О представлении элементов группы произведением инволюций и смежные вопросы

Макосий, Алексей Иванович

О представлении элементов группы произведением инволюций и смежные вопросы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Макосий, Алексей Иванович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Красноярск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «О представлении элементов группы произведением инволюций и смежные вопросы»

Автореферат диссертации на тему "О представлении элементов группы произведением инволюций и смежные вопросы"

На правах рукописи

Макосий Алексей Иванович

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЭЛЕМЕНТОВ ГРУППЫ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ ИНВОЛЮЦИЙ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

4856161

2 4 ОЕВ 2011

Красноярск - 2011

4856161

Работа выполнена в Институте вычислительного моделирования Сибирского отделения РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Тимофеенко Алексей Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Егорычев Георгий Петрович кандидат физико-математических наук Зюбин Сергей Александрович

Ведущая организация: Институт математики им. С. Л. Соболе-

ва СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится 4 марта 2011 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 в Сибирском федеральном университете, расположенном по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Сибирского федерального университета.

оО

Автореферат разослан января 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Вушуева Н.А.

Общая характеристика работы

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Многие задачи теории групп и ее приложений сводятся к проблеме нахождения множества порождающих элементов, удовлетворяющих ряду определенных свойств. Для конечных простых групп и близких к ним наибольший интерес вызывают порождающие множества минимальной мощности, в которых особую роль играют инволюции.

Всякая конечная простая иеабелева группа содержит инволюции и порождается любым классом сопряженных инволюций. Естественно возникает вопрос: каково минимальное число инволюций (необязательно сопряженных), порождающих конечную простую неаболеву группу? К 90-м годам прошлого века стало известно, что тремя инволюциями порождена каждая конечная простая неабелева группа, исключая группу ?/з(3) [1].

С другой стороны, были описаны группы, порожденные тремя инволюциями, порядки произведений каждых двух из которых невелики. Например, если эти порядки равны 2, 3, 5, то соответствующая группа является либо знакопеременной группой либо ее инволютивным расширением. Несколько лет назад было выяснено [2-7] какие конечные простые неабелевы группы порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны. Такие тройки инволюций, если они существуют в группе, называются далее мазу-ровскими тройками, инволюций этой группы.

Я. Н. Нужин [2-6] доказал, что в некоторых линейных группах размерностей, не превосходящих 4, и в знакопеременных группах Ад, Ау,Ац мазу-ровских троек инволюций не существует, а в других знакопеременных группах и простых группах лиева типа указал явно по мазуровской тройке. Ясно, что если {г,3,к) — мазуровская тройка инволюций, причем ¿7 = то тройки инволюций вида (¿7, г, к) и также являются мазуровскими.

В работе [7] показано, что среди спорадических групп, только группы Матье Ми, М22, М23 и группа Маклафлина МсЬ не обладают мазуровскими тройками инволюций. Вместе с тем, несколько ранее отсутствие мазуровских троек инволюций в этих группах было показано в работе [8], положившей начало циклу работ по следующей задаче:

В1. (А. В. Тимофеенко). Указать алгоритмы поиска мазуровских троек инволюций в конечных простых группах и создать электронный атлас таких троек.

Если (г, к) — мазуровская тройка инволюций конечной простой группы б и |г?| = 2, |г'А;| = р, — д, то определим Сг((?) как множество всех таких упорядоченных пар чисел (р, д). Мы не различаем две мазуровские тройки инволюций, если соответствующие числа р и д равны.

Группу типа Коксетера со следующим графом Коксетера прир, д > 3,

. Р . * .

а с Ь

Д. Докович предложил называть ТС(р, (^-группой. Вопрос, какие конечные простые неабелевы группы являются ТС(р,д,)-группами, равносилен вопросу о существовании мазуровских троек инволюций в конечных простых группах. В работе [8] поставлен более сильный вопрос.

В2. (Я. Н. Нужин). Какие конечные простые группы являютсяТС(р, д)-группами при фиксированныхр ид?

Особый интерес представляют частные случаи для малыхр и д, а именно, когда (р,д) = (4,5), (4,6), (5,5), (5,6), (6,6). Известно, что линейная группа ¿2(11) является ГС(5,5)-гругшой и ТС(5,6)-группой, а знакопеременная группа Л5 — ГС(5,5)-группой. Известно [9] также, что если (р,д) € {(3,3), (3,4), (3,6), (4,4)}, то ТС(р, д)-группа не проста. Построив (под)множество

С2(С), мы получаем ответ на вопрос: о принадлежности группы б классу ТС(р,д).

