Ляпиным [1, 2, 11], в случае когда они определяются совокупностью конечных тождеств включения.

В данной работе изучаются классы полугрупп, заданные совокупностью замкнутых дизъюнктивных универсальных формул или, иначе, дизъюнктивных тождеств (D-тождеств).

Очевидно, что любое тождество включения и £ V, которое имеет конечное множество слов V, является D-тождеством. С другой стороны, как показано в первой главе, существуют системы,D-тождеств, не эквивалентные никакой совокупности тождеств включения.

Отметим, что тождество включения, при помощи которого характеризуется класс полугрупп, у которых всякое подмножество является подполугруппой (такие полугруппы рассматривались неоднократно, см., например, работу Е. С. Ляпина [10]), является также и D-тождеством.

Эксклюзивные (exclusive) полугруппы, названные так Т. Tamu-га [15], идея которых принадлежит Б. М. Шайну, характеризуются при помощи некоторого тождественного включения, которое также является D-тождеством. Отметим, что после указанного исследования Т. Tamura, изучавшего коммутативные эксклюзивные полугруппы, общими эксклюзивными полугруппами занимались М. Jamada [8], L. O'Corroll и Б. М. Шайн [14].

Легко представить себе и другие заслуживающие внимания D-тождества и контуры общей теории с рядом применений и связей.

D-тождества в классе групп эквивалентны тождествам включения. Это следует из наличия в группе обратных элементов и единицы. D-тождества в классе групп изучались Б. И. Плоткиным, С. М. Вовси, L. Alshanskii, A. Kushkuley [5, 6]. Отметим работу Г. И. Машевицкого о проблемах конечного базиса для универсальных позитивных формул [13], которые эквивалентны D-тождествам.

Совокупности D-тождеств определяют классы алгебраических систем, в которых они выполняются. Мы получаем обобщение понятия обычного многообразия алгебраических систем. Такие клас-

сы алгебраических систем будем называть дизъюнктивными многообразиями (1)-многообразиями).

Данная диссертационная работа посвящена разработке общей теории Б-многообразий, что свидетельствует об актуальности темы диссертации.

Цель работы. Настоящая работа посвящена изучению Б-многообразий полугрупп.

Методы исследования. Основной метод исследования основан на теореме 1,1.2, доказанной в диссертационной работе, которая является аналогом структурной теоремы Биркгофа для многообразий алгебраических систем.

Однако в некоторых случаях успешно применяется синтаксический метод, под которым подразумевается изучение Б-многообразий по совокупности задающих их В-тождеств.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории полугрупп и в теории алгебраических систем. Результаты диссертации могут использоваться также при чтении спецкурсов в пединститутах и университетах.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции "Полугруппы и их приложения, включая полугрупповые кольца" в честь Е. С. Ляпина, на Санкт-Петербургском городском семинаре по теории полугрупп, на семинаре по теории полугрупп в ТГПИ (г. Таганрог), на семинаре по теории полугрупп в РГПУ (г. Ростов-на-Дону), на международной геометрической школе-семинаре памяти Н. В. Ефимова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре работы, список которых приведен в конце автореферата.

Объем работы. Диссертация изложена на 84 страницах и состоит из введения и трех глав. Библиография насчитывает 50 наименовании работ отечественных н зарубежных авторов.

Краткое содержание диссертации.

Диссертация состоит из трех глав. Каждая глава разбита на параграфы, а параграфы — на пункты. Ссылка на тот или иной пункт состоит из тройки: номер главы, параграфа, пункта. Ссылка на рисунок состоит из двойки: номер главы, порядковый номер рисунка внутри главы. Приведем краткое изложение каждой главы.

Глава I. В-многообразия полугрупп.

В первом параграфе первой главы излагаются некоторые первоначальные сведения и результаты, относящиеся к направлению, посвященному изучению Б-тождеств алгебраических систем.

