Обобщенные тождества примитивных алгебр м инволюцией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

у Г.; IБ йЕ8

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 512.552.4

ПЕНТУС АННА ЕВГЕНЬЕВНА

ОБОБЩЕННЫЕ ТОЖДЕСТВА ПРИМИТИВНЫХ АЛГЕБР С ИНВОЛЮЦИЕЙ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1996

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор А. В. Михалёв Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор А. А. Туганбаев — доктор физико-математических наук, профессор Д. В. Тюкавкин Ведущая организация — Московский педагогический

государственный университет

Защита диссертации состоится ".25." .........1996 г.

в 16 ч. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж). Автореферат разослав ..^Рй^Л&йЯ...'. 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук,

профессор В. Н. Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В отличие от полиномиальных тождеств обобщенные тождества представляют собой сравнительно молодую область теории колец. Хотя объекты, являющиеся по сути дела обобщенными тождествами, исследовали Литлвуд [1] и Ричардсон [2], основополагающей в этой области считается работа Амицура 1965 г. [3].

Амицуром [3] были изучены обобщенные тождества примитивных колец. В 1969 г. Мартиндейл [4], используя понятие расширенного центроида и центрального замыкания, получил результаты об обобщенных тождествах первичных колец.

Дальнейшее изучение обобщенных тождеств шло по двум направлениям. В работах Мартиндейла [5] и Роуэна [6] исследовались

1. Littlewood D. E. Identical relations, satisfied in an algebra // Proc. Amer. Math. Soc. — 1931. — V. 32, №2. — P. 312-320.

2. Richardson A. R. Equations over a division algebra // Messenger of Math. — 1928. — V. 57. — P. 1-6.

3. Amitsur S. A. Generalized polynomial identities and pivotal monomials // Trans. Amer. Math. Soc. — 1965. — V. 114, № 1.— P. 210-226.

4. Martindale W. S., III. Prime rings satisfying a generalized polynomial identities // J. Algebra. — 1969. — V. 12, № 4. — P. 576-584.

5. Martindale W. S., III. Generalized identities and rings with involution. — Lecture Notes in Pure and Applyed Mathematics, 51. — New York: Marsel Dekker, 1979.

6. Rowen L. H. Polynomial identities in Ring Theory. — New York: Academic Press, 1980.

обобщенные тождества с инволюцией. Это направление было продолжено изучением обобщенных тождеств с дифференцированиями, автоморфизмами и антиавтоморфизмами [7, 8, 9].

Второе направление — изучение обобщенных тождеств полупервичных колец — развивается К. И. Бейдаром и А. В. Михалёвым и основано на использовании введенной ими конструкции ортогонального пополнения [10], [11].

В 1976 г. В. Н. Латышев поставил вопрос о строении Т-иде-алов обобщенных тождеств. Структура Т-идеала данного кольца позволяет делать выводы о строении самого кольца, а также его кольца частных. Для колец матриц над полем описание Т-идеала обобщенных тождеств было дано уже Литлвудом [1]. Для полупервичных колец эту задачу решил К. И. Бейдар [12].

В настоящей диссертации мы исследуем строение Т-идеала

7. Харченко В. К. Обобщенные тождества с автоморфизмами // Алгебра и логика. —1975. — Т. 14, № 2. — С. 215-237.

8. Beidar К. I., Mikhalev А. V., Salavova С. Generalized identities and semiprime rings with involution // Math. Z. — 1981. —B. 178, H. 1. — S. 37-62.

9. Chuang C.-L. ^-differential identities of prime rings with involution // Trans. Amer. Math. Soc. — 1989. —V. 316, № 1. — P. 251-279.

10. Бейдар К. И., Михалев А. В. Ортогональная полнота и алгебраические системы // Успехи матем. наук. —1985. — Т. 40, № 6. — С. 79-115.

11. Beidar К. I., Martindale W. S., Mikhalev А. V. Rings with Generalized Polinomial Identities. — New York: Marsel Dekker, 1995.

12. Бейдар К. И. О строении Т-идеала обобщенных тождеств полупервичного кольца // Тезисы сообщений 14-й Всесоюзной алгебраической конференции. Ч. 2. — Новосибирск, 1977. — С. 8.

2

обобщенных тождеств для колец с инволюцией. Аналогичный результат получен для случая конечномерных центральных простых алгебр с инволюцией 1-го рода [13] и обобщен на случай конечномерных центральных простых алгебр с конечной группой автоморфизмов и антиавтоморфизмов [14].

