Инволюции конечных групп и выпуклые правильногранники тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Тимофеенко Алексей Викторович

ИНВОЛЮЦИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП И ВЫПУКЛЫЕ ПРАВИЛЬНОГРАННИКИ

01.01.0G; 01.01.04 - математическая логика, алгебра и теория чисел; геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 2 ОПТ ?ппд

Екатеринбург - 2009

003480289

Работа выполнена в Институте вычислительного моделирования Сибирского отделения РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Шунков Владимир Петрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Глухое Михаил Михайлович

доктор физико-математических наук,

профессор Зенков Виктор Иванович

доктор физико-математических наук Макеев Владимир Владимирович

Ведущая организация: Сибирский федеральный университет

Защита состоится 17 ноября 2009 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 004-006.03 при Институте математики и механики УрО РАН, расположенном по адресу: 620219, Екатеринбург, ГСП-384, ул. С. Ковалевской, 16, Россия

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан 14 октября 2009 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета. Ученый секретарь диссертационного совета,

д.ф.-м.н., с.н.с. ' Кабанов Владислав Владимирович

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена избранным проблемам теории групп, комбинаторной и метрической геометрии многогранников, а также применению систем компьютерной алгебры и графики как в приложениях этих теорий, так и в доказательствах. Синтез этих дисциплин в диссертации отражает современную тенденцию развития теории групп и геометрии многогранников.

Фундаментальными результатами теории групп второй половины XX века стали теорема Брауэра-Фаулера о существовании только конечного числа конечных простых групп с данным централизатором инволюции [1, 2], теорема Фейта-Томпсона [3] о разрешимости конечной группы нечётного порядка, а также открытие периодических нелокально конечных групп и новых конечных простых групп. Эти факты коренным образом изменили строительство существующего тогда здания теории групп: в начале восьмидесятых годов было объявлено о завершении классификации конечных простых групп (ККПГ); появилась теория групп, удовлетворяющих условиям конечности более сильным, чем периодичность, и более слабым, чем локальная конечность. К настоящему времени конечные простые группы разделены на бесконечные серии групп: циклических, знакопеременных и групп лиева типа, а также на серию 26 исключительных (спорадических) групп [4, 5]. Большинство спорадических групп открыто сравнительно недавно (после 1964 г.) и остаются неясными причины их исключительности. Беспрецедентность объема создаваемого текста доказательства (оценки до 20000 журнальных страниц) теоремы о ККПГ делает актуальным поиск нового доказательства. Оно не может не опираться на свойства самих конечных простых групп, изучение которых далеко от завершения. Именно такие группы исследованы в первых двух главах диссертации.

Значительное увеличение роли симметрии в изучении геометрии многогранников, прежде всего под влиянием исследований А. В. Шубникова [6] и

Г. С. М. Коксетера [7], а также появление таких фактов как теорема Александрова о развертках [8], позволили от построения отдельных примеров выпуклых многогранников с правильными гранями перейти к описанию всех таких фигур. В 1960 г. появилось предположение Н. Джонсона [9] о том, что кроме правильных и равноугольно-полуправильных многогранников существует только девяносто два выпуклых многогранника с правильными гранями. В. А. Залгаллер разделяет такие многогранники на простые и составные, причём для каждого составного тела существует плоскость, рассекающая его на два многогранника с правильными гранями. В работе [10] описаны все простые Многогранники, а предположение Джонсона сформулировано в ней как теорема, доказательство которой состоит лишь из указания получить все составные многогранники путем соединения простых тел. Доказательство более сильной теоремы содержит четвёртая глава настоящей диссертации. Ей предшествует построение алгебраических моделей несоставных многогранников.

Процесс нахождения составных многогранников алгоритмизирован. Пока не найдено принципиально иных подходов к увеличению прозрачности доказательства, естественным выглядит программирование тех его частей, которые позволяют это сделать. Действительно, проведённые по одной схеме рассуждения при таком подходе превращаются в программу с набором входных данных, соответствующих каждому логически повторяющемуся фрагменту доказательства. Собственно по такому пути и развиваются системы компьютерной алгебры. Факты, полученные с применением таких систем, вызывают не меньшее доверие, чем некоторые огромных размеров доказательства, не использующие компьютер. С развитием в последние два-три десятка лет систем компьютерной алгебры игнорировать "машинные" доказательства стало невозможно.

Цель работы заключается в отыскании всех составных многогранников

трёхмерного евклидова пространства и в нахождении строго вещественных элементов конечной простой группы, а также минимальных систем порождающих эту группу инволюций с ограничениями на порядки их произведений. Алгоритмизация процесса решения этих задач тоже относится к цели настоящего исследования, поскольку позволяет не только получать по созданным алгоритмам новые знания о группах и многогранниках, но и делает более надёжными и доступными для нематематиков как входные данные этих алгоритмов в виде систем порождающих групп и фундаментальных вершин многогранников, так и результаты вычислений, готовые к применению в специализированных компьютерных системах.

Методы исследования основаны на дополняющих друг друга алгебро-геометрической технике и системах компьютерной алгебры. В качестве метода исследования применены и системы компьютерной графики.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и методы могут найти применение в дальнейших исследованиях по теории групп и геометрии многогранников. Построенные в работе компьютерные модели групп и многогранников доступны для приложений в других областях знаний.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и двух приложений. Библиографический список содержит 93 наименования. В работе размещены 120 рисунков, 10 таблиц, предметный указатель. Диссертация изложена на 250 страницах.

Содержание работы

Результатам первой главы предшествует изложение полученных в красноярской алгебраической школе фактов, которые подчёркивают двойственность истории развития теории групп, обладающих инволюциями. Действительно, такие группы изучаются под воздействием запросов как оснований

геометрии, так и характеризаций групп свойствами инволюций.

Как сообщил автору М. М. Глухов, важную роль играет в криптографии понятие длины группы относительно множества порождающих эту группу элементов, т.е. минимальное число t, при котором множество элементов группы совпадает с объединением 1-й, 2-й,..., ¿-й степеней выбранного порождающего множества, [11]. Следующая теорема показывает, что длина группы Янко З1, I = 1,2, относительно множества её инволюций равна двум, а длина группы З2 относительно каждого из её классов сопряжённых инволюций равна трём.

Теорема 1.2.1 Пусть С — класс сопряжённых инволюций группы Янко 3\. Тогда для некоторого его подмножества Сх мощности < 867 справедливо равенство 3\ = СС\.

Каждый элемент второй группы Янко Зч равен произведению двух её инволюций. Но если А — класс сопряжённых в группе З2 инволюций, то 32 ф Л2 и 32 = Л3.

Для доказательства теоремы 1.2.1 создан и реализован алгоритм, либо явно указывающий для каждого элемента группы произведением каких инволюций он является, либо приводящий к утверждению, что таких инволюций в этой группе не существует.

Из теоремы 1.2.1 следует решение для групп 3\ и 32 проблемы, которую как известную в "Коуровскую тетрадь" ([12], вопрос 14.82) записал А. И. Со-зутов: "Описать конечные простые группы, в которых каждый элемент является произведением двух инволюций."

Напомним, если (3 — группа, х — её неедининый элемент и в группе С найдётся такая инволюция г, что х1 = х-1, то элемент х называют строго вещественным. Группа, в которой каждый неединичный элемент строго вещественен, называется строго вещественной. Ясно, что элемент х является произведением инволюций жг и г при ж ^ г. Из определения строгой веще-

ственности следует замкнутость класса таких групп относительно прямого произведения и проектирования на фактор-группы.

Одновременно с автором и другим способом ответ на вопрос о строгой вещественности групп Янко 3\ и Зг нашли С. Г. Колесников и Я. Н. Нужин, [13]. Кроме того, они заметили, что только у этих групп среди спорадических групп все комплексные характеры вещественнозначны. Поэтому и ввиду равносильности для конечной группы её строгой вещественности и вещественности всех её комплексных характеров в каждой спорадической конечной простой группе, за исключением указанных групп Янко, можно найти элемент, не представимый произведением двух инволюций.