Рассмотрим алгебраические системы какой-то фиксированной сигнатуры П. Следующие определения Б-тождества и Б-многооб-разия являются основными в данной работе (в [6] Б-многообразия названы псевдомногообразиями).

Определение. Всякая замкнутая универсальная формула сигнатуры О, вида (ух\ ... хп)(1/! V ... V 1!т), где (Ух,..., ит — квазиатомарные формулы сигнатуры П, называется В-тоокдеством.

Класс алгебраических систем сигнатуры Г2, заданный совокупностью Р-тождестб, называется В-многообразием.

В дальнейшем будем опускать кванторы в записи Б-тождеств.

Тождества, очевидно, являются частным случаем Б-тождеств и поэтому многообразия являются также ^многообразиями.

Совокупности Б-тождеств определяют классы алгебраических систем, в которых они выполняются. Мы получаем обобщение понятия обычного многообразия алгебраических систем. Поэтому, естественно, в качестве первого результата, относящегося к теории Б-многообразий, доказать теорему, приведенную без доказательства в [б] — аналог теоремы Биркгофа [7] для теории многообразий алгебраических систем.

Теорема 1.1.2. Для произвольного непустого класса 3? алгебраических систем сигнатуры О. следующие условия равносильны:

1. есть В-многообразие;

2. ультразамкнут, наследсупьенен и гомоморфно замкнут:

3. Ы локально и гомоморфно замкнут.

Для совокупности Б-тождеств £ через КдИ обозначим класс всех алгебраических систем заданной сигнатуры, в каждой из которых выполняются все формулы из X, то есть Кц> Е есть Б-многооб-разие, задаваемое совокупностью Б-тождеств X. Для любого класса алгебраических систем 5К через обозначим совокупность всех Б-тождеств, истинных во всех ;Й-спстемах. Таким образом, введенные операторы /д и Ко аналогичны соответствующим операторам I и К, употребляемым в теории многообразий [4].

Далее, в первом параграфе, рассматриваются некоторые свойства операторов и Кр и формулируется необходимое и достаточное условие того, чтобы класс алгебраических систем сигнатуры Г2 был Б-многообразием.

Теорема 1.1.5. Для того, чтобы класс алгебраических систем ^ сигнатуры Б-многообразием, необходимо и достаточно,

чтобы:

Во втором параграфе устанавливается, что несмотря на тесную связь между понятиями тождественно включительного многообразия и Б-многообразия, классы тождественно включительных многообразий и Б-многообразий полугрупп не совпадают. А именно, система Б-тождеств {ху = zt,x = у V х = гУ у = г} не эквивалентна никакой системе тождеств включения.

Е. С. Ляпин в [12] ввел понятие слабо свободной полугруппы в тождественно включптельном многообразии.

Пусть © есть некоторый абстрактный класс полугрупп. Совокупность соотношений Ф над X называется ©-совокупностью, если

©-совокупность соотношений Ф над X называется неприводимой ©-совокупностью, если для всякой ©-совокупности Ф' С Ф, любое соотношение из Ф является следствием совокупности Ф'.

Можно сказать, что Ф является минимальной по включению 6-совокупностью.

Полугруппа Г £ & называется слабо свободной в © ранга п, если в Г существует порождающее множество В мощности п и определяющая неприводимая ©-совокупность Ф соотношений над В.

эг = кв1р%.

Согласно [12], каждая полугруппа из тождественно включитель-ного многообразия является гомоморфным образом некоторой слабо свободной. Таким образом, понятие слабо свободной полугруппы в классе тождественно включительных многообразий полугрупп представляет собой достаточно естественное обобщение понятия свободной полугруппы в классе.

В третьем параграфе первой главы доказывается существование слабо свободных полугрупп в Б-многообразиях и устанавливается следующее важное свойство: каждая полугруппа В-многообразия является гомоморфным образом некоторой слабо свободной.

