Интегрируемые системы с расширенной суперсимметрией тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

2-2000-161

На правах рукописи УДК 530.145.6; 539.128.2

КРИВОНОС Сергей Олегович

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ С РАСШИРЕННОЙ СУПЕРСИММЕТРИЕЙ

Специальность: 01.04.02 —теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Дубна2000

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им. Н.Н.Боголюбова Объединённого института ядерных исследований.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор И.Л. Бухбиндер

Доктор физико-математических наук, профессор М.А. Васильев

Доктор физико-математических наук А.Л. Исаев

Ведущая организация: Институт теоретической и экспериментальной физики, г. Москва

Защита диссертации состоится "______" ООО г. на засе-

дании диссертационного совета Д047.01.01 при Лаборатории теоретической физики Объединённого института ядерных исследований, г. Дубна Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИЯИ. Автореферат разослан ' :___2000 г.

Учёный секретарь совета

доктор физико-математических наук

С.В. Голоскоков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вплоть до начала семидесятых годов число известных точно решаемых и интегрируемых, физически важных задач было невелико, поскольку подавляющая часть уравнений движения систем по своей природе существенно нелинейна, а математический аппарат для изучения таких систем, по сути дела, включал в себя только теорию возмущений. С открытием метода обратной задачи рассеяния, ситуация изменилась и был обнаружен целый ряд важных нелинейных интегрируемых уравнений и развит соответствующий математический аппарат для их решения. С момента открытия суперсимметрии, начались многочисленные попытки построения суперсимметричных интегрируемых систем, включающих как бозонные, так и фермионные поля. Основная проблема построения новых интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией состоит в том, что уже для N = 2 суперсимметрии бозонный сектор будет содержать систему уравнений на два бозонных поля и, априори совершенно не ясно, какие же дополнительные уравнения должны возникать в бозонном секторе. Более того, оказывается что, например, известные N — 2 суперсимметричные расширения уравнения Буссинеска содержат само бозонное уравнение Буссинеска только в очень специальном случае редукции, а N = 4 суперсимметричное уравнение Лиувилля содержит в бозонном секторе, наряду с уравнением Лиувилля, Весс-ЗуминоНовиков-Виттеновскую ст-модель на группе <51/(2) и может быть равноправно названо N = 4 ВЗНВ а-моделью. Необходимо также отметить, что для систем с N > 2 суперсимметрией возникает еще одна, весьма непростая для решения, проблема. Дело в том, что для таких суперсимметрий простейшие суперполя являются приводимыми и на них необходимо накладывать подходящие дополнительные условия, ограничивающие зависимость суперполей от грассмановых координат.

Интуитивно ясно, что интегрируемость суперсимметричной системы (т.е. наличие бесконечного числа законов сохранения) должна быть, так или иначе, связана с бесконечномерными (супер) симметр-иями. Установление и использование таких связей алгоритмизовало бы проблему построения интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией, сводя последнюю к анализу (супер)алгебр - задаче, на сегодняшний день гораздо больше изученной. Пока общая теория

не создана и область построения и изучения интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией переживает стадию поиска и анализа частных уравнений, представляется актуальным изучение их свойств, установлению связей с бесконечными симметриями и использованию последних для построения новых иерархий.

Цель диссертации состоит в анализе и построении интегрируемых систем с расширенной (/V > 1) суперсимметрией, выяснению их связи с бесконечномерными и нелинейными (супер)алгебрами и изучению последних.

Научная новизна и практическая ценность.

В диссертации получены новые результаты, касающиеся построения и изучения свойств интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией исходя из их внутренней связи с бесконечномерными и нелинейными супералгебрами.

Основное новое направление, открытое этой диссертацией, может быть определено следующим образом: построение и изучение интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией в рамках нелинейных реализаций бесконечномерных и нелинейных групп и супергрупп.

Оно базируется, во-первых, на методе ковариантной редукции, который позволяет алгоритмически строить новые интегрируемые системы исходя из их инвариантности относительно (бесконечномерных) симметрии. Сами уравнения движения получают при этом ясную геометрическую интепретацию, как уравнения движения по геодезическим в фактор - пространствах соответствующих (супер)групп. Во-вторых, на идее построения интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией, допускающих, в качестве второй Гамильтоно-вой структуры, бесконечномерные и нелинейные группы и супергруппы. Как правило, для большинства бозонных систем Гамильтоновы структуры известны, как известны (или могут быть достаточно алгоритмически построены) и их суперсимметричные обощения. Таким образом, задача построения супер - расширения бозонного уравнения с заданной Гамильтоновой структурой становится, по сути дела, задачей вычислительной, хотя, конечно, достаточно сложной.

Принципиально важно, что и метод ковариантной редукции, и идея суперсимметризации второй Гамильтоновой структуры позво-

ляют ответить на два главных вопроса, возникающих при построении суперсимметричных расширений известных бозонных интегрируемых систем: какие бозонные системы лежат в основе интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией и какие условия неприводимости должны быть наложены на суперполя? Последнее, зачастую, гораздо более важно, поскольку область использования неприводимых мультиплетов не ограничивается интегрируемыми системами. Найденные в диссертации условия неприводимости для N = 2 (твистованный киральный мультиплет) и для N = 4 суперсимметрии (вариант условий на гипермультиплет в 0=4), были в дальнейшем использованы для построения различных типов <т - моделей. Следует отметить, что построенное в диссертации N — А суперсимметричное уравнение Лиувилля, содержит в бозонном секторе также уравнение ВЗНВ а - модели на группе Эи(2) и явилось вообще первым примером её суперсимметризации, причем сразу с N = А суперсимметрией.

К сожалению, суперсимметризация вторых Гамильтоновых структур не позволяет ответить на вопрос интегрируемо ли построенное уравнение или нет. Зачастую, системы с N > 2 суперсимметрией содержат произвольные параметры и становятся интегрируемыми только при специальных, дискретных значениях этого параметра. В диссертации найден целый ряд суперполевых операторов Лакса (для N = 2 уравнения Буссинеска с а == —1/2; для N = 2 уравнения КдФ с а = 4, воспроизводящий все законы сохранения; для N = 2 нелинейного уравнения Шреяингера и его обобщений; для N = 4 уравнения КдФ; для новой N = 4 суперсимметричной интегрируемой иерархии, определенной на N = 2 аффинных супертоках, которая является N = 4 расширением сразу двух иерархий, N = 2 НУШ и N = 2 мКдФ; для аффинной иерархии, связанной с "квази" N = 4 иерархией КдФ; для объединенной N = 2 а = 4 КдФ и многомерной N = 2 иерархии НУШ) позволивший доказать интегрируемость соответствующих систем.

В диссертации также построены новые N = 2 су

Полякова - Бершадского с произвольным центральным зарядом, в компонентах и суперполях.

Разработанный в диссертации МаЬЬета^са™ пакет для вычисления Суперполевых Операторных Разложений (СОР) в мероморф-

суперполевая версия \¥3 и N = 2 суперрасширение

ных N = 2 суперконформных теориях поля, позволяет проводить большинство вычислений с использованием компьютера и был использован в целом ряде работ.

На защиту выдвигаются следующие результаты:

1. Разработан метод ковариантной редукции. Показана конструктивность данного метода для построения интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией.

2. Методы нелинейных реализаций распространены на бесконечномерные и нелинейные группы и супергруппы.

3. Впервые построены суперполевые уравнения N = 4 суперконформной механики и найдены уравнения её УУ-расширенной версии.

4. Исходя из нелинейных реализаций суперконформных симме-трий и с использованием развитого метода ковариантной редукции, построены новые точно решаемые системы с расширенной суперсимметрией: N = 2 и N — 4 суперсимметричные уравнения Лиувилля. Обнаружено, что вторая система является также N ~ 4 суперсимметризацией Весс-Зумино-Новиков-Виттеновской ст-модели. Изучена ВЗНВ а-модель с N = 3 суперсимметрией. Построены общие решения N — 2,4 уравнений Лиувилля.

5. В рамках метода нелинейных реализаций, обобщенного на случай нелинейных алгебр, установлена связь уравнений Буссине-ска и х-уравнения Буссинеска с геометрией групп Из и И^, соответственно.

6. Найдена суперполевая формулировка N — 2 суперсимметричной Из алгебры. Впервые построены её суперполевые реализации.

7. Впервые предложено N = 2 суперсимметричное уравнение Буссинеска. Доказано, что N — 2 уравнение Буссинеска интегрируемо только при трех значениях параметра а = —2, —1/2,5/2, появляющегося в Лагранжиане.

8. Построены суперполевые операторы Лакса для N = 2 уравнения Буссинеска с а = —1/2, как с обычным, так и с модифици-ровааным определением вычетов супер-псевдодифференциальных операторов и уравнений Лакса. Доказана би-Гамильтоно-вость N = 2 уравнения Буссинеска са = —2.

9. Впервые построено N = 3 суперсимметричное уравнение Кор-тевега - де Фриза. Выявлена его вторая Гамильтонова структура и изучены свойства интегрируемости.

10. Доказано, что N = 1 нелинейное уравнение Шредингера обладает скрытой N = 2 суперсиммегрией. Построена явно N = 2 суперполевая формулировка НУШ. Изучена связь N = 2 НУШ и N = 2 уравнения КдФ, найдены преобразования Бэклунда, связывающие эти уравнения. Найдены суперполевые операторы Лакса, как для N = 2 НУШ, так и для соответствующего уравнения КдФ, воспроизводящие все токи соответствующих иерархий. Выявлена глубокая связь N = 2 НУШ и фактор-пространств N = 2 0(2) супергруппы.

11. Выявлена скрытая N = 4 суперсимметрия N = 2 расширения аффинной алгебры 2) ®и(1). Показано, что эта супералгебра обеспечивает вторую Гамильтонову структуру для новой N = 4 суперсимметричной интегрируемой иерархии, определенной на N = 2 аффинных супертоках. Эта система является Аг = 4 расширением сразу двух иерархий, N = 2 НУШ и /V = 2 мКдФ. Найдена аффинная иерархия для другой интегрируемой системы с N = 4 СКА в качестве второй Гамильтоновой структуры - "квази" N = 4 иерархии КдФ, обладающей только N = 2 суперсимметрией. Для обеих новых иерархий построены скалярные операторы Лакса.

12. Проанализированы свойства интегрируемости N — 4 суперсимметрического уравнения КдФ и построен оператор Лакса в N = 2 суперполях.

