Метрические и топологические свойства однородных потоков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 од

Российская Академия Наук Математически! Институт им. В.А.Стеклова

На" правах рукописи УДК 517.987

СТАРКОВ Александр Николаевич

МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДНОРОДНЫХ ПОТОКОВ

(01.01.02 - дифференциальные уравнения)

Автореферат диссертация на соискание ученой степени доктора фжажхо-матеиатнчесхих наук

Москва - 1994

Работа выполнена в Высоковольткой Наутао-Исследовательском Центре Всероссийского Элехтротехнического Института

Официальные оппоненты: доктор физжхо-математических наук,

профессор В.В.Горбацевич доктор фкэнхо-математических наук,

профессор В.И.Оселедец доктор физико-математических наук,

профессор Е.А.Сатаев

Ведущая организация - Московсхий Государственный Университет ни. М.В.Лоиояосова.

Защита диссертации состоится " № " 1994 года в 14.00 час. на заседании специализированного совета Д.002.38.01 при Математическом Институте им. В.А.Стеклова РАН но адресу: Москва, ул. Вавилова, 42.

С диссертации можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан " п 1994 года.

Ученый секретарь

специализированного совета Д.002.38.01

дохтор физико-математических наук А.К.Гущин

Общая характеристика работы.

Под однородный потоком (G/D, F) понимается левое действие подгруппы F С G на однородном пространстве G¡D группы Ли G. Стандартная (и наиболее изученная) ситуация состоит в том, что подгруппа F является однопараме-трячесхож: F = exp(Rx) С G для некоторого элемента х 6 0, a G/D предполагается пространством конечного объема (допускает конечную G-инвариант-ную гладкую меру fi). Если подгруппа D С G г. тому же дискретна, она называется решеткой в группе Ля G,

Современная теория однородных потоков была заложена в работе Гельфан-д& и Фомина1, в которой они впервые использовали естественное унитарное представление р : G —» £2(G JD, ц) для изучения однородных потоков на пространствах конечного объема. В дальнейшем благодаря работам Грина3, Ау-слендера3, Степина4 и Мура8 был найден критерий эргодичности и вычислен спектр однородных потоков для нильпотентного, разрешимого и полупростогс случаев соответственно. В работах Дани6 и Брезина и Мура7 эти задачи были решены для потоков на так называемых допустимых однородных пространствах конечного объема. Как было независимо показано автором [в] н Витте4 любое пространство конечного объема является допустимым и, таким образом этим исследованиям была придана необходимая полнота.

Далеко не каждое однородное пространство допускает эргодическое действие однородного потока. Таким образом, естественно возникает вопрос о строе нни эргодического разложения для однородных потоков. В цикле работ авторг [1,5,9,11] было показано, что компонентами эргодического разложения Е длл

'Гельф&пд Й.М., Фокин C.B., Гаодезичесхне потоки hi многообразиях постоянной отрн дательной крлвнзвы, Успей илт. ялух, 19S2, т. 7, N 1, с. 118 - 137

J Green L., Spectra of nilflows, Bull. Amer. Math. Soc., 1961, v. 67, H 4, p. 414 - 416.

'Ausländer L., An exposition of the structure of «olvraanifolds, Bail. Amer. Math. Soc., 1973 v. 79, N2, p. 227 - 285

* Стегав A.M., Динамические системы на. однородны! пространствах полупростых груш Ля, Из». АН СССР, Сер. мат., 1973, т. 37. N 5, с. 1091 - 1107

"Moore С.С., Ergodicity of flows on. homogeneous spaces, Amer. J. Math., 1966, 7. S3, N 1 p. 154 - 173

®Dani S.G., Spectrum of an affine transformation, Duke Math. J., 1977, т. 44, N 1, p. 125 165

TBrezin J., Moore O.C., Plow« on homogeneous spaces: a new look, Amer. J. Math., 1931, i 103, H 3, p. 571 - S13