Как уже отмечалось, строгая вещественность групп Янко 3% и 3% является следствием теоремы 1.2.1. По алгоритму, запрограммированному для её доказательства, находится множество строго вещественных элементов и некоторых других конечных групп. Эта программа имеется в приложении. В её тексте вместо группы 3\ или Зч можно обратиться к другой группе. О размерах такой группы можно получить представление в главе 2.

Напомним, [14], что за исключением группы РЯиз(9), каждая (известная) конечная простая неабелева группа порождена тремя инволюциями. Обозначим их х,у,г. Очевидно, хуггух = 1, а если ху = ух, то единице равно произведение пяти инволюций (ху — одна из них), порождающих эту группу. Согласно [15] (см. также главу 2), любые две инволюции неперестановочны в каждой тройке инволюций, порождающих исключительную группу теоремы 1.3.1, а любая другая её группа порождена тремя инволюциями, две из которых перестановочны.

Следующая теорема говорит о точности найденной выше верхней оценки минимального числа таких порождающих спорадическую группу инволюций, что их произведение равно единице.

Теорема 1.3.1 За исключением групп Матье М^М-а-.М-^ и группы

Маклафлина МсЬ для каждой конечной простой спорадической группы число 5 — минимум числа таких порождающих её инволюций, что их произведение равно единице, а для указанных четырёх групп это число равно 6.

Из этой теоремы вытекает решение для спорадических групп следующей проблемы 14.69 ([12], Я. Н. Нужин).

Для каждой конечной простой неабелевой группы найти минимум числа порождающих инволюций, удовлетворяющих дополнительному условию, в каждом из следующих случаев.

а)Произведение порождающих инволюций равно 1.

б)(Ма11е-Зах1- \Veigel)Все порождающие инволюции сопряжены.

в)(Ма11е-Бах1- \Veigel) Выполняются одновременно свойства а) и б).

г) Все порождающие инволюции сопряжены и две из них перестановочны.

Действительно, теорема 1.3.1 прямо отвечает на вопрос 14.69а для спорадических групп. Четыре исключительные группы имеют по одному классу сопряжённых инволюций. Поэтому для них ответом на вопрос 14.696 является число 3, число 6 — ответ на вопрос 14.69в и 4 — ответ на вопрос 14.69г. В главе 2 показано как в явном виде найти такие инволюции. Каждая из оставшихся 22 спорадических групп порождена тремя инволюциями, две из которых перестановочны, причём по таблице в работе [15] видно, что инволюции некоторых таких троек сопряжены за исключением, быть может, группы Матье М12 и группы Бэби В. Найденная явно во 2-й главе (пункт 2.6.1) мазу-ровская тройка группы М\2 состоит из сопряжённых инволюций, а вопрос о такой сопряженности в группе В требует дополнительных рассуждений и вычислений. Таким образом, для двадцати одной спорадической группы ответ ца вопрос 14.69 следующий: 6)3, в)5, г)3. | Результаты первой главы опубликованы в работах [Т1, Т2]

Во второй главе изучаются группы, порождённые тремя инволюциями.

Учитывать специфику состоящего из трёх инволюций порождающего множества группы для создания модифицированного алгоритма Тодда-Кок-сетера перечисления её смежных классов предлагал в конце 1970 — начале 1980 годов А. И. Созутов. Частично эти планы осуществлены для групп с генетическим кодом вида (х, у, z | я2, у2, z2, (xz)2, {ху)т, (yz)n, (xyz)k}, [16].

Почти четверть века потребовалось для ответа на вопрос В. Д. Мазурова ([17], вопрос 7.30): "Какие конечные простые группы порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочныАвтор проблемы поставил точку и в её закрытии, [15]. Систему порождающих группы, состоящую из трёх инволюций, две из которых перестановочны, будем называть мазуров-ской тройкой.

Я. Н. Нужин доказал, что в знакопеременных группах Alts, Alt?, Alts и некоторых линейных группах небольших размерностей неперестановочны любые две инволюции каждой тройки инволюций, порождающих такую группу, а в каждой другой простой знакопеременной и лиева типа группе он указал явно мазуровскую тройку. В работе [15] описана более подробно история решения проблемы 7.30 и единым методом доказано существование или отсутствие мазуровской тройки в каждой спорадической группе. Этот метод позволяет близко подойти и к самим инволюциям мазуровской тройки, но всё же не позволяет найти их явно.

Для демонстрации некомпьютерных методов поиска в явном виде мазу-ровских троек дано построение Я. Н. Нужина мазуровской тройки инволюций группы Матье М24 (предложение 2.1.1), см. также [ТЗ, Т4]. Этот результат и построения в явном виде мазуровских троек спорадических групп другими авторами (см. введение в работе [15]) перекрываются тремя следующими теоремами.

Теорема 2.2.1. Если G — одна из групп

Mn,Mu,HStHe,JuJ3,Ji, (1)

числа т, п равны порядкам произведений неперестановочных инволюций её мазуровской тройки, то все такие пары (гп,п),т < п, приведены в разделе 2.6, а мазуровская тройка группы G указана явно. Пусть G - группа,

C3(G) = {(|у|, \jk\, |¿fc|) 11¿| = \j\ = |fc| = 2, (i,j,k) = G},

C2(G) = {(|ifc|, |fci|) | G = (i,j,k), |i| = \j\ = |fe| = |y| = 2}. Например, для группы McL множество Сг(МсЬ) пустое. А если

(р, q) е {(3,3), (3,4), {3,6), (4,4)} и (р, q) 6 C2(G),

то группа G не является простой, [18].

Теорема 2.2.2. В группе G 6 {Мц, М22, М23, McL} неперестановочны любые две инволюции в каждой системе трёх порождающих её инволюций. Множество Cs(G) приведено в разделе 2.6.

Теорема 2.2.3. Пусть G — любая из групп

ON, Fias, Fi'2i, HN, Со3, Ru, Suz, Cou Co2í F22, J4, Ly, Th, B.

Тогда G содержит мазуровскую тройку, инволюции которой указаны явно, а подмножество множества C2(G) приведено в разделе 2.6.

Для каждой конечной спорадической простой группы порождающую её тройку инволюций пришлось искать отдельно. Хотя, как оказалось, [15], доказать существование или отсутствие мазуровской тройки в каждой спорадической группе можно по одной схеме, опирающейся на описание характеров и максимальных подгрупп. Задача явного построения мазуровских троек решается в настоящей работе для всех спорадических групп, кроме группы

Рис. 1. Гамильтонов цикл графа Кэли

Монстр, по-существу тремя алгоритмами. С ростом порядка группы и степени её представления возможности для перебора её инволюций уменьшаются, а роль анализа расположения инволюций в их централизаторах и максимальных подгруппах увеличивается.

Заметим, что алгоритмы вычисления в группах из теорем первой и второй главы применимы для любой конечной группы, "умещающейся" в компьютер. Тексты САР-программ прилагаются.

Напомним [19], что граф Кэли конечной группы, порождённой инволюциями мазуровской тройки, содержит гамильтонов цикл.

В разделе 2.7 описан процесс нахождения гамильтонова цикла в графе Кэли конечной группы, порождённой инволюциями мазуровской тройки. Этот процесс запрограммирован, [Т5]. По отлаженным программам построены гамильтоновы циклы в графах Кэли групп М^, Alt5, S4 и некоторых других. Интересно, что некоторые гамильтоновы циклы проходят один за другим смежные классы по подгруппе, порождённой неперестановочными инволюциями мазуровской тройки. Расположенные по меридианам тора такие классы можно увидеть на рис. 1.

Заключительный раздел второй главы содержит геометрическую интерпретацию мазуровских троек групп симметрий трёхмерных многогранников.

Результаты второй главы опубликованы в работах [Т5, Тб, Т7, Т8, Т9, Т10].