13. С помощью объединения псевдо-дифференциальных операторов Лакса для а = 4, N = 2 КдФ и многомерной N = 2 иерархии НУШ, построены новые N = 2 суперсимметричные интегрируемые системы. Рассмотрено подобное расширение одной

из N = 2 супер иерархий Буссинеска и доказана его интегрируемость. Предложена новая система с JV = 4 суперсимметрией, допускающая несколько первых интегралов движения.

14. Построено N = 2 суперрасширение W^ алгебры Полякова -Бершадского с произвольным центральным зарядом, в компонентах и суперполях. Найдена полная квантовая версия этой нелинейной алгебры. Представлена гибридная, включающая токи и поля, реализация N = 2 cynep-W3 алгебры, как в классическом, так и в квантовом случаях. Предложено соответствующее расширение уравнения Буссинеска с N = 2 супер-^з алгеброй в качестве второй Гамильтоновой структуры.

15. Разработан Mathematica™ пакет для вычисления Суперполевых Операторных Разложений (СОР) в мероморфных N — 2 суперконформных теориях поля.

Апробация работы.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались на семинарах в Лаборатории теоретической физики им H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований (Дубна), в Институте физики высоких энергий (Протвино), в Физическом институте Академии Наук (Москва), в Математическом институте Академии Наук (Москва), в Империал Колледже (Лондон), в Гумбольдтском Университете (Берлин), в Боннском Университете, в Харьковском физико-техническом институте, в Харьковском Университете, в Днепропетровском Университете, в Институте теоретической физики (Вроцлав), в Институте теоретической физики (Краков), в Международном центре теоретической физики (Триест), в SISSA (Триест), в Университете г. Падуя, в Университете г. Парма, в Университете г. Марсель, в Университете II г. Рим, в Национальной Физической Лаборатории (Фраскати), в Университете г. Орсэй, в Университете г. Лодзь, в ENSLAPP (Лион), в ЦЕРН (Женева), а также на Международном совещании по теоретико-групповым методам в физике, Звенигород, 1982 г.; на VII Международном совещании по нелокальным теориям поля, Алушта, 1984 г.; на XXII Международной конференции по физике высоких энергий, Лейпциг, Германия, 1984 г.; на Международной конференции "Суперсимметрия

85", Харьков, 1985; на Международной конференции "Кварки-86", Тбилиси, 1986 г.; на Международной конференции "Квантовая гравитация", Москва, 1987 г.; на Международных семинарах "Суперсимметрии и квантовые симметрии", Дубна, 1993, 1994, 1995, 1996, 1997, 1998, 1999 гг.; на XXX зимней школе по теоретической физике, Карпач, Польша, 1994 г.; на Рабочем совещании "Геометрия и интегрируемые модели", Дубна, 1994 г.; на Международных семинарах по интегрируемым системам, Дубна, 1996, 1998 гг.; на Международном рабочем совещании по теориям струн, калибровочным теориям и квантовой гравитации, Триест, Италия, 1996 г.; на X Международной конференции "Проблемы квантовой теории поля", Алушта, 1996 г.; на Международной конференции "Суперсимметрия и квантовая теория поля", Харьков, 1997 г.; на Международном совещании по интегрируемым системам, Ереван, 1998 г.; на 11 Международной конференции по проблемам квантовой теории поля, Дубна, 1998 г.; на 32 Международном симпозиуме по теории элементарных частиц, Буков, Германия, 1998 г.; на Международном совещании "Квантовая теория поля и физика высоких энергий", Москва, 1999 г.; на XIV Симпозиуме "Новые симметрии и интегрируемые системы", Карпач, Польша, 1999 г.

Публикации. По материалам диссертации опубликовало 37 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 7 глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Она содержит 196 страниц машинописного текста. Список литературы включает 130 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор современного состояния и сформулированы основные проблемы построения интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией. Обоснована принципиальная необходимость поиска новых методов построения таких систем, базирующихся на связи свойства интегрируемости системы с наличием бесконечномерных симметрий. Сформулирована цель работы, обоснована актуальность проведенных в диссертации исследований и изложено ее краткое содержание.

Глава 1 посвящена формулировке основных принципов метода ко-

вариантной редукции, состоящего в наложении подходящих ковари-антных связей на 1-формы Картана. В разделе 1.1 развит метод кова-риантной редукции для конечномерных алгебр, который затем применяется для анализа бозонной (N=0) конформной механики. Основной результат этого раздела - установление того факта, что уравнения конформной механики

№ = [т2]=см-2,М = см°, (1)

совпадают с уравнениями геодезических в групповом пространстве 50(1,2) и, следовательно могут быть получены занулением подходящих форм Картана.

В разделе 1.2 метод ковариантной редукции обобщается на случай конечномерных супергрупп и затем применяется к построению и анализу N = 2,4 суперконформных механик. В частности, суперполевые уравнения N = 4 случая имеют следующий вид:

(С)2 еи = 4т/, (Й)2 е" = 4т/, (2)

[Ц 5] е" = 8тс, (3)

[£>(0,А)]и = 0. (4)

Важно, что среди этих уравнений содержатся условия неприводимости (2), оставляющие в суперполе и^,в,в) следующие компоненты

1

в=о п 2

1

)=0 2 1д=о

[Д(а' °Ь)] и1=0 = А{аЬ)М> К "1=0 =

Во второй Главе метод ковариантной редукции обобщается на случай бесконечномерных и нелинейных (супер)групп. В частности, в этой Главе рассмотрены нелинейные реализации (супер)конформной группы двумерия и ее простейших нелинейных обобщений - и И^ групп. В разделе 2.1, на примере обычной бозонной конформной группы показано, как применять метод ковариантной редукции к бесконечномерным группам. Продемонстрировано, что после наложения связей обратного эффекта Хиггса, весь бесконечный набор полей, параметризующих фактор-пространство конформной группы,

выражается через единственное существенное поле теории - дила-тон и(х), которое удовлетворяет либо уравнению Лиувилля, либо свободному уравнению. В разделе 2.2 развитый метод построения инвариантных уравнений применяется к N = 2,4 суперконформным группам. Там же построены N = 2 и N = 4 суперсимметричные расширения уравнения Лиувилля, изучены условия неприводимости

N = 4 кватернионного суперполя = £

= 0 ' = 0 - (5)

следующие из условий ковариантной редукции, и рассмотрен вопрос построения общего решения этих уравнений. Применению метода ковариантной редукции к нелинейным IV-алгебрам посвящены разделы 2.3-2.5. Методы нелинейных реализаций, которые мы собираемся применять к нелинейным симметриям IV - типа, были разработаны для симметрий, основанных на алгебрах Ли, то есть линейных алгебрах. Чтобы обобщить эти методы на IV^ алгебры, мы предлагаем трактовать все композитные генераторы с высшими спинами, присутствующие в обертывающей алгебре, построенной на генераторах И7дг, как независимые. Другими словами, мы заменяем нелинейную Шн алгебру некоторой линейной бесконечномерной алгеброй, включающей высшие спины. Подходящий выбор подгруппы стабильности, совместно с условиями ковариантной редукции позволяют и в этих случаях свести бесконечные наборы голдстоуновских полей к конечному числу существенных, подчиняющихся известным бозонным уравнениям и найти их суперсимметричные рассширения. В разделе 2.3 выведены в1з Тодовские реализации классических \¥з симметрий на двух скалярных полях геометрическим способом, из нелинейной реализации некоторой ассоциированной более высокой симметрии И^00. Далее, в разделе 2.4 мы строим реализацию алгебры (одной копии) в фактор-пространствах, отличных от рассмотренных в предыдущих разделах. Мы демонстрируем, что существует набор ковариантных условий редукции, который уменьшает число независимых полей - параметров фактор-пространства до двух полей конформных спинов 2 и 3, которые могут быть отождествлены с токами \¥3 алгебры, и одновременно приводит к уравнению Бусси-неска для этих полей. И пространственная (%), и эволюционная (£) координаты естественно появляются как параметры рассматриваемого фактор-пространства. Нелинейные реализации классической

алгебры Полякова-Бершадского Ид рассмотрены в разделе 2.5. Метод реализации в фактор пространстве и процедура ковариантной редукции позволяют нам вывести уравнение Буссинеска с переставленными координатами пространства-времени. Добавляя еще одну пространственную координату и вводя две копии И^2' алгебры, тот же самый метод приводит к уравнениям 3, В.) цепочки Тода.

В третьей Главе построена суперполевая реализация N — 2 супер-И'з алгебры и найдены её реализации на свободных суперполях (раздел 3.1). Все токи, генерирующие N = 2 супер-1¥3, в соответствии с их спинами, могут быть объединены в два N = 2 супертока и Т(^) со спинами 1 и 2 соотвественно. Полный набор операторных разложений (ОПР) для компонентных токов, теперь может быть записан как три ОПР между супертоками и Т(£■). В этом же разделе построены гамильтоновы потоки на N = 2 супер-И з алгебре и найдены обобщенные N — 2 иерархии Буссинеска, для которых эта алгебра является второй гамильтоновой структурой. Мы определяем N — 2 суперсимметричное уравнение Буссинеска как N = 2 суперполевое уравнение, имеющее в качестве второй гамильтоновой структуры N = 2 супер-1Г3 алгебру. Другими словами, мы рассматриваем следующие эволюционные уравнения

Т — [Т, Н] , ¿ = [3,Н\ , (6)

где гамильтониан Н определен как

Подчеркнем, что гамильтониан (7) является наиболее общим, N = 2 суперсимметричным, построенным из супертоков J шТ гамильтонианом подходящей размерности. Отметим появление свободного параметра а в (7). Явный вид N — 2 суперсимметричного уравнения Буссинеска следующий:

Т = -2/" + [Р, V] Т' + —д (ШХ>7) - — / р, 3

+ - 2.) РЛ5Т+ + 4а) 7'Т + + 2а) Л* j = 2Т' + а(^ [Р,Х>] 7'+4^') . (8)

В разделе 3.2 показано, что высшие законы сохранения существуют только для трех значений свободного параметра а = —2, —1/2,5/2 в N = 2 суперсимметричном уравнении Буссинеска и построены два оператора Лакса для случая а = —1/2:

/Я = а3 + 3,/д2 - ЗСЛЭ0 + -T + ^дJ- Я]./) д

+ (рГ - 47Ш - 25Р7) V , (9)

= д3 + ^д2 + Р]д - + (РГ - 4 ./Р/ - 2Эш) 2?

