Порождающие групп лиева типа и связанные с ними функции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ии^4Ь2513

УДК 512.542+512.544 На правах рукописи

ЛЕВЧУК Денис Владимирович

ПОРОЖДАЮЩИЕ ГРУПП ЛИЕВА ТИПА И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ФУНКЦИИ

Ф>

Г

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2009

2 3 (!) ~ т>

003462513

Диссертация выполнена на кафедре алгебры и математической логики Сибирского федерального университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор НУЖИН Яков Нифантьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ВАРДАКОВ Валерий Георгиевич

доктор физико-математических наук, профессор ЕГОРЫЧЕВ Георгий Петрович

Ведущая организация: Институт математики и механики

УрО РАН, г.Екатеринбург

Защита состоится 6 марта 2009 года в 14.30 на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 в Сибирском федеральном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный,79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан

февраля 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Бушуева Н.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ 1

Актуальность темы. Многие задачи теории групп и смежных разделов математики редуцируются к нахождению порождающих элементов, с заданными свойствам. Хорошо известно, что классические группы порождаются своими простейшими элементами. Так, например, симметрические группы порождаются транспозициями, а простые классические линейные группы или более обобщенно — простые группы лиева типа — порождаются корневыми элементами; в обоих случаях мощность порождающего множества растет вместе с ростом мощности самой группы. Особый интерес вызывают порождающие множества минимальной мощности относительно некоторых свойств.

Группы, порожденные тремя инволюциями, две из которых перестановочны, будем называть (2х2,2)-порожденными, причем не исключаются случаи, когда какие-то две или даже все три инволюции совпадают. Ясно, что если какая-то группа допускает нетривиальный гомоморфный образ, который не является (2x2,2)-порожденпой группой, то она также не будет (2х2,2)-порождена. В 1980 г. В.Д.Мазуров поставил следующий вопрос: Какие конечные простые группы являются (2х2,2)-порожденными? Ответ на этот вопрос известен и для основного массива конечных простых групп он положителен, но существуют и бесконечные серии линейных

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 06-01-00824а).

групп небольших размерностей над конечными полями которые не являются (2х2,2)-порожденными. Для знакопеременных групп и групп лиева типа над конечными полями ответ на вопрос Мазурова дал Я.Н.Нужип (позднее вопрос был решен и для оставшихся 26 спорадических групп). Он же записал в "Коуровской тетради" следующий вопрос [3, вопрос 15.67]:

Какие присоединенные группы Шевалле (нормального типа) над кольцом целых чисел Ъ являются (2х2,2)-порожденными?

К настоящему времени этот вопрос полностью решен только для групп Шевалле типа А{, [5]: Группа Р5£„(2), п > 2, над кольцом целых чисел 2 тогда и только тогда является (2 х 2,2)-порожденпой, когда п > 5.

Отметим, что М.К.Тамбурини и П.Цукка [2] установили (2х2,2)-порождаемость группы БЬп(1,) при п > 14. Также, как и кольцо целых чисел, кольцо целых Гауссовых чисел г2 = —1,

является 1-порождснным, то есть порождается одним элементом, в данном случае элементом г, относительно операций сложения и умножения. Поэтому естественно рассматривать вопрос:

(А) Какие группы + гЕ) над кольцом целых Гауссовых

чисел являются (2 х 2,2)-порожденными ?

В этом случае, как и для кольца целых чисел ответ не является единообразным. Из [4] следует, что группы РЯЬ^) и РБЬз(9) не являются (2х2,2)-порожденными. Поэтому в силу гомоморфизма + г£) -> РБЬп(9) группа РБЬп^ + не является

(2х2,2)-порожденной при п = 2,3.

В Коуровской тетради С.А. Сыскин записал вопрос:

(В) Для каждой известной простой конечной группы С найти такое максимальное число п, что прямое произведение тг экземпляров группы (7 порождается двумя элементами [3, вопрос 12.86].

Вопрос восходит к статье [1] Ф. Холла 1936 года. В ней он определил для произвольной группы С? число <рп(С), как число всех п-баз группы то есть упорядоченных порождающих наборов из п ее элементов. Функция <рп в [1] названа п-той функцией Эйлера. Для циклической группы в конечного порядка |С| имеем ух (С?) = </?(|С?|), где р есть обычная арифметическая функция Эйлера. Как известно, любая конечная простая группа С? порождается двумя элементами; для нее <Р2(С) > 0.

