О вычетных интегралах и степенных суммах корней систем неалгебраических уравнений в Cn тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Мышкина Евгения Константиновна

О ВЫЧЕТНЫХ ИНТЕГРАЛАХ И СТЕПЕННЫХ СУММАХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕАЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В Сп

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005568417 13 МАЙ 2015

Красноярск - 2015

005568417

Работа выполнена в ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Кытманов Александр Мечиславович

Официальные оппоненты: Знаменский Сергей Витальевич,

доктор физико-математических наук, доцент, ФГБУ «Институт программных систем им. А. К. Айлама-зяна» РАН, исследовательский центр системного анализа, заведующий лабораторией;

Михалкин Евгений Николаевич, кандидат физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева» кафедра математического анализа и методики обучения математике в вузе, доцент

Ведущая организация: ФГБУ «Институт математики им. С.Л.Соболева»

СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится 29 мая 2015 г. в 13.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 при ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет» по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79, ауд. 8-06.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет» и на сайте http://www.sfu-kras.ru.

Автореферат разослан «апреля 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Федченко Дмитрий Петрович

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Исследование систем алгебраических уравнений является классической задачей. Частью ее является задача исключения неизвестных. Для двух переменных и систем из двух уравнений она решается с помощью результанта Сильвестра. Для систем из большего числа уравнений хорошо известна классическая схема исключения неизвестных, но она, как правило, является весьма трудоемкой. В настоящее время общепринятым методом исключения неизвестных является метод базисов Гребнера, созданный в работах Бухбергера и его учеников.

Модифицированный метод исключения неизвестных из систем алгебраических уравнений в С™ возник в работе Л.А.Айзенберга 1. Основная идея метода заключается в нахождении степенных сумм корней системы с помощью формулы многомерного логарифмического вычета, не вычисляя самих корней, а затем в использовании классических рекуррентных формул Ньютона для построения результанта. В отличие от классического метода исключения он менее трудоемок и не увеличивает кратности корней. Дальнейшая его разработка продолжена в монографиях 2- 3' 4. В качестве приложений этой теории были рассмотрены системы нелинейных уравнений, возникающих в химической кинетике и зависящих от параметров.

Во многих прикладных задачах возникают также неалгебраические системы уравнений, состоящих из экспоненциальных многочленов, т.е. из функций конечного порядка роста 5. Для систем неалгсбраических уравнений, множество корней которых, как правило, бесконечно, степенные суммы корней в положительной степени, вообще говоря, являются расходящимися рядами. Но степенные суммы корней в отрицательной степени часто являются сходящимися. Возникает задача о их вычислении через коэффициенты Тейлора функций, входящих в систему. Это вычисление можно осуществить с помощью вычетных интегралов. В работе 6 рассмотрен простейший класс систем уравнений для целых и ме-роморфных функций, фактически функций не выше первого порядка роста. Тем самым тематика работы является актуальной.

1Айзенберг Л.А. О формуле обобщенного многомерного логарифмического вычета и решении систем нелинейных уравнений // Докл. АН СССР. 1977. т. 234. № 3. С. 505-508.

2Айзенберг Л.А., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979.

3Быков В.И., Кытманов A.M., Лазман М.З. Методы исключения в компьютерной алгебре многочленов. Н.: Наука, 1991.

4Цих А.К. Многомерные вычеты и их приложения. Н.: Наука, 1992.

5Быков В.И., Цыбенова С.Б. Нелинейные модели химической кинетики. М.: КРАСАНД, 2011. 540 с.

сКытманов A.M.,Потапова 3-Е. Формулы для нахождения степенных сумм корней систем мероморф-ных функций // Известия вузов. Математика. 2005. Л*' 8. С. 39-48.

Цель диссертации

Целью работы является изучение и нахождение степенных сумм корней разного вида систем неалгебраических уравнений, состоящих из целых или мероморфных функций конечного порядка роста. Установление связи между степенными суммами и вычетными интегралами, построенными по заданной системе функций. Нахождение сумм некоторых видов кратных рядов на основе разработанной теории.

Методика исследования

В основу исследования положены методы многомерного комплексного и функционального анализа, а также системы компьютерной алгебры.