_ + (Ю)

Таким образом, интегрируемые N = 2 супер иерархии Буссинеска могут существовать только при трех специальных значениях свободного параметра а. Интегрируемость в случае а — —1/2 следует из пары Лакса, в то время как в случае а = — 2 это следствие наличия двух гамильтоновых структур.

В Главе 4 построено одно-параметрическое семейство N = 3 суперсимметрических расширений уравнения КдФ, как Гамильтоновых потоков на N — 3 суперконформной алгебре и показано, что оно не-интегрируемо для любого выбора свободного параметра (раздел 4.1). Затем, в разделе 4.2, предложено модифицированное N — 3 супер уравнение КдФ:

Ъ = -зххх + з (л>3+ р . (11)

которое обладает высшими законами сохранения и таким образом является кандидатом на интегрируемую систему. После редукции к N — 2, это уравнение сводится к интегрируемой версии N = 2 суперсимметричного уравнения КдФ. В этом же разделе приведена Гамильтонова формулировка нового N = 3 супер уравнения КдФ, как потока на некоторой контракции прямой суммы двух N = 3 суперконформных алгебр.

В пятой Главе изучаются суперсимметричные рассширения нелинейного уравнения Шредингера (НУШ), N = 4 уравнение КдФ и строятся новые интегрируемые системы сЛГ = 2иАГ = 4 суперсимметрией. В разделе 5.1 показано, что известное N = 1 НУШ обладает

N — 2 суперсимметрией. Оно может быть записано в виде

^ = 7' + 47'7 (12)

и таким образом это фактически N — 2 НУШ. Вторая суперсимметрия скрыта в терминах, обычно используемых N = 1 суперполей, но становится явной после перехода к N = 2 суперполям. В терминах новых переменных, вторая Гамильтонова структура суперсимметрического НУШ совпадает с N = 2 суперконформной алгеброй, а само N = 2 НУШ принадлежит N = 2, а = 4 иерархии КдФ. Здесь же построен КП-подобный, псевдо-дифференциальный оператор Лакса в терминах N = 2 суперполей:

Ь = д - 23 - 2№~1 (£>7) . (13)

Здесь д означает стандартную бозонную г-производную. Скобки в вышеупомянутом выражении означают действие £) на 7, (то есть Б не действует свободно направо) . Этот оператор Лакса воспроизводит все законы сохранения 1п для соответствующей иерархии, которые в нашем случае генерируются константными членами Ьп, то есть

1п = НУ^Х(Ьп) о, (14)

где индекс "О" обозначает константную часть оператора.

В разделе 5.2 обсуждается связь между супер-НУШ и N = 2 суперсимметричным уравнением КдФ с параметром а — 4. Показано, что существует преобразование Бэклунда, которое отображает супер-НУШ во второй поток иерархии, связанной с N = 2, а = 4 уравнением КдФ.

В разделе 5.3 доказывается, что N = 2 расширение аффинной алгебры 2) ® и(1) обладает скрытой глобальный N = 4 суперсимметрией и обеспечивает вторую Гамильтонову структуру для новой N — 4 суперсимметричной интегрируемой иерархии, определенной на N = 2 аффинных супертоках. Соответствующие первые и вторые потоки имеют вид

<ЭФ

ЙГ = Ф (15)

Для всех Ф = {Я, Н, ^ и

Я7Г _ _ ___ _ _

— = + + + + -

+ 2 ЯD77DF + 2 Я ЯГ + 2ЯЯ> - 2РЯЯЯГ + АНШРТ ,

я гг ___ _____ _

—- = Я" + 2ДЯЯ' 4- 2НБ7? 4- 2Н'БН 4- 2DЯF.DF - 2ЯDF^?F 5*2

+ 4 2Н'РЁ - 2Я£>Я7^Р - 2ЯЯР£>Р . (16)

Эта система является /V = 4 расширением сразу двух иерархий, N = 2 НУШ и N = 2 мКдФ.

В этом же разделе найдена аффинная иерархия для другой интегрируемой системы, с N = 4 СКА в качестве второй Гамильтоновой структуры - "квази" N = 4 иерархии КдФ. Она имеет только N = 2 суперсимметрию. Для обеих новых иерархий построены скалярные операторы Лакса.

В разделе 5.4 представлены результаты анализа свойств интегрируемости N = 4 суперсимметрического уравнения КдФ. Для того чтобы прояснить структуру этого уравнения и соответствующей Гамильтоновой структуры, оно сформулировано в обычном N = 4 и далее в N = 2 суперпространствах. В N — 2 суперпространстве это уравнение сводится к связанной системе уравнений движения для общего N = 2 суперполя и двух киральных и антикиральных суперполей, и включает два независимых вещественных параметра, а и к

У, = -Уж + Зг ([д б] УУ)х-1-( 1 - а) ([д 5} У2)г - За УХУ2 +1 (а - 4) (Ф,Ф - ФХФ)Я + \ (а - 1) - | а (УФФ)х

Ф ^ И*'+ *)],

+\ъ\в,п) [у(Ф2-Ф2)] Ф* = -Фи. - ^ Ь ФхФ2 - Ь [6г {БУ Ф)а - г (а + 2) £> (УФ)Х]

4£Ш

Зг а ( У2Ф + ^ ф2ф) + г Ъ (Уф)^ + г Ь (^У2Ф + \ Ф2Ф

4

Фе = -Фххх - ^ Ь ФХФ2 + Б [бг (БУ Ф)Х - г (а 4- 2) В (УФ)

Зг а (у2Ф + Ф2Ф^ - { Ъ (УФ)г + х Ь (у2Ф + ^ ф2ф)

Здесь же построены первые шесть законов сохранения и показано, что они существуют только для следующих выборов параметров: (1) а = 4, Ъ = 0; (и) а = -2, Ь = -6; (ш) а = -2, Ь = 6.

Наконец, в разделе 5.5 построены новые N = 2 суперсимметричные интегрируемые системы, путем объединения псевдо-дифферен-циальных операторов Лакса для а = 4, N = 2 КдФ и многомерной N = 2 иерархии НУШ:

Ь1=д- 23 - 2т~х[рЗ) - + ^т-^И^Р*)).

г I

(17)

Как важный частный случай, для одной пары взаимно сопряженных фермионных суперполей Г, Ё = ^ и вещественного./, этот оператор (17) является оператором Лакса для N = А супер уравнения КдФ.

В Главе 6 построены N = 2 суперрасширения алгебры Полякова - Бершадского с произвольным центральным зарядом, как в компонентах (раздел 6.1), так и в суперполях (раздел 6.2). Эта супералгебра содержит, как не пересекающиеся подалгебры, N = 2 суперконформную алгебру и , и может рассматриваться как нелинейное замыкание этих двух алгебр. Все токи этой алгебры могут быть объединены в пять N = 2 ограниченных суперполей: три бо-зонных со спином 1/2, 1 и 2, и два фермионных со спинами 1/2 и 2. Представлена гибридная, включающая токи и поля, реализация N = 2 супер-И^ алгебры. Также рассмотрена суперполевая редукция N — 2 супер-И7^ алгебры к N = 2 супер-Жз и построено семейство N = 2 уравнений, для которых N = 2 супер-И7^2' обеспечивает вторую Гамильтонову структуру.

В седьмой Главе описан МаШетайса™ пакет для вычисления Суперполевых Операторных Разложений (СОР) в мероморфных N = 2 суперконформных теориях поля. Приведены два примера использования пакета: построение "маленькой" N = 4 суперконформной алгебры в N = 2 суперполях и нахождение реализации N = 2 суперконформной алгебры в терминах киральных и антикиральных фермионных суперполей.

В Приложениях приведены некоторые полезные тождества и доказана Лемма, использующаяся в Главе 5.

В Заключении суммированы основные результаты диссертации и сформулированы открытые в ней новые направления.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Е. Ivanov, S. Krivonos, "U(l) supersymmetric extension of the Liouville equation", Lett. Math. Phys., 7 (1983) 523.

2. E. Ivanov, S. Krivonos, "N=4 super Liouville equation", J. Phys., A17 (1984) L671.

3. E. Иванов, С. Кривонос, "Нелинейная реализация конформной группы двумерия и уравнение Лиувилля", ТМФ, 58 (1984) 200.

4. Е. Ivanov, S. Krivonos, "Integrable systems as nonlinear realizations of infinite dimensional symmetries. The Liouville equation example", Lett. Math. Phys., 8 (1984) 39.

5. E. Иванов, С. Кривонос, Суперполевые расширения уравнения Лиувилля, в Трудах VII Международного совещания по проблемам квантовой теории поля, Алушта, 1984, Д2-84-366, Дубна, 1984.

6. Е. Иванов, С. Кривонос, "N=4 суперрасширение уравнения Лиувилля с кватернионной структурой", ТМФ, 63 (1985) 230.

7. Е. Ivanov, S. Krivonos, "Backlund transformations for the super Liouville equations", Theor. Math. Phys., 66 (1986) 60.

8. E. Ivanov, S. Krivonos, V. Leviant, "A new class of superconformal sigma models with the Wess-Zumino action", Nucl. Phys., B304 (1988) 601.

9. E. Ivanov, S. Krivonos, V. Leviant, "Quantum N=3, N=4 superconformal WZW sigma models", Phys. Lett., B215 (1988) 689, Erratum-ibid B221 (1989) 432.

10. E. Ivanov, S. Krivonos, V. Leviant, "Geometry of conformal mechanics", J.Phys., A22 (1989) 345.

11. E. Ivanov, S. Krivonos, V. Leviant, "Geometric superfield approach to superconformal mechanics", J.Phys., A22 (1989) 4201.

12. E. Ivanov, S. Krivonos, V. Leviant, "N=3 and N=4 superconformal WZNW sigma models in superspace. 1. General formalism and N=3 case", Int. J. Mod. Phys., A6 (1991) 2147.

13. E. Ivanov, S. Krivonos, A. Pichugin, "Nonlinear realizations of symmetry", Phys. Lett., B284 (1992) 260.

14. E. Ivanov, S. Krivonos, "Superiield realizations of N=2 super-WV', Phys. Lett., B291 (1992) 63, Erratum-ibid.B301 (1993) 454.

15. E. Ivanov, S. Krivonos, V. Leviant, "N=3 and N=4 superconformal WZNW sigma models in superspace. 1. The N=4 case", Int. J. Mod. Phys., A7 (1992) 287.

16. E. Ivanov, S. Krivonos, R.P. Malik, "Boussinesq type equations from nonlinear realizations of W3", Int. J. Mod. Phys., A8 (1993) 3199.

