Решение смешанных задач для уравнений колебаний стержня и прямоугольной пластины при линейных граничных условиях общего вида тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

7 0 5 9 I1

АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи МАМЕДОЗА НАЗАКЕТ ГАЗАНФАР кызы

РЕШЕНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ КОЛЕБАНИЙ ГГЕРЖНЯ И ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ ПРИ ЛИНЕЙНЫХ ПРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОБЩЕГО ВИДА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФ Е-Р А Т

диссертации на соискание ученой степени кандидата*физико-математических наук

Баку—1991-

Работа выполнена на кафедра уравнений математической физики Бакинского государственного университета ш.М.Э.Расулзадо,

с

Научный руководитель: академик АН Азербайджанской

Республика РАСУЛОВ МД» ;

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических,наук, профессор АЖЕВ С.С; (Бакинский государственный университет)?

доктор физико-математических наук, профессор БАЙРАМОЕЗШ М. (Институт математики и механики АН Азербайджанской Республики).

Ведущая организация - АНИ им.В.И.Ленша.

/5<3 -¡¡-с

Защита состоится "-¿7" 1991 г в -//' час. на

заоедашш специализированного совета К 004.01.01 ИММ АН Азербайдаанской Республики по адресу: г.Баку, ГСП-602, ул.Ф.Лга-вва, 553 квартал» дом 9,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МЛ АН Азербайджанской Республики.

Автореферат разослан " ¿¿Я. " (л.'Рф ¿^М 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета ' НУРИЕВ Б.Р.

' I 3

ОНЦАЯ ХАРШЕРИИЖА РАБОТЫ

'•-■|и:'м|остоянив вопроса и актуальность темы. Прикладной характер зинейных смешанных задач для уравнений колебаний стержня и пря-лоугольной пластинки (которые не охватываются типовыми классификациями) является общеизвестным. Б литературе для этих уравнений ;мешанные задачи изучены только при распадающихся самосопряженных граничных условиях СТихонов А.¡1. .Самарский А. А. "Уравнение математической физики",Курант Р..Гильберт Д. "Методы математической физики", Бабаков И.М. "Теория хсшевГ). Из наиболее общих результатов ,относящихся х смешанным задачам в ограниченной области для зшрокого класса уравнений,корректных по Петровскому, но не принадлежащих к виду Ковалевской (к которому откосятся и рассматриваемые нами уравнения),отметим работы С.Л.Соболева СДАН СССР,1958,т. 122, № 4) и В.к-Романко ("Дифференциальные уравнения",1967,т.II). Однако в первой работе граничные условия имеют распадающийся, а во второй - хотя я не локальный, но периодический частный вид.

Попытка применения метода Фурье к решению смешанных задач для уравнений колебаний стержня и прямоугольной пластинки при граничных условиях общего вида встречается, вообще говоря, с трудностями, связанными не ортогональюстьо и не полнотой системы собственных функций.Как известно, ж решению гаких смешанных задач хорошо приспособлен вычеткый ыетод (М.Д.Расулов. Применение вычетно-го метода к решении задач дифференциальных уравнений-ЗЖ,1990)„ если соответствующие спектральные задачи регулярны в смысле цитированной книги. При выполнении этого условия доказывается, что если рассматриваемая задача имеет решение,то оно представимо вычет-ной формулой,причем из вычетного представления решения смешанной задачи следует единственность ее решения. Но внчетные представления могут быть использованы и для доказательства теорем существования решений рассматриваемых смешанных задач. А это б свою оче-

ред.з требует более точной оценки собственник зна-генкй и членов вычегкогс рода, Мзучеккгз г;ткх вопросоз, а таете построение «очных решений рассматриваемых задач в более частных случаях (в гоы 'числе в случае крайних собственных значений) посвящена настоящая работа.

Даль работы. Строить теорию вычегноро метода решения линейных смешанных аедеч дяя уравнений колебания стер$ня и прямоугольной пласта;*::; прк граничных условиях общего вида.

Общая «етодгцеа выполнения исследований.В изутанки соответс?-вувщих спаьгральнщ: задач икюльзуются матедк аенаятохической ■ оценки 53 теоряк аналитических функций.А а резззнии смешанных ва-дач использован вететный изтод решения одномерных смешанных задач к вычетный метод разделения переменных для решения многомерных сыеианкых вадач.

Научная новизна и теоретическая ценность,, Получены амашто-ткчееккв представления собственных значений» позволяйте получение необходимых оценок членов вычетных рздов решений соответсгву-щих смешанных задач. Доказаны теоремы о существований решения смешанных задач для уравнений колебаний стержня и прямоугольной пластинки. Найдены условия для общкх линейных граничных условий спектральных задач,при выполнении которых характеристические определители допускают факторизации.Получены необходимые условия кратности серии собственных значений - условия,позволяющие точно вычислить собственные значения спектральных задач. При этом получены аналитические представления решений кзучаемых задач в виде разложения в рады по собственным и присоединенным функциям.

