Унипотентные элементы в представлениях полупростых алгебраических групп в положительной характеристике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Институт математики Академии Наук Беларуси

РГЗ од

УДК 512.743.7 Ь

* ДЕЛ 19Г

Супруненко Ирина Дмитриевна

УНИПОГЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ПОЛУПРОСТЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП В ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени' доктора физико-математических наук

Минск, 1996

Работа выполнена в Институте математики АНБ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических доктор физико-математических доктор физико-математических

Оппонирующая организация университет им. М.В. Ломоносова

наук, профессор Конюх B.C.

наук, профессор Мазуров В.Д.

наук, профессор Устименко В.А.

- Московский государственный

Защита состоится "20" декабря 1996 г. в "11" часов на заседании совета по защите диссертаций Д 01.02.01 в Институте математики АН Беларуси по адресу: 220072, Минск, ул. Сурганова, 11, Институт математики АНБ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АНБ.

Автореферат разослан ноября 1996 г. Ученый секретарь совета по защите диссертаций, кандидат физико-математических наук Л^-В.В. Беняш-Кривец

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В диссертации исследуется поведение образов унипотентных элементов в неприводимых представлениях полупростых алгебраических групп над полями положительной характеристики. Результаты диссертации являются частью более общей программы разработки методов распознавания представлений и линейных групп по свойствам индивидуальных матриц.

Возникшая в конце Х1Х-го века в работах Бернсайда, Фробениу-са, Диксона и Шура, теория представлений групп превратилась в обширный и интенсивно развивающийся раздел современной алгебры. В последние годы в этой теории получен ряд глубоких результатов, но недостаточно разработаны аспекты, связывающие указанную теорию с линейными группами. В то же время, именно такой подход зачастую оказывается плодотворным для выявления глубокий закономерностей, например, для понимания строения максимальных подгрупп многих важных групп. Актуальность этих аспектов еще более возрастает в связи с завершением классификации конечных простых групп, в результате чего многие важные проблемы о конечных группах редуцируются к задачам теории представлений и теории линейных групп. При решении задач распознавания алгебраических и конечных линейных групп возникает необходимость работать не только в нулевой, но и в положительной характеристике. Естественно, что , именно анализ поведения р-элементов позволяет выявить некоторые важные свойства линейных групп, характерные для полей характеристики р>О. Сама структура сопряженных классов унипотентных элементов полупростых алгебраических групп над алгебраически замкнутым полем способствует постановке вопросов, связанных с поиском таких свойств. Для приложений к конечным линейным группам особенно существенно, что результаты, связанные со свойствами унипотентных элементов в представлениях, легко переносятся с полупростых алгебраических групп на конечные группы типа Ли. Этот перенос осуществляется .с помощью теоремы Стейнберга [23], ввиду которой полный набор неприводимых неэквивалентных представлений конечной группы типа Ли над алгебраически замкнутым полем Р собственной характеристики получается в результате ограничения на эту группу явно указанного множества представлений соответствующей полупростой алгебраичес-

кой группы над Р.

Достигнутый уровень структурной теории групп и теории представлений дает возможность развивать новые матричные методы исследования, лежащие на грани теории представлений и теории линейных групп. Здесь особо важную роль играют полученная Шевалле классификация полупростых алгебраических групп, описание классов сопряженных унипогентных элементов в таких группах (см. [8, гл. 5], заложенный Стейнбергом и Кэртисом фундамент теории представлений алгебраических групп произвольной характеристики и более поздние результаты Янцеяа [13], Зейца [20, 21], Смита [22], Тестерман [25-27].

Рассматриваемый в диссертации круг задач теории представлений алгебраических групп близок по духу к ряду глубоких результатов, полученных для конечных линейных групп и нашедших многочисленные приложения. Вспомним хотя бы фундаментальную работу Холла и Хигмана [10], дающую нижние границы степеней минимальных полиномов р-элементов в конечных неприводимых р-разрешимых . линейных группах над полем характеристики р; статьи Томпсона [29] и Хо [12] о конечных неприводимых линейных группах в характеристике р>2, порожденных элементами порядка р с минимальными полиномами степени 2 - так называемых квадратичных парах. В последнее время активизировались исследования по асимптотической теории групп подстановок и конечных линейных групп, связанные с теорией алгоритмов (смотри, например, очень содержательные обзоры Кантора [14] и Пайбера [18]). Для развития этих идей представляется плодотворным применить асимптотический подход в теории представлений алгебраических групп. Именно такую направленность и имеют результаты глав 5 и 6.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Дис- . сертация выполнена в рамках тем "Исследование представлений групп типа Ли, строения групповых колец, алгебр Ли и линейных групп" и "Исследование представлений алгебраических и конечных групп, строения локально конечных групп и групповых колец", включенных в республиканские программы "Развитие методов теории групп, алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел" и "Исследование алгебраических и дифференциальных свойств основных математических структур".

Исследования, в ходе которых получены результаты диссертации, поддерживались грантами Международного Научного Фонда и Правительства Республики Беларусь, Фонда фундаментальных исследований Республики Беларусь, ШТАБ. Часть этих результатов получена в рамках немецко-белорусского проекта "Исследование представлений конечных групп", выполняемого совместно с учеными Института экспериментальной математики, Эссен.

Цели и задачи исследования. Цель работы - выяснение свойств унипотентных элементов в неприводимых представлениях алгебраических групп, разработка методов изучения таких свойств. Основные задачи диссертации: найти минимальные полиномы элементов порядка р в неприводимых представлениях полупростых алгебраических групп над полем характеристики р; получить нижние оценки для числа блоков Жордана размерности р в образах элементов порядка р в неприводимых представлениях классических алгебраических групп в характеристике р с достаточно большими относительно р старшими весами; классифицировать неприводимые представления простых алгебраических групп, содержащие матрицы с большими блоками Шордана.

Научная новизна полученных результатов. Все результаты диссертации являются новыми. Значительная часть используемого аппарата разработана автором.

Значимость результатов. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для решения различных классификационных задач, связанных с распознаванием представлений и линейных групп. Результаты главы 4 уже нашли применение для вычисления минимальных полиномов образов унипотентных элементов порядка >р в неприводимых представлениях специальной линейной группы над полем характеристики р.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту. 1) Найдены минимальные полиномы образов элементов порядка р в неприводимых рациональных представлениях полупростых алгебраических групп над алгебраически замкнутым полем Р характеристики р.