17. S. Bellucci, E. Ivanov, S. Krivonos, "Towards an integrable N=3 super-KdV equation", Phys. Lett. A173 (1993) 143.

18. S. Bellucci, E. Ivanov, S. Krivonos, "On N=3 super Korteveg - de Vries equation", J. Math. Phys., 34 (1993) 3087.

19. S. Bellucci, E. Ivanov, S. Krivonos, A. Pichugin, "N=2 super-Boussinesq hierarchy: Lax pairs and conservation laws", Phys. Lett. B 312 (1993) 463.

20. S. Bellucci, V. Gribanov, S. Krivonos, A. Pashnev, "Nonlinear realizations of the W¡2) algebra", Phys. Lett., A191 (1994) 216.

21. S. Krivonos, A. Sorin, "The N=2 super-JV3(2) algebra", Preprint LNF-94/014 (P), Frascati, 1994.

22. S. Krivonos, A. Sorin, "The minimal N=2 superextension of the NLS equation", Phys. Lett., B 357 (1995) 94.

23. S. Krivonos, A. Sorin, F. Toppan, "On the super-NLS equation and its relation with the N=2 super-KdV equation within the coset approach", Phys. Lett., A 206 (1995) 146.

24. E. Ivanov, S. Krivonos, R.P. Malik, "N=2 super-W3 algebra and N=2 super Boussinesq equations", Int. J. Mod. Phys., A10 (1995) 253.

25. C. Ahn, S. Krivonos, A. Sorin, "The full structure of quantum N=2 super-iyf' algebra", Mod. Phys. Lett., A10 (1995) 1299.

26. E. Ivanov, S. Krivonos, A. Sorin, "N=2 super-wj2' algebra in su-perfields", Mod. Phys. Lett., A10 (1995) 2439.

27. F. Delduc, E. Ivanov, S. Krivonos, "N=4 super-KdV hierarchy in N=4 and N=2 superspaces", J. Math. Phys., 37 (1996) 1356.

28. C. Ahn, E. Ivanov, S. Krivonos, A. Sorin, "Quantum N=2 super-W3(2) algebra in superspace", Mod. Phys. Lett., All (1996) 1705.

29. S. Krivonos, K. Thielemans, "A Mathematica package for computing N=2 superfield operator product expansions", Class. Quant. Grav., 13 (1996) 2899.

30. L. Bonora, S. Krivonos, "Hamiltonian structure and coset construction of the supersymmetric extensions of N = 2 KdV hierarchy", Mod. Phys. Lett, A12 (1997) 3037.

31. E. Ivanov, S. Krivonos, F. Toppan, "N=4 super NLS-mKdV hierarchies", Phys. Lett, B405 (1997) 85.

32. E. Ivanov, S. Krivonos, "New integrable extensions of N=2 KdV and Boussinesq hierarchies", Phys. Lett, A231 (1997) 75.

33. S. Krivonos, A. Pashnev, Z. Popowicz, "Lax pairs for N=2,3 supersymmetric KdV equations and their extensions", Mod. Phys. Lett, 13A (1998) 1435.

34. L. Bonora, S. Krivonos, "The Hamiltonian Structure of the 'Bosonic' and 'Fermionic' Extensions of N=2 KdV Hierarchy", b "Supersym-metry and Quantum Field theory", Springer 1998, p. 173.

35. S. Krivonos, Z. Popowicz, "N=2 SUSY Two-Boson KP Hierarchy, (Derivative) NLS Equation and Miura Transformations", In Proceedings of the International Seminar Dedicated to the Memory of

V.l. Ogievetsky, Russia, 22-26 July 1997, Lecture Notes in Physics, 524, p.252, Springer, 1999.

36. S. Bellucci, E. Ivanov, S. Krivonos, "Partial Breaking N=4 to N=2: Hypermultiplet as a Goldstone Superfield", Talk given at 11th International Conference on Problems of Quantum Field Theory, Dubna, Russia, 13-17 July 1998 and 32nd International Symposium Ahrenshoop on the Theory of Elementary Particles, Buckow, Germany, 1-5 Sept. 1998, Fortsch. Phys. 48 (2000) 19.

37. E. Ivanov, S. Krivonos, "N=1 D = 4 supermembrane in the coset approach", Phys. Lett., B453 (1999) 237.

Рукопись поступила в издательский отдел 11 июля 2000 года.

Введение

1 Метод ковариантной редукции. Конечномерный случай.

1.1 Метод ковариантной редукции в нелинейных реализациях. N=0 конформная механика.

1.2 N=2,4 суперконформные механики.

1.2.1 N=2 суперконформная механика.

1.2.2 N=4 суперконформная механика.

2 Метод ковариантной редукции для бесконечномерных и нелинейных алгебр.

2.1 Метод ковариантной редукции в бесконечномерном случае. N=0 уравнение Лиувилля.

2.2 N=2 и N=4 уравнения Лиувилля.

2.3 И^з-алгебра и цепочка Тода.

2.3.1 От W3 к

2.3.2 Нелинейные реализации W300.

2.3.3 sl3 цепочка Тода из

2.4 Уравнение Буссинеска и нелинейная реализация И^-алгебры.

2.4.1 Нелинейные реализации W™.

2.4.2 Уравнение Буссинеска и преобразования Миуры

2.4.3 W3 симметрии уравнения Буссинеска.

2.5 х-уравнение Буссинеска и нелинейная реализация '-алгебры.

2.5.1 Нелинейные реализации W^ и ^-уравнение Буссинеска.

2.5.2 SL(3, R) цепочка Тода.

3 N=2 супер-W3 алгебра.

3.1 Суперполевая реализация N=2 супер-W3 алгебры.

3.1.1 N = 2 супер-W3 алгебра в терминах N = 2 суперполей.

3.1.2 Реализации супер-W3 в терминах свободных суперполей.

3.1.3 N=2 суперсимметричное уравнение Буссинеска.

3.2 Интегрируемость N=2 суперсимметричного уравнения Буссинеска

3.2.1 Законы сохранения

3.2.2 Пара Лакса.

3.2.3 Первая гамильтонова структура.

N=3 суперсимметричное уравнение КдФ.

4.1 N=3 суперсимметричное уравнение КдФ из N=3 суперконформной алгебры

4.1.1 (Супер)уравнение КдФ и (супер)алгебра Вирасоро.

4.1.2 N = 3 супер КдФ и N — 3 суперконформная алгебра.

4.2 Законы сохранения и гамильтоновы структуры для N=3 суперсимметричного уравнения КдФ.

4.2.1 N=3 суперсимметричное уравнение КдФ и законы сохранения.

4.2.2 Гамильтонова структура нового N=3 суперсимметричного уравнения КдФ.

N=2,4 суперсимметричные расширения Нелинейного Уравнения Шредингера и N=4 уравнение КдФ.

5.1 N=2 суперсимметричное НУШ

5.1.1 Минимальное N=2 супер НУШ

5.2 N=2 НУШ и его связь с N=2 уравнением КдФ.

5.2.1 N = 2 U(2) супералгебра.

5.2.2 Иерархия супер-НУШ как N = 2 фактор-пространство.

5.2.3 Преобразование Бэклунда между супер-НУШ и супер-КдФ.

5.2.4 Пары Лакса.

5.3 N=4 суперсимметричное расширение НУШ.

5.3.1 Скрытая N = 4 суперсимметрия N = 2 sl(2) фи(1) алгебры

5.3.2 N = 4 инвариантные Гамильтонианы и потоки.

5.3.3 Обобщенная конструкция Сугавары и связь с N = 4 КдФ.

5.3.4 Оператор Лакса.

5.3.5 N = 2 редукции и бозонные подсистемы.

5.3.6 Еще одна N = 2 иерархия с sl(2) © и(1) структурой.

5.4 N=4 уравнение КдФ и его интегрируемость.

5.4.1 N=4 КдФ в 1D гармоническом суперпространстве.

5.4.2 N=4 КдФ в N=2 суперпространстве.

Диссертация посвящена анализу и построению интегрируемых систем с расширенной (N > 1) суперсимметрией, выяснению их связи с бесконечномерными и нелинейными (супер)алгебрами и изучению последних. Введение начинается с краткого обзора состояния проблемы на момент написания диссертации. Затем изложены мотивировки проведенного в диссертации исследования и очерчен круг лежащих в его основе идей. В конце дано описание расположения материала по главам.

Вплоть до начала семидесятых годов число известных точно решаемых и интегрируемых, физически важных задач было невелико. Это связано с тем, что подавляющая часть уравнений движения систем по своей природе существенно нелинейна, а математический аппарат для изучения таких систем, по сути дела, включал в себя только теорию возмущений. Ситуация изменилась, когда в 1967 году Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой было показано [1], что для уравнения Кортевега - де Фриза существует аналитический метод решения задачи Коши. Дальнейшее развитие этого метода, названного методом обратной задачи рассеяния, началось с работы Лакса [2], в которой был выявлен алгебраический механизм, лежащий в основе процедуры, а затем в работах Гарднера [3], Фаддеева и Захарова [4] была построена теория уравнения Кортевега - де Фриза, как гамильтоновой системы. В дальнейшем был обнаружен целый ряд важных нелинейных интегрируемых уравнений и развит соответствующий математический аппарат для их решения (см., например [5]). Существенный прогресс в понимании теоретико-групповых аспектов интегрируемости был достигнут в работах Лезнова и Савельева [6], показавших, что вложения погруппы SU(2) в произвольную группу G тесно связаны с интегрируемыми нелинейными системами - обобщенными цепочками Тода.

