Исследование колебаний трехслойной пластины тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Богданов, Андрей Владимирович
АВТОР
|
||||
|
кандидата технических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2009
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
003483795
На правах рукописи
БОГДАНОВ АНДРЕИ ВЛАДИМИРОВИЧ
ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИИ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ
01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела.
1 9 НО
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук
с
Москва 2009
003483795
Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московском государственном строительном
университете
Научный руководитель:
доктор технических наук, профессор Егорычев Олег Олегович
Официальные оппоненты:
доктор технических наук, профессор Андреев Владимир Игоревич
кандидат физико-математических наук, доцент Жаворонок Сергей Игоревич
Ведущая организация:
Центральный научно-исследовательский институт строительных конструкций им. В.А. Кучеренко - филиал ФГУП НИЦ «Строительство»
Защита состоится 26 ноября 2009 г. в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ГОУ ВПО Московском государственном строительном университете по адресу: 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д.26, ауд. № 420 УЖ.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета.
Автореферат разослан "£3 " О^'Г* £2009 г.
Ученый секретарь диссертационного совета
Анохин Н.Н.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ. Актуальность темы.
Постоянное развитие современной техники выдвигает повышенные требования к исследованию в области механики деформируемого твердого тела и строительной механики, развитие более достоверных представлений о деформационных и механических свойствах материалов в различных режимах их эксплуатации, особенно при динамических нагрузках, когда существенную роль играет геометрия рассматриваемого изделия и его вязкоупругие свойства.
Пластины, как плоские элементы конструкций, нашли широкое применение в различных областях техники и строительства. Поэтому развитие и уточнение теории колебания пластин, точная формулировка краевых задач динамики, использование новых методов решения является одной из важных приоритетных частей прикладной теории упругости и вязкоупругости, способствующей наиболее точному получению расчетных значений и, следовательно, повышению надежности конструкции в целом.
Поэтому развитие и уточнение теории колебаний пластин, привлеченной к решению новых уравнений движения, а также использование новых формулировок краевых задач, является актуальной и перспективной проблемой.
Цель работы. Вывод общих уравнений собственных продольных и поперечных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины, получение приближенных, имеющих конечные значения производных, уравнений колебаний, сравнение полученных результатов с ранее полученными классическими результатами и решение практически важных задач. На защиту выносятся.
1. Вывод уравнений общих и приближенных поперечных и продольных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины.
2. Определение интервалов сходимости рядов, определяющих общие уравнения.
3. Получение конечных приближенных уравнений продольных и поперечных колебаний трехслойных пластин.
4. Решение конкретных прикладных задач. Научная новизна работы состоит в следующем:
1. Описывается общая постановка задачи о колебании изотропной прямоугольной трехслойной пластины.
2. Получено общее уравнение поперечных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины.
3. Получены приближенные уравнения поперечных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины.
4. Получено общее уравнение продольных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины.
5. Получены приближенные уравнения продольных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины.
6. Исследуются пределы применимости приближенных уравнений поперечных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины.
Решены следующие прикладные задачи:.
1. Получено уравнение собственных поперечных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины, шарнирно закрепленной по контуру.
2. Получено уравнение собственных поперечных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины, жёстко закрепленной по контуру.
3. Выведено частотное уравнение собственных поперечных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины, три края которой шарнирно оперты по контуру, а четвертый жестко закреплен. Рассматриваются два решения различными методами - методом декомпозиций и аналитическим.
4. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два края которой шарнирно оперты, а два других свободны от закрепления (вывод уравнения с помощью метода декомпозиций).
5.Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два противоположных края которой шарнирно закреплены, а два других жестко закреплены (аналитический метод решения).
6. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два края
которой жестко закреплены, а два других свободны от закрепления.
7. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины три края
которой свободны от закрепления, а четвертый упруго закреплен.
8.Нормальный удар по поверхности трехслойной упругой пластины, когда два противоположных края шарнирно оперты, а на двух других любые граничные условия.
9. Нормальный удар по поверхности трехслойной упругой пластины шар-
нирно опертой по контуру.
Практическое значение приведенных в диссертации исследований связано с возможностью применения приближенных уравнений продольных и поперечных колебаний изотропной трехслойной прямоугольной пластины к актуальным прикладным задачам.
Достоверность положений и выводов диссертационной работы детально обоснована. Основные представленные в ней результаты получены с применением обоснованных и многократно апробированных математических методов, сформулированных в точной трехмерной постановке теории упругости и вязко-упругости. Достоверность общих и основанных на них уточненных уравнений и решений частных задач подтверждается строгой математической постановкой, проверкой и сопоставлением с классическими теориями колебаний и другими теориями последних лет.
Апробация работы. Основные положения выполненных исследований по диссертационной работе освящены в трех статьях, а также докладывались на международной научно-практической конференции «Теория и практика расчета сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы»
Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, общим объемом 105 страниц, в том числе 9 рисунков.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.
Во введении обосновывается тема диссертации, раскрывается содержание работы, излагаются основные положения, которые выносятся на защиту.
Обзор работ посвящен современному состоянию вопросов о распространении волн в упругих и вязкоупругих средах, анализу публикаций отечественных и зарубежных авторов по распространению волн и теориям колебаний пластин.
Классическая теория изгибных колебаний пластин была наиболее полно развита Г. Кирхгофом. Существенным уточнением уравнения поперечных колебаний Кирхгофа является уравнение, полученное Уфляндом на основе модели Тимошенко, в которой (применительно к пластинкам) полагается, что элемент первоначально прямолинейный и нормальный к срединной плоскости пластины, остается и после деформации прямолинейным, однако угол его наклона к срединной плоскости пластины может быть отличен от прямого.
Одним из основных методов построения приближенных уравнений (аппроксимаций) теории пластин является метод степенных рядов, впервые примененный еще в работах Коши и Пуассона. С помощью этого метода трехмерная задача динамической теории упругости приводится к приближенной двухмерной.
В динамике пластин метод степенных рядов применял И.Г. Селезов Впоследствии Г.И. Петрашень дал математическое обоснование метода степенных рядов на примере динамической задачи о слое в случае плоской деформации.
Основной вклад в развитие математических методов решения динамических задач теории упругости и вязкоупругости внесли ученые: Ж.Д. Ахенбах, В.В. Болотин, Б.Ф. Власов, В.З. Власов, Э.И. Григолюк, A.A. Ильюшин, В.А. Ильичев, Б.Г. Коренев, Г. Кольский, Р. Кристенсен, В.Д. Кубенко, H.H. Леонтьев, А. Ляв, Н.П. Огибалов, О.Д. Ониашвили, Г.И. Петрашень, Г.И. Пше-ничнов, Х.А. Рахматулин, Д.В. Релей, А.Р. Ржаницын, И.Т.Селезов, В.И. Смирнов, И.Г. Филиппов и другие.
Теории колебаний, основанные на модели С.П. Тимошенко, основаны на ряде гипотез, хотя приближенные уравнения относятся к уравнениям гиперболического типа и учитывают деформацию сдвига и инерцию вращения.
. В настоящей работе используется новый приближенный метод, метод декомпозиций, предложенный для решения статических задач Пшеничновым Г.И. и переработанный Филипповым И.Г. и Егорычевым О.О. для динамических задач. Используется также новый аналитический метод, приводящий к трансцендентным частотным уравнениям, после анализа которых преобразуется к алгебраическим частотным уравнениям. Эти методы отличает относительная свобода от большинства предварительных гипотез и дает возможность свести трехмерную задачу к двумерной, а также позволяет однозначно сформулировать начальные и граничные условия.
Первая глава посвящена выводу уравнений продольных и поперечных колебаний изотропных прямоугольных трехслойных пластин постоянной толщины методом, основанным на применении интегральных преобразований по координате и времени и использовании общих решений в преобразованных трехмерных динамических задачах теории упругости с последующим привлечением известных, стандартных интегральных преобразований Лапласа и Фурье.
1. Общая постановка задачи о колебаниях трехслойной пластины специального вида
В декартовой системе координат (х,у,г) рассматривается однородная изотропная вязкоупругая трехслойная пластина специального вида, т.е. когда внешние два слоя имеют одинаковую толщину и состоят из одного и того же материала, а внутренний слой - из другого материала и его толщина отлична от толщины внешних слоев.
Для такой трехслойной пластины возможны чисто поперечные и продольные колебания, такие пластины находят широкое применение в технике и, особенно, в строительстве.
Параметры внутреннего слоя будем обозначать индексом "1", а внешних слоев - индексом "2". Внутренний слой имеет толщину (-А, а внешний
слой - толщину - Л, |.
При формулировке задачи о колебании трехслойной пластины частного вида будем ее рассматривать как трехслойный слой той же геометрии.
Зависимость напряжений о*1' от деформаций в точках краев принимаем в виде:
= = = (1-1.1) где операторы I, и М5 типа
4(0 = ^5
(1.1.2)
е5 - объемные деформации,- ядра вязкоупругих операторов, - упругие постоянные.