Научная новизна

Результаты работы являются новыми. Они заключаются в изучении некоторых типов систем неалгебраических уравнений; в рассмотрении вычетных интегралов и доказательстве формул для их вычисления, содержащих конечное число коэффициентов Тейлора функций, входящих в уравнения; в установлении связи между интегралами и степенными суммами корней в отрицательной степени.

Теоретическая и практическая ценность

Результаты, полученные автором, являются теоретическими. Их ценность состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы в многомерном комплексном анализе, в математических задачах химической кинетики, а также в компьютерной алгебре.

Практическое применение полученных результатов состоит в их внедрении в учебный процесс в виде материала для проведения специальных курсов по современным проблемам многомерного комплексного анализа кафедры теории функций Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета.

Степень достоверности и апробация работы

Достоверность результатов работы подтверждается строгими математическими доказательствами.

Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на следующих конференциях: VIII Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых (Красноярск, Россия, 2012); IV российско-армянское совещание по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Красноярск, Россия, 2012); IX Всероссийская научно-техническая конференция с международным участием (Красноярск, Россия, 2013); международные научные студенческие конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, Россия, 2013, 2014); школа-конференция (Ярославль, Россия, 2013); XIII Всероссийская молодежная школа-

конференция «Лобачевские чтсния-2014» (Казань, Россия, 2014); V российско-армянское совещание по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Ереван, Армения, 2014); международная школа-конференция по многомерному комплексному анализу и дифференциальным уравнениям (Красноярск, Россия, 2014).

Результаты работы неоднократно докладывались на Красноярском городском семинаре по многомерному комплексному анализу (2012-2015 г. г.).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-14], из них 5 работ [15] в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК, 5 публикаций [6-10] в материалах конференций, 4 публикации [11-14] являются тезисами конференций.

В соавторстве выполнены три работы [1, 2, 5]. В диссертации приведены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 55 наименований. Общее число страниц диссертационной работы 102.

Содержание работы

Первая глава является предварительной и включает в себя математические сведения, определения, теоремы и формулы, которые используются в диссертационной работе.

Вторая глава состоит m четырех параграфов и посвящена вычетным интегралам и степенным суммам корней различных типов систем неалгебраичсских уравнений.

В первом параграфе рассматриваются вычетные интегралы и степенные суммы корней простейших систем.

Введем функций /i(z), /2(2), ■ ■ ■, /п(г), голоморфных в окрестности точки 0 е С", г = (zi, 22, • • •, z„), и имеющих следующий вид

fj(z) = (z* + Qj(z))eW, j = 1,2,...,«, (1)

где ¡P = (/3{, ,..., PÍ) — мультииндекс с целыми неотрицательными координатами, z& = zf' ■ zf2 ■■■zfi и ll/^'H = p{ + Pi + ... + Pi = kj, j = 1,2,..., п. Функции Qjt Pj разлагаются в окрестности нуля в ряд Тейлора, сходящийся абсолютно и равномерно, вида

Qj{z)= Y, (2)

PÁZ) = £ bt,z\ (3)

Ihliso

где а = (auQl,...,an), a¡ > 0, a¡ e Z, a za = zf • zf • • • ; 7 = (71,72, ••• ,7.0, 7j ^ 0, 7, 6 Z, a z7 = Zj' -z?---zjr.

Рассмотрим циклы у(г) = 7(гьг2,..., г„)

7(г) = {г е С™ : |г,| = гя,з = 1,2 ,...,п}, г, > 0,..., гп > 0. При достаточно малых г, определены интегралы вида

J_ [ J_ 4f =

Ч/П)„ J ZD+I • /

^ = (2,г

7(г)

1 Г _1_ ^.А^Л л^.

(2тгл/=Т)" У • • • • г„"+1 ' Л /2 /„ '

где & > 0, & ^ 0,..., А, ^ 0, & е 2, / = (1,1,..., 1).

В соответствии с 7 назовем их вычетными интегралами. К этим интегралам не применима теорема о логарифмическом вычете и они не являются стандартными вычетами Гротендика.

Обозначим через Ji функции /¿(г) = +(3^(2), 3 = 1,..., п. Пусть I, — мультииндекс длины п, содержащий в единиц и п — з нулей (я = 0,1,... ,п). Рассмотрим А;, — якобиан системы функций, таких, что единице, стоящей на ]-ом месте из !, соответствует строка в А!з из производных функции /,, а нулю, стоящему на к-ом месте в /, соответствует строка в А/я из производных функции Д.