Другой инвариант Ф. Холла наиболее естественно определяется для конечной простой неабелевой группы б; это наибольшее число й = <¿„(6) такое, что прямое произведение с1 групп, изоморфных в, есть п-порожденная группа [1, 1.6]. Таким образом, вопрос С.А. Сыскина заключается в вычислении инварианта ¿'¿(С).

Ф. Холл [1] установил связь инвариантов и вычислил инварианты <¿2(С), <^2(С) явно для групп подстановок небольших степеней и для групп РЭЬ2 над полем простого порядка. Н. М. Сучков и Д. М. Приходько [7] решили вопрос С.А. Сыскина для групп Сузу-ки и групп РБЬ2(д) над полем четного порядка д.

Цель диссертации - исследование вопросов (А) и (Б).

Методы исследования. Используются как классические методы теории групп и колец, так и методы разработанные в Красноярской алгебраической школе.

Научная новизна и практическая ценность. Все основные результаты диссертации являются новыми. Диссертация носит теоретический характер.

Апробация диссертации. Результаты диссертации были представлены на международных алгебраических конференциях в Санкт-Петербурге (2007), Красноярске (2007), Москве (2008), на V конгрессе женщин-математиков (г. Красноярск, 2008), на Красноярском алгебраическом семинаре.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [8]—[13], включая публикацию из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 52 страницах и включает введение, две главы, список литературы. Номер теоремы, леммы и др. включает последовательно номер главы и их порядковый номер. Список литературы включает 26 наименований.

Содержание диссертации

В диссертации получены следующие основные результаты:

— доказано, что проективная специальная линейная группа размерности п >7 над кольцом целых Гауссовых чисел порождается

тремя инволюциями, две из которых перестановочны;

— для функции Ф. Холла, обобщающей функцию Эйлера, вычисляются значения на группах Ри в характеристике 3 (частичное решение вопроса о двупорожденных декартовых степенях конечных простых групп).

В параграфе 1.1 устанавливаются вспомогательные результаты о порождающих множествах группы РЗЬп(Н) над произвольным Евклидовым кольцом Я, которые имеют и самостоятельный интерес. В параграфе 1.2 указываются тройки инволюций, две из которых перестановочны, а в следующих двух параграфах устанавливается, что они порождают группу РвЬп№ + iZ) при п > 7.

Основным результатом главы 1 является следующая теорема. Она опубликована для случаев п > 8 совместно с Я.Н.Нужиным в статьях [8] и [9]. Случай п = 7 опубликован автором в статьях [11], [13] и [14].

Теорема 1.1 При п > 7 проективная специальная линейная группа РЗЬп(Е + над кольцом целых Гауссовых чисел Z + iZ является (2х. 2,2)-порожденной.

Во второй главе диссертации изучается вопрос (В) для групп лиева типа ранга 1. Параграф 2.1 второй главы посвящен постановке задач. В лемме 2.1 приводится установленная Ф. Холлом связь инвариантов: (£п(С?) = йп(0) • \ АЫ

В параграфе 2.2 приводятся свойства групп лиева типа ранга

1, их основные подгруппы, известное семимерное матричное представление групп Ри над полем характеристики 3.

Далее, исследуются инварианты 952(G) и ¿'¿{G), в первую очередь, для простых групп Ри; они обладают неразрешимой подгруппой М с несдиничным разрешимым радикалом.

Напомним, что разрешимый радикал S(M) произвольной группы М есть, по определению, ее наибольшая разрешимая нормальная подгруппа. В исследованных в [1] и [7] простых группах каждая неразрешимая подгруппа имеет единичный разрешимый радикал.

Множество всех пар элементов группы G{q) лиева типа, лежащих в какой-либо подгруппе с неединичным разрешимым радикалом, далее обозначаем через W(G) или, кратко, W. Совокупность всех пар из W с первым элементом порядка t обозначаем через Wt.

В § 2.3 доказывается основное рекуррентное соотношение.

Теорема 2.2. Если G(q) - простая группа Ри Re{q), то

MG{q)) = №)|2 - \G(q)\ Y1 MG{m))/\G(m)\

GF(rn)CGF(q)

-\W\-MSL2(8))-(\G(q)\/\G(m. (1)

Вычислениям чисел \Wt\ и \W\ посвящен заключительный параграф 2.4.

Основные результаты главы 2 опубликованы в [10] и [12].

Автор благодарен своему научному руководителю Я.Н. Нужину за помощь при постановке задач и в подготовке работ.

Признателен сотрудникам кафедры алгебры и математической логики и института математики Сибирского федерального университета за хорошие условия для работы над диссертацией.

Список литературы

[1] Hall Ph., The Eulerian functions of a group // Qurt. J. Math. -1936. -Vol.7. -P.134-151.