'Witts D., Zero-entropy affine maps on homogeneous spaces, Amer. J. Math, 1937, r. 109,1 5, p. 937 - 961

потока (<7/2?, ехр(Кг)) служат некоторые замкнутые инвариантные нодмногс образня Ед(х), причем на каждом из ж юс существует конечная гладкая эргод! ческая мера ц3. Таким образок, научение неэргодичесхого однородного поток на пространстве конечного объема сводится к изучению семейства гладких эр годнческгос потоков. Эргодические подмногообразия Ея(х) не обязаны быт однородными подпространствами в й/й и априори при такой редукции М1 теряем однородную структуру потока. Удается, однако, доказать, что кажды поток (Я,(аг),ехр(Ка;)) конечнолнстно накрывается некоторым эргодическт потоком на факторпространстве группы Ли по решетке! Тахим образом, ка с метрической, так и с топологической точки зрении изучение потоков на од нородных пространствах конечного объема сводится к ситуации, когда пото: (<7/Г,ехр(Каг)) эргодичен, а Г является решеткой в группе Ли О.

Как известно, основной прогресс в теории динамических систем в 50-х : 60-х годах был связан с созданием энтропийной теории в работах Колмогоро ва, Синая и Рохлина, а также с изучением различных типов гиперболическо го поведения гладких динамических систем, а именно: аносовских, частично гиперболических потоков и диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме 1 Смейла. В теории однородных потоков эти два направления сливаются во едино, так хах положительную энтропию нмеют в точности частично-гкпербо лические однородные потоки. Это вытекает, в частности, из точной форму лы Боуэна-Данн® для энтропии потока на однородном пространстве конеч ного объема. Если О - решетка в группе Ли О, то частичная гиперболич ность потока (<7/2?, ехр(Ка;)) равносильна тому, что оператор;«^ на алгебр< Ли д имеет хотя бы одно собственное значение А с ненулевой вещественно] частью. Для такого потока сжимающееся слоение на <?/Р образовано ор битами так называемой сжимающейся орисфсричеекой подгруппы <?"*+» = {дев: ехр(<з:)<7 ехр(——» 1, * -* +оо}, а расширяющееся - подгруп пой <7* = GZIB С (7. Напротив, тривиальность энтропии равносильна тому что подгруппа ехр(Кж) с (7 квазиунипотснтна, т.е. все собственные значение оператора аЛя чисто мнимые.

Эти понятия хорошо иллюстрируются на примере геодезического и ори-циклического потоков на поверхности постоянной отрицательной кривизны I конечной площади. Как известно (все ссылки можно найти в обзоре [14]) они являются однородными потоками на однородном пространстве вида (7/Г где Г - решетка в группе б = 51,(2, К), ж индуцированы соответствевнс

!(«* М Iх Л ¿с«Лг

унипотентнож подгруппами ■< I ^ е~* ) ' I 0 1/1

диагональной и;

j(2, R). Орбиты орициклического потоха образуют расширяющееся слоение :я геодезического потока. Хорошо известно, -что геодезический поток, буду-[ аносовскнм, обладает К-свойством и, более того, является бернуллиевским >рнстейн-Вейсс). Орнцихляческин поток перемешивает (Хедлунд) и имеет 'левую энтропию (Гуревжч). Если пространство G/Г компактно, то он митгк-игея (Хедлунд) и строго эргодичен (Фюрстенберг). В некомпактном случае зоне плотных орбит есть только периодические (Хедлунд), а любая конеч-1Я эргодическая мера, исключая G-ннварнантную, сосредоточена на перио-геесхой орбите (Дани). Напротив, у геодезического потока, хроме плотных периодических орбит есть и такие, замыкание которых локально устроено ut произведение канторовсхого множества на интервал (их открытие есте-гвенно связывать с именем Морса. В налги дни их существование следует » существования тралсверсальных гомоклинических точек для 'систем Аносо-i). Геодезический поток имеет континуум нетривиальных эргодических мер, >едя которых можно отметить сингулярные меры, положительные на всех гкрытых множествах (Синай).