Теорема 2.1. При сделанных предположениях для функции вида (1), (2), (3) справедливы формулы:

е <-1'""

^ (/3 + (а? + I)/?4'+ ... + (а! + 1

X-

2=0

= V г-1}"а'»ап Г__1

8=0 1, ||а»||<||Р||+тт(п,*<1+...+^,) 1 -1

где а" — мультииндекс порядка в, i^t — номер к-ой единицы в 13, 13 = ||/3 + + I)/?'1 +

, Я117И ЯМ

■■■ + № +1)^*11,/3! = А1 ■ - А.!, <г-</.) = С■ ■ • • агг =

наконец, ЙЛ — линейный функционал, сопоставляющий ряду Лорана его свободный член.

Далее в параграфе рассмотренные интегралы связываются со степенными суммами корней системы. Для этого мы сузим класс функций /,. Возьмем в качестве функций (] = 1,2,..., п) многочлены вида

ам = £ (4)

7Passare M., Tsikh A. Residue integrals and their Melin transforms// Can. J. Math. 1995. V. 47. № 5, 1037-1050.

где Л/^ — конечное множество мультииндексов такое, что при о: £ М) координаты аь ^ к = 1, 2,... , п, к ^ (Но по прежнему предполагается, что ||а|| > к, для всех а е М^). А для функций Р, {] = 1,2,..., п) многочлены вида

Обозначим

м г

к= 1 г1(«:) ' г2(к) ' ' ' гп(к)

где ¡3 = (Д,... ,/3„) — некоторый мультииндекс. Здесь • • •, -„(*)) корни системы,

не лежащие на координатных плоскостях, взятые столько раз какова их кратность (как показано в данном параграфе, их число конечно).

Данное выражение является степенной суммой корней, не лежащих на координатных плоскостях, системы, но в отрицательной степени (степенной суммой от обратных величин корней).

Теорема 2.2. Для системы с функциями вида (1) и многочленами (¿^ вида (4), Р) вида (5) и для произвольного мулыпииндекса (3 такого, что

I1 + ... + /"< /3, (6)

справедливы формулы

J^з = (—1)"<7/?+/,

где I' = (1{,..., Iи II — степень {-ого многочлена Рг по j-oй переменной г, ^ = 1,... ,п (для мультииндексов а < /9, если данное неравенство выполняется для всех их координат).

Рассмотрим более общую ситуацию. Пусть функции /, имеют вид

№ = ^ = 1,2,...,гг, (7)

где и /]2>(г) — целые функции в С конечного порядка роста не выше р, разлага-

ющиеся в бесконечные произведения, равномерно сходящиеся в С",

ос оо

8=1 3=1

причем каждый го сомножителей имеет форму {г0''' + Qj,s(г))e/'■'''(г,, а С}],,^), Р^,(г) — функции вида (4), (5) и степени всех многочленов Р^,, входящих в систему, degPjlS ^ р, j = 1,2,... ,п, я = 1,2,...

Для каждого набора индексов где ..., 6 N. и каждого набора чисел

¿1,..., г„, где г[,..., г„ равны 1 или 2, системы нелинейных уравнений

= = О, ...,/№) = О, (8)

имеют конечное число корней, не лежащих на координатных плоскостях.

Корни всех таких систем (не лежащие на координатных плоскостях) составляют не более, чем счетное множество. Перенумеруем их (с учетом кратностей): г^), 2(2), • • • I -(()> ■ ■ ■ Обозначим через &р+1 выражение

= £-

А+1 Й2+1 'ПО ' 2(0

~п(|)

(9)

Здесь /?1,... ,/?„, как и прежде, неотрицательные целые числа, а знак Е; равен +1, если в систему вида (8), корнем которой является г^, входит четное число функций ; и равен —1, если в систему вида (8), корнем которой является гщ, входит нечетное число функций У®.

Теорема 2.3. Для системы с функциями вида (7), для которых в разложении степени всех Р) ограничены числом р и выполняется неравенство I1 + ... + 1п ^ /3, ряд (9) сходится и справедливы формулы: = (—1)™<т^+/.

Во втором параграфе рассматриваются вычетные интегралы и степенные суммы корней систем уравнений треугольного вида.

