Нелинейное уравнение диффузии с солитонными свойствами

Ищенко, Валентина Михайловна

Нелинейное уравнение диффузии с солитонными свойствами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Ищенко, Валентина Михайловна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ставрополь МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Нелинейное уравнение диффузии с солитонными свойствами»

Автореферат диссертации на тему "Нелинейное уравнение диффузии с солитонными свойствами"

На правах рут

ИЩЕНКО ВАЛЕНТИНА МИХАЙЛОВНА

НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИФФУЗИИ С СОЛИТОННЫМИ СВОЙСТВАМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2005

Работа выполнена в Ставропольском государственном университете Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент

Татьяна Валентиновна Редькина

доктор физико-математических наук, профессор

Август Петрович Хромов

доктор физико-математических наук, профессор

Юрий Иванович Сапронов

Российский университет дружбы народов

Защита состоится 15 ноября 2005 года в 15.40 часов на заседании диссертационного совета К212.038.05 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Воронежском государственном университете по адресу: 394693, Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан « В » октября 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К212.038.05,

доктор физико-математических наук, г ЯГД

профессор Ю Е. Гликлих

2004

г/ег г

11\1739

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы При исследовании прикладных задач во всех областях естествознания, все больше находят применение нелинейные модели с частными производными, описывающие, как говорят "тонкие" эффекты. К таким задачам, например, относятся задачи нелинейной оптики, связанные с оптическими каналами связи, теории плазмы, современной теории гравитации, химические и биологические процессы в которых принципиальные свойства описываются нелинейными связями. Таким образом, исследования нелинейных уравнений и разработка конструктивных методов отыскания точных решений этих уравнений имеют большую практическую ценность и значимость. Среди современных теорий, позволяющих решать подобные задачи, выделяется теория солитонов.

Если явление описывается солитонным уравнением, то оно таит в себе большие преимущества в возможности применения к исследованию всего арсенала солитонной математики. Сюда входят: бесконечное число законов сохранения, наличие Лаксовой пары, связь Пенлеве уравнения в частных производных с системой обыкновенных дифференциальных уравнений, метод обратной задачи рассеяния (МОЗР), формализм Хироты для построения и-солитонных решений, преобразования Бэклунда и др.

Хорошо известно, что из операторного уравнения изоспектральной деформации, которое называют также уравнением Лакса, можно получить солитон-ные уравнения допускающие возможность интегрирования МОЗР и отыскания точных решений. При использовании других способов, в частности методов численного решения дифференциальных уравнений, возникают проблемы интерпретации полученных результатов, не всегда ясно, что порождает тот или иной наблюдаемый эффект.

Построение новых уравнений, обладающих операторной структурой Лакса является актуальной задачей, так как позволяет расширить класс точно интегрируемых моделей, имеющих практическое значение.

Проблемы, связанные с вопросами теории нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными рассматривались в работах Дж. Рассела, Д. Кортевега, Г. де Вриза, Р. Миуры, Б.Б. Кадомцева, В.И. Карпмана, А. Бэк-лунда, С. Гарднера, Дж. Грина, М. Крускала, П. Лакса, В.Е. Захарова, А.Б. Ша-бата, М. Абловица, X. Сигура, Р. Хироты, С.П. Новикова, О.И. Богоявленского и других авторов. Указанными вопросами обусловлен круг задач, решаемых в диссертационной работе.

Цель работы - получить нелинейные уравнения с частными производными, имеющие операторную структуру Лакса. Исследовать нелинейное уравнение диффузии при вполне определенных значениях функции, описывающей возмущение.

Методы исследования. Основным методом диссертационной работы является метод обратной задачи рассеяния, с помощью которого найдены данные рассеяния для исследуемого нелинейного уравнения и решение краевой задачи. В работе также используются метод Хироты и метод бегущих волн, с помощью которых найдены точные решения исследуемого уравнения для различных значений возмущающей функции. Кроме того, применяются классические методы матемашческой физики, теории обобщенных функций и теории дифференциальною исчисления функций многих переменных.

Научная новизна отражена в следующих результатах:

1. Получены нелинейные уравнения с частными производными, обладающие операторной структурой Лакса.

2. Определена связь между операторными структурами Лакса и уравнения нулевой кривизны для случая, когда коэффициенты операторов зависят от квадратных матриц.

3. Для нелинейного уравнения диффузии

yqx(x,t) + ¿(ln^CM))^ = q, (x,t),

а) найдены две операторные структуры Лакса;

б) рассмотрен вопрос о наличии бесконечной последовательности законов сохранения;

в) получено решение методом обратной задачи рассеяния:

г) найдены решения с помощью метода Хироты;

д) метода бегущих волн, автомодельное решение;

е) найдено «локальное» представление общего решения данного уравнения в виде обобщенного ряда Лорана вблизи подвижного сингулярного многообразия £(х,0 = 0.

4. Получены решения уравнения

удг(х,')+к<}пд(х,ф„ -2/,(*,<) = «?,(*,<) для различных возмущений, представленных функцией Лх,1) с помощью «прямых» методов:

а) метода Хироты,

б) метода бегущих волн,

в) решения в виде функций Вейерштрасса.

5. Определен вид возмущающей функции^*,?) уравнения

кг, (х,0 + к<}пд(х, 1))„ - 2/х(х,г) = д, (*,/), если решение д(х, 1) имеет:

а) вид одиночного солитона,

б) двусолитонный вид.

Практическая значимость полученных результатов заключается в том, что одно из построенных уравнений является нелинейным уравнением диффузии (при замене переменной - нелинейным уравнением теплопроводности), что определяет область применения полученных результатов. Одной из характерных ситуаций, в которых встречается рассматриваемое уравнение, является перенос пассивной примеси, например, тепла в турбулентной среде с нелинейным турбулентным коэффициентом теплопроводности.

