О некоторых подходах построения пар Лакса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ргБ Ой

п и КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

« ц НД^^ЩШЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. АЛЬ-ФАРАБИ

На правах рукописи

ЖАНАТАЕВА Гульнара Конакбаевна

О НЕКОТОРЫХ ПОДХОДАХ ПОСТРОЕНИЯ ПАР ЛАКСА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ал маты—1993

Работа выполнена в Институте прикладной математики АН №

Научные руководители: член-корреспондент АН РК, доктор

физико-математических наук, профессор М.О.Отелбаев, кандидат физико-математических наук А.А.Дурмагамбетов

Официальные оппоненты: доктор" физико-математических наук,

профессор Я.Т.Султвнаев, кандидат физико-математических наук, доцент Б.Н.Бияров

Ведущая организация: Новосибирский государственный

университет

Защита состоится -¿¿¿М 1993 г. в на засе-

дании Регионального специализированного совета К 058.01.17. по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Казахском государственном национальном университете им. Аль-Фараби по адресу: 480012, г. Алматы, ул. Масан-чи 39/4?.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КазГУ Автореферат разослан вРЬ/ОЛ^ 199з г>

Ученый секретарь Регионального специализированного совета, кандидат физико-математических наук, доцент А.А.Бедальбаев

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Акт£альность_теми. Интерес к исследованию вопросов, связанных с методом обратной задачи рассеяния, обусловлен применимостью зтого метода при решении нелинейных эволюционных уравнений, имеющих многочисленные применения в физике (физике плазмы, нелинейной оптике, физике ферромагнетиков ).

В 1967 году Гарднер, Грин, Краскал и Миура стали пврвооткривэтелями нового методе математической физики. Они изобрели метод решения уравнения Кортевега - де Фриза, использующий идеи прямой и обратной задачи рассеяния. Лаке (1968) существенно обобщил их идеи , Захаров и Шабат (1971) показали, что этот метод приложи и к нелинейному уравнению Шредннгерэ. Дальнейшее развитие этих методов и многочисленные применения подробно представлены в книгах В.А.Марченко (1977), М.Абловицэ и Х.Сигура (1981), Ф.Калоджаро и А.Дегаспэриса (1982), Р.Додда, Дж.Эйлбека, Дж.Гиббона и X.Морриса (1982), А.Ньюэлла (1985), Л.А.Тахтадаяна и Л.Д.Фаддеева (¡986).

В настоящее время делается много попыток построения новых типов пар Лакса в работах О.й.Богоявленского (1991), А.И.Кудряшова (1992) и некоторых других авторов.

Однако в этих методах возникают трудности при исследовании многомерных нелинейных уравнений и уравнений параболического типа. Это связэно с тем, что в вышеуказанных работах применятся задачи рассеяния для операторов с Локальными потенциалами. Поэтому развитие этих методов для операторов с нелокальными потенциалами является актуальной

задачей.

Цель_работы. Разработка новых подходов в построении пар Лакса, использующих задачи рассеяния с нелокальными потенциалами.

05щя_метоаика_иссл8дования. В работе применяется традиционный метод конструирования пар Лакса, основанный на представлении нелинейного эволюционного уравнения в виде условия совместности линейных задач.

Н§хчная_новизна. в диссертации получены следующие новые результаты:

- получены полные списки уравнений, интегрируемых с помощью операторов Дирака и Штурма-Лиувилля с локальным потенциалом при степенной зависимости оператора эволюции от спектрального параметра;

- разработан новый подход построения одномерных пар Лакса, использующий нелокальные потенциалы;

построены представления Лакса для уравнения Карлемана;

- показана возможность обобщения пар Лакса с нелокальными потенциалами на многомерный случай.

Теоретотеское_и_щ)актэтеское_значеще_резу Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применены при решении задач Коши для нелинейных эволюционных уравнений и в различных их приложениях.

Апробация раОдты. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах член-корр. АН РК Т.Ш.Кальменова, профессора Д.У.Умбетжанова, профессора Я.Т.Султанаева,

член-корр. АН РК М.О.Отелбаевэ, на семинаре в НГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 3 работа, перечень которых приложен в конце автореферата.

Структура_и__объем_28бо™ ■ Диссертационная работа состоит из введения, где дается краткое содержание работы, двух глав, разбитых на пять параграфов и списка литературы, содержащего 37 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении после краткого обзора литературы сформулированы основные результаты работы.

Метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) включает в себя несколько задач. Прежде всего построение двух, линейных операторов Ъ, В, причем для оператора Ь поставлена спектральная задача, а оператор В определяет эволюции собственных функций по времени:

Ъ V = \ V (1)

= В к (2)

Условием, необходимым для совместности (1),(2) будет \ + 1Ь, В) = 0 (3)

Здесь 1Ь, В1 = Ъ В - В Ъ - коммутатор операторов Ъ, В. В случае, когда равенство (3) содержит нелинейное эволюционное уравнение, которое мы хотим решить с помощью МОЗР,

операторы Ъ , В называются- парой Лакса для (3).

\

Первая глава состоит из двух параграфов и посвященп изучению пар Лакса, связанных с обратными задачами для локальных потенциалов.

Рассмотрен оператор Штурма-Лиувилля

вг

ь = - ^г + ч(х,г), (4)

где д(х^) - действительная и непрерывная функция. Показана ограниченность метода построения пар Лакса с локальным потенциалом. В случав, когда поставлена задача рассеяния для оператора (4), из условия совместности по-только лишь уравнение Кортеввга - де Фриза

«Ц + Чиж + М^-О.

Во втором параграфе рассмотрены представления Лакса для канонического оператора Дирака. Рассмотрим оператор Дираке общего вида д

— + А(хЛ), а < х < Ъ, (б)

дх

где

О 1

J

А(хД) = {а1;} - матрица 2x2.

Для оператора (5) имеем систему ЗУ

J — + А(хД)у = Ху. (6)

дх

Введем разбиение на матрицы А(хД) = А^х.и + Аг(х,1;), где г р(хД) 1

АЛх.Ю = 1 I д(хД) -р(хД) J

тогда А2(х,I) имеет вид

уд(х,1;) -р(х, Д

Д) 1

У

' а(х,1;) р(хД) -р(хЛ) а(х.

Здесь р(хД), а(х,1;), р(хД) - непрерывные суммируе-

мыв функции.

При Аг(хД) = 0 оператор (5) будем называть каноническим оператором Дираке.

Лемма 1.2.1. Система Дирака (6) с произвольной матрицей А(х,Ь) сводится к каноническому виду.

Эти обстоятельства наводят на мысль, что представляет интерес и достаточно изучать пары Лакса для канонического оператора Дирака. Спектральной теории и решению обратных задач для канонического оператора Дирака посвящены ряд работ, например, работы В.М.Левитана, И.С.Саргсяна.

В диссертации получена классификация систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, получаемых при степенной зависимости от спектрального параметра эволюции собственных функций канонического оператора Дирака.

Теорема 1.2.1. При степенной зависимости оператора 8В0ЛЩИИ собственных функций В от спектрального параметра \ из условия совместности (3) могут быть получены следующие системы нелинейных эволюционные уравнений

1) в случае, когда

N

8 = I ВгЛП

п=0

только вида

N+1 N+1

)п-,с1г11 1~(-1)п агп-1

[Nil] N+1

_2 (.^n-ljjSn ГХ(-1)П d2n~1

V £ 1STT ^äJWtfnm £ -s., (q<p(2n-1 ) ) = 0.

nsD ««»л •• WA

n=0 n=0

<p( 0) = const, <p(1 ) = const,

2q>(m-2) + с (m-2 )

<р(ш) =

P2 + q2

N

2) при В = J BnX~n следующего вида

п=о

Н+1

dN дЫ-гк

+ 2рср(0)) = £ (~l)k+1 2гк (2рф(2к) +

d

+ s(q<f>(2k-1)) = О

Н+1

dN dN-2k

^<Pt - 2q<p(0)) = (-1)k+1 2гк (-2q<p(2k) +

d

+ д^(рф(2к-1 )) = О n-1

d Л (-l)k+1d2k d

Е(ф(п))= q ^ -^ÎT ;^гЕ(2РсР(гн2к-1> - d£«P(n-2(k+1))q)+ n-1

[~Vi)k+id2k d

+ P ^ -pg- ^g(2pcp(n-2k-1 ) - й(ф(п-2(к+1 ))p) <p(0) = const.

®Ф(1> - - 5 <Рг + Ч2)-

э

Заметим, что в частном случае при В = ^ ВпЛГп можно

п=0

получить уравнение типа з1п-Гордон и - и.. = sin и.

ЗЕТ ttl

Пусть теперь А1= 0. Рассмотрение пары Лакса Jyx + Агу = Лу,

yt - Ву С)

дает широкий класс нелинейных уравнений.