2) Для классических групп над полем Р установлено, что если старший вес неприводимого представления р группы Э достаточно велик по сравнению с р, то для любого элемента хеб порядка р число блоков Шордана размерности р матрицы р(х) ограничено снизу явно указанной линейной функцией ранга группы б. Введено понятие

р-большого представления.

3) При небольших ограничениях на характеристику основного поля классифицированы неприводимые представления <р простых алгебраических групп б, содержащие матрицы с блоком Йордана размерности гсЛш<р/г(С). В качестве следствия доказано, что если <р(С) содержит матрицу с к блоками Жордана (считая одномерные) и г(С)>Кк)- для некоторой функции то <р(5) - стандартная реализация классической группы б.

Личный вклад соискателя. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно. Цитируемые в работе совместные статьи не содержат результатов, включенных в диссертацию.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации докладывались на международных, конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989, и Барнаул, 1991), на международной конференции по теории представлений групп типа Ли (Беркли, США, 1990), на международных конференциях "Алгебра и комбинаторика" (Владимир, 1991, и Кенигштайн, Германия, 1994), в Институте высших исследований НАТО "Конечные и локально конечные группы" (Стамбул, Турция, 1994), на международной конференции "Алгебра и математическая кибернетика" (Минск, 1995), на алгебраических семинарах университетов Кембриджа, Манчестера, Уорвика, Норвича и Лестера (Великобритания), Института экспериментальной математики Эссенс-кого университета (ФРГ), Московского и Киевского университетов, на семинаре Белорусского Математического общества, а также на семинарах отдела алгебры и теории чисел Института математики АНБ.

Опубликованность результатов. Результаты диссертации опубликованы в 8 статьях, их список имеется в конце реферата.

Структура и объем диссертации. В диссертации имеются перечень условных обозначений, введение, общая характеристика работы, 6 глав, приложение. Полный объем 217 с. , из них 15 с. занимает приложение, 8с. - список использованных источников (88 наименований) .

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Ниже кратко излагается содержание диссертации по главам. Используются следующие обозначения: С - поле комплексных чисел, Р

- алгебраически замкнутое поле характеристики р>О, G - полупростая алгебраическая группа над Р или С, Irr, U, Г*, г соответственно - множества неприводимых рациональных представлений, классов сопряженных унипотентных элементов и ранг группы G; и^ех", lsisr, - фундаментальные веса, для простых G их нумерация соответствует [1]; МСи>) - неприводимый G-модуль со старшим весом иеХ* , dimv> - размерность представления <р\ если G - группа над Р, то Fr - морфизм Фробениуса группы G, ассоциированный с возведением элементов поля Р в степень р, II eil - множество всех клас-

р

сов, состоящих из элементов порядка sp, Г slrr - множество

р

р-ограниченных представлений, Gc - полупростая группа над С того же типа, что и G, 1ггс и Иц, - множества неприводимых рациональных представлений и классов сопряженных унипотентных элементов группы Gc, u(ip) - старший вес представления pelrr или 1ггс-Напомним, что представление pelrr называется р-ограниченным, если cj(<р) есть линейная комбинация фундаментальных весов с коэффициентами, меньшими р.

В главе 1 приведен краткий обзор литературы, посвященной классификационным аспектам теории представлений и теории линейных групп. Цель главы - показать место решаемых в диссертации проблем в общем контексте этой теории.

Глава 2 содержит общий план исследования. Здесь обсуждаются постановки задач и пути их решения.

В главе 3 приводятся известные факты, а также вспомогательные и технические результаты, используемые на протяжении всей работы. Основным результатом главы является предложение 3.28, уже нашедшее применение за пределами данной диссертации при исследовании минимальных полиномов произвольных унипотентных элементов в неприводимых представлениях группы типа Ав положительной характеристике [24]. В силу этого предложения, если G -группа над Р, элемент xeG лежит в подгруппе, порожденной корневыми элементами, ассоциированными с отрицательными корнями, и, Аге1+,

ы=Х1+А2, veMCw), VjSMfAj.) - ненулевые векторы старшего веса,

(x-i) Jvj#0, m=mi+m2 и биномиальный коэффициент jsOCmodp.),

то при определенных условиях Cx-lJ^v^O.

Глава 4 посвящена вычислению минимальных полиномов элементов ■ порядка р в неприводимых представлениях полупростых алгебраических групп над Р. Очевидно, что для любой алгебраической группы S, ее рационального представления р и унипотентиого элемента teS минимальный полином матрицы р(t) имеет вид (х-1,)к и поэтому полностью определяется своей степенью k=k^(t). Если С - класс сопряженных унипотентных элементов в S, то функция kp(t) постоянна на С; полоаим кр(С)=кр(Ь), teC. Назовем число (кр(С)) показателем унипотентного элемента t (класса С) в представлении р. Ясно, что kp(t) равняется максимальной размерности блоков Шордана матрицы р(Ъ) в ее неприводимых рациональных представлениях.

Основной результат главы (теорема 4.1.1) позволяет сравнивать показатели для определенных классов и представлений полупростой алгебраической группы G над Р и группы Gc- Далее,

m

если pslrr - представление со старшим весом р'х ,

1 =о

где - р-ограниченные веса, то рс - представление из

ш

со старшим весом £ X . В частности, io(ip)~D(<РС), если вес 1 =о

ь>(ф) р-ограничен.

Теорема 4.1.1. Пусть G - группа над Р, р>2, если не все простые компоненты группы G есть группы типов Аг или Е&, и р>3, если среди этих компонент имеются группы типов или Ед. Тогда существует такая биекция f:H—»U^; что

к (C)=minlp, kf (f(C))}

для каждого класса Cell и любого представления yelrr.

р

Очевидно, что к (C)zp при Cell . Биекция f из теоремы Ч> р

4.1.1 совершенно естественная. Она сохраняет помеченную диаграмму

Дынкина класса С. Для классических групп она сохраняет также нормальную форму Йордана представителей класса С в естественной реализации группы G (см. детали в разделе 4.1).

