Действия групп на компактных однородных пространствах с открытой орбитой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Девятов Ростислав Андреевич

Действия групп на компактных однородных пространствах с открытой орбитой

Специальность: 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

г 9 АПР 2015

Москва - 2014

005567826

005567826

Работа выполнена на факультете математики национального исследовательского университета "Высшая Школа Экономики".

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Сергей Александрович Локтев. Официальные оппоненты:

Александр Николаевич Панов, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии Самарского государственного университета;

Ирина Михайловна Парамонова, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент Московского института открытого образования.

Ведущая организация: Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук.

Защита состоится 2 нюня 2015 г. в 16:00

Fia заседании диссертационного совета Д 002.077.03 па базе ИППИ РАН Большой Каретный пер., д. 19, стр. 1, Москва, ГСП-4, 127994.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИППИ РАН.

Автореферат разослан " апреля 2015 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

Соболевский А. Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертация посвящена изучению действий различных групп с открытой орбитой на некоторых компактных однородных пространствах. Все алгебраические многообразия рассматриваются над полем комплексных чисел.

Однородное пространство алгебраической группы С — это алгебраическое многообразие X, снабжённое транзитивным действием группы С. Основные результаты об однородных пространствах аффинных алгебраических групп содержатся в книгах1 и2 Любое однородное пространство изоморфно (точнее, С-эквивариантно изоморфно) фактору группы С по некоторой подгруппе Р (обычно обозначаемому О/Р). В случае, когда группа С? связна и редуктивна, можно показать, что многообразие С/Р полно (или, что то же, компактно в классической топологии) тогда и только тогда, когда подгруппа Р параболическая, т. е. содержит некоторую борелевскую подгруппу. В частности, в этом случае группа Р содержит центр группы С, поэтому он тривиально действует на многообразии С(Р, и многообразие С/Р также является однородным пространством связной полупростой части группы С. Поэтому далее мы будем говорить о многообразиях вида С! Р, где й — некоторая связная полупростая алгебраическая группа, а Р С С — некоторая параболическая подгруппа.

Компактными однородными пространствами являются многие классические и хорошо известные многообразия, такие как, например, проективные пространства и их произведения (многообразия Сегре) и гладкие проективные квадрики. Более сложный пример однородных про странств — полные и частичные многообразия флагов, т. е. многообразия, параметризующие цепочки вложенных подпространств фиксированных размерностей в заданном векторном пространстве. Для всех перечисленных классов многообразий посчитаны их пространства когомоло-гнй и найдены клеточные разбиения3. Наличие действия связной редук-тивной группы позволяет применять для изучения этих многообразий структурную теорию простых алгебр Ли.

Наличие действия определённой группы с открытой орбитой (или,

'Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик, "Семинар по группам Ли и алгебраическим группам", Наука, М., 1988

2А. Л. Ошпцик, 'Топология транзитивных групп преобразований", Фнзматлит, М., 1995

3Н. Н. Бернштейн, И. М. Гельфанд, С. II. Гельфанд, "Клетки Шуберта и когомо-логии пространств С/Г\ УМН, 28:3(171) (1973), 3-26

как говорят, локально транзитивного действия) также является удобным инструментом для изучения свойств многообразий. К многообразиям с локально транзитивным действием некоторой группы относятся многие хорошо известные классы многообразий, например, торические многообразия. Основные сведения о торических многообразиях содержатся в книге4. Известна полная классификация торических многообразий, они параметризуются некоторыми комбинаторными (целочисленными) данными, а именно так называемыми рациональными полиэдральными веерами. Более сложным примером многообразий, допускающих локально транзитивное действие некоторой группы, служат сферические многообразия, т. е. многообразия с действием связной редуктивной группы G, на которых (некоторая, или, что равносильно, любая) борелевская подгруппа действует с открытой орбитой. Сведения о сферических многообразиях собраны, например, в5 и6. Для обоих этих классов многообразий множество орбит на самом деле конечно.

