Метод амальгам в геометрической теории конечных простых групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512.542

ШПЕКТОРОВ Сергей Викторович

МЕТОД АМАЛЬГАМ В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ ПРОСТЫХ ГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва —1990

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механика-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель - член-корреспондент АН СССР, профессор А.И.Кострикин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент Н.А.Вавилов; кандидат физико-математических наук С.В.Царанов

Ведущая организация - Киевский государственный университет им. Т.Г.Шевченко

Защита диссертации состоится " /Л /г 199 дт.

в час. ^ мин. на заседании специализированного Совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119399, Москва, Ленинские горы, МГУ, мехашжо-математичесгсий факультет, аудитория 1408.

Автореферат разослан "¿Ь " //_ 199_А\

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ - главное здание, 14 этаж.

Учошй секретарь специализированного Совета Д.05.3.05.05 при МГУ

доктор физико-математических наук В.Н.Чубариков

ï.i.-r r{."

i-, ; - 1 -¡

. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Понятие диаграммной геометрии было введено Ж.Титсом в серии 1 ?

статей поовященной геометрической теории групп Шевалле. Новый всплеск интереса к понятию диаграммной геометрии возник по завершении программа классификации конечных неаОелевых простых групп,, показавшей, что, помимо серийных групп, то есть групп Шевалле и знакопеременных групп, существует только конечное число исключительных, так называемых спорадических, групп. Ф.Бюкенаут^ предложил расширить клаоо диаграмм Титоа и но этой осноеэ построить единую геометрическую теорию для всох конечных простых групп. Такая теория должна обеспечивать как естественное и простое описание групп и геометрий, так и возможность характеризации их в терминах соответствующих диаграмм.

Однако конкретное расширение класса диаграмм, предложенное Ф.Бюкенаутом, едва ли можно признать удачным. В составленном гол

А

каталоге геометрий4' заметно большое разнообразно используемых

1 J.Tlts, Geometries poliédrlques et groupes simples, Atti 2a Rlmlone Groupem. Math. Express. Let Flrense, 1961, 66-88

2 J.Tlts, Groupes algébriques semi-simple et geometries, In "Proc. Coll. Alg. Top. Pound. Geom. Utrecht, 1959", Oxford Univ. Press, New York, London, 1962, 175-192

■s

J T. Buekenhout, Diagrams for geometries and groups, J. Comb. Theory, Ser. A, 1985, 27, 121-151

* F.Buekenhout, Diagram geometries for sporadic groupa, Contomp. Math., 1985, 45, 1-32

- г -

реОор, что ставит под сомнение возможность построения сколько-нибудь единой теории таких различных геометрий.

с с

А.А.Ивановим и автором ' был построен ряд геометрий о

диаграммами, в которых присутствует только одно ноЕое ребро, а у

именно геометрия --- вершин и ребер графа Петерсена. Такое

экономное расширение класса диаграмм Титса позволяет рассчитывать на возможность характеризации построенных геометрий в терминах их диаграмм. Наиболее интересными из построенных геометрий являются так называемые Р-геометрии, то есть геометрии с диаграммами вида

Р _

•---- ... --

Все построенные Р-геометрии связаны со спорадическими простыми группами, начиная от сравнительно небольшой группы Матьо М22 и кончая так называемым Бэби Монстром - группой Фишера Р2, имеющей астрономический порядок.

Цель настоящей работы состоит в получении характеризациоиных теорем для построенных Р-геометрий в классе геометрий, обладающих флаг-транзитивными группами автоморфизмов. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и разработанные в ной методы могут найти применение при построении геометрической

^ A.A.Ivanov, S.V.Shpeotorov, Geometries for sporadic groups related to the Petersen graph. I, Commun. Algebra, 1988, 16,

925-954

6 A.A.Ivanov, S.V.Shpeotorov, Coometries for sporadic groups related to the Petersen graph. II, Europ. J. ComD., 1989, 10, 347-361

теории конечных простых групп, а также в начатой е последние года программе ревизии классификации простых групп.

Диссертационная"работа изложена на 116 страницах и состоит из введения, четырех глав и заключения. Список литературы включает 26 наименований.