Теорема 1.2.2. Оператор рассеяния S для случая, когда А., = 0, р - чисто мнимое является оператором умножения на постоянную матрицу, если а, р суммируемы в R.

Из этой теоремы следует, что потенциал кг не мо~ гвт быть восстановлен по матрице рассеяния. Если проделать все вычисления при А, / О, то получим, что операторы рэссеяния при Аг = 0 и Аг / 0 отличаются на постоянную матрицу, а именно на полученную в теореме матрицу

3 = 5 [ \ I ] MP«J(a(y)-p(у))йу] + | Г j 1 х

00

X eipí-íj(a(y)+p(y))dy).

-00

Таким образом, добавление части Аг не может дать новых пар Лакса.

Поэтому необходимо изучать другие обобщения систем Дирака и Шредингера.

Во второй главе исследуются представления Лакса, спя-

занные с обратными задачами для операторов Шредангвра в Дирака с нелокальными потенциалами.

Рассмотрим два уравнения для вектор-функции

Г <Р,

а<чр(хД) ах*

+<о

= | о(1.у.г)ф(у.г)ау + \ ч>и,г), (8)

-н»

Аф(хД) г

—Щ— = ] В(1,у,г)ф(уД)сЗу + А(х,г)(р(х,1), (9)

где А(х,1;), В(х,у,1;) - матрицы размерности 2x2.

Предполагая, что (8) и (Э) есть пара Лакса, выведем нелинейные эволюционные уравнения из условия совместности этих уравнений

—т-+ - Ат<}(х.у,1;) = 0. (10)

Получается линейное уравнение относительно 0(х,у,г), что не представляет интереса при изучении нелинейных уравнений.

Теперь рассмотрим другое представление Лакса. А именно:

а£Ф(х,г) ах2

•а<р(х,г)

= I 0(х,у^)ф(у.г)с1у + а. ф(х.г), (11)

-Щ— = ] В(х,уЛ)ф(уЛ)с1у + А(1,1;)<р(х,1;), (12)

-оо

где А(х,г), В(х,у^)- матрицы размерности 2x2.

Предполагая, что (11) и (12) есть пара Лэд<са, выведем

- п -

нелинейные эволюционные уравнения из условия совместности этих уравнений.

Выделим спектральную задачу для В(х,уД)

агВ(х,уД) ах2

| 0(х,гД)В(а,уД)(1а + А, В(х.уД). (13)

Тогда условие совместности имеет вид ЗСНх.уД)

- + а(х,уд)А(у,г> - А(х,г>о(х,у,г> = о, х>у.

(14)

Пусть О(х.уД) = ЩхД^уД). (15)

Тогда из (14) получим

[ ~5Г~ + 3(уД)А(уД)] Б (уД) = - К 1(хД)х

г зи(уД) *[ -МуД)й(хД)].

Левая часть последнего равенства зависит от переменных у, 1; и правая часть от х, Поэтому обе части должны равняться некоторой матрице С(г). То есть ащу.г)

—т--А(хД)Й(хД) = - R(x,t)C(t),

(16)

аБ(уД)

—^- + 8(уД)А(уД) = С(1;)5<уД).

з

I

1=0 »=0

Пусть В(хД) = £ Г4(ХД)^, Б(уД) = £ в^уДЫ,.

C(t)= ^ 0,(1^.

{=0

Тогда из тождества (15) имеем

з з

ри.уДЫ, + q(x,y,t)Jз = ( £ г<(хД)-1{]( £ з{(уД).Т{)

1=0 1=0

я

- 12 -

г0(1Д)б0(уД) + г1(1Д)а1(уД) + гг(х,г)аг(у^) +

+ г3(х,1)в3(уЛ) = О, г0(хД)аг(уЛ) + гг(хД)в0(уЛ) - ^ (х.1)в3(у.г) +

+ г3(хД)а1 (у,г) = 0.

(17)

Систему (16) и (17) можно рассматривать как нелинейное эволюционное уравнение. Если положить

Г1= гз= ВГ V °Г V сэ= со= 05

" *Го= гг= и; (в0= з2= У;

а =

Шх- Ц3+ иуг+ УУ^+ У1Д2- V3 и2 + У2

уи - и3- иу2+ иу + уиг- У3

X X

г

1Г + У

то полУчим уравнение Карлемана и + и + и2 - уг = О,

- ух - иг + уг = О

Во втором параграфе второй главы рассматриваются пары Лакса, где задача рассеяния стоит для оператора Дирака с не-

локальным потенциалом.