Ясно, что сама группа G действует на многообразии G/P с открытой орбитой (и даже ровно с одной орбитой), но можно рассмотреть действие группы G на многообразии (G/P)n = G/P х ... х G/P и попытаться выяснить, имеет ли оно открытую орбиту и конечно ли множество орбит. Отметим, что многообразие (G/P)n также является однородным пространством связной полупростой алгебраической группы, а именно группы G х ... х G (п прямых сомножителей). Неформально говоря, существование открытой орбиты означает, что "почти любой" набор из п точек многообразия G/P можно перевести в "почти любой другой" набор, а конечность множества орбит означает, что любой набор из п точек можно "привести к одному из конечного числа фиксированных видов". Для небольших значений п легко указать группу, действие которой на многообразии G/P с открытой орбитой равносильно действию группы G на многообразии (G/P)n с открытой орбитой.

Вопрос о существовании открытой орбиты для максимальной параболической подгруппы Р был решён в работе7, и в этой же работе был поставлен вопрос о существовании открытой орбиты для произвольных

4W. Fulton, 'Introduction to toric varieties", Ann. of Math. Stud. 131, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1993

°M. Brion, "Spherical Varieties", Highlights in Lie Algebraic Methods, 3-24, Progress in Mathematics 295, Birkhauscr, 2012

6N. Perrin, "On the geometry of spherical varieties". Transformation Groups 19:1 (2014), 171-223

' V.L. Popov, "Generically multiple transitive algebraic group actions", Algebraic groups and homogeneous spaces, 481-523, Tata Inst. Fund. Res. Stud. Math., Tata Inst. Fund. Res., Mumbai. 2007

параболических подгрупп. Следуя этой работе, назовём максимальное число п, такое что группа G действует на многообразии (G/P)n с открытой орбитой, максимальной степенью локальной транзитивности действия G : G/Р. Для связных простых групп G типа А максимальная степень локальной транзитивности может, в зависимости от группы G и подгруппы Р, быть сколь угодно большой. Для связных простых групп G остальных типов она никогда не бывает больше 4. В связи с этим вопрос о нахождении максимальной степени локальной транзитивности для иемаксимальных параболических подгрупп Р в случаях, когда связная полупростая группа G содержит связные простые компоненты типа А, более сложен, чем тот же вопрос в случае, когда группа G не содержит связных простых компонент типа А, и остаётся, по-видимому, открытым. Для случая, когда группа G не содержит связных простых компонент типа А, максимальная степень локальной транзитивности вычисляется в диссертации.

Вопрос о конечности числа орбит действия группы G на многообразии (G/P)n оказывается связан с теорией сферических многообразий. Именно, известно, что если многообразие X с действием группы G сферическое, то (любая) борелевская подгруппа группы G действует на нём с конечным числом орбит, см.8 и9. Таким образом, если многообразие {G/P)n~l сферическое, то группа G действует на многообразии (G/P)п с конечным числом орбит. Из результатов диссертации следует, что верно и обратное, а именно, если группа G действует на многообразии (G/P)n с конечным числом орбит, то п = 3, и многообразие G/P х G/P сферическое. В случае конкретных типов связных простых групп G, а именно А и С. в работах10 и11 рассматривалась более общая задача о том. для каких наборов параболических подгрупп группы G множе-

ство G-орбит на многообразии G/P'1' х ... х G/Pконечно.

Обозначим m-мерную коммутативную упппотептпую группу за (G0)m. Действия группы (Ga)m (или, что то же, m-мерного векторного пространства, рассматриваемого как группа с операцией сложения) на различных многообразиях изучались в работе12. В частности, там по-

8М. Brion, "Quelques propriétés des espaces homogènes spliériques", Manuscripta Math. 55:2 (1986), 191-198

9Э. Б. Випберг, "Сложность действий рсдуктивных групп", Фуикц. анализ и его прил. 20:1 (1986), 1-13

10Р. Magyar, J. Weyman, A. Zelevinsky, '"Multiple flag varieties of finite type", Ado. Math. 141:1 (1999), 97-118

11 P. Magyar, J. Weyinan, A. Zelevinsky, "Syinplectic multiple flag varieties of finite type", J. Algebra 230:1 (2000), 245-265

12B. Hasset, Yu. Tschinkel, "Geometry of equivariaiit compactifications of G£", International Mathematics Research Notices, 1999:22 (1999), 1211-1230