Результаты диссертации также могут составить содержание специального курса для студентов математического или физического факультета.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов вытекает из проведенной проверки полученных решений, а также

из совпадения ряда полученных результатов в частных случаях с известными в литературе.

Апробация работы. Основные результаты диссертации по мере их получения докладывались и обсуждались на семинарах по теории дифференциальных уравнений и уравнений математической физики в Ставропольском государственном университете; на II Всесибирском конгрессе женшин-математиков (15-17 января 2002 г., г. Красноярск, КГУ); неоднократно в Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения» (3-9 мая 2002-2005 гг., Воронеж, ВГУ); в международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (5-11 сентября 2002-2004 г. Абрау-Дюрсо, РГУ); в Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (27 января-2 февраля 2005 г., Воронеж, ВГУ); на XVIII международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (19-23 сентября 2005 г., Астрахань, АГТУ); на семинаре кафедры математического моделирования Воронежского государственного университета (руководитель - Ю.И. Сапронов).

Основные положения диссертации, выносимые на защиту

1. Полученные нелинейные уравнения с частными производными, обладающие операторной структурой Лакса.

2. Определенная связь между операторными структурами Лакса и уравнением нулевой кривизны для случая, когда коэффициенты операторов зависят от квадратных матриц.

3. Для нелинейного уравнения диффузии

0 + *ОП4Г(*,0)„ =?,(*,/),

а) найденные две операторные структуры Лакса;

б) построение бесконечной последовательности законов сохранения;

в) решение методом обратной задачи рассеяния;

г) решения с помощью метода Хироты;

д) решение с помощью метода бегущих волн, автомодельное решение;

е) «локальное» представление общего решения данного уравнения в виде обобщенного ряда Лорана вблизи подвижного сингулярного многообразия = 0.

4. Полученные решения уравнения

для различных возмущений, представленных функцией Ах,{) с помощью «прямых» методов:

а) метода Хироты,

б) метода бегущих волн,

в) решения в виде функций Вейерштрасса.

5. Определенный вид возмущающей функции уравнения

ГС, (х,() + АгОп Я(х, /))„ - 2/х {х, I) = д,(х,1),

для решений д(х, если:

а) д(х, I) имеет вид одиночного солитона,

б) дг(дс, /) имеет двусолитонный вид.

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в работах [1]-[8] из списка работ автора. Из имеющихся совместных работ [5]-[8] в диссертацию включены только те результаты, которые получены автором.

Структура работы. Диссертация состоит из содержания, введения, трех глав (разбитых на параграфы), заключения, списка цитируемой литературы из 91 наименования и списка работ автора по теме диссертации. Общий объем работы - 109 страниц. Нумерация лемм и теорем подчинена соответствующей главе и не зависит от параграфов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, сформулирована цель работы, описана структура и дан краткий обзор работы, изложены основные научные результаты, выносимые на защиту, раскрыта научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

Первая глава включает в себя историю вопроса и основные теоретические положения, используемые в работе. Здесь приводится описание различных направлений исследований по проблеме диссертации.

Вторая глава посвящена получению нелинейных уравнений, обладающих операторной структурой Лакса и применению теории обратных задач к нелинейному уравнению диффузии.

В первом параграфе для случая, когда А, А дифференциальные операторы первого порядка, удовлетворяющие уравнению Лакса

Ь, = [Ь,А] = ЬА-АЬ (1)

и имеющие вид:

г 8 А а 8

ь = а — + м, А-р--ну,

дх дх

А. Ри

Ргх Ргг

постоянные матрицы, и ■■

- матрицы с компонентами, зависящими от* и t, коэффициенты а,

Р, и, v, подобраны таким образом, чтобы — и [L,A] в уравнении (1) были бы

операторами умножения, и уравнение L0<p = fjxp, где L0 = a—, имело бы нетривиальные ограниченные решения при лг-> ±оо. Эти ограничения позволили найти следующие уравнения с частными производными: 1) уравнение

/?„<*„( 1па12)и + аи(1пип)я + (аик + 0п)\ + 2и,

получаемое из (1) с операторами, имеющими вид:

+ \-¿¡-un + 2uu

А v"n J,

= 0,

LJa" 0 А+

-«иJa*

I О,. | „

(MMPu I «¡Л Pa)&

2)уравнение

ail 4^1/ ac a

«2,0=0,

получаемое из уравнения Лакса с операторами

¿-г»

О -ап)Ъх

ац(1п"2|), "«22 —

Д, о 1 а

л = |' " I—+

1о рг1)дх

.Рп~Рп

2а,,

«21 /?22^ + ^jlnl'2l+Vll

где 6 - const, 3)уравнение

2 [' " дхг б.xdt) v21 ~ и имеющее операторное представление Лакса (1), где

(аи 0 ± + V о ап)дх

-T-(lnv2I)x

21 21

кг

.(Д, О Ч О ¡зи)дх

2 у

к\,кг- const; 4)уравнение

3 exp(2A,g) + fltlg„ + 2Д,2 (gx)J + 2Д+ g„ = 0,

получаемое из (1) с операторами вида: ( 1

и*» °

О аи)дх

2Д,2

-г,

2ДГ

-ехр(2 /?,,#)

(Рп 0 ^ 1

~Рп

д_А П, V,, дх I О V,,

где

u1^{x,t) = -gx(x,t)

V,, = (ехр(2Д^))-2Д1^г - 2/и, -—Л,

А."п 2Рп «и

у12 = ехр(2/?И#),

" Ал.