х

вф(ХД) г

—дг— = \ 0(1.уЛ)<р(уД)с1у + иг<р(х.г), (18)

-00

бф(хЛ) г ' •

■ - = ] в(х,у.г)ф(у,г)с1у + А(хд)ф(х,г), (19)

где о(х.у.г) = р(1,у.г)^ +

Г 1 0 1 0 1"| г о 1 1 М О 1

•Ио 0|. VI., 0]"Чо-,]'

А(х,1;), В(х,у,1) - матрицу размерности 2x2, конкретный вид которых найден в работе.

Из условия совместности пары Лакса (18), (19) получены такие нелинейные эволюционные уравнения, как уравнение Карлемана, уравнение газовой динамики

Эй <5и 1 «Эр Ж + и Эх = " "р" Эх +

ар о

т + 5х(Рц) =

При атом для оператора эволщии собственных функций по времени выделена сопряженная спектральная задача.

Достоинством рассмотрения задач для операторов с нелокальным потенциалом является возможность распространения на многомерный случай. В данной работе исследованы представления Лакса с оператором Дирака с нелокальным потенциалом в двумерном и трехмерном случаях (глава 2, § 3).

Рассмотрим двумерный случай. Зададим спектральную задачу для вектор-функции

г ф (х ,х Л) Л <р(х4,х0,1) = следующим образом

1 2 I ф2(х1,хг,г) }

д д Нф(х,,хг,1;) = J1— ф(х1,хгД) + ф(х1,хг,1) =

+00

= 0<11.12,у1'уг,,:)(Р(у1,уг'1;) + ^Р^.^г'4^ (20)

—СО —СО

И пусть эволюция собственных функций задачи (20) меняется по следующему закону

+00

qyij.Xg.t) = Jay, jdy2 Bd^Xg.y^yg.t)!^^,^^) +

'г

—00 —00

+00

+

Jdyg Ad^Xg.yg.txpd^yg.t). (21)

Примем обозначения (х1 ,хгД) = (х,г) Предположим, что (20) и (21) есть пара Лакса. Найдем условие совместности (20) и. (21). Для оператора В(х,у,1;) выделим спектральную задачу +<»

нв(х,у,г) + ^^г = а. В(х.у.г). (22)

J,B

У, -»

Краевое условие на (22) выглядит так

а

(X.y.t) = -Н A(x,y2,t) + Jigy2A(x,y2,t)Jg +

+ U(x,y2,t) - AJ^Atx.yg.tiJ,

Тогда представление Лакса дает следующую конструкцию +00

Б^У.ИН | 5(у1,ег,г)Р(у1,й2д)<12г и(уг,г) + С(г)5(уд)» о. -00

+00

н^ждь ^Р(хд) | и(вгд)л1й(х1,йг,г)йаг + с(г)Н(хд)= о. —00

Получили систему нелинейных уравнений, структуру которых можно конкретизировать при решении нелинейных уравнений методом обратной задачи рассеяния.

Основные результаты опубликованы в работах:

1. Г.К.Жанатаева, А..Р.Джандигулов 0 применимости опоратора Дирака в методе обратной задачи рассеяния// Деп. в ВИНИТИ » 3589, Ка - 91, 1991.

2. Г.К.Жанатаева, А.Р.Джандигулов Оператор Дирака и его обобщения в методе обратной задачи // Деп. в КазНШНКИ, № 3904, Ка - 92, 1992.

3. Г.К.Жанатаева Пары Лакса, связанные с обратными задачами для нелокальных потенциалов // сборник трудов "Новые исследования в вычислительной и прикладной математике", г.Караганда, 1993.

ЦАЗМУНДАМА

Диссертациялык кчгыыста Дирак жэне Шредингер оператор-лары уш1н шашырату есептер!мен Оайлазысти Лаке косактары-зерттелген. Эволюция опараторыныц спектралдык параметрден тэуеддШг! дзрежел!к турде болганда потенциалы локальды бо-лып келген Дирак ханэ Штурм-Лиувилль операторларынын кемв-г!мен интегралданатын дифференциалдак тевдеулерд1н толык т1-з!м1 алынган. Потенциалдары локальды болмайтын опвраторлар га!н 01р елшонШ Лаке косактарын тургнзудан жана эд!с1 аасадды. Карлеман тецдеу! алгаш рет Лаке квск1ндемес1 тургызылды. Потенциалы локальда емес Лаке косактарын квп ел-шемд! гагдайда аалпылау мпи1нд1г1 керсет!лген.

Ут"Офсет"цех КарГУ з. 1598 т.70