[2] Tamburini M.C., Zucca P., Generation of Certain Matrix Groups by Three Involutions, Two of Which Commute // J. of Algebra. -1997. -Vol.195. -P. 650-661.

[3] Коуровская тетрадь (Нерешенные вопросы теории групп). // 15-е изд. Новосибирск: ИМ СО РАН. -2002.

[4] Нужин Я.Н. Порождающие тройки инволюций групп лиева типа над конечным полем нечетной характеристики И // Алгебра и логика. -Т.36. -1997. 4. -С. 422-440.

[5] Нужин Я.Н. О порождаемости группы PSLn[Z) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Владикавказский матем. журнал. -2008. 1. -С. 42-49

[6] Приходъко Д-М., О числе пар порождающих элементов некоторых групп L'liq) // Материалы XXXIV научной студенческой конференции. Красноярск: КрасГУ. -2001. -С. 91-102.

[7] Сучков Н.М., Приходько Д.М. О числе пар порождающих групп L2(2т) и Sz(22k+1) // Сиб. мат. жури. -2001. -Т.42. -N 5. -С. 1162-1167.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[8] D.V.Levchuk, Ya.N.Nuzhin On the (2x2,2) - generation of the groop PSLn{Z + iZ) // Intern. Algebr. Conf, dedicated to the 100th anniversary of D.K.Faddeev. St-Peterburg: MI RAN. -2007. -P.134.

[9] D.V.Levchuk, Ya.N.Nuzhin On generation of the groop PSLn (Z+ iZ) by three involutions, two of which commute 11 Journal of Siberian Federal University, Math and Physics. -2008. -1(2). -P.133-139.

[10] Д.В.Левчук Функции Ф.Холла на группах лиева типа ранга I II Владикавказский математический журнал. -2008. -Т.10. -Выпуск 1. -С.37-39.

[11] Д.В.Левчук Порождаемость группы PSLi{Z+iZ) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // V Всесибирский конгресс женщин-математиков, СФУ. -2008г. -С.258.

[12] Д.В.Левчук О двупорожденных декартовых степенях простых групп Ри // Межд.алгеб.конф посвященная 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша, тезисы докладов. Москва: МГУ. -2008. -С.155-156.

[13] Д.В.Левчук О порождаемое™ группы РБЬу(Е + iZ) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Препринт №4. -Красноярск: ИВМ СО РАН. -2008. -9 с.

[14] Д.В.Левчук Порождаемосгь группы PSL■^{Z + гZ) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Вестник НГУ. -2009. -Выпуск 1. -С.35-38.

Подписано в печать, 2.С£.£009г Формат 60 х 841/16. Печать оперативная. Усл. печ. л..о,Ч£ Тираж 100 экз. Заказ №

Отпечатано в ИПК СФУ. 660041 Красноярск, пр. Свободный, 79.

Введение

Глава 1. Порождающие тройки инволюций группы PSLn{Z гZ)

§ 1.1. Основная теорема и вспомогательные результаты.

§ 1.2. Порождающие тройки инволюций.

§ 1.3. Доказательство основной теоремы для случая п > 7.

§ 1.4. Случай п =

Глава 2. Функции Ф. Холла на группах лиева типа ранга

§ 2.1. Постановка задачи и основная теорема.

§ 2.2. Подгруппы групп лиева типа ранга 1 и представление групп Ри

§ 2.3. Основное рекуррентное соотношение для групп Ри.

§ 2.4. Вычисление чисел

Многие задачи теории групп и смежных разделов математики редуцируются к нахождению порождающих элементов, удовлетворяющих некоторым свойствам. Хорошо известно, что классические группы порождаются своими простейшими элементами: так, например, симметрические группы порождаются транспозициями, а простые классические линейные группы или более обобщенно — простые группы лиева типа — порождаются корневыми элементами; в обоих случаях мощность порождающего множества растет вместе с ростом мощности самой группы.

Группы, порожденные тремя инволюциями, две из которых перестановочны (не исключается, что какие-то из инволюций совпадают), будем называть (2х2,2)-порожденными. Ясно, что если группа допускает нетривиальный гомоморфный образ, который не является (2х2,2)-порожденной группой, то она также не будет (2x2,2)-порождена. В 1980 г. В.Д.Мазуров поставил следующий вопрос:

Какие конечные простые группы являются (2x2,2)-порожденными?