Практическая ценность.Полученные результаты могут быть применены прк резюнии различных практических аадач, связанных с колебательна процессом,характерязуицшея колебанием уравнени?-стеркня и прямоугольной пластинки.

Апробация табо-гн. Основное результаты работы докладывались а XI; ХШ научных конференциях аспирантов ВУЗов Азербайджана (Ба-

1987,1990), на X республиканской конференции молодых ученых ) математике и механике (Баку ,1990), на научной конференции БГУ, »овщзнкой результатам научно-исследовательских работ,выполиен-д в 1989 году (Баку,1990) к на научных семинарах акад.АН Азерб. ;Р М.Л.Расулова (Бакинский Государственны,'! Университет).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 5 работ, список >торък приведен з конце автореферата.

Объем работы. Диссертационная работа изложена на 101 странй-: глазннопиского текста5 состой? кэ введения я двух глав. Библи-рафия содержит 24 наименования.

КРАШЕ СОДЕРЖАНИЕ РАЮГН

Во введении изложены изучаете вопросы и основные результа-диссертации,

3 первой главе изучается смешанная задача нахождения рене-я уравнения

К = 0,1)'непрерывно-дифференцируемые функции.

В § 1.1 рассматривается соответствующая спектральная задача

■л граничных и начальных условиях:

(4)

2а(У) =0, /1-1,4

(5)

б

V Характеристический определитель

Л,а> + Д, сл)вХ1... А1Ч а) + а)вД£ч

ЛН1 ся + Д, а) е;£1.. + а) е*8''

задачи (4) - (5) представляется в адце суммы определителей, за знаки которых ыгано вынести показательные функции

- <4>( Д> сд> е"£з+£ц)+ а, а) едЧ

где в X, 4. = ^ » £» -I. ; через Лпх(Л) ,

ЛЬг^СХ) обозначены следу£жу:е многочлена:

ч

/-1

Д^ч'Д) = А/"1

1 /

Найдена структура определитглай <л^(Х) и ее ( X , входящих Е разложение (6), что играет существенную роль в последующих расчетах.

Определение. Спектральная задача (4) - (5) называется регулярной, если один из определителей

с1к$(Л) (¿4О), с1!ч(Х, о1ХйСХ), о^О))

многочлен степени 2 , а все остальные определителя 4-го порядка, составленные г.з столбцов матрица

Лч а)... Лча) Д, гд)... &1Ч ел) а)... 1ЧЧ(А) ... ЬЦЦ(Х)

-гагочлэну степеней не выше .

Пал выполнении условия регулярности '.шест место формула рез-зжения для всякой непрерывно-диффереицирусмоЛ функции

л °

С\< - простой замкнутый контур, окружавдий только один поЛ у функций Грика Л) задачи (4) - (5). В § 1.2 найдены асимптотические представления для собственна значений задачи (4) - (5). Исследовано существование решения эдачи (I) - (3).

Введем обозначения

с1 -1 -Ш !

;е через с£ц£ я с^ обозначены коэффициенты при /< югочленах о/адО), с11Ц(Х> » с1гч СХ) 11

« , оЬ (А) . Доказана основная

горема I (1.2)." Если спектральная задача (4) - (5) регулярна и «ее? место неравенство

ЫусЛ'

,'Х.

) при наличии условий 1° существует единственное решение задачи >) - (3), представимое формулой:

I) - (3), представимое формулой:

0

:ловие 1° - это с л едущие условия, налагаемые на функции 4-(Х,-£) ^ ). функция Я~о (X) имеет непрерывные производные до 6-го поряд-

к. ка огреть Г ОР1 ] » г, езз цроазеодкие до 5-го порздка обрацг-»гся г нуль на концах отреака £0Д] .

Сгункцш к $СХ> кагя» нецрэргэкйе^ойеаодлж

до 4-го поредка иа [ОД] , £ всо цроазводкаэ до 3~го коргкке обращается 5 цуль иа 'концах о-хрезка ["0,1] =

^вгаря входящая в формулу (?), ость рвшгние ее-

дачи Ксеи; .' '

В § 1.3 на!&еиа условна8 при вывояненяк жояорих характерно-ткчааацй опрзделягельЛС А) доцускае? факторизацию. Прк отоа педу^гкг уезезкя кратвосяк сера; собстеегшн:: еяачеккй. Пссфоен: 'рсгзЕяэ е- сву^аз кретгзж собсяБвйаж вжюсимЗ и дозаягва гоарв-о суЕ,асязовйКй;5 тсаг:-;'-:».;.