С момента открытия суперсимметрии в пионерских работах Гольфанда и Лихт-мана [7], Волкова и Акулова [8], Весса и Зумино [9] начались многочисленные попытки построения суперсимметричных интегрируемых систем, включающих как бозонные, так и фермионные поля. Подавляющее количество известных интегрируемых систем -двухмерные, т.е. все поля зависят, помимо времени t, только от одной дополнительной координаты х. Поэтому, при рассмотрении суперсимметричных рассширений таких систем приходится иметь дело с двухмерной алгеброй суперсимметрии: где Q± - генераторы суперсдвигов, Р± - обычные генераторы двухмерных трансляций, индексы (±) обозначают световые координаты в D = 2, а индекс г = 1 ,.,N нумерует число суперсимметрий (спинорные генераторы преобразуются по некоторому, обычно фундаментальному, представлению группы автоморфизмов, а сама такая суперсимметрия называется iV-расширенной). Более того, при рассмотрении ряда уравнений (уравнения КдФ, Буссинеска и т.п.), суперсимметризации подвергается только пространственная координата, т.е. реально приходится иметь дело с одномерной суперсимметрией

Естественным языком для описания суперсимметричных теорий является язык суперпространства [10], которое получается добавлением к обычным четным бозевским координатам нечетных антикоммутируюгцих грассмановых координат. Функции на таком суперпространстве называются суперполями. При построении суперсимметричных интегрируемых систем с N > 2, основными оъектами являются iV-расширенные суперполя, т.е. функции, зависящие, кроме бозевских координат, от N грассмановых. Таким образом, уже для N = 2 суперсимметрии скалярное бозонное суперполе 4>(x,t, 61,62) содержит две бозонные компоненты в разложении по грассмановым координатам 0lj2 - ^-независящую, и компоненту при 6\ • б-i- Следовательно, бозонный сектор N = 2 суперсимметричного уравнения будет содержать систему уравнений на два бозонных поля. Поэтому, если мы хотим построить N = 2 суперсимметричное расширение некоторого уравнения, мы с самого начала должны добавить к нему еще одно уравнение, поскольку только система двух бозонных уравнений может допускать N = 2 суперсимметризацию. Основная проблема поиска новых интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией состоит в том, что априори совершенно не ясно, какие же дополнительные уравнения должны возникать в бозонном секторе. Более того, оказывается что, например, известные N = 2 суперсимметричные расширения уравнения Буссинеска [65] содержат само бозонное уравнение Буссинеска только в очень специальном случае редукции, а N = 4 суперсимметричное уравнение Лиувилля [34, 35] содержит в бозонном секторе, наряду с уравнением Лиувилля, Весс-Зумино-Новиков-Виттеновскую а-модель на группе SU(2) и может быть равноправно названо N = 4 ВЗНВ а-моделью. Необходимо также отметить, что для систем с N >2 суперсимметрией возникает еще

В.1)

В.2) одна, весьма непростая для решения, проблема. Дело в том, что для таких суперсим-метрий простейшие суперполя являются приводимыми и на них необходимо накладывать подходящие дополнительные условия, ограничивающие зависимость суперполей от грассмановых координат.

Все вышеизложенное с неизбежностью приводит к выводу о небходимости поиска неких новых методов построения интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией, базирующихся на принципиально новых идеях, которые позволили бы найти ответы хотя бы на часть, сформулированных выше, проблем. На сегодняшний день известно три основных метода, к краткому обсуждению которых мы сейчас перейдем.

Идею исторически первого подхода [41, 42] проще всего понять на примере простейшей, точно решаемой системы - конформной механики [21]. Как было показано в нашей работе [24] (см. Главу 1), уравнения конформной механики совпадают с уравнениями геодезических в фактор-пространстве одномерной конформной группы 50(1,2). Геометрические свойства фактор-пространства произвольной (супер)группы G по её подгруппе Н описываются дифференциальными формами Картана [22] где (/-элемент фактор-пространства, а формы в правой части разделены на принадлежащие фактор-пространству и подгруппе стабильности. На языке форм Картана выделение геодезических гипер-поверхностей означает зануление подходящего набора форм Картана на фактор-пространстве

Так как формы Картана на фактор-пространстве преобразуются однородно относительно всей группы G [22], то их зануление по построению инвариантная процедура. В случае конформной механики необходимо занулить все формы на фактор-пространстве группы 50(1,2), кроме форм на подалгебре с одним генератором Rq = Li m2Li. Результирующая система уравнений, с точностью до переопределений, совпадает с уравнениями конформной механики (Глава 1). Поскольку все построение чисто геометрическое, обобщение на случай суперсимметрии практически очевидно: необходимо вместо группы 50(1,2) рассмотреть подходящие супергруппы, включающие 50(1, 2) в качестве подгруппы (чтобы иметь соответствующий бозонный предел), а вместо подалгебры с одним генератором Rq также рассмотреть некоторую супералгебру. Именно таким образом в работе [25], были построены уравнения iV-расширенной конформной механики.

Следует подчеркнуть три принципиально важных момента. д ldg = Q,g/h + toH

В.З)

G/H = 0.

В.4)

Во-первых, как правило, число параметров параметризующих фактор-пространство G/H достаточно велико. Часть уравнений (В.4) является чисто кинематическими и сводит число полей к нескольким существенным. Это явление было впервые обнаружено в работе Е. Иванова и В. Огиевецкого [11] и названо там обратным эффектом Хиггса.

Во-вторых, совершенно неожиданно оказалось, что среди уравнений (В.4), при рассмотрении фактор-пространств супергрупп, содержатся и условия неприводимости суперполей! Таким образом, мы одновременно получаем и уравнения движения и необходимые связи на суперполя.

И наконец, заметим, что в таком подходе построение общего решения полученных систем является чисто алгебраической процедурой (см. Главу 1).

Все это послужило основанием назвать данный подход методом ковариантной редукции [41, 42], основная идея которого состоит в занулении подходящего набора форм Картана на фактор-пространстве, что геометрически означает выделение геодезических гипер-поверхностей. В результате ковариантной редукции мы получаем явно ковариат-ные уравнения на голдстоуновские поля, параметризующие фактор-пространство, которые с одной стороны позволяют существенно уменьшить число независимых полей (обратный эффект Хиггса [11]), а с другой приводят к динамическим уравнениям на существенные голдстоуновские поля.

Однако, наиболее интересные результаты метод ковариантной редукции дает в случае бесконечномерных (супер)алгебр и, соответственно, бесконечномерных фактор-пространств. Конечно, в этом случае приходится иметь дело с бесконечным набором голдстоуновских (супер)полей, параметризующих фактор-пространство G/H. Как было показано в [41, 42] на примере бесконечномерной конформной группы двумерия, те же связи (В.4), что и в конечномерном случае (которых теперь бесконечно много) позволяют выразить весь бесконечный набор голдстоуновских (супер)полей через конечное число существенных, удовлетворяющих, в силу (В.4), уравнениям движения. В случае конформной группы двумерия, на единственное существенное поле, дилатон, возникает уравнение Лиувилля, а в случае N = 1,2,3,4 суперконформных групп - N-суперсимметричные уравнения Лиувилля [29, 30, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40]. Более того, такое описание позволяет чисто алгебраически находить общие решения соответствующих уравнений, строить преобразования Бэклунда между решениями одного и того же уравнения и, например, между решениями уравнения Лиувилля и свободного уравнения, и многое другое.

В дальнейшем, метод ковариантной редукции был обобщен на случай нелинейных алгебр [50, 51, 52] (Глава 2), для которых не только фактор-пространство, но и подалгебра стабильности бесконечномерные. Таким образом можно построить SL(N) цепочки Тода и уравнение Буссинеска (для Wn алгебр), х-уравнение Буссинеска (для I4,'i2'1 алгебры), их суперсимметричные расширения и т.д. Итак, метод ковариантной редукции позволяет свести проблему построения новых интегрируемых (а зачастую и точно решаемых) уравнений, к, по сути дела, классификационной задаче изучения всевозможных фактор-пространств подходящих (супер)групп.

Последние результаты в этом направлении связяны с применениями метода ковариантной редукции к описанию протяженных объектов - струн и р-бран [129, 130].

Второй подход к построению интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией, основан на удивительной связи между уравнением КдФ и алгеброй Вирасоро, установленной Жерве и Неве [76]. А именно, если определить следующие скобки Пуассона для бозонного поля и(х) и(х),и(у)} = -8"'(х -у)+ 4и(х)5'(х - у) + 2и'{х)6(х - у) которые для Фурье компонент Ln п=+оо и[х)

6/с Е cLn - 1/4

В.5)

В.6) приводят к алгебре Вирасоро г [Ln, Lm} = (п - m)Ln+m + —п{п2 - l)<Sn+m,o , то уравнение КдФ ut = -и1" + 6 ии' (' = дх может быть записано в виде [75] щ = {и, Н} , со скобками (В.5) и Гамильтонианом

Н=1 2 dxu

В.7)

В.8) (В.9) в.ю) везде неявно подразумевается зависимость от времени). Это свойство называется второй Гамильтоновой структурой уравнения КдФ. Таким способом можно построить бесконечную иерархию нелинейных уравнений, заменяя Гамильтониан Н любым нетривиальным полиномиальным сохраняющимся током уравнения КдФ. Отметим, что уравнение КдФ может быть представлено в виде (В.9) со скобкой и(х),и(у)} = 6'

В.11) и Гамильтонианом

HW = ^jdx[(uf + 2u3].

В.12)

Эта Гамильтонова структура была найдена в [3] и теперь называется первой Гамильто-вой для уравнения КдФ. Таким образом, иерархия уравнений КдФ (т.е. все уравнения, которые могут быть построены из сохраняющихся токов уравнения КдФ, рассматриваемых в качестве Гамильтонинов) тесно связана с алгеброй Вирасоро, которая является для неё второй Гамильтоновой структурой.

После установления этого факта, появилось много работ, в которых были рассмотрены различные суперсимметризации и обобщения этого подхода на (супер) алгебры И^-типа. Соответствующие иерархии эволюционных уравнений, допускающие такие (супер) алгебры в качестве вторых Гамильтоновых структур были построены и проанализированы. В частности, были построены N = 1 [77, 78, 79], N = 2 [72], N = 3 [113, 83] и N = 4 [85] суперсимметричные уравнения КдФ. После того, как в работах [48, 49] было показано, что классическая W3 алгебра (с ненулевым центральным зарядом) является второй Гамильтоновой структурой для уравнения Буссинеска и суперполевое N = 2 суперсимметричное расширение Wy алгебры было сформулировано в суперполях [65] (N = 1 суперсимметричное расширение W3 не существует, если ограничиваться конечными мультиплетами), N — 2 суперсимметричное уравнение Буссинеска было построено в рамках этого подхода [65]. Однако, и для N > 2 суперуравнений КдФ, и для N = 2 суперсимметричного уравнения Буссинеска соответствующие Гамильтонианы содержат, в отличие от чисто бозонного случая, произвольный параметр. Детальный анализ показал, что найденные уравнения допускают бесконечные наборы сохраняющихся токов только для трех, фиксированных значений этих параметров как для КдФ [72, 103], так и для уравнения Буссинеска [114]. Подобным же образом были построены N = 2 и N = 4 суперсимметричные нелинейные уравнения Шредингера [92, 101, 102]. Тем не менее, для всех этих систем необходимо было доказать интегрируемость, что можно было сделать только явно построив соответствующие операторы Лакса.