Третью главу можно рассматривать как приложение групп движений трёхмерного евклидова пространства в теории выпуклых правильногранни-ков. Каждый многогранник в этой главе задан системой порождающих группы его симметрий и координатами своих фундаментальных вершин.

Правилъногранником называется многогранник, каждая грань которого либо составлена из двух выпуклых правильных многоугольников, либо является выпуклым правильным многоугольником, причем кривизна каждой его вершины положительна. Коллективом авторов доказано, [10, 20, 21], что кроме бесконечных серий призм и антипризм, существует только 34 выпуклых правильногранника, каждый из которых никакая плоскость не разбивает на два правильногранника. Если же такая плоскость существует, то разбиваемый ею выпуклый правильногранник называется составным, в противном случае — несоставным (или простым, [10]).

В теоремах 3.1.1 и 3.11.1 каждому несоставному телу с единичными ребрами, которое не является ни правильным, ни равпоугольно-полуправиль-\ным, ни их частью, отсечённой не более, чем тремя плоскостями, постав-

лены в соответствие координатные тройки его фундаментальных вершин и движения, порождающие группу симметрий этого правильногранника.

Поскольку такие координаты вершин Платоновых и архимедовых тел известны (см., например, [22, 23]), то построение алгебраических моделей, нерассмотренных в теоремах 3.1.1 и 3.11.1 несоставных многогранников, не вызывает затруднений. Это видно по доказательствам предложений 3.10.3, 3.10.2, 3.10.1, содержащих алгебраические модели призм (с правильными основаниями и квадратными боковыми гранями), антипризм (с поясом боковых граней из правильных треугольников) и трижды отсечённого икосаэдра М? (рис. 3.23) соответственно.

Раздел 3.19 содержит следствие теорем 3.1.1 и 3.11.1 о существовании каждого из четырнадцати описываемых этими теоремами многогранников. Как примеры других приложений в этом разделе находятся объёмы трёх несоставных тел теоремы 3.1.1. Основным приложением компьютерных моделей несоставных тел является их применение в доказательстве теорем четвёртой главы, посвящённой описанию выпуклых правильногранников.

Результаты третьей главы опубликованы в работах [Til, Т12, Т13, Т14]

В четвертой главе (теорема 4.2.1) доказано, что с точностью до подобия существует лишь Ц9 составных многогранников, причем явно указан способ получения из несоставных тел каждого из них.

Ещё в 1946 г. Л. Н. Есаулова прислала из Ташкента на кафедру геометрии Ленинградского университета письмо, в котором доказала, что кроме двух бесконечных серий равноугольно-полуправильных призм Пз, П5, Пб,... и антипризм Ai, А5,... существует лишь конечное число выпуклых правильногранников без условных рёбер. Условным называется общее ребро граней, расположенных в одной плоскости. Она перечислила возможные типы вершин выпуклых правильногранников без условных рёбер и приложила к письму схемы нескольких таких многогранников.

В 1961 году это письмо получил В. А. Залгаллер. Он называет правильно-гранным многогранником то, чему в настоящей работе дано имя "выпуклый правильногранник без условных рёбер" и разделяет правильногранные тела на простые и составные. Здесь эти понятия, базовые для настоящего исследования, с правильногранных тел перенесены на правильногранники. Кроме указанных выше призм и антипризм существует только 28 несоставных правильногранных тел, которые в порядке их появления в классификационном доказательстве получили обозначения: М\, М2,..., М2з- Сегодня их называют телами Залгаллера.

Независимо от Л. Есауловой тем же вопросом задался Н. Джонсон и продвинулся существенно дальше неё. Он, по-видимому, действовал эвристическим путем и, кроме правильных и равноугольно-полуправильных многогранников, нашёл еще 92 правильногранных многогранника, называемых сегодня телами Джонсона [24]. Там же дано название каждому из них (см. также, [10]) и высказано предположение, что список этих 92 многогранников, полон. В. А. Залгаллер в [10] на с.18 сформулировал без доказательства теорему о полноте этого списка, указав на возможность её доказательства путём перебора прилеганий несоставных многогранников без условных рёбер по целым граням. В работах [20, 21], продолжающих работу [10], найдены все несоставные многогранники <3ь <Э2,..., <2б, некоторая грань каждого из которых содержит условное ребро. Любое условное ребро каждого такого тела соединяет треугольники. Многогранник (рис. 7 ) будем называть многогранником Пряхина, а многогранники <3ъ <Э2, <Эз, С?4(рис. 5, 6 ), (¿5 (рис. 8 ) — многогранниками Иванова .

Таким образом, в начале семидесятых годов прошлого века был известен список всех несоставных тел

П3, П4,. -.; А4, А5,...; Ми М2,..., М28, <3ь (?2. •., <2в- (2)

Правда, человеку, решившему проверить, почему других несоставных тел не существует, необходимо внимательно прочитать более двух сотен страниц текста и проверить истинность вычислений. Такого рода неудобства классификационных доказательств в последние десятилетия удаётся обходить с помощью систем компьютерной алгебры. Действительно, применение этих систем позволяет проверять алгоритм, а не рассуждения и вычисления, заданные этим алгоритмом, при доверии, разумеется, к самим системам.

Построение всех выпуклых правильногранников путём перебора прилеганий несоставных многогранников по целым граням анонсировано автором [Т15, Т16], а также автором и А. М. Гуриным [Т17, Т18], который работает вместе с В. А. Залгаллером. Однако перебор осуществлён ими параллельно. В результате появилось два доказательства теоремы, описывающей выпуклые правильногранники. Они опубликованы в статьях [25] и [Т19], причём расширенным вариантом работы [Т19] является четвёртая глава настоящей диссертации. Авторы работы [25] изучают выпуклые правильногранники при более слабом условии наличия на некоторых гранях более одного условного ребра, что привело к появлению двух таких составных тел: Пз + Щ + П3 и П3 + П5 + П3. С другой стороны, шесть составных тел было найдено только по созданному автором алгоритму соединения и об этом написано в работе [25].

Оказалось, что существует 149 составных многогранников, причем 75 из них являются телами Джонсона. Добавляя к ним еще 17 несоставных тел Джонсона М/с, к = 1,2,..., 9,13,14,20,21,..., 25,28, мы тем самым подтверждаем справедливость предположения Н. Джонсона.

Кроме выпуклых правильногранных тел теорема 4.2.1 содержит еще 68 выпуклых правильногранников, каждый из которых содержит условные рёбра. Добавляя к ним 92 тела Джонсона, 5 тел Иванова и один многогранник Пряхина, получаем, что справедлива

Теорема 4.3.1. Кроме правильных и равноугольно-полуправильных тел существует только 166 выпуклых правильногранников.

Идея доказательства теоремы 4.2.1 просматривается в её формулировке. Действительно, все составные тела разбиты там на 2-, 3-, ..., 6-составные многогранники, а также на ^-многогранники и тела, обладающие сверхфундаментальной гранью. При этом в отличие от последних, каждый /^-многогранник при соединении с любым несоставным телом не будет выпуклым правильногранником.

Выпуклый правильногранник назовём к-составным, если его можно составить из к несоставных тел по целым граням и нельзя получить из меньшего числа несоставных многогранников. На рис. 11 изображён единственный 6-составной выпуклый правильногранник. По следующему списку 2-составных тел, в котором рубленым шрифтом выделены ^-многогранники, можно увидеть 29 несоставных тел, которые потребовались для создания всех составных многогранников.