С введением потенциалов ф5 и у/5 продольных и поперечных волн и^ = ёга<1ф[3) + го^), (1.1.3)
где векторный потенциал |?<5) удовлетворяет условию соленоидальности <%/(5)=о (1.1.4)
уравнения движения материалов слоев принимают вид:
^=¿5+2^,, Д = —5-+—-операторЛапласа. (1-1.5)
.. /. —(5) \ дУ1 ' ' ох ду
При формулировке граничных условий будем предполагать, что плоскости раздела слоев находятся в жестком контакте, а нижняя и верхняя поверхности трехмерного слоя есть плоскости 2 - ±И2.
На внешних поверхностях трехмерного слоя задаются при I > 0 усилия «г®=/*(*.*'); у,о=х,у;2=±/,2) (1.1.6)
На поверхностях внутренних слоев
=о-0);сг(0 =сг(^);сг0) =сг(=); ИР)=ИМ;У(0=УМ;И/Ч=^) при 2 = ±\ (1.1.7)
Начальные условия будем считать нулевыми, т.е. ^>=^ = 0; ^>=^ = 0; , = 0 (1.1.8) Начальные условия (1.1.8) адекватны начальным условиям для перемещений при ^ = 0
= ) = №(Я=0; ^ = ^ = ^ = 0 (1Л.9)
81 д! д! у ' В граничных условиях (1.1.6), функции определяющие
внешние усилия, приложенные к плоскостям г = ±к1, будем искать в классе функций, представленных в виде
П = |Л>Р(^)ф.
О ) О J
/,- »Ьз^так (1.1.10)
О 0 (I)
о .1 о .1 (¿)
где (Ь) - разомкнутый контур в плоскости Р, при этом несобственные интегралы, входящие в эти представления для внешних усилий, существуют при условии, что параметры преобразований Фурье по координатам (х,у) и Лапласа по времени / удовлетворяют неравенствам 1*1 < к0 ■ |9| < 9о;\Утр | < и>0, где к0, д0, - конечные величины.
Условия, налагаемые на к,д,р, ограничивают длины волн и волновые числа функций внешних усилий, т.е. высокочастотные составляющие внешних усилий отсутствуют или их амплитуды пренебрежимо малы.
Функции удовлетворяющие уравнению (1.1.5)
будем представлять в виде:
<¿>
(1.1.11)
w
ojo J (¿)
Подставим (1.1.11) в уравнение (1.1.5), для и iy¡f. Это возможно лишь
в том случае, если
и i//'0s| сколь угодно малы вне области |£|<А0; jg¡ < q0;
(1.1.12)
\Уп,Р | ^ wo > тогда получаем
=о
dz Здесь
a^WWM"1; (1-1.13)
при этом A'j"' и Л/j0' - преобразованные по Лапласу операторы Ns и Л/5. Общие решения уравнения (1.12) имеют вид:
v\? = B\?sh[ps{z-zs)]±B\?ch[ps(z-zs)]-, Vio' = + ('-«5)];
Vi? = (z-zs)] + B^sh[Ps (г-2,)],
где zs могут принимать как промежуточные значения внутри себя, так и совпадать с какой-либо поверхностью раздела слоев, постоянным интегрированием В в силу (1.1.14) удовлетворяют уравнению:
kB¡J+qB2j+/3B3j=0,j = \,2 (1.1.15)
В общем решении (1.1.14) гиперболические функции представим в виде степенных рядов и используя известные соотношения между u,v,w и ф,у/, получим выражения (1.1.16):
(1.1.14)
=
[tej-A<s> - (АЙ<?+**<?>)#■]^gf^kaT^ -И? ^^j^lfet :
(2")
(2и + 1)! 1 (z-zs)
« f /
J (2л + 1)!
Вместо постоянных интегрирования A¡s\в\р введем новые:
и^ = ыю -(АД<?>+яв\? К' = - А М?);
= = (1.1.17)
1ГГ> = аМ*> + А(дВ!р-И1}?);1Гп +
Переходя от к с учетом условий (1.1.14),
для и^',^4,»^5', а затем сделав обратные преобразования по кд,р: Для истинных смещений точек слоев, получим выражения:
Ell I ъ '
(z~zst
(2«)!
=
(2»)! '
A1-dsQs„
(Я ' =
=z
CsQs,,
/ \2'
(2л + 1)!
(1.1.18)
Cs = 1 -NSM-S'-,DS = 1-MSN-S';QS, = ХЛ'Г"'-^
(2п + 1)!
где операторы Л,']1 и равны
4
С).
PsNs
dt2 дх2
JL
~ду2
PsM's
(2 и)!
ег
dt2 дх2 ду
и получены после обращения величин a2s,fil по к,д,р (из равенства 1.1.13).
Операторы Afjf и описывают распространение продольных и поперечных волн в плоскостях Z = 2S- const.
Выражения (1.1.18) для смещений получены при решении уравнений (1.1.5) с учетом нулевых начальных условий (1.1.9), они являются общими решениями задачи Коши, причем выражены через шесть произвольных функций ¿/ет^м^м^ет^м^м для каждого из слоев.
Зная выражения для смещений a(5),v(s),w(s) из выражений (1.1.1), получим определение для напряжений «т^.ст^'.ст^.ет^'.ст^',^'.
Подставим значения напряжений в граничные условия, получим систему интегродифференциальных уравнений для нахождения всех неизвестных функций в общем решении.
Полученная система и будет описывать в общем случае, колебания слоистой среды или слоистой пластины.
2. Общее уравнение поперечных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины специального вида
В данной задаче искомые функции, введенные в п.1 для внутреннего слоя определяют поведение точек ее срединной плоскости, а для внешних слоев по плоскостям контакта с внутренним слоем.
Искомые функции для внешних слоев можно выразить через искомые функции для внутренних слоев из граничных условий по поверхностям контакта слоев в виде (1.2.1):
дх ду ~ { дх ду
Известно, что поперечные колебания относятся к антисимметричным колебаниям и возникают в том случае, если функции внешних усилий удовлетворяют условиям
/;=-/;=/.;/;=/;=/,. (;=*.>) а-2.2)
Тогда в выражениях общего решения (1.1.14) неизвестные постоянные В этом случае функции смещений и напряжений можно представить в
виде:
I \2'
=
=1
(2/7 + 1)!
/ \2л+1
(1.2.3)
(2л + 1)!
гад,
81
М
эк
ду
т« =
аир» —■—+
дх
(2и + 1)! '
дУ^ -!— +
ду
(1.2.4)
(а* 1 Л (2п+1)!
дх + ду )
(2»)!
ги^
ал:
™ дхду \ (2и + 1)! '
С/Р»-
£о| ёхду
м
кет.
5у / (2и)!
Используя соотношения (1.2.4) и граничные условия (1.1.6) и (1.1.7) получим систему уравнений:
„ ее/,"1
Л,
где К, - функции от (1.2.5)
\ ду дх ) 2 {ду 8х
Полученная система является общими уравнениями поперечных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины.
3. Приближенные уравнения поперечных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины
Взяв за основу неизвестную величину, поперечное смещение точек срединной плоскости г - 0, из уравнений (1.2.5) для И'/1' получим уравнение
-КгКг)= (/г)++(1.3.1)
Уравнение (1.3.1) содержит производные любого порядка, ясно, что такое уравнение практически невозможно применять при решении конкретных задач.
Если в суммах левой части уравнения (1.3.1) оставить первые два слагаемых, то получим приближенное уравнение 4-го порядка (1.3.2):
1 Г.,
„а4^« а2»?0 а'»*1
81' 812 о/2 РА+Рг(К~К)
где
л/,
м,
РДГ
+ р2М2
+[рЛ- (1+с2)-р2м2-]йл (л, -^)+[Ал/;> -р2(ш,-'л2(л2 -^у +[РгЩ' - А (4Л/Г1 А + Л?)] V (А - М};
Д =
м,
РЛ + Рг^-А,). -20Д(Л, -\)(3А, -Ь,)■-(1 + 20,)^ (Л2-А,)].
4. Исследование пределов применимости приближенных уравнений
Общее уравнение колебания пластин содержит производные любого порядка по координатам х и у и времени г. Поэтому, естественно, их невозможно использовать при решении конкретных прикладных задач. Отсюда возникает необходимость ограничить количество членов рядов, т.е. ограничится нулевым, первым, вторым приближением, тем самым получим дифференциальные уравнения конечного значения производных. Для правомерности таких усечений следует проверить сходимость функциональных рядов, входящих в эти уравнения.
Функции К, можно представить в виде рядов, тогда двойной ряд, стоящий слева в уравнении (1.3.1) и определим его интервал сходимости. Заметим, что операторы связаны неравенством Лг>А1, т.к. скорость продольной волны больше скорости поперечной волны, т.е. а > Ь. Для усиления суммы рассматриваемого ряда заменим \ на в результате имеем (1.4.1): ~Л)2 ++4л2<0л°а
Используя принцип Даламбера, определим интервал сходимости этого ряда, получим:
¡¡т
Х\ т
Ит
Лр'й4
*■,.» (»•»)-»• (2л + 3) (2ш 4 2)
1 +
Хщ
Х\,п,м
Так как
■У] .1,1
Х\ЛЛ
я<гУ
(2л + 3)(2т + 2) -Н,<
(0 ,2
есть величина сколь угодно малая, то следует, что: <1
<Н2 где Н2 =7г(2п+3)
(4.2)
(4.3) (4.5)
-я,<
ш
*****
<Я3 где Н,=г]2(2п+2) (4.6)
Наименьший интервал определяет неравенство (4.6), если п > т и определяет неравенство (4.5), если и <т, учитывая, что порядок усеченного уравнения определяется суммой показателей (п + т).