Теорема 1.3.4. Пусть 33 есть В-многообразие полугрупп. Для каждой полугруппы 5 £ 53, обладающей порождающим множеством мощности п, найдется полугруппа F € 33, слабо свободная в 3) ранга п, такая, что Б является гомоморфным образом полугруппы Г.

В четвертом параграфе первой главы описываются слабо свободные полугруппы Б-многообразия 33 = Кр{ху — хУ ху — у}.

Глава II. Решетка Б-многообразий и некоторые ее подрешетки.

Определим на совокупности 2) всех Ю-многообразий алгебраических систем сигнатуры О. операции Л и V : 9: Л Э2 = З1 П^2>

V Эг — наименьшее Б-ыногообразие, содержащее

£ Легко понять, что (£о(П),\/, А} — полная решётка, а

решётка многообразий является нижней подполурешёткой решётки

Приступая к исследованию этой решётки, естественно в качестве одной из первых задач поставить вопрос об её атомах. В первом параграфе второй главы описываются атомы решётки дизъюнктивных многообразий полугрупп.

Обозначим 1Ь = {¿д (■), V, Л) — решётка всех Б-многообразий полугрупп.

Определим на классе всех полугрупп следующие Б-многообразия:

33; = К&{ху = х,х~уУх=гУу — г},

Юг = Кц {ху — у, х ~ уУ х = хУ у — г),

230 = Кг>{ху = г1,х = уУх=гУ у = г},

2) 5 = Кс{х7 = х, ху = ух.х = уМх~г\/у = г},

Эр = Ко У = У. ху = ух, х = ху V .г = V х = у2 V ... V х — ур }.

где р — простое число.

Пусть А. = {2)(,2)г,Эо,2)8,2)р}, где р — простое число.

Теорема 11.1.4. 1. Всеми атомами решётки ¡Ь являются О-мно-гообразия из А.

2. Любое О-многообразие содержит по крайней мере одно из £>-многообразий из А.

Во втором параграфе продолжается исследование решетки В-многообразий полугрупп. Здесь рассматриваются участки решетки Б-многообразий, лежащие между атомами решетки В-многообразий и атомами решетки многообразий полугрупп.

Обозначим: Г[ = Ко{ху = г}; Гг = Ко{ху — у}; Го = К&{ху — = -О; = Ко{ху = ух,я2 = х}- Гр = Кп{ху = ух,хру = у}, где р — простое число. Г|, Гг, Го, Г5, Гр — многообразия, которые согласно [9], являются атомами решетки многообразий полугрупп.

Через Бх^п будем обозначать полугруппу мощности п, принадлежащую Б-многообразию £)х, где х € {г,0, «,р} (р — простое число).

| Г, | Гг | Го | Гр

■ ©1,6 ' ©г,6 ■ £>о,б

' Я>/, 5 > ®г, 5 ' ©0,5

• ®г,4 ' ©0,4 < ' ®Р,Р3

' 3 • ©г,3 • ©0,3 <

' £>¡,2 1 ' £>0,2 1

' {Е} ' < ' {Е}

(а) (Ь) (с) (с!)

Рисунок 11.1: Некоторые подрешетки решетки Б-многообразий полугрупп.

Если 33; = Ко{ху — х}х — уУх = гУу = г} — атом полугрупп левых нулей решетки О-многообразий, то через 33/,п будем

обозначать Ю-многообразие, задаваемое совокупностью Б-тождеств {.гг/ = = V г 1 = V ... V г„ = ^77 + 1}- £>г,п представляет собой совокупность полугрупп левых "нулей, мощность которых не превосходит п. Аналогичные обозначения будем употреблять и для остальных атомов Юг, £>0. О, и Юр.

Теорема 11.2.4. Подрегиетка решетки В-многообразий, лежащая между £>; и Г;, имеет вид, представленный на рис. II.1 (а).

Подрегиетка решетки В-многообразий, лежащая между 1)г и Гг, имеет вид, представленный на рис. II. 1 (Ь).