5)уравнение

—ехр(2Д,£) -— Г(ехр(2/?п£)) дЬс; 2Д> аи -1

.А* д, 2 <7

получаемое из операторного уравнения Лакса с операторами вида'

£ =

ГО г1

— О

)

'А 2

ах

Оп?),—Х-гя

апк ,

12 2лгпах э/1

±7 (1 21 «12* )

А =

I А

Рп апк)

^ А.

Аа,^ аи( д

2а,.

д!

(2)

где q = -v)2 + ~-у2, , — = — = к, Я - const. Я «21 «12

В частном случае, рассматривая (2) с верхним знаком, при выполнении равенств Д =;, м21 = —— (/--— }q, v22 = г/, у = ——Д,, переходим к

2а,, 1 а„к ) а„

0+ £<1п ?(*,<))« -2/,(ж,/) = <?,(*,/). Операторы Лакса, приводящие к (3), имеют вид:

if 9 I /а,Д + 1

L =

8х

2\q ак iank -1 2а 'к 4

2 к

2\q ак))

1 " t Л

--Г апк

— У

дх

(3)

'/—ч

«и

2аг12 2аг12 ^ ап дх dt)

tt^fa + l ig,Jl-a„y 8 t д | 2 2 ( а12 & Эг 1 4

Уравнение (3) является моделью процессов в средах с нелинейной диффузией. Большая часть диссертационной работы посвящена исследованию этого уравнения.

Для (3) найдено еще одно операторное представление в лаксовой форме, существенно используемое в дальнейшем:

о ± , О

{к 0 )дх 1^0 q

-У 3

О -у)дх

q к

Ч'

q к

Во втором парафафе формулируются теоремы, позволяющие установить связь между двумя операторными структурами, применяемыми при решении методом обратной задачи рассеяния.

Теорема 2.7. Если нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных имеет представление Лакса Ц + [L, А]~0, причем порядок дифференциального оператора L не ниже порядка дифференциального оператора А, то такое уравнение имеет и операторное представление в виде уравнения нулевой кривизны P,-Q,+[P,Q] = О

Lip = i ,-Acp = Q<p, где I - единичная матрица, <р - произвольная функция,

L,A,P,Q - линейные дифференциальные операторы с матричными коэффициентами.

Для уравнения (3) приведен пример построения структуры в виде уравнения нулевой кривизны.

Третий параграф посвящен исследованию вопроса о наличии бесконечной последовательности законов сохранения для уравнения

yq,+k(\nq)„=q, (4)

с помощью метода, предложенного В.Е. Захаровым и А.Б. Шабатом.

Четвертый параграф содержит решение уравнения (4) методом обратной задачи рассеяния

Теорема 2.10. Если в уравнении yqx + k(\nq)a -qt функция q{x,t) стремится к нулю вместе со всеми своими производными, — ->с при х —> ±=о (с -

const), собственные значения fi вещественны, то уравнение имеет решение вида:

-2/ЛсАехр[-2с(дг + (у + г)0]

9 1 + йехр[-2с(х + 0 + г)0]

где h - постоянная величина.

Третья глава диссертационной работы посвящена нахождению точных решений уравнения (3) для различных значений возмущающей функции^*,?).

В первом параграфе применен метод Хироты к уравнению ;yqх + /;(1п q)c- 2 f] -q, или после умножения на q1

rq2q,+kiq„q-qx2: = {q,+2fjq\ (5)

В зависимости от выбранных значений возмущающей функции/получены следующие результаты.

1) Если/- 0, то решение уравнения (5) имеет вид антикинка:

q(x,t) = - a'eXP(Q^ + a-° , 1 + о, ехр(а2 х + а/)

где аь а2, а3 — постоянные величины.

Для этого случая (f = 0) доказано отсутствие я-солитонных решений.

2) Если f = —, (с - const), то решение (5) имеет вид:

2 с 2с

1(х,0 = — + —ехр[-(А,лс + yk,t + 0,

где ки ju\- const.

Для этого случая доказано отсутствие я-солитонных решений, в) Проведен анализ уравнения (5) и указаны условия, при которых возможно возникновение еолитонного и двусолитонного решения. Теорема 3.5. Если решение уравнения

ГЯгЧ, + к {q„q -q') = (q, + 2 /.)q1 имеет вид одиночного сопитона

ае''

<?=——Г' <?'+>>

где г, = ktx + rft + т],, А,, г,, 7,, а - const, mo возмущение f x, t) представляет собой kuhk или антикинк:

f(x,t) = ark>-2kk?

44, (г'1 +1) Теорема 3.6 Ясли решение уравнения

ГЯгЧ, + к <?„? -q]) = (q, + 2/, )g2

имеет двусолитонный вид

сце'' +еГг}

я-

(е'х + е'г +1)

где г, = ktx + г/ + т]:, knrl,i]l,a-const, /' = 1,2, mo возмущение J{x,t) представляет собой функцию:

... . k k.eh + Le'1 , k,ez,+k,e''

/(*,/) =----!-*—+к-3-1-.

2 e'+e* (e'1+erj+е'2)

Во втором параграфе для решения уравнения (3) применены другие «прямые» методы.

Предположим, что решение уравнения (3) имеет вид бегущей волны q(.x,t) = g(x + bt)*g(z), Ь-const, f = /(g), тогда оно после интегрирования по z примет вид:

hg + ¿(In g): - 2/ = С, (6)

здесь y-b = h и С-постоянная интегрирования. Получены решения (6) в следующих случаях:

1. fig) - о;

2. 7(g) = с„£г+с,^ + с1Э, где сп,сп,с1г-const;

3. 7(g) = c„gJ (cn-const),C = 0, h* 0;

4. /(g) = c,,g2 +cug (c„,ca-const), C = 0;

5- f(g) = const;

6. f(g) = \,h2-const;

7. f(g) = -kth(z), где z = x + yt,C = 0

Отметим, что в результате суперпозиции двух возмущений / =сAg2 и /2 =c12g происходит «поглощение» первого вторым.