Хотя для некоторых групп G при р=2 или 3 не существует биек-ции из U в Uc, в этой ситуации вычисление показателей классов CeU^ не представляет проблемы. Действительно, при р=2 показатель

ку(С)=2, если <р(С)*[1), и равен 1 в противном случае. Если же р=3, то вопрос сводится к простым группам с помощью предложения 4.1.8. Затем можно применить результаты работы Премета и автора [17], где при р>2 для простых групп в классифицированы представления <ре1ггв и классы Се11 с к^(С)= 2.

Для поля С задача о вычислении показателей унипотентных элементов сводится к фундаментальным представлениям. Стандартные факты теории представлений полупростых групп позволяют также свести задачу к простым алгебраическим группам. Ниже

г

Предложение 4.1.3. Пусть Сеис, П61гг(;. ыГтг^Еа и . Тогда

1

ш (С)-£ат (С). 1 I

Легко вычислить т(С), если задана помеченная диаграмма 1

Дынкина класса С. Здесь используются известные формулы, связывающие фундаментальные веса и простые корни (см., например, таблицы в [-1]).

4.1.4. Алгоритмы для вычисления показателей к(С) для

I

классических групп. Пусть 1<г при С,р=В (С.) и 1<г-1 при (С) . Предположим, что элементы класса С имеют блоки Жордана

И* г

степеней к ..... к (с учетом кратностей) в естественном пред-

1 го

ставлении группы Ср. Пусть N(0 - следующая последовательность: к -1, ^ -3..... Х-к , к -X..... 1 -к ..... к -X..... 1-к- .

11 12 2 га т

Тогда т (С) равняется сумме х максимальных членов последова-1

тельности Ы{С). Для представления тг группы В (С.) следует взять половину такой суммы. Для спинорных представлений лр и п группы О (С) ситуация несколько сложнее. Если среди чисел

Г Г

к к есть нечетное, действуем так же, как и в случае пред-

1 го

ставления тг группы В (С). Однако, если к ,...,к все четные.

г г 1т

то существуют два различных класса С . С еЦ- с N(0 ).

1 2 Ц* 12

При этом тп равняется полусумме г максимальных членов

г

набора ШСг) и тп (с2)г=\ шп (С1^П1Т1 (с}) ПРИ

г г г -1 г

fi.jWl.2i.

Для исключительных групп числа т^ (С) явно указаны в таблицах П.1.1-П.1.5 Приложения, они вычислены на основании результатов Дынкина [4]. Таким образом, показатели элементов порядка р во всех случаях находятся в явной форме.

В доказательстве теоремы 4.1.1 ключевую роль играет вложение элемента порядка р в замкнутую в топологии Зарисского подгруппу типа Л1.Это позволяет использовать для решения нашей задачи хорошо разработанную теорию представлений группы типа А . Для классических групп требуемые вложения легко построить. До недавнего времени в общем случае информация о таких вложениях имелась лишь при р>ЗГЛ-1Р, где Л - число Кокстера группы б (см. главу 5 книги Картера ¡8]). Тестерман [27, теорема 0.1 и предложение 2.4] доказала, что любой элемент порядка р содержится в группе типа А , если р - хорошее простое число для в, и явно построила искомые подгруппы для выделенных классов в исключительных группах. Это позволяет решить нашу задачу без ограничений на р.

Теорема 4.1.1 и другие результаты главы 4 были использованы автором для вычисления показателей унипотентных элементов непростого порядка в неприводимых представлениях группы БЬ (Р) [24].

п

Конечно, такие элементы не содержатся в группах типа А1, и задача для них значительно сложнее. Чтобы найти показатель элемента порядка р*, имеющего блоки Йордана размерностей к^ , ,к , приходится вычислять показатели з унипотентных элементов полупростой

группы Н-БЬ (Ох...хБЬ (&) в неприводимом представлении ф, - к1

старший вес которого определенным образом вычисляется по и(<р). Лишь для регулярного элемента и Ф-Р^■ Мы надеемся рас-

пространить подход работы [24] на случай других классических групп.

Минимальный полином является важным геометрическим инвариантом матрицы. Знаменитая теорема Холла - Хигмана [10] о минимальных полиномах элементов порядка р в конечных неприводимых р-разрешимых линейных группах над Р имеет многочисленные приложения. Было бы интересно распространить ее на группы, не являющиеся р-разрешимыми. Результаты 4.1.1-4.1.4 легко переносятся на случай

неприводимых Р-представлений конечных групп типа Ли над полями характеристики р, что позволяет находить минимальные полиномы элементов порядка р в таких представлениях. А.Е. Залесский исследовал проблему для элементов порядка р в комплексных проективных представлениях конечных групп типа Ли над полями характеристики р [5, 6, 28, 30] и симметрических и знакопеременных групп [7], а также для произвольных р-элементов в комплексных и р-модулярных представлениях конечных квазипростых групп с циклической р-подгруппой Силова [31]. (Работа [28] написана совместно с Тье-пом). Во всех этих ситуациях оказывается, что, как правило, степень минимального полинома равна порядку элемента; все исключения явно описаны; используемые методы принципиально отличаются от методов главы 4.

В главе 5 рассматриваются представления классических групп с достаточно большими относительно р старшими весами. Пусть б -простая алгебраическая группа над полем Р, 13 - максимальный корень группы б. Для представления *ре1гг обозначим символом 1(<р) ■значение канонического спаривания , р> на весе и

корне р. Напомним, что <ы(<рс), &>=2(и(<рс), где С , ) -

положительно определенная симметричная билинейная форма, инвариантная относительно группы Вейля группы б. Назовем <р р-большим, если 1(р)*р. Наш опыт свидетельствует, что полезно выделять некоторые классы представлений при изучении поведения унипотент-ных элементов в неприводимых представлениях, р-большие представления составляют класс, где ряд свойств унипотентных элементов зависит от порядков этих элементов, а не от старшего веса представления. При этом именно условие 1(<р)=р является пороговым для некоторых свойств такого рода. Поэтому изучение р-больших представлений позволяет обнаружить важные закономерности, присущие лишь положительной характеристике, но не зависящие от р. Они могут применяться для распознавания представлений и линейных групп.