Если группа порождена тремя инволюциями г, к, то, очевидно, что произведение элементов укк^ = 1, а если г/ = ji, то единице равно произведение пяти инволюций (у -- одна из них), порождающих эту группу. И тогда возникает следующий вопрос («Коуровская тетрадь», вопрос 14.69):

ВЗ. (Я. Н. Нужии). Для каждой конечной простой неабелевой группы найти минимум, числа порождающих инволюций, удовлетворяющих дополнительному условию, в каждом из следующих случаев.

1) Произведение порождающих инволюций равно 1.

2) (Ма11е-3ах1-\¥егде1) Все порождающие инволюции сопряокены.

3) (Ма11е-8ах1-\\ге1,де1) Выполняются одновременно свойства 1) и 2).

4) Все порождающие инволюции сопряжены и две из них перестановочны.

С точки зрения строения порождающего множества конечной простой группы нужно выделить гипотезу Дж. Томпсона, занесенную В. Д. Мазуровым в «Коуровскую тетрадь» как вопрос 9.24.

В4. (Дж. Томпсон). Гипотеза: всякая конечная простая иеабелева группа й представима в виде (7 = СС, где С — некоторый класс сопряженных элементов группы С.

Возможности вычислительных методов были эффективно использованы в данной работе при изучении парных силовских пересечений в конечных почти простых группах. Важным инструментом в такого рода исследованиях является параметр /Р(С?). Пусть (7 — конечная группа с силовской р-подгруппой Р и условием Ор(С) = 1, где Ор(£?) обозначает наибольшую нормальную р-подгруппу группы Р. Если X = [Р!> | Рд Г) Р — \,д € (?}, то, очевид-

но, что подгруппа Р действует сопряжениями на множестве X. Через 1Р(С) обозначим число орбит при этом действии.

В5. (В. И. Зенков). Чему равно значение 12(АЫ(С1)) для групп Шевалле малых рангов над полем порядка не превосходящего 9 ?

Как заметил В. И. Зенков изучение групп над полями порядков не более 9 является базисным при рассмотрении общего случая. Он же предложил автору использовать компьютерные вычисления для решения данного вопроса.

Цель диссертации. Целью диссертационной работы является построение новых порождающих множеств с некоторыми условиями, создание геометрических интерпретаций соответствующих групп и вычисление ряда параметров порождающих и связанных с ними множеств в контексте вопросов В1-В5.

Основные результаты. Основные результаты диссертации связаны с решением вопросов В1, В2, В5 и состоят в следующем:

— указан явный вид некоторых мазуровских троек инволюций спорадической группы Бэби В;

— создан комбинаторный алгоритм поиска мазуровских троек инволюций в группе, позволяющий, с точностью до сопряженности, указать все такие тройки. Этот алгоритм реализован для последовательного и параллельного варианта компьютерных вычислений;

— получено точное значение, либо нижняя оценка числа орбит при действии силовской 2-подгруппы сопряжениями на множестве силовских 2-подгрупп, тривиально пересекающихся с ней в группах автоморфизмов ряда групп лиева типа.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Диссертационная работа носит теоретический характер.

Методы исследования. Основным инструментом изучения групп в представляемой работе являются компьютерные вычисления с помощью системы компьютерной алгебры GAP [10]. Применяются методы параллельного программирования. Специфика инструментария позволяет конструктивно отвечать на поставленные вопросы, что весьма важно для приложений.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы, в теории групп и ее приложениях. Практическая значимость диссертации обусловлена тем, что созданные алгоритмы могут быть легко интегрированы в систему компьютерной алгебры GAP, а результаты посредством создания электронного атласа доступны для прикладных исследований.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной конференции по математике и механике, посвященной 125-летию ТГУ и 55-летию ММФ (Томск, 2003 г.), Всероссийской научно-технической конференции «Параллельные вычисления в задачах математической физики» (Ростов, 2004 г.), Межрегиональной школе-семинаре «Распределенные и кластерные вычисления» (Красноярск, 2004 и 2005 гг.), Международной алгебраической конференции по теории групп (Екатеринбург. 2005 г.), посвященной 100-летию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию J1. Н. Шеври-на, Международном российско-китайском семинаре «Алгебра и логика» (Иркутск, 2007 г.), Международной алгебраической конференции, посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Кострикина (Нальчик, 2009 г.), Международной конференции «Алгебра, логика и приложения» (Красноярск, 2010 г.), Международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2009 и 2010 гг.), Красноярском алгебраическом семинаре.

Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [М1-М15], в том числе в статье [М10], входящей в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, приложения и списка литературы (43 наименования). Нумерация теорем, лемм, следствий и примеров включает последовательно номер главы, параграфа и порядковый номер в параграфе. Объем диссертации 83 страницы.