Оридиклический поток является частным случаем унилотентных однород-ых потоков. Наибольшее внимание в 80-х годах в теории однородных потоков ыло привлечено к доказательству двух гипотез Рагунатана9. Первая (тополо-1ческая) гипотеза утверждает, что замыкание любой орбиты уннпотентного отока (G/X), U) на однородном пространстве конечного объема само является инородным подпространством конечного объема. Вторая (метрическая) гипо-еза состоит в том, что любая конечная эргодкческая мера для произвольного нипотентного потока также имеет алгебраическое происхождение, а именно вляется конечной /i-хнваркантной мерой, сосредоточенной на некоторой загнутой орбите HgD с G/D для подходящей подгруппы H С G. Для случая ильпотентнон группы Ли G справедливость гипотез Рагунатана вытекает из тарых работ Перри10 и Фюрстенберга11. Обе гипотезы для унилотентных по-охов на произвольных разрешимых пространствах была независимо доказаны работах автора [8] и МРатнер13. Кроме того, первая гипотеза была доказа-

®Dani S.Q., Invariant measures uid minimal set« of hotospherleal So-ori, Infant. Math., 1931,

. 64, N 2, p. 357-385

'"Parry W., Btgodic propartie« of affine tram form at ion» and flow« on mlm&rufolds, Amer. J. iath., 1969, v. 91, N 3, p. 751-777

"Puntenberg H., Strict ergodieity and transformations of the torus, Amer. J. Math., 1961, v. ,3, p. 573-601

l3Ratner M., Strict measure rigidity for unipotent lubgroups of lolvable group«, Invent. Math.,

на для орисферических л од групп (У = С* для некоторого х б в). А имени Дани13 доказал гипотезу Рагунатана для орисфернческнх потоков на полупр< стых однородных пространствах конечного обьема, Автором [13] эта гипот за была установлена для орисферических потоков на компактных однороднь пространствах (в частности, разрешимых пространствах конечного обьема Более того, в этом случае удалось в явном виде найти замыкание произвольнс орбиты й+дОу усилив, таким образом, теорему Боуэна14 и Эллиса-Перризо о минимальности эргодическнх орисферических потоков на компактных одн родных пространствах.

Значительный интерес к доказательству гипотез Рагунатана был обусл влен в основном возможными применениями к теории чисел. В частном случа

Г/1 * <3/2\ 1

когда в = К), Ю = БЬ(3, Ъ)ъ1Т = < I 0 1 * , * € К > из дохаэ

1\° 0 1 / ).

тельства топологической гипотезы вытекает справедливость старой гипотез

ОппенгеймагДавешторта в теории чисел (трудность здесь заключается в неор; сферичности подгруппы 1Г С С). Этот важный случай гипотезы Рагуната! был полностью разобран Маргулисом14.

В общем виде обе гипотезы были доказаны в работах М. Ратнер17 и18, 41 явилось наиболее ярким достижением в данной области за последнее врем С помощью этих результатов удалось решить многие интересные проблемы теории однородных потоков и теории чисел.

Вопрос о структуре замыканий орбит однородных потоков возникает, в час ности, при попытке интегрирования некоторых гамильтоновых систем (см. и30). Как вытекает из теоремы об эргсднчесжом разложении, замыкание типи

1990, v. 101, р. 449-432

uDani S.O., Orbit» of horoepherical flow«, Duke J. Math-, 1986, v. 53, N 1, p. 177-18«

14Bowen R., Weak mixing and unique eigodicity on homogeneous »pace*, Ut. J. Math., 191 v. 23, N 3, p. 267-273

15 Blli» A., Peiriso W., Unique ergodicity of flow» on homogeneoui »pace*, I»r. J. Math., 19'

v. 29, N 2, p. 276-284

"Margili» G.A, Forma» quadratique» indéfinie» et flot* unipotent* »ur le* e»pace» homogen