Совокупность чисто алгебраических методов и подходов, позволяющих явно найти операторы Лакса, и тем самым доказать интегрируемость, составляет основу третьего подхода к построению суперсимметричных интегрируемых систем. Ключевым моментом этого подхода является наблюдение, что в бозонном случае Wn алгебры связаны (на самом деле, совпадают) со второй Гамильтоновой структурой иерархий КдФ типа [12]. А именно, с аффинной алгеброй можно ассоциировать скалярный оператор Лакса n-го порядка

LB = дп + un-2(z)dn~2 + . + щ(г)д + щ{£) ,

В.13) где д — d/dz. Иерархия эволюционных уравнений dLB dtk

В.14) называется обобщенной КдФ иерархией Ani типа. Здесь индекс + означает чисто дифференциальную часть псевдо-дифференциального оператора LkJn. Иерархия (В.14) может быть также получена как n-редукция иерархии Кадомцева-Петвиашвили [13]. Напомним, что являются сохраняющимися токами спина (п — г) и генерируют Wn алгебру посредством скобок Гельфанда-Дикого [14]. Бесконечный набор сохраняющихся токов, коммутирующих между собой относительно скобок Гельфанда-Дикого, может быть получен следующим образом J dzRes (^LkJn>) ,

В.15) где вычет псевдо-дифференциального оператора Res определен как коэффициент при д~г.

Таким образом, как и в предыдущих подходах, проблема построения N суперсимметричных интегрируемых систем сводится к чисто алгебраическим задачам обобщения на Д^-расширенные суперпространства понятия псевдо-дифференнциального оператора, вычетов и уравнения Лакса (В.14). Первые результаты в этом направлении были получены в [72], где было показано, что для N = 2 суперсимметричного уравнения КдФ а — 1 t = -ф'" + 3(Ф£>1£>2Ф)' + -—-(DyD^2)' - ЗаФ2Ф'

В.16) здесь Д = did + дог - спинорные ковариантные производные, Ф - скалярное бозонное N = 2 суперполе и а-произвольный параметр) существуют два оператора Лакса

L = д2+ k^D1D2 + [k2(D^)+k3(D^))Di

- [&3(АФ) + к2(02Ф)} D2 + к^Б^Ф) + къФ7

В.17) со следующими значениями параметров:

Решение 1 ki = 2, к3 = —1, к2 = /с4 = к$ = 0, а = — 2

В.18)

• Решение 2 к\ = —2, к2 =0, к3 = —к^ = = 1, а = 4

В.19)

Уравнения потоков имеют тот же вид, что и в бозонном случае (В. 14). N = 2 супер вычет для суперсимметричных псевдо-дифференциальных операторов вида

П>0

А= Е + + + (в.20) г=—оо определяется следующим образом

Res(A) = U , а сохраняющиеся токи задаются как

Ik = J dzdhd92R.es (Ак'п) . (В.22)

Сразу же отметим два важных момента.

Во-первых, несмотря на то, что в работе [72] рассматривался наиболее общий N = 2 супер-псевдо-дифференциальный оператор в качестве анзаца для оператора Лакса, удалось описать только два случая (из трех известных) интегрируемости N = 2 уравнения КдФ (В. 16) с параметрами а = 4 и а = —2. Ето значает, что третья иерархия интегрируемых N = 2 уравнений КдФ с а = 1 должна описываться совершенно иначе, с модификацией либо определения уравнения Лакса (В. 14), либо самого оператора Лакса.

Во-вторых, оператор Лакса (В.17), для случая а = 4 (В.19), воспроизводит только половину известных законов сохранения, откуда следует, что должен существовать другой оператор Лакса, все степени которого (включая сам оператор Лакса) являются псевдодифференциальными операторами (поскольку оператор Лакса (В. 17) является дифференциальным, то вычеты (В.21) всех его целых степеней равны нулю и, следовательно, законов сохранения (В.22) с к = т • п, где m-целое число, не существует).

Еще один загадочный результат был получен в нашей работе [114], где было показано, что для одного из интегрируемых N = 2 уравнений Буссинеска существуют вырожденные операторы Лакса. Эти операторы приводят к правильным уравнениям движения, но с их помощью невозможно построить законы сохранения, т.к. вычеты этих операторов и всех их степеней равны нулю!

Ясно, что такое положение вещей было крайне неудовлетворительным и на все эти вопросы требовалось найти ответы. С начала 90-х в этом направлении работало несколько групп. Две группы из Америки - А. Дас и Ж. Брунелли и группа Генрика Ара-тина работали преимущественно в терминах N =1 суперполей, в то время как группы из Европы ( Л. Бонора, С. Беллучи и Ф. Топпан (Италия), 3. Попович (Польша), Ф. Дельдук и Л. Галло (Франция), Е. Иванов, А. Сорин, А. Пашнев и автор этой диссертации (Дубна)) предпочитали N = 2 суперполевую технику и, в большинстве случаев

В.21) работая в соавторстве, нашли ответы на все эти вопросы. Поскольку детальное рассмотрение этих проблем составляет часть содержания диссертации (Главы 3-5), здесь ма ограничимся только историей предмета.

В 1993 году 3. Попович показал [15], что для N = 2 супер уравнения КдФ с параметром а = 1 также существует оператор Лакса в N = 2 суперполях, но с другим определением уравнения Лакса. В дальнейшем оказалось [16], что этот оператор допускает обобщение, являющееся оператором Лакса для N = 3 суперсимметричного уравнения КдФ. Однако, как было установлено в [17], этот случай является исключительным и выпадает из трех семейств интегрируемых иерархий с N = 2 Wn супералгебрами в качестве вторых Гамильтоновых структур.

Псевдо-дифференциальный оператор Лакса для N = 2 уравнения КдФ с а = 4, воспроизводящий все законы сохранения, был найден в работе [101]. После построения операторов Лакса для для обобщенной иерархии нелинейных уравнений Шредингера

18], оказалось, что объединение этих двух операторов дает оператор Лакса для N = 4 уравнения КдФ [107] и его обобщений.

В работах [101, 18] было показано, что в случае вырожденных N = 2 суперсимметричных псевдо-дифференциальных операторов Лакса существуют новые определения вычетов, позволяющие и в этих случаях находить законы сохранения.

Оператор Лакса для N = 2 уравнения Буссинеска был построен в работе [20], а его обобщения, включающие оператор Лакса для квази-iV = 4 иерархии КдФ [104], в [18]. Наконец, общие операторы Лакса для двух семейств иерархий с N = 2 Wn супералгебрами в качестве вторых Гамильтоновых структур, были построены в [106] и (включая матричные расширения) в [18]. Операторы Лакса для третьего семейства интегрируемых иерархий, совершенно отличные от первых двух семейств, найдены в

19]. Таким образом, к концу 90 годов в рамках этого подхода удалось описать три семейства интегрируемых N = 2 суперсимметричных иерархий. Среди них оказались практически все известные интегрируемые системы, как с N = 2 суперсимметрией, так и с N > 2. Более того, были найдены новые системы, включая матричные, анализ которых еще далеко не закончен.

Следует подчеркнуть, что большинство из вышеупомянутых результатов, удалось получить только с интенсивным использованием вычислительной техники и соответствующих программ [115, 116].

Итак, все три рассмотренных подхода позволяют строить новые интегрируемые системы с расширенной суперсимметрией исходя из связей между свойством интегрируемости и симметрией относительно бесконечномерных (супер)алгебр.

Выше мы попытались довольно подробно проследить логику направлений, развиваемых в диссертации. Перейдем теперь к обзору содержания диссертации. Основные результаты по теме диссертации содержатся в работах [16, 24, 25, 29, 30], [34]-[45], [50, 51, 52, 57, 65, 83, 84, 92, 101, 102, 103, 107, 114, 115], [120]-[123], [129, 130]. Диссертация включает, кроме введения, семь глав, заключение, два приложения и список литературы. Все главы разбиты на разделы и начинаются с аннотаций, поэтому описание включенного в них материала здесь будет достаточно кратким.

Заключение

Подведем итоги. Основное новое направление, открытое этой диссертацией, может быть определено следующим образом: построение и изучение интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией в рамках нелинейных реализаций бесконечномерных и нелинейных групп и супергрупп.

Оно базируется, во-первых, на методе ковариантной редукции, развитом в наших работах [34, 35, 36, 41, 42, 50]. Во-вторых, на идее построения интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией, допускающих, в качестве второй Гамильтоновой структуры, бесконечномерные и нелинейные группы и супергруппы [92, 101, 103, 107, 114]. И метод ковариантной редукции, и идея суперсимметризации второй Гамильтоновой структуры позволяют ответить на два принципиально важных вопроса, возникающих при построении суперсимметричных расширений известных бозонных интегрируемых систем:

• Какие бозонные системы лежат в основе интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией?

• Какие условия неприводимости должны быть наложены на суперполя?

Следует отметить, что метод ковариантной редукции развивается сейчас во многих направлениях. Так, например, условия, следующие из зануления дифференциальных форм Картана, совпадают с условиями "супер-вложений" [127, 128] - основному методу изучения протяженных объектов (мембран и D-бран) в современной квантовой теории. Более того, в случаях, когда условия "супер-вложений" приводят к системам вне массовой оболочки, именно уравнения, следующие из метода ковариантной редукции, позволяют построить суперполевые уравнения движения протяженных объектов в статической калибровке, в терминах суперполей на мировом объеме[129, 130]. Следует также отметить, что именно метод ковариантной редукции, в основе которого лежит реализация групп в своих фактор-пространствах (нелинейные реализации [22]), оказывается наиболее продуктивным при рассмотрении систем с частичным спонтанным нарушением глобальной суперсимметрии.

Другое направление диссертации - разработка компьютерных методов для вычислений в теориях с расширенной суперсимметрией. Хотелось бы подчеркнуть, что большинство результатов, представленных в данной диссертации, было бы исключительно сложно, или даже невозможно, получить без использования нашего пакета [115].

Диссертацию завершим списком её основных результатов.

1. Разработан метод ковариантной редукции. Показана конструктивность данного метода для построения интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией.

2. Методы нелинейных реализаций распространены на бесконечномерные и нелинейные группы и супергруппы.

3. Впервые построены суперполевые уравнения N = 4 суперконформной механики и найдены уравнения её TV-расширенной версии.

4. Исходя из нелинейных реализаций суперконформных симметрий и с использованием развитого метода ковариантной редукции построены новые точно решаемые системы с расширенной суперсимметрией: N = 2 и N = 4 суперсимметричные уравнения Лиувилля. Обнаружено, что вторая система является также N = 4 суперсимметризацией Весс-Зумино-Новиков-Виттеновской а- моде ли. Изучена ВЗНВ сг-модель с N = 3 суперсимметрией. Построены общие решения N = 2, 4 уравнений Лиувилля.

