Образующие элементы и определяющие соотношения в линейных группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ
|
Сатаров, Жоомарт
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Ош
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1998
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.06
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
гг
На правах рукописи
САТАРОВ ЖООМАРТ
ОБРАЗУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ ГРУППАХ
01.01.06. - математическая логина, алгебра и теория чисел
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Красноярск - 1998
Работа выполнена в Ошском технологическом университете
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А.В.МИХАЛЕВ доктор физико-математических наук, профессор Н.С. РОМАНОВСКИЙ доктор физико-математических паук, Я.Н.НУЖИН
Ведущая организация Омский государственный университет, г. Омск
Защита состоится "¿Ъ " оюи 6м рЛ 1998 г. в ЛА часов на заседании диссертационного совета Д 064.61.02 в Красноярском государственном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.
. \--
Автореферат разослан "/-г2-" Jiê^1.3/4998 г.
Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук
Бабенышев C.B.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
АКТШЬНОСТЬ ТЕШ. Одно из классических направлений в теории групп составляет группы, представленные через образующие элементы и определяющие соотношения. Это направление возникло в результате развития таких разделов математики как геометрия, топология, автоморфине функция я теория уздоз. Группы, представленное своими образувании и соотношениями впервые встречается в классических трудах Дзва, Тице и Пуанкаре. Раздел теория групп, изучасщий группа с позиции образувчих и соотноаений носит название комбинаторной теории групп. Первое систематические изложение теории таких групп дано в монографии В.Магнуса, ¿.Карраса, Д.Солитэра СЮ), Более современные методы этой теории изложена в энциклопедической кйпго РЛиядона, Н.Шувна (С21). Обзор развития идей в указанной каправдеаии приведен в книга Б.Чацдлера, В.Магвуса 1(ГЗЗ). Задания многих известных групп через образушцие я соотно-иетм содержит книга Г.С.М.Коксетера, 7«0Лж.Иозера (Ш).
Большой интерес в комбинаторной творя* групп вызывают образуете и соотношения линейных групп. На важность этого вопроса в свое время обращал вникание исследователей еще обзор Ю.И.Нерзля-кова([5]). В названном направлении уже выполнено большое количество работ я интерес к ним в последние года значительно возрос. Напомним некоторые известные (я общие) результаты яз упомянутой области. Отметим прежде всего (независимо подученные) классические результаты Дж.Нильсена и В.Магнуса, где ими найдены определя-ивде соотноиения специальной линейной группы "Ж) , ,
относительно элементарных трансвекций -Ь- (гО , ¿ .Вернув-иись к результату Дж.Нильсена Б.Нойман и ¿.Нойнаи (в 1951 г.) нашли более простую систему соотношений для этой же группы
Ж) . Аналогичным образом Янь Ши-цзявь в своей (большой) работе выявлял-образущие и определявшие соотношения следующих серий групп БЬС*,*) , , , РО-Ц^Х).
Образующие и соотношения полных линейных групп СИ- (/"-¿"З^) и
(>7 к С*]) ( - кольцо многочленов над к. ) сравнительно недавно были-найдены Дж.Сильвестром. Далее, как показал Р.Ст-ейвберг (см. (Г63), стр.69), для представления группы 51. (п, над конечным полем достаточно и тривиальных "стейкбергов-екнх" соотношений между элементарными трансвекциямя. Определяющие соотношения специальной лииейкой группы ^ЬОи^Т) , -п >з , над
произвольным телом Л"* (определитель понимается в смысле Дъёдон-ве) относительно элементарных трансвакций (также сравнительно недавно) находил С.Грив. Переходя к более широким классам колец Г,А.Носков выявил образующие и соотношения симплектической группы А) над локальным кольцом А с I, в котором каждый конечно порожденный правый идеал - главный. И, наконец, отметим замечательный (н достаточно продвинутый) результат сибирского математика Б.С.Романовского, где им были найдены образующие элементы и определяющие соотношения полной линейной группы СтКуц-Л.), -»г-Зр я. , над произвольным локальным кольцом А (с I). Сведения о представлениях других линейных групп малых (ключевых) размерностей можно найти в специальной обзоре (£53).
С этим направлением тесаейиим образом соприкасаются ж вопросы о конечной порождаемою* и конечной определенности линейных групп* Здесь мы укажем прежде всего на (общий) результат Г.Миаков-ского о действии полной линейной группы в ев-
клидовом пространстве размерности Ой-*-*.) /х. , из которого тут же следует конечная определенность группы относительно
элементарных траисвекций и простых отражений. Далее, в своих (двух) работах К.3игель показал конечную определенность и конечную порождаемость симплектической группы Ж) . Рассматри-
вая эту же группу 1Дуа и Й.Райнер установили ее
порождаемооть четырьмя матрицами. Напомним и результат А,1^рвица, где им была показана конечная порождаемость специальной линейной группы -5>1_(и.., £.) над кольцом целых алгебраических чисел Я . Далее, К.Макдаффи и (независимо) Л.Хуа и Й.Райнер показали порож-даемость полной линейной группы тремя матрицами "Ц^, ХГ^,
Т7д . Как позже установил С.Тротт, при четных к для порождения группы С^ достаточно и двух ее элементов Ц^ , а при нечетных и. мы имеем < 5 I (м, ж ) . Эти и дру-
гие сведения о порождаемости и конечной определенности линейных групп можно найти в книгах (ГЗЗ) и (М). В обзоре ([5]) проявлен большой интерес к определяющим соотношениям некоторых унитарных групп над локальными и полулокальаыми кольцами, для которых находились лишь их образующие элементы.
Таким образом, диссертация относится к интенсивно развивающемуся разделу теории групп, что и определяет ее актуальность.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Тот факт, что унитарные и (особенно) ортогональные группы ранее почти никем не изучались (с позиции образующих
и соотношений) свидетельствует о достаточной трудности этой задачи. Трудность здесь главным образом связана с неэлементарностью недиагональкых образующих этих групп. Основное место в работе занимают представления унитарных и ортогональных групп. Здесь немало внимание уделяется также полной и обобщенной полной линейным группам и некоторым их классическим подгруппам. В работе даются описания в терминах образующих и соотношений следующих линейных групп:
I. Классической унитарной группы 110% Л) . и-й*-^ » над локальным кольцом Рч с инволюцией , .подчиненным некоторым естественным требованиям;
II. Классической ортогональной группы О С*, Я) , "»-ъ-я, , над коммутативным локальным кольцо» & (с I), для которого выполнено (естественное) условие - взятие мультипликативной группы);
III. Подгрупп Н полной линейной группы (»>.., •«^-2., содержащих группу диагональных матриц , над произвольным локальным кольцом Я- с телом вычетов Я — К/ЗОО^Г^ ( ЗО? - радикал Джекобсона кольца );
IV. Произвольной неклассической вещественно-диагонализуемой унитарной группы К, а) > , над локальным иеволвтив-ным расширением К/Я упорядоченного евклидова поля к. (разбираются все случаи);
V. Мультипликативной группы
А" произвольного слабосовер-
аенного кольца ;
31. Некоторых расщепимых подгрупп мультипликативной группы _А." -обобщенного матричного кольца ;
УП. Мультипликативной унитарной группы И~(Л) слабосовер-шеиного кольца А с инволюцией ~ , подчиненного некоторым естественным ограничениям;
Над ассоциативным кольцом, не обязательно обладающим I, вводится понятие обобщенной полной линейной группы и ее классических подгрупп. Находятся образующие и определявшие соотношения также следующих линейных групп:
У1П. Обобщенной полной линейной группы (м, Ю, над произвольным локальным кольцом (вообще говоря) без I;
IX. Группы квазиобратимых элементов IV произвольного (вообще говоря без I) полулокального кольца & порядка ^>2. ;
X, Обобщенной классической унитарной группы (О,
над Хйббще говоря безвдииичным) локальным кольцом й- "с инволюцией ~ , подчиненным некоторый естественный условиям;
П. Обобщенной классической ортогональной группы О^Оь , над (также вообще говоря безединичным) локальный кольцом Я , удовлетворяющим некоторым естественный ограничениям.
Для всех групп 0" * перечисленных выве (за исключением пунктов III и IX), находятся определяющие соотношения специальных (в пункте У11 унимодулярной группы) подгрупп 3 СОг) этих групп. Для тех О- , центры которых допускают обозримое описание, находятся определяющие соотношения также их проективных факторгрупп и РЗ ($-) .
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе выявлены образующие и определяющие соотношения перечисленных выве линейных групп (т.е. даны их полные описания!) относительно элементарных матриц, содержащихся в этих группах. Такими матрицами будут либо элементарные трансвек-ции, либо плоские "вращения", либо же матрицы "отражения". Почти во всех случаях используются также матрицы-транспозиции. В случаях, когда основное кольцо К. не обладает I, используются квазианалоги названных образующих. Все основные результаты работы являются новыми. Как по постановке, так и по решению, принципиально новыми являются задачи, сформулированные в пунктах УШ--XI.
• ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть применена а различных вопросах, связанных с заданием линейных групп через их образующие и определяющие соотввиенжя. При соответствующем развитии тематики не исключены их - применения также к отдельным проблемам топологии и геометрии»
МЕТОДИКА ЙССЛВДОВАНИЯ. В процессе решения перечисленных выше задач найден новый комбинаторный метод (названный в работе методом трансформации букв), который универсальным образом решает вопрос представления всех названных выве линейных групп. Он основан на идее преобразования произвольного слова выбранного алфавита к его стандартному (каноническому) виду. Во всех вопросах фундаментальную роль играют, так называемые, (большие) теоремы о трансформации. Применяются также общие рассуждения теории групп комбинаторного характера.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы неоднократно докладывались на. совместном семинаре лаборатории алгебраических методов
Санкт-Петербургского (прежнего Ленинградского) отделения Математического института им; В.А.Стекдова РАН и кафедры высшей алгебры и теория чисел Санкт-Петербургского университета. Бе части докладывались на 16-8 и ¿9-й Всесоюзных алгебраических конференциях (Ленинград, 1981 г., Львов, i9S7 г.). Отдельные результаты работы представлялись также на 1-й, 3-й и 4-й Международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 5589 г., Красноярск, 1993 г., Санкт-Петербург, 1997 г.). По результатам работы сделаны доклады на семинарах института Математики HAH Кыргызской Республики и кафедры алгебры и геометрии Национального университета (Бишкек, 1994 г.). Аналогичный доклад сделан также на семинаре Математического института HAH Республики Узбекистан (Ташкент, £995 г.). Кроме того рабога по частьям представлялась на Региональной научно-технической, Республиканской научной, а также двух Международных научно-практических конференциях (Оз, i993, i995 гг. а Кнзня--Ки4, 1998 г.). С содержанием работы ознакомлена также кафедра алгебры Омского государственного университета (1996 и £997 гг.).
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 29 работ. Все публикации без соавторов.
ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и четырех глав и, включая библиография, занимает 232 страницы машинописного текста. Библиография насчитывает Й6 наименований работ.
С0ДЕР1АНИЕ РАБОТЫ
В настоящей работе мы интересуемся заданием (образующими и соотношениями) названных выае линейных групп. Работа состоит из введения и четырех глав. Материал в ней распределен следующим образом. Введение помимо своего основного назначения имеет и подготовительный характер. Седа собраны все необходимые для дальнейшего понятия и факты. Здесь, в частности, описывается содержание основного метода работы - метода трансформации букв на конкретном примере обобщенной полной линейной группы CL°(г» над локальным кольцом R. (вообще говоря без -I).
Первая глава состоит из трех параграфов Z-Э. В §1 находятся определеющие соотношения классической унитарной группы
над локальным кольцом ^ ci, инволюция которого ~ удовлетворяет следующим условиям: а) N (:*.)=. N(?0 всвх хе ^ ( NС-с) - норма элемента тО; в) N N (Я) —
с) существует полная система стабильно-центральных вычетов кольца & относительно эквиваленцин ^ -W (?t)= V(^).
Над этим'кольцом находятся определяющие соотношения также групп , 5И(?1,/0 . , (определитель
строится предварительно). Содержание этого параграфа и .важнейшие его частные случаи отразились в работах Ю, М. 151. [И], Ц£6Д, Ц20Д. В §2 выявляются образующие и соотношения классических ортогональных групп О (>» Ю » -ЬО(-п., Я) , 20(-п,Ю3 2 £ 0 , чг>Л/ , над коммутативным локальным кольцом Й
о*. удовлетворяющим условию (.£.")*'-+- ({О*" . Результаты
этого параграфа содержатся в работах , [15], С18Д. В главе ± несколько иное направление имеет §3. Здесь мы опираясь на отдельные результаты из работы а7]) даем описания (в терминах образующих и соотношений) подгрупп полной линейной группы Й- < « рЬС^^)' ч^Ъ'ъ содержащих группу диагональных матриц
(>ч, Я) , над произвольным локальным кольцом Я. с телом вычетов F . Эти материалы были опубликованы в работах Г7Л. Г8]. [12].
Несколько сложную задачу составляют описания неклассических унитарных групп (даже в случаях простейших полей). К нахождению образующих и соотношений вещественно-диагонализуемых неклассических унитарных групп ЪЦх, К, л) » 'и.^-х- , над локальным йкволю-тивным расширением К /к. упорядоченного евклидова поля к посвящена вторая глава (§§ 4-7). В §4 проводится классификация (с точностью до сопряженности в полной линейной группе) всех таких групп. Доказано, что всякая такая группа сопряжена некоторой группе вида 11 (^ К, 3") , , где 3 - диагональная
форма с элементами из 1а, оЗ . Возможные типы таких групп доставляются следующими формами:
а) Л^еи^*./";^, -О;
в) л*®¿¿«зС.*-?• ь ,
В соответствии с этими случаями группу К, 3") принято на-
зывать псевдоунитарной, вырожденной унитарной и вырожденной псевдоунитарной. Образующие и соотношения неклассической унитарной \ группы иС-и-, 3") , 'Ъ-Ж, , в соответствии с пунктами а), в), с) выявляются (соответственно) в параграфах 5, 6 и 7. Здесь же находятся определяющие соотношения и неклассических специальных унитарных групп К, 7) (определитель понимается в смысле §1), а также проективных фактор-групп 2И (»и, К", 7 £ ¿"И- К, сг) , 'Н.^- . Отметим, что при комплексном расширении К= С (к) рассмотрением случаев а)-с) полностью ис-
- У -
черпывается изучение группы ¿О , чи^ю , для любой
самосопряженной матрицы о ф- из .ЛС (л, К ) . Содержание этой главы отразилось в работах ОШ и [2*0.
Третья глава (§§ 8-10) посвящена к описание некоторых подгрупп мультипликативной группы обобщенного матричного кольца. А Именно, в §8 находятся определяющие соотношения (полной) мультит пликативной группа _ЛГ произвольного слабосовершэнного кольца .А. порядка -и. . Здесь же даются описания также специальной подгруппы и проективных фактор-групп _£А* , £ ^ (АГ) . Имеется цепочка включений '
ПМК(Т) Щ ПМК(Ж) ПСК = ССК, (
где первые два звена означают классы полных матричных колец над телами и локальными кольцами (соответственно), а последние два -классы полусовершенных и слабосовершенных колец (определения'см., например, в [ЗЛ ). Отсюда хсроио видно, что упомянутые еще вначале (и ставиие уже классическими) результаты Н.С.Романовского (Ш) и С.М.Грина (С9Л) являются частными случаями полученных здесь результатов. Основные результаты этого параграфа содержатся в [2], 01 и [173. В §9 мы находим образующие и соотношения некоторых расщепимых подгрупп мультипликативной труппы Ж. произвольного обобщенного матричного кольца А. порядка . А точнее, здесь подвергаются к изучению случаи, когда ~ Рас~ щепимые группы с обратимой диагональю и мономиальных элементов. Эти исследования составляют содержания работ [6], £10] и [123. §10 посвящен к изучении полной мультипликативной унитарной группы 1ЛГ(-Л_) слабосовершенного кольца _Л, с сопряжением ~ , удовлетворяющим некоторым естественный условиям а)-<0. Зтот параграф обобщает результаты §§1, 2 и он анонсирован в ЕЙ.;
Совершенно иного уровня задачи решаются в главе 1У (§§И-1*0: здесь находятся образующие и определяющие соотношения некоторых линейных групп над кольцами, вообще говоря не имеющими I. В §11 ын находим определяющие соотношения обобщенной полной линейной-группы (•и, Я) , , над произвольным локальным кольцом
£ (существование в К I не предполагается). Опираясь на этот результат здесь дается представление также проективной обобщенной полной линейной группы 2<£10(у-7 (О ■ , ■п-Ъ'Я/ . В этом параграфе вводится понятие квазиопределителя А и находятся представления и обобщенных специальных линейных групп £ С£") —
*=-\а.е. Ю- = о £ г, Ю , пъ-ъ- . Зти
результаты (принципиальным образом!) перекрывают упомянутый результат Н. С, Романовского (И) уже в другом направлении. В §11 в качестве дополнительного исследования выявляются основные свойства квазиопределителя и указывается его приложение к, так называемым, системам квазилинейных уравнений. В §12 находятся образующие и соотношения группы квазиобратимых элементов произвольного полу локального кольца (2. порядка , также не предполагающего существования Здесь вычисляется центр с^итЬк," и выявляются определяющие соотношения проективной . группы Р К,"/ес-к^. Поскольку полное матричное кольцо К) над полулокадьным кольцом к само полулокально (что легко следует из равенства 3 [М. (ш,К)}» М,(™г э(Ю>), имеющего место при любом К .см., например, ([103), стр.22), этот параграф содержит в себе описания обобщенных линейных групп СгЬ" £) , О»-, Я.) , , над произвольными полулокальными кольцами (без единиц). Параграф 13 посвящен к выявлению образующих и соотношений обобщенной классической унитарной группы К) , пи.^.'зи . над (вообще говоря безединич-ным) локальным кольцом с инволюцией ~ , для которого выполнены некоторые (естественные) требования (°0-(5)» являющиеся обобщениями условий а)-с) из §1. В этом параграфе дается описание и специальной обобщенной унитарной группы О*1» Ю « # Этот параграф содержит в себе основные результаты из §1. И, наконец, в §14 такая же задача решается для обобщенных классических ортогональных групп 0°(-и-?- (>ь К-): С1 - транспонирование), 50" (и, К) , п^й^ , над локальными-кольцами (где ни коммутативность, ни существование 5 не предполагаются), удовлетворяющими некоторым (также естественным) условиям 0*)-(у). Эти описания, как и в §13, содержат в себе основные результаты параграфа 2. Во всех параграфах П-14 строятся примеры (соответствующих) основных колец , не обладающих <С. Содержание главы 1У отразилось в работах Г26]-[293. Как показывают результаты главы 17, отказ от существования I в основном кольце & при решении подобных задач приведет нас не-только к неимоверным техническим сложностям, но и некоторым трудностям принципиального характера.