Теорема 11.2.5. Подрегиетка решетки В-многообразий, лежащая между Но и Го, имеет вид, представленный на рис. II.1 (с).

Теорема 11.2.6. Подрегиетка решетки В-многообразий, лежащая между и Г^, имеет вид, представленный па рис. II.1 (И).

Будем пользоваться обозначениями, приведенными на рис. 11.2 и Н.З.

Е

Рисунок 11.2: Графы неизоморфных 1, 2 и 3-х элементных полу решеток.

с(1) о(2) 4 4

<4) о(5)

Рисунок II. 3: Графы неизоморфных 4-х элементных полу решеток.

Также введем следующие обозначения для некоторых классов полугрупп:

SV2 = {£,S2} ©^{E.Sz.S^}

V,,a = {E,S2,SÍ1),SÍi)}

s.4 5)(3)'

•>(3) _

(2)U{5(3)1 (3)'|

2>П = S.,3

s,4

T>v ' -

"sA ~ ^5,4

На рис. II.4 изображен начальный участок решетки D-многооб-разий, лежащий между и Г,.

®

(О'

а

(1) т,(2)

Í,4

ой

э

(3) 5,4

»а

3)

(3)' 5,4

{£}

Рисунок II.4: Начальный участок решетки D-многообразий, лежащий между 2), иГ,.

Пусть 21 — некоторый класс полугрупп. Про D-многообразие Ко /р 21 будем говорить, что оно порождается классом 21 и обозначать: Var# 21 = А'у/д21.

Некоторые сведения о строении решетки D-многообразий, лежащей между 2), и Г, дает следующая

Теорема II.2.7. Пусть Ds,n = Varp Ql„, где 2í„ — множество всех абстрактных п-элементпых полурешеток (п ^ 1).

Тогда участок решетки D-многообразий, лежащий между S)s,n и 3}s,n + i, изоморфен булевой алгебре подмножеств к-элементного множества, где к = |2l„ + i|.

Далее рассматривается решетка £п D-подмногообразий D-многообразия Гп, состоящего из всех полугрупп, мощность которых не превосходит фиксированного натурального п. Некоторую информацию об её строении дает

Теорема II.2.8. Пусть 6п — множество всех абстрактных п-элементных полугрупп (п ^ 1). Тогда участок решетки D-многообразий, лежащий между Г„ = Уагд б„ и Гп+1 = Varo <5n+i изоморфен булевой алгебре подмножеств k-элементного множества, где к = |бп+1|.

Решетка £п дистрибутивна. Этот, заслуживающий внимания, результат доказан в конце второго параграфа данной главы.

Глава III. Мальцевские произведения D-многообразий полугрупп.

А. И. Мальцевым в работе [3] было дано определение Я-произве-дения (мальцевского произведения) некоторых подклассов данного класса Я алгебраических систем.

Пусть А — алгебраическая система какого-то фиксированного класса Я и '^¡q — произвольная фактор-система от А. Элементами '^/ß являются смежные классы ад (а Е .4), каждый из которых мы будем рассматривать как подмодель модели Л. Некоторые из этих подмоделей могут оказаться подсистемами системы .4, принадлежащими классу Я, но некоторые подмодели могут не быть подсистемами или, будучи подсистемами, не будут принадлежать классу Я. Для любых подклассов 21, класса Я вводим понятие их Я-пропзведения (мальцевского произведения) 21 о 25, полагая по определению Л

Л е 21о® Л 6 Як 6 93 fc (Va £ А)(ав G Я — ав в 21))

В первом параграфе третьей главы рассматриваются мальцевские произведения некоторых атомов решетки D-многообразий полугрупп.

Малъцевское произведение двух Б-многообразнй не обязательно является Б-многообразпем (см. пример в [3], п. 2). Поэтому множество всех Б-подмногообразий данного Б-многообразпя будет частичным группоидом относительно мальцевского произведения. Однако для некоторых Б-мпогообразий этот частичный группоид будет группоидом (полным группоидом).