• Во второй рдаао нзучаэгея сыеиакныэ вада<® дкя прямоугольной -пдвское«. В канте Яранга и Гкл&берга Метода иатеааягеегке физики" всг& гаксэ асягние: "Аналитическая; йрудноеяей в этой задаче, есгвсггешо больше„ чем у ыеыбраны. Здесь, напршер, из удается разрезать случай прямоугольной границы с помощи известных» явно вврзйсинмх функций, Б&ннотвеккъы видом гракмр» для которого удается захоа явное рассмотрение ,является окрухшостьв. В свези с 8тку8 смешанные задачи для прямоугольной пластинки представляет собой теоретический и практический интерзе.

Рассматривается смешанная задача нахождения решения- чравне-

Ъхц ^дх^ду*- дуч / V''1 х ё о, а ], у с Г о, £ ], ± £ Г о, Г ]

: '¿^ws'x'rj-:: усяоЕг«як (X) "ê- I (tn-i-í). , (¿-/-L--0

V •от.

) -ef (К^-Ù. , (¿-/-L-0 i

£ » 0,2; a Î.2 (9)

<f¿¿) «¿L { /¡/ !1(,р\кО±) +S*¿ uî/~(Kê,-é)} -О,

/1-1,4 ^ (10)

•¡ачал&кнх условиях

'$\i-,m<P*<x'lP' m»'

ï o j3/i¿ « я двйвгэагэлыагэ таеаа,

. аейр^равко-ди^фвракцкрушна |^НВЦЙИ ПО X s j¡/ » Свзщгажьнза эед гракячквз згалявзй (9) отаосн»эд&яо X обус-злен таи, чзго я уравнения Ш5 ээреагяйиа кв раэдвлзнй к яря иигеных усяозяяк сбщотэ вида

4 Í , í¿-f) • , i

¿L c¿ft¿ ¿4 -h jSftí. />:х (я,и±)) - о,

/г - О

юотай 2£8:?од- раздвявгшя авркшак яз l-jes? приспособлен ?®stssa гедзчя Í8i « WS) Скак aesessaop кычегннЯ кв«щ раэдв-ш ш^емздазк jsspaitmœ для зргвквдай с ¿йздаяекгами прострзн-sessaass о»5ва»жши)л ' .

§ 2»! яесведен зодробному йзучвшя» «яедуетрк епэкгральиък за!зр зерращж зугфсзвенцуэ роль з йока^руяроЕвяйн резення за- • и Í8) - Ш).

_ f. Y в X / Itx*' А л ^ s

с соответствующими характеристическими определителями:

л/'

/ Ц+ЬгкХо , 0-0нхЧь

Длк/А)=- о11х(г1„А)€ ■ +ап(/1,А)г '

ч- сЦ <д, А) € ' + с£3,у (д,д) € 7 +

+ ¿4 С/1, А) + с£> (у-:,А) . - (13

Найдены асимптотические оценки собственных значений спектральных вадач X и 2, предполагаемых регулярными.

В § 2,2 строится решение задачи (8) - (II) следующим образом. Решение задача (8) - (II) ищется в виде:'

. У ^ о

где (X, X) функция Гриш спектральной задачи I, сумма по V распространена ка все полюсы Л у подынтегральной функции. Относительно V () предполагается ее аналитичность е окрестности каждого из полисов ,Ау функции Л (¡тх В этих предположениях нахождение формального решения задачи (8 ) - (II) приводит к задаче

Ък\/I

wU.osl'P*(f>P- (I7)

решение (если оно существует) которой представляется в виде полного интегрального вычета: р

/ о (18)

где Q^ ( у, pt, А ) функция Грина спектральной задачи 2, суша по

Ц распространена на все полюсы подынтегральной функции, ^Г/Ч^^Ду^ решение задачи

"'Ai' «>

Доказана

Теорема 2 (2.4). Допусти?.!, что спектральные задачи I и 2 регулярны и функция Л) аиалитична' вокруг всякого полиса Л у функции Тогда, если задача (8) - (II) имеет решение И то оно единственное и представляется формулой:

г л

а О ' ■ (21)

В частности, если граничше условия по имеют такой яе ввд, как по X ,

&°<и) -± {& + & -о, •

И « 1,2; /Г - 0,2, . . (22)

то шгеет ызсто

Теорема '¿^ (2.41). При условиях регулярности спектральных еадач 2 и 3, если задата (8) ~ (9) - (22) - (II) кизг? ренеше, то оно едкнсзвенноэ и представляется формулой;

= ГШт) £ «А4^'

4 С» О.

(23)

£ °

где ^^./1) функция Грина спектральной аэдаад

у>(0) 41/1

(У) =0,

с хЕрактерясткчьсыш определителем

- - А/Н + ] е^^-^гД. {24)

решение задачи Коша: '( О,}, - (рк к = 0,£.