Все- наши рассуждения в работе основываются на следующем простом (но в то же время весьма эффективном) факте. Пусть. - гр-
уппа и Л/ - ее какая-нибудь порождающая система. Пусть далее, имеется какая-то совокупность соотношений £ = С 3- - единица группы) группы О- в алфавите IX/ . Возникает естественный вопрос: каков критерий того, чтобы совокупность 2. образовала для полную систему соотношений? Чтобы ответить на этот вопрос для каждого элемента дб-О- укажем по совокупности слов £503)} алфавита Му , записывающих этот элемент (совокупности могут быть и бесконечными). Выбранные слова (условно) будем называть стандартными формами элементов группы Ср (которые в конкретных ситуациях действительно обретают смысл стандартности). Тогда относительно полноты системы соотношений имеет место следующий
КРИТЕРИЙ. Совокупность £ = а. образует для группы 0* систему определяющих соотношений тогда и только тогда, когда любое слово соотношениями из £эА можно привести к какому-либо (любому!) стандартному виду и вывести из В = а все соотношения вида ¿(а.) =. А. .
Этот критерий к рассматриваемым группам применяется в следующей последовательности: I) выбирается некоторая (естественная) порождающая система М/ ; 2) относительно АЛ удобным (в смысле применения критерия) образом определяются стандартные формы 5(3) элементов группы ; 3) предугадывается некоторый набор соотношений £ 6- этой группы в алфавите А/ ; Ю доказывается выводимость из набора £»4, по одному соотношению Г=.2(г) для каждого слова и всех соотношений вида = 1 • Тог-
да согласно критерию это означает задаваемость Очевидно, что если ~} . то в пункте 4) достаточно
Показать выводимость из .£>»4- лишь соотношений-вида уг^^Ог) (для каждого слова \Г ).
Таков общий подход в установлению полноты системы соотношений . Но преобразование слова чГ к его стандартному виду в случаях конкретных групп требует свои дальнейшую реализацию. В работе найден общий метод, который позволяет нам по указанному выше плану описать все рассматриваемые в работе группы с позиции образующих и соотношений. Он именован методом трансформации" букв.
Продемонстрируем суть этого метода на примере задач §11. Для этого приведем некоторые определения из (ШЙ). Пусть .А,— произвольное ассоциативное кольцо вообще говоря без I и ■ о - присое-
динеакое умаожение в.этом кольце (т.е. £ = <х.-+ ).
Элемент к из А. называется квазиобратимым, если для него £*<■<*'= о = к ''о « при некотором л'егА . Совокупность всех квазиобратимых элементов _Л? из А. образует группу относительно композиции * (где единицей будет нуль!) и она называется группой квазиобратимых элементов кольца .А- . Поскольку в случае наличия I в А отображение —А? ?
ос ь->- ос , задает изоморфизм, группа А° является обобщением понятия мультипликативной группы _ДГ на самые общие случаи ассоциативных колец. Обозначим через О-С (тгР группу квазиобратимых элементов полного матричного кольца Д-Ог, Ю и назовем ее обобщенной полной линейной группой степени уь над кольцом .
Пусть ООО - радикал Джекобсона ассоциативного кольца Так как множество эс.с<£ Я* при всех хе Р.} обра-
зует (можно проверить!) наибольший левый квазирегулярный идеал в & - а это одна из характеризаций радикала, введенное множество дает нам еще одно описание этого понятия. Аналогичным образом описывается радикал и справа: 3(12.): еОсс при всех х:е Я } .До сравнительно недавнего времени впечатление было такое* что локальные кольца можно ввести только в классе ассоциативных колец с I (т.е. их определение уже включало в себя существование !, см. (ГШ), (¡221) и другие источники). Но в -1990 г. такие кольца без предположения существования I, все-таки (хотя и частично), были введены в алгебру в (СРЗ) (см. стр.337). Они вводились там как ассоциативные кольца А. с такими двусторонними идеалами I , что фактор-кольцо А/х - тело и X является наибольшим либо среди левых, либо же среди правых идеалов (т.е. слева или справа) кольца _Л. . Обозначим класс таких колец через 1>с- . Этот класс очевидным образом содержит в себе все локальные кольца с 2. Ив здесь сохраняя классическую терминологию ассоциативное (не-обязательно с £) кольцо А назовем л о ка л ь во, если его фактор-кольцо А/3(Л) по радикалу Дже-кобсова-.образует тело: Легко показать, что класс состоит
из тех и только из тех локальных колец А , радикалы которых О (А) образуют наибольший слева или справа идеал в А. . Обозначим через и ЬЯ^ классы абстрактных локальных колец с единицами и без них (соответственно).
Следуя (С^З) (см. стр;70) ассоциативное кольцо К назовем радик- а~л -ь н ы м, если для него выполнено олно ия слйлупши*
эквивалентных условий: К или —1< . Очевидными
примерами радикального кольца могут послужить все кольца с нулевыми умножениями. Известен также пример Сансяды ([151; радикального кольца К -ф. -{о^ с ненулевым умножением (точнее им построено простое радикальное кольцо). Взяв произвольное локальное кольцо (не важно с единицей или нет) и также произвольное
радикальное кольцо К. составим для них прямую сумму
_Л.=; £4- К . Поскольку здесь 3(А")= 3 С(0+ К , имеем -Л./ОСЛ) ^ ¡г/аи> — » т.е. постро-
енное кольцо _Л. является локальным. Далее, так как (? образует в _Л. собственный двусторонний идеал и не содержится в радикале О (А.) '^ОО^ё К. ), кольцо
не попадает в класс Ьс . Отсюда мы имеем включение .Ле (оно, впрочем, легко следует и из того факта, что все ненулевые радикальные кольца не имеют I). Таким образом, справедливы включения
Ц^а И?., (<= )
где = ЦЯ^с ^ - класс всех локальных колец.
Для любых колец из и произвольных ненуле-
вых ассоциативных радикальных колец К, & доказывается равносильность
йч- К ^ЛК^ 5. (^О
$акта (&) а 0^-) уже дают ясное представление о тем, насколько огромны классы и и Я по отношению к и Не-
соответственно).
Начиная отсюда всюду считается произвольным локальным
кольцом (в смысле принятого-здесь определения) вообще говоря без I. Для него принимаем следующие обозначения: -Ь.. (с*) - матрица из , у которой на позиции (ч,])» . стоит эле-
мент ос , а все прочие позиции заполнены нулями (т.е. (^а)-ква-зитрансвекция); ^ муС*3? • • «О » эле~
мент ъ- стоит на к-м месте (т.е. к-квазидиагональная матрица); е-- (фиксированный) вычет из единичного класса & » = е 4-3(70 - тела вычетов X ; для индексов С..<] положим
- ^^е) « .в(е) -(е) - -к^ (е) - сЛ. & и для эта матрица доопределяется как о-¡.. о ; штрих 1 , как и выше, означает взятие квазиобратного элемента; ш - всюду сравнение в £ по модулю 7СО ; Ь» (е)^ с^ОО-^.(&';), ее К.0.
Займемся сперва представлением группы С^С О», » .
Для этой цели мы используем следующие матрицы простейшего ввда •ЬуО*), С^Л «¿(е), ееЯ"* т\^ (*)
К, а? Ус) .
Пусть означает некоторое слово вида =
в^. (X. . Г*. (% ) = Г*1 Ч,- (х )
(указанного алфавита). Формами ступени I мы будем называть всякие слова вида 4* ~ Р- ®Ч7. ¡= ГП -ь. (х
где при 5-5-1 считается выполненным условие = о
~ .Аналогичным образом вводим также обозначения <3. = ^ . ) о ••• ° "Ь^. • ® качестве стандартных
форм элементов группы (^Ц1 (>, Ю объявляются всевозможные комбинации ^ С. ... а ^ «. Л *> ...» , где
л ... о - некоторое диагональное слово.
Стандартное строение в Сг1.о0,><0 описывается следующей теоремой.
ТЕОРЕМА2. Всякая матрица ги из С^Г^Й.) представляется в стандартном виде
причем это представление для нудя с\ — а является единственным.
Доказательство отой теоремы использует дизъюнктное разложение Й.' (являющееся аналогом разложения Я = = 3 00 и Я' ) и некоторые квазианалоги соответствующего утверждения из работы [15]. Что касается количества представлений (£ ) для произвольной матрицы <я_., го оно не превышает (п-4~)!.
В алфавите (£) имеют место следующие (непосредственно проверяемые) соотношения:
а) Л-Д^оЛ-Сб)««*. • в) м^б)«
¿0 <ц о . <» - о I,. р (е 0. ^)<, ч ^
где т=£еч-Е.-<^е+<».£-+е^е, ^ = <з = еее.-*. (ее-еее)^г у = еее-ее.-*- б '(еее- е-е)^ е) ^ ^ с?) «
где eiu+ еее+ (e£e.)1:e£.-t-ete.), s= е.-е'е--+-ч- (t- ее,) ^ ^Ее-CE
3. а) -Ъ* ^О*-«-^
с) V*^^^^*^
Для аргументов oC^éo , f^o и индексов к
"к.^Сб) если ф -
в противном случав, здесь &=r cí - j* (6 «:-+« ^ х—
=»z.-jbí-'Ss/a.- (За, ск~ <*-pí(2,j e-t-p. .
5. Для аргумента ос , сЬслиЯ
-fc. (oí)^. = fe^ut. .f-«'é-e)ot. (е'йч
* fcv vK ч le,,4- ' v-k
где ь— е- sr-^ + es^^c«.. «.= «
' _ ?