5. Продольные колебания трехслойной пластины постоянной толщины
Продольные колебания возникают в том случае, если функции внешних усилий удовлетворяют условиям:
Л*=Л"=/=; =-/,>/,.-; и = х,у) (1.5.1)
при этом функции для внутреннего слоя обращаются в нуль, в
силу симметрии процесса относительно 2-й (и,(5) = К,(5) = = 0).
Для трех оставшихся искомых функций и}'1, г/1', внутренних сил имеем три граничных условия на верхней и нижней поверхностях при 2 = /г, или
Вместо и, ведем потенциалы ср,у по формулам:
цМ = ум = <Эр__£у/_ (1.5.2)
& 5у & ду
Тогда для потенциалов <р, у/ и функции получим систему интер-грально-дифференциальных уравнений:
П1(А<р) + П2(1ГМ) = М-г,/1(х,у,2)
П3(Д«,)+П (1.5.3)
При продольных колебаниях чаще всего за основные искомые функции берутся потенциалы <р, у .Коэффициенты П, есть бесконечные ряды. Для вывода приближенных уравнений колебаний ограничимся конечным числом слагаемых. Например, оставим только первые слагаемые и, полагая для простоты, что уравнения однородные, для <р, у получим:
[Рг(1Ь - 4)+мК' [|г]- [(^ -Ю+М, М;\] =о
где П0 = (А, - ) + Л А, ] Л^Г1 [л^Г1 (1 - ) - А,) + Л/2- (1 - Л/,^"1) Л, ;
Аналогично можно получить приближенные уравнения продольного колебания любого конечного порядка по производным, ограничиваясь в рядах операторов П, большим числом слагаемых.
Вторая глава посвящена решению задач о собственных колебаниях изотропной прямоугольной трехслойной пластины постоянной толщины имеющей различные граничные условия.
Используем уравнение (1.3.2) в виде (2.0.0):
д2Ж Ад*ж , д2Ш . ,2ш -
-+А1—г-А2А—г+А3А2Ж = 0> где
а2 " й4 " дг
Л, =
' ¿>2(1 + рЛ/2)[£2 9Ь(1-У,) 2(1-^) 16(1-^)
%(\ + рИ12){Ь2
1] „1-Д
1 + 0-4-4 1 + — +2-
64 Р)
4(2 +А)
2 + р2Ь
■Ци2-
К А
2(1-
*
4 Г
о—2— + 1 20,
А-
8(1 + рА/2)
4рД,Л 1 + Д 40Д
3 I ^ Л 3&2й3
д =-
1
С = 1.2).
К-К Рг " V ' 2 (1 — V,)'
Ь° - скорость поперечной волны, у' - коэффициент Пуассона, - плотность.
Используя уравнение для различных граничных условий получены следующие результаты
1. Получено уравнение собственных поперечных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины, шарнирно закрепленной по контуру.
Граничные условия для такой пластинки имеют следующий вид:
IV =РГ =
%=0
Э2Г _д2ГГ
дх2 *=о дх2
д2Ш д21Г
= 0
у=0
Решение уравнения (2.1.1) будем искать в виде:
Ж(х,у,1) = ехр(/£у/) £ №„,т вт
лпх
. {лту вт ——
I к ,
(2.1.1)
(2.1.2)
где £ - безразмерная частота собственных колебаний пластинки, у = —
А
Подставляя (2.1.2) в (2.1.1) получим частотное уравнение вида:
У
- г2 (А^сГ2 + \)е + = О где £ = + 2
* »1
(2.1.3)
2. Получено уравнение собственных поперечных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины, жёстко закрепленной по контуру.
Граничные условия для такой пластинки имеют следующий вид:
15
д IV д IV
дх 1=0 дх
д IV
У',гду >=0 ду
=о
Решение уравнения (2.0.0) будем искать в виде: Ж(х,у^) = ¥(х,у)ехр(г4г()
где £ - безразмерная частота собственных колебаний пластинки,/ = Тогда уравнение (2.0.0) для IV примет вид:+ В,А + В2~^1¥ = 0 ,
л3 л3
Введем новые безразмерные координаты и функцию прогиба
хЛа-, у = 1+р ¥ = -^У(а,р) л л л
В новых координатах уравнение (2.2.3) запишется в виде:
(2.2.1)
(2.2.2)
(2.2.3)
(2.2.4)
да
'+ Щ
да'др1
"71
в* В1Ц в1 * в2 ) 0 /;
—г + Д-Ч —т + П,—г \ +
др' VI а«2 ''др2) 2 л4
У(а,р)-0 (2.2.5)
где ^ = у-'2
Для вывода частотного уравнения воспользуемся уравнением (2.0.0) и граничными условиями (2.2.1), записанных в координатах (2.2.4).
Для решения задачи воспользуемся методом декомпозиций, тогда вспомогательные задачи запишутся в виде:
д4У ЯК
1-^4 = /(«./?); = 0 при а = 0, л
да да
др
(2.2.6) (2.2.7)
3.
2/7,
да2др{+ 'л\даг+71х др-) -л
,2 + *.
К
У3 + /,(а,р) + /2(а,р) = 0 (2.2.8) Следуя методу декомпозиций, будем приближенно полагать
У, = У2; Уу
кк + Ъ)
в заданных точках пластинки.
(2.2.9)
Здесь /(а,/?)- произвольные функции, которые в общем случае пред-
во оо
ставим в виде: /1(а,р) = ^^аУт5т(па)$т(тр) (2.2.10)
т=\
где произвольные постоянные, ¡'=1,2.
Общее решение вспомогательных задач будем искать в виде (2.2.11):
п.»,=1 » 6 2 " а(,) я3 я2
„,т=1 ^ 6 2
где <р, ту, - произвольные функции.
Для определения произвольных функций <рг и у/, воспользуемся граничными условиями (2.2.6) и (2.2.7), тогда частотное уравнение примет вид (2.2.12):
£2+24
л-ч 4
где цг = у1х! л
ЗЛ.Вывсдено частотное уравнение собственных поперечных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины, три края которой шар-ннрно оперты, а четвертый край жестко закреплен. Рассматриваются два решения различными методами - методом декомпозиций и аналитическим.
Граничные условия для такой пластинки имеют следующий вид:
аУ
: дх2
_д21Г ду1
= 0
1¥\
I1'' дх
= о
4=0=4-,
дЖ
V
У о
= 0
уЫг
(2.3.1)
Используя метод декомпозиций, получаем частотное уравнение вида:
+
л
/,2
„ 3 з ^ „ 3
п:\ 2--л--+2--л
" 16 2 л) 16
где т]2 = у— л
= 0
3
к~ \ 16
3.2. Решение аналитическим методом.
Решение уравнения (2.0.0) будем искать в виде:
V "] Л=1 Ч '2 )
Подставляя (2.3.2.1) в уравнение (2.0.0), для IVк (х) получим уравнение:
(2.3.2)
(2.3.2.1)
¿^ ¿2Ш
где
А
с1х
дх2
(2.3.2.2)
, где 4 =7-; ¿2
кя
Общее решение уравнения (2.3.2.2) запишем в виде:
= , cos(a,s)"j | сJcos(g„s) cos(g,s)
+c,
sin(a0x) sin(a,x)
+ C
2 ao a\
sin(a0x) sin(a,x)
(2.3.2.3)
где CJ - постоянные интегрирования, a ia} - корни характеристического уравнения: or4 + Bta2 + В, = О
и равны
«..-Jf±if I -ft
(2.3.2.4)
(2.3.2.5)
Целые числа (п,т) выбираются при удовлетворении граничных условий на левом краю пластины при * = о, а другие граничные условия, на правом краю, при х = , приводят к трансцендентному уравнению для определения собственных частот колебаний пластины вида:
а0 cos(«c/,) sin (a,/,) - a, sin (а0/,) cosía/,) = 0 (2.3.2.6)
Для анализа частотного уравнения (2.3.2.6) преобразуем его. Представим синусы и косинусы в виде рядов: sin г =
(2,41)!
,-» (27)!
Тогда уравнение (2.3.2.6) эквивалентно следующему:
аЛ55И)' (2/+ 1)!(2у)!
21 Ъ 2i 2/
а, а„ -а,а/ Z(№J);
О
где ^ = -
(2.3.2.7)
Если принять, что а0а, = о, то величина а0, определенная из выражения (2.3.2.5) со знаком плюс под корнем, в ноль никогда не обращается.
Следовательно, в ноль обращается а,, т.е. а, = о, откуда получим частотное
уравнение:
■о
(2.3.2.8)
4. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два противоположных края которой шарнирно закреплены, а два других свободны от закрепления (вывод уравнения с помощью метода декомпозиций).