Рассмотрим систему функций /1(3), /2(2), • • •, /п(~), голоморфных в окрестности точки 0 е С", 2; = (21, 22, ..., 2„), и имеющих следующий вид

(10)

где /5' = (/?[', ..., Р'п) — мультииндеке с целыми неотрицательными координатами, ||/3'|| = /3* + /?* + ... + /ЗД = степени мономов удовлетворяют условию к{ < огй^(г); ¿ = 1,2,..., п, и данные мономы не содержатся в ч/'.(2)- (Здесь и в дальнейшем под порядком ог(1 голоморфной функции понимается наименьшая (по совокупности переменных) из степеней мономов, входящих в разложение Тейлора этой функции в точке 0.)

Кроме того, предположим, что система (10) удовлетворяет следующим условиям:

ОГ<1г1...гпфг >Р1; + ...+

(И)

ОГ(1г_______ ^

г = 1,...,п; з = г + 1,... ,п.

Здесь порядок голоморфной функции ф^ по переменным zi...zn при фиксиро-

ванных остальных.

Если система (10) удовлетворяет условиям (11), то она может быть записана в виде

ш = (г"2 + №1(2) + д2(2))е^,

иг) = (2"" +1Рп1(г) + ...+ ч>пп-у{*) + Яп{г)УРЛ*\

где — однородные полиномы степени ||/3'|| = к{, удовлетворяющие

для г = 2,...,Щ] = 1,2, ...,г — 1. А порядок по совокупности переменных строго больше к], ] = 1,..., п.

Таким образом получаем, что

1—1

</Ф) = £ ¥>0'(*) + <?.(«). г = 1, 2,... ,п,

(14)

¿=1

При некоторых условиях на п,..., г„ определены вычетные интегралы вида ./;з. Теорема 2.4. Дри сделанных предположениях для функций вида (10), удовлетворяющим условиям (11) —(14) справедливы формулы:

(_1)и°*и

2=0 а,, •

.0+(<»; + 1)/Г1+...+(а; + 1)/9<<

где а' — мультииндекс длины я, 4 — номер к-ой единицы в /.,, = ||/3 + (а| + 1)/3" +

» яЫ аЬИ

... + (а; + 1)А' II, /9! = А! • А! ■ ■ ■ АЛ Г* (/.) = С • С2 ■ ■ • = дг?д#—дг!Г

наконец, 9Л — линейный функционал, сопоставляющий ряду Лорана его свободный член.

Суммирование ведется по конечному множеству мультииндексов а", удовлетворяющих условиям а; < 11/311+1^11(5,^ + . .. + ки), ^ А + • • ■ + А + 2(га- 1) + {а[ + 1){Р2' +

... + #),...,< д. + 2 + #«■, + ... + /з;--1«:,!.

Далее рассмотренные интегралы связываются со степенными суммами корней системы (И).

Для системы с функциями вида (10) и функциями ф^ вида (11), (13), многочленами Р,, (¡1 вида (12), (13) и многочленами ^pij вида (13) сформулируем дополнительные предположения:

^ < /?к, кф г, г + к,

к = 1,...,п; ¿ = 2, ...,п; ] = 1, 2,..., п - 1. А функции Pj (] = 1,2,... ,п) — многочлены вида

рл*)= £

(15)

(16)

Теорема 2.5. Для системы с функциями вида (10), многочленами ф^ вида (14) с ограничениями вида (15), Pj вида (16) и для произвольного мультиипдекса /3 такого, что

;! + ... + /" </3, (17)

справедливы формулы

Зр = (-1)"^+/,

где V = (1[,... ,1^) и 1( — наибольшая степень г-ого многочлена Р{ по ]-ой переменной 3 — ■ • • !п (для мультииндексов а ^ ¡3, если данное неравенство выполняется для всех их координат).

Теорема 2.6 третьего параграфа аналогична теореме 2.3 предыдущего параграфа. В третьем параграфе рассматриваем вычетные интегралы и степенные суммы корней специальных систем, состоящих из целых функций.

Рассмотрим систему уравнений /1(2), /2(2),..., /„(г) вида

'/,(*) = [(1 - ац^Г» ■ • • • • (1 — я,„гв)т1" + <?,(*)] в«« = 0, /2(г) = [(1 - ОигО"» •...•(!- ^¿„Г2" + % (г)] еР2<2> = О,

/„(г) = [(1 - «„.^Г- ■ ... • (1 - ап„2„Г»" + ЯМ] еР"(г) = 0,

(18)

где т,] — натуральные числа, «,_, — комплексные числа, различные при каждом фиксированном и — целые функции.