3 § 2.3 ецгхязлэтся чггка рада (21), докагнваэгся ясорсга о сздасявэвеняя религия гадала (8) - (115. Теорба 3 (2» 5), Дряуотеи, «гто спегдралыэаз садами X а 2 р®зу-ляркнг для пзргэй еяшстргшыгоЯ задач» кист ussto одно из' coos* нспенвй

а) Л^-Oj

ЧУ "О; \Аг.\ ? \Ац [ ■

(снД2)) для скорой спектральной задачи гмве? ыесто неравенство

Тогда, пpsa шл1ккя услокаЯ 2°, су^ест^ует единственное роаенио задает (15) - (17), предсгаэймоэ формулой (18). Если ото ргаеш'Э сваиготе» noiipyr зс.юто потега Л v &унзцаа Грина впектральабй

т

задача I, яо цря валйчаа условий 2' еучеетзузэ единстгенкоэ репа-« яг.з гадает (8) - (13) а црэдетозлязтея форцулой C2J).

что тсреэ dud обозначена модула воаффоцшь тов при Т (яА*~У~ 3 .жогсцяеулк н соот-

зэгсгвзяяо, 7 ямез* язоггзисй е/игл:

где ограитгзннгу? обоах аргументов, Услск^ 2° я

2*, gsspypapyxr/ss а формуя;фозкв хворая* 3» • это условия» кавата-cij^o на даккыз задота (£• - (IDs

2°в Зунздда кисет гдаярэривниэ прсЕмзодныо по ^ до

6-го г.оредза ка отрезх© [ О, ^ j , а нее производная до 5-?о порядка обращается в куль на концах отрезка [О, i>] »

Йунйции „ (.Х,^") кмеят непрзршкыэ

производные по X до 4-го порядка на отрезке [ О, £>] , а все производные до 3-го порядка обращаются в нуль на концах отрезка

io Jl QSfl M -дчср±

2 - Функции о у.6 * '3^/V » V имепт непрерывные произ-во):.-ъ:е по X до ( /< + 6) -го порядка на отрезке [о £1] ,а все производные до С К + 5)-го порядка оСращавтся в нуль на концах отрезка [О, а].

К ■ I. если j^Z^j —J , £ = 0 во всех остальных случаях.

В частности, для задачи (8) - (9) - (22) - (II) имеет место аналогичная

Теореаа 3j (2.5j). Допустим, что спектральные задлчи S и 3 рвгу-лярны.и для каждого кэ них имеет место соответственно одно из соотношений (см.(IE) к (24))

»1) Л^О-, и

«3> Д =

Тогда для достаточно гладких функций } СРа (Х,^)

и ^Р-; » удовлетворяющих определенным условиям на концах отрезков [ О, О.] , [ 0, 6 3 , существует единственное решение задачи (8) - (9) - (22) - (II) и представляется формулой (23).

Б § 2.4 с целью конкретного вычисления вычетов рассмотрены несколько примеров. Найдены условия факторизации характеристического определителя /''!-, ХУ задачи 2. Бри этом доказывается, что б случае кратных собственных значений имеет

следующий вид

Л,) а е(*>6е'

™ В,, ~ ^Л4-^, ^

В частности построено решение задачи (8)-(П) в том случае, огда спектральные задачи I и 2 соответственно характерис-

ические определители:

Л1 (Д) [А^^ла ^А^ла*^,

^ш^Мс/п^л г^е^6 0х*

* (е^'+О*:

Считаю приятным долгом выразить признательность и благодарюсь своему учители и ндучноцу руководители академику /¡Н Аэзрб. 1СР Ц.Л.Расулову за постоянное вндаание н заботу.

Работы автора по теиз диссертации

Нефедова Н.Г.Приизиенив вычатиого цвтода к-реаенип одной, смешанной задача для уравнения четвертого порядка а двумерной области. Тематический сборник научных трудов "Применоние метода контурного интеграла к решении смешанных задач для дифференциальных уравнений в частных пронзЕОДК1пси» Иэд-во БГУ, Баку, 1988.С.19-26.

¡.Манедова Н.Г. Реззнма одной' задачи колебаний прямоугольной пластинки. Материалы XI республиканской научной конференции аспирантов вузов Азербайджана.-Баку,1988. ).12амвдсва Н.Г. Ропенио смеяашпк задач для уравнения колебаний прямоугольной пластинки при некоторых граничных условию. Материалы X республиканской конференции ыолодых ученых по ната-сатике и механике. -Баку, 1990.

1.Мамедова Н.Г. Решение смешанных задач для уравнения колебаний

прямоугольной пластика при лиизйных гранлчньк условиях общего вадс. Материалы ХШ научной конференции аспирантов вузов Азербайджана. - Баку,199,0« б.Ыамздова К.Г. Решение смешанных задач для ууавизкия колебаний стерзня в случае кратных собственных значений.- ДА11 Аз.ССР.-Веиу, 1991, » I.