Граничные условия для такой пластинки имеют следующий вид (2.4.1):
oW &3
W
= 0; d2W
д W 3-2v
дх2 = 0
7-4v{ " ду2
2 tf^+niew
= 0
=0./,
где r¡¡ =-L , 773 =
Используя метод декомпозиций, получаем частотное уравнение вида:
С1£% + + + <1£2 +¿/5=0 (2.4.2)
с/, - коэффициенты, определяемые геометрическими размерами и механическими характеристиками пластины.
Результаты расчетов уравнения (2.4.2) дают численные значения частот собственных колебаний трехслойной пластины в зависимости от указанных безразмерных параметров.
5. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два противоположных края которой шарнирно закреплены, а два других жестко закреплены (аналитический метод решения).
Граничные условия для такой пластинки имеют следующий вид:
IV =ivl =-
К-0 =Чч =
д W _dW
Sx л=0 Sx
d2W d2W
V
= 0
= 0
(2.5.1)
Используя решение из п. 3.2, получим трансцендентное уравнение вида:
2-
«0 +«; а„а,
sin
(a0/1)sin(«,/l ) - 2 cos (а0/, ) cos(a,/1 ) = 0
Разложив sin и cos, получаем частотное уравнение вида:
В2 ,„ . В2
Д
В.
2 „6 В2 4
е4 - В.е + Д —г-е10 + Д —¡'-ег = 0
(2.5.2)
(2.5.3)
'36 2 5!5! 4!4!
Используя значения fi;, Вг из (2.3.2.2) можно получить значения частот собственных колебаний, e = \S\
6. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два противоположных края которой жестко закреплены, а два других свободны от закрепления.
Граничные условия для такой пластинки имеют следующий вид (2.6.1):
83JV дх3
= 0;
82W 3-2v
W
1=0,í, _5W
dx2 7-4v = 0
2 rt^nlïw
= 0
y°0 h
где 7?,=-f , 73 =
Используя метод декомпозиций, получаем частотное уравнение вида:
Khz
(2.6.2)
Результаты расчетов уравнения (2.6.2) дают численные значения частот собственных колебаний трехслойной пластины в зависимости от указанных безразмерных параметров.
7. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины три края которой свободны от закрепления, а четвертый упруго закреплен (пластина находится в упругом контакте с вертикальной деформируемой пластиной).
Граничные условия для данного случая имеют следующий вид:
а3ж
Зи2
,а2ж
3-21/, Э*2
сх
/V, С1г _
0'2
= 0 ЗрА а3^
4/г, йхо?
2 при х = 1х
д_
дх
А1Г1 —
1 р2 5%
2 //2 дг
Иг
1 2 цх 312
-- 0 при л: = /,
Р, аХ „аХ ..
—-- = 2—5*- +-1—г*- при у =
дх 3-
= 0
(2.7.1)
д%
а/ ох 3-2V, а/ >=0Л
Используя метод декомпозиций, получаем частотное уравнение вида:
+ ++ ¿4£6++ + йп = о (2.7.2)
- коэффициенты, определяемые геометрическими размерами и механическими характеристиками пластины.
Третья глава посвящена решению задач о вынужденных колебаниях изотропной прямоугольной трехслойной пластины постоянной толщины. Рассмотрен нормальный удар по поверхности пластины.
1. Нормальный удар по поверхности трехслойной упругой пластины, когда два противоположных края шарнирно оперты, а на двух других любые граничные условия
По поверхности пластины происходит силовой нормальный удар в момент / = 0 интенсивности К (*,>',<)> причем удар симметричен относительно координатных осей {х,у), т.е. функция .у,/)является четной по х и у.
Приближенные уравнения в частных производных, описывающие вынужденные поперечные колебания трехслойной пластины относительно смещения срединной плоскости внутреннего слоя, для №(х,у,г) имеет вид:
ЭV . Э'(У , А д21У . я2ш „ , . —г + Д —-—ДД—;-+ДД Ш = РЛх,у,П
д!2 1 е? ^ а/2 3 л >г>)
Коэффициенты Д, Д, Д такие же как в предыдущей главе. Пусть края пластины шарнирно оперты
и =и ж
у=0
д2(У
= 0
(3.1.1)
(3.1.2)
а на двух других краях при (дг = 0,* = £,) - любые граничные условия. Общее решение уравнения имеет вид:
Д^(х) =
\c\FJr,
+ С
/з(») +
[с^+с;
(3.1.3)
где С° - произвольные постоянные, а так же числа п,т, определяются из оставшихся граничных и начальных условий для каждой конкретной задачи. Следует отметить, что нулевые граничные условия приводят к равенству нулю произвольных постоянных,т.е. С)-0.
2. Нормальный удар по поверхности трехслойной упругой пластины шар-нирно опертой по контуру
Уравнение колебаний аналогично уравнению (3.1.1) Граничные условия для такой пластинки имеют следующий вид:
W\ =W\
d2w _d2W
дх2 «о &
d2W d2W
V >-0~ ду2
= 0
= 0
(3.2.1)
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения Ц'о и частного решения неоднородного уравнения Щ.
Зная частоты собственных колебаний пластины общее решение однородного уравнения, можно представить в виде:
W0(x,y,t)= £sin
п,т-1
К
. [ тку sin ■ -
sinful') +
^ /2 )L »•» ^ > (3.2.2)
+К,- cos(rfr)+ <ч».sin (Г&) + d„,m cos (yfy)]
где апт,Ълт,спт,с1пт - произвольные постоянные интегрирования - час-
тоты собственных колебаний, у = — .
К
Общее решение уравнения (3.1.1) при граничных условиях (3.2.1) будет иметь вид:
/ \ / > тку
W(x,y,t) = W0(x,y,t)+ £ sin
п,т=1
ПКХ I .
- sin
h J
к h
(3.2.3)
i t tí jX,m sin[tf, {t - rj)]dTj - yg2 j>„m sin[fa(t -T])]drj}
A
L о о
Удовлетворяя нулевым начальным условиям решение (3.2.3), получим,
™a„,m=bnm = c„m=d„m= 0.
Следовательно, решение задачи о вынужденных колебаниях пластинки шарнирно опертой по контуру имеет вид: IV(х,у,1) - ИГ1 (х,у,1) = 0
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ
1)Представлен вывод общих уравнений продольных и поперечных колебаний трехслойных пластин специального вида на основе математического подхода без использования гипотез физического и геометрического характера.
2)Получены приближенные уравнения продольных и поперечных колебаний пластины конечного порядка.
3)Исследованы пределы применимости приближенных уравнений колебаний, определен радиус сходимости.
4)Приведен фактический материал решений большого количества конкретных задач, при решении которых использовались новые формулировки граничных условий.
5)Приведены сравнения полученных решений с использованием классических граничных условий и вновь полученных, а так же приведены сравнения решения задач при использовании классических уравнений колебаний и вновь полученных уравнений.
6)Для решения задач со сложными граничными условиями представлен новый приближенный метод, метод декомпозиций.
7)Для специального вида граничных условий используется также новый аналитический метод, приводящий к трансцендентным частотным уравнениям, которые после анализа преобразуются к алгебраическим частотным уравнениям.
8)Представлен анализ частотных уравнений и получены зависимости изменения частот трехслойных пластин в зависимости от материала и геометрии.
9)Выведенные формулы для определения значений частот собственных колебаний трехслойных пластин, удобны для практического использования и могут быть применены для расчета строительных и других инженерных конструкций.
10) Полученные в диссертационной работе результаты позволяют решать широкий класс прикладных задач колебаний в области строительной механики, а также могут быть применены в других областях сейсмологии, техники и т.д.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ СТАТЬЯХ:
1. Богданов A.B. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, три края которой свободны, а четвертый упруго соединен с вертикальной упругой пластиной. Научно-технический журнал "Промышленное и Гражданское Строительство", № 5, 2009 г. - С. 59-60.
2. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Хрупов A.A., Богданов A.B. Вывод частотного уравнения собственных колебаний упругой трехслойной пластинки, три края которой шарнирно оперты, а четвертый край жестко закреплен. Научно-технический журнал "Вестник МГСУ", № 3, издательство АСВ, 2008 г. - С. 33-37.
3. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Богданов A.B.. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины два края которой жестко закреплены а два других свободны от закрепления. Научно-технический журнал "Вестник МГСУ", № 2, издательство АСВ, 2009 г. - С. 36-39.