6. Для аргументов <x , oí—o , a)
. если
_ J «= е- й -e^
^ тивном случае,
здесь <s~-z.~ «jb-e^-e^éu^ е-к*-
ь-е— е.е-+й«., -«^.-ejbe,-»- -е^е
в) ^^С?)-»?^.^^)«
если е^
Л ) «^(т^О^^ в противном случае,
здесь (Г=-е---£ ёЛ> е+^-ле.., д = - g е- е.*- <
(с,;
7. Для аргумента оСфо
с) 4ц. <*)«-fe.. Св-О-^ (.«-«-О-»*^,
*акС*> = *е> : Aù
8. Для аргумента «¿^¿о и индексов ¿.«iK-ij
а) -Ь^ <о0е = -т] ^ « t *е)« фу
9. a)
Все последувдие серии относятся только к случав cha^•
10. и и Ф e ^kiC- е-" О И • к (г в') .где s - *е -
11. Для индексов С- v: :
где зе-e е3- С«-3- (е5-е)^ е=«-«Л
(T=iC-e-te--fo(e, ^-^e.+ ge, — =• t - к k.)^
Я <l-e.-ce.-t ¿e-, X-a es-t-
cU-eS-Ce.*-«.3.)^ 4« ¿Ч-Се-е^а, a = e*- е/Се^еЪ, 6 s e-v e'e,-^;
° ^te'st-s>^* t-- ,
где fa x, t- такие ке; что и в пункте а), а величины
—^ к. определены соотношениями пункта а) при начальных значениях с^-е-еСе-е-Ъ«-, <>(=■ е-*)*?,
g = еЛ»-(еА-е.3) л= е-»- e'Ce-f- е*-g^-e-W-a-X^e*);
С) ^ч = +° ^^ Ч" ^ (-<5} Ч* ^
(б'K+W)-oj^ *(«)« ??
...где -x.-e.i- е*ч- Се-+ е.^ &^ ^ « е -+• ь=-е*- е-3,
а величины ffjS^t, L определены соотношениями пункта а)
■ при;"начальных значащих (е Л =>
=? ^ (е-е*;л,
- е - я-е^-е.*- е-е.*--*
где - е+Л-е^-еА*- С-е.+ле^-^^ е-е^ц- (с- е*) е/, е= •г?— •г?" , а величины ^ определены соотнсше-
•• .. • ни«ми пункта а) при начальных значенилх с=»
=.-е.3^ (е ^ве+е^-г'+Се-ле^+е1;?
При доказательстве основного утверждения (относительно группы О-Ь'Ч'и, (О ) Фундаментальную роль играет, так называемая, теорема о трансформации4букв. На множестве всех слов алфавита 0) введем отношения ¿к. ■ , а именно для двух слов
иГ , 1Г~ этого алфавита положим иг тогда и только
тогда, когда эти слова связаны соотношением , где
ЗС - некоторое слово, не содержащее буквы вида -Ъ . {«.)
«-¿о
• ^к^- . К*'*- . Введенные отношения являет-
ся рефлексивными и транзитивными.
Тогда упомянутая выше (базовая) теорема сформулируется так.
ТЕОРЕМА 2 (о трансформации букв). Пусть эо означает одну из букв Хр^
, причем вторую букву означает только при ек Я- .
Тогда для любой формы о ^используя соотношения 1-11 мож-\но выполнить 'преобразование ¿й- , где не-
которая форма ступени ^ .
Эта (большая) теорема доказывается при помощи некоторого комбинаторного анализа.
Полнота системы соотношений 1-11 относительно образующих (I) показывается так. Пусть - произвольное слово алфавита (I).-Не теряя общности его можно считать представленным в виде • -
иг(2) где. - некоторая форма ступени I, а У- соответствующее ей дополнение. Ввиду соотношений 3^ и 10 слово "У можно
считать составленным только из-натуральных степеней своих букв. Пусть рсо^ , т.е. эс - первая буква У. Применяя к
стыку \ггг':£ • х. ¡теорему 2 о трансформации букв будем иметь % а^ , т.е. получаем представление того же вида (2), но уже с укороченной длиной слова "У" . Продолжая это сокращение несколько раз мы приходим к записи ог ^ £ , т.е. ия= « X о . Аналогичным образом вытягивая из .X форму (ступени 2) имеем иГ=* Xой о £ л £ и т.д. На (п-О-м шаге мы получаем разложение «гау*.*-^ » ''' ° ^л. * ®
полученной записи слово ^С имеет нижнетреугольный вид
|И оно соотношениями 2-3 (уже сравнительно легче) приводится к виду X=• ^о.;. « д^^^Ох)0"' ° • Твким
образом, соотношение цГ=з<иг) является следствием от 1-11. Поскольку здесь {$(о)У= £ , последнее согласно сформулированного критерия означает полноту системы соотношений 1-1£ для групПЫ С^Ч^Ь*-)- _
Зтот_общий результат в соответствии со случаями и конкретизируется следующим образом.
ТЕОРЕМА 3. Обобщенная полная линейная группа СНГ(-п.,
, над локальным кольцом ^ с сЬа^К = в образующих 0). задается соотношениями 1-11 (при неадекватные соот-
ношения опускаются). _
ЗАМЕЧАНИЕ. При сАлхА^Я, условия
€_-в<+ соотношений и заменяют-
ся на е<^>ф. -е.^ о; (соответственно).
Качественно иное описание допускает группа 0-|_в(»Ч, (О при оЬЯ. й- . Во-первых здесь, как показывает равенство
буквы можно удалить из списка образующих (О. В этом сл-
учае используется алфавит
Сс*;>; АФ, 66кг (3)
Здесь и соотношения 7-9 являются следствиями от первых шести'серий. Покажем мы это на-конкретном примере соотношений 7Действительно, используй соотношения 3^, 2 и будем иметь
^гк^у ^ = ^(е).^. у «
- к. кСе). [Ч^ С- е*--е) - ±у > -Ь ^ <- е' ; ~
= От С1*-
Поскольку при серии 10 и II просто-попросту не ис-
'пользуются, основной результат в этом случае сформулируется так.
ТЕОРЕМА Обобщенная полная линейная группа (5С С*-, Я.)» ^ , над локальным кольцом с сЛи^г. К.в образующих (3) представляется соотношениями 1-6 (при ъ- »¡а/ неукладывающиеся, соотношения опускаются).
Пользуясь полученными результатами.теперь мы даем описание проективной обобщенной полной линейной группы Ю~
= СЛГ (-*, &) /сл-пЯСсС^, £). Для этого нам нужно найти, какую-нибудь порождающую центра сгп&СгЦ* (п, й.) систему слов "V" (в соответствущем алфавите) и присоединять к полной системе еще соотношения , где пробегает множество "V" (см., например, (Ш).
Обозначим через группу диагональных матриц,
содержащихся в О-С Он, Я) . Показывается, что центр
Я ) порождается трансвекциями "£¿¿0*), , и группой С'"-, Ю • В некоторых случаях элементы
последней группы допускают и дальнейшие разложения, а именно, группу £) назовем расщепимой» если она порождается скалярными матрицами (&0 — (&3 «Л^СеОа
^е. ее-и£ , и матрицами » «хеДпи^, С-^п,.
Доказано, что при сЛю^Д^зг. группа Я) будет рас-
щепимой. Поэтому в этом случае мы имеем следующий результат.
ТЕОРЕМА 5. Обобщенная проективная полная линейная группа С"*1, К) » над локальным кольцом с е-ЬаьЙ-?^
в образующих (3) задается соотношениями 1-6 и еще соотношениями
ее Й°П
й при 2. — можно указать кольца » для которых
;рруппа I?) будет расщепимой (так будет, например, при
произвольном теле характеристики 2). В этом случае объединение сказанного с георемой 3 дает следующее утверждение.
ТЕОРЕМА б. Обобщенная проективная полная линейная группа » ">■>-> зи, над локальным кольцом Я с и расщепимой группой (О в образующих (I) представляется
соотношениями 1-11 и еще соотношениями Л.^эс> = о ,
Случаи, когда группа 21>в(п, Л) будет нерасщепямой (что имеет место только при с-^гах-Й.»^ ), охватываются следующей теоремой.
ТЕОРЕМА 7: Обобщенная проективная полная линейная группа £Сг1? (и, Я) , , над локальным кольцом Й. с нерасщепимой
группой ЩИ" С""-, в образующих (I) задается соотношениями 1-Й и еще соотношениями -Ъ^. (с*)••= о , «еА-тг^. , к^" ;
А (е.^3 с, =о , где пробегает группу
Над кольцом £ аналогичным образом описываются и специальные линейные группы Б (71, Я) , V 0*, . Но прежде чем говорить об этих группах нам необходимо ввести над понятие
соответствующего определителя. Его мы введем над произвольным ассоциативным кольцом К . Определитель строится в два этапа.
Этап I
На протяжении этого пункта кольцо К считается коммутативным (существование I ае предполагается). Пусть I*=. ■ {^г,..., у*- 3" - совокупность индексов. Для подстановки ЗГ из симметрической группы через X4>еТ(>ц): 2Нс>=С}-
обозначим ее неподвижное подмножество. "Знак" подстановки "ЗГ определим как
srr={ ! ;
если 4 - четная в противном случае.
Введем обозначение х. о-х = 1 1 эг . Пусть
. л
далее, )=■ --Г1 означа-
ет основной квазисимметричэский многочлен степени к. от перемен ных х^д ... , рс^ . Для числа положим
__(т.е. §~(У) - сумма знаков всех полтей ^ о
них подстановок из Sfc). Легко проверить, что 5~(2)=-, сГ(3)= + 2
Г00--3. Г(5)-ч4, i(6)»+5, S"(7)= +2Î6. • • -
-Для матрицы и-подстановки iTe S^
принимаем обозначение fa .а ... а _ 1° =
✓ о ч v ^iîu-; ivT<?vj /
= ( ГП <з JH1 <я , где при 1(3") первый,
а при второй сомножители считаются равными нулю.
К в а з и-о-п ределителем над кольцом К порядка к назовем отображение Act" : К") —> К » заданное правилом
i Si -к «С ->v- A-
где при вторая (т.е. вычитающая) сумма считается равной
нулю. Согласно этому определению ot&t~(oO-.<=o<, МЛ" (у £ ) —
- Ао (у^ •■<- Л -t-jb-f- а. .