Содержание работы

Первая глава состоит из пяти параграфов и посвящена вопросам В1—ВЗ, связанными с задачей построения порождающих множеств инволюций для конечных простых групп. Показано, что группа (7з(3) порождается четырьмя инволюциями и получены все, с точностью до изоморфизма их графов Коксетера, такие четверки инволюций.

Указан алгоритм поиска мазуровских троек инволюций в конечной простой группе и с его помощью построены все, с точностью до порядков пар неперестановочных инволюций, мазуровские тройки инволюций знакопеременных групп Ап, 12 ^ п ^ 16. Следующая теорема исправляет неточность работы [2].

Теорема 1.2.1. Знакопеременная группа А\т,т ^ 3, порождается тремя инволюциями г,],к, две из которых перестановочны, причем в качестве таких инволюций можно взять подстановки: г = (1,2)(3,4)...(п — 5,п — 4)(п — 3,п)(п — 2,п — 1), 3 = (5,6)(7,8)...(п - 3, п - 2)(п - 1, п), (2,3)(4,5)...(п-4,га-3),п = 4т.

С использованием подгруппового строения построено подмножество мазуровских троек инволюций спорадической группы Бэби В.

Пусть а,Ь — указанные в электронном атласе конечных групп [11] порождающие элементы спорадической группы Бэби В,

с = (ab)~yi(abababb)l0(ab)13, d = jW^W'^W", e = cdj = cd2, К = {с, df2e2fef3e3fe2fe2fe4fe2fef2c, e2f2e2fefe2/e2fefefefe4f2e /е4/е, /e4/e/2e/5e/2e/e/2e2/2e/3e/e3/2e2/2e2/3e/4e, d/2e2/3e/3e2/e4/e/2e /e2/3e3/2e2/e/2e/e2/, fefe2fdefef3efe2fe,df2e2fefe2febfe2fefefefe2 /3e3/3e/e/4, e2 f efe2 fe"fe2f efefefe2f e2 Jefe fef\d2/2e2/3e/3e4(/e)3/2e /е2/2(е/)4е/2е2/2е2/3е/, d2/3e3/e3/2e/3e/2e/4e2/2e/2e2}.

Теорема 1.2.4. Если a,b — указанные a электронном атласе конечных групп порождающие элементы спорадической группы БэбиВ, то тройка инволюций (i,j,k), где i — a, j = ((аЬаЪЪаЬаЪаЬЬаЬаЪаЬаЬЬаЪаЬЬаЬЬ)й^аЬЬаЬЬаЬаЬЬ или j = ((bababababbababbabababababbababbabbabb)12y'Mbbabababb, для всех k G К является мазуровской тройкой инволюций этой группы.

Найденные мазуровские тройки инволюций позволяют указывать новые определяющие соотношения для группы. Так спорадическая группа Япко Л является группой типа Коксетера со следующими определяющими соотношениями: Ji = (а, 6, с | а2, Ь'2, с2, (аЬ)2. (ас)3, (bc)7, (abc)10, (bcbca)15).

В третьем параграфе указан алгоритм и его компьютерная реализация построения гамильтоловых циклов в графе Кэли конечной группы, порождённой инволюциями мазуровской тройки. Приведены примеры гамильтоновых циклов. Теорема 1.2.4 и результаты третьего параграфа получены в неразделимом соавторстве с научным руководителем и опубликованы в [М9-М11].

В четвертом параграфе для групп Ьз(д) исследован вопрос о минимальном значении числа порождающих инволюций, произведение которых равно единице. Если обозначить через njt(G) минимум числа порождающих инволюций группы G, произведение которых равно единице и удовлетворяющих условию под номером к в вопросе ВЗ, то справедлива

Теорема 1.4.1. Если G ~ L3(q) и q = 7,13,19,25,31,37, то nk{G) = 5,1 < к ^ 5.

В пятом параграфе некоторые знакопеременные группы классифици-

рованы как группы типа Коксетера. В шестом параграфе размещены множества Сг(С) для знакопеременных групп Ап. 12 < п ^ 16, и спорадической группы Бэби В. Результаты параграфов 1,2,4-6 опубликованы в работах [М2-М4,М6,М8,М12].

Во второй главе приведены результаты исследования вопросов В4, В5. В первом параграфе предложены два алгоритма проверки гипотезы Томпсона и доказана

Теорема 2.1.1. Любая из групп лиева типаР^(2), -Рб(2), 3^(2), 3£>4(2), 3Г>4(3), 2£'б(2), 2^(8), 2Сг(3), 62(9), Я ^ 5 представила квадратом некоторого класса сопряженных элементов.