Ответ на этот вопрос известен и для основного массива конечных простых групп положителен. Однако, существуют бесконечные серии линейных групп небольших размерностей над конечными полями которые не являются (2х2,2)-порожденными. Для знакопеременных групп и групп лиева типа над конечными полями ответ на вопрос Мазурова дал Я.Н.Нужин (позднее вопрос был решен и для оставшихся 26 спорадических групп). Он же записал в "Коуровской тетради" следующий вопрос [2, вопрос 15.67]:

Какие присоединенные группы Шевалле (нормального типа) над кольцом целых чисел Ъ являются (2х2,2)-порожденными?

К настоящему времени вопрос полностью решен только для групп Шевалле типа А\, а именно, справедлив следующий результат [5, 6]: Группа P5'Lтг(Z) (п > 2) над кольцом целых чисел Ъ тогда и только тогда является (2x2,2)-порожденной, когда п > 5. М.К.Тамбурипи и П.Цукка [16] установили (2х2,2)-порождаемость также группы ЗЬп{Ъ) при п > 14.

Как и кольцо целых чисел, кольцо целых Гауссовых чисел Ъ + г2 = —1, является 1-порожденным, то есть порождается одним элементом, в данном случае элементом i, относительно операций сложения и умножения. Поэтому естественно рассматривать вопрос

А) Какие группы Р8Ьп(2Г + г Z) над кольцом целых Гауссовых чисел являются (2 х 2,2)-порожденными ?

В этом случае, также как и для кольца целых чисел ответ не является единообразным. Из [6] следует, что группы Р5Х2(9) и Р5Хз(9) не являются (2х2,2)-порожденными, поэтому в силу гомоморфизма РБЬп^ + на Р5ХП(9) группа. + г^) не является

2х2,2)-порожденной при п = 2,3.

Основным результатом главы 1 является

Теорема 1.1. При п > 7 проективная специальная линейная группа РБЬп+ iZ) над кольцом целых Гауссовых чисел Z + гZ является (2х 2,2)-порожденной.

Особый интерес вызывают порождающие множества с условиями экстремальности относительно некоторых свойств, [11], [18], [19], [4] и др. В главе 2 исследуется следующий вопрос, записанный С.А. Сыскиным в Коуровской тетради:

В) Для каждой известной простой конечной группы <2 найти такое максимальное число ¿, что прямое произведение с? экземпляров группы (7 порождается двумя элементами [2, вопрос 12.86].

Вопрос восходит к работе [13] Ф. Холла 1936 года. Соответствующий инвариант Ф. Холла наиболее естественно определяется для конечной простой неабелевой группы С; это наибольшее число с/ = с?п(С), для которого прямое произведение й групп, изоморфных С, есть п-порожденная группа. Таким образом, вопрос С. А. Сыс-кина заключается в нахождении инварианта <¿2((?).

Сейчас уже известно, что всякая конечная простая неабелева группа порождается двумя элементами. Ф. Холл [13] назвал п-той функцией Эйлера на произвольной группе число всех п-баз в (7, то есть упорядоченных порождающих наборов из п элементов группы (7. В [13] введены и применяются также обобщенные функции Мебиуса на группах. Если С - циклическая группа порядка т, то = <р{т), где <£>(га) есть обычная арифметическая функция г

Эйлера.

Ф. Холл установил связь инвариантов ¿2(G) и </?2(С) (см. лемму 2.1 в § 2.1) и вычислил их явно для групп подстановок небольших степеней и групп РвЬ2 над полем простого порядка. В работе Н. М. Сучкова и Д. М. Приходько [9] вопрос С.А. Сыскина, решен для групп Сузуки и с четным д.

Вопрос С.А. Сыскина изучается в главе 2 в классе простых групп лиева типа ранга 1.

Множество всех пар элементов группы С, лежащих в какой-либо подгруппе с неединичным разрешимым радикалом, далее обозначаем через }¥(С) или, кратко, ИЛ По определению, разрешимый радикал произвольной группы есть ее наибольшая разрешимая нормальная подгруппа.

В исследовавшихся в [13] и [9] простых группах каждая неразрешимая подгруппа имеет единичный разрешимый радикал. В диссертации инварианты и (^(С) исследуются, в первую очередь, для простых групп Ри; они обладают неразрешимой подгруппой М с неединичным разрешимым радикалом. К основным результатам главы 2 относится следующее рекуррентное соотношение.

Теорема 2.2. Если 0(д) - простая группа Ри Яе(д), то

МСШ = \С(д)\2 - \СШ ]Г ЫС(т))/\С(т)\

GF(r7г)cGF(9)

-т-МЗЬ2(8))-(\С(д)\/\Ст.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [20]— [26], включая публикацию из перечня ВАК.