Пусть -Д.- произвольное коммутативное расширение с £ кольца К (например, 2 * К с- покоординатным сложением и умно-
жением, заданным как <о<, эч> =
здесь единицей будет пара о> ). Показывается, что в рас-
ширении .Л./К введенный определитель будет связан с
обычным определителем соотношением
сХвк (е -с- А ) — d. -h d e-"t ,
С*)
где л. - произвольная матрица из и Е. - единичная
матрица порядка w . Пользуясь этим соотношением легко вывести свойство полной мультипликативности для введенного определителя
(cut-)
( - любые матрицы из -Xt-(ri7 К) ). Доказать это равенство
непосредственно ссылаясь на определение Jet" технически очень сложно.
Этап II
Пусть теперь К - произвольное ассоциативное кольцо (ни коммутативность, ни существование I не предполагаются). Обозначим через I^K) двусторонний идеал этого кольца, порожденный всеми кольцевыми коммутаторами * • §актор-кольцо
К =s. К / 1(К.) здесь образует коммутативное кольцо (причем Х(К) будет наименьшим идеалом в К с этим свойством). Введенный определитель Ь" на общий случай распространяется так _
; ль*, к, ек^ЛА'л,.
где сх — ) • Так как Ле^(а<><2) =c4e"t°a°«=c/et°(a - 1 )=
сц о dei" <» =» л " ei" ^ для любых матриц д3
е к; , свойство квазимультипликативности ( ) остает-
ся в силе и в общем случае.
Обозначим теперь через SL°(ti, К) ядро гомоморфизма el-ët" : QL° К") к° и назовем его обобщенной специальной линейной группой степени тл/ над кольцом К • %и представлении специальной линейной группы Stf (-и, . 4v>it, (над локальным кольцом & ) мы используем следующие матрицы
t-Дл), П.^, Ъ^С®;, ъев: С С-*); <*о
^ С«),
Обобщенное свойство квазимультишшкативности для определителя
позволяет нам рассматривать соотношения 3-ÏÏ (написанные для Gj-t-'On., ) также как соотношения обобщенной специальной линейной группы . А серии Я, 2 мы заменяем следующи-
ми соотношениями:
А. а в с
е
4
■2. а . в с Л в 4
Л I <£> - <Л6 -
h Ik.CE-) о - Чп.^3' U п- ;
кнЛ
>v :
-t.. (о<) о «tjso - ^со « с«^, чз "Ь.чЛ0^0 Ъ- С&) " -t- (je^«
СИ- 4t «-к-
" K =" » -b^ c* £ 4- ос э,
где ~ = e»£<>(-«)+ eE'è^ a.=-ee~ee-e.~ee-t-e61'e3 6« e e e - ее— e e^-f-t'e., G"« с — -G Ça. -vC«0 c.*» e.'« e, e t e ^
где —= е-"«® (X= e-t- еве- t,-
Ся. ) -">2 , . ¿«.к«.-*^, где я. = гь^^-f» a'é-eg'è, — ** G"-3
= с- ^(д+х'еОт c= e -л- e^
M< tch, П-. 1CH, UU
где л=ее+г®е, в^ее-^ье., -с=»еее. g-« с-е^+х'л с = ^-e) « a о e >+■ e.^ ,
o) = M*.
Если стандартные форда матриц из S"L°(ii, £) определить как а о ... в а 0 Ь (е ... с К Ге , )о«( (&) ° -f-x»
где формы ^* такие же, что и для G-LTCjn, , е^е R." , 'г=е R°nT(fO , то повторение рассуждений Сс незначительными изменениями), проведенных для ¿V) » Дас® следующие рез-
ультаты.
ТЕОРЕМА 8. Обобщенная специальная линейная группа SCO«, yi&'Z, , над локальным кольцом с в образующих (Ю
задается соотношениями 4-j, <& и 3-ÏI (при ти&з неадекватные соотношения опускаются).
При это описание сформулируется так.
ТЕОРЕМА 9. Обобщенная специальная линейная группа SL? и>?/ , над локальным кольцом R. с о^елЦ^л. в образующих
HfVy б-ей'пКй); (5)
&ей.° U<><;
представляется соотношениями ^ и З-б (и здесь при чге-з. неадекватные соотношения опускаются).
В случае, когда кольцо обладает Î, результаты теорем 8
и 9 (даже в несколько общей постановке) этим же методом единообразно были получены в работе ГЗЗ. А это в объединении с цепочкой (?ps) показывает'на существенность перехода от линейных групп над кольцами с i к рассмотрению таких же групп, определенных над кольцами без Ï. Некоторым подтверждением к сказанному может послужить также упомянутый выше результат Н.С.Романовского (£83).
Переходим теперь к изучению проективной специальной линейной группы £ s L" (¿1, « S L°0, А1 / S UQiJ . Пусть
(¿п^Ю означает группу диагональных матриц, входящих в огиф . Вычисление центра сье^ й.) Скак, и для
группы С^'С'и, <0 ) показывает, что он и здесь порождается трансвекциями -ъ~(оО , осе Аин-Л. , , и группой
И • Поскольку элементы последней группы представля-
ются в виде ^(Е^о... о «е ),
и, вообще говоря» нет гарантии для дальнейшего разложения ее элег ментов, опираясь на теоремы 8 и 9 для группы •£51_а(п:) (О мы имеем следующие описания.
ТЕОРЕМА 10. Обобщенная проективная специальная линейная группа (*,£-) » п^-я. , над локальным кольцом с Ыгск.й. = а. в образующих (4) задается соотношениями й " , 3-11 и еще соотношениями . осеДпк!?. А *^
^(е-^ а •" - ^^ ) ° ^С?) = ° » Где & пробега-
ет группу 2! В!}* (у1.9 Я) (при 'цй.з неумещающиеся соотношения опускаются).
ТЕОРЕМА Н. Обобщенная проективная специальная линейная группа , , над локальный кольцом с сЬ аУс & в образующих (5) представляется соотношениями З-б и еще соотношениями "Ь" (<*)« о , р<е ( ); = Ц^(б^) «... ° 4 (е„ ^н.1^^ —с ' где пР0(5егает ГР~ уппу Ол, (3.) (при -п.^-3, неадекватные соотношения, также; опускаются).
Аналогичным образом применяется описанный метод и к другим линейным группам, рассматриваемым в работе. Степень сложности его применения здесь будет существенным образом зависеть от специфики этих групп, а также колец, над которыми они рассматриваются.
В связи с введением определителя Хек? возникают следующие естественные вопросы: а) какими. (аналогичными А&Ь ) свойствами обладает квазиопределитель - ЛеЬ" ? в) нельзя ли его применить к решению каких-то "линейных систем" наподобие правилу Крамера? В §11 в качестве дополнительного исследования даются ответы и на эти-вопросы. Отметим, что при решении подобных задач основным средством является локальный прием (т.е. вложение фактор-кольца _ 1<^_К /Х(К) в некоторое его-коммутативное расширение А./ К о!).
Вопрос а) решен в общем виде: над"любым ассоциативным коль-
ном К найдены квазяаналоги всех (классических) свойств определителей Здесь же доказывается-и квазианалог известной теоремы Лапласа. Чтобы сформулировать последнее приведем некоторые понятия и обозначения. Пусть для натурального а , г , ^О»-) : «-¿ЛЫ ' И Для кортежей ¿у > через мы обозначим подматрицу матрицы ЭС— (х4^М-Сп^) , определенную как ^^ -х.4* , ... . Минор и адъюнкт матрицы Х- , соответствующие кортежам
определяются как обычно: -М^с^'.'** (х) =» х^7'"' V и
^ —с——^ : с^^. «в
Пусть Е - единичная матрица из А.) и ^(¿п, К.) •
Показывается, что все диагональные миноры матрицы Ё + а. представляются в виде УХ(Ё 4. й ) — I ^ ) 3 где (Д-га) - некоторый элемент из К. . А что касается недиагональных Л,*^*'"*1.* С Е.Ч- а. ) , ^ ^
» то они сами принадлежат кольцу К. . Эти факты соответствующим образом распространяются и на адъюнкты.
ТЕОРЕМА £2 (квазианалог теоремы Лапласа), Для фиксированного кортежа ■<*> ^Х^-м.) и произвольной матрицы с\ е
УС) имеет место разложение
Я% (I А (1+ а
Аналогичным образом доказывается и
ТЕОРЕМА 13 (о суммировании по адъюнктам чужих столбцов). Для кортежей из и произвольной
матрицы цс Ли(п к) имеет место равенство
Ответ на вопрос в) Скак и в классическом случае) дается над коммутативным кольцом К. (существование! не предполагается). Рассмотрим над этим К. следующую систему квазилинейных уравнений
3 ^-• «¿х- ^ се)
—<
( К). Следуя классическим случаям зту систему также
будем называть крамер о в с к о й, если квазиопределитель ее основной матрицы ) квазиобратим в К . Интересу-
емся решениями 5с=-=<э^,хг;>..., -^У » я^е » системы (6) в ее крамеровском случае.
Над коммутативным расширением .А/К с I составим матрицу
Лсю.! = . «1 ПРИ ¿ + ъ* и
0я со) I '*■ & » • Очевидно, что для нее с^,
е К . Комбинированное применение к (б) соотношения (" ) и правила Крамера даст вам следующий результат.
ТЕОРЕМА 14 (квазиправило Крамера). Всякая крамеровская систе ма (б) над ассоциативно-коммутативным кольцом 1С является определенной и ее единственное решение за~ дается формулой
Далее, для любой матрицы М*[п К) доказывается равносильность
Она показывает, что система'(6) будет крамеровской в том и только том случае, когда сама ее основная матрица ) квазиоб 'ратима в К) .