Уравнение (3) с помощью замены переменной q = eq, где q(x.t) - функция

приводится к уравнению теплопроводности с зависимостью свойств среды от температуры. В частном случае при у = 0 и отсутствии внешних источников получаем уравнение е^д, = кц^, для которого найдено автомодельное решение 2\И\

q(x,t) = In

Получены решения уравнения (3) в виде функций Вейерштрасса:

а) для случая, когда -2/', = С0= const,

~ к

б) когда возмущение является функцией Вейерштрасса /(g) = -?(z), где

z = x + yt, у - комплексная постоянная.

В третьем параграфе найдено разложение решения уравнения (4) в виде обобщенного ряда Лорана вблизи подвижного сингулярного многообразия = 0, что говорит о выполнении свойства Пенлеве для (4). В заключении формулируются основные выводы диссертационной рабо-

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Ищенко В. М. Обратная задача рассеяния для нелинейного уравнения диффузии / В. М. Ищенко // Известия ВУЗов Сев.-Кав. региона Естественные науки. Приложение №7. - Ростов-на-Дону. 2005 г. - С. 3-6.

2. Ищенко В.М. Получение уравнений с частными производными обладающих операторной структурой Лакса / В. М. Ищенко // Деп. в ВИНИТИ 07.07.2005. № 957-В2005. - 18 с.

3. Ищенко В.М. Построение решений нелинейного уравнения диффузии с помощью прямых методов / В. М. Ищенко // Деп. в ВИНИТИ 07.07.2005. № 959-В2005. - 30 с.

4. Ищенко В.М. Решение нелинейного уравнения диффузии методом обратной задачи рассеяния / В. М. Ищенко // Деп. в ВИНИТИ 07.07.2005. № 958-В2005. - 11 с.

112 18 477

2006-4

Ищенко В.М. Метод обратной задачи рассеяния для н

теплопроводности / В. М. Ищенко, Т.В. Редькина // С 21655

дународной науч. конф. В 10 т. Т. 1. - Казань: Изд-вс нол. ун-та, 2005. - С. 170-172.

Ищенко В.М. Модель с нелинейной диффузией / В. М. Ищенко, Т.В. Редькина // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж, весен, матем. шк. «Понтрягинские чтения - XV», 3-9 мая 2004 г. - Воронеж, 2004.-С. 185-186.

Ищенко В.М. Операторные структуры модели с нелинейной диффузией / В. М. Ищенко, Т.В. Редькина // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. матем. шк., 27 января - 2 февраля 2005 г. - Воронеж, 2005. - С.195-196.

Ищенко В.М. Тест на интегрирование модели 1+1-мерных процессов в средах с нелинейной диффузией /В.М. Ищенко, Т.В. Редькина // Известия ВУЗов Сев.-Кав. региона. Естественные науки. Приложение №11(23). -Ростов-на-Дону, 2004 г. - С. 22-26.

Заказ № 735 от 5 10 05 г Тир 100 экз Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Ищенко, Валентина Михайловна

Введение.!.

Глава I. Исторический обзор.

§ 1. Первый период солитонных исследований.

§2. Дальнейшая история солитонных исследований.

§3. Различные подходы к задачам, интегрируемым МОЗР.

Глава II. Обратная задача рассеяния для нелинейного уравнения диффузии.

§ 1. Получение уравнений с частными производными обладающих операторной структурой Лакса.

§2. Построение другой коммутационной формы в виде уравнения ну

Ф левой кривизны.

§3. Исследование вопроса о наличии бесконечной последовательности законов сохранения для уравнения yqx + k(In q)xx = qt.

§4. Решение уравнения yqx + /с(1п q)xx = qt методом обратной задачи рассеяния.

Глава III. Построение точных решений нелинейного уравнения диффузии с помощью прямых методов.

§ 1. Решение нелинейного уравнения диффузии с помощью метода

Хироты.

§2. Применение других «прямых» методов.

2.1. Метод бегущих волн.

2.2. Автомодельное решение.

2.3. Решение в виде функций Вейерштрасса.

§3. Исследование решения уравнения yq2qx + к (q^q - qx ) = qtq2 вблизи подвижного сингулярного многообразия %(x,t) = 0.

Введение диссертация по математике, на тему "Нелинейное уравнение диффузии с солитонными свойствами"

Актуальность темы. При исследовании прикладных задач во всех областях естествознания, все больше находят применение нелинейные модели с частными производными, описывающие, как говорят "тонкие" эффекты. К таким задачам, например, относятся задачи нелинейной оптики, связанные с оптическими каналами связи, теории плазмы, современной теории гравитации, химические и биологические процессы в которых принципиальные свойства описываются нелинейными связями. Таким образом, исследования нелинейных уравнений и разработка конструктивных методов отыскания точных решений этих уравнений имеют большую практическую ценность и значимость. Среди современных теорий, позволяющих решать подобные задачи, выделяется теория солитонов.

Если явление описывается солитонным уравнением, то оно таит в себе большие преимущества в возможности применения к исследованию всего арсенала солитонной математики. Сюда входят: бесконечное число законов сохранения, наличие Лаксовой пары, связь Пенлеве уравнения в частных производных с системой обыкновенных дифференциальных уравнений, метод обратной задачи рассеяния (МОЗР), формализм Хироты для построения п-солитонных решений, преобразования Бэклунда и др.

Хорошо известно, что из операторного уравнения изоспектральной деформации, которое называют также уравнением Лакса, можно получить со-литонные уравнения допускающие возможность интегрирования МОЗР и отыскания точных решений. При использовании других способов, в частности методов численного решения дифференциальных уравнений, возникают проблемы интерпретации полученных результатов, не всегда ясно, что порождает тот или иной наблюдаемый эффект.