лучена классификация таких действий на проективных пространствах и на поверхностях Хирцебруха. Там же была поставлена общая задача о классификации всех полных (компактных в классической топологии) m-мерных многообразий, допускающих локально транзитивное действие группы (Ga)m вместе с действием этой группы на них, по аналогии с тем, как это было ранее сделано с торическими многообразиями. В работе13 найдены все компактные однородные пространства связных редуктив-ных групп, допускающие хотя бы одно локально транзитивное действие группы (Ga)m, и поставлена задача о классификации таких действий на грассманианах. В работе14 доказано, что на неособой m-мерной проективной квадратичной гиперповерхности (которая является однородным пространством группы SOm+2) имеется ровно одно такое действие. В диссертации получена классификация всех действий группы (Ga)m на всех компактных однородных пространствах.

Цель работы

Пусть G — связная полупростая алгебраическая группа над полем С, а Р С G — некоторая параболическая подгруппа. Тогда однородное пространство G/P является проективным многообразием, в частности, оно компактно в классической топологии. Выберем в группе G связные простые подгруппы G(1),..., G(s), так чтобы группа G была локально изоморфна их произведению (как иногда говорят, разложим группу G в почти прямое произведение связных простых подгрупп). Пусть р0) _ р пС<"). Тогда подгруппы РW однозначно определяют подгруппу Р.

В каждой простой группе G^ выберем борелевскую подгруппу ßW ç Р^ и максимальный тор С Эти данные определяют систе-

му корней фМ и множество простых корней = {aj*',..., a^G(i)}. Группа P<li является пересечением нескольких максимальных (по включению) параболических подгрупп, а все максимальные параболические подгруппы, содержащие группу ВМ, находятся во взаимно-однозначном соответствии с простыми корнями Qj. Пусть группа Р^ равна пересечению максимальных подгрупп, соответствующих корням aPi l,..., аРик . Таким образом, подгруппа Р определяется конечным набором индексов Р1,ъ • • • »Pu-d • • • >Р»,ъ • • • iP»,fc,- Заметим, что поскольку все борелевские

13I. V. Arzhantsev, '"Flag varieties as equivariant coinpactificatious of G™", Proc. Amer. Math. Soc. 139:3 (2011), 783-786

14E. В. Шаройко, "Соответствие Хассета-Чинкеля и автоморфизмы квадрики". Машем. сб. 200:11 (2009), 145-1G0

подгруппы сопряжены, то это описание не зависит от выбора подгрупп

Цель работы — исходя из этого описания подгруппы Р. ответить на следующие вопросы:

1. Предположим, что среди групп

G« нет групп типа А. Для каких п группа G действует на многообразии (G/P)71 с открытой орбитой, т. е. локально трапзитивно?

2. Для каких п группа G действует на многообразии (G/Р)п с конечным числом орбит? (Группа G — любая связная полупростая.)

3. Как параметризуются локально транзитивные действия коммутативной унипотентной группы размерности dim(G/P) на многообразии G/P?

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Для случаев, когда G — связная полупростая группа, не содержащая связных простых компонент типа А, получена полная классификация таких параболических подгрупп Р и таких чисел п € N, что группа G действует на многообразии (G/Р)" с открытой орбитой.

2. Получена полная классификация троек (G, Р, п), где G — связная полупростая алгебраическая группа, Р — её параболическая подгруппа и п € N, таких что группа G действует на многообразии G/P с конечным числом орбит.

3. Получена полная классификация локально транзитивных действий т-мерной коммутативной унипотентной группы на многообразии G/P, где G — связная полупростая алгебраическая группа, Р — её параболическая подгруппа и т = dim (G/P).

4. Пусть L — связная редуктивная алгебраическая группа, а V — её конечномерное представление. Получена полная классификация коммутативных ассоциативных умножений на пространстве V, таких что все операторы умножения нильпотентны и каждый оператор умножения совпадает с оператором действия некоторого элемента алгебры Lie L.

Методы исследования

В диссертации используются методы алгебраической геометрии, теории алгебр Ли и теории алгебраических групп.

Теоретическая и практическая ценность

Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы для дальнейшего изучения компактных однородных пространств и эквивариантных компактнфикацнй коммутативной унипо-тентпой группы.

Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались:

• На второй школе-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов", механико-математический факультет МГУ, г. Москва (2011).

• На семинаре по алгебраической геометрии в Freie Universität Berlin, г. Берлин, Германия (2011).

• На совместном семинаре лаборатории Понселе и сектора алгебры и теории чисел ИППИ "арифметика, геометрия и теория кодирования", г. Москва (2014).

Публикации

Все результаты диссертации содержатся в трёх единоличных работах, опубликованных в журналах из списка ВАК. Часть результатов также содержится в опубликованных тезисах доклада на конференции. Список публикаций приведён в конце автореферата.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из четырёх глав, включая введение. Общий объём диссертации составляет 120 страниц. Список литературы включает 27 наименований.

Краткое содержание работы

Глава 1 — введение, в ней формулируются задачи, которые будут решаться в диссертации и кратко описываются методы, которые будут использоваться для их решения. Также во введении перечислены некоторые ранее известные задачи, связанные с задачами, решаемыми в диссертации.

В главе 2 вводятся необходимые обозначения и устанавливаются соглашения, используемые в дальнейшем. Также в главе 2 доказываются вспомогательные факты о структуре алгебраической группы на группе автоморфизмов алгебраического многообразия, в частности, компактного однородного пространства. Например, проверяется существование "категорной группы автоморфизмов" в смысле следующего определения: Алгебраическая группа Н вместе с действием на алгебраическом многообразии X называется категорной группой автоморфизмов многообразия X, если для любой группы Н\. алгебраически действующей на многообразии X, существует единственный морфизм алгебраических групп /: Ях —> Н, такой что для любой точки х € X и для любого элемента Л € Я[ выполнено 1г ■ х = /(к) ■ х.

Глава 3 посвящена действиям группы С на многообразии ((З/Р)". В первом параграфе задачи о наличии открытой орбиты и о конечности множества орбит сводятся к случаю, когда группа С простая.

Во втором параграфе рассматривается задача о наличии открытой орбиты. Как уже было сказано выше, для максимальных параболических подгрупп эта задача была решена раньше, поэтому мы рассматриваем только случай, когда подгруппа Р немаксимальная, а группа О не типа А. Обозначим максимальную параболическую подгруппу, соответствующую г-му простому корню группы С?, за Р^ Обозначим также

Рг1.....{к = Pii Г) ... Г) Р^. В этих условиях и обозначениях доказывается

следующая теорема:

Теорема. Пусть С7 — связная простая алгебраическая группа, не являющаяся локально изоморфной группе Р С С — некоторая иемаксима.аьная параболическая подгруппа, и п € N. Тогда диагональное действие группы С на кратном многообразии флагов ((З/Р)" локально транзитивно тогда и только тогда, когда выполнено одно из двух условий

1. п < 2.

2. ть — 3 и пара (С, Р) перечислена в следующей таблице:

Тип группы С Р (с точностью до сопряжения)

И 1,1 > 5 нечётно Ри-ъ.Рн

Е>1,1 > 4 четно Ри-иРи.Ц-и

В третьем параграфе с использованием ранее известных фактов решается задача о конечности множества б-орбит на многообразии С/Р. Её решение можно сформулировать в виде следующих теоремы и следствия.

Теорема. Пусть С — связная простая алгебраическая группа и Р С <3 — параболическая подгруппа, п € N. Если п < 2, то множество С-орбит на многообразии (й/Р)п всегда конечно. Если п > 3, то следующие условия эквивалентны.

1. Множество С-орбит на многообразии С/Р конечно.

2. п = 3, Р — максимальная параболическая подгруппа, и группа (3 действует на многообразии С/Р х С?/Р х С/Р с открытой орбитой.

3. п = 3, и многообразие С/Р х С/Р сферическое.