Исследования §1? показывают, что для квазиопределитедя можно развить обстоятельную теорию и найти его приложения к самым различным вопросам алгебры. Эти обстоятельства дают нам оснс ваниэ верить на то, что квазиопределитель будет сущест-
вовать в математике так:же как и определитель с1е£ » заняв с последним -параллельную позицию.
Резюмируя результаты параграфов 11-14 в целом можно теперь констатировать, что глава 1У открывает путь в новую и еще неизв! данную область комбинаторной теории групп - комбинаторную теори!
линейных групп над ассоциативными кольцами без I й их естественным обобщениям. Она, как мы уже видели, положит начало также к новому разделу линейной алгебры - теории квазиопределителей над ассоциативными кольцами и к различным ее приложениям.
В заключение автор с приятностью вспоминает о своем учителе З.И.Боревиче и выражает искреннюю признательность докторам физ.--мат. наук, профессорам В.М.Левчуку, Г.П.Кукину и В.А.Романько-ву за оказанную ими моральную поддержку.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. КЬмбинаторная теория групп. -М. : Наука, 1974, 455 с. '
2. Линдон Р. ,• Шупп П. Комбинаторная теория групп. М. : Мир, 1980» 447 с. '
• З.Чакдлер Б., Магнус В. Развитие комбинаторной теории групп. И.: Мир, Ï985, 253 с.
4. Коксетер Г.С.М., Мозер У.О.Дж. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. М,: Наука, Î980, 240 с.
5. Мерзляков В.И. Порождающие элементы и определяющие соотношения классических групп. - Дополнение к книге Коксетера Г.С. М., Мозера У.О.Дж.
6. Стейнберг Р. -Лекции о группах Шевалле. М.: Мир, 1975, 261 с.
7. Боревич З.И., Вавилов H.A. Подгруппы полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащие группу диагональных матриц // Тр. Мат. ин-та АН СССР, Ï978. - Т.148, С.43-57.
8. Романовский Н.С. Образующие и определяющие соотношения .полной линейной группа над локальным кольцом // Сиб.мат.ж., Z97Î. - ТЛЗ, »4. - С. 922-926.
......9, Greeii S.M. Generators and relations for the special linear
group over a division ring // Proc. Amer. Math. Soc., 1977,.62, N2, P.229-232.
10, Херстейн й. Некоммутативные кольца. M.: Мир, Î972, Ï9i с.
11. Басс X. Алгебраическая K-теория. M.: Мир, 2973, 591-е*
52. Кон П. Свободные кольца и их связи. М. : Мир» Î975.--422 с.
Ï3. Мельников О.В., Ремесленников В.Н., Романьков В.А., Скорняков Л.А., Шестаков И.П. Общая алгебра. T.I. М.: Наука, Ï990, 591.с.
14.-Курош А. Г. Общая алгебра. Лекции 1969-Ï970 учебного го-
да. 'М.: Наука, Í974, 160 с.
15. Saeiada-B.-Solution of the problem on the existence of a simple radical ring // Bull. Acad, polon. sei., Ser. math., astronom., phis., 1961, 9, N4, P.257.
РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕШ ДИССЕРТАЦИИ
1. Сатаров 1. Задание классической унитарной группы определяющими соотношениями П Тез. докл. Í6-B Всесоюзн. алгебр, кокф., 4.1 - Ленинград, 1981. - C.I43-I44.
2. Сатаров Ж.С* Задание специальной мультипликативной группы слабосовершенного кольца определяющими соотношениями П Тез. докл. и сообщ. 30-й научно-теорет. конф. препод. Ошского пединститута, От, май,- 1990 г. - Ош, 1991. - С.55.
3. Сатаров Ж.C¿-Образующие и определяющие соотношения в специальной мультипликативной группе слабосовершенного кольца // Сиб.мат.ж., 1990. - T.3I, №3. C.I67-I75.
4. Сатаров Ж.С. Образующие и определяющие соотношения унитарной группы над телом кватернионов II Кольца и матричные группы. -Орджоникидзе: Изд-во СОГУ, 1984. - C.I2I-Í28.
5. Сатаров I.C. Образующие и соотношения классических унитарных групп над локальным кольцом // Тез. докл. Региональной науч-но-технич. конф. препод. "Пути повышения эффективности использования отходов промышленности", Ош, окт., 1993 г. - Ош, 1993. -С.83.
■б. Сатаров К.С. Образующие и соотношения центра мультипликативной группы слабосовершенного кольца // Тез. докл. Междунар. научно-практич. конф. "Современные методы и средства информационных технологий", Ош, июнь, 1995 г. - Ош, 1995. - C.Í0&-I09.
7. Сатаров I.C. Об определяющих соотношениях подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц // Тез. докл. и сообщ. 29-й научно-теорет. конф. препод. Ошского пединститута, Ош, май,-£989 г. - Ош, 1990. - C.I50.
8. Сатаров S.C. 0 подгруппах мультипликативной D-группы об' общенного матричного кольца, содержащих тор. - Деп. в ВИНИТИ (че рез Редакцию Сиб.мат.ж.), ÍM200-B-I989. - 13 с.
9. Сатаров I.C. Определяющие соотношения в мультипликативных унитарных группах слабосовершенного кольца II Тез. докл. третьей Междунар. конф. по алгебре памяти М,Й.Каргаполова, Красноярск, авт., 1993 г. - Красноярск: ИН0ПР0Ф, 1993. - С.293-294.
50. Сатаров 1.С. Определяющие соотношения в некоторых подгруппах мультипликативной группы обобщенного матричного кольца // Известия вузов. Матем., 1989. - №8. - С.88-90.
11. Сатаров Ж.С. Определяющие соотношения в унитарной группа // Структурные свойства алгебраических систем. - Нальчик, 1981. -Р. 97-108.
12. Сатаров Ж.С. Определяющие соотношения в элементарной треугольной группе над кольцами // Мат. заметки, 1986. - Т.39, №6. -С.785-790.
13.-Сатаров Ж.С. Определяющие соотношения вырожденной элементарной унитарной группы над квадратичным расширением упорядоченного евклидова поля // Мат. заметки, 1989. - Т.45, М. - С. 89-100.
14. Сатаров I. С. Определяющие соотношения классических ортогональных групп над коммутативным локальным кольцом // Тез. докл. Республ. науч. конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения", 0ш, сент., 1993 г. - Ощ, 1993. - С.96.
15. Сатаров 1.С. Определяющие соотношения классических ортогональных групп над коммутативными локальными кольцами // Известия вузов. Матем., 1994. - МО. - СЛ-9.
16. Сатаров Ж.С. Определяющие соотношения классической унитарной группы над кольцом дуальных чисел // Тез. докл. Междунар. научно-практич. конф. "Современные методы и средства информационных технологий", Ои, июнь, 1995 г. - Ош, 1995. - С.Юб-Ш.
17. Сатаров Ж.С. Определяющие соотношения мультипликативной группы полусовериенного кольца // Тез. докл. и сообщ. 30-й науч-но-теорет. конф. препод. Ошского пединститута, 0ш, май,- 1990 г. -Ош, 1991. - С.54.
£8* Сатаров I.С. Определяющие соотношения ортогональной группы над упорядоченным, евклидовым полем // Сиб.маг.ж., 1986. -Т.27, Ш. - 0.172-175.
19. Сатаров Ж.С. Определяющие соотношения подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц // Известия вузов. Матем., 1991. - Н. - С.47-53.
20. Сатаров Ж.С. Определяющие соотношения специальной унитарной группы над квадратичным расширением упорядоченного евклидова поля // Матем.сб., 1985. - ТД26С168), Ю, - С.426-430.
21. Сатаров Ж. С. Определяющие соотношения унитарной группы над конечным полем // Структурные свойства групп. - Орджоникидзе:
Изд-во СОГУ, 1932. - С.47-60.
22. Сатаров Х.С. Определявшие соотношения унитарной группы над локальный поле*. - Два. в-ВИНИТИ, »4227 - 1982. - 24 с.
23. Сатаров !.С. Определяющие соотношения унитарной группы над полем из четырех элементов. - Деи. в ВИНИТИ, №4261 - 1982. -14 с.
24. Сатаров 1.С. Определявшие соотношения элементарной псевдоунитарной группы над квадратичным расширением евклидово упорядоченного подя // Скб.мат.к., 1968. - Т.29, II. - С.217.
25. Сатаров Х.С. Определяющие соотношения элементарной псев-доунитаряой группы над квадратичным расширением евклидово упорядоченного поля. - Деп. в ВИНИТИ, »9011 - В -1986. - 17 с.
26. Сатаров I.С. Определяйте "соотношения в группах хвазиоб-ратииых элементов полулокального.кольца П Тез. докл. Междунар. алгебр, конф. памяти Д.К.$аддеева, Санкт-Петербург, июнь, £997 г.
- Санкт-Петербург, 1991. - С.273-274.
27. Сатаров 1.С. Определяющие соотношения обобщенной полной линейной группы над локальным кольцом без единицы // Тез. докл. Мвждунар. научно-практич. конф. "Кызыл-Кия вчера, сегодня и завтра". Кызыл-Кия, апрель, 1998 г. - Кызыл-Кия, 1998. - С. .
26. Сатаров 1.С. Определяющие соотношения унитарных групп над локальными кольцами без единицы // Тез. докл. Междунар. нв-учно-практич. конф. "Кызыл-Кия вчера, сегодня и завтра", Кызыл-Кия, апрель, ¿998 г. - Кызыл-Кия, 1Ш. - С. \4-ZZ*.
29. Сатаров £.С. Определяющие соотношения обобщенных ортогональных групп над коммутативными локальными кольцами без единицы // Тез. докл. Междунар. научно-практич. конф. "Кызыл-Кия вчера, сегодня я завтра", Кызыл-Кия, апрель, 1998 г. - Кызыл-Кия, 2998,
- С. 4 о —< 6.