Обозначим через ..., г„) выражение вида

9((г1,...,гп) = (1-анг1)т"-...-(1-аМ2п)т'", ¿ = 1 ,...п, (19)

тогда наша система примет вид

/,(гь . .., гп) = [фи ..., г„) + <&(*„ ..., zn)} ер.....Ч ,• = 1,2,..., п, (20)

Определим функции

, , ч [ 9;(г)> если а^ ф 0, для всех у,

Ы(г) = < ! , (21)

I если а^ = ... = а^ = 0.

Система уравнений Л<(г) = 0, г = 1,2,..., п имеет гг! изолированных корней в С" (С" пространство теории функций). Пусть 3 — (^ ...,]п) — мультиипдекс, являющийся перестановкой (1,..., п), тогда эти корни можно записать в виде

О/ = |

(1/аЦ1,..., 1/а„^п), если все а^ ф 0, к = 1,...,п;

(1/аЦ1,..., оон,..., ооы,..., 1 /а„и), если а^ = ... = = 0.

где к, у = 1,..., п.

Обозначим через Г/, цикл

Гл = {2 е С : = Г{, > О, 1 = 1, п}. (22)

Рассмотрим систему уравнений

= О I = 1,2,... ,п. (23)

зависящую от действительного параметра 4^0.

Как показано в этом параграфе определен вычетный интеграл J1(t)

Гл

где 7 = (71,... 7„) — мультииндекс.

Пусть — мультииндекс длины тг, состоящий из я единиц и п — а нулей (я = 0,..., тг). Обозначим через Gi функции ¿) = ^¿(г) + Ь ■ Я^г), г = 1,2,..., тг. Пусть 13 — мультииндекс порядка 7г, состоящий из я единиц и тг — я нулей (я = 0, ...,тг). Рассмотрим определители Д/3 — якобианы системы функций, таких, что единице, стоящей па месте из /, соответствует строка » Д/а из производных функции а нулю, стоящему на А>ом месте в 1а соответствует строка в Д/, из производных функции Д..

Теорема 2.7. /Три сделанных предположениях для функций ^ вида (23) справедливы формулы для ./7(£) е виде сходящихся при достаточно малых £ рядов: ./7(4) =

ЗП/З'Н

Д/.(0 0е'(Л)

где (—1)а(^ = 1, когда ./ — четная перестановка и (—1)5('/> = —1, когда 7 — нечетная перестановка, а" — мультииндекс порядка з, ц — номер 1-й единицы в 1„ ца*+/(/а, У) = ^Г'^Ы'- • ••9»*+1Ьп], а</р[7р] — это произведение всех (1-ар1г1)т'-1-.. .-(1 - арпгп)т'т кроме

(1 -а^,)™"*, да'(/„) = ОГ/'-'-'С/, = (ту1.(о51 + 1)-1,...,тп.^-(в^ + 1)-1)1

/?(а', 7)! = ЦК* " К + 1) - 1)'. р

¿»г*3

дг1 31 ■... ■ 02„

При некоторых ограничениях на и Р, вычетные интегралы можно связать со степенными суммами корней системы (18)

Предположим, что <2,(,г) — многочлены вида

Qi{z) = zí■■■znYJCiaza » = 1,2.....и, (25)

|«11>0

где а — мультииндекс, za = z^í ■ ... ■ г°п, < т^, г, = 1,..., тг, для тех а^, для

которых а^ ф 0. Если а^ = 0, то ограничение на степень (}{ отсутствует. Функции Pj {] =1,2,..., н) — многочлены вида

где Г) = (г]1,..., 7]„) — мультииндекс.

Обозначим 2^) = (г^,..., г>п) = ..., ^„(1)), = 1,... ,п, = 1,... ,р — нули

системы (20) с учетом их кратностей, не лежащие на координатных плоскостях. Рассмотрим цикл

Гь = {w е С"

lüi

J_

=

: = 1,2,..., n}.

i

Цикл гомологичен сумме циклов получающихся заменой Zj = — из циклов

гиз

Гh,aJ■ _____

Обозначим через функции С, = Щи^ + Я^т), г = 1,2где щ = (и>] —аа)ш" ■

.■••(«'»- <Чп)ты, а ^ = шГ1 Я, (—,..., — ).