Проблемы, связанные с вопросами теории нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными рассматривались в работах Дж. Рассела, Д. Кортевега, Г. де Вриза, Р. Миуры, Б.Б. Кадомцева, В.И. Карпмана, А. Бэклунда, С. Гарднера, Дж. Грина, М. Крускала, П. Лакса, В.Е. Захарова, А.Б. Шабата, М. Абловица, X. Сигура, Р. Хироты, С.П. Новикова, О.И. Богоявленского и других авторов. Указанными вопросами обусловлен круг задач, решаемых в диссертационной работе.

Методы исследования. Основным методом диссертационной работы является метод обратной задачи рассеяния, с помощью которого найдены данные рассеяния для исследуемого нелинейного уравнения и решение краевой задачи. В работе также используются метод Хироты и метод бегущих волн, с помощью которых найдены точные решения исследуемого уравнения для различных значений возмущающей функции. Кроме того, применяются классические методы математической физики, теории обобщенных функций и теории дифференциального исчисления функций многих переменных. Научная новизна отражена в следующих результатах:

1. Получены нелинейные уравнения с частными производными, обладающие операторной структурой Лакса.

3. Для нелинейного уравнения диффузии yqx (х, t) + /с (In g(x, t)) w = qt (x, t), а) найдены две операторные структуры Лакса; б) рассмотрен вопрос о наличии бесконечной последовательности законов сохранения; в) получено решение методом обратной задачи рассеяния; г) найдены решения с помощью метода Хироты; д) метода бегущих волн, автомодельное решение; е) найдено «локальное» представление общего решения данного уравнения в виде обобщенного ряда Лорана вблизи подвижного сингулярного многообразия %(x,t) = 0.

4. Получены решения уравнения yqx (х, 0 + к (In q(x, t))^ - 2 fx (x, t) = qt (x, t) для различных возмущений, представленных функцией flx,t) с помощью «прямых» методов: а) метода Хироты, б) метода бегущих волн, в) решения в виде функций Вейерштрасса.

5. Определен вид возмущающей функции Дх,/) уравнения yqx (х, t) + к (In q(x, /))xv - 2 f x (x, t) = qt (x, t), если решение q(x,t) имеет: а) вид одиночного солитона, б) двусолитонный вид.

Практическая значимость полученных результатов заключается в том, что одно из полученных уравнений является нелинейным уравнением диффузии (при замене переменной - нелинейным уравнением теплопроводности), что определяет область применения полученных результатов. Одной из характерных ситуаций, в которых встречается рассматриваемое уравнение, является перенос пассивной примеси, например, тепла в турбулентной среде с нелинейным турбулентным коэффициентом теплопроводности.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту: 1. Полученные нелинейные уравнения с частными производными, обладающие операторной структурой Лакса.

3. Для нелинейного уравнения диффузии yqx (х, 0 + к(in q(x, /))и = qt (х, t), а) найденные две операторные структуры Лакса; б) построение бесконечной последовательности законов сохранения; в) решение методом обратной задачи рассеяния; г) решения с помощью метода Хироты; д) решение с помощью метода бегущих волн, автомодельное решение; е) найденное «локальное» представление общего решения данного уравнения в виде обобщенного ряда Лорана вблизи подвижного сингулярного многообразия £(x,t) = О.

4. Полученные решения уравнения yqx(х,t) + к (inq(x,0)xv -2fx(x,t) = qt(x,t) для различных возмущений, представленных функцией с помощью «прямых» методов: а) метода Хироты, б) метода бегущих волн, в) решения в виде функций Вейерштрасса.

5. Определенный вид возмущающей функции f(x,t) уравнения уqХ(х,t)+ k(Inq(x,t))^-2fx(x,t) = qt{x,t), для решений q(pc, f) если: а) q(x, t) имеет вид одиночного солитона, б) q(x, t) имеет двусолитонный вид.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ [92]-[99]. Из имеющихся совместных работ [96]-[99] в диссертацию включены только те результаты, которые получены автором Перейдем к изложению краткого содержания работы.

Вторая глава посвящена применению теории обратных задач к нелинейному уравнению диффузии.

В первом параграфе для случая, когда L, А дифференциальные операторы первого порядка, удовлетворяющие уравнению Лакса

Lt = [L,A] = LA-AL и имеющие вид:

L = а--\ги дх дх где а ■■

Рп А»

Рг\ Puj

- постоянные матрицы,, и = и, и. и.

V 21 22 J

М,

V = у V Л 41 12

Vv2i v2г J

21 «22 матрицы с компонентами, зависящими от х и t, приводится вы вод нелинейных уравнений с частными производными, обладающих операторной структурой Лакса. Одно из полученных уравнений является одномерным нелинейным уравнением диффузии: yqx + k{\wq)^ -2 fx=qt, (1) где % А: - постоянные величины, q(x,t) и f[x,t) - функции двух переменных.

Для уравнения (1) найдено еще одно операторное представление в лак-совой форме, существенно используемое в дальнейшем.

Во втором параграфе формулируются теоремы, позволяющие установить связь между двумя операторными структурами, применяемыми при решении методом обратной задачи рассеяния.

Теорема 2.7. Если нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных имеет представление Лакса Lt + [L, А] = 0, причем порядок дифференциального оператора L не ниже порядка дифференциального оператора А, то такое уравнение имеет и операторное представление в виде уравнения нулевой кривизны Р(- Qx + [P,Q]= 0.

Если же коэффициенты L-A-пары представляют собой некоторые квадратные матрицы, то формально верна обратная

Теорема 2.8. Если некоторое нелинейное уравнение в частных производных имеет операторную структуру в виде уравнения нулевой кривизны, то для него можно получить операторное уравнение Лакса с помощью подстадЛ новки Lcp = Р-Г— <р, -A(p = Q(p, где I - единичная матрица, (р - произволь-^ дх J ная функция, L, A,P,Q - линейные дифференциальные операторы с матричными коэффициентами.