КОПИ-ЦЕНТР св. 7:07:10429 Тираж 100 экз. г. Москва, ул. Енисейская, д.36 тел.: 8-499-185-7954,8-906-787-7086
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1 Уравнения колебаний трехслойной пластины постоянной толщины
1.1. Общая постановка задачи о колебаниях трехслойной пластины специального вида
1.2. Общее уравнение поперечных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины специального вида
1.3. Приближенные уравнения поперечных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины
1.4. Исследование пределов применимости приближенных уравнений
1.5. Продольные колебания трехслойной пластины постоянной толщины
ГЛАВА 2 Исследование поперечных колебаний трехслойной прямоугольной пластины при различных граничных условиях
2.1. Аналитическое решение задачи о колебании пластины, шарнирно закрепленной по контуру
2.2. Собственные колебания пластины, жестко закрепленной по контуру
2.3. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, три края которой шарнирно оперты, а четвертый жестко закреплен (два решения различными методами)
2.4. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два противоположных края которой шарнирно оперты, а два других свободны от закрепления
2.5. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два противоположных края которой шарнирно закреплены, а два других жестко закреплены (аналитический метод решения)
2.6. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два противоположных края которой жестко закреплены, а два других свободны от закрепления
2.7. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины три края которой свободны от закрепления, а четвертый упруго закреплен (пластина находится в упругом контакте с вертикальной деформируемой пластиной)
2.8. Выводы и сравнения
ГЛАВА 3 Некоторые прикладные задачи вынужденных колебаний трехслойной упругой пластины
3.1. Нормальный удар по поверхности трехслойной упругой пластины, когда два противоположных края шарнирно оперты, а на двух других любые граничные условия
3.2. Нормальный удар по поверхности трехслойной упругой пластины шарнирно опертой по контуру
Развитие современной техники потребовало создания новых конструкций, обладающих низкой материалоемкостью и надежно работающих в упругой и вязкоупругой области в условиях сложных динамических нагрузок. К таким конструкциям следует отнести всевозможные пластины, имеющие различные закрепления по контуру, а также слоистые пластины, пространство между которыми заполнено упругой или вязкоупругой средой. Данные конструкции применяются в виде внутренних перекрытий и покрытий производственных и жилых зданий и спортивных сооружений, являются одеждой автомобильных дорог и аэродромов.
Поведение подобных конструкций при статических нагрузках достаточно хорошо изучено. Изучение поведения этих конструкций при динамических нагрузках еще далеки от завершения, а, как показали классические работы российских и зарубежных ученых, поведение, например, слоистых конструкций при динамических воздействиях может существенно отличаться от их поведения при статических нагрузках.
Постоянное развитие современной техники выдвигает повышенные требования к исследованию в области механики деформируемого твердого тела и строительной механики, развитие более достоверных представлений о деформационных и механических свойствах материалов в различных режимах их эксплуатации, особенно при динамических нагрузках, когда существенную роль играет геометрия рассматриваемого изделия и его вязкоупругие свойства.
Среди перечисленных факторов одно из ведущих мест занимают проблемы теоретического и экспериментального анализа волновых и колебательных процессов в деформируемых средах и, в частности, в плоских элементах строительных конструкций.
Пластины, как плоские элементы конструкций, нашли широкое применение в различных областях техники и строительства. Это объясняется тем, что плоским тонкостенным конструкциям присущи легкость и рациональность форм, высокая несущая способность, экономичность и хорошая технологичность, сочетание слоев позволяет создавать конструкции, сочетающие высокую прочность и жесткость с относительно малой массой. Поэтому развитие и уточнение теории колебания пластин, точная формулировка краевых задач динамики, использование новых методов решения является одной из важных приоритетных частей прикладной теории упругости и вязкоупругости, способствующей наиболее точному получению расчетных значений и, следовательно, повышению надежности конструкции в целом.
Вопросы теории и практики поведения элементов строительных конструкций при динамических воздействиях постоянно требовали развития математических методов и моделей, которые были бы применимы для вычислительной реализации и в достаточной мере точно отражали механическую сущность задачи.
Математическая сложность динамических задач в механике деформируемого тела, исследуемых методами математической физики, обусловлена рядом причин, такими как свойства материалов, так и геометрическими особенностями механических систем.
Проблемам вывода уравнений поперечных колебаний пластин и методам их решения посвящены работы большого числа авторов.
Леонард Эйлер одним из первых рассмотрел проблему изгиба тонкой упругой пластины применительно к ее колебаниям, представляя поверхность пластины системой упругих ортогональных нитей, обладающей поперечной инерцией. Е. Хладни своими исследованиями в области акустики дал толчок к развитию теории колебания пластин. Якоб Бернулли исследовал малый поперечный изгиб пластины, рассматривая ее уже не как систему нитей, а как систему балок.
Уравнения изгиба упругих тонких пластин, нагруженных поперечной нагрузкой, с учетом растягивающих усилий в срединной поверхности выводили Ж. Лагранж и С. Пуассон.В 1829 году. С. Пуассон дал теорию колебания осесимметричных круглых пластин на основе уравнений JI. Навье теории упругости.
Классическая теория изгибных колебаний пластин была наиболее полно развита Г. Кирхгофом [134].
Г. Кирхгофф первым вывел уравнение колебаний. Основа заключена в следующем (при выводе уравнения Г. Кирхгофф предположил): нормаль к срединной поверхности после деформации остается нормальной к изогнутой поверхности. Он рассматривал колебания, т.е. перемещения точек срединной поверхности пластинки. В результате было получено уравнение параболического типа 4-го порядка по линейным координатам и 2-го порядка по времени. Это уравнение удовлетворяет только медленно протекающим низкочастотным процессам.
Существенным уточнением уравнения поперечных колебаний Г. Кирхгофа является уравнение, полученное Я.С. Уфляндом [115] на основе модели С.П Тимошенко, в которой (применительно к пластинкам) полагается, что элемент первоначально прямолинейный и нормальный к срединной плоскости пластины, остается и после деформации прямолинейным, однако угол его наклона к срединной плоскости пластины может быть отличен от прямого.
Гипотезы С.П. Тимошенко [112] отличались от предложенных Кирхгоффом, в модели Тимошенко полагается, что элемент первоначально прямолинейный и нормальный к срединной плоскости пластины, остается и после деформации прямолинейным, однако угол его наклона к срединной плоскости пластины может быть отличен от прямого.
Б.Ф. Власов [16] построил теорию статического изгиба пластин с учетом искривления первоначально прямолинейного и нормального к срединной плоскости пластины элемента пластины после деформирования.
Одним из основных методов построения приближенных уравнений (аппроксимаций) теории пластин является метод степенных рядов, впервые примененный еще в работах Коши и Пуассона [144]. С помощью этого метода трехмерная задача динамической теории упругости приводится к приближенной двухмерной.
В динамике пластин метод степенных рядов применял И.Г. Селезов [106]. Впоследствии Г.И. Петрашень [96] дал математическое обоснование метода степенных рядов на примере динамической задачи о слое в случае плоской деформации.
Широкое применение получил асимптотический метод в расчете пластин на колебания, разработанный В.В. Болотиным [10].
Основной вклад в развитие математических методов решения динамических задач теории упругости и вязкоупругости внесли ученые: Ж.Д. Ахенбах, В.В. Болотин, Б.Ф. Власов, В.З. Власов, Э.И. Григолюк, А.А. Ильюшин, В.А. Ильичев, Б.Г. Коренев, Г. Кольский, Р.- Кристенсен, В.Д. Кубенко, Н.Н. Леонтьев, А. Ляв, Н.П. Огибалов, О.Д. Ониашвили, Г.И. Петрашень, Г.И. Пшеничнов, Х.А. Рахматулин, Д.В. Релей, А.Р. Ржаницын, И.Т.Селезов, В.И. Смирнов, И.Г. Филиппов и другие.
Видное место в литературе занимают публикации, связанные с широким анализом таких физических факторов, как анизотропия, неоднородность и вязкость. Эти вопросы исследовались в работах: С.А. Амбарцумяна, В.И. Андреева, Е.Ф. Бурмистрова, Г.С. Варданяна, Г.Б. Колчина, С.В. Кузнецова, С.Г. Лехницкого, В.И. Митчел, С.Г. Михлина, П. Теодореску, Д.Я. Шерман и многих других.
Наряду с этим широко применяются численные методы решения, что отражено в работах: В.И. Андреева, И.А. Бригера, Я.М. Григоренко, В.А. Ломакина, Н.Д. Покровской, A.M. Проценко, В.И. Соломина, Р.А. Хечумова, Н.Н. Шапошникова и многих других.
Теоретические и экспериментальные исследования в области динамики элементов конструкций и сооружений, связаны с работами таких ученых, как Л.Я. Айнола, А.Я. Александров, А.А. Амосов, В.В. Болотин, Н.М. Бородачев, Л.М. Бриховский, Г.С. Варданян, В.З. Власов, М.А. Дашевский,
О.А. Егорычев, Г. Каудерер, Б.Г. Коренев, Г.Б. Муравский, Л.В. Никитин, Ю.Н. Новичков, В.В. Найвельт, У.К. Нигул, Н.А. Николаенко, И.Н. Преображенский, В.Д. Райзер, А.Е. Саргсян, Д.Н. Соболев, С.П. Тимошенко, Я.С. Уфлянд, Г.Л. Хесин, А.И. Цейтлин, Г.Э. Шаблинский, Т.Ш. Ширенкулов и многие другие.
Вопросы распространения волн в упругих и вязкоупругих средах изучались в работах многих ученых: Д. Бленд, А.Н. Гузь, В.Д. Кубенко, Р.Д. Миндлин, Г.И. Петрашень, С.Б. Смирнов, А .Я. Сагомонян, Л.И. Слепян, Х.Р. Рахматулин, И.Г. Филиппов, Г.Л. Хесин, Я.С. Уфлянд и многие другие.