Цель работы — исследовать строение '/-идеала обобщенных тождеств примитивной алгебры R с инволюцией над полем F в следующих случаях:

1. при наличии идемпотента е £ R, такого что eñe = eF (поле F предполагается алгебраически замкнутым). Принимая во внимание то, что в примитивном кольце с ненулевым цоколем любая инволюция имеет либо тип транспонирования, либо симплектический тип (теорема 4.6.2 [11]), автор находит явный вид Т-идеала обобщенных тождеств для инволюции каждою типа, а затем получает общую теорему;

2. при условии, что существует симметрический идемпотент и, такой что uRu — тело, конечномерное над своим центром uF, причем размерность [uRu : uF] нечетна.

Методы исследования. В диссертации использована техника, развитая при изучении обобщенных тождеств К. И. Бей-даром, а также комбинаторные методы. Доказан аналог леммы Амицура (лемма 4 [1]), представляющий собой удобное техническое средство для работы с обобщенными тождествами с инволюцией.

13. Rosen J. D. ^-generalized polynomial identities of finite dimensional central simple algebras // Israel J. Math. — 1983. — V. 46, № 1-2. — P. 97-102.

14. Rosen J. D., Rosen M. P. Generalized identities of finite dimensional central simple algebras // Comm. Algebra — 1985. — V. 13, № 1. — P. 113-124.

Научная новизна и практическая ценность. Результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть полезны специалистам в области обобщенных тождеств. В работе дано описание Г-идеала обобщенных тождеств примитивной алгебры Я с инволюцией над полем Р для случаев, когда 1) в алгебре Я имеется ненулевой симметрический идемпо-тент е, такой что еИе — еР (теорема 3.2.1); 2) инволюция алгебры Я симплектического типа и найдется такой ненулевой идемпо-тент е, что с Не = еР (теорема 3.1.1); 3) в алгебре Я существует симметрический идемпотент и, такой что и Ли — тело, конечномерное над своим центром иР, причем эта размерность ([«Ли : иР]) нечетна (теорема 5.3.1).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах, указанных в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и 5 глав, разбитых на 13 параграфов. Текст диссертации изложен на 116 страницах. Список литературы содержит 30 наг именований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор результатов по исследуемой проблеме и кратко формулируются основные результаты диссертации.

В первой главе собраны определения и обозначения, используемые в работе: в § 1.1 — определения, связанные с понятием инволюции, в § 1.2 — с понятием обобщенного тождества, в § 1.3 — с билинейными формами.

Приведем некоторые определения, используемые в автореферате. Пусть Р — поле, (Е, *) — алгебра над полем Р с

4

инволюцией *, ограничение которой на поле F тождественно, X — {х1,ж2|---}; X* — {а^, х*2,...}, У = X и X* — множество некоммутирующих переменных. Пусть Яр {У) — алгебра, являющаяся свободным произведением алгебры Я и — свободной алгебры над полем Р, порожденной множеством У. Элементы кольца Яр (У) будем называть обобщенными полиномами. Инволюция * кольца Я может быть естественным образом продолжена до инволюции кольца Яр(У).

Обобщенный полином

/(¡с! ,х2,...,хъ, я,* хЦт) 6 Яр(У)

является обобщенным тождеством (с инволюцией) кольца Я, если /(а) = 0 для всех наборов а из множества

А = {(г1,г2... .,гп,г1,г*2,...,г*) | п £ Я},

гдеп=тах{&,т}. Легко проверить, что все обобщенные тождества с инволюцией данного кольца Я образуют идеал кольца Яр(У), который мы будем обозначать через С*(Я).

Эндоморфизм Ф кольца Яр (У) с инволюцией * будем называть допустимым, если Ф(г) = г для любого элемента гей С Яр(У) и Ф(Г) = [Ф(/)]ф для всех / € ЯР{У). Идеал I кольца Яр (У) назовем Т -идеалом, если Ф (I) С I для любого допустимого эндоморфизма Ф кольца Яр (У). Пусть /(У) — обобщенный полином из кольца Яр{У). Под Т(Я\ /(У)) будем понимать пересечение всех Т-идеалов кольца Яр (У), содержащих данный многочлен.