30. Сатаров Х.С. Определяющее соотношения обобщенной полной я специальной линейных групп над локальными кольцами без единицы
- в печати.
31. Сатаров Х.С. Определяющие соотношения полной -и спзциаль-ной обобщенных унитарных групп над локальными кольцами без единицы - в печати.
САТАРОВ IQOMAPT
I
.Образующие элементы и определяющие соотношения в линейных
группах АННОТАЦИЙ
Представление линейных групп через их образующие элементы и определяющие соотношения является одним из основных методов изучения. этих групп. В работе находятся образующие и соотношения ортогональных, унитарных (классических и.неклассических) групп, а также некоторых подгрупп полной линейной группы ■vt-^-Ä, » над некоторыми кольцами. Аналогичные задачи решаются для полной и унитарной мультипликативных групп обобщенного матричного кольца. Принципиально нового уровня исследования составляют описания обобщенной полной линейной группы QL (tS
, заданной над локальными кольцами без I, и некоторых ее классических подгрупп.
SATAROV JOOMART Generated Elements and Defining Relations in Linear Groups
SOMMABY
Presentation of linear groups by means of generated elements end defining their relations is one of the major ways of studying these groups- In the paper there are generated units and relations of orthogonal, unitary <classical and nonclassical) groups, and also some subgroups of the general linear group GL(n, -Л-),
2, over some rings. îhe analogical problem is being solved for general and unitary multiplicative groups of a generalized matrixal ring. Principally new level of investigation is the description of the generalized full linear group GLe(n, R), n» 2, given over the local rings without 1 and some of its classical subgroups.
' / од, 9?-5x2 сУьС
МИНИСТЕГСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И КУЛЬТУРЫ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ
ошский
..»«-■л-— ..... ■.■■■.,• (л ") у-гг, —
р ^ ^ На правах рукописи
Ф
Сатаров
¡А— ' ;
ОБРАЗУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ОШЕДШШЮЩШ СООТНОШЕНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ ГРУППАХ
01,01.06 - математическая досика, алгебра и теорий чисел
ДИССЕРТАЦИЯ
на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
ОШ
1998
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ........ . ..................*
ГЛАВА I. ЗАДАНИЙ НЕКОТОРЫХ КЛАССИЧЕСКИХ ПОДГРУПП ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЫ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ КОЛЬЦАМИ..........26
§1. Образующие и соотношения классических унитарных
групп над локальным кольцом с i............ 26
§2» Определяющие соотношения ортогональных групп над
коммутативным локальным кольцом с I. • . ...... . М
§3. Определяющие соотношения подгрупп полной линейной
группы, содержащих группу диагональных матриц • ... 34 rjlAiiA II. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ НШАССИЧЕСКИХ УНИТАРНЫХ ГРУПП НАД ШШОЛЮТИВНЫМ РАСШИРЕНИЕМ УПОРЯДОЧЕННОГО
ЕВКЛИДОВА ПОЛЯ...................66
§4. Классификация вещественно-диагонализуемых унитарных
групп ........................67
§5. Определяющие соотношения в псевдоунитарных группах . • 72 §6. Образующие и соотношения вырожденных унитарных
групп .... ...... .............. 84
§7« Задания вырожденных псевдоунитарных групп ...... 97
ГЛАВА III. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ В МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ
ГРУППАХ ОБОБЩЕННОГО МАТРИЧНОГО КОЛЬЦА......106
§8. Образующие и соотношения (полных) мультипликативных групп слабосовершенного кольца........ . 109
§9. Задания некоторых расщепимых мультипликативных групп обобщенного матричного кольца .... ..... 121
§10. Определяющие соотношения в мультипликативных унитарных группах слабосовершенного кольца ...... I2Ö
ГЛАВА 1У. ЗАДАНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ПОДГРУПП ПОЛНОЙ ЛИНЕШШ
ГРУППЫ НАД КОЛЬЦАМИ БЕЗ I............I4Ö
§11. Образующие и соотношения обобщенной полной и специальной линейных групп над локальными кольцами
без 4 ....... ..........».....149
§12. Определяющие соотношения группы квазиобратимых
элементов полулокального кольца 130
§13. Задания полной и специальной обобщенных унитарных групп над безединичным локальным кольцом с инволю-
люцией ........ ...... ........ 196
§14, Образующие и соотношения обобщенной полной и специальной ортогональных групп над локальным кольцом без i ..........................211
ЛИТЕРАТУРА...............................223
ВВЕДЕНИЕ
Одно из классических направлений в общей теории групп составляют группы, заданные через свои образующие элементы и определяющие соотношения. Оно возникло в результате развития некоторых разделов математики как топология» геометрия, теория узлов и автоморф ныв функции Сем. [291 ). Группы, представленные в виде образующих и соотношений, впервые возникли в классических трудах Дика, Дэна, Тице и других исследователей. Изучение групп, заданных в та* ком виде, оказавшись настоятельным требованием самой математики, в то же время встречалось с рядом трудностей и особенностей. Трудности здесь связаны, главным образом, с высокой степенью абстрактности, Теория групп, заданных образующими и соотношениями, в настоящее время оформилась как самостоятельное направление и носит название комбинаторной теории групп. Систематизированная и обстоятельная теория групп, представленных своими образующими и соотношениями, Свпервые в мировой литературе) изложена в монографии В.Магнуса, А,Карраса, Д.Солитэра [29]. Новые методы этой теории и более современное ее состояние отражены в книге Р.Линдона, П.Шуп-па [28]. Большой каталог классических групп, заданных образующими и соотношениями, содержит книга Г.С.М.Коксетера, У.О,,дж.Мозера [16]. Историческому обзору развития идей комбинаторной теории групп посвящена книга Б.Чандлера, В.Магнуса [78],
Большой интерес в комбинаторной теории групп вызывают задания через образующие и соотношения линейных групп, а также связанных с ними конструкций. К этому вопросу уже посвящено большое количество работ и интерес к нему в последние годы значительно возрос. В математической литературе вместо слова мзаданиен применяют также равносильные ему термины "описание", "представление", иногда, допуская вольность речи, даже термин "генетический код" Сем., напри-
мер, [к 4] и ¡1б] ).
Исторический обзор Перечислим основные результаты из упомянутой нами области комбинаторной теории линейных групп. Здесь мы прежде всего укажем на классический результат В.Магнуса [98] , где им были найдены определяющие соотношения специальной линейной группы ^ , над кольцом целых чисел Ж относительно элементарных трансвекций , . Ключевые случаи этой задачи, когда 2 и 3 , рассматривались многими авторами, например, Дне. Нильсеном [102] (случай 3) и Уайтом [ИЗ] (случай 'к—2). Б, Нойман и А.Пойман в [101] нашли более простую систему соотношений для этой же группы • ^>3. С позиции образующих и соотношений группы X) , • у
Ж.) рассматривал в своей (большой) работе Янь Ши-цзянь [79]. Отметим также работу Грина [93], где он находил определяющие соотношения специальной линейной группы [.(^ТЗ , и^З, над произвольным телом Т относительно элементарных трансвекций
(Л) , Л^Т7 . j , и диагональных матриц вида ее (Т^)^ (определитель понимается в смысле Дъёдонне). В ¡73] Стейнберг показал, что специальная линейная группа
3 (над полем из с^ , элементов) может быть задана одними тривиальными истейнберговскимин соотношениями между элементарными тр-ансвекциями. Образующие и соотношения симплектической группы
над локальным кольцом -Л. с I, где его каждый конечно порожденный правый идеал - главный, выявлял Г.А.Носков ¡35]. Б этом ряду отметим также замечательный (и достаточно продвинутый) результат й.С.Романовского [38], где им находились образующие элементы и определяющие соотношения полной линейной группы (^-Ь (**. А ) , У^у 2, над произвольным локальным кольцом
(с 4).
в
Ряд работ в названном направлении посвящен к некоторым линейным группам малых (ключевых!) размерностей. Так, в [8бЗ Басси указал систему определяющих соотношений проективной специальной линей*» ной группы Г ^ ) • 2, относительно двух и трех порож-
дающих. Частные случаи этой задачи, когда т — 3, 4, 5, специально рассматривал Синков в работах [1053 и В^З* Далее, в
(1091 Санди
выявил образующие и соотношения специальных линейных групп ^¡-{¿Су Ж^) и над кольцами классов вычетов ¿Г^
по мечетным модулям Ыу . Симплвктическую группу с
указанной позиции рассматривали (независимо) Бэр и Бендер [84]. В первой работе приведено описание этой группы в шести образующих и восемнадцати определяющих соотношениях, а во второй - ее представление в двух образующих и восьми определяющих соотношениях. Некоторые системы образующих и соотношений групп О
Ж) , находил в [И 4] Уикс. В совместной ра-
боте Хуррельбринка и Ремана [96] выявлены определяющие соотношения групп С?) , 51 С?) . наД кольцами целых ал-
гебраических чисел (У полей (¡> (У^ж) , т—^., 2, 3, 7, И. Образующие и соотношения же специальной линейной группы над кольцами целых элементов (У полей (3 (у^пиЗ » 49, вычислил в
[Ш] Суон. В [115] Вон предложил способ представления ортогональных и унитарных групп (образующими и соотношениями), основанный на интерпретации этих групп как групп Шевалле. Перечисленным списком и главным образом исчерпываются результаты, относящиеся к комбинаторной теории линейных групп (не включая сюда результаты автора).
Как явствует из изложенного, несмотря на обилие таких работ конкретные результаты относительно ортогональных и унитарных групп (до 1980 года) никем получены не были. С другой стороны Ю.И.Мерзляков в своем обзоре [34] перечисляя работы, где были найдены лишь
порождающие элементы унитарных групп над некоторыми локальными и полулокальными кольцами, подчеркивал важность нахождения и определяющих соотношений этих групп. Все это свидетельствует о достаточной трудности вопроса описания унитарных и ортогональных групп. 1а этом фоне (в разные годы) были написаны работы автора [41], [44] , ВД, [49], [51], [53], [55], [56], [58], [60] - [65], [68], [69] .