В большинстве работ указанных авторов приближенные уравнения получены, исходя из предпосылок и гипотез механического и геометрического характера.
Ряд работ посвящен критическому анализу применяемых гипотез. Так, например, в работе В.В. Новожилова и P.M. Финкелыптейна [85] указано, что гипотезы Кирхгофа - Лява в теории оболочек приводят к значительным погрешностям и даны оценки этим погрешностям.
Теории колебаний, основанные на модели Тимошенко, также основаны на ряде гипотез, хотя приближенные уравнения относятся к уравнениям гиперболического типа и учитывают деформацию сдвига и инерцию вращения.
Основным вопросом в теории колебаний пластин, является математически обоснованная постановка краевой задачи: вывод общих и основанных на них приближенных уравнений колебаний, формулировка граничных условий на краях пластины и обоснование необходимого числа начальных условий без привлечения каких-либо гипотез механического и геометрического характера.
В начале 60-х годов XX века Г.И. Петрашень [96] предложил выводить уравнения колебаний чисто математически, без всяких гипотез, разлагая сами функции и граничные условия в ряды. В настоящей работе используется новый приближенный метод, метод декомпозиций, предложенный для решения статических задач Пшеничновым Г.И. [103] и переработанный И.Г. Филипповым [122] и О.О. Егорычевым [32] для динамических задач. Используется также новый аналитический метод, приводящий к трансцендентным частотным уравнениям, после анализа которых преобразуется к алгебраическим частотным уравнениям. Эти методы отличает относительная свобода от большинства предварительных гипотез и дает возможность свести трехмерную задачу к двумерной, а также позволяет однозначно сформулировать начальные и граничные условия.
Для того чтобы сказать насколько такое приближение пригодно для практического применения , нужно определить интервал сходимости этого ряда по методу Даламбера. Оказывается, что полученное уравнение занимает более 70% интервала существования ряда, что говорит о его применимости. Для уравнения Кирхгоффа, для уравнения Тимошенко, для уравнения Филиппова граничные условия каждый раз просматриваются по-новому, потому что для каждого уравнения они свои (граничные условия для различных моделей будут отличаться синтаксически). Условия для жесткой заделки и шарнирного закрепления останутся постоянными, в отличие ,например, от свободного края. В классической модели они совпадают с условиями для модели Филиппова.
Данная диссертационная работа посвящена выводу общих уравнений поперечных колебаниях трехслойной пластины, , получению приближенных уравнений колебаний и решению частных задач.
Научная новизна представленных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:
1. Выведены общие уравнения поперечных и продольных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины;
2. Сформулированы приближенные уравнения поперечных и продольных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины;
3. Решены задачи о собственных поперечных колебаниях трехслойной пластины постоянной толщины при различных граничных условиях;
- 104. Решена задача о вынужденных поперечных колебаниях трехслойной пластины постоянной толщины при различных граничных условиях;
Практическое значение приведенных в диссертации исследований связано с возможностью применения полученных общих и приближенных уравнений поперечных и продольных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины к актуальным прикладным задачам.
Достоверность положений и выводов диссертационной работы детально обоснована. Основные результаты получены с применением обоснованных и многократно апробированных математических методов, сформулированных в точной трехмерной постановке теории упругости и вязкоупругости. Достоверность общих и основанных на них уточненных уравнений и решений частных задач подтверждается строгой математической постановкой, проверкой и сопоставлением с классическими теориями колебаний и другими теориями последних лет.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
-88-Заключение
1. В работе сформулированы основные краевые задачи продольных и поперечных колебаний изотропной трехслойной прямоугольной пластины.
2. Получены общие и приближенные уравнения продольных и поперечных колебаний без привлечения каких-либо дополнительных гипотез и предположений механического и геометрического характера.
3. Определена область сходимости функциональных рядов и определена область применения приближенных уравнений колебаний трехслойной пластины, т.е. определен радиус сходимости ряда.
4. При решении частных практических задач показано, что
• полученные уравнения для определения значений собственных частот поперечных и продольных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины удобны для практического использования;
• возможно получение аналитического решения задачи о воздействии нормальной нагрузки (нормальный удар) на поверхность трехслойной пластины в виде конечных формул.
5. Полученные в диссертационной работе результаты позволяют решать широкий класс прикладных задач колебаний в области механики деформированного твердого тела и строительной механики, а также могут быть применены в других областях науки и техники.
6. Из анализа решений выполненных в диссертационной работе теоретических и прикладных задач выявлены новые зависимости и закономерности. В частности, можно сделать следующие выводы:
• используя при решении задачи о собственных колебаниях пластин приближённое уравнение четвертого порядка относительно производной по времени, получаем две частоты, напрямую зависящие от коэффициента Пуассона, с его ростом растет и численное значение частот;
• в отличие от уравнения колебаний Кирхгофа при любых граничных условиях, значения частот, полученных из уравнения Кирхгофа всегда болыпе первой частоты, определяемой полученными в диссертационной работе уравнениями;
• вторые частоты собственных колебаний на порядок больше первых частот;
• величина численного значения частот, в первую очередь, зависит от граничных условий, так численное значение частоты для пластины жёстко закреплённой по контуру всегда выше частот, определяемых другими граничными условиями;
• использование новых представлений граничных условий для свободного или упруго закреплённого края, значительно отличается количеством частот, если эти граничные условия записаны в классическом виде, так, например, при выводе частотного уравнения колебания пластины, два края которой жестко закреплены, а два других свободны, для классических граничных условий получаем частотное уравнение четвертого порядка, а для новых граничных условий восьмого порядка;
• при решении задач о собственных колебаниях трехслойной пластины значения частот растут при уменьшении толщины и наоборот.
1. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел.-М.: Изд-во АСВ, 2002.- 288 с.
2. Амбарцумян С.А. Теория анизатропных пластин. М.: Наука, 1967. - 258 с.
3. Бабаков И.М. Теория колебаний. Изд-во «Наука», 1965. 560 с.
4. Бабешко В.А., Пельц С.П. Колебание плит на упругом слое. Изд-во АН СССР «Механика твердого тела». №1. 1976.- С. 131-135.
5. Бабич Д.В., Борисенко В.И., Шпакова С.Г. Свободные колебания пластинки со сосредоточенными массами. АН УССР «Прикладная механика», т.5, в.5, 1969. С. 71-75.
6. Бейтман Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа и Меллина, т.1, СМБ, изд-во «Наука», -М., 1969. 344 с.
7. Блох М.В. Неустановившиеся колебания бесконечной пластинки на упругом полупространстве. «Динамика и прочность машин». Респ. межвед. научно-технический сб. В.6. 1967. С. 54-58.
8. Блох М.В. Неустановившиеся колебания бесконечной пластины на упругом инерционном полупространстве. Сб. «Исследования по теории сооружений», в.16, М.: Стройиздат, 1968. С.47-60.
9. Болотин В.В. Асимптотический метод в теории колебаний упругих пластин и оболочек. Тр. Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Казань, КФАН СССР, 1961.
10. Болотин В.В. Современные направления в области динамики пластин иоболочек. Киев, Наукова думка, 1962. - с. 16-32.
11. Болотин В.В. Динамический краевой эффект при колебаниях упругих пластин. «Инженерный сборник», т.31. 1961.
12. Болотин В.В. Случайные колебания упругих пластин. М.: Наука, 1979. МИСИ, 1980.- 104 с.
13. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. -М.: Машиностроение, 1980.- 376 с.
14. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М.: АСВ, 1995.-572 с.
15. Власов Б.Ф. Об уравнениях теории изгиба пластин.- Изд. АН СССР ОТН, 1957. №12.- С. 57-60.
16. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. Госиздат физ. Мат. Литературы, М., 1960. 492 с.
17. Волос Н.П. Об одном виде основных уравнений модифицированной теории изгиба пластин. Сопротивление материалов и теория сооружений 1982. №40.-С. 143-147.
18. Гаврилов А.К. Экспериментальное исследование колебаний трехслойных плит. Вопросы техн. диагностики. 1977. №17. С. 10-13.
19. Галин М.П. О поперечных колебаниях пластинки. «Прикладная математика и механика». в.З. 1948.
20. Галиныш А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям. Иссл. по теор. пластин и оболочке. Казань. Изд-во КГУ. 1970. №7. С. 24-26.
21. Горшков А.Г. Нестационарные взаимодействия пластин и оболочек со сплошными средами // Изв. АН СССР. МТТ.- 1981.- № 4. с. 177-189.
22. Григолюк Э.И., Горшков А.Г., Коган Ф.А. О динамическом изгибе трехслойных круговых пластин с сжимаемым заполнителем. АН УССР «Прикладная механика». №1.1978. С. 78-87.
23. Григолюк Э.И., Чулков П.М. Малые деформации, устойчивость и колебания несимметричных трехслойных плит с жестким заполнителем. Док. АН СССР. т. 149. №1. 1968. С.' 62-64.
24. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. ВНИИТИ. Итоги науки и техники. Серия «Механика твердых деформированных тел», т.5. М., 1973.