В § 1.4 доказаны две технические леммы, касающиеся автоморфизмов колец матриц, необходимые для доказательства основных результатов.

Во второй и третьей главах приводится доказательство основной теоремы, описывающей строение Т-идеала обобщенных

тождеств примитивной алгебры R с инволюцией * над алгебраически замкнутым полем F. В § 2.1 и § 3.2 рассматривается случай, когда существует ненулевой симметрический идемпотент е R, такой что eñe = eF (это случай инволюции транспонирования). В § 2.1 предполагается, что идеал Re конечномерен как правое векторное пространство над полем eñe, а в § 3.2 это ограничение снято. В § 2.2 и § 3.1 рассматривается случай инволюции симплек-тического типа (для любого идемпотента е € ñ, для которого Re — минимальный левый идеал кольца R, имеем ее* = 0). В § 2.2 опять накладывается условие конечномерности идеала Re как векторного пространства над полем eñe, а в § 3.1 этого ограничения нет.

Таким образом, во второй главе рассматривается конечномерный случай, т. е. dime/¡eñe < оо. В этой главе приводятся два следствия — приложения полученных теорем к кольцу матриц над полем.

Теорема 2.1.4. Пусть F — поле, ñ = Mn(F) — кольцо (п х п)-матриц над полем F, * — транспонирование на R. Пусть ец — стандартная матричная единица. Тогда

1) если |F[ = оо, то

G*(R) = T(ñ; 52(ец; У)) + T(ñ; Invt(en i Y)),

2) если |F| = q < оо, то G*(ñ)=T(ñ;£2(eli;y))+ T(ñ; 1пЩ{еп\У))+Т(ЪЬч{еп\У)),

где

5г = ецатхецггец - ецх^ецх^ц,

Invt = enríen - е-цх^еп,

Lq = (ецх1ец)« - еццеп-

6

Теорема 2.2.5. Пусть ^ — поле, Я = М„(.Р) — кольцо (п х п)- матриц над полем Г, * — каноническая симплектическая инволюция на Я, ец — обычная матричная единица. Тогда

1) если = оо, то

С-(Д) = Т(Я; 52(еи;У)) + Г(Я; /пт,.(ец;У)),

2) если 1^1 = ? < оо, то

СФ(Я) = Г(Л;52(ец;У)) + Г(Л; /т>,(еи;У)) + Т(Л;19(е11;У)), где

>?2 = ецгаецжгец — епх^ецх^ец, 1пь, = е*пХ!еп + е^х^еи, Ья = (ец11ец)' - еил^ец.

В § 3.1 доказывается основная теорема для случая симплек-тической инволюции.

Теорема 3.1.1. Пусть Я — примитивная алгебра с единицей над алгебраически замкнутым полем .Г характеристики, не равной 2, * — инволюция симплектического типа алгебры Я. Пусть в кольце Я найдется такой ненулевой идемпотент е, что еЯе = еР. Тогда

С*(Я) = Т(Я; 52(е; У)) + Г(Я; 7п», (е; У)),

где

52 = ех\ехч,е — ех2ех\е, 1пь„ = е*Х1в + е'х^е.

§ 3.2 посвящен доказательству основной теоремы для случая инволюции транспонирования.

Теорема 3.2.1. Пусть Я — примитивная алгебра с единицей над алгебраически замкнутым полем Г характеристики, не равной 2, * — инволюция алгебры Я. Пусть в кольце Я существует

7

ненулевой симметрический идемпотент е, такой что с Не — eF. Тогда

С {В) = Т(Я; 52(е; У)) + Т(Я; /м«4(е;У)),

где

= егхежге — ех2еа;1е> /пг!4 = е'г^е — е*Ж)в. В § 3.3 доказана теорема, объединяющая результаты § 3.1 и

§ 3.2.

Теорема 3.3.2. Пусть в примитивной алгебре Я с инволюцией * над алгебраически замкнутым полем F характеристики, не равной 2, .существует ненулевой идемпотент и, такой что иЯи = иГ. Тогда:

1) если * — инволюция типа транспонирования, то

= Г(Я;52(и;У)) +Т(Д;1ш><(и; У));

2) если * — инволюция симплектического типа, то

<7*(Я) = ад &(«; У)) + Т(Я; /п»,(и; У)).

Тождества Б2(с; У), /пи<(о; У) и 1пуа(щ У) определены как и раньше.