Для уравнения (1) приведен пример построения структуры в виде уравнения нулевой кривизны.

Третий параграф посвящен исследованию вопроса о наличии бесконечной последовательности законов сохранения для уравнения yqx+k(]nq)xx=qt (2) с помощью метода, предложенного В.Е. Захаровым и А.Б. Шабатом [64].

Четвертый параграф содержит решение уравнения (2) методом обратной задачи рассеяния

Теорема 2.10. Если в уравнении yqx + /с(1п q)xx = qt функция q{x,t) стремится к нулю вместе со всеми своими производными, — —»с при х—»±<х> (с q const), собственные значения /л вещественны, то уравнение имеет решение вида\

-2ikch ехр [-2с (х + (у + z')?)] ^ 1 +/г ехр [-2 с(х + (/ + г'У)] где h - постоянная величина.

Третья глава диссертационной работы посвящена нахождению точных решений уравнения (1) для различных значений возмущающей функции f[x,t).

В первом параграфе применен метод Хироты к уравнению yqx + /с(1п q)xx - 2 fx = qt или после умножения на q2 yq\+k(qxxq-q?) = (qt+2fx)q\ (3) а) Найдено решение уравнения (3) при / = 0. Для этого случая доказано отсутствие и-солитонных решений. б) Найдено решение этого уравнения при условии / = —, где с - const. ДокаЧ зано отсутствие и-солитонных решений. в) Проведен анализ уравнения (3) и указаны условия, при которых возможно возникновение солитонного и двусолитонного решений.

Во втором параграфе для решения уравнения (1) применены другие «прямые» методы.

Предположим, что решение уравнения (1) имеет вид бегущей волны q(x,t) = g(x + bt) = g(z), b-const, f = f(g),. тогда оно после интегрирования по z примет вид: hg + k(]ng)z-2f = C, (4) здесь у -Ъ = h и С - постоянная интегрирования.

Для уравнения (4) найдены решения в следующих случаях: l-7(g) = 0;

2. f(g) = cug2+c]2g + cn, где cu,cl2,c13 -const;

3. / = cug2 (cn-const), С = 0, h^ 0;

4- f = cng2+cng (с,„с12-const), С= 0, К

5- /(g) = -Ч Ai- const; g h

6- = const; g

7. f(z) = -kth(z), где z = x + yt, С = 0.

Уравнение (1) с помощью замены переменной q-eq, где q{x,t) - функция еЧ =k~qxx+yeq~qx-2fx приводится к уравнению теплопроводности с зависимостью свойств среды от температуры. В частном случае при р0 и отсутствии внешних источников получаем уравнение eqqt =kqxx, для которого найдено автомодельное решение

Получены решения уравнения (1) в виде функций Вейерштрасса для случая, когда -2fx=C0= const и когда возмущение является функцией Вей ~ к ерштрасса: f{x,t) = f(x + yt) = f{z) = — С, (z) ,где z-x + yt, у - комплексная постоянная.

В третьем параграфе найдено разложение решения уравнения (2) в виде обобщенного ряда Лорана вблизи подвижного сингулярного многообразия £(x,t) = 0. При этом показано отсутствие подвижных критических точек, что говорит о выполнении свойства Пенлеве.

В заключении формулируются основные выводы диссертационной работы.

Пользуясь возможностью, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доценту кафедры математического анализа Ставропольского государственного университета Редькиной Татьяне Валентиновне, а также коллегам-математикам за внимание и поддержку в процессе исследований, посвященных данной тематике. х

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

Выполнению цели диссертационной работы - получить нелинейные уравнения с частными производными, которые предположительно можно решить методом обратной задачи рассеяния, решить нелинейное уравнение диффузии при определенных значениях функции, описывающей возмущение • посвящены вторая и третья главы, в которых отражены следующие резуль таты.I. Для случая, когда операторы являются дифференциальными первого порядка с коэффициентами вида: L = a hM, А= р hv, где а ( \ V"2I "22 J

4*^21 "^ 22 У • постоянные матрицы. • матрицы с компонентами, зависящими oTxmt, ко эффициенты 0L, /5, и, v, подобраны таким образом, чтобы — и [L,A] в уравне dt НИИ Лакса Ц =[L,A] = LA- AL были бы операторами умножения, и уравне ние LM- ij.(p, где Lr.=a—, имело бы нетривиальные ограниченные решения при х-^ ±00. Эти ограничения позволили найти следз^ющие уравнения с част ными производными:

1) уравнение (2.16) Al«n(ln",2>« +«п(1П",2^ +(«П^ +Д1) а^ ",2+2г<„ + • " I 2 + 2 M „ = 0', с операторами Лакса, имеющими вид: Z = «„ О 1 ^( П ^ ^ \

1^ дх dtj Ч2 ka2i U^^+k Ч,^ ' " l 2 -

2a,, J 2a, •(1ПЦ,), -Ь„-ь1[д,|Д]1пцз

2) уравнение (2.27) «nViu+f ^1—+ —j(«22-«unn«2iL) = 0 = получаемое из уравнения Лакса с операторами L = «11 О « и (In "21). -«22

1о А их Д . - А 2

2а„М2,

где 6 - const',

3) уравнение (2.34) Д.:гт + Эх йхЭ? V21 имеющее операторное представление Лакса (2.1), где а, 1 = Г'' f-(lnv„).*21 - ^ ( l n v „ ) 21/х l^-i;"^!^""^' •"г! "^ 21 К^ "!^ !!""""