Среди спорадических групп только группа Янко «Д представима квадратом любого своего класса сопряженных элементов. Приведен алгоритм проверки группы на строгую вещественность и с его помощью проверено, что среди спорадических групп только группы Янко Л, <Ь являются строго вещественными. Кроме того, в группе Янко содержащей два класса сопряженных инволюций 2А,2В, указано, что ф (2Ф (2В)2, но Ь = (2 В)2 + 2А2В.

Использование традиционных методов и компьютерных вычислений позволило существенно увеличить число исследованных групп при изучении парных силовских пересечений. Во втором параграфе доказана

Теорема 2.2.1. Значение параметра ^(Аи^Б^З))) и12(Аи1(11з(3))) равно единице. Если б одна из групп Ьз(д), д ^ 9, С/з(5), Е/з(9), ¿4(3), £4(3), ЗД, Л7(3), Пв (3), Г2+(3), то 12(АгЛ{<3)) > 3.

Указанная в теореме оценка параметра достаточна для дальнейшего исследования этих групп, хотя для каждой из них, за исключением ортогональных групп, найдено его точное значение. Результаты второй главы опубликованы в [М6,М7,М13-М15].

Приложение содержит тексты компьютерных программ на языке систе-

мы компьютерной алгебры GAP с комментариями для пользователя. Даны рекомендации по использованию программ.

В заключении приводятся некоторые замечания о вычислительных аспектах реализации алгоритмов и практическом использовании результатов диссертации.

Автор выражает искреннюю благодарность за всестороннюю помощь своему научному руководителю Алексею Викторовичу Тимофеенко. Автор благодарен Виктору Ивановичу Зенкову за инициированную совместную работу и предложенную задачу. Автор благодарен Владимиру Петровичу Шун-кову за постоянную поддержку. Автор также признателен Якову Нифантье-вичу Нужину. Работа автора над диссертацией поддержана грантами РФФИ 09-01-00395, 09-01-00717 и 10-01-00509.

Список литературы

1. Di Martino L., Tamburini M. С. 2-generatioii of finite simple groups and some related topics // Generators and Relations in Groups and Geometries, Ed. by A. B. et al. Netherlands: Kluver Academic Publishers, 1991.

2. Нужин Я. H. Порождающие тройки инволюций знакопеременных групп // Математические заметки. 1990. Т. 51, № 4. С. 91-95.

3. Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций групп Шевалле над конечным полем характеристики 2 // Алгебра и логика. 1990. Т. 29, № 2. С. 192-206.

4. Нужин Я. Н. Порождающие элементы простых групп и их приложения: Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук / Красноярский государственный технический университет. Красноярск, 1996. — октябрь.

5. Нужин Я. H. Порождающие тройки инволюций групп лиева типа над конечным полем нечетной характеристики. I // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, № 1. С. 77-96.

6. Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций групп лиева типа над конечным полем нечетной характеристики. II // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, № 4. С. 422-440.

7. Мазуров В. Д. О порождении спорадических простых групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Сиб. матем. журн. 2003. № 1. С. 193-198.

8. Нужин Я. Н., Тимофеенко А. В. Порождающие тройки инволюций некоторых спорадических групп. Красноярск: ИВМ СО РАН. 20 с. препринт №13-99.

9. Коксетер Г. С. М., Мозер У. О. Д. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. М.: Наука, 1980.

10. The GAP Group. The GAP Group, GAP - Groups, Algorithms, and Programming, Version 4-4-12, 2008. URL: http://www.gap-system.org.

11. Wilson R., Parker R. A., Bray J. N. ATLAS of Group Representations. http://web.mat.bham.ac.Uk/atlas/v2.0.

Работы автора по теме диссертации

Ml. Макосий А. И., Тимофеенко А. В. О порождающих группы Харады-Нортона и Фишера Fi24 тройках инволюций // II Всесибирский конгресс женщин-математиков. (В день рождения Ковалевской Софьи Васильевны). Тез. докл., 15-17 янв. 2002 г. Красноярск: Краснояр. гос. ун-т, 2002. С. 133-134.

М2. Макосий А. И. К вопросу о нахождении мазуровских троек инволюций в спорадических группах // Распределённые и кластерные вычисления. Избранные материалы второй школы-семинара. Красноярск: Институт вычислительного моделирования СО РАН, 2003. С. 167-172.

МЗ. Макосий А. И. Порождающие четверки инволюций группы Р5(7з(9) // Избр. докл. междунар. конф. по математике и механике. Томск: ТГУ, 2003. С. 28-30.