П3 + П3, П3 + П'3, П3 4- П4, П3 + П5, П3 + Ми П3 + М2, П4 + М2, П5 + М2, П5 + М3, П6 + М2, П6 + М4, П8 + М5, Пю + М6, Пю + М9, Л4 + М2, Л5 + М3, Л6 + М4, Л8 + М5, Л10 + М6, Лю + Мд, Мх + Мь М\ + М2, Мх + М7, М2 + М2, м2 + М4, М2 + М22, м3 + М3, М3 + М7, М3 + М&, М3 + Мд, М3 + М'ъ, М3 + Мх5, Мз + М20, М3 + 04, М4 + М4, М4 + М[, М4 + М10, М4+ М'10, М5 + М5, М5 + М'5, М5+Мп, М5 + М[ъ М6 + М6, М6 4- М6+М9, М6+М^, М6+М12, М6 + М[2, М6 + Мхз, М6 + М[з, М6 + Ми, М6 + М'м, М9 + М9, М9 + М£.

Картина существенно усложняется при допущении вершины с нулевой кривизной. Такая вершина может быть расположена как внутри грани (рис. ■2), так и на ребре (рис. 10). Будем называть их гранефиктивными и рёбер-,нофиктивньши соответственно. Кроме того, по теореме Декарта суммарная кривизна всех вершин выпуклого многогранника равна 47Г и даже если рассматривать многогранники, число сторон граней у которых ограничено, то

число самих этих правильных граней может увеличиваться в бесконечной серии многогранников с условными вершинами. Примером такой серии является серия соединённых своими основаниями к призм Ш;, к = 1,2,..., при фиксированном числе I сторон основания. Боковыми гранями призмы Ш/ являются составленные из к квадратов прямоугольники. Ю. А. Пряхин заметил [26], что кроме четырёх бесконечных серий существует только конечное число типов выпуклых многогранников с равноугольными гранями или с гранями, составленными из равноугольных многоугольников. Такие грани названы им паркетными. . Как нетрудно доказать, каждый угол паркетного многоугольника равен углу какого-нибудь правильного многоугольника. Поэтому каждой вершине паркетной грани можно приписать число сторон такого правильного многоугольника. Если выписать все эти числа так, что в полученном наборе любые два соседних числа, а также первое и последнее числа, соответствуют смежным вершинам, то этот набор и называется типом паркетного многоугольника. Например, прямоугольник имеет тип (4,4,4,4) = (44). Многоугольники, изображённые на рис. 2, обладают типами: (4,122,4,12,6,12), (б2,122, б2,122), (6,122,6,122,6,122) и (6,124,6,124).

Для то!чтобы описать такие и рассмотренные выше серии многогранников введём следующее

Определение. Пусть т — целое неотрицательное число. Выпуклый многогранник называется т-правилъногранником, когда выполняются следующие условия: 1) грани составлены из правильных многоугольников, стороны которых измеряются натуральными числами; 2) наибольшая длина ребра равна т + 1; 3) у любого подобного многогранника с коэффициентом подобия меньшем единицы существует ребро ненатуральной длины или существует грань, которую нельзя составить из правильных многоугольников с целыми рёбрами.

Таким образом, каждый выпуклый правильногранник является 0-пра-

УУ

Рис. 2. Равносторонние паркетные многоугольники, обладающие гранефиктивными вершинами

вильногранником. Примерами О-правильногранников, не являющихся пра-вильногранниками, служат призмы, в основаниях которых лежат грани, изображённые на рис. 2, а боковыми гранями являются квадраты. Серия многогранников М-;, Л/7,1 = <54, Мт-1, ■ • ■ (рис. 9, 10) даёт примеры правильногран-ного тела, О-правильногранника, 1-правильногранника,____

Определение. Пусть то — целое неотрицательное число. Выпуклый то-правильногранник называется составным, если некоторая плоскость делит его на тпгправильногранник и тг-правильногранник для некоторых целых неотрицательных чисел тщ, тВ противном случае то-правильногранник называется несоставным.

Теорема 4.3.2. Кроме семи многогранников каждый несоставной пра-

вилънограпник с единичными рёбрами является несоставным О-правиль-ногранником. Исключения можно представить следующими соединениями т-правильногранников, т = 0,1.

1) Призма Пб — соединение по прямоугольным граням двух призм с трапециями типа (З2, б2) в основаниях, Пв = 6П3.

2) Трёхскатный купол М4 = (Р2,25 + Mi) + (P2i25 + ^2,25) = 4Мг + ЗМ2, где P2j25 = Mi + М2 — соединение тетраэдра М\ и квадратной пирамиды М2 боковыми гранями.

3) Усечённый тетраэдр Mw = (3Mi + 2М2) + (М4 + 3М2) = 7Mi + 8М2.

4) Усечённый октаэдр Mi§ = 2М2а + Mi6a, где М2а — усечённая по средним линиям боковых граней четырёхугольная пирамида с квадратом со сторонами длины два в основании, Мк,а — 1-правильногранник, оставшийся после отсечения от Mj6 параллельными плоскостями двух тел М2а.

5) Усечённый икосаэдр Mig = 2M-¿a + Miga = ЗМ^а + Mт, где M¡a — усечённая по средним линиям боковых граней пятиугольная пирамида с правильным пятиугольником со сторонами длины два в основагти, Miga — l-правилъногранник, оставшийся после отсечения от М\% параллельными плоскостями двух тел М$а, Mm — 1-правильногранник, оставшийся после отсечения от М19 тремя плоскостями трёх тел Мза.

6) Наклонная призма (многогранник Иванова) Qi = 6М1 + 6М2.

7) Многогранник Иванова Q2 = I6M1 + 16М2.

Результаты четвертой главы опубликованы в работах [Т15, Т16, Т17, Т19, Т20, Т21, Т22].

Заключение указывает на список возможных приложений результатов диссертации. В их числе:

- опыт автора нахождения мазуровских троек, а также автоматизация работы по схеме из статьи [15] указывают на возможность их приложения к системе GAP, которое по заданной группе будет выбирать алгоритм, необ-

Рис. 3. Многогранник ф6<1, соединённый с пирамидой М2, боковые грани

которой закрашены Рис. 4. Многогранник

ходимый для построения мазуровской тройки и строить инволюции самой тройки;

- применение теоремы о примитивном элементе алгебраического расширения поля рациональных чисел <2 позволит найти такой минимальный многочлен /, что каждая координата любой (фундаментальной) вершины несоставного многогранника, обладающего сверхфундаментальными гранями, принадлежит расширению (¿¿(в), где 0 - некоторый корень многочлена /;

- алгебраические модели многогранников позволяют в автоматическом режиме найти такие стандартные характеристики каждого из них как количество, рёбер, вершин, граней; объём, площадь поверхности, радиусы сфер, касающихся граней, рёбер, а также описанных около многогранника сферы или эллипсоида.

- процесс получения выпуклых правильногранников из несоставных тел, описанный в 4-й главе, может быть продолжен до заполнения пространства многогранниками, при более слабых, чем в настоящей работе ограничениях

на несоставные слагаемые и составленнные из них тела, [27-29].

Приложение содержит тексты компьютерных программ на языке систем компьютерной алгебры GAP и Maple с указаниями для пользователя. Даны рекомендации для работы с расположенными на сайте ИВМ СО РАН, [Т5], результатами вычислений и программными продуктами.

С помощью компьютерных моделей, созданных на базе алгебраических моделей автора, построены все рисунки диссертационной работы. Закрашивая грани многогранников, автор придерживался следующих правил.

а)Цвета сверхфундаментальных граней и фундаментальных граней, не являющихся сверхфундаментальными, выбраны разными: золотистый и серый1 соответственно. Отметим, что на некоторых рисунках часть фундаментальных граней видна читателю с их внутренней стороны, сквозь сетку ближе к нему расположенных рёбер.

б)При закраске всех граней fc-составного тела Pi<ni + Pi,n% + ... + Р\,пк, к 6 {2,..., б}, грань каждого слагаемого Р1>гн закрашивается своим цветом, который соответствует значению г: 1)красный, 2)оранжевый, 3)желтый, 4)зе-лёный, 5)голубой 6)синий. Эти цвета различаются при черно-белой печати.