25. Даннея Л.Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Мир. 1985. 567 с.
26. Деч Г. Руководство по практическому применению преобразований Лапласа и z-преобразований. М.: Наука. 1971. 288 с.
27. Дмитриев В. Г., Жаворонок С. И., Москвитин Г. В. Оптимальные вычислительные технологии в математическом моделировании нелинейных задач механики деформируемого твердого тела. Инженерная физика, 2008, № 6, с. 2-6.
28. Дудченко А.А., Образцов И.Ф., Лурье С.А. Анизотропные многослойные пластины и оболочки // Итоги науки и техники. Механика дефор. Тверд. Тела. Т. 15. М.:ВИНИТИ, 1983.-c.3-68.
29. Егорычев О.О., Филиппов И.Г., Джанмулдаев Б.Д., Скропкин С.А., Филиппов С.И. Теория динамического поведения плоских элементов строительных конструкций. Док.2-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». Варшава. 1993.
30. Егорычев О.О., Филиппов И.Г. Неклассическая теория нелинейных колебаний плоских элементов строительных конструкций. Док.З-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства», -М., 1994.
31. Егорычев О.О., Филиппов И.Г. Численный метод декомпозиций в исследовании колебаний пластин. Док. 3-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства», М., 1994.
32. Егорычев О.О., Филиппов И.Г. Анализ краевых задач в теории элементов строительных конструкций. Док. 4-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». Варшава. 1995. С.55-62.
33. Егорычев 0.0., Егорычев О.А., Филлипов С.И. Область применимости усеченных уравнений колебания пластин. Доклады 6-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». Варшава, 1997.
34. Егорычев 0.0., Филиппов И.Г. Теоретические основы колебания плоских элементов строительных конструкций. Сб. трудов республиканской научной конференции «Актуальные проблемы механики контактного взаимодействия», КНИИРП, Сам. отд. АН Руз, Самарканд. 1997.
35. Егорычев О.О. Исследование поперечных колебаний на основе различных приближенных теорий. Сб. трудов республиканской научной конференции «Актуальные проблемы механики контактного взаимодействия», КНИИРП, Сам. отд. АН Руз. Самарканд, 1997.
36. Егорычев 0.0. Собственные колебания упругой прямоугольной пластины. Сб. тезисов I конференции молодых ученых, аспирантов и докторантов. МГСУ. М., 1998.
37. Егорычев 0.0. Решение задачи о собственных колебаниях прямоугольной пластины с использованием различных уравнений колебания. ВИНИТИ № 1441-В 98. 13.05.98.
38. Егорычев 0.0. Воздействие подвижной нагрузки на упругую трехслойную пластину, лежащую на упругом основании. ВИНИТИ № 1442-В 98. 13.05.98.
39. Егорычев О.О., Егорычев О.А. Исследование поперечных колебаний прямоугольной пластинки свободной по трем краям и жестко закрепленной по одному краю. Док. 7-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». — М., 1998.
40. Егорычев 0.0. Вывод частного уравнения колебания упругой пластины, свободной по контуру. ВИНИТИ № 1443- В 98. 13.05.98.
41. Егорычев 0.0. Колебание трехслойной вязкоупругой пластины, лежащей на вязкоупругой полуплоскости, при воздействии подвижной нагрузки. ВИНИТИ № 1444-В 98. 13.05.98.
42. Егорычев 0.0. Нестационарные колебания двух вязкоупругих пластин, пространство между которыми заполнено вязкоупругой средой. «Вопросы прикладной математики и вычислительной техники». МГСУ. -М., 1999.
43. Егорычев О.О., Егорычев О.А. Колебания упругой трехслойной пластины, лежащей на упругом основании, при воздействии подвижной нагрузки. «Сейсмика в строительстве». №4. М., 1999.
44. Егорычев 0.0. Собственные колебания прямоугольной пластины, три края которой свободны, а четвертый край упруго закреплен. «2-ая конференция молодых ученых, аспирантов, докторантов МГСУ». М., 1999.
45. Егорычев 0.0. Собственные колебания прямоугольной пластины, три края которой шарнирно оперты, а четвертый край упруго заделан. ВИНИТИ. №1613-В 99.
46. Егорычев 0.0. Собственные колебания элементов строительных конструкций. «Сейсмика в строительстве». №4. М., 1999.
47. Егорычев О.О., Егорычев О.А., Филиппов С.И. Нормальный удар по поверхности прямоугольной пластины. Доклад 8-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». Варшава, 1999.
48. Егорычев 0.0., Егорычев О.А. Собственные колебания прямоугольной пластины. «Фундаментальные науки в современном строительстве». Сборник докладов МГСУ. 2001. С.38-48.
49. Егорычев О.О., Скропкин С.А. Статика. Учебное пособие. МГСУ. М., 2000.
50. Егорычев 0.0., Филиппов С.И. Аналитические методы исследования пластин. «Фундаментальные науки в современном строительстве». Сборник докладов МГСУ. 2001.
51. Егорычев 0.0., Егорычев О.А. Анализ решения задач о колебании пластин различными методами. Док. 11-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства. Варшава. 2002. С. 163-173.
52. Егорычев О.О., Егорычев О.А. Собственные колебания прямоугольной изотропной пластины. «Вопросы математики, механики сплошных сред и применения математических методов в строительстве». Сборник научных трудов №10 МГСУ. 2003. С.138-148.
53. Егорычев О.О. Теоретические основы колебания плоских элементов строительных конструкций. ПГС. 9. 2004. С.30-32.
54. Егорычев О.О. Влияние вязкоупругости материала на совместные колебания пластин и среды, лежащей на жестком основании. «Строительные материалы и оборудование технологии XXI века». 10.2004.
55. Егорычев О.О. Исследование поперечных колебаний пластин на основе различных приближенных теорий. ПГС. 10. 2004.
56. Егорычев О.О. Влияние формулировки граничных условий при определении собственных частот колебания пластин. ПГС. 12. 2004.
57. Егорычев О.О. Колебания плоских элементов конструкций. М.: АСВ.2005. 240 с.
58. Егорычев О.А., Егорычев О.О., Богданов А.В. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины два края которой жесткозакреплены а два других свободны от закрепления. Научно-технический журнал "Вестник МГСУ", № 5, издательство АСВ, 2009 г
59. Жаворонок С. И., Рабинский JI. Н. Осесимметричная задача нестационарного взаимодействия акустической волны давления с упругой оболочкой вращения. Механика композиционных материалов и конструкций, 2006, Т.12, № 4, с.1251-1265.
60. Жаворонок С. И. Модели высшего порядка анизотропных оболочек. Механика композиционных материалов и конструкций, 2008, Т. 14, № 4, с. 561-571.
61. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Изд-во «Наука». М., 1971. - 704 с.
62. Каюмов Э.К. Колебание вязкоупругих трехслойных пластин с нелинейно упругим и вязкоупругим заполнителем. «Вопросы вычислительной и прикладной математики». №48. Ташкент, 1977.-С. 171-182.
63. Кильчевский Н.А. Основы аналитической механики оболочек, т.1. Киев, изд-во АН УССР, 1963.-354 с.
64. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. М.: ГИТТЛ. 1956. -192 с.
65. Коренев Б.Г., Черниговская Е.И. Расчет плит на упругом основании М., 1962, Госстройиздат, 356 с.
66. Коренев Б.Г. О движении нагрузок по пластинке, лежащей на упругом основании. Строительная механика и расчет сооружений №6. 1965.
67. Коренев Б.Г., Пановко Я.Г. «Динамический расчет сооружений». Сб. «Строительная механика в СССР 1917-1967. М.: Стройиздат. 1969. - С. 280-329.
68. Курант А.Г., Гильберт Д. Методы математической физики, т. 1.2 -М-Л.: Изд. 3-е ГИТТЛ, 1951.
69. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука. Изд. 10-е. 1971. 431 с.
70. Ламзюк В.Д., Пожуев В.И. Об отставании пластинки от многослойного основания под действием подвижной нагрузки. «Устойчивость ипрочность элементов конструкции», Сб. статей. Днепропетровский университет, 1975. в.2. -С. 169-177.
71. Ляв А. Математическая теория упругости. -M.-JL: ОНТИ, 1935.- 674 с.
72. Молотков JI.A. Об инженерных уравнениях колебаний пластин, имеющих слоистую структуру. Сб. V «Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн», изд-во ЛГУ. 1961. С. 308-313.
73. Москаленко В.Н. Об учете инерции вращения и деформации сдвига в задачах о собственных колебаниях пластин. Теория пластин и оболочек. -Киев, АН УССР. 1962. С.264-266.
74. Муравский Г.Б. Неустановившиеся колебания бесконечной пластины, лежащей на упругом основании при действии подвижной нагрузки. Труды МИИТ. в.193. -М., 1964. -С.166-171.
75. Найвельт В.В. Действие подвижной нагрузки на бесконечную плиту, лежащую на упругом основании. Изд. Высших учебных заведений «Строительство и архитектура». №5. 1967. С.161-169.