Действительно, в силу следствия 4.2.4 показатель длинного корневого элемента в представлении <р меньше р при 1(/р)<р-1\ если же 1(<р)ьр-1, то все элементы порядка р имеют показатель р в представлении р, за исключением случая р=3, в^^Р), и(<р)=33и . Таким образом, в представлениях с малым 1(<р) есть

матрицы порядка р без блоков Йордана размерности р, а в представлениях с достаточно большим 1(<р) все элементы порядка р имеют такие блоки. Оказывается, что для классических групп при 1(<р)*р число этих блоков у каждого элемента порядка р ограничено снизу линейной функцией f ранга группы. Основной результат главы 5 -

Теорема 5.1.1. Пусть G - классическая группа. Зададим функцию í ранга группы G следующим образом: f(r)=2¡—2 при G=A (Р);

Г

fOJ=8r-10 при G=B (Р), р>3; Г(г)=Ьг-1 при G=Br(P), р*3; ffrJ=4r-4 при G-C (Р); f(r)=8i—14 при G=D (Р). р>3;

Г Г

f(r)=6r-ÍO при G=Drfp;, р=3 и fCr)=4r-B при G=Dr(P), р=2. Пусть (oeirr - р-большое представление. Тогда образ в ip любого элемента порядка р группы G имеет не менее f(r) блоков Йордана степени р.

Следствие 5.1.2. Пусть pelrr, p(G) содержит элемент порядка р с к блоками Жордана степени р, г>(к+2)/2. Тогда 1(р)<р.

В пункте 5.1.15 эти результаты переносятся на неприводимые Р-представления конечных классических квазипростых групп типа Ли в характеристике р.

Для всех четырех типов приведены примеры р-ограниченных представлений <р с 1(<р)=р-1, в которых матрица длинного корневого элемента имеет ровно один блок размерности р.

Теорема 5.1.3. Пусть и=а и +а и , а +а =р-1, при G=A (Р);

llrrlr г

U=i(p-l)u при "G=B (Р) и D (Р) и ы=(р-1)и при G=C (Р).

6 2 г г 1 г

Пусть pelrr - представление со старшим весом и. Тогда 1(<р)=р-1 и образ длинного корневого элемента в <р имеет лишь один блок Жордана степени р.

Теорема 5.1.4 показывает, что оценки в пункте 5.1.1 близки к предельным.

Теорема 5.1.4. Пусть G=A (Р), u=a u +а и , а +а -р, а ,

г llrrlr 1

а *0 или р>2, Gé[B (Р), D (Р)}, ы=ь> +ííp-lPu. Пусть ipelrr -

г Г4 г \ ей 2

представление со старшим весом и„ ё - число блоков Жордана степени р у образа длинного корневого элемента в представлении р. Тогда 1(<р)*=р, (] *2г при в=А (Р)\ с* *8г-8 при (Р), р>3;

<р Г Г4

сЗ^Ьг-в при С=Вг(Р), р=3; с} а8г-12 при в^й^Р) , р>3; и ё^вг-8 при р=3.

В статье [4] из списка публикаций автора и работе [24] установлено, что при р>2 показатель любого элемента в р-ограниченном р-большом представлении специальной линейной или симплектической группы равен его порядку, и для всех нечетных р и всех э>1 указаны примеры р-ограниченных представлений *р с 1(<р)=р~ 1, в которых показатель регулярного унипотентного элемента порядка р" меньше рЕ. Это дает дополнительные основания для выбора нашего определения р-больших представлений.

Заметим, что в случае комплексных представлений регулярный унипотентный элемент всегда имеет единственный блок Жордана максимальной размерности (предложение 4.1.14).

Легко видеть, что при фиксированном р и г->ю отношение

числа р-ограниченных р-больших представлений к числу всех р-ограниченных представлений стремится к 1. Поэтому результаты о р-больших представлениях можно истолковывать как анализ типичной ситуации, когда исключены "малые" случаи. Они дают основу для получения асимптотических оценок, характерных для положительной характеристики.

Результаты главы 5 можно рассматривать как представленческую версию работы Либека и Саксла [15] о группах подстановок, содержащих элементы порядка р с малым числом р-циклов.

В главе 6 изучаются представления простых алгебраических групп над полем равным Р или С, содержащие матрицы с большими блоками Жордана. В связи с проблемой распознавания линейных групп по наличию в них отдельных матриц было бы. полезно отыскать определенные классы матриц в а (Р), которые могут встретиться

п

лишь в стандартных реализациях классических групп и еще в группах из некоторого небольшого набора и отсутствуют во всех других полупростых (или квазипростых) замкнутых в топологии Зарисского неприводимых подгруппах группы б! (Т). Аналогичные проблемы для

П

конечных групп подстановок восходят к Иордану и интенсивно изуча-

ются, по поводу недавних результатов и библиографии на эту тему см. часть 5 обзора Прегер [16].

В изучавшихся до сих пор задачах распознавания встречались, как правило, "малые" унипотентные элементы (некоторые результаты на эту тему обсуждаются в главе 1), "большие" в каком-либо смысле элементы в таком контексте практически не рассматривались. Нам известна лишь работа Гоу и Тамбурини 19], где определяется подгруппа группы GL (р), порожденная двумя конкретными элементами:

п

верхним и нижним блоками Йордана с единицами на диагонали, и неопубликованные результаты Зейца и Саксла, о которых будет сказано ниже. !

В главе 6 мы имеем дело с большими элементами. Исследуются неприводимые представления <р простой алгебраической группы G над F, содержащие матрицы с хотя бы одним блоком Жордана размерности ^dimp/r. В дальнейшем мы называем их Ь-представлениями (по первой букве английского слова "big" - "большой"). Здесь классифицированы Ь-представления при условии, что р*2 при G~B (Р), С (Р),

г г

F (Р) и р*2 или 3, если G=G (Р) (теоремы 6.1.1-6.1.6). Из

4 2

общей теории алгебраических групп вытекает, что достаточно рассматривать унипотентные элементы.