У 11)1 И!п у

Пусть А — якобиан системы функций Сь ..., С„.

Теорема 2.9. Для системы (18) с функциями вида (20) и С}, вида (25) справедливы формулы

1

^T+í -71+1 ,72 + 1 + l

j = l Zjl ' ~32 ' ' ' "jn

E J A-í

v¿7rv ^ HfflIXl J

,511/911

11*11*0 411*11+"

/

Qí1

■ Qn"

Й1+1 ■

-dw -

= £(-i)№£(-D

«•б» J

P(K,J)\ dwe

д • •

„7-+1 . .

<2*

'(J)

w=aj

где z^ = а множество индексов 5R = {/Г = (ki,...,kn) : Эг, что ||А"|| <

7i + 2, г = l,...,n}, aj = (a^,,... ,a„Jn), (—l)8^' = 1, когда J — четная перестановка и (—l)-"'-7) = —1, когда J — нечетная перестановка, qK+I(J) = 5Í'+1[*i] ' ■■■ ' a (¡j\ij] — это произведение всех (u>i — aji)mjl • ... - (wn — aj„)mi" кроме (wí¡ — ,

QK = Qk¡ ■■■■■Qkn", J) = (mln • (^ + 1) - 1,... ,mni„ • (fcin + 1) - 1),

дщё ~ ац,™1'! ^'1"1"1'-1..... '

Далее приводится теорема 2.10, аналогичная теореме 2.3 второго параграфа.

Хорошо известно, что целые функции конечного порядка роста в С", вообще говоря, не допускают разложения в бесконечное произведение, связанное с нулями функции. В четвертом параграфе доказывается теорема о разложении некоторых типов целых функций в бесконечные произведения.

Пусть Я] — многочлены в С™, [1 — ЯД — нулевое множество (дивизор) функций 1 — Яз-Если существует целая функция /(г), у которой нулевое множество равно Ц^Л* — то необходимым условием для этой /(г) является то, что в любом шаре из С", содержатся точки конечного числа множеств [1 — ЯД.

Рассмотрим каноническое произведение

оо сю QPj *(*)

f(z) = l[E(Qj(z),pj-l)=Yl(l-Qj(z))eQ^)+ » (27)

j=i j=i

где выражение

E{Q,p) = (1 - (28)

(p = 1,2,...) назовем первичным множителем.

Теорема 2.11. Для всякой последовательности многочленов Qj, j = 1, ...,n,..., в которой степени всех Qj ограутчены числом q, Qj тлеют вид

QÀ*) = £ 4Z0' С29)

Pis?

и выполнено условие

Oj =max|4| ->0, (30)

«

существует целая функция, илгеющая нули на этих и только этих нулевых множествах, т.е. на множестве Ujljl - Qj]- Здесь ¡3 = (0i,... ,/9„) — мультииндекс. Данная теорема является аналогом классической теоремы Вейерштрасса.

В дальнейшем будем считать /(0) = 1. Пусть для функции f(z) ряд J2Qj сходится

j

при некотором /3 > 0.

Нижнюю грань положительных чисел /3, для которых ряд Y1 сходится, назовем

j

показателем сходимости ряда и обозначим через p¡.

Теорема 2.12. Если для целой функции f(z), вида (27) имеющей нулевые множества Ujijl-Qj], показатель сходимости р i > 0, то f имеет, конечный порядок роста р < qpi-Теорема 2.13 (Аналог теоремы Адамара о разложении на множители). Если функция f(z) — целая функция с нулевым множеством — Qj]t причем /(0) = 1 и

Р! > 0, то

f{z) = eM^P(z),

где P(z) — каноническое произведение, построенное по нулям функции f(z), а Л/(г) — многочлен, степень которого не выше qpi-

Третья глава состоит из трех параграфов и посвящена нахождению сумм кратных рядов с помощью вычетных интегралов.

В первом параграфе рассматриваются ряды, связанные с простейшими системами уравнений.

Пример 1. Рассмотрим систему уравнений

( sin\/zi~--~c¡? - / _ п

/,(*„ г2, *,) = а2 - П [1 ~ ^Г) ~ 0,

. sinsjz2 - Zi-а2 « f Z2-Z¡ -a2\

M*'*'*) = — Z] — a2 = Д ^--) = 0.

,, sinVz3- z2-fl2 z3-z2-a2\ _ /3(21'22'23) = Vz3-z2-a> = Д I'--"

Применяя теорему 2.1, можно получить

~ _1__ (gctha — I)3

к (жЧ2 + а2) • (тr2(fc2 + ш2) + 2а2) ■ (тг2{к2 + т2 + s2) + За2) _ 48а6

Во втором параграфе рассматриваются ряды, связанные с системами уравнений треугольного вида.

пример 2. Рассмотрим систему уравнений

sin ^aizi — a222 y/a^i - a2z2

-ДО-

/l(2l,22) =

, , ч sinV-biZ! +Ь222 S Л -blZl + b2Z2\

/2(21, z2) = —, = П 1---2Z2-) =

v-bi^i + b2z2 S=1 V -s ^ /

На основе теоремы 2.4 получена

Теорема 3.1. Справедливо интегральное представление

£

ai62 — a26i

тг4 7v4(aia2 + 6162) ^(^/аГ^+ч/М^ССЗ)

^ (а^2 + bik2)(a2s2 + Ъ2к2) 36

180aib2

2v/ai52

2 | gV^ - 1

f1 ln2 y ■ 2Ф1{е'№, e2^"; u) dy-

Jo

f

Jo

1 2 Л , гДч 2,/^*- 4./S", ln у • 2®i(e V »2 ,ev»2 ; e V »2

, u) dy,

где 2Ф1(е2', е2'; е41, х) — базисный гипергеометрический ряд.

В третьем параграфе рассматриваются ряды, связанные с системами уравнений специального вида.

Пример 3. Рассмотрим систему уравнений

sin xJaiZí + a2z2 + a3z3 - a1a2z¡z2 - а^г^з — a3a3z2z3 •v/aiZi + a2z2 + a3z3 — aía2z1z2 — a¡a3z¡z3 — a3a3z2z3

fi(zi,z2,z3) =

— jj Л _ a\Zi + a2z2 + a3z3 - a1a2z1z2 - axa3Z1Z3 - a3a3z2z3 ^ _ Q

Í2{Z\,Z2,Z3) =

П 1-

sin s/bjZ! + b2z2 + b3z3 - bjb2ziz2 - bib3ziz3 - b3b3z2z3

\/í>iZi + b2z2 + b3z3 - blb2zlz2 - blb3zlz3 - b3b3z2z3 1 + b2z2 + b3z3 - blb2zíz2 - bi 6321-23 - b3b3z2z3\ _

_S2TT2 _) ~ '

sin y/ci^i + c2z2 + c3z3 - c1c2z1z2 - clc3ziz3 ~c3c3z2z3

\jClZi + C2z2 + C3Z3 - CiC22l22 - C1C3Z1Z3 - C3C3Z2Z3 _ S Л _ CiZj + C2Z2 + C3Z3 - ClC2ZlZ2 - C\C3Z\Z3 - c3c3z2z3\ _

" mil V m2V2 ) ~

к

/3(21,22,23) =

Тогда, применяя теорему 2.9, получим, при условии у ^ = 2,

1

.1.1) = £

7r6s2(as2 — bk2)(cs2 — dm2)

3780ас 4п&\/-Ыа

х [С(5) +-*- [\п4у ■

4л 5\/—аЬс

С(5)-

2(е4

1=- [\п4у-2Ф1(е2*^~ь,е2*^-,еА»^~ь,у)ду) +

-«/' - 1) Л /

360 \7abcd 47Г4 ч/аЬсй

(е4

=- Г 1п3 у • е41гч/^, у) А,-»/!> - 1) Л

=- Г 1п3 у • 2Ф1(е2"\/::^, е4^, у) ау+

-Ф _ 11 Уо

47г4\/аЬЫ (е**у/-Ф — 1)

+

32тг*\/аШ ^^-Ф _ 1)

1=- 1п3 у ■ у) ¿у-

■Ф - и Л

1

1

I

х / 1п У ■ 7

Й7Г у/—с/с1

8тг4 \Zabcd

1 Ф еЗж^/Г^. у)

1

е4>г_ ^ 1

¿у-

32ж4у/аШ 647Г 4л/аЬсе*' где 2Ф1 (е2', е21; е4', г) — базисный гипергеометрнческий ряд.

Рассмотренные примеры отсутствуют в известных справочниках.