Основные результаты диссертации следующие:

1) предложен метод классификации флаг-транзитивных геометрий, основанный на классификации связанных с ними амальгам максимальных параболических подгрупп;

2) в рамках метода амальгам разработан метод определения нормального строения членов амальгам, основанный на понятии представления геометрии;

3) с помощью разработанных методов классифицированы все амальгамы, возникающие из флаг-транзитивных действий на Р-геометриях ранга 3 и 4;

4) в случае ранга 3 определены универсальные замыкания всех найденных амальгам; как следствие этого получен полный список флаг-транзитивных Р-геометрий ранга 3.

Результаты диссертации докладывались на XIX Всесоюзной алгебраической конференции, на Всесоюзной школе по теории групп (Ярославль, 1988), на международной алгебраической конференции памяти А.И.Мальцева, на семинаре по алгебраической комбинаторике ВНИИСИ АН СССР. По теме■ диссертации автором опубликованы 3 работы, перечень которых приведен в конце реферата.

- 4 -СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность изучения Р-геомотрий и, в частности, задачи' характеризации известных Р-геомотрий. Сформулированы цели исследования и его результаты, приведено описание структуры диссертации.

Первая глава диссертации имеет вспомогательный характер. Раздел 1.1 содержит все основные определения, относящиеся к предмету исследования. Сюда относятся определения геометрии, диаграммы, флаг-транзитивного действия группы на геометрии, амальгамы. Вводятся в рассмотрение амальгамы максимальных параболических подгрупп, связанные с флаг-транзитивными действиями групп на геометриях. Приводятся используомые обозначения из теории конечных групп и групп подстановок.

Раздел 1.2 начинается со вспомогательных результатов, касающихся элементарных свойств геометрий, разложимости их в прямое произведение подгеометрий, восстановления геометрии по флаг-транзитивной группе автоморфизмов и связанной с ней амальгаме. Вторая тема раздела - модули для малых простых групп Ь3(2) и над полем из двух элементов. Приводится список неприьодимых представлений этих групп. Для каждого нетривиального ноприводимого модуля описываются все нерасщепимые расширения этого мода ля при помощи тривиальных модулей, что также эквивалентно описанию классов дополнений в полупрямом произведении группы на модуль. Попутно получаются два вспомогательных результата. Во-порвых, покапывается, что в раощепимом раоширонии 2 .1^(2) любая подомальгама, изоморфная амальгаме £=(Б,,3.) максимальных

параболических подгрупп из группн Ьэ(2), порождает подгруппу, изоморфную 1^(2). Во-вторых, определяется группа автоморфизмов расщепимого расширения группы А^ при помощи ее остостмшгого

модуля.■ Наконец, описываются все нерасщепимые расширения 1^(2) и при помощи их неприводимых модулей над полем из двух элементов.

В разделе 1.3 кратко описываются известные примеры Р-геомотрий. В разделе 1.4 в терминах геометрий, удовлетворяющих дополнительным условиям, определяются некоторые естественные представления для их групп автоморфизмов. А именно, пусть для некоторой геометрии б и некоторого ее типа 1 соответствующий индекс существует и равен 2. Это означает, что остаток любого флага котипа 1 состоит из трех элементов. Зададим пространство V над вР(2) при помощи образующих и соотношений. А тленно, в кзчостеэ образующих V возьмем все элементы б типа 1. В качестве соотношений возьмем все соотношения вида а+р+7=0, где (а,[3,7} -остаток Флага котипа 1. Каждому элементу геометрии отвечает попространство в V, порожденное элементами типа 1 из остатка этого элемента. Таким образом, если пространство V нетривиально, то мы получаем представление С, причем это продставлешю обладает свойством универсальности среда всех представлений соответствующего типа. Очевидно тэюко, что пространство V образует модуль для группы, действующей на б- В разделе 1.4 формулируются и частично доказываются результаты о таких представлениях, связанных с гоок'.этрилми проективных пространств под полом из двух эломентов, а тагам о известными Р-гвсмотриями ранга 2,и 3.