4) уравнение (2.41) С операторами Лакса, имеющими вид:

ехр(2Д,я)-2«„Д,^, •Ри дх •ехр(2Д,^) «2l(^'0 = - g . ( ^ , 0 v,2=exp(2Д,g),

5) уравнение (2.48) _ Л _Лк дЛ (^ д д^

2а,2 2 9 J V & а? ^«?2 1 " получаемое из операторного уравнения Лакса с операторами вида: < ^ « > ' - ^ ^ /' 1 ( Ь 9 ) ^ + — - q |2 "21 «., ±- 12 2Я V дх dtj ^"21±:г( A i ^ + ^ F ^ V 2а^2\ дх dt "гг «21 о;,2 В частном случае, рассматривая уравнение (2.48) с верхним знаком, при выполнении равенств Я = г, «21 = 1 ДИМ к (2.59) Я, V22 =г / , г = Д, , перехо «12 rg^(x,t) + k(\nq{x,t))^-2f^ix,t) = gXx,t)., с операторами ^ i (Q. а Л /«„^ + 1 { 1а^:^к ^ l\q ак Г « 1 2 ^ V «12 «12 J a.jki + 1 ia.—1£ q i£.у 2a,2 2a, 12 К «12 ^ ^ ^ ^ a,2 дх dt Уравнение (2.59) является моделью процессов в средах с нелинейной диффузией. Большая часть диссертационной работы посвящена исследова нию этого уравнения.П. К нелинейному уравнению диффузии (2.59) подобрана еще одна лак сова пара: 1 = Го -е ,к о . дх •у О" III. Доказана теорема, определяющая связь между операторными струк турами Лакса и уравнения нулевой кривизны для одномерного случая, когда коэффициенты операторов представлены квадратными матрицами.IV. Для уравнения yq, {х, t) + к (In qix, t))^^ = q, (x, t) li) Исследован вопрос наличия законов сохранения с помощью метода, пред ложенного Захаровым и Шабатом [63].2) Найдено решение методом обратной задачи рассеяния при определенных ^ граничных условиях. Следует отметить, что ранее рассмотренные нели нейные задачи, проинтегрированные МОЗР, сводились к нелинейному уравнению Шредингера. В описанном случае, задача на собственные зна чения никакими преобразованиями к уравнению Шредингера не сводится.Одним из существенных отличий таюке является функциональная зависи мость данных рассеяния от деформационного параметра t и отсутствия бесконечной последовательности законов сохранения.3) Найдено решение с помощью метода Хироты.4) Найдено решение в виде бегущей волны и автомодельное решение.5) Найдено «локальное» представление общего решения в виде обобщенного ряда Лорана вблизи подвижного сингулярного многообразия (^(х, t) = 0, что говорит о выполнении свойства Пенлеве.V. Найдены решения уравнения yq^ (х, t) + k[hx q{x, t))^^ - 2/, (х, t) = q, (x, t) с помощью метода Хироты, метода бегущих волн, решения в виде функций Вейерштрасса для вполне определенных значений возмущающей функции / Определены значения возмущения, представленного функцией/для случая, когда решение имеет вид одиночного солитона и двусолитонный вид.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Ищенко, Валентина Михайловна, Ставрополь

1. Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell А.С. and Segur. H. Nonlinear evolution equations of physical significance. - Phys. Rev. Lett., 31, 1973. - P. 125-127.

2. Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell A.C. and Segur. H. The inverse scattering transform. Fourier analysis for nonlinear problems, Stud. Appl. Math., 53, 1974.-P. 249-315.

3. Ablowitz M.J., Newell A.C. J. Math. Phys. 14, 1973. - P. 1227-1235.

4. Ablowitz M. J., Ramani A. and Segur H. Nonlinear evolution equations of Painleve type. Lett. Nuovo Cim., 23, 1978. - P. 333-338.

5. Ablowitz M.J., Segur. H. Preprint, Clarkson College of Technology, Potsdam, N.Y. 1975. - 147 s.

6. Adler M. On a trace functional for formal pseudo-differential operators ,and the symplectic structure of the Korteweg-de Vries equation. Inv. Math., 50, 1979.-P. 219-248.

7. Adler M. and. Mosep. J. On a class of polynomials connected with the Korteweg-de Vries equation. Comm. Math. Phys., 61, 1978. - P. 1-30.

8. Airault H., McKean H. P. and Moser J. Rational and elliptic solutions of the KdV equation and related many-body problems Comm. Pure Appl. Math., 30, 1977. -P. 95-198.

9. Arechi F. Т., Boniacio R. IEEE J. QE-1, 1965.-P. 169-173.

10. Backlund A.V. Math. Ann. 9, 1876. - P. 297-304.

11. Backhand A.V. Math. Ann. 19, 1882. - P. 387-392.

12. Backhand A.V. Zur Theorie der partiellen Differential gleichungen erster Ord-nung. Math. Ann., 17, 1880. - P. 285-328.

13. Berezin F.A. and Perelomov A.M. Group theoretic interpretation of the Korteweg-de Vries type equations. Comm. Math. Phys., 74, 1980. - P. 129140.

14. Deift D. and Trabowitz E. Some remarks on the Korteweg-de Vries and Hill's equations, in Nonlinear Dynamics, R. G Helleman, ed., Ann. New York Academy of Science, vol. 357, 1980. P. 55-64.

15. Estarbrook F. B. Prolongation structures of nonlinear evolution equations. Pprint, 1981.-25 s.

16. Fermi E., Pasta J.R., Ulam S. In Collected Works of Enrico Fermi, Vol. II Univ. of Chicago Press, Chicago III. 1965.

17. Flaschlca H., Newell A.C. Integrable Systems of Nonlinear Evolution Euations. In Dynamical Systems, Theory and Application, Lecture Notes in Physics, Vol. 38, ed. By J. Moser (Springer, Berlin, Heidelberg, New York,) 1975.

18. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D. and Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation. Phys. Rev. Lett, 19, 1967. - P. 1095-1097.

19. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D. and Miura R.M. The Korteweg-de Vries equation and generalizations. VI Methods for exact solution, Comm. Pure Appl, Math., 27, 1974. - P. 97-133.

20. Hermann R. Prolongatios, Backlund transformations, and Lie theory as algorithms for solving and understanding nonlinear differential equations, in Soli-tons in Action, K. Lonngren and A, C. Scott, eds„ Academic Press, New York, 1978.

21. Hille E. Ordinary Differential Equations in the Complex Domain. John Wiley. -New York. 1976.

22. Hirota R. A new form of Backhand transformation and its relation to the inverse scattering problem. Prog, Theoret. Phys., 52, 1974. - P. 1498-1512.

23. Hirota R. Direct methods of finding exact solutions of nonlinear evolution equations, in Backlund transformations, R. M. Miura, ed., Lecture Notes in Mathematics 515, Springer-Verlag, New York, 1976.

24. Hirota R. Lecture delivered of Soliton Workshop /Jadwisin, Warsaw, Poland, Aug. 1979.

25. Kazhdan D, Kostant B. and Sternberg S. Hamiltonian group actions and dynamical systems of Calogero type. Comm. Pure Appl. Math., 31, 1978. - P.481.507.

26. Korteweg D.J., de Vries G. Philos. Mag. 39, 1895. - P. 422-431.

27. Lamb G.L., Jr. Phys. Lett. 25A, 1967. - P. 181-194.

28. Lamb G.L., Jr. Rev. Mod. Phys. 43, 1971. - P. 99-107.

29. Lax P. Comm. Pure Appl. Math. 28, 1975. - P. 141-149.

30. Lebedev and Yu. I. Manin. Hidden symmetries, ITEP, preprint. 1978. 27 s.

31. McCall S.L., Hahn E.L. Bull. Am Phys. Soc. 10, 1965.-P. 1189-1197.

32. McCall S.L., Hahn E.L. -Phys. Rev. Lett. 18, 1967. P. 908-1003.

33. McKean H.P. and Trubowitz E. Hill's operator and hyperelliptic function theory in the presence of infinitely many branch points. Comm. Pure Appl. Math., 29, 1976. - P. 143-226.

34. McKean H.P. van Moerbeke P. Inventiones Math. 30, 1975. - P. 127-138.37. Miura R. SIAM Rev.

35. Newell A.C. Proc. N. S. F. Conference on Solitons, Tucson. 1976.

36. Novikov S. P. and Krichever I. M. Algebraic geometry and mathematical physics, cited in Proc. Joint US USSR Symposium on Soliton Theory, Kiev, 1979.

37. RajaramanR. Phys. Rep. 21, 1975. - P. 227-302.

38. Russell J.S. Proc. Roy. Soc. Edingburh, 319, 1844.Щ 42. Scott A.C, Chu F, McLaughlin D.W. Proc. IEEE 61, 1 1443, 1973.

39. Seeger A, Donth H, Kochendorfer A. A. Phys. 134, 1953. - P. 173-181.

40. TodaM. Phys. Rep. 2. 1975. - 18 s.

41. Zabusky N. J., Kruskal M.D. Phys. Rev. Lett. 15, 1965. - P. 240-247.'

42. Zakharov V.E. and Shulman E.I. Degenerate dispersion laws, motion invari-ance and: kinetic equations. Physica D, 1, 1980. - P. 192-202.

43. Абловиц M. Солитоны и метод обратной задачи. /М. Абловиц, X. Сигур/• -М.: Мир, 1987.-478 с.

44. Агранович З.С. Обратная задача теории рассеяния. /З.С. Агранович, В.А.Марченко/ Изд. Харьковского университета, Харьков, 1960. - 268 с.

45. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения /Э.Л. Айне/ -Харысив, ДНТВУ, 1939. 241 с.

46. Арнольд В.И. Математические аспекты классической и небесной механики. /В.И. Арнольд, В.В. Козлов, А.И. Нейштадт // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-3. ВИНИТИ, 1985. 303 с.

47. Богоявленский О.И. Интегрируемые динамические системы, связанные с уравнением КдВ. /О. И. Богоявленский// Изв. АН СССР Сер. матем., 1987. -№6,Т.51.- С. 1123-1141.

48. Богоявленский О.И. Некоторые конструкции интегрируемых динамических систем. /О.И. Богоявленский // Изв. АН СССР Сер. матем., 1987. -№4, Т.51.-С. 737-766.

49. Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. /О. И. Богоявленский/. М.: Наука, 1980.-319 с.

50. Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны: Нелинейные интегрируемые уравнения. /О. И. Богоявленский/. М.: Наука, 1991. - 319 с.

51. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. /В. Воль-терра/. М: Наука, 1976. - 286 с.

52. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. /Ф.Р. Гантмахер/. М.: Наука, 1988. - 548 с.

53. Гельфанд И.М. Резольвенты и гамильтоновы системы. / И.М. Гельфанд, Л.А. Дикий // Функц. анализ и его прилож., 1977. Выпуск 11, № 2. - С. 11-27.

54. Дикий Л.А. Гамильтоновы операторы и связанные с ними алгебраические структуры. / Л.А. Дикий, И.Я. Дорфман, И.М. Гельфанд // Функц. анализ и его прилож., 1979. Выпуск 13, №3, с. 13-30.

55. Журавлев В.М. Нелинейные волны в многокомпонентных системах с дисперсией и диффузией. Точно решаемые модели. /В.М. Журавлев/ -Ульяновск, Изд-во УлГУ, 2001. 256 с.

56. Захаров В.Е. Точное решение задачи о параметрическом взаимодействии