М4. Макосий А. И. Вычислительные аспекты вопроса о нахождении мазуровских троек инволюций в простых конечных группах // Распределённые и кластерные вычисления. Избранные материалы третьей школы-семинара. Красноярск: Институт вычислительного моделирования СО РАН, 2004. С. 167-172.

М5. Макосий А. И. Мазуровские тройки инволюций знакопеременных групп // Проблемы архитектуры и строительства: Сб. материалов XXII региональной научно-технической конференции / КрасГАСА. Красноярск: Красноярская государственная архитектурно-строительная академия, 2004. С. 11-12.

Мб. Макосий А. И. О представлении группы квадратом ее класса сопряженных элементов // Международная алгебраическая конференция: К 100-летию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию Л. Н. Шев-рина, Екатеринбург, 29 августа - 3 сентября 2005 г. Тез. докл. Екатеринбург: Урал, ун-т, 2005. С. 59-60.

М7. Макосий А. И. О пересечениях силовских 2-подгрупп в группе автоморфизмов группы £/4(3) // Международная конференция «Мальцевские чтения», посвященная 100-летию со дня рождения Анатолия Ивановича Мальцева 24-28 августа 2009 г. Тез. докл. Новосибирск: Институт

математики им. С. JL Соболева, Новосибирский государственный университет, 2009. С. 68.

М8. Листова О. В., Макосий А. И., Тимофеенко А. В. Параллельные вычисления в исследованиях групп с инволюциями // Труды Всероссийской научно-технической конференции «Параллельные вычисления в задачах математической физики» (21-25 июня 2004 г.). Современное моделирование и современные информационные технологии, вып. 3. Ростов: Издательство Ростовского университета, 2005. С. 95-100.

М9. Макосий А. И., Тимофеенко А. В. Мазуровские тройки группы Бэби Монстр // Материалы междунар. российско-китайского семинара «Алгебра и логика». Иркутск: Иркут. гос. пед. ун-та, 2007. С. 70-72.

М10. Макосий А. И., Тимофеенко А. В. О мазуровских тройках спорадической группы В и гамильтоновых циклах графа Кэли // Дискретная математика. 2008. Т. 20. С. 87-93.

Mil. Makosii A. I., Timofeenko А. V. On Mazurov triples of the sporadic group В and Hamiltonian cycles of the Cayley graph // Discrete Mathematics and Applications. 2008. T. 18, № 2. C. 199-205.

M12. Макосий А. И. О порождающих мультиплетах некоторых простых групп лиева типа // Алгебра, логика и методика обучения математике: Материалы Всероссийской конференции, посвященной 100-летию С. JI. Эдельмана. г. Красноярск, 5-6 ноября 2010 г. Красноярск: Крас-нояр. гос. пед. ун-т им. В. П. Астафьева, 2010. С. 50-53.

М13. Зенков В. И., Макосий А. И. О пересечениях силовских 2-подгрупп в конечных группах, I // Владикавказский математический журнал. 2009. Т. 11, № 4. С. 16-21.

М14. Зенков В. И., Макосий А. И. О пересечениях силовских 2-подгрупп в группе // Алгебра, логика и приложения. Тез. докл., 19-25

июля 2010 г. Красноярск: Сибирский федеральный ун-т, 2010. С. 41-42.

М15. Зенков В. И., Макосий А. И. О пересечениях силовских 2-подгрупп в группах автоморфизмов групп лиева типа над полем порядка 9 // Международная конференция «Мальцевские чтения», посвященная 70-летию со дня рождения Ю. Л. Ершова, 2-6 мая 2010 г. Тез. докл. Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева, Новосибирский государственный университет, 2010. С. 68.

Подписано в печать 25.01.2011 Формат 60 х 86/16. Уч.-изд. л. 0,93 Тираж 120 экз. Заказ № 1209

Отпечатано в типографии «Литера-принт» г. Красноярск, ул. Гладкова,6, тел. 2950-340

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Макосий, Алексей Иванович

Введение

Глава 1. О порождении конечных простых групп инволюциями

1.1. О порождении конечных простых групп тремя инволюциями

1.2. О порождении простых групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны

1.3. Гамильтоновы циклы графа Кэли.

1.4. О порождении простых групп инволюциями с условием, что их произведение равно единице

1.5. Группы типа Коксетера.

1.6. Гезультаты вычислений.

Глава 2. Пересечения силовских 2-подгрупп и представление каждого элемента группы произведением двух сопряженных элементов в некоторых конечных простых группах.

2.1. О представлении элементов группы произведением двух сопряженных элементов.

2.2. О пересечениях силовских 2-подгрупп.