Для произвольного р>0 теорема 6.1.1 позволяет свести задачу к классификации р-ограниченных b-представлений. Теоремы 6.1.2 -6.1.6 дают классификацию р-ограниченных b-представлений при указанных выше условиях на р и произвольных b-представлений при F=C для различных типов простых алгебраических групп. Для сокращения обозначений далее при обсуждении результатов главы 6 при

F=С положим р=О, I =1гг.

р

Теорема 6.1.1. Пусть F-P и ipelrr - b—представление. Тогда либо v=Fri <чр , где <р ei , либо G=A (Р), r> 1,

1 1 Р Г

p-FrJ°(<рieFr °Фг) и выполняется одно из следующих условий:

(i) и(<р )е[и } , s=1,2;

S 1 г

(ii) г=3, [и(<р ), ы(<р )}={и м ) или {и ) ■

1 2 12 2 3

В случае (i) <р - b-представление тогда и только тогда, когда г+1*р" или ps-l. В случае (ii) f - b-представление тогда и только тогда, когда pt(2, 5, 7}.

Очевидно, что Рг* °<р и р одновременно являются или не являются Ь-представлениями.

Из теории представлений групп типа А^ легко вывести (см. леммы 3.1 и 3.12), что при 5=*А (С) все представления из 1гг есть Ь-представления, а при (Р) Ь-представления суть пред-

ставления вида Гг!°<р , где р е! .

1 1 р

Теорема 6.1.2. Пусть 6=4 (Р), г>1, <ре1 . Тогда р -

г р

Ь-представление тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

1) и(<р)ч{0, и (г+1*р*), и , и , и , и , 2ш 2и );

1 г 1 2 г -1 . г 1 г

2) Набор (г, и(<р), р) содержится в табл. 6.1.

Теорема 6.1.3. Пусть (Р), г>2, р*2, ре! . Тогда р -

г р

Ь-представление тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

1) и(<р)е[0, 2ох (2г+1*рв), и , и>2.);

2) и(р.)=и и имеют место три возможности а)-с) для г и р:

г

а) Ззггб, Р произвольное; Ь) г=7, р*17; с) г=8, ре[О,7,11,13; или рг37;

3) г=3, и(р.)=2ыз, ргСЗ,7,11/.

Напомним, что В^СР)=С ^(Р).

Теорема 6.1.4. Пусть С=С (Т,), р*2, г>1, ре! . Тогда р -

г р

Ь-представление тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

1) ы(<р)е(0, ы , 2и ,

2) Набор ("г, и(<р), р) содержится в табл. 6.2.

6.1.5. Теорема. Пусть б=£> (.Г,), г>3, ре! . Тогда р -

г р

Ь-представление тогда и только тогда, когда имеет место одно из следующих условий:

1) С2г-2*рв;, 2и (2г-1*ра), О, ы 7;

2) и>(<р)=и или и и либо 4*гз8, либо г=9,

Г - 1 Г

реГо,7,11,137 или р>23;

3) г=4, ю(1р)= 2и или 2ь> , р*7.

3 4

Таблица 6.1

Дополнительные представления в теореме 6.1.2 при малых г

г <р) Р

16 "з- Ы г-2 0, 7, 11, 13 или р>41

15 V Ы 1— 2 0, 7, 11, 13 или р>37

14 V Ы г - 2 0, 7, 11, 13 или р>31

13 V Ы г-2 0, 7, 11, или р>23

12 «V Ы г-2 ре{2, 13, 17, 19, 23J

11 <V г-2 p<t(2, 13, 17, 19}

10 V U г-2 ре{2, 11, 13;

9 V Ш г-2 ptlll, 13]

8 "з- (J г-2 р* 3

5srs7 "V (0 г-2 произвольное

11 ' За) 1 Зи г 0, 11 или р>31

10 Зы Зы г 0 или р>23

9 Зы 1 Зы г 0,7 или р>23

' 8 Зы i Зи г 0,7 или р>19

7 Зы i Зы г рл[2, 3, 11, 13, 17}

6 Зы Зи г 0, 5 или р>13

5 Зы Зы г 0, 5 или р>11

4 Зы Зы г 0 или р>7

3 Зы i Зы г „ 0 или р>5

2 Зы i Зы г 0 или р>3

9 CJ +10 1 2 и -HJ г-1 г 3

5 (J +ы 1 2 (д> +(д) г -1 г 0, 5 или р>13

4 и -+Ы 1 2 (J +U г-1 г 0, 3 или р>7

3 и +Ы 1 2 О +(J г-1 г р({2, Ь]

Продолжение табл. 6.1

9 и , и 4 1— 3 0, 5, 7 или р->23

8 и , и 4 г-3 рг^З, 11, 1з;

7 и , 10 4 г-3 0 или р>3

4 2о , 2и 2 г - 1 0 или р>11

3 2и , 2и 2 г-1 ре(2, 5}

3 4о , 4и) 1 г 0 или р>11

2 4и , 4и 1 г 0 или р>7

2 5и , 5и 1 г 0 или р>7

Таблица 6.2

Дополнительные представления в теореме 6.1.4 при малых г

г р.» р

5 и 3 0, 7 или р>19

4 о 3 ре{з, ш

3 и 3 произвольное

5 о 5 0, 7 или р>23

4 ь) 4 р*3

2 зы 1 0 или р>7

2 2о) 2 р* 5

2 2и 2 р*5

2 о 1 2 ре(5, 7}

Из теорем 6.1.1-6.1.6 и таблиц 6.1 и 6.2 следует, что описание Ь-представлений не зависит от г, если г>16 при С=А (Р),

г

г>8 при б=В (Р), г>5 при б=С (Р) и г>9 при (Р.).

г г г

Теорема 6.1.6. Пусть Э — одна из исключительных простых групп, у>е! . Предположим, что р*2 при G=Fi(P) и ре[2,3) при 5=6 ("р; . Тогда <р - Ь-представление тогда и только тогда, когда

имеет место одно из следующих условий:

1) (Р) , и(р)е{О, о , и , и }; 6 г 12 6

2) , и(1р)е{0, и^;

3) 6=Ев(Г), и(<р)е(0, и };

4) в^^Р), и(<р)*(О, и^;

5) с=вг(р), иоыо, о

Анализ представлений из теорем 6.1.1— 6.1.6 позволяет полу-

\

чить некоторые следствия. Здесь <3 - одна из классических групп, а (Г), в (р), с ск;, в (р), р*2 при с=в (Р) или с (я;.