C.R. Ac&d. Sei. Pari», 1987, v. 304, N 10, p. 249-253

1TRatnerM., R&ghun&thui'» topological conjecture and dütribution* of unipotent flow», Du

Math. J., 1991, v. 63, p. 236-260

'•Ratner M., On Raghunathan'» meaiure conjecture, Ann. Math., 1991, v. 134, p. 646-607

"Мищенко A.C., Фоиенхо A.T., Обобщенный иетод Лвувияд* ввтегряроаавях гаvbj

Т0И0ВЫ1 CHÇIÇH} 9уВЯЦ; ЛВШ!) 157§i Т» 12, H 2f С.

^Kôïàôa S.S., Колесников H.H., 06 интегрировании гамильтоновых систем, Вести. МГ

¡"урбятч* одлсгродпога поток» совпадает с соответствующим, эргодическим подмногообразием. С другой стороны, геодезический поток обладает орбитами с локально несвязным з&мыканжем. В работе [12] автором была доказана гипотеза о том, что критерием падкости замыкания всех орбит однородного потока (С/1), ехр(Кас)) на факторпространстве группы Ли С? по решетке 2? С С? является квазиуннпотентность подгруппы ехр(Наг) С <7. Гладкость замыканий орбит кваэиунипотентных потоков выводится из алгебраичности замыкании орбит унипотентных потоков. Наоборот, частично-гиперболический поток всегда обладает локально-замхнутыми, но не замкнутыми орбитами; очевидно, что их замыхания не являются подмногообразиями.

Кроме того, с помощью нетривиального обобщения топологической теоремы Ратнер удаетса доказать н гладкость замыканий тех орбит частично-гиперболического потока, которые возвращаются к исходной точке "внутри нейтрального слоя". Этот результат в свою очередь позволяет дать классификацию минимальных множеств однородных потоков. Оказывается, что любое компактное минимальное множество однородного потока является либо гладким подмногообразием, либо локально несвязно в каждой своей точке. Интересно, что в классе гладких потоков существуют минимальные множества, локально связные в одних точках и локально несвязные в других21 Одновременно было доказано, что минимальность и строгая эргодичность для потоков на пространствах конечного объема эквивалентны.

Хорошо известна старая проблема Рохлина о хратном перемешивании: влечет лн однократное перемешивание динамической системы многократное? Для геодезического потока эта проблема весьма тривиальна, так как он является К-потоком. Синай высказал гипотезу о том, что и орициклический поток обладает перемешиванием любой кратности. Она была доказана Маркусом23. В свою очередь Маркус высхаэал гипотезу о том, что проблема Рохлина имеет положительное решение д&я произвольного однородного потока на пространстве конечного объема (см, также25). Нетрудно свести эту задачу к унннотент-ным однородным потокам. Для них проблема Рохлина решается с помощью

Сар. мат., 1979. К в, с. 88-91.

11 Johnson Я., On almost periodic linear differential systems of Millionihchiltov and Vinograd, J. of Math. Anal., 1983, 7. 85, p. 452-461

"Marcus В., The horocycie flow it mixing of all degree», Invent. Math., 19T8, v. 46, N 3, p. 201-209

33 M&rgiilii G.A., Dynamical and ergodic properties oi subgroups actions on homogeneous spaces with application* to number theory, Proc. of the ICM-9D, Kyoto, Japan, p. 193-215

метрической теоремы Ратвер, что доказывает тем самым гипотезу Маркуса.

Теория однородных потоков на произвольных однородных пространства развита в гораздо меньшей степени, чем в случае конечного объема. Из извест ных результатов можно упомянуть альтернативу Хопфа34 "дкссипатквность эргодичность" для геодезического потока, а также результаты Сулливана2! Ннкколса20 и Бергера37 о поведении орицихлического штока на поверхност постоянной отрицательной кривизны и бесконечной площади. Наиболее ест< ствеяным первым шагом при изучении произвольных однородных потоков я! ляется редукция к ситуация, когда подгруппа D С G дискретна. Этот случа имеет множество важных преимуществ: простота локального устройства о) нородного пространства, существование G-полуннварнантной гладкой мерь постоянство размерностей оржсферичесхнх орбит и т.д. Такая редукция 6i ла проведена в работе автора [10]. Кроме того, для разрешимых адноро. ных потоков оказалось возможным доказать альтернативу "диссицативносп консервативность" и построить эргодическое разложение, полностью сведя т< самым ситуацих> к случаю конечного объема [8].

Общая методика работы. Методы, применяемые в диссертации, иоян классифицировать как методы теории алгебраических групп в применении теории однородных пространств и однородных потоков. В качестве вспомог тельных инструментов используются теория унитарных представлений rpyi Ли, теория гладких динамических систем и эргодическая теория.

Научная новизна. Основные результаты можно сформулировать следу; щям образом.

1. Доказан ряд новых теорем о структуре однородных пространств кон« но го объема.

2. Дальнейшее развитие получила конструкция полупростого расщеплен (расщепления Мальцева) для односвязных групп Ли.

3. Критериям эргодичности и перемешивания однопараметрических по:

а,Хопф Э., Статистика гводезичеогах яявяя на многообразиях отрицательной хрявяэ Успеха ил.-!, наук, 1949, т. 4, N 1, с. 129-170

55 Suffivan D., On the ergodic theory at infinity oi an arbitrary diicrete group of hyperb motion*, Ann. Math. Stud., Princeton, N.J.: Princeton Univ. Pre««, 19S1, v. 97, p. 465-496

JiNicholli P.J., TKe ergodic theory of dùcrete group*, London Math. Soc. L.ect. No Cambridge, 19S9, v. 143, 214 p.

"Burger M., Horocycle Sow on geometrically finite «urface», Duke Math. J., 1990, v. 61 778-803

еорема 2.3.1. Пусть в/Г имеет конечных обьеи и дГ 6 СУ/Г. Предположи, что найдутся последовательность ¿п -* со и компакт X С ф такие, что б Тогда заиыканяе М3 = ехр(Кг)^Г является гладким лгод-

ногообрязиеи в б/Г и поток (М,, ехр(Кг)) коипактпо накрывается некоторый огодя чески и уннпотентныи потоком на однородной пространстве конечного 5ьема.

Теорема 2.3.1 выводится из следующего нетривиального обобщения тополо-пеской теоремы Ратнер:

еорема 2.3.5. Пусть все собственные значения оператора чисто веще-твенны. Предподожии, что найдутся последовательность —» оо к коипакт С <2 такие, что ехр£ К^Г. Тогда найдется подгруппа ? С б, м которой ехр(Кл)дГ = Р^Г * заикнутая орбита РдГ ииеет конечную [гваркаятную меру.

Заметим, что эта теорема действительно усиливает теорему Ратнер (в клас-: однопараметрических унипотеятных потоков), поскольку по известной лем-в Маргулнса уяялотентная траектория на пространстве конечного обьема не эжет уходить на бесконечность. Для случая арифметической решетки Г С С жаэательство получается применением стандартной техники рациональных ггебраических групп. Общий случай сводится к арифметическому многоша->вой редукцией. Как следствие теоремы 2.3.1 (и метрической теоремы Рат-;р) выводится эквивалентность минимальности и строгой эргодичности для шородных потоков.

Изучение минимальных множеств однородных потоков с помощью теоремы 3.1 проводится в §4. Вначале вводится понятие бирскуррмтного множе-пва (это - инвариантное замкнутое множество, внутри которого все полу->бнты являются рекуррентными). Ясго, что любое компактное минималь->е множество является топологически транзитивным бирекуррентным мно-еством. Приводится пример эргодического унипотентного потока на комитетом однородном пространстве, хоторый не является строго эргодичным •ем самым строится пример топологически транзитивного компактного бнре-френтного множества, не являющегося минимальным). Доказывается следу-щи! результат о строении бирекуррентных множеств для гладких частично-гперболичесхих потоков.

емма 2.4.3. Яусть (Х,д&) - гладкий частично-гиперболический поток на ногообразии X с бярекуррентныи иножествои М С X. Тогда для любой

достаточно и&лоя окрестности 0(х) с X точки х е М связны компонент, пересечения М Л 0(х) лежит внутри нейтрального слоя точки х € X.

Как следствие леммы 2.4.3 и теоремы 2.3.1 выводится, что любое тоиол< гически транзитивное бирехуррентное множество однородного потока на пр< странстве конечного объема либо локально несвязно в каждой своей точке, либ является гладким подмногообразием М с <?/£) таким, что потох (М,ехр(Каг компактно накрывается некоторым эргодическим ункпотентным потоком.

В §5 доказывается гипотеза Маркуса о том, что перемешивающий одноро; ныи поток на пространстве конечного объема обладает перемешиванием любо кратности. Вначале задача сводится к унипотентным потокам. Сочетание те; ники джойнингов с критерием перемешивания Дани и метрической теореме Ратнер позволяет доказать гипотезу Маркуса.

Наконец, третья глава посвящена исследованию потоков на произвольны однородных пространствах 6/1). Показывается, что с точностью до локальв замкнутых орбит изучение потоков может быть сведено к случаю дискретно подгруппы В С

Лемма 3.1.Пусть дБ € (7/2?. Тогда возможны два. варианта:

1) орбита ехр(Кх)дО С О/И локально замкнута и непериоднчна,

2) найдутся инвариантное подмногообразие Ря(х) С <*/Д дБ б копечнолястное накрытие потока (Р,(г), ехр(Каг)) потоком (Р,/Г„ехр(Ку^ на однородном пространстве с дискретной подгруппой изотропии Г? с

Лемма 3.1.4. Возможны два варианта:

1) поток (С/С,ехр(Кг)) диссхпат'ивен относительно любой гладкой меры,

2) пространство (?/£> разбивается яа такие инвариантные подмногообрь зня Рг(х), что каждый поток (Р,(г), ехр(Кг)) компактно накрывается потоке (Р/Г, ехр(Ку)д) на одном х том же однородном пространстве с дискретно подгруппой изотропии. Для почти всех д 6 б это накрытые конечнолистно.

Как следствие выводится, ч*го топологически транзитивный потох на одн< родном пространстве размерности > 1 конечнолистно накрывается одноро; ным потоком на пространстве с дискретной подгруппой изотропии. В частя« стк, орисферические слои такого потока имеют постоянную размерность.

Для разрешимых потоков оказывается возможной полная редукция к с лучах когда поток (<3/1), ехр(Кх)) эргодичен и является решетхой в группе Л <?. Доказательство основано на применении аппарата алгебраических групп

вяожеию 0 с А(6,).

Хб

Георема 3.2.1. Если подмногообразие exp(Rx)F„D С G/D компактно, то поток (<?/£>, exp(Ra;)) консервативен относительно любой гладкой меры на G/D.

3 противном случае лоток диссип&тивен.

Георема 3.2.2. Если разрешимы* потоп (G/D, ехр(Кг)) диссялативен, то множество X с G/I7 всех его орбит, яе уходящих на бесконечность в обоях чаправлениях, замкнуто я разбивается на компактные инвариантные лодмно-побразях Ея(х) = exp{Kz)Ua%ogD С G/D, где U9)d С Um. Каждый лоток Eg(x), exp(Rx))t gD 6 К, ханечнолнстно накрывается некоторый эр годи че-:ким однородный вотоком да компактном разрешимом многообразии. Если }D jf К, то орбита exp(Ka;)ji? локально замкнута я уходят на бесконечность ютя бы в одном направления.

Георема 3.2.3. Веди разрешимый поток (GfD, exp(Rz)) консервативен, то ияожества Ед(х) = exp(R®^i/B^Z? я Е3(х) = exp(Ks)FagD являются гладкими юдияогообразяяии в GfD с гладкой exp(Rar)- инвариантной мерой. Разбиения Е я Е образуют эргодическое разложение для вашего потока относительно некоторой ехр(Кг)- инвариантной конечной гладкой меры ла G/D. Если D яе юдержит нетривиальных связных нормальных подгрупп в G, то критерием гладкости замыканий всех орбит потока является квазиуняпотеятность под-группы exp(R®) С G. Если подгруппа ехр(Ка?) унипотентна, то замыкание наядой орбиты является компактным однородным подпространством в GfD.

Георема 3.2.4. Если разрешимый поток (G/Z),ехр(Кгг)) консервативен и группа G одяоевяэна, то найдутся гор Т С Aut(G) я связные подгруппы !хр(Ку) С Н CT-G такие, что Н/ D П Н- компакт, подгруппа Do нормальна в

4 и для всех g 6 G имеется компактное накрытие потоков [H/D П H,exp(RAdg-ty)) -» (Е,(я),ехр(Кг)). Для почти всех g 6 G это накрытие кояечнолистно.

Автор выражает глубокую благодарность профессору А.С.Мищенко за по-ггановку задачи, приведшей к систематическому изучению однородных потоков. Автор признателен академику РАН Д.В.Аносову, а также профессорам Э.Б.Винбергу, С.Г.Дани, Г.А.Маргулису, М.А.Ратнер и А.М.Степину за многочисленные полезные консультации по эргодической теории и группам Ли.

Работа была поддержана грантами Международного Научного Фонда Дж. Сороса и Американского Математического Общества (iSU aid grant).

Слисок публикаций автора по теме диссертации.

1. Эргоднческое поведение потоков на однородных пространствах, Д СССР, 1983, т. 273, N 3, с. 538-540.

2. Контрпример к одной теореме о решетках в группах Ли. Вестник M 1984, N 5, с. 68-69.

3. Потоки на компактных разрешимых многообразиях, Матем. сбор! 1984, т. 123, N 4, с. 549-556.

4. Структура орбит некоторых однородных потоков, Труды Семин, по ман. и Тенз. Анал., 1985, N 22, с. 148-101.

5. Неэргодичесхие однородные потоки. ДАН СССР, 1986, т. 288, N 3 560-562.

6. О пространствах конечного объема, Вестник МГУ, 1986, N 5, с. 64-66

7. О критерии эргодичности G-нндудироваиных потоков, Успехи мат. кг 1987, т. 42, N 3, с. 197-198.

8. Разрешимые однородные потоки, Матем. сборник, 1987,т. 134, N 2 242-259.

9. Эргодичесхое разложение для однородных потоков, Изв. АН СССР 51, N 6, с. 1191-1213.

10. Редукция теории однородных потоков к случаю дискретной подгруя изотропии, ДАН СССР, 1988, т. 301, N 6, с. 1328-1331.

И. Эргодичесхое разложение потоков на однородных пространствах кон кото объема, Матем. сборник, 1989, т. 180, N 12, с. 1014-1633.

12. Структура орбит однородных потоков к гипотеза Рагунатана, Уст мат. наук, 1990, 46, N2, с.219-220.

13. Оржсферкческке потоки на пространствах конечного объема, Мат сборних, 1091, 182, N5, с.774-784.

14. (с А.М.Степиным и А.В.Сафоновым) Динамические системы с тран тивной группой симметрии, Итоги науки.и техники, 1991, ВИНИТИ, т. 66 187-243.

15. О кратном перемешивании однородных потоков, Докл. РАН, 1993, 333, N 4, с. 28-31.

Гир^ЪС ЮО