Основные результаты

Найдены формулы для вычисления вычетных интегралов для систем неалгебраических уравнений простейшего вида, треугольного вида и систем специального вида.

Установлена связь между вычетными интегралами и степенными суммами корней (в отрицательной степени) для рассмотренных систем уравнений.

На основе разработанной теории проведены вычисления сумм некоторых типов кратных числовых рядов.

Значительная часть результатов диссертации получена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 15-01-00277-а).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Александру Мечиславовичу Кытманову за сотрудничество, внимание и поддержку на всех этапах выполнения данной работы.

Публикации по теме диссертации Статьи в журналах из перечня ВАК

[1] Кытманов A.M., Мышкииа Е.К. Нахождение степенных сумм корней некоторых систем неалгебраических уравнений вС* // Известия вузов. Серия: Математика.

2013. № 12. С. 36-50.

[2] Кытманов A.M., Мышкина Е.К. О степенных суммах корней систем целых функций конечного порядка роста // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2014. Т. 14. X! 3. С. 62-82.

[3] Myshkina Е.К. Он One Condition for the Decomposition of an Entire Function into an Infinite Product // Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics.

2014. T. 7. № 1. P. 91-94.

[4] Myshkina E.K. Some Examples of Finding the Sums of Multiple Series // Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics. 2014. T. 7. № 4. P. 515-529.

[5] Kytmanov A.A.,Kytmanov A.M., Myshkina E.K. Finding residue integrals for systems of non-algebraic equations in C" // Journal of Symbolic Computations. 2015. V. 66. P. 98-110.

Материалы конференций

[6] Мышкина E.K. Нахождение некоторых многомерных вычетных интегралов // Материалы 51-й международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск: НГУ. 2013. С. 28.

[7] Мышкина Е.К. Нахождение степенных сумм корней систем // Материалы 52-й международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск: НГУ. 2014. С. 30.

[8] Мышкина Е.К. О вычислении вычетных интегралов, связанных с системой целых функций // Сборник материалов IX Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых с международным участием, посвященной 385-летию со дня основания г. Красноярска. Красноярск, 15-25 апреля 2013. [Электронный ресурс] Красноярск : Сиб. федер. ун-т.,2013, № заказа 2394/отв. ред. О.А.Краев.

[9] Мышкина Е.К. О вычислении вычетных интегралов, связанных с системой неалгебраических уравнений // Сборник материалов X Юбилейной Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых с международным участием, посвященной 80-летию образования Красноярского края. Красноярск, 15-25 апреля 2014. [Электронный ресурс] Красноярск : Сиб. федер. ун-т., 2014, № заказа 1644/отв. ред. О. А. Краев.

[10] Мышкпна Е.К. О степенных суммах корней некоторых видов систем нелинейных уравнений // Материалы тринадцатой молодежной школы-конференции «Лобачевские чтения-2014». Казань: КФУ. 2014. С. 129-130.

Тезисы конференций

[11] Мышкина Е.К. Вычисления степенных сумм корней систем неалгебраическга уравнений определенного вида // Тезисы докладов Четвертого российско - армянского совещания по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам. Красноярск: СФУ. 2012. С. 45-47.

[12] Мышкина Е.К. О нахождении степенных сумм нулей некоторых систем функций конечного порядка роста / / Тезисы докладов летней школы-конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу для молодых ученых России. Ярославль: ЯГПУ. 2013. С. 60-61.

[13] Мышкина Е.К. О некоторых достаточных условиях разложения целых функций конечного порядка роста в С" в бесконечные произведения / / Сборник тезисов Республиканской конференции «Актуальные вопросы комплексного анализа», посвященной 100-летию со дня рождения известного ученого профессора Льва Израилсвича Вол-ковыского. Узбекистан. 2013. С. 90-92.

[14] Мышкина Е.К. Нахождение степенных сумм корней систем неалгебраических уравнений с помощью вычетных интегралов // Тезисы докладов Пятого российско - армянского совещания по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам. Армения: Ереван. 2014. С. 42-44.

Подписано в печать 31.03.2015. Печать плоская. Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 110 экз. Заказ 976

Отпечатано полиграфическим центром Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а Тел./факс: (391) 206-26-49; тел. (391) 206-26-67 E-mail: print_sfu@mail.ru; http://lib.sfii-kras.ru