76. Найвельт В.В. Неустановившиеся колебания бесконечной плиты, лежащей на упругом основании, при движении по ней инерционного груза. АН УССР. « Прикладная механика», т. 5. в. 8. 1969. С. 123-128.
77. Новожилов В.В., Финкелыптейн P.M. О погрешности гипотез Кирхгофа в теории оболочек//ПММ. Т. 7, Вып. 5. С. 331-340.86.0ниашвили О.Д. Некоторые динамические задачи теории оболочек. М.: изд-во АНСССР, 1957, с. 196.
78. Нигул У.К. Волновые процессы деформации оболочек и пластин. Тр. XII Всесоюзной конф. По теории пластин и оболочек. М.: Наука. 1970. - С. 846-883.
79. Нигул У.К. О методах и результатах анализа переходных волновых процессов изгиба упругой плиты. Изв. АН ЭССР сер. Физ-мат. и техн. наук. 1965. №3. С.345-384.
80. Пановко Я.Г., Губанов И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. -М.: Наука. 1967. 420 с.
81. Пановко Я.Г., Исторический очерк развития теории динамического действия подвижной нагрузки. Труды ЛВВИА. в. 17. Л., 1948.
82. Петрашень Г.И. К теории колебаний тонких пластин. Ученые записки ЛГУ. № 149. в.24 «Динамические задачи теории упругости». 1951. -С. 172-249.
83. Петрашень Г.И. Проблемы теории колебаний вырожденных систем.
84. Исследования по упругости и пластичности. Сб. №5. Изд-во ЛГУ. 1966.-С.3-33.
85. Петрашень Г.И., Хинен Э.В. Об инженерных уравнениях колебаний неидеально-упругих тонких пластин. АН СССР, труды математического института им В.А.Стеклова, ХСУ/95/, изд-во «Наука, Л., 1968, - С. 151183.
86. Петрашень Г.И, Хинен Э.В. Об условиях применимости инженерных уравнений колебаний неидеально-упругих пластин. Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн». Изд-во «Наука». №11. 1971. С.48-56.
87. Приварников В.И., Приварников И.И. Влияние инерциональности основания на динамический изгиб упругой пластины. АН УССР, «Прикладная механика», т.8. в.1. 1972.
88. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции,- М.: Наука, 1983.-750 с.
89. Пожуев В.И. Влияние величены постоянной скорости нагрузки на реакцию пластины, лежащей на упругом основании АН СССР, «Механика твердого тела». №6. 1981. С. 112-118.
90. Пшеничнов Т.И. Метод декомпозиций решения уравнений и краевых задач. М.: ДАН СССР. 1985. т.282. №4. - С.792-794.
91. Пшеничнов Т.И. Решение некоторых задач строительной механики методом декомпозиций. Строительная механика и расчет сооружений. 1986. №4.-С. 12-17.
92. Россохин Ю.А. О нестационарных колебаниях пластин на упругом основании. Прикладная математика и механика, т. 42. в.2. 1978. С. 333339.
93. Селезов И.Г. Исследование распространения упругих волн в плитах и оболочках. Тр. Конф. по теор. пластин и оболочек. 1960. Казань. — С.347-352.
94. Смирнов А.И. Неустановившиеся колебания свободной трехслойной полосы. Доклады АН СССР. т. 172. №5. 1967.
95. Соколов Е.А. Колебания свободной пластинки на упругом основании под действием динамической нагрузки. Изв. АН СССР ОТН. №6. 1958.
96. Терентьев В.Н. Динамическое действие периодической нагрузки, движущейся прямолинейно по поверхности пластинки, лежащей на упругом полупространстве. Tp.VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М.: Наука. 1966. - С. 134-738.
97. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат. 1955.
98. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. Изд-во «Наука», М., 1966.
99. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. Изд-во «Наука». М., 1967.
100. Тимошенко С.П. Прочность и колебания элементов конструкций. Изд-во «Наука». М., 1975. 704 с.
101. Тихонов JI.H., Самарский А.К. Уравнения математической физики. М.: Наука. Изд. 4-е. 1972.
102. Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин. ПММ., 1948. 12. 33. С.287-300.
103. Филиппов А.П. Колебания упругих тел. Изд-во АН УССР, 1956.
104. Филиппов А.П. Колебания механических систем. Киев, «Наукова думка». 1965.
105. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение. 1970.
106. Филиппов А.П., Кохманюк С.С., Воробьев Ю.С. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций. Изд-во «Наукова думка». Киев. 1974.
107. Филиппов И.Г. Приближенный метод решения динамических задач для линейных вязкоупругих сред. АН СССР, ПММ, т.43. в.1. 1979. С.133-137.
108. Филиппов И.Г., Егорычев О.А. Волновые процессы в линейных вязкоупругих средах. М.: Машиностроение. 1983. 269 с.
109. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. Кишинев. Штиинца. 1988. 190 с.
110. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики M.-JL: ОНТИ. 1937. 998 с.
111. Хесин Г.И. и др. Некоторые экспериментальные и теоретические исследования распространения волн напряжений в линейныхвязкоупругих средах. Фотоупругость. Развитие методики. Инженерные приложения. М., 1975. - С.34-41.
112. Achenbach L.D. Wave propagation in elastic solids/ Amsterdam: Nord-Holand. 1973. 425 p.
113. Biot M.A. Linear thermodinamics and the Mechanics of solids. Proc. 3-rd U.S. Nat Congr. Mech.-1958-v.25. P.87-94.
114. Brunelle E.J. Buckling of transversely isotropic Mindlin plates. AIAA Journal. 1971. 9. №6. P. 1018-1022.
115. Callahan W.R. Flexural vibrations of elliptical plates when transverse shear and rotary inertia are condidered. J. Acoust. Soc. Amer. 1964. №5. P. 823829.
116. Cauchy A.L. Aur I equilibre el le mouvement d une lame solide. Exercises Math. 1928.S. 245-S26.
117. Chao C.G., Hao Y.- H. On the flexural motion of plates at the cut off frequency. ASME. 1964. ESL. №l.-P.22-24.
118. Goodman R.R. Reflection from a thin infinite plate using the Epstein method. J. Acoust. Sec. Amen., 1961. SS №8,-P. 1096-1098.
119. Hasegawa M. Influence of rotatory inertia on transverse vibrations of isotropic, elastic, rectangular plates. Proc. 16 Japan Nat. Congr. Appl. Mech. Tokyo. 1967.-P.291-295.
120. Huang T.C. Application of variation methods to the vibration of plates including rotary inertia and shear/ Developm. Mech., Vol I, New York, — P.61-72.
121. Kirchhoff G. User das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischert Scheibe. J. Reine und angew. Math. 1850. 40. №1. P.51-88.
122. Kirchhoff G. Vorlesugen user mathematische Physic. Mechanic. Leipzig. 1876. (Киргоф Г. Механика. Лекции по математической физике. М- АН СССР, 1962).
123. Lamb Н. On the flexure of an elastic plate (Appendix). Froc. Lond. Math. Sec. 1889-1890. 21.-P.85-90.
124. Lamb H. On waves in an elastic plate. Proc. Roy. Sec. London. 1917. ser. A. 93. № A648.-P.114-128.
125. Mange J.N. Bending wave propagation in rods and plates. J.Acoust. Soc. Amen., 196S. So. No. P.878-888.
126. Medick M.A. On classical plate theory and wave propagation. Trans. ASME, 1961. E2S. №2. 22S-228.
127. Mindlin R.D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions ofisotropic, elastic plates. J.Appl. Mech. 1951. 18. №1. -P.31-38.
128. Mindlin R.D. Thickness-shear and flexural vibrations of crystal plates. J.Appl. Phis. 1951.22. №3. 516-82S.
129. Mindlin R.D., Schacknow A., Deresiewicz H. Flexural vibration of rectangular plates. Paper Amen. Sec. Mech. Engrs. 1955. № A-78; J. Appl. Mech. 1956. 23. №3. P.480-486.
130. Mindlin R.D. Vibrations of an infinite, elastic plate at its cut-off frequencies. Proc. SrdU.S. Nat. Congr. Appl. Mechanics, Providence, Rhode Island, 1958. New York. N.Y. 1958. P.225-226.
131. Poisson S.D. Memoire sur Г eguilibre el le mouvement des corps elastiques. Mem. Acad. Roy. Set. 1829. 8. -P.857-570.
132. Rayleigh J.W. On the free vibrations of an infinite plate of homogeneous isotropic elastic matter. Froc. London Math. Sec. 1888-1889. 20. №357. -P.225-234.
133. Reinssner E. On the theory of bending of elastic plates. J.Math. and Phys. 1944. 23. №4,-P. 184-191.
134. Reinssner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates. J.Appl. Mech. 1945. 12. №2. A-69-A-77.
135. Reinssner E. On bending of elastic plates. Quart. Appl. Math. 1947. 5. №1. -P.55-68.
136. Westbrook D.R. Symbolic approach to dynamical problems in plates. J.Acoust. Sec. Amen. 1968. 44. №4. 108S-1092.
137. Widera O.E. An asymptotic theory for the motion on elastic plates. Actamech., 1970. 9. № 1-2. P.54-66.