Настоящая работа посвящена именно к описанию некоторых линейных групп через их образующие элементы и определяющие соотношения. Одно из основных мест в работе занимают представления (классических и некласеических) унитарных и ортогональных групп над некоторыми кольцами, а также связанных с ними конструкций. В работе определенное место отводится также к описанию мультипликативных групп отдельных классов обобщенных матричных колец. В большом цикле работ профессора З.Й.Боревича и его учеников была изучена структура подгрупп полной линейной группы 0-= (¡¡-[ _Л_) , над
различными кольцами, содержащих ее подгруппу диагональных матриц ^ = _А-) . Пользуясь результатами этой школы [4], [б] ,
[7] здесь мы даем описание (в терминах образующих и соотношений) всех промежуточных подгрупп Н » ^ Н^ над локальными кольцами А (при небольших исключениях на ). Совершенно новое слово в работе, на на® взгляд, представляют описания образующими и соотношениями линейных групп над кольцами без I, а также их естественных обобщений. Отдельные из полученных здесь результатов с большим перекрытием обобщают упомянутые выше результаты [93] и
Обзор работы
теперь к более полному обзору содержания работы. Работа состоит из введения и четырех глав.
Введение помимо своего основного назначения носит и подготовительный характер. Здесь собраны некоторые необходимые для дальней-
шего понятия и факты. В частности, здесь сформулирован критерий о полнот© системы соотношений, который в работе будет играть фундаментальную роль. Во введении продемонстрируется также содержание основного метода работы - метода трансформации букв на конкретном примере обобщенной полной линейной группы 1° (О , над
произвольным локальным кольцом & (без V).
Первая глава (§§ 1-3) условно разбита на две части. Первая часть (т.е. §§1, 2) посвящена к выявлению образующих и соотношен* ий унитарных и ортогональных групп над некоторыми локальными кольцами с А именно, в §4 находятся порождающие и определяющие соотношения классических унитарных групп СЬОъ : сл* ■=. ск у ( - эрштовски сопряженная для 6С матрица), бИ^К) (у\ , 2, над локальным кольцом ^ с I, нетождественная инволюция которого ~ удовлетворяет некоторым естественным условиям а)-с). Здесь же над кольцом вводится определитель ¿й-е^Ь и выявляются определяющие соотношения также специальных унитарных групп $Ц (п^ = (п^ : АеЬ <Я = ± » £) , 2. В §2 мы находим определяющие соотношения -классических ортогональных групп = — (¡-I-(п? £ ) : о^~ я^З" - транспонирование), Я ") 20 Я) » .Р^ОСгц О" . 2, над коммутативным локальным кольцом с I, удовлетворяющим условию + Я.** — (Я')^ С ' - взятие мультипликативной группы). Несколько иное направление имеет вторая часть этой главы, т.е. §3. Здесь мы опираясь на отдельные результаты из работы 1X1 выявляем образующие и соотношения промежуточных подгрупп Н , Х>0%X) ^ |4 ^ (^(г^К) , над произвольным локальным кольцом Я с тело вычетов которого
- радикал Джекобсона кольца Я ).
Более сложную задачу составляют описания неклассических унитарных групп (даже в случаях простейших полей). К нахождению обра-
зующих и соотношений вещественно-диагонализуемых неклассических унитарных групп ti (к А,А): ха?*-ск\ ,
2, над инволютивным расширением A/fe. упорядоченного евклидова поля к. посвящена вторая глава С§§ 4-7). В §4 проводится классификация Сс точностью до сопряженности в полной линейной группе) всех таких групп. Показываете», что всякая такая группа будет сопряжена некоторой группе вида ЗГ) » где J - ненулевая диагональная матрица с диагональными элементами из
о} . Возможные типы таких групп представляются следующими формами:
а) diacj ... „ i,... ,-О? в) J as Л 1<и cj (d-,1?о}..,,о); с) v о).
В соответствии с этими случаями группу И 3") принято на-
зывать псевдоунитарной, вырожденной унитарной и вырожденной псевдоунитарной. Образующие и соотношения неклассической унитарной группу ll^A^) , у^^у 2, в случаях а), в), с) выявляются, соответственно, в параграфах 5, 6 и 7. Отметим, что рассмотрением пунктов а)-с) полностью решается вопрос описания группы А, 2, для любой матрицы вида a^f^Cqj^,...,^)] t^T^e» ГД®
^GO-LCk^A) , Ке (wn/tA)* » б\€ fc .
Третья глава, т.е. §§ 8-10, посвязается к представлению некоторых подгрупп мультипликативной группы обобщенного матричного кольца. А именно, в §8 находятся определяющие соотношения полной и проективной полной мультипликативных групп .А , EAVAl/^MA произвольного слабосовершенного кольца А порядка Здесь
же вводится определитель Aéfc и даются описания также специальных мультипликативных групп S (А <=К: 3 » i £ (А ) . Имеет место цепочка включений
ПМШ) е ÍMK(M)S ИСК Щ ССК, (,<=)
где первые два звена означают классы полных матричных колец над телами и локальными кольцами (соответственно), а последние два -классы полусовершенных и слабосовершенных колец (определения см., например, в [43] ). Отсюда хорошо видно, что полученные здесь результаты с большим перекрытием обобщают уже упомянутые выше ки ставшие классическими) результаты Грина £93] и Н.С.Романовского [38]. В §9 мы находим образующие и соотношения некоторых расщепи-мых подгрупп мультипликативной группы _Л" произвольного
обобщенного матричного кольца А порядка тг>2. А точнее, здесь к изучению подвергаются случаи расщепимых групп Q- с обратимой диагональю и мономиальных элементов. §10 посвящен к выявлению определяющих соотношений полной и проективной полной унитарных групп "КГ (А) . £lC(A) *=U~(A)/ctn,tW (А) слабосовершенного кольца А и? инволюцией удовлетворяющих некоторым естественным условиям а)-с). Здесь аналогичная задача решается для унимо-дулярной унитарной группы EU (А) . В предположении, что каждый класс эквивалентности множества X0»t) — «• • > "-3" содержит не менее трех элементов, мы находим представление также проективной унимодулярной группы pElt (А) .
Совершенно иного уровня задачи решаются в главе 1У (§§ Ü-I4): здесь находятся образующие и соотношения некоторых линейных групп, заданных уже над кольцами вообще говоря без 4. В §11 мы вычислим определяющие соотношения обобщенной полной и проективной обобщенной полной линейных групп QL°(w, , .P&L0^,^) »2» над совершенно произвольным локальным кольцом (существование 4 не предполагается). Над произвольным ассоциативным кольцом К вводится понятие квазиопределителя и здесь же находится представления также обобщенных специальных линейных групп S'L'Os'O^ Ä^aeCfLffyR): = о} , Я) * г* Полученные здесь результаты (принципиальным образом!) обобщают результат Н.С.Роман-
овского ЦЗб] уже в другом направлении. В этом же параграфе изучаются свойства определителя АеХ? и указывается его применение к квазилинейным системам. Б §12 выявляются определяющие соотношения группы квазиобратимых элементов произвольного полулокального
кольца порядка (и не обязательно имеющего 1). Опираясь
на этот результат здесь мы находим образующие и соотношения также проективной фактор-группы ^/си^ЬК* . Поскольку полные
матричные кольца над полулокальными кольцами Л- сами
полулокальны (что легко следует из равенства Ю} —
= 1(Ю) )» имеющего место при любом К , см., например, £76], стр. 22), этот параграф содержит в себе описания обобщенных линейных групп О^ОцА) » РС-!/(н? А) * над произвольными (вообще говоря безединичными) полулокальными кольцами. Параграф 13 посвящен к выявлению образующих и соотношений обобщенных классичес* ких унитарных групп 1 а*"—«^ (, ' -взнтия, соответственно, эрмитовски сопряженной и квазиобратной матриц), Я^) [йеК"^ = , *г>2, над вообще говоря безвдиничным локальным кольцом & с инволюцией удовлетворяющим некоторым естественным условиям ^)-(^). Отметим, что полученные здесь результаты содержат в себе основные результаты §1. И, наконец, в §14 такой же вопрос решается для обобщенных классических ортогональных групп е СгС 0*% £ ) • ^ - а ' К
' Лек*а = О } , ?г>2, над локальным кольцом £ (существование Я не предполагается), для которого выполнены условия (оО-(зО. Этот параграф обобщает основные результаты из §2.
Как показывают результаты главы 1У, отказ от существования 4 в основном кольце при решении задач комбинаторной теории линейных групп приведет нас не только к неимоверным техническим сложностям, но и к определенным трудностям принципиального характера. В каждом
из параграфов М-14 строятся примеры основных колец Я, , не обладающих
Некоторые сведения о кольцах и полях
В работе мы неоднократно будем иметь дело с локальными кольцами. Прежде чем дать определение этих колец приведем некоторые сведения из [76^ Пусть А. ~ произвольное ассоциативное кольцо не обязательно с 4 и о - присоединенное умножение в этом кольце (.т.е. ос о с*-*- ). Элемент этого кольца с?с называется ле-
во-итраво-Оквазиобратимым, если для него найдется элемент ре А такой, что ^ о о С ). Элемент -А- • являющийся
одновременно и лево- и право-квазиобратимым, называется просто квазиобратимым элементом этого кольца. Но квазиобратимому осе-А- его квазиобратное всегда определяется однозначно и оно будет обозначаться как ос' . Совокупность А° всех квазиобратимых элементов
<к из -А- образует группу относительно композиции с и\де единице�
