Определяющие соотношения подгрупп группы автоморфизмов свободной группы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени. М.В. ЛОМОНОСОВА механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512.544.43

САВУШКИНА Анна Геннадиевна

ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ПОДГРУПП ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ СВОБОДНОЙ ГРУППЫ

01. 01. 06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1997

Работа выполнена на кафедре математической логики механико-математическогс факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова

член-корр. РАН,

доктор физико-математических наук С. И. Адян

доктор физико-математических наук А. А. Разборов

кандидат физико-математических наук, доцент В. Г. Дурнев

.Вологодский государственный педагогический университет

Защита диссертации состоится '¡/У " 1997 г. в 16 ч. 05 мин. на

заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-матемагический факультет, ауд. 14-08

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " М&^ТА. 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук,

профессор В. Н. Чубариков

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Пусть Рп (п>2) - свободная группа со свободными |бразующими а 1,..., а п. Группа автоморфизмов Аи1Рп конечно определена. Она шрождается множеством нильсеновых автоморфизмов, заданных следующими этображениями:

ак^а"1; Г ~>а',(к*1);

1а] ->ак

ак-> акаг, (к*]); ак-> а,ак ,(к*1);

где, к,1=1,2,...,п. При задании автоморфизмов неподвижные образующие не выписываются. Определяющие соотношения группы автоморфизмов свободной группы Рп в выписанном множестве порождающих элементов выглядят громоздко (см. напр [4]). В настоящее время наиболее удобной для пользования системой порождающих элементов группы АЩ Рп считается система автоморфизмов Уайтхеда (см. напр. [26]). Автоморфизм из группы Аи1Рп называется сопрягающим, если он отображает каждую образующую ар в слово вида ^¡.....ап^рЛУрСа],..,^,,). Группа сопрягающих автоморфизмов

обозначается через С„. В 1985 году С. П. Хэмфри ввел в рассмотрение сопрягающие базис автоморфизмы, то есть те автоморфизмы из группы Сп которые отображают каждую образующую ар в слово вида

\\^р1(а1,...,ап)ар'\\гр(а1,...,ап) ,и доказал (см. [2]), что группа сопрягающих базис автоморфизмов 5ШП порождается автоморфизмами

а1—>(121, ^п; (1)

Систему определяющих соотношений группы ЗНП :

построил в 1986 году Дж. Макнул, (см. [1])

Симметрическая .группа подстановок ®п является подгруппой группы Сп. Она порождается автоморфизмами Га; а1 + 1

а;: { (¡ = 1.....п-1) (3'

1а1+1 а1

и определяющими соотношениями (см. например, [3])

а?=1

а,а1+1а,=а;+1а1а1+1 (1<1<п-2) .(4)

а,ак=ака; (1<1, к<п-1; М-к|>1)

Группы кос были введены Е. Артином в 1926 году (см. [5]). В этой работе косы определяются как геометрические объекты. Группа кос на п нитях обозначается через ©п. Подгруппа группы Сш состоящая из тех автоморфизмов, которые отображают на себя произведение а1а2...аП) является группой кос ©п

I

(см., например, [4]). Она порождается автоморфизмами

а, —» а

о,: -I 1 1 + 1_! (1 = 1,...,п-1) (5)

а1+1 а1+1а1а1+1

и определяющими соотношениями (см. [5])

°А+1® А+1 (¡=1.-.п-2)

(6)

с.ст^с^сг, О, ] = 1,...,п-1; I ± - Л I ^ 1) Ядро гомоморфизма группы кос 8П в симметрическую группу ®п, переводящего каждую образующую а, в транспозицию (¡, ¡+1), является группой крашеных кос 5НП. В 1933 году В. Вурау [16] нашел , что группа крашеных кос 91ц задается образующими

и определяющими соотношениями

Зуйм^мЗу (¡<]<к<1 или ¡<к<1<}) ^к^к^/у ^к О^к)

Широко известно задание Э. Артина [17] группы крашеных кос

Э^Ш Э^р =Б1к (р<1 или к<г)

3кр31к5^=8гр1зшз,р 0<к<р)

в^к в^1 = ^ %7г1 Б^ц.Б.к (Кг<к)

^¡квгр^Г^Г^^ц^Г1 в^Ч^р (Кг<к<р)

В работах [11, 18, 19] было уточнено задание группы крашеных кос Э. 1ртина .

В 1945 году А А. Марков [6] указал систему определяющих соотношений группы срашеных кос Яп для образующих р,у, где через р^ (1< )<]< п) обозначается

соса группы ®п и р„^1(1<1<п).

Он доказал, что она задается определяющими соотношениями Ру РкД Ру = Рк,1 0<к V к<1^<1), е=±1

Ру Рк,1 Ру = Р1,1 рД] Р),1 Ри Рк.1 Р11 Р]+1,1

Ру РкЛ Ру =Р]+1,1 Ру Рк,1 РМ ри р[+1,1 рМ О^О

Пусть Zn = (1|,...,1П) - свободная абелева группа ранга п со свободным эаз.1Сом ^ ,..., 1;п , ЗЪп - групповое кольцо группы Zn над кольцом целых чисел .1. Представление Гасснер [9] группы крашеных кос 5Нп в мультипликативную

группу п х II матриц с элементами из JZn ото гомоморфизм группы ЗЧп определяемый следующим отображением образующих (5) группы :

1

1

(1-ti+i) Ч I о

1

где выделены i-я строка и i+1-я строка.

Магнус и Пелузо [10] доказали, что представление Гасснер для точное Бирман (см. [11] теорема 3.14) показала, что ядро представления Гасснер группь принадлежит 'Ji^.

Пусть Z=(t) бесконечная циклическая группа и JZ - групповое кольц< группы Z над кольцом целых чисел J. Представление Бурау (см. например [11] стр. 118) группы кос в мультипликативной группе n х п матриц <

элементами из JZ это гомоморфизм, определяемый отображением

1

.-1

1

1 - t t

1 0

где выделены i-я строка и i+1-я строка.

Магнус и ГГелузо [10] доказали, что представление Бурау для точное, эирман (см. [11] теорема 3.14) показала, что ядро представления Бурау группы toc принадлежит п'Л^.

Вопросы о точности представления Гасснер группы крашеных кос и представления Бурау группы кос являются открытыми, поэтому естественным является поиск новых ограничений на ядра соответствующих представлений.

Диссертация посвящена изучению свойств некоторых известных подгрупп группы автоморфизмов свободной группы Fn с точки зрения задания их через образующие и определяющие соотношения. Некоторые результаты о классических группах получены при рассмотрении их как подгрупп группы автоморфизмов свободной группы.

Содержание диссертации. В первой главе диссертации изучается группа сопрягающих автоморфизмов Сп . Первые четыре утверждения главы посвящены заданию группы сопрягающих автоморфизмов через образующие и определяющие соотношения. Среди них отметим следующее:

Утверждение 3. Группа Сп порождается автоморфизмами (3), (5) и определяющими соотношениями (4), (6) и

a,Oj=OjCXi li-jl>l a1ai+1ai=ai+1aiai+1

В Утверждении 5 указаны выражения образующих труппы крашеных кос 9în через образующие группы автоморфизмов сопрягающих базис ®1п. Далее, доказано, что группы Сп и 5ШП имеют тривиальные центры.

Коммутант произвольной группы С обозначается, через С. В работе дат некоторые теоретико-множественные соотношения для подгрупп группы Сп. 1 частности доказано, что

Сл'п8я=ву, 9г„^Ю1п=91„', «^->«„=3?,/,

В Утверждении 13 диссертации доказало, что всякий элемент из ядр; представления Гасснер группы крашеных кос матрицами п-го порядка ( элементами из кольца многочленов Лорана от п переменных с целым] коэффициентами) при выдергивании любой нити переходит в некоторый элемен' ядра представления Гасснер группы Этот результат усиливает перво<

утверждение теоремы 3.14 Бирман ([11]), поскольку те элементы группь крашеных кос которые переходят в единицу при выдергивании любых п-:

нитей, образуют собственную подгруппу группы 9I .

В Утверждении 14 доказано, что ядро представления Бурау группы кос матрицами п-го порядка (с элементами из кольца многочленов Лорана от одно] переменной с целыми коэффициентами) принадлежит Этот результа

усиливает второе утверждение теоремы 3.14 Бирман ([11]), поскольку группа ^ является собственной подгруппой группы 'ВдГлЗ^.

Автоморфизм '

а, ->■ ХГ1 (а,, . . . ,ап) ац Х,(аь . . . ,ап) (¡=1,----п)

1 2... п

группы Сп называется четным, если либо ( ) - четная подстановка

Ч 12-'- 1„

длина Х,Х2 . . . Хп есть четное число , либо оба они нечетные. В длссертаци доказано, что множество четных автоморфизмов является группой, указаны е образующие. Доказано, что группа четных автоморфизмов является нормальны]

замыканием группы кос в группе Сп и что группа С„ содержит бесконечное шсло подгрупп, изморфных группе кос

В Утверждении 16 рассматривается неподвижная точка группы кос 1Ип.

Основные результаты первой главы изложены в работах [3], [6].

Вторая глава диссертации посвящена изучению строения группы сопрягающих базис автоморфизмов и ее подгрупп. Подгруппа группы порожденная элементами г^д,..., обозначается через

(Ч=2,...,п).

Утверждение 18. Всякий элемент Л(. . . ,ЕЦ, . . .) группы ®!п однозначно представим в виде А=ЕПЕП_1 . . . Е2, где Ече(?ч (ц=2,...,п).

Это утверждение о строении группы представляет собой аналог

известной теоремы Э. Артина о строении группы крашеных кос 3}п (см. [17]). В связи с этим утверждением возникает естественный вопрос о строении группы В Утверждении 19 описано задание группы чистых сопрягающих автоморфизмов (?„ При ПОМОЩИ ОбрЯЗуЮЩИХ [|,..., ¿"|] .. [ [)) <^[1 1) • ■ • 1 ц п-1 Г! некоторой системы определяющих соотношений. В качестве примера использования этого задания группы доказано , что группа чистых

сопрягающих автоморфизмов (?з является ¡-ШК-расширением свободной группы ранга 3 при помощи одной проходной буквы.

Центр группы кос ©„ был найден Чжоу (см. [15]). При п>2 он совпадает с бесконечной циклической группой, порожденной элементом Р12Р1,3---Р1,п- ® Утверждении 22 доказано, что> центр группы крашеных кос при п>2

совпадает с центром группы кос Подгруппа группы порожденная

элементом пе2 п---Еп-1 п > является бесконечной циклической группой. Он; обозначается через £>п.

Следующие два утверждения указывают централизаторы некоторые подгрупп:

Утверждение 23. В группе сопрягающих базис автоморфизмов прз п>2 централизатором подгруппы является подгруппа фп.

Утверждение 24. В группе сопрягающих базис автоморфизмов при п>! централизатор группы крашеных кос совпадает с центром группы 91и.

Основные результаты второй главы изложены в работах [7], [8]. . Третья глава диссертации целиком посвящена изучению строения и заданш группы крашеных кос Яп и коммутанта группы кос 23п. В работе существеню упрощается система соотношений А. А. Маркова [6]:

Утверждение 25. Группа крашеных кос 91п задается образующими ру (1< 1 < ] < п) и определяющими соотношениями Р4/Р//=РуР/Ы 0<к или 1 < Л

Рк1 Ру Р [+1,1 Р^=Р^Р [+1,1 Р/у Рк! № к < ]" <1) Кроме того в Утверждении 26 приводится простое задание группы крашеных кос 31 п при помощи новой системы образующих Ту (1< 2<]< п), где

Т„-1(1<1<п).

В работах [21] и [22] Е. А. Горин и В. Я. Лин нашли задание коммутанта группы кос через образующие и определяющие соотношения. В Утверждении 28,

в результате некоторых уточнений образующих и определяющих соотношений задания коммутанта из [22] получено более простое задание коммутанта группы кос. Кроме того, Утверждении 29 при п>4 указано задание коммутанта группы кос в., с системой образующих, соответствующей системе образующих знакопеременной группы.

Все основные результаты третьей главы изложены в работах [X], ]2], [5].

Диссертация состоит из введения и трех глав. Общий объем работы .составляет 102 страницы. Список литературы содержит 26 наименований. Но теме диссертации опубликовано 8 работ.

Основные результаты полученные в диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре по алгоритмическим вопроса.1.; алгебры и логики МГУ, на 10-й всесоюзной и 11-й международной конференциях по математической логике в городах Алма-Ате и Казани.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю С. И. Адяну за постоянное внимание и помощь в работе.

Литература.

[1] McCool J. On basis-conjugating automorphisms of free groups. Can.J.Math., Vol.XXXVIII, No.6, 1986, 1525-1529.

[2] Humphries S.P. On weakly distinguished bases and free generating sets of free group, Quart. J.Math. Oxford (2)36(1985), 215-21S.

[3] Coxeter H.S., Moser W.O. Generators and relations ior discrete groups, SpringerVerlag, 1972.

[4] Магнус В., Kappac А., Солитер Д. Комбинаторная теория групп. Москва, Наука, 1974.

[5] Artin Е. Theorie der Zopfe-Abh.Math., Sem. Univ. Hamburg, 4,' S.47-72, 1926.

[6] Марков A.A. Основы алгебраической теории жос. Тр. МИАН СССР 16(1945), с. 153.

[7] Курош А.Г. Теория групп. Наука. М. 1967.

[8] Коуровская тетрадь №9 1984, Новосибирск.

[9] Gassner B.J. On braid group, Abh. Math.SenLHam.25(l 961),10-22.

[10] Magnus W., Peluso A. On knot groups. Comm. Pure Appl.Math., 20, 749-770.

[11] Birman J. Braids, Links, Mapping Class Groups. Ann. Math. Studies 82, Princeton Univ. Press, 1975.

[12] Адян С.И., Маканин Г.С. Исследования по алгоритмическим вопросам алгебры. Тр. МИАН, 1984, т. 168.

[13] Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория трупп,- Москва. Мир. 1980

[14] Михайлова К.А. Проблема вхождения для прямых произведений групп, Матем. сб., 70, N 2 (1966).

[15] Chow W.L., On the algebraic braid group. Ann. rf Math., 1948. 49, N 3, pp. 654-658.

[16] Burau W. Uber Zopfinvarianten // Abh. Math.Semin. Univ. Hamburg, 1933. 9 117124

[17] Artin E. Theory of braids // Ann. Math., 1947.48. 101-126.

[18] Moran S. The mathematical theory of ¡knots and braids. An Introduction. Amsterdam 1983.

[19] Gaede L. A presentation of the abstract coloured braid group // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1986. 99. Appendix 1.

[20] Garside F. A. The braid group and other groups ,// Quart. J. Math. 1969. 20, №78. 235-254.

[21] Горин E. А., Лин В. Я. Алгебраическое уравнение с непрерывными коэффициентами и некоторые вопросы алгебраической теории кос // Матем. Сб. 1969. 78 (120), №4. 579-610.

[22] Лин В. Я' Косы Артина и связанные с ними группы и пространства. Алгебра, топология, геометрия. Т. 17. М., 1979.

[23] Акименков А. М. О нормализаторах крашеных нос. Мат.заметки,51, №5 (1992),3-

11.

[24] Стышнев .В. Б. Восстановление кос. Сибирский мат. журн. т.24, №3 (1983),176-

183.

[25] Каргаполов М. И.,Мерзляков Ю. 11. Основы тёории групп, Москва "Наука" 1982.

[26] Мельников О.В.,Ремесленников В.Н., Романьков В.А., Общая алгебра, Москва • "Наука" 1990.

Работы автора по теме диссертации.

I. Маканмна А. Г. New Systems of Defining Relations of the Braid Group. Lecture Notes in Computer Science (1991) №572, p. 250-256.

Маканина А. Г. Определяющие соотношения группы крашеных кос. Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1, математика, механика, (1992) №3, стр. 14-19. 3. Савушкипа А. Г. О группе симметрических автоморфизмов свободной группы. Препринт, МИРАН, сер. математическая логика и теоритическая информатика, (1992), №6, стр. 1-39.

1. Савушкина А. Г. О представлении группы кос матрицами. 11-я Международная

конференция по математической логике. Тез. докл. Казань (1992), стр. 123. э. Савушкина А. Г. О коммутанте группы кос. Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1, математика, механика, (1993) №6, стр. 11-14.

6. Савушкина А. Г. О группе сопрягающих автоморфизмов свободной группы. Мат. заметки (1996), том 60, вып.1, стр. 92-108.

7. Савушкина А. Г. Центр группы крашеных кос. Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1, математика, механика, (1996) №1, стр. 32-36.

8. Савушкина А. Г. Сопрягающие базис автоморфизмы свободной группы.. Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1, математика, механика, (1996) №4, стр. 17-21.