Глава 2 посвящена анализу главных факторов членов амальгамы, связанной о фдаг-траизнтивной группой автоморфизмов некоторой

- б -

Р-геометрии. Рассуждения в разделе 2.1 ведутся в терминах специального графа Г, связанного с Р-геометрией. Вершины и ребра этого графа суть элементы Р-геометрии типа 0 и 1 соответственно (в диаграмме на странице 2 это два крайних слева типа). Граф Г является 2-транзитивным графом обхвата 5 с подсоставляющей Ьр(2), где г - это ранг геометрии. Рассматривается подгруппа Н, фиксирующая некоторую вершину V графа Г. По своему определению Н является членом амальгамы максимальных параболических подгрупп. В терминах действия Н на слоях графа Г, задаваемых расстоянием до у, определяется нисходящий ряд нормальных факторов Н. Один из этих факторов является подсоставляющей Ьг(2), остальные являются модулями для 1^(2). Рассмотрим следующее условие

(*) длина построенного нормального ряда не превышает г; если она равна г, то последний фактор ряда одномерен.

(В диссертации символом (») обозначается несколько иное условие, связанное, тем не менее, с только что введенным.) Все результаты в разделе 2.1 получены цри дополнительном предположении, что некоторые остаточные Р-геометрии геометрии 5 или даже все ее остаточные Р-геометрии вместе с индуцируемыми на них группами удовлетворяют условию (*). Это предположение не является каким-либо дополнительным ограничением. Для геометрий ранга 3 оно является тривиальным. Поскольку далее в диссертации показывается, что все флаг-транзитивные Р-геометрии ранга 3 исчерпываются двумя известными примерами, а для них условие (*) выполнено, то и в случае ранга 4 это условие выполнено всегда. Болео того, результатами раздела 2.1 можно пользоваться и при рассмотрении Р-геометрий больших рангов. Ниже приводится дерево

всех известных флаг-транзитивных Р-геометрий. В этом дереве на

б(М23)

6(1*22) / ^ С(?2)

5(3.М22)

5(Со2)

Рис. 1

пути от некоторой Р-геометрии к корню - геометрии графа Петерсена лежат все ее остатки, являющиеся Р-геометриями. Все нетерминальные вершины этого дерева удовлетворяют условию (*). Таким образом, результатами раздела 2.1 можно воспользоваться для характеризации всех известных примеров Р-геометрий.

Теперь о существе результатов раздела 2.1. При указанных выше дополнительных предположениях, с помомощью результатов из раздела 1.4 и элементарных комбинаторных рассуждений удается ограничить число факторов рассматриваемого ряда подгруппы Н и отождествить эти факторы как модули для Ь^(2). Результаты раздела 2.1 суммируются в утверждении 2.1.9, определяющем с точностью до небольшого числа вариантов ряд> главных факторов Н.

Раздел 2.2 содержит результаты, описывающие некоторые факторы остальных членов амальгамы. Пусть х - элемент 5 некоторого типа 1^0 иМ-' фиксатор х. Действие Р группы М на остатке гез(х) известно по индукции. Пусть «0 - фиксатор в М всех элементов из геэ(х). Обозначим через Е действие М0 на множестве элементов у 'типа 1, таких что х и у содержатся вместе в остатке, некоторого

флага котила I. Удается показать, что Е является СР (2)-моду лом для Г, причем существует представление геометрии геа(х) в Е*. Иоходя ' из этого соображения, с помощью результатов из раздела 1.4 удается ограничить строение Р-модуля Е для случая Р-геометрий ранга 3 и 4.

В разделах 2.3 и 2.4 для случая Р-геометрий рангов 3 и 4 соответственно уточняется утверждение 2.1.9 и показывается, что структура главных факторов членов амальгамы в этих случаях должна быть такой же, как в одном из известных примеров. -Рассуждения в этих разделах проводятся по следующей схеме. Пораллолыю рассматриваются два члена амальгамы - фиксаторы шщвдоитшх элементов типов О и г-1. Структуры этих подгрупп взаимосогласованы через их пересечение. Используя результаты раздела 2.2 и переходя от одной из подгрупп к другой I, обратно, удается отбросить все лишние варианты из утверждения 2.1.9. Результата разделов 2.3 и 2.4 суммированы соответственно в утверздэииях 2.3.4 и 2.4.2, где дается исчерпывающая информация о нормальном строении двух членов амальгамы в каждом из возникавдих случаев. Точнее формулировки этих утверждений, как и утверждения 2.1.9, слишком техничны, и мы не будем их йриводить.

Глава 3 посвящена классификации флаг-транзитишшх Р-геометрий ранга 3. Глава состоит из двух разделов. В раздела 3.1 визльгаиз, связанная с произвольной флаг-транзитивной Р-гешэтркой ранга 3, отождествляется с одной из амальгам из известных пр:а«ров. При этом используется следующий прием. В слуто ранга 3 в главе 2 были выделены два варианта нормального строения чяэшзв амальгамы. Один из этих вариантов отвечает действию на группы М)0, а второй - действию на той же геометрии группа

Аи1;(М22). Амальгама, отвечающая первому дШттш, т<ЛЩи№1Ш во вторую амальгаму в качестве подзмвльгвмн "¡ШДтва I". Йа 8ВДМ наблюдении основывается идея и в общем елуч§§ Р=геем§трий ранга § свести один из вариантов строения амальгама К другему. ЭТОТ ИМИ удается успешно реализовать. А именно, 8 йМЗЛЬГШЭ "ТИЛЯ ЛШ(М^)Н отстраивается подамальгама "типа и ШК88ЙВ88ТОЯ. 'Ш

универсальное замыкание этой подамальгемя бб№ ШДГруппв ИВДЖ89 2 в универсальном замыкании всей амальгам» "типа )",

¿б

Изоморфность двух произвольных амальгам "тгдад Н^" увТМПВЖВМТвй непосредственно, то есть путем построения вв9¥В§?б?8УЩ®Р0 изоморфизма. Предварительно устанавливается твчш§ Грушевое строение двух членов амальгамы. Итоговое утверждение раддадз = сформулированная ео введении теорема 3 - констатирует, ц?@ амальгама максимальных параболических подгрупп, связанная § произвольной Р-геометрией ранга 3 и действующей на ней группой, изоморфна одной из двух известных амальгам, реализующихся в действии групп М22 и АШ (М£2) на геометрии ) -

В разделе 3.2 определяются универсальные замыкания известных амальгам, что и приводит к полной классификации флаг-транзитивных ?~г®шетрий ранга 3. Здесь применяется следующий подход. С использованием элементарных комбинаторных рассуждений исследуются параметра грефэ Г, связанного с 5. В итоге удается получить достаточно хоре&ую верхнюю оценку для числа вершин Г. Сравнивая эту ецегжу е тзят я&риж грофэ, евязжюго с 5(3-м22), получим, что посятш гпш-щж т ктт е^етвешшх накрытий, т?ъ зсмшдаия известгка ташт е&тшт е груша® З'й,2 я .3 'А^ Ш22 ) СООТВОТСТвНЯГв. ЭЯЭИ ДЖ!38ТШ&ГР9

4 из введения к диссертации. Теоремы 3 и 4 в совокупности 'эквивалентны теореме 1, утверждающей, что любая флаг-транзитивная Р-геометрия ранга 3 изоморфна одной из двух известных геометрий б(М22) и £(3 .М22).

Глава 4 посвящена существенно более сложному случаю - случаю Р-геометрий ранга 4. Утверждение 2.4.2 выделяет в этом случав три поделучая, отвечающие известным примерам - геометриям б(М23), £(Со2) и Первые три раздела главы - 4.1, ¡4.2 и 4.3 -

посвящены соответственно этим трем подслучаям. При | этом во всех них используется единый подход. Схема его такова. Сначала определяется групповое строение одного из членов амальгамы, а именно фиксатора М элемента типа 3. Во всех случаях этот член амальгамы имеет наиболее простое устройство. В соответствии о утверждением 2.4.2 его нормальное строение есть М22 или 3«М22 в подолучае геометрий "типа К23", 210\Аиг(М22) или 210\3>Аиг(М22) в

1 о 1

подслучае геометрий "типа Со2" и 2\2 \3-Аи*(М22) в подолучае геометрий "типа Л^". Отметим, что в первых двух подслучаях варианты с дополнительным сечением порядка 3 легко сводятся к вариантам без такого сечения путем факторизации по нормальной подгруппе порядка 3.

Итак, в первом подслучае строение М определяется непосредственно утверждением 2.4.2, во втором подслучае удается показать расщэпимость группы М относительно 02(М) и, тем самым, также установить ее точное строение. В подслучае геометрий "типа ,Т4" обозначим через В силовскую З-подгруппу из 02 3(М). В этом подслучае сначала показывается, что 0а(М) - экстраспециальная группа типа плюс и определяется действие 1ГМ(В) на 02(М). После

этого остается определить строение подгруппы NM(B). В итоге довольно кропотливых рассмотрений удается показать, что эта подгруппа всегда устроена так, как в груше J4, то есть является нерасщепимым. расширением 6-Aut(M20),

Далее рассматриваются другой член амальгамы, а именно фиксатор N элемента типа 2, и частичная амальгама {N,M>. Обе задачи - определение строения N и Ш,М> - сводятся к вычислению групп автоморфизмов определенных подгрупп. Поскольку строение М известно, то известно также и строение подгруппы NRM, имеющей в N индекс 3. При помощи косвенных соображений удается отождествить наибольшую нормальную в N подгруппу R из NRM. Образ N в Out(R) есть подгруппа, изоморфная S3 и содержащая образ NflM. Во есох трех подслучаях удается показать единственность класса таких подгрупп S3 и вывести из нее единственность строения N.

Что же касается определения строения частичной амальгамы Ш,М}, то редукция этой задачи к вычислению определенных групп автоморфизмов была получена Д.Голдшмидтом в его работе о тривалентных графах'. Амальгаму ранга 2 можно представлять как пару вложений "общей" подгруппы В в члены амальгамы А1 и А2. Пусть, О - это группа внешних автоморфизмов В. Определим 0it 1=1,2, как образ NAut(A ^(В) в О. Тогда лемма Голдшмидта утверждает, что

классы амальгам с известными А,,, А2 и В находятся в биекции с двойными смежными классами 0 по 01 и 02-

Все эти группы автоморфизмов удается вычислить и определить

7 D.Goldschmldt, Automorphisms of trivalsnt graphs, Ann. Math., 1930, 111, 377-406

тем еамш мвшветае вевмешых амальгам ш,м>. отметь, что в одном 'ИЗ шделучедв, а имение й ПОДслучае амальгам "типа возникает дешшвдалыш "чаатичная" амальгама, не отвечающая никакому извеетпему нримеру.

Определением списка возможных амальгам Ш,М> исчерпывается содержание первых трех разделов главы 4. В заключительном разделе главы для всех подслучаев одновременно показывается, что "частичная" амальгама может быть расширена до полной амальгамы не более чем одним способом. Идея здесь такова. Пусть К - это

I

член амальгамы - фиксатор элемента типа 1. Подгруппа К порождается своей подамальгамой СКГЖ.КЛМ}, известной в силу вышесказанного. Члены подамальгамы имеют общую нормальную подгруппу 0, такую что в факторгруппе К/0эЬ3(2) их образы образуют амальгаму максимальных параболических подгрупп. Удается показать, что универсальное замыкание амальгамы {КЛИ.КЛМ} не может иметь более одной такой факторгруппы К. Соответствующее утверждение доказано при весьма общих условиях, не затрагивающих, в частности, специфики подслучаев. Аналогично амальгама {К,Л,М) расширяется ДО полной амальгамы ранга 4.

В этом же разделе показывается» что догешмталыш "частичная" амальгама "типа шоещэ на мокют сыть расширена до ' полней шадьгаш. А 1»1ша, даказивю'сей, что да« этой амальгама оераа в ОиНО) амальгбш ШШ.КШ) дароадаат подгруппу, большую чем тышм оеразем, & главе 4 енрадмаотая аолний список

амальгам, кеторе могут бить еваа&ш о некоторой флаг-транзитивной гдошйй Р-геометра ранга сшоок состоит из пяти

амальгам, ешшшх е иашетаат щшврти Ооотвотствувдо

утверждение сформулировано во введении и называется теоремой 5. Эта теорема эквивалентна также теореме 2, утверждающей, что универсальное 2-накрытие любой флаг-транзитивной Р-геометрии ранга 4 совпадает с универсальным 2-накрытием одного из трех известных примеров.

Работы автора по теие диссертации

1 ) Шпекторов C.B. Геометрическая характеризация группы М22. В сб.: Исследования по алгебраической теории комбинаторных объектов. М., ВНШСИ, 1985, с. 112-123.

2) Шпекторов C.B. О геометриях спорадических групп. В сб.: Тезисы сообщений XIX Всесоюзной алгебраической конференции. Часть 2, 1987, Львов, с. 321.

3) Шпекторов C.B. О геометриях о диаграммой Рп. Инот. пробл. кибернетики АН СССР, Москва, 1990, Рукопись деп. в ВИНИТИ