5. В рамках метода нелинейных реализаций, обобщенного на случай нелинейных алгебр, установлена связь уравнений Буссинеска и ж-уравнения Буссинеска с геометрией групп W3 и соответственно.

6. Найдена суперполевая формулировка N = 2 суперсимметричной W3 алгебры. Впервые построены её суперполевые реализации.

7. Впервые предложено N — 2 суперсимметричное уравнение Буссинеска. Доказано, что N = 2 уравнение Буссинеска интегрируемо только при трех значениях параметра а = —2, -1/2, 5/2, появляющегося в Лагранжиане.

8. Построены суперполевые операторы Лакса для N — 2 уравнения Буссинеска с а — —1/2, как с обычным, так и с модифицированным определением вычетов супер-псевдодифференциальных операторов и уравнений Лакса. Доказана би-Га-мильтоновость N — 2 уравнения Буссинеска с а = — 2.

9. Впервые построено N — 3 суперсимметричное уравнение Кортевега-де-Фриза. Выявлена его вторая Гамильтонова структура и изучены свойства интегрируемости.

10. Доказано, что N = 1 нелинейное уравнение Шредингера обладает скрытой N = 2 суперсимметрией. Построена явно N = 2 суперполевая формулировка НУШ. Изучена связь N — 2 НУШ и JV = 2 уравнения КдФ, найдены преобразования Бэклунда, связывающие эти уравнения. Найдены суперполевые операторы Лакса, как для N = 2 НУШ, так и для соответствующего уравнения КдФ, воспроизводящие все токи соответствующих иерархий. Выявлена глубокая связь N = 2 НУШ и фактор-пространств N = 2U{2) супергруппы.

11. Выявлена скрытая N = 4 суперсимметрия N = 2 расширения аффинной алгебры sl(2) фи(1). Показано, что эта супералгебра обеспечивает вторую Гамильтонову структуру для новой N = 4 суперсимметричной интегрируемой иерархии, определенной на N = 2 аффинных супертоках. Эта система является N = 4 расширением сразу двух иерархий, N = 2 НУШ и N = 2 мКдФ. Найдена аффинная иерархия для другой интегрируемой системы с N — 4 СКА в качестве второй Гамильтоновой структуры - "квази" N = 4 иерархии КдФ, обладающей только N = 2 суперсимметрией. Для обеих новых иерархий построены скалярные операторы Лакса.

12. Проанализированы свойства интегрируемости N = 4 суперсимметрического уравнения КдФ и построен оператор Лакса в N = 2 суперполях.

13. С помощью объединения псевдо-дифференциальных операторов Лакса для а = 4, N = 2 КдФ и многомерной N = 2 иерархии НУШ, построены новые N — 2 суперсимметричные интегрируемые системы. Рассмотрено подобное расширение одной из N — 2 супер иерархий Буссинеска и доказана его интегрируемость. Предложена новая система с N = 4 суперсимметрией, допускающая несколько первых интегралов движения.

14. Построено N = 2 суперрасширение W^ алгебры Полякова-Бершадского с произвольным центральным зарядом, в компонентах и суперполях. Найдена полная квантовая версия этой нелинейной алгебры. Представлена гибридная, включающая токи и поля, реализация N = 2 cyriep-W^ алгебры как в классическом, так и в квантовом случаях. Предложено соответствующее расширение уравне

2) ния Буссинеска с JV = 2 cynep-W3 алгеброй в качестве второй Гамильтоновой структуры.

15. Разработан Mathematicalм пакет для вычисления Суперполевых Операторных Разложений (СОР) в мероморфных N = 2 суперконформных теориях поля.

Я глубоко признателен Евгению Алексеевичу Иванову, тесное общение и сотрудничество с которым на протяжении многих лет оказало решающее влияние на становление и развитие идей, составивших основу этой диссертации.

Я хочу также вспомнить Виктора Исааковича Огиевецкого, чье постоянное внимание, заботу и поддержку я ощущал на протяжении всего, столь недолгого времени, что мне посчастливилось с ним общаться.

Я благодарен моим друзьям и коллегам С. Ану, С. Беллуччи, JI. Боноре, В. Грибанову, Ф. Дельдуку, В. Левианту, Р.П. Малику, А. Пашневу, А. Пичугину, 3. Поповичу, А. Сорину, Ф. Топпану и К. Тилемансу, в сотрудничестве с которыми выполнен ряд работ, вошедших в диссертацию.

Большое значение имели для меня встречи и обсуждения с В. Акуловым, И. Бандо-сом, И. Баталиным, И. Бухбиндером, М. Васильевым, Д.В. Волковым, А. Желтухиным, Б. Зупником, А. Исаевым, А. Капустниковым, Э. Капусчиком, Г. Корчемским, П.П. Кулишом, А. Лезновым, Д. Лейтесом, Е. Лукерским, Д. Люстом, К. Прейтшопфом, А. Рестуччиа, М. Савельевым, Э. Сокачевым, Д. Сорокиным, К.С. Стеллом, В. Ткачем, М. Тонином и другими, которым я сердечно благодарен.

Эта работа не могла бы быть успешной без поддержки и заботливого отношения со стороны руководства Лаборатории теоретической физики имени Н.Н. Боголюбова в лице Д.В. Ширкова, В.В. Бурова, А.Т. Филиппова и Д.И. Казакова, которым я искренне признателен.

1. C.S. Gardner, J.M. Green, M.D. Kruskal, R.M. Miura, Phys. Rev. Lett., 19 (1967) 1095.

2. P.D. Lax, Comm. Pure Appl. Math., 21 (1968) 467.

3. C.S. Gardner, J. Math. Phys., 12 (1971) 1548.

4. B.E. Захаров, Л.Д. Фаддеев, Функциональный анализ, 5 (1971) 18.

5. В.Е. Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков, Л.П. Питаевский, "Теория солитонов: Метод обратной задачи", Москва, Наука, 1980.

6. А.Н. Лезнов, М.В. Савельев, ЭЧАЯ, 11 (1980) 40; ЭЧАЯ, 12 (1981) 125.

7. Ю.А. Гольфанд, Е.П. Лихтман, в сб. "Проблемы теоретической физики", Москва, Наука, 1972, с. 37; Письма в ЖЭТФ, 18 (1971) 452.

8. Д.В. Волков, А.П. Акулов, Письма в ЖЭТФ, 16 (1972) 621; Phys. Lett., В46 (1973) 109; ТМФ 13 (1979) 39.

9. J. Wess, В. Zumino, Nucl. Phys., B70 (1974) 39; Phys. Lett., 49 (1974) 52.

10. A. Salarn, J. Strathdee, Nucl. Phys., 76 (1974) 477

11. E. Иванов, В. Огиевецкий, ТМФ, 25 (1975) 167.

12. V.G. Drinfel'd, V.V. Sokolov, Sov. J. Math., 30 (1975) 1.

13. E. Date, M. Jimbo, M. Kashiwara, T. Miwa, 1983 "RIMS Symp. Nonlinear Integrable System", ed. M. Jimbo and T. Miwa, Singapore: World Scientific.

14. I.M. Gel'fand, L.A. Dikii, Funct. Anal. Appl., 10 (1976) 13; Funct. Anal. Appl., 11 (1977) 11.

15. Z. Popowicz, Phys. Lett., B319 (1993) 478.

16. S. Krivonos, A. Pashnev, Z. Popowicz, Mod. Phys. Lett., 13A (1998) 1435.

17. L. Bonora, S. Krivonos and A. Sorin, Nucl. Phys., В 477 (1996) 835.

18. L. Bonora, S. Krivonos and A. Sorin, Lett. Math. Phys., 45 (1998) 63.

19. S. Krivonos, A. Sorin, Phys. Lett., A251 (1999) 109.

20. S. Krivonos, A. Sorin, "Third family of N = 2 Supersymmetric KdV Hierarchies", In Proceedings of the International Seminar Dedicated to the Memory of V.I. Ogievetsky, Russia, 22-26 July 1997, Lecture Notes in Physics, 524, Springer, 1999.

21. Z. Popowicz, Phys. Lett., A236 (1997) 455.

22. V. de Alfaro, S. Fubini and G. Furlan, Nuovo Cim., 34A (1976) 569.

23. S.Coleman, J.Wess and B.Zumino, Phys. Rev., 177B (1969) 2239;

24. C.Callan, S.Coleman, J.Wess and B.Zumino, Phys. Rev., 177B (1969) 2247;

25. D.V.Volkov, ЭЧАЯ, 4 (1973) 3;

26. V.I.Ogievetsky, in Proceeding of X-th Winter School of Theoretical Physics in Karpach, 1 p. 117, Wroclaw 1974.

27. В. Акулов, А. Пашнев, ТМФ, 65 (1985) 84.

28. E. Ivanov, S. Krivonos, V. Leviant, J.Phys., A22 (1989) 345.

29. E. Ivanov, S. Krivonos, V. Leviant, J.Phys., A22 (1989) 4201.

30. S. Fubini, E. Rabinovici, Nucl. Phys., B245 (1984) 14.

31. P. Ramond, Physica, 15D (1984) 25.

32. В. Кац, Известия АН СССР, 32 (1968) 1323; V. Кас, Comm. Math. Phys., 53 (1977) 31.

33. E. Ivanov, S. Krivonos, Lett. Math. Phys., 7 (1983) 523.

34. E. Иванов, С. Кривонос, Суперполевые расширения уравнения Лиувилля, в Трудах VII Международного совещания по проблемам квантовой теории поля, Алушта, 1984, Д2-84-366, Дубна, 1984.

35. М. Ademollo, et al., Phys. Lett., 62B (1976) 105.

36. M. Ademollo, et al., Nucl. Phys., 114B (1976) 297.

37. M. Ademollo, et al., Nucl. Phys., 111B (1976) 77;

38. А. Гальперин, E. Иванов, В. Огиевецкий, Письма в ЖЭТФ, 33 (1981) 176.

39. Е. Иванов, С. Кривонос, ТМФ, 63 (1985) 230.

40. Е. Ivanov, S. Krivonos, J. Phys., A17 (1984) L671.