Следствие. Пусть (3 — связная простая алгебраическая группа и Р С С ....... параболическая подгруппа. Пусть п > 3. Тогда диагональное действие группы С на многообразии (С/Р)п имеет конечное число орбит тогда и только тогда, когда п = 3 и пара (С, Р) с точностью до сопряжения перечислена в следующей таблице:

Тип группы б Р

А1 любая максимальная

В,,1>3 РиЪ

Си1> 2 Pi.Pi

А, 1 > 4 PuPl-l.Pl

Ее РиРа

Е7 Р7

В главе 4 изучаются действия на многообразии С /Р группы (Са)т, где т = сНт(С/Р), с открытой орбитой. В первом параграфе эта задача сводится к случаю, когда группа С? простая, присоединённая и пара (С, Р) удовлетворяет некоторому техническому условию, так называемой неисключительности. Известно, что если группа С связная, простая,

присоединённая n пара (G, Р) неисключительная, то связная компонента единицы категорией группы автоморфизмов многообразия G/P (существование которой было проверено в главе 2) равна самой группе G. Затем цитируются уже известные результаты о том, когда при этих условиях существует хотя бы одно локально транзитивное действие группы (СаГ.

Во втором параграфе задача о классификации локально транзитивных (Ga)m-действий сводится к задаче о классификации умножений на некотором векторном пространстве, обладающих некоторыми дополнительными свойствами. Именно, пусть дана связная редуктивная группа L и её конечномерное представление V. Умножение на пространстве

V называется согласованным с действием алгебры I = Lie L, если оно коммутативно, ассоциативно, все операторы умножения нилыютентны, и для любого v 6 V существует такой что оператор умножения на вектор v равен оператору действия элемента х. Теперь выберем в группе G такую параболическую подгрупп}' Р~, что группа Р П Р~ является подгруппой Леви в группе Р. Пусть и" — алгебра Ли унипотентного радикала группы Р~. Тогда присоединённое действие группы G на своей алгебре Ли, ограниченное на подгруппу РП Р~, сохраняет подалгебру и-. В параграфе 2 доказывается, что локально транзитивные действия (Ga)m : (G/P) параметризуются умножениями на алгебре и-, согласованными с действием алгебры Lie(P П Р~).

Затем, п третьем и четвёртом параграфах для произвольной связной редуктивной группы L н произвольного конечномерного представления

V изучаются умножения, согласованные с действием алгебры I = Lie L. В третьем параграфе задача о классификации таких умножений сводится к случаю, когда группа L простая, а представление V неприводимое, и доказываются различные общие факты об умножениях, позволяющие, в частности, существенно ограничить множество представлений, на которых возможны ненулевые умножения, согласованные с действием алгебры [. В четвёртом параграфе классифицируются умножения на конкретных представлениях, согласованные с действием конкретных алгебр. Результаты этой классификации можно сформулировать в виде следующих определений и теорем.

Определение. Пусть oj — невырожденная билинейная форма на конечномерном векторном пространстве V (ш: V xV С). Тогда, если на пространстве V задано умножение, назовём трилинейную форму с, определённую как с(и, V, w) = uj(uv.w), где u,v & V, трилинейной формой, двойственной к умножению.

Теорема. Пусть ( — простая алгебра Ли, а V — некоторое её неприводимое представление, на котором можно ввест.и ненулевое умножение, согласованное с действием алгебры I. Тогда имеет место одна из следующих двух возможностей:

1. [ алгебра типа V тавтологическое представление или двойственное к нел1у. Тогда любое коммутативное ассоциативное умножение, для которого все операторы умножения нильпо-тентны, согласовано с действием алгебры [.

2. ( — алгебра типа С[ (I > 2), V — тавтологическое представление. Тогда группа Ь сохраняет некоторую кососимметрическую билинейную форму ш на пространстве V, и трилинейные формы, двойственные к умножениям, согласованным с действием алгебры I — это в точности такие полностью симметрические трилинейные формы с на пространстве V, что ядро ксгс содержит некоторое лагранжево подпространство пространства V (т. е. существует такое лагранжево подпространство Ух С V, что V, V) = 0).

Определение. Пусть V — коммутативная унипотентная алгебра размерности 1+1 (/ 6 Р:1), такая что все операторы умножения нильпотентны. Обозначим тензор структурных констант умножения на пространстве V за с € V* 0 V* ® V. Группа .£¿¡+1 = 51/(У) действует на пространстве V, поэтому она действует и на пространстве V* ® V* ® V. Для тензора с имеется ровно две возможности.

1. С помощью действия группы вЬ^ на пространстве V* ® V* ® V тензор с можно умножить на произвольный ненулевой скаляр. В этом случае будем называть алгебру V масштабируемой.