Числами на рисунках помечены фундаментальные вершины. Условные рёбра некоторых многогранников нарисованы пунктиром. Более наглядные, чем на бумаге, изображения выпуклых правильногранников без условных рёбер можно найти в электронной энциклопедии2. Таблица .F-многогранни-ков Залгаллера поможет по английскому названию тела Джонсона быстро найти его живое изображение.

Кроме ромбов, составленных из двух правильных треугольников, в настоящей работе будут встречаться грани, составленные из треугольника и квадрата, и треугольника и пятиугольника. При вычислении количества гра-

1 черно-белое изображение делает золотистый цвет более тёмным, чем серый

2 http://tnathworId.wolfrara.com/topics/Polyhedra.html

ней каждую такую "двойную" грань будем считать за две, но всё же называть её будем ромбом и неправильным 5-,6-угольником соответственно.

Апробация работы. Результаты диссертации доложены конференциям [Т4, Т12, Т15, Т18, Т21, Т23, Т24, Т25, Т26, Т27, Т28], а также конференциям: "Алгебраические дни в Анталии" (Турция, май 2002 г.); "Алгебра и её приложения", посвящённой юбилеям В. М. Бусаркина и В. П. Шун-кова (Красноярск, август 2002, август 2007); "Мальцевские чтения" (Новосибирск, ИМ СО РАН, 2002, 2005, 2009); по математике и механике, посвящённой 125-летию томского госуниверситета и 55-летию ММФ (Томск, сентябрь 2003). На международной алгебраической конференции, посвящённой 80-летию А. И. Кострикина (Нальчик, 10 июля 2009 г.), сделан пленарный доклад. Результаты диссертации обсуждались: красноярским алгебраическим семинаром 3; семинаром по геометрии в независимом московском университете (сентябрь 2006); геометрическими и алгебраическими семинарами в московском госуниверситете (сентябрь 2006, май 2008), семинаром им. В.А.Рохлина в С.-Петербургском отделении математического института РАН (сентябрь 2007), "Эварист Галуа" (Институт математики СО РАН им. С. JI. Соболева, ноябрь 2006).

Личный вклад автора. Все результаты первой и третьей главы получены лично автором. Во второй главе автор пользовался написанными по его алгоритмам компьютерными программами. А именно, программы, по которым построены мазуровские тройки путем прямого перебора всех инволюций в группе небольшого размера, созданы в неразделимом соавторстве с Н. С. Невмержицкой, А. А. Ершовым и Е. И. Кузнецовым. Для поиска мазу-ррвских троек инволюций спорадической группы В (Бэби Монстр) программное обеспечение создано А. И. Макосием. В неразделимом соавторстве с ним построены гамильтоновы циклы в графах Кэли некоторых групп, обладаю-

~Т 3 http://icm.krasn.ru/kas.php

j 22

I

щих мазуровской тройкой инволюций. Вместе с А. М. Гуриным автор доказал предложение 4.1.1 четвертой главы.

Перечень ВАК содержит журналы, в которых опубликованы статьи автора [Т1, Т7, Т9, Т14, Т17, Т19, Т20, Т22] по теме диссертации. Работа [Т14] вышла в свет год назад, но принята в печать в 2005 г., когда журнал "Фундаментальная и прикладная математика" входил в перечень ведущих рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора наук.

Список публикаций

[Т1] А. В. Тимофеенко. О строго вещественных элементах конечных групп // Фундаментальная и прикладная математика. — 2005. — Т. 11, № 2.- С. 209-218.

[Т2] A. V. Timofeenko. On strongly real elements of finite groups // Journal of Mathematical Sciences.— 2007.— April.— Vol. 142, no. 2.— Pp. 2007-2014.

[ТЗ] Я. H. Нужин, A. В. Тимофеенко. Порождающие тройки инволюций некоторых спорадических групп.— Красноярск: ИВМ СО РАН.— 20 с. — препринт №13-99.

[Т4] Я. Н. Нужин, А. В. Тимофеенко. Спорадические группы среди гомоморфных образов групп Коксетера // IV Международная алгебраическая конференция, посвящённая 60-летию профессора Ю.И.Мерзлякова (Новосибирск, 7-11 августа 2000 г.). — Новосибирск: Институт математики СО РАН, 2000. — С. 131-132.

[Т5] А. В. Тимофеенко. Простые конечные спорадиче-

ские группы, порождённые тремя инволюциями. — http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=2860.

[Т6] А. В. Тимофеенко. О порождающих тройках инволюций в спорадических группах. — 2001. — март. — Рукопись деп. ред. Сиб.матем.журн. в ВИНИТИ 19.03.01 ДО693-В2001.

[Т7] А. В. Тимофеенко. О порождающих тройках инволюций больших спорадических групп // Дискретная математика. — 2003. — Т. 15, № 2. — С. 103-112.

[Т8] А. V. Timofeenko. Generating triples of involutions of large sporadic groups // Discrete Mathematics and Applications. — 2003. — Vol. 13, no. 3. - Pp. 291-300.

[T9] А. И. Макосий, А. В. Тимофеенко. О мазуровских тройках спорадической группы В и гамильтоновых циклах графа Кэли // Дискретная математика. - 2008. - Т. 20. — С. 87-93.

[Т10] A. I. Makosii, А. V. Timofeenko. On Mazurov triples of the sporadic group В and Hamiltonian cycles of the Cayley graph // Discrete Mathematics and Applications. - 2008. - T. 18, № 2. - C. 199-205.

[Til] А. В. Тимофеенко. Компьютерные модели групп и многогранников // Избр. докл. междунар. конф. по математике и механике, (16-18 сентября, 2003). - Томск: ТГУ, 2003. - С. 31-38.

[Т12] А. В. Тимофеенко. К теории выпуклых многогранников с правильными гранями // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. (Абрау-Дюрсо, база Лиман-чик, 5-11 сентября 2004 г.). - Ростов-на-Дону: ЦВВР, 2004. - С. 58-60.

[Т13] А. В. Тимофеенко. Выпуклые гсравильногранники, не рассекаемые никакой плоскостью на правильногранные части // Математические труды. - 2008. - Т. 11, № 1. - С. 132-152.

[Т14] А. В. Тимофеенко. Несоставные многогранники, отличные от тел Платона и Архимеда // Фундаментальная и прикладная математика. — 2008. - Т. 14, № 2. - С. 179-205.

[Т15] А. В. Тимофеенко. О классификации выпуклых правильнограшшков // Материалы междунар. российско-китайского семинара «Алгебра и логика». - Иркутск: ГОУ ВПО Иркут. гос. пед. ун-т, 2007. - С. 103-108.

[Т16] А. В. Тимофеенко. О соединении несоставных многогранников // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. (Абрау-Дюрсо, база Лиманчик, 9-15 сентября 2008 г.). - Южн.фед.ун-т, Ростов-на-Дону: ЦВВР, 2008. - С. 70-72.

[Т17] А. В. Тимофеенко, А. М. Гурип. К теории выпуклых правильногран-ных тел // Доклады академии наук. — 2008. — Т. 419, 3. — С. 320-323.

[Т18] А. В. Тимофеенко, А. М. Турин. Алгебраические и компьютерные модели выпуклых многогранников с правильными гранями и гранями, сложенными из правильных многоугольников // Тез.докл. междунар. конф. "Геометрия в Одессе - 2008" (Одесса, 19-24 мая 2008 г.) иод. редакцией В.В.Гольдберга, В.М.Кузаконя, А.Г.Кушнера, В.В.Лычагина. — Одесса: 2008. - С. 131-132.

[Т19] А. В. Тимофеенко. О соединении несоставных многогранников // Алгебра и анализ. - 2009. - Т. 21, № 3. - С. 165-209.

[Т20] А. V. Timofeenko, А. М. Gurin. То the Theory of Convex Regular-hedra // Doklady Mathematics. - 2008. - Vol. 77, no. 2. - Pp. 234-237.