41. E. Ivanov, S. Krivonos, Theor. Math. Phys., 66 (1986) 60.

42. E. Ivanov, S. Krivonos, V. Leviant, Nucl. Phys., B304 (1988) 601.

43. E. Ivanov, S. Krivonos, V. Leviant, Phys. Lett., B215 (1988) 689, Erratum-ibid B221 (1989) 432.

44. E. Ivanov, S. Krivonos, V. Leviant, Int. J. Mod. Phys., A6 (1991) 2147.

45. E. Ivanov, S. Krivonos, V. Leviant, Int. J. Mod. Phys., A7 (1992) 287.

46. E. Иванов, С. Кривонос, ТМФ, 58 (1984) 200.

47. Е. Ivanov, S. Krivonos, Lett. Math. Phys., 8 (1984) 39.

48. L. Bonora, S. Krivonos, "The Hamiltonian Structure of the 'Bosonic' and 'Fermionic' Extensions of N=2 KdV Hierarchy", в "Supersymmetry and Quantum Field theory", Springer 1998, 173.

49. L. Bonora, S. Krivonos, Mod. Phys. Lett., A12 (1997) 3037.

50. S.J. Gates, C.M. Hull, M. Rocek, Nucl. Phys, 248B (1984) 157.

51. A.B. Zamolodchikov, Teor. Mat. Fiz, 65 (1985) 347.

52. P. Mathieu, Phys. Lett., B208 (1988) 101.

53. S.U. Park, B.H. Cho, Y.S. Myung, J. Phys., A21 (1988) 1167; I. Bakas, Phys. Lett., B213 (1988) 313;

54. A. Bilal, J.L. Gervais, Phys. Lett., B206 (1988) 412;

55. T.G. Khovanova, Teor. Mat. Phys., 72 (1987) 899;

56. V.A. Fateev and S.L. Lukyanov, Intern. J. Mod. Phys., A3 (1988) 507.

57. E. Ivanov, S. Krivonos, A. Pichugin, Phys. Lett., B284 (1992) 260.

58. E. Ivanov, S. Krivonos, R.P. Malik, Int. J. Mod. Phys., A8 (1993) 3199.

59. E. Ivanov, S. Krivonos, R.P. Malik, Int. J. Mod. Phys., A10 (1995) 253.

60. A. Bilal, J.-L. Gervais, Phys. Lett., 206B (1988) 412; Nucl. Phys., B314 (1989) 646; B318 (1989) 579.

61. V. Drinfel'd, V. Sokolov, J. Sov. Math., 30 (1985) 1975; Sov. Math. Dokl., 23 (1981) 457.

62. B. Spence, Phys. Let. B276 (1992) 311.

63. S. Bellucci, E. Ivanov, Mod. Phys. Lett., A6 (1991) 4959.

64. S. Bellucci, V. Gribanov, S. Krivonos, A. Pashnev, Phys. Lett., A191 (1994) 216.

65. A. Polyakov, Int. J. Mod. Phys., A5 (1990) 833;

66. M. Bershadsky, Comm. Math. Phys., 139 (1991) 71.

67. C. Ahn, K. Schoutens, A. Sevrin, J. Mod. Phys., A7 (1991) 3467.

68. H. Lu, C.N. Pope, L.J. Romans, X. Shen , X.-J. Wang, Phys. Lett., B264 (1991) 91.

69. L.J. Romans, Nucl. Phys., B369 (1992) 403.

70. J.M. Figueroa-0'Farrill, S.Schrans, Intern. J. Mod. Phys., A7 (1992) 591.

71. K. Mohri and H. Nohara, Nucl. Phys., B349 (1991) 253.

72. H. Nohara, Ann. Phys., 214 (1992) 1.

73. E. Ivanov, S. Krivonos, Phys. Lett., B291 (1992) 63, Erratum-ibid.B301 (1993) 454.

74. P. Di Vecchia, J. Peterson, H. Zheng, Phys. Lett., B162 (1986) 327.

75. M. Yu, H. Zheng, Nucl.Phys., B288 (1987) 275.

76. К. Schoutens, Nucl.Phys., B295 FS21. (1988) 634.

77. E.H. Saidi, M. Zakkari, Intern. J. Mod. Phys., A6 (1991) 3151.

78. TO. K. Schoutens, A. Sevrin, P. van Nieuwenhuizen, Nucl. Phys., B349 (1991) 791; C.M. Hull, Nucl. Phys., B353 (1991) 707.

79. A. Das, S. Roy, J. Math. Phys., 32 (1991) 869.

80. C.-A. Laberge, P. Mathieu, Phys. Lett., B215 (1988) 718; P. Labelle, P. Mathieu, J. Math. Phys., 32 (1991) 923.

81. S. Wolfram, Mathematica, (Addison-Wesley, Reading, MA, 1988, 1991).

82. T. Inami, H. Kanno, Nucl. Phys., B359 (1991) 201.

83. F. Magri, J. Math. Phys., 19 (1978) 1156.

84. J.L. Gervais, A. Neveu, Nucl. Phys., B209 (1982) 125; J.L. Gervais, Phys. Lett., B160 (1985) 277.

85. B.A. Kupershmidt, Phys. Lett., A102 (1984) 213.

86. Yu.I. Manin, A.O. Radul, Commun. Math. Phys., 98 (1985) 65.

87. P. Mathieu, J. Math. Phys., 29 (1988) 2499.

88. M. Chaichian, P. Kulish, Phys. Lett., B183 (1987) 169.

89. M. Chaichian, J. Lukierski, Phys. Lett., B212 (1988) 461.

90. F. Khalilov, E. Khruslov, Inverse Problems, 6 (1990) 193.

91. S. Bellucci, E. Ivanov, S. Krivonos, Phys. Lett. A173 (1993) 143.

92. S. Bellucci, E. Ivanov, S. Krivonos, J. Math. Phys., 34 (1993) 3087.

93. F. Delduc, E. Ivanov, Phys. Lett., B309 (1993) 312.

94. F. Toppan, Int. J. Mod. Phys., AlO (1995) 895.

95. Z. Popowicz, Phys. Lett., A194 (1994) 375.

96. L. Bonora, C.S. Xiong, Phys. Lett., B285 (1992) 191; Phys. Lett., B317 (1993) 329

97. L. Bonora, C.S. Xiong, Int. J. Mod. Phys, A8 (1993) 2973.

98. J.C. Brunelli, A. Das, J. Math. Phys, 36 (1995) 268.

99. M. Jimbo, T. Miwa, Physica, D2 (1981) 407ff; Physica D4 (1981) 26ff.

100. S. Krivonos, A. Sorin, Phys. Lett, В 357 (1995) 94.

101. F. Delduc, L. Frappat, P. Sorba, F. Toppan, E. Ragoucy, Phys. Lett, B318 (1993), 457.

102. F. Toppan, Phys. Lett, B327 (1994), 249.

103. F. Toppan, Int. J. Mod. Phys, A10 (1995), 895.

104. C.M. Hull, B. Spence, Phys. Lett, B241 (1990), 357.

105. C. Ahn, E. Ivanov, A. Sorin, Comm. Math. Phys, 183 (1997) 205.

106. J.C. Brunelli, A. Das, Phys. Lett, B337 (1994), 303.

107. Z. Popowicz, Phys. Lett, A174 (1993) 411.

108. Ph. Spindel, A. Sevrin, W. Troost and A. Van Proeyen, Phys. Lett, В 206 (1988) 71

109. S. Krivonos, A. Sorin, F. Toppan, Phys. Lett, A 206 (1995) 146.

110. E. Ivanov, S. Krivonos, F. Toppan, Phys. Lett, B405 (1997) 85.

111. F. Delduc, E. Ivanov, S. Krivonos, J. Math. Phys, 37 (1996) 1356.

112. F. Delduc, L. Gallot, E. Ivanov, Phys. Lett, B396 (1997) 122.

113. M. Rocek, C. Ahn, K. Schoutens, A. Sevrin, "Superspace WZW Models and Black Holes", in Workshop on Superstrings and Related Topics, Trieste, Aug. 1991, IASSNS-HEP-91/69, ITP-SB-91-49, LBL-31325, UCB-PTH-91/50.

114. F. Delduc, L. Gallot, Commun. Math. Phys, 190 (1997) 395.

115. E. Ivanov, S. Krivonos, Phys. Lett, A231 (1997) 75.

116. F. Delduc, E. Sokatchev, Class. Quant. Grav, 9 (1992) 361.

117. E. Ivanov, A. Sutulin, Nucl. Phys, B432 (1994) 246.

118. A. Sevrin, W. Troost, A. Van Proeyen, Phys. Lett., B208 (1988) 447.

119. A. Galperin, E. Ivanov, S. Kalitzin, V. Ogievetsky, E. Sokatchev, Class. Quant. Grav. 1 (1984) 469.

120. E. Witten, Commun. Math. Phys., 92 (1984) 455.

121. C.M. Yung, Mod. Phys. Lett., B309 (1993) 1161.

122. S. Bellucci, E. Ivanov, S. Krivonos, A. Pichugin, Phys. Lett. B 312 (1993) 463.

123. S. Krivonos, K. Thielemans, Class. Quant. Grav., 13 (1996) 2899.

124. Z. Popowicz, Сотр. Phys. Commun., 100 (1997) 277.

125. L.J. Romans, Nucl. Phys., B357 (1991) 549.

126. F.A. Bais, T. Tjin, P. van Driel, Nucl. Phys., B357 (1991) 632.

127. J. Fuchs, Phys. Lett., B262 (1991) 249.

128. S. Krivonos, A. Sorin, "The N=2 super-VF3(2) algebra", Preprint LNF-94/014 (P), Fras cati, 1994.

129. C. Aim, S. Krivonos, A. Sorin, Mod. Phys. Lett., A10 (1995) 1299.

130. E. Ivanov, S. Krivonos, A. Sorin, Mod. Phys. Lett., A10 (1995) 2439.

131. C. Aim, E. Ivanov, S. Krivonos, A. Sorin, Mod. Phys. Lett., All (1996) 1705.

132. A.A. Belavin, A.M. Polyakov, A.B. Zamolodchikov, Nucl. Phys., B241 (1984) 333.

133. K. Thielemans, Int. J. Mod. Phys., 2C (1991) 787 .

134. K. Thielemans, "An Algorithmic Approach to Operator Product Expansions, W-algebras and W-strings", PhD thesis KU Leuven, June 1994, hep-th/9506159.

135. I. Bandos, P. Pasti, D. Sorokin, M. Tonin, D. Volkov, Nucl. Phys., B446 (1995) 79; I. Bandos, D. Sorokin, D. Volkov, Phys. Lett., B352 (1995) 269.

136. P.S. Howe, E. Sezgin, Phys. Lett., В 390 (1997) 133.

137. E. Ivanov, S. Krivonos, Phys. Lett., B453 (1999) 237.