2. С помощью действия группы тензор с можно умножить лишь на конечное число различных скаляров. В этом случае будем называть алгебру V немасштабируемой.

Теорема. Пусть I ...... простая алгебра Ли, а V некоторое её неприводимое представление. Пусть на пространстве V можно ввести ненулевое умножение, согласованное с действием алгебры I. Тогда имеются ровно две возможности:

1. I — алгебра типа Л[, и V = х) (тавтологическое представление) или V = (представление, двойственное к тавтологическому). Тогда классы эквивалентности умножений на V, согласованных с действием алгебры [, относительно действия группы Ь, параметризуются дизъюнктным объединением следующих двух множеств.

(a) Классы изоморфизма масштабируемых коммутативных ассоциативных (I + 1)-мерных алгебр с нилъпотентными операторами умножения.

(b) Классы изоморфизма пар, состоягцих из немасштабируемой коммутативной ассоциативной алгебры А с нильпотентны-ми операторами умножения и ненулевой кососимметриче-ской формы старшей степени на алгебре А. (Здесь имеется в виду, что изоморфизм между дву.мя такими парами должен сохранять как мультипликативную структуру на алгебре, так и кососимметрическую форму.)

2. I — алгебра типа С{ (I > 2), и У = У(ъз\) (тавтологическое представление). Тогда классы эквивалентности умножений на У относительно действия группы Ь параметризуются симметрическими трилинейными формами на пространстве У/У\, где Ух — некоторое фиксированное лагранжево подпространство, рассматриваемыми с точностью до действия группы, СИу/У\) мо, пространстве У/Ух.

Наконец, в пятом параграфе классифицируются все локально транзитивные (С0)т-действия на многообразии С/Р. Полученные результаты можно записать в виде следующей теоремы.

Теорема. Пусть С — связная простая алгебраическая группа, и пусть Р С О — такая параболическая подгруппа, что (С, Р) — неисключительная пара. Обозначим т = сНт{(3/Р).

Если (? — группа типа /1; и подгруппа Р с точностью до сопряжения равна Р\ или Р[, то локально транзитивные действия (С„)т : (С/Р) с точностью до С-сопряжения и с точностью до автоморфизмов группы (Са)т параметризуются коммутативными ассоциативными т-мерными алгебрами с нилъпотентными операторами умножения. Иначе, либо локально транзитивное действие (С0)т : (С/Р) ровно одно с точностью до С-сопряжения и с точностью до автоморфизмов группы (Са)т (это верно тогда и только тогда, когда унипотентный радикал группы Р коммутативен), либо локально транзитивных действий (Са)т : (С/Р) нет вообще.

Благодарности

Автор благодарен научному руководителю Сергею Локтеву, Эрнесту Винбергу и Ивану Аржанцеву за привлечение внимания к задаче, внимание к работе н полезные обсуждения. Автор также благодарен Мишелю

Бриону, Валентине Кириченко и Льву Суханову за полезное обсуждение

о группах автоморфизмов алгебраических многообразий.

Публикации по теме диссертации

[1] R. Devyatov, Generically transitive actions on multiple flag varieties, International Mathematics Research Notices, 2014:11 (2014), 2972-2989.

[2] P. А. Девятов, Действия коммутативной унипотеитиой группы на многообразиях флагов и нильпотентные умножения, УМЫ, 69:5(419) (2014), 165-166.

[3] Р. А. Девятов, Локальная транзитивность для кратных многообразий флагов, Вторая школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов". Москва, Россия, 31 января - 5 февраля 2011 г. Тезисы докладов. Издательство механико-математического факультета МГУ, Москва, 2011, 23-26.

[4| R. Devyatov, Unipotent commutative group actions on flag varieties and nilpotent multiplications, Transformation Groups, 20:1 (2015), 21-64.

Подписано в печать 06.04.2015 г. Бумага офсетная. Печать цифровая. Формат А4/2. Усл. печ. л.1. Заказ № 291. Тираж 100 экз. Типография «КОПИЦЕНТР» 119234, г. Москва, Ломоносовский пр-т, д.20 Тел. 8(495)213-88-17 \у\\г\у.аи1огеГега11 .ги