В нижеследующей теореме второго параграфа указаны условия, при наложении которых на Б-многообразце моноидов частичный группоид всех его Б-подмногообразнй замкнут относительно мальцевского произведения, то есть является группоидом.

Теорема III.2.3. Если Я есть В-многообразие моноидов и на всех

моноидах из Я конгруэнции перестановочны, то Я-произведение

21 о 03 любых двух О-подмногообразий 01 и ® из Я является Л-мно-п

гообразием из Я.

Классом Я. удовлетворяющим условиям теоремы III.2.3, является, например, всякое Б-многообразие моноидов, каждый из которых является группой.

Список цитированной литературы.

[1] Ляпин Е. С. Атомы решётки тождественно включительных многообразий полугрупп// Сиб. мат. жур. 1975. Т. XVI. №6. С. 1224-1230.

[2] Ляпин Е. С. Порождаемость классов полугрупп при помощи гомоморфизмов// Полугруппы и их гомоморфизмы. Л., 1991. С. 39-53. . .

[3] Мальцев А. Я. Об умножении классов алгебраических систем// Сиб. мат. жур. 1967. 8. №2. С. 346-365.

[4] Мальцев А. II. Алгебраические системы. М., 1970. 392 с.

[5] Плоткин Б. И., Новей С. М. Многообразия представлений групп. Рига, 1983.

[6] Плоткин Б. Я. Универсальная алгебра, алгебраическая логика и базы данных. М., 1991. 448 с.

[7] Birkhoff G. On the structure of abstract algebras// Proc. Cambr. Phil. Soc. 1935. 31. P. 433-454.

[8] Jamada M. Note on exclusive semigroups// Semigroup Forum. 1972. V. 3. №2. P. 160-167.

[9] Kalicky J., Scoit D. Eguational completeness of abstract algebras// Proc. Koninkl. nederl. acad. wet. 1955. A. 58. №5. P. 650659. [Русский перевод: Эквациональная полнота абстрактных алгебр// Киберн. сб. №2. 1961. С. 41-52.]

[10] Ljapin Е. S. Semigroups. Third edition. 1974. Amer. Math. Soc. Chapter XII.

[11] Ljapin E. S. Identities valid globaly in semigroups// Semigroup Forum. 1982. V. 24. P. 263-269.

[12] Ljapin E. S. Weakly free semigroups in identity inclusive varieties// Semigroups. Colloquia. Mathematica Societatis Janos Bolyai. 39. North-Holland, 1985.

[13] Mashevitzky G. On a finite basis problem for universal positive formulas// Colloquium on semigroups. Abstacts. Szeged, 1994. P. 24.

[14] O'Corrol L., Shein В. M. On exclusive semigroups// Semigroup Forum. 1972. V. 3. №1. P. 338-348.

[15] Tamura T. On commutative exclusive semigroups// Semigroup Forum. 1971. V. 2. №2. P. 181-187.

Список работ по теме диссертации.

1. Кулабухов С. Ю. О полугрупповых классах, заданных замкнутыми дизъюнктивными У-формулами// Полугруппы и их приложения, включая полугрупповые кольца. Междунар. конференция в честь Е. С. Ляпина. Тез. докл. Спб., 1995. С. 96-97.

2. Кулабухое С. Ю. Слабо свободные полугруппы в дизъюнктивных многообразиях// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов н/Д, 1996. Вып. 1. С. 49-55.

3. Кулабухоб С. Ю. О полугрупповых классах, заданных замкнутыми универсальными дизъюнктивными формулами// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов н/Д, 1996. Вып. 1. С. 41-48.

4. Кулабухоб С. Ю. О решетке Б-многообразий конечных пол у групп// Междунар. геометрическая школа-семинар памяти Н. В. Ефимова. Тез. докл. Ростов-на-Дону, 1996. С. 116-117.