Результаты диссертации были представлены на международных алгебраических конференциях в Санкт-Петербурге (2007), Красноярске (2007), Москве (2008), на V конгрессе женщин-математиков (г. Красноярск, 2008), на Красноярском алгебраическом семинаре.

Автор благодарен своему научному руководителю Я.Н. Нужину за помощь при постановке задач и в подготовке работ. Признателен сотрудникам кафедры алгебры и математической логики и института математики Сибирского федерального университета за хорошие условия для работы над диссертацией.

Работа над диссертацией была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, код гранта 06-01-00824а.

1. Бусаркин В.М. Горчаков Ю.М., Конечные расщепляемые группы. //' М.: Наука, 1968.

2. Коуровская тетрадь (Нерешенные вопросы теории групп). 15-е изд. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002.

3. Левчук В. М., Нужин Я. Н., О строении групп Ри // Алгебра и логика, 1985, Т. 24, №1, С. 26-41.

4. Левчук В.М., Приходько Д.М., Независимые множества конечных групп. Алгебра, логика и кибернетика: Материалы Международной конф. - Иркутск: ГОУ ВПО ИГПУ, 2004, 65-66.

5. Нужин Я.Н., Порождающие тройки инволюций групп лиева типа над конечным нолем нечетной характеристики II // Алгебра и логика, 36, 1997, № 4, С. 422-440.

6. Нужин Я.Н., О порождаемости группы Р5ХП(,£) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Владикавказский матем. журнал, 2008, № 1, С. 42-49

7. Приходько Д.М., О числе пар порождающих элементов некоторых групп £2(9) // Материалы XXXIV научной студенческой конференции, Красноярск: КрасГУ, 2001, С. 91-102.

8. Стейнберг Р., Лекции о группах Шевалле // М.: Мир, 1975.

9. Сучков Н.М., Приходько Д.М., О числе па.р порождающих групп Щ2т) и Sz{22k+1) И Сиб. мат. журн., 2001, Т.42, N 5, с. 1162-1167.

10. Холл М., Теория групп // М., ИЛ, 1962.

11. Cameron, Р., Сага, P. Independent generating sets and geometries for symmetric groups. J. Algebra, 258, No.2, 641-650 (2002).

12. Carter R., Simple groups of Lie type // New York: Wiley and Sons, 1972.

13. Hall Ph., The Eulerian functions of a group // Qurt. J. Math., 1936, V.7, P. 134-151.

14. Levchuk V.M., Functions on classical groups and some unsolved questions // Abstr. Int. Alg. Conf. Hungary, Debrecen, 2005, P. 28.

15. Ree R., A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (G2) // Amer. J. Math. 1961. V. 83, №3. P. 432-462.

16. Tamburini M.C., Zucca P., Generation of Certain Matrix Groups by Three Involutions, Two of Which Commute // J. of Algebra, 195, 1997, P. 650-661.

17. Ward N.N., On Ree's series of simple groups // Trans. Amer. Math. Soc., 121, N1, 1966, P. 62-89.

18. Whiston, J., Maximal independent generating sets of the symmetric group. // J. Algebra, 232, No.l, 255-268 (2000).

19. Whiston, J., Saxl, J., On the maximal size of independent generating sets of PSL2(g). // J- Algebra, 258, No.2, 651-657 (2002).Список публикаций по теме диссертации

20. Levchuk D.V., Nuzhin Ya.N., On the (2x2,2) generation of the group PSLn(Z + iZ) // Intern. Algebr. Conf., dedicated to the 100th anniversary of D.K.Faddeev, St-Peterburg: MI RAN, 2007, p. 134.

21. Levchuk D. V., Nuzhin Ya.N., On generation of the groop PSLn(Z + iZ) by three involutions, two of which commute // Journal of Siberian Federal University, Math and Physics, 2008, 1(2), p.133-139.

22. Левчук Д.В., Функции Ф.Холла на группах лиева типа ранга 1 // Владикавказский математический журнал, 2008,- том 10, выпуск 1, с.37-39.

23. Левчук Д.В., Порождаемость группы PSLj(Z + iZ) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // V Всесибирский конгресс женщин-математиков, СФУ, 2008г., с.258.

24. Левчук Д.В., О двупорожденных декартовых степенях простых групп Ри // Межд.алгеб.конф посвященная 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша, тезисы докладов, Москва: МГУ, 2008, с.155-156.

25. Левчук Д.В., О порождаемости группы РБЬ^^ + тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Препринт №4, Красноярск, ИВМ СО РАН, 2008, 9 с.