[Т21] А. В. Тимофеенко. О выпуклых правилыюгранных телах, некоторые грани которых лежат в одной плоскости // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. (Абрау-Дюрсо, база Лиманчик, 5-11 сентября 2006 г.). — Ростов-на-Дону: ЦВВР, 2006. - С. 92-93.

[Т22] А. В. Тимофеенко. Выпуклые многогранники с паркетными гранями // Доклады академии наук. - 2009. - Т. 428, № 4. - С. 454-457.

[Т23] А. В. Тимофеенко. О приложениях групп симметрий пространства в синтезе многогранников // В сб. тезисов докл. международ, конфер. ГЕОМЕТРИЯ "В ЦЕЛОМ", ТОПОЛОГИЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ, по-свящённой 90-летию со дня рождения А.В.Погорелова. — Харьков: Физико-технический институт низких температур им. Б.И.Веркина HAH Украины, 2009. - С. 42.

[Т24] О. В. Jlucmoea, А. И. Макосий, А. В. Тимофеенко. Параллельные вычисления в исследованиях групп с инволюциями // Труды Всерос. научно-технической конференции "Параллельные вычисления в задачах математической физики" (21-25 июня 2004 г.). — . — Ростов: Издательство Ростовского университета, 2005. — С. 95-100.

[Т25] А. В. Тимофеенко. Уплощенная большая клинокорона М-л // Международная алгебраическая конференция: К 100-летию со дня рождения П.Г. Конторовича и 70-летию Л.Н. Шеврина, Екатеринбург, 29 августа - 3 сентября 2005 г. Доп. выпуск. — Екатеринбург: Урал, ун-т, 2005. — С. 4-6.

[Т26] А. В. Тимофеенко. Порождающие тройки инволюций групп Лайонса и ' Янко Ja j / Украшський математичний конгрес-2001. — Киев: Институт ■ математики HAH Украины, 2001.— С. 50. ; 26

[Т27] А. В. Тимофеенко, О. В. Голованова, И. В. Тимофеев. Красота формулы воплощается в красоту пространственной формы I // Вестник Красноярской государственной архитектурно-строительной академии: Сборник научных трудов Всероссийской научно-практической конференции "Сибири - новые технологии в архитектуре, строительстве и жилищно-коммунальном хозяйстве". — Т. 8. — Красноярск: КрасГАСА, 2005,- С. 287-293.

[Т28] А. В. Тимофеенко, О. В. Голованова, И. В. Тимофеев. Красота формулы воплощается в красоту пространственной формы II // Вестник Красноярской государственной архитектурно-строительной академии: Сборник научных трудов Всероссийской научно-практической конференции "Сибири - новые технологии в архитектуре, строительстве и жилищно-коммунальном хозяйстве". — Т. 8. — Красноярск: КрасГАСА, 2005. - С. 293-297.

Цитированная литература

[1] Р. Брауэр. О строении групп конечного порядка // Международный математический конгресс в Амстердаме 1954 г. — М.: Физматгиз, 1961.— С. 23-35.

[2] R. Brauer, К.A. Fowler. On groups of even order // Ann. Math. — 1955. — Vol. 62. - Pp. 565-583.

[3] W. Feit, J. G. Thompson. Solvability of groups of odd order // Pacif. J. Math.- 1963,- Vol. 4, no. 3.- Pp. 775-1029.

[4] Д. Горенстейн. Конечные простые группы. Введение в их классификацию.— М.: Мир, 1985.

[5] M. Aschbacher. The Status of the Classification of the Finite Simple Groups // Notices of the AMS. - 2004. - Vol. 142, no. 7,- Pp. 736-740.

[6] А. В. Шубников, В. А. Копцик. Симметрия в науке и искусстве.— Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 514 с.

[7] Н. S. М. Coxeter. Regular Polytopes. - Dover Publ., 1973.

[8] А. Д. Александров. Выпуклые многогранники.— M.-JL: Гостехиздат, 1950.

[9] N. W. Johnson. Convex polyhedra with regular faces (preliminary report) // Abstract 576-157, Notices of the AMS. - 1960. - January 1961. - Vol. 7. -P. 952.

[10] В. А. Залгаллер. Выпуклые многогранники с правильными гранями // Записки научных семинаров ЛОМИ.— Т. 2.— М.-Л.: Наука, 1967.— С. 5-218.

[11] М. М. Глухое. О числовых параметрах, связанных с заданием конечных групп системами образующих элементов // Труды по дискр. мат. — Т. 1. - 1997. - С. 43-66.

[12] Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь.— Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2002.

[13] S. G. Kolesnikov, Ja. N. Nuzhin. On strong reality of finite simple groups // .Acia Applicandae Mathematicae. — 2005. — Pp. 195-203.

[14] L. Di Martino, M. C. Tamburini. 2-generation of finite simple groups and some related topics // Generators and Relations in Groups and Geometries, Ed. by A. B. et al. — Netherlands: Kluver Academic Publishers, 1991.

[15] В. Д. Мазуров. О порождении спорадических простых групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Сиб. матем. журн. — 2003. -№ 1.- С. 193-198.

[16] А. И. Созугпов, Ю. С. Тарасов. Вариант алгоритма Тодда-Коксетера // Математические системы. — 2007. - № 6. - С. 115-118.

[17] Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. — Новосибирск: Институт математики СО РАН, 2006.

[18] Г. С. М. Коксетер, У. О. Дж. Мозер. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. — М.: Наука, 1980.

[19] I. Рак, R. Radoicic. Hamiltonian paths in Cayley graphs. — preprint, 2002.

[20] Б. А. Иванов. Многогранники с гранями, сложенными из правильных многоугольников // Украинский геометрический сборник. — 1971. — № 10. - С. 20-34.

[21] Ю. А. Пряхин. О выпуклых многогранниках с правильными гранями // Украинский геометрический сборник. — 1973. — № 14. — С. 83-88.

[22] Наг'el Zvi. Uniform Solution for Uniform Polyhedra // Geometriae Dedica-ta. - 1993. - Vol. 47. - Pp. 57-110.

[23] A. Hume. Exact Descriptions of Regular and Semi-Regular Polyhedra and Their Duals. — 1986. - Computer Science Technical Report, AT&T Bell Laboratories.

[24] N. IV. Johnson. Convex polyhedra with regular faces // Canad. J. Math.— 1966. - Vol. 18, по. 1. - Pp. 169-200.

[25] А. М. Гурин, В. А. Залгаллер. К истории изучения выпуклых многогранников с правильными гранями и гранями составленными из правильных // Труды Математического Общества Санкт-Петербурга.— 2008. - Т. 14, № 4. - С. 215-294.

[26] Ю. А. Пряхин. Выпуклые многогранники, грани которых равноугольны или сложены из равноугольных // Записки научных семинаров ЛОМИ. - 1974. - № 45. - С. 111-112.

[27] А. М. Гурин. Полиэдры случайной плотной упаковки равных шаров // Тр. участников междунар. школы-семинара по геом. и анал. пам. Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо. — Южн.фед.ун-т, Ростов-на-Дону: ЦВВР, 2008. - С. 24-25.

[28] К. Н. Елгина. О многогранниках Фёдорова // Математические системы. - 2007. - № 6. - С. 44-60.

[29] К. Н. Елгина. Алгебраические модели тел Фёдорова и приложения // Материалы междунар. российско-китайского семинара <Алгебра и логиках — Иркутск: ГОУ ВПО Иркут. гос. пед. ун-т, 2007. — С. 57-61.

Подписано в печать 10.10.09. Формат 60x84 */16. Усл. печ. л. 1.86. Бумага офсетная. Тираж 150 экз. Заказ 468.