Глава 4 целиком отдана доказательству основной леммы. Основная лемма для случая инволюции транспонирования. Пусть Д — алгебраически замкнутое поле характеристики, не равной двум, и — бесконечномерное правое векторное пространство над А и на II задана симметрическая невырожденная билинейная форма {, ). Пусть Я и Ро — конечномерные подпространства пространства V. Пусть . .,1п — набор Д-линейно независимых непрерывных относительно (, ) линейных преобразований пространства V в себя, таких что множество Т — 1\А + • • - + ¿„Д

не содержит ненулевых элементов конечного ранга и <■ = для

г = 1,..., п0, = —для I — п0 + 1.....п, где 1 ^ п0 ^ п. Пусть

¿1,.. .6п — элементы поля Д, такие что ¿„„+1 = 0,..., 8п = 0.

Тогда найдется элемент к.е Н1, такой что

(1) ¿1 ь,..Лпь А-линейно независимы по модулю подпространства Щ;

(2) (у, = для I = 1,..., п.

Доказательство опирается на результаты шести предшествующих основной лемм. Часть из этих шести лемм (а также сама основная лемма) сформулированы в двух вариантах — для случая симметрической и кососимметрической билинейных форм или, что то же самое, для случая симплектической инволюции и случая транспонирования.

В пятой главе изучается вопрос об усилении полученных результатов путем снятия условия еЯе = еР.

В § 5.1 предполагается, что Н — примитивная алгебра с единицей над бесконечным полем F) цоколь алгебры Я не равен нулю и найдется идемпотент и € Бос(Я), такой что иЯи — тело, конечномерное над своим центром иР. Тогда если К — алгебраическое замыкание исходного поля F> то Я К будет примитивной алгеброй с ненулевым цоколем 8ос(Я)®р/£, содержащим такой идемпотент е, что е(Я®^ К)е — еК и (и® 1)е(и® 1) = е. Рассматривается вопрос о том, как связаны между собой идеалы обобщенных тождеств алгебр с инволюцией Я и Я®.г К. Доказана следующая лемма.

Лемма 5.1.2. Пусть Я — алгебра с единицей над полем Р, К — расширение поля Р. Тогда

С*(Я) К С <?*(Я ®Р К).

Основным результатом § 5.2 является теорема, которая,. во-первых, представляет самостоятельный интерес, давая иное

описание идеала обобщенных тождеств кольца матриц над полем с инволюцией транспонирования, и, во-вторых, позволяет доказать теорему § 5.3, в которой отсутствует условие еЯе — еР, которое ранее накладывалось на исходный идемпотент е алгебры Н.

Теорема 5.2.2. Пусть М = Мп(Р) — кольцо (п х п)-матриц над полем Р характеристики, не равной 2, * — инволюция транспонирования на кольце М, ,..., х^) — стандартное тождество степени й. Тогда

в*(М) = Т(М]32П-1(Х1+Х1,Х2-Х,2,Хз-ХЗ, . . . ,®2п-1-®2п-1)) +

+ Т(М; 52„(ать х2,..., х2п)).

Теорема 5.3.1. Пусть Л — примитивная алгебра с единицей над бесконечным полем Р характеристики, не равной 2, * — инволюция на Я. Пусть найдется симметрический идемпотент и € 8ос(Д), такой что иЯи — тело, конечномерное над своим центром иР, причем размерность [иЯи : иР] = £2 нечетна. Тогда

в*(Я) К С Т(Л;524(и;У)) К + ВДЯ^^У)) К. Здесь

тг€П(2г)

11(2/) — симметрическая группа степени а 8-м_1(и] У) определено аналогично У)-

Автор пользуется случаем, чтобы выразить свою самую искреннюю благодарность своему научному руководителю, профессору А. В. Михалёву, и К. И. Бейдару за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1) Пентус А. Е. Идеал обобщенных тождеств кольца п х «-матриц над конечным полем с инволюцией // Успехи матем. наук. — 1992. — Т. 47, № 2. — С. 187-188;

2) Пентус А. Е. Строение Т-идеала обобщенных тождеств примитивных алгебр с инволюцией над полем // Успехи матем. наук. — 1992. — Т. 47, № 6. — С. 227-228;

3) Пентус А. Е. Т-идеал обобщенных тождеств некоторого класса примитивных алгебр с инволюцией // Фундаментальная и прикладная математика. — 1995. — Т. 1, № 1. — С. 255-262.