Введение диссертация по математике, на тему "О представлении элементов группы произведением инволюций и смежные вопросы"

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Всякая конечная простая неабелева группа содержит инволюции и порождается любым классом сопряженных инволюций. Естественно возникает вопрос: каково минимальное число инволюций (необязательно сопряженных), порождающих конечную простую неабелеву группу? К 90-м годам прошлого века стало известно, что тремя инволюциями порождена каждая конечная простая неабелева группа, исключая группу £/з(3) [1].

Я. Н. Нужин [2-6] доказал, что в некоторых линейных группах размерностей, не превосходящих 4, и в знакопеременных группах AQ,A>7:Ag мазу-ровских троек инволюций не существует, а в других знакопеременных группах и простых группах лиева типа указал явно по мазуровской тройке. Ясно, что если (г,к) — мазуровская тройка инволюций, причем Ц = ^'г, то тройки инволюций вида (¿7, г, к) и {13,], к) также являются мазуровскими.

В работе [7] показано, что среди спорадических групп, только группы Матье Мц, М22, М23 и группа Маклафлина МсЬ не обладают мазуровскими тройками инволюций. Вместе с тем, несколько ранее отсутствие мазуровских троек инволюций в этих группах было показано в работе [8], положившей начало циклу работ по следующей задаче:

Если (г, к) — мазуровская тройка инволюций конечной простой группы С? и \гЛ = 2, \1к\ — р, Ук\ = д, то определим С2(С) как множество всех таких упорядоченных пар чисел (р, д). Мы не различаем две мазуровские тройки инволюций, если соответствующие числа р и д равны.

Группу типа Коксетера со следующим графом Коксетера прир, д > 3, р . " . а с Ь

Д. Докович предложил называть ТС{р^)~группой. Вопрос, какие конечные простые неабелевы группы являются ТС(р, д)-группами, равносилен вопросу о существовании мазуровских троек инволюций в конечных простых группах. В работе [8] поставлен более сильный вопрос.

В2. (Я. Н. Нужин). Какие конечные простые группы являютсяТС{р) д)-группами при фиксированныхр ид?

Особый интерес представляют частные случаи для малыхр и д, а именно, когда (р, д) = (4,5), (4,6), (5,5), (5,6), (6,6). Известно, что линейная группа ¿2(11) является ТС(5, 5)-группой и ТС{5, 6)-группой, а знакопеременная группа А5 — ТС{5, 5)-группой. Известно [9] также, что если (р, д) е {(3,3), (3,4), (3,6), (4,4)}, то ТС(р, д)-группа не проста. Построив (под)множество

С2(С), мы получаем ответ на вопрос о принадлежности группы (У классу

ТС(р,д).

Если группа порождена тремя инволюциями г, к, то, очевидно, что произведение элементов Цккуг = 1, а если ц = то единице равно произведение пяти инволюций (г; — одна из них), порождающих эту группу. И тогда возникает следующий вопрос («Коуровская тетрадь», вопрос 14.69):

ВЗ. (Я. Н. Нужин). Для каэюдой конечной простой неабелевой группы найти минимум числа порождающих инволюций, удовлетворяющих дополнительному условию, в каждом из следующих случаев.

1) Произведение порождающих инволюций равно 1.

2) (Ма11е-Зах1-Шегде1) Все порооюдающие инволюции сопряжены.

3) (Ма11е-Зах1-Шегде1) Выполняются одновременно свойства 1) и 2).

4) Все порождающие инволюции сопряжены и две из них перестановочны.

В4. (Дж. Томпсон). Гипотеза: всякая конечная простая неабелева группа (7 представима в виде (? = СС, где С — некоторый класс сопряженных элементов группы

Возможности вычислительных методов были эффективно использованы в данной работе при изучении парных силовских пересечений в конечных почти простых группах. Важным инструментом в такого рода исследованиях является параметр Пусть — конечная группа с силовскойр-подгруппой Р и условием ОДС) = 1, где 0Р(0) обозначает наибольшую нормальную ^-подгруппу группы Р. Если X — {Р9 | Р9 П Р = 1 ,д Е С?}, то, очевидно, что подгруппа Р действует сопряжениями на множестве X. Через lp(G) обозначим число орбит при этом действии.

В5. (В. И. Зенков). Чему равно значение l2(Aut(G)) для групп Шевалле малых рангов над полем порядка не превосходящего 9 ?