г г г г г г

При ягб1гг обозначим символом £ максимальную размерность блока Жордана матрицы из группы х(&) и положим N -¡Итх/^.

Следствие 6.1.7. Пусть я(г)=(гг+г)/(4г-2) при в=А (Р), ц(г)=(2гг+г)/(4г-1) при в°*В (Р). ц(г)=(2гг-1—2)/(4)—3) при

Г

С=С (Р) и г)=(2гг-г-2)/(41—5,) при в=й (Р), и пусть *б1гг,

г г

и(*.)*0. Предположим, что N <я(г). Тогда -стандартная

реализация группы (?, если ранг г достаточно велик.

Следствие 6.1.8. Пусть Хб1гг, t - неотрицательное целое число, ы(х)*0, и пусть содержит матрицу с блоками

Иордана. Существует число г=г(Ь) такое, что - стандарт-

ная реализация группы 6, если г^г(Ь). Можно взять г(Ъ)=тьх{17, АЬ-1] при С=А (Р), г(Ь)-=тах{9, 2Ь] при (Г),

г г

г(Ь)=т&х{6, 2Ь} при Й=С (Р) и zCt;=шaxflO, 2Ь) при (Р).

г г

В главе 6 решен также вопрос о неприводимых представлениях полупростых алгебраических групп над Р, содержащих матрицы с единственным блоком Жордана.

Теорема 6.1.9. Пусть б - полупростая алгебраическая группа над Р, V ~ неприводимое рациональное представление группы й с центральным ядром. Группа У](5) содержит матрицы с одним блоком Жордана тогда и только тогда, когда имеет место одно из следующих услозий:

1) б=А (Г), В (Р) или С СГ^, - стандартная реали-

г г г

зация группы С;

2) с1ш77=7, если р*2, и сЦпл]=6 при р=2;

3) (5".), Т)б1гг и т1=Гг3-<р, ае.1 , если 1 р

Подчеркнем, что теорема 6.1.9 получена без ограничений на характеристику поля Р.

После принятия к публикации статьи [7] из списка публикаций автора по теме диссертации, где доказана теорема 6.1.9, Зейц и Саксл сообщили автору, что ими описаны максимальные подгруппы простых алгебраических групп, содержащие регулярный унипотентный элемент [19]. Это обобщает теорему 6.1.9, но не результаты 6.1.1-6.1.8. Упомянутый результат Зейца и Саксла до сих пор не опубликован.

Цель главы 6 - разработать приемы анализа представлений простых алгебраических групп, содержащих "большие" унипотентные элементы, и показать, что неприводимые представления с этим свойством в некотором смысле редки. Прежде всего, необходимо иметь разумное понятие "больших" элементов. Мы считаем целесообразным связать это понятие со значением Л . Очевидно, что стандартные реализации классических групп содержат матрицы с очень большими блоками Яордана, и М^ здесь мало. Мы стремимся исследовать общие свойства представлений, далеких от стандартных реализаций. На этом пути получены некоторые результаты об N и числе блоков Иордана в матрицах для достаточно больших г (следствия 6.1.7 и 6.1.8). Выбор оценки ^ аг частично мотивирован результатами Дынкина [3] о свойствах весовых пространств в характеристике О (в частности, о так называемом свойстве веретенообразнос-ти). Из этих результатов легко вытекает, что в характеристике О при г>2 неприводимое представление, старший вес которого - линейная комбинация фундаментальных весов со всеми ненулевыми коэффициентами, не является Ь-представлением. Кроме того, формула " аг проста.

Для унипотентного £€(? и представления х простой алгебраической группы й обозначим символом размерность пространства неподвижных точек матрицы х(ё)■ Очевидно, что

и равняется числу блоков Иордана матрицы х(й)• Из наших результатов следует, что для почти всех

представлений *е1гг, если г достаточно, велико. Возможно, из

следствия 6.1.7 можно вывести некоторые более точные нижние оценки. Заметим, что из недавних результатов Гордеева [2, 2.4] для нулевой и Холла, Либека и Зейца [11,- теорема 5] для положительной характеристики вытекает, что не может быть слишком большим при g*l. Согласно этим результатам, если 'х(О) не является стандартной реализацией группы в, то гапк(х(/12 для любого унипотентного geG/{l}.

Мы также надеемся использовать результаты главы 6 для классификации неприводимых подгрупп конечных классических групп, содержащих "большие" унипотентные матрицы заданного вида (в духе утверждений 6.1.8 и 6.1.9.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли, гл. IV-VI. - М.: Мир, 1972. - 331 с.

2. Гордеев Н.Л. Коранги элементов линейных групп и сложность алгебр инвариантов// Алгебра и Анализ. - 1990. - Т. 2, N 2 . - С. 39-64.

3. Дынкин Е.Б. Некоторые свойства системы весов линейного представления полупростой группы Ли// Докл. АН СССР. -1950. - Т.. 71, N 2 . - С. 221-224.

4. Дынкин Е.Б. Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли// Матем. сборник. - 1952. - Т. 30, N 2. - С. 349-402.

5. Залесский А.Е. Спектры элементов порядка р в представлениях групп Шевалле в характеристике р// Becqi АН БССР. Сер. ф1з.-мат. навук. - 1986. - N 6. - С. 20-25.

6. Залесский А.Е. Спектры элементов порядка р в представлениях группы SL (ра)// Успехи матем. наук. - 1990. - Т.45, N 1,-

П

С. 155-156.

7. Залесский А.Е. Собственные значения элементов простого порядка в проективных представлениях знакопеременных групп// Вес-qi АН Беларуси Сер. ф1з.-мат. навук. - 1996. - N 3. - С. 41-43.

8. Carter R.W. Finite Groups of Lie Type: Conjugacy Classes and Complex Characters. - Chichester: John Whiley and Sons, 1985. - 544 p.

9. Gow R., Tamburini M.C, Generation of SLCn.p) by two Jordan block matrices// Boll. Unione Math. Ital. - 1992. - Vol. 6-A, No 3. - P. 349-357.