Отпечатано в типографии «ЛИТЕРА-принт», Тел.(391)2950340

Рис. 5. Правильногранник Мт внут- Рис. 6. Закрашены общие грани пра-ри многогранника (Цд вильногранииков и (¿1

Рис. 7. Закрашены общие грани пра- Рис. 8. Правилыюграшшк С}6 внут-вильпограппиков Мго и <5б ри правильиограшшка <3а

1.4

V'

т

Рис. 9. Прапнлыюграшшкн Мг и

Мгд = Q^ Рнс. 10. 1-праоилыюграпш1к Мг,з

Рис. 11. Четырежды наращенная пятнекатная прямая бщютонда М3 + М9 + М3 + М'9 + М3 + М3

Введение

Глава 1. Инволюции, порождающие конечную группу, и её строго вещественные элементы

1.1. Об инволюциях в группах и геометриях

1.2. Строго вещественные спорадические простые конечные группы

1.3. О параметрах, связанных с заданием конечной группы множеством порождающих её элементов.

Глава 2. Порождающие тройки инволюций спорадических групп

2.1. Группы Коксетера.

2.2. Теоремы о порождающих тройках инволюций и схема их доказательств

2.3. Доказательство теоремы 2.2.

2.4. Доказательство теоремы 2.2.

2.5. Доказательство теоремы 2.2.

2.6. Результаты вычислений.

2.7. Гамильтоновы циклы графа Кэли.

2.8. Мазуровские тройки групп симметрий трёхмерных многогранников

Глава 3. Выпуклые правильногранники, не рассекаемые никакой плоскостью на правильногранные части.

3.1. Теорема о несоставных многогранниках без условных рёбер

3.2. Двойная серпоротонда М%

3.3. Уплощённая треугольная клиноротонда М20.

3.4. Клинокорона М

3.5. Большая клинокорона М23.

3.6. Уплощённая большая клинокорона М21.

3.7. Опоясанный двуклинник М

3.8. Плосконосая квадратная антипризма М

3.9. Плоскосный двуклиноид М^ъ.

3.10. Алгебраические модели некоторых несоставных многогранников без условных рёбер

3.11. Теорема о несоставных телах с условными рёбрами.

3.12. Наклонная призма Q\.

3.13. Правильногранник Фёдорова Q2.

3.14. Многогранник Иванова Q

3.15. Многогранник Иванова Q

3.16. Многогранник Пряхипа Qq.

3.17. Многогранник Иванова

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена избранным проблемам теории групп, комбинаторной и метрической геометрии многогранников, а также применению систем компьютерной алгебры и графики как в приложениях этих теорий, так 1 и в доказательствах. Синтез этих дисциплин в диссертации отражает современную тенденцию развития теории групп и геометрии многогранников.

Фундаментальными результатами теории групп второй половины XX века стали теорема Брауэра-Фаулера о существовании только конечного числа конечных простых групп с данным централизатором инволюции [7, 68], теорема Фейта-Томпсона [74] о разрешимости конечной группы нечётного порядка, а также открытие периодических нелокально конечных групп и новых конечных простых групп. Эти факты коренным образом изменили строительство существующего тогда здания теории групп: в начале восьмидесятых годов было объявлено о завершении классификации конечных простых групп (ККПГ); появилась теория групп, удовлетворяющих условиям конечности более сильным, чем периодичность, и более слабым, чем локальная конечность. К настоящему времени конечные простые группы разделены на бесконечные серии групп: циклических, знакопеременных и групп лиева типа, а также на серию 26 исключительных (спорадических) групп [11, 67]. Большинство спорадических групп открыто сравнительно недавно (после 1964 г.) и остаются неясными причины их исключительности. Беспрецедентность объема создаваемого текста доказательства (оценки до 20000 журнальных страниц) теоремы о ККПГ делает актуальным поиск нового доказательства. Оно не может не опираться на свойства самих конечных простых групп, изучение которых далеко от завершения. Именно такие группы исследованы в первых двух главах диссертации.

Значительное увеличение роли симметрии в изучении геометрии многогранников, прежде всего под влиянием исследований А. В. Шубникова [64] и Г. С. М. Коксетера [70], а также появление таких фактов как теорема Александрова о развертках [1], позволили от построения отдельных примеров выпуклых многогранников с правильными гранями перейти к описанию всех таких фигур. В 1960 г. появилось предположение Н. Джонсона [79] о том, что кроме правильных и равноугольно-полуправильных многогранников существует только девяносто два выпуклых многогранника с правильными гранями. В. А. Залгаллер разделяет такие многогранники на простые и составные, причём для каждого составного тела существует плоскость, рассекающая его на два многогранника с правильными гранями. В работе [16] описаны все простые многогранники, а предположение Джонсона сформулировано в ней как теорема, доказательство которой состоит лишь из указания получить все составные многогранники путем соединения простых тел. Доказательство более сильной теоремы содержит четвёртая' глава настоящей диссертации. Ей предшествует построение алгебраических моделей несоставных многогранников.

Процесс нахождения составных многогранников алгоритмизирован. Пока не найдено принципиально иных подходов к увеличению прозрачности доказательства, естественным выглядит программирование тех его частей, которые позволяют это сделать. Действительно, проведённые по одной схеме рассуждения при таком подходе превращаются в программу с набором входных данных, соответствующих каждому логически повторяющемуся фрагменту доказательства. Собственно по такому пути и развиваются системы компьютерной алгебры. Факты, полученные с применением таких систем, вызывают не меньшее доверие, чем некоторые огромных размеров доказательства, не использующие компьютер. С развитием в последние два-три десятка лет систем компьютерной алгебры игнорировать "машинные" доказательства стало невозможно.

Цель работы заключается в отыскании всех составных многогранников трёхмерного евклидова пространства и в нахождении строго'вещественных элементов конечной простой группы, а также минимальных систем порождающих эту группу инволюций с ограничениями на порядки их произведений. Алгоритмизация процесса решения этих задач тоже относится к цели настоящего исследования, поскольку позволяет не только получать по созданным алгоритмам новые знания о группах и многогранниках, но и делает более надёжными и доступными для нематематиков как входные данные этих алгоритмов в виде систем порождающих групп и фундаментальных вершин многогранников, так и результаты вычислений, готовые к применению в специализированных компьютерных системах.

Методы исследования основаны на дополняющих друг друга алгебро-геометрической технике и системах компьютерной алгебры. В качестве метода исследования применены и системы компьютерной графики.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретичег ский характер. Полученные результаты и методы могут найти применение в дальнейших, исследованиях по теории групп и геометрии многогранников. Построенные в работе компьютерные модели групп и многогранников доступны для приложений в других областях знаний:

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и двух приложений. Библиографический список содержит 93 наименования. В работе размещены 120 рисунков, 10 таблиц, предметный указатель. Диссертация изложена на 250 страницах.

Заключение

Сформулируем предложения о приложениях результатов диссертации.

1. Количество мазуровских троек инволюций каждой небольшой простой группы лиева типа, в которой Я. Н. Нужин явно указал мазуровскую тройку, [31], можно увеличить и даже в некоторых случаях явно указать все такие тройки с точностью до сопряжённости. Этого можно добиться применением методов и программных продуктов, описанных в первых двух главах диссертации. Уже первые такие приложения привели А. И. Макосия, [25], к необходимости уточнить для каждой знакопеременной группы A^ki к > 2, строение её мазуровской тройки.

2. Полученный опыт нахождения мазуровских троек и автоматизация работы по схеме из статьи [23] позволяют надеяться на появление в недалёком будущем приложения к системе GAP, которое по заданной группе будет выбирать необходимый для построения мазуровской тройки алгоритм и строить инволюции самой тройки. t

3. Применение теоремы о примитивном элементе алгебраического расширения поля рациональных чисел Q позволит найти такой минимальный многочлен /, что каждая координата любой (фундаментальной) вершины несоставного многогранника принадлежит расширению Q(0), где в - некоторый корень многочлена /.

4. Алгебраические модели многогранников позволяют в автоматическом режиме найти такие стандартные характеристики каждого из них как количество, рёбер, вершин, граней; объём, площадь поверхности, радиусы сфер, касающихся граней, рёбер, а также описанных около многогранника сферы или эллипсоида.