Основные результаты. Основные результаты диссертации связаны с решением вопросов В1, В2, В5 и состоят в следующем: указан явный вид некоторых мазуровских троек инволюций спорадической группы Бэби В; создан комбинаторный алгоритм поиска мазуровских троек инволюций в группе, позволяющий, с точностью до сопряженности, указать все такие тройки. Этот алгоритм реализован для последовательного и параллельного варианта компьютерных вычислений; получено точное значение, либо нижняя оценка числа орбит при действии силовской 2-подгруппы сопряжениями на множестве силовских 2-подгрупп, тривиально пересекающихся с ней в группах автоморфизмов ряда групп лиева типа.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной конференции по математике и механике, посвященной 125-летию ТГУ и 55-летию ММФ (Томск, 2003 г.), Всероссийской научно-технической конI ференции «Параллельные вычисления в задачах математической физики» (Ростов, 2004 г.), Межрегиональной школе-семинаре «Распределенные и кластерные вычисления» (Красноярск, 2004 и 2005 гг.), Международной алгебраической конференции по теории групп (Екатеринбург, 2005 г.), посвященной 100-летию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию Л. Н. Шеври-на, Международном российско-китайском семинаре «Алгебра и логика» (Иркутск, 2007 г.), Международной алгебраической конференции, посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Кострикина (Нальчик, 2009 г.), Международной конференции «Алгебра, логика и приложения» (Красноярск, 2010 г.), Международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2009 и 2010 гг.), Красноярском алгебраическом семинаре.

Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [11-25], в том числе в статье [20], входящей в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий.

Заключение диссертации по теме "Математическая логика, алгебра и теория чисел"

Заключение

Немногим более пятидесяти лет назад в исследовании по теории групп были использованы компьютеры. С этого момента, когда впервые была продемонстрирована мощь компьютеров в алгебраических исследованиях, компьютерная индустрия существенно поменяла свой облик и возможности. Наряду с метаморфозой в технологии, аналогичная параллельно имела место и в алгебре. Произошла разительная перемена в способах и методах исследования. С одной стороны компьютерные вычисления облегчают математическое открытие, а с другой стороны они могут являться неотъемлемой частью доказательства теорем.

И если вначале опыт применения вычислений в каждом случае был уникальным, то сейчас этот процесс «индустриализирован» компьютерными системами GAP и MAGMA. Их широкое использование как инструментов исследования алгебраических и комбинаторных структур в свою очередь поставило множество алгоритмических и иных вопросов. Успех этих систем основан частично на принятии алгебраистами новых «алгебраических» компьютерных языков, на которых они были написаны. Развитие этих языков происходит в том числе и под воздействием практических исследований.

Представляется несомненным, что в ближайшее время роль компьютерных вычислений в алгебраических исследованиях будет возрастать. Экстраполируя ситуацию по аналогии с развитием самой теории групп следует ожидать ярких проявлений такого роста и становления этого направления.

Компьютерные вычисления применяются чаще всего для проверки выполнения каких-либо условий на определенном множестве объектов группы. Природа этих условий и проверок определяется общими рассуждениями и не сводится к использованию нескольких стандартных операторов системы компьютерной алгебры. И здесь важно, что мы стремимся получить легко реализуемый в смысле создания программы и ее выполнения алгоритм. Тем не менее, в исследуемых в данной работе задачах применяются методы параллельного программирования и вычисления на суперкомпьютерах. Использовались суперкомпьютеры Института вычислительного моделирования (г.Красноярск), ИММ Уро РАН (г.Екатеринбург) и самый мощный в России кластер ИПМ им. М.В.Келдыша РАН (г.Москва). Общее время расчетов могло достигать нескольких месяцев непрерывной работы сотен машинных процессоров.

Очень важным и интересным аспектом компьютерных доказательств является то, что после получения результата часто его можно проверить без использования компьютеров или переформулировать результат, обойдясь при его доказательстве, без вычислений или минимизируя их использование. В любом случае автор, в своих исследованиях придерживался того, что тексты программ и результаты вычислений, если их невозможно (по соображениям объема) разместить в тексте публикации, должны быть доступны через Интернет. Это позволяет достичь прозрачности доказательства и предоставляет научному сообществу не только результаты, но и методы, технологию их получения. В продолжение этого можно сказать, что приведенные в приложении тексты программ при необходимости легко могут быть интегрированы в систему GAP.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Макосий, Алексей Иванович, Красноярск

1. Di Martino L., Tamburini M. C. 2-generation of finite simple groups and some related topics // Generators and Relations in Groups and Geometries, Ed. by A. B. et al. Netherlands: Kluver Academic Publishers, 1991.

2. Нужин Я. H. Порождающие тройки инволюций знакопеременных групп // Математические заметки. 1990. Т. 51, № 4. С. 91-95.

5. Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций групп лиева типа над конечным полем нечетной характеристики. I // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, № 1. С. 77-96.