10. Hall P., Higman G. On the p-length of p-solvable groups and reduction theorem for Burnside's problem// Proc. London Math. Soc.. - 1956. -Vol.7, Ко 21. - P. 1-42.

11. Hall J.I., Liebeck M.W., Seitz G.M. Generators for finite simple groups, with applications to linear groups// Quaterly J. Math. - 1992. - Vol. 43, No 172. - P. 441-458.

12. Ho Chat-Yin. On the quadratic pairs// J. Algebra. -1976. -Vol. 43, No 1. - P. 338-358.

13. Jantzen J.C. Representations of algebraic groups. - Or-

lando: Academic Press, 1987. - 443 p.

14. Kantor W.M. Random remarks on permutation group algorithms// Groups and Computation. Workshop on Groups and Computation. October 7-10, 1991. DIMACS Ser. in Discrete Math, and Theor. Comput. Sci . - Providence: Amer. Math. Soc. , 1993. - Vol. 11. - P. 127-131.

15. Liebeck M.W., Saxl J. Primitive permutation groups containing an element of large prime order// J. London Math. Soc. -1985. - Vol. 31, No 2. - P. 237-249.

16. Praeger C.E. Finite simple groups and finite primitive permutation groups// Bull. Austral. Math. Soc. - 1983. - Vol.28, No 3.- P. 355-365.

17. Premet A.A., Suprunenko I.D. Quadratic modules for Che-valley groups over fields of odd characteristics// Math. Nachrichten. - 1983. - Vol. 110. - P. 65-96.

18. Pyber L. Asymptotic results for permutation groups// Groups and Computation. Workshop on Groups and Computation. October 7-10, 1991. DIMACS Ser. in Discrete Math, and Theor. Comput. Sci. - Providence: Amer. Math. Soc., 1993. - Vol. 11. - P. 197219.

19. Saxl J., Seitz G.M. Subgroups of algebraic groups containing a regular unipotent element// To appear

20. Seitz G.M. The maximal subgroups of classical algebraii groups// Mem. Amer. Math. Soc.- 1987. - V. 365. - P. 1-286.

21. Seitz G.M. Maximal subgroups of exceptional algebraic groups// Mem. Amer. Math. Soc. - 1991. - V. 441,- P. 1-197.

22. Smith S. Irreducible modules and parabolic subgroups// J. Algebra. - 1982. - Vol. 75, No 1. - P. 286-289.

23. Steinberg R. Representations of algebraic groups// Nago-

ya Math. J. - 1963. - Vol. 22. - P. 33-56.

24. Suprunenko I.D. Minimal polynomials of unipotent elements in irreducible representations of the special linear group// Accepted by Acta Applicandae Math.

25. Testerman D.M. Irreducible subgroups of exceptional algebraic groups// Memoirs Amer. Math. Soc. - 1988. - V. 390. - P. 1-190.

26. Testerman D.M. The construction of the maximal Ai's in

the exceptional algebraic groups// Proc. Amer. Math. Soc. -1992. - Vol. 116, No 3. - P. 635-644.

27. Testerman D.M. A^-type overgroups of elements of order p. in semisimple algebraic groups and the associated finite groups// J. Algebra. - 1995. - Vol. 177. - P. 34-76.

28. Tiep Pham Huu, Zalesskii A.E. Some characterizations of the Weyl representations of symplectic and orthogonal groups. Preprint/ Inst. Exper. Math. Univ. Essen. - Essen, 1996.

29. Thompson J. Quadratic pairs// Actes Congres Intern. Math. (Nice, 1970). - Paris: Gauthier-Viliars, 1971. - Vol.1. -P. 375-376.

30.- Zalesskii A.E. Eigenvalues of matrices of complex representations of finite groups of Lie type// Lecture Notes Math. 1352. - Berlin: Springer, 1988. - P. 206-218.

31. Zalesskii A.E. Minimal polynomials and eigenvalues of p-elements in representations of quasi-simple groups with a cyclic Sylow p-subgroup. Preprint/ In-t. Exper. Math. Univ. Essen.-Essen, 1995. - 24 -p.■Submitted to J. London Math. Soc.

ВЫВОДЫ

1. Проблема вычисления минимальных полиномов образов элементов порядка р в неприводимых представлениях полупростых алгебраических групп над полями характеристики р сводится к аналогичной задаче для групп над полем комплексных чисел. Формулы для степени этих полиномов одинаково выглядят для всех не слишком малых р.

2. Если старший вес неприводимого представления классической алгебраической группы в характеристике р достаточно велик по сравнению с р, то число блоков Йордана степени р у образа элемента порядка р в этом представлении ограничено снизу линейной функцией ранга группы. Для большинства групп полученные в работе оценки для числа таких блоков близки к предельным. Понятие большого веса определяется с помощью явной формулы и не зависит от ранга группы.

3. Получены границы для максимальной размерности блоков Жор-дана матриц, справедливые для большинства неприводимых представлений простых алгебраических групп. Унипотентные элементы с большими блоками Шордана встречаются достаточно редко. Приведен список неприводимых представлений, содержащих такие матрицы.

4. Разработанный в диссертации аппарат позволил получить результаты трех типов: явные формулы для всех неприводимых представлений (степени минимальных полиномов в главе 4), асимптотические оценки, отражающие особенности положительной характеристики и справедливые для всех достаточно больших представлений, (глава 5), распознавание представлений по наличию одной матрицы заданного вида (глава 6).

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Супруненко И.Д. Минимальные полиномы корневых элементов в неприводимых представлениях групп Шевалле// Becui АН БССР. Сер. ф1з.-мат. навук. - 1987. - N 2. - С. 18-22.

2. Супруненко И.Д. Минимальные полиномы унипотентных элементов в неприводимых представлениях алгебраической группы типа Gz.

- Препринт N 19 (329)// Ин-т математики АН БССР. - Минск, 1988. -22 с.

3. Супруненко И.Д. Минимальные полиномы элементов порядка р в неприводимых представлениях групп Шевалле над полями характеристики р// Вопросы алгебры и логики. Труды Ин-та математики СО РАН. - Новосибирск, 1996. - Т. 30. - С. 126-163.

4. Супруненко И.Д. Свойства унипотентных элементов в неприводимых представлениях классических групп с р-большими старшими весами// Becui АН Беларуси.. Сер. ф1з.-мат. навук. - 1996. N 3. -С. 44-48.