5. Процесс получения выпуклых правильногранников из несоставных тел, описанный в 4-й главе может быть продолжен до заполнения пространства многогранниками, при более слабых, чем в настоящей работе ограничениях на несоставные слагаемые и составленнные из них тела, [12, 14, 15].

6. Непосредственно в естествознании уже применяются группы и геометрические фигуры, изученные в настоящей работе, [2, 64]. Для этих целей более доступными, чем чисто теоретические, могут оказаться компьютерные модели из приложений А и Б.

1. Александров А. Д. Выпуклые многогранники.— М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

2. Асланов Л. А. Структуры веществ. — М.: МГУ, 1989.— С. 158.

3. Ашкинузе В. Г. О числе полуправильных многогранников // Математическое просвещение. Математика, ее преподавание, приложения и история. 1957. - Т. 1. - С. 107-118.

4. Ашкинузе В. Г. Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики, Книга 4, Геометрия.— М., 1963,— С. 382-447.

5. Бахман Б. Построение геометрии на основе понятия симметрии. — М.:1.1. Наука, 1969.

6. Беляев В. В. Инволютивное исчисление Бахмана // Математические системы. 2005. - № 3. — С. 28-33.

7. Брауэр Р. О строении групп конечного порядка // Международный математический конгресс в Амстердаме 1954 г.— М.: Физматгиз, 1961. — С. 23-35.

8. Галиулин Р. В., Михалёв С. Н., Сабитов И. X. Некоторые приложения формулы для объема октаэдра // Матем. заметки. — 2004.— Т. 76, № 1. С. 27-43.

9. Глухое М. М. О числовых параметрах, связанных с заданием конечных групп системами образующих элементов // Труды по дискр. мат. — Т. 1.- 1997.- С. 43-66.

10. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию.- М.: Мир, 1985.

11. Гурин А. М. Полиэдры случайной плотной упаковки равных шаров // Тр. участников междунар. школы-семинара по геом. и анал. пам. Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо. — Южн.фед.ун-т, Ростов-на-Дону: ЦВВР, 2008. С. 24-25.

12. Гурин А. М., Залгаллер В. А. К истории изучения выпуклых многогранников с правильными гранями и гранями составленными из правильных // Труды Математического Общества Санкт-Петербурга. — 2008. Т. 14, № 4. - С. 215-294.

13. Елгина К. Н. Алгебраические модели тел Фёдорова и приложения // Материалы междунар. российско-китайского семинара <Алгебра и логиках — Иркутск: ГОУ ВПО Иркут. гос. пед. ун-т, 2007. — С. 57-61.

14. Елгина К. Н. О многогранниках Фёдорова // Математические системы. 2007. - № 6. - С. 44-60.

15. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями // Записки научных семинаров ЛОМИ.— Т. 2.— М.-Л.: Наука, 1967.— С. 5-218.

16. Иванов Б. А. Многогранники с гранями, сложенными из правильныхмногоугольников // Украинский геометрический сборник.— 1971.— № 10. С. 20-34.

17. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — М.: Наука, 1996.

18. Коксетер Г. С. М., Мозер У. О. Д. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. — М.: Наука, 1980.

19. Листова О. В. Параметры вложения инволюций знакопеременных групп // Algebra and Model Theory №4,— Новосибирск: НГТУ, 2003.— С. 62-68.

20. Листова О. В. Параметры вложения инволюций некоторых групп // Материалы конф. молодых учёных. — Красноярскк: ИВМ СО РАН, 2003. — С. 30-35.

21. Мазуров В. Д. О порождении спорадических простых групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Сиб. матем. журн.— 2003. — № 1. — С. 193-198.

22. Макосий А. И. Порождающие четверки инволюций группы PSUs(9) // Избр. докл. междунар. конф. по математике и механике. — Томск: ТГУ, 2003. С. 28-30.

23. Макосий А. И., Тимофеенко А. В. О мазуровских тройках спорадической группы В и гамильтоновых циклах графа Кэли // Дискретная математика. 2008. - Т. 20. - С. 87-93.

24. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. — Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2002.

25. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. — Новосибирск: Институт математики СО РАН, 2006.

26. Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций групп Шевалле над конечным полем характеристики 2 // Алгебра и логика. — 1990. — Т. 29, № 2. С. 192-206.

27. Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций знакопеременных групп // Математические заметки.— 1990.— Т. 51, № 4.— С. 91-95.

28. Нуокин Я. Н. Порождающие элементы простых групп и их приложения: Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук / Красноярский государственный технический университет. — Красноярск, 1996. — октябрь.

29. Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций групп лиева типа над конечным полем нечетной характеристики. I // Алгебра и логика. — 1997. — Т. 36, № 1.- С. 77-96.

30. Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций групп лиева типа над конечным полем нечетной характеристики. II // Алгебра и логика. — 1997. Т. 36, № 4. - С. 422-440.

31. Нужин Я. Н., Тимофеенко А. В. Порождающие тройки инволюций некоторых спорадических групп. — Красноярск: ИВМ СО РАН. — 20 с. — препринт №13-99.

32. Попов А. М., Созутов А. И., Шунков В. П. Группы с системами фробе-ниусовых подгрупп. — Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. — 212 с.

33. Пряхин Ю. А. О выпуклых многогранниках с правильными гранями // Украинский геометрический сборник. — 1973. — № 14. — С. 83-88.

34. Пряхин Ю. А. Выпуклые многогранники, грани которых равноугольны или сложены из равноугольных // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1974. - № 45. - С. 111-112.

35. Рябинина Н. А., Сучков Н. М., Шунков В. П. Об особых подгруппах конечных групп с инволюциями: Tech. Rep. 10.— Красноярск: ВЦ СО РАН, 1995. — Препринт.

36. Сабитов И. X. Обобщённая формула Герона—'Тарталья и некоторые её следствия // Матем. сб. — 1998. — Т. 189, № 10, — С. 105-134.

37. Созутов А. И., Тарасов Ю. С. Вариант алгоритма Тодда-Коксетера // Математические системы. — 2007. — № 6. — С. 115-118.

38. Тимофеенко А. В. Простые конечные спорадические группы, порождённые тремя инволюциями. — http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=2860.

39. Тимофеенко А. В. О порождающих тройках ииволюций в спорадических группах. — 2001. — март. — Рукопись деп. ред. Сиб.матем.журн. в ВИНИТИ 19.03.01 Ж393-В2001.

40. Тимофеенко А. В. Порождающие тройки инволюций групп Лайонса и Янко J4 // Украшський математичний конгрес-2001. — Киев: Институт математики HAH Украины, 2001.— С. 50.

41. Тимофеенко А. В. Компьютерные модели групп и многогранников // Избр. докл. междунар. конф. по математике и механике, (16-18 сентября, 2003). Томск: ТГУ, 2003. - С. 31-38.

42. Тимофеенко А. В. О порождающих тройках инволюций больших спорадических групп // Дискретная математика. — 2003.— Т. 15, № 2.— С. 103-112.

43. Тимофеенко А. В. О строго вещественных элементах конечных групп // Фундаментальная и прикладная математика.— 2005.— Т. 11, № 2.— С. 209-218.

44. Тимофеенко А. В. О классификации выпуклых правильногранников // Материалы междунар. российско-китайского семинара «Алгебра и логика». Иркутск: ГОУ ВПО Иркут. гос. пед. ун-т, 2007.- С. 103-108.

45. Тимофеенко А. В. Выпуклые правильногранники, не рассекаемые никакой плоскостью на правильнограиные части // Математические труды. 2008. - Т. 11, № 1. - С. 132-152.

46. Тимофеенко А. В. Несоставные многогранники, отличные от тел Платона и Архимеда // Фундаментальная и прикладная математика. — 2008. — Т. 14, №2.-С. 179-205.

47. Тимофеенко А. В. Выпуклые многогранники с паркетными гранями // Доклады академии наук. — 2009. — Т. 428, № 4. — С. 454-457.