10. The GAP Group. The GAP Group, GAP Groups, Algorithms, and Programming, Version 4-4-1 fy 2008. URL: http://www.gap-system.org.

11. Макосий А. И. К вопросу о нахождении мазуровских троек инволюций в спорадических группах // Распределённые и кластерные вычисления. Избранные материалы второй школы-семинара. Красноярск: Институт вычислительного моделирования СО РАН, 2003. С. 167-172.

12. Макосий А. И. Порождающие четверки инволюций группы PSU3(9) // Избр. докл. междунар. конф. по математике и механике. Томск: ТГУ,2003. С. 28-30.

13. Макосий А. И., Тимофеенко А. В. Мазуровские тройки группы Бэби Монстр // Материалы междунар. российско-китайского семинара «Алгебра и логика». Иркутск: Иркут. гос. пед. ун-та, 2007. С. 70-72.

14. Макосий А. И., Тимофеенко А. В. О мазуровских тройках спорадической группы В и гамильтоновых циклах графа Кэли // Дискретная математика. 2008. Т. 20. С. 87-93.

15. Makosii A. I., Timofeenko A. V. On Mazurov triples of the sporadic group В and Hamiltonian cycles of the Cayley graph // Discrete Mathematics and Applications. 2008. T. 18, № 2. C. 199-205.

16. Зенков В. И., Макосий А. И. О пересечениях силовских 2-подгрупп в конечных группах, I // Владикавказский математический журнал. 2009. Т. 11, № 4. С. 16-21.

17. Зенков В. И., Макосий А. И. О пересечениях силовских 2-подгрупп в группе Aiii(£4(9)) // Алгебра, логика и приложения. Тез. докл., 19-25 июля 2010 г. Красноярск: Сибирский федеральный ун-т, 2010. С. 41-42.

18. Conway J. Н., Curtis R. Т., Norton S. P. et al. Atlas of finite groups. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 pp.

19. Wilson R., Parker R. A., Bray J. N. ATLAS of Group Representations. http://web.mat.bham.ac.Uk/atlas/v2.0.

20. Ward J. M. Generation of simple groups by conjugate involutions: Thesis submitted to The University of London for the degree of Doctor of Philosophy / Queen Mary college, University of London. London, 2009. — May.

21. Cameron P. J. Permutation Groups. Cambridge: Cambridge University Press, 1999. 232 pp.

22. Passman D. Permutation Groups. Mathematics lecture note series. W. A. Benjamin: Cambridge University Press, 1968. 310 pp.

23. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. М.: Мир, 1985.

24. Wilson R. A. The maximal subgroups of the Baby Monster.I // Journal of Algebra. 1999. Vol. 211, no. 1. P. 1-14.

25. Pak I., Radoicic R. Hamiltonian paths in Cayley graphs // Discrete Mathematics and Applications. 2009. Vol. 309. Pp. 5501-5508.

26. Нужин Я. H., Тимофеенко И. А. Порождающие тройки инволюций линейных групп размерности 2 над кольцом целых чисел // Владикавказский математический журнал. 2009. Т. 11, № 4. С. 59-62.

27. Тимофеенко А. В. Простые конечные спорадические группы, порождённые тремя инволюциями. http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=2860.

28. Тимофеенко А. В. О порождающих тройках инволюций в спорадических группах. 2001. —март. Рукопись деп. ред. Сиб.матем.журн. в ВИНИТИ 19.03.01 №693-В2001.

29. Timofeenko А. V. Generating triples of involutions of large sporadic groups // Discrete Mathematics and Applications. 2003. Vol. 13, no. 3. P. 291-300.

30. Arad Z., Herzog M. Products of conjugacy classes in groups. Lecture notes in math. Berlin: Springer-Verlag, 1985.

31. Neubuser J., Pahlings H., Cleuvers E. Each sporadic finasigG has a class С such that CC = G // Abstracts AMS. 1984. Vol. 34, no. 6.

32. Kolesnikov S. G., Nuzhin J. N. On strong reality of finite simple groups // Acta Appl. Math. 2005. Vol. 85, no. 1-3. P. 195-203.

33. Ellers E. W., Gordeev N. On the conjectures of J. Thompson and O. Ore // Transactions of the american mathematical society. 1998. no. 9. P. 3657-3671.

34. Зенков В. И. Пересечения нильпотентных подгрупп в конечных группах // Фундаментальная и прикладная математика. 1996. Т. 2, № 1. С. 1-92.

35. Зенков В. И., Мазуров В. Д. О пересечении силовских подгрупп в конечных группах // Алгебра и логика. 1996. Т. 35, № 4. С. 424-432.