5. Suprunenko I.D. The minimal polynomials of elements of order p in irreducible representations of Chevalley groups over fields of characteristic p// Proceedings. Intern. Conf. on Algebra (dedic. to the memory of k.lf Malcev), Novosibirsk, 1989. Contemporary Mathematics 131. - Providence: Amer. Math. Soc., 1992.

- Part 1. - P. 389-400.

6. Suprunenko I.D. Representations of algebraic groups containing matrices with large Jordan blocks// Europ. J. Combinatorics. - 1994. - Vol. 15. - P. 67-71.

7. Suprunenko I.D. Irreducible representations of simple algebraic groups containing matrices with big Jordan blocks// Proc. London Math. Soc. - 1995. -Vol. 71. - P. 281-332.

8. Suprunenko I.D. On Jordan blocks of elements of order p in irreducible representations of classical groups with p-large highest weights. Preprint No 2 (514) /In-t Math. Acad. Sci. Belarus." Minsk, 1996. - 32 p. Accepted by J. Algebra.

24 РЭЗЮМЕ

Супруненка 1рына Дзььитрыяуна

Ун].патэнтния элементы у рэпрэзентацыях паупростых алгебраЛчных груп у дадатнай характарыстыцы

Ключавыя словы: паупростая алгебра1чная група, непрыводная рэпрэзентацыя, дадатная характарыстыка, уншатэнтны элемент, мд.н1мальны палз.ном, блок Кардана.

У дысертацьи вывучаюцца паводзз.ны адб^ткау ун1патэнтных эле-ментау у непрыводных рэпрэзентацыях паупростых алгебра1чных груп над палям1 дадатнай характеристик!.. Наша мэта - распрацоука матричных метадау даследвання уласт1васцяу так1х элементау. 3 дапа-могай апарату тэорьп рэпрэзентацый вырашаны наступныя задачы: знойдзены мз.н1мальныя пал1номы элементау парадку р у непрыводных рэпрэзентацыях паупростых алгебра1чных груп над полям характеристик! р; атрыманы н1жн1я гpaнiцы для лд.ку блокау Шардана памернас-ц1 р у адбз.тках элементау парадку р у непрыводных рэпрэзентацыях клас1чных алгебра1чных груп у характарыстыцы р з дастаткова вял1к1м1 адносна р старэйшым1 вагам!; пры нязначных абмежаваннях на характарыстыку поля клас1ф].каваны непрыводныя рэпрэзентацьи р простых алгебра1чных груп, што маюць матрыц^ з блокам! Вардана памернасц1 , дзе г - ранг групы.

Усе вын1к1 дысертацьп зъяуляюцца новым1. Значная частка апарату, як1 выкарыстоуваецца, распрацавана аутарам. Праца мае тэа-рэтычны характер. Яе вын!.к1 могуць быць выкарыстаны пры вырашэнн1 розных задач спазИання рэпрэзентацый 1 линейных груп, а таксама пры падрыхтоуцы спецыяльных курсау па тэорых рэпрэзентацый. Выно.к1 главы 4 ужо знайшл1 дастасаванне за межам1 дысертацьи пры выл1чэнн1 м!н1мальных пал1номау адбз.ткау уншатэнтных элементау парадку >р у непрыводных рэпрэзентацыях спецыяльнай л1нейнай групы .над полем характарыстык1 р.

25 РЕЗЮМЕ

Супруненко Ирина Дмитриевна

Унипотентные элементы в представлениях полупростых алгебраических групп в положительной характеристике

Ключевые слова: полупростая алгебраическая группа, неприводимое представление, положительная характеристика, унипотентный элемент, минимальный полином, блок Жордана.

В диссертации изучается поведение образов унипотентных элементов в неприводимых представлениях полупростых алгебраических групп над полями положительной характеристики. Цель работы - разработка матричных методов исследования свойств таких элементов. С использованием аппарата теории представлений решены следующие задачи: найдены минимальные полиномы элементов порядка р в неприводимых представлениях полупростых алгебраических групп над полем характеристики р; получены нижние оценки для числа блоков Иордана размерности р в образах элементов порядка р в неприводимых представлениях классических алгебраических групп в характеристике р с достаточно большими относительно р старшими весами; при небольших ограничениях на характеристику поля классифицированы неприводимые представления <р простых алгебраических групп, содержащие матрицы с блоками Шордана размерности гсНтр/г, где г - ранг группы.

Все результаты диссертации являются новыми. Значительная часть применяемого аппарата разработана автором. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при решении различных задач распознавания представлений и линейных групп, а также при подготовке специальных курсов по теории представлений. Результаты главы 4 уже нашли применение за пределами диссертации при вычислении минимальных полиномов образов унипотентных элементов порядка >р в неприводимых представлениях специальной линейной группы над полем характеристики р.'

SUMMARY

Suprunenko Irina Dmitrievna

Unipotent elements in representations of semisimple algebraic groups in positive characteristic

Key words: semisimple algebraic group, irreducible representation, positive characteristic, unipotent element, minimal polynomial, Jordan, block.

The behaviour of images of unipotent elements in irreducible representations of semisimple algebraic groups over fields of positive characteristic is studied in the thesis. The goal of the research is to elaborate matrix methods of investigating properties of such elements. With the use of representation-theoretic machinery the following problems are solved: the minimal polynomials of elements of order p in irreducible representations of semisimple algebraic groups over fields of characteristic p are found; lower bounds for the number of Jordan blocks of size p in images of elements of order p in irreducible representations of the classical algebraic groups in characteristic p with highest weights large enough with respect to p are obtained; under small restrictions on the characteristic of the ground field irreducible representations p of the simple algebraic groups containing matrices with Jordan blocks of size sdim<p/r where r is the rank of a group are classified.

All the results of the thesis are new. A substantial .part of the machinery being applied is developed by the author. The research has a theoretical nature. Its results can be used for solving various problems of recognizing representations and linear groups, as well as for special courses in representation theory for university students. The results of Chapter 4 have already found applications outside this thesis in the computation of the minimal polynomials of the images of unipotent elements of order >p in irreducible representations of the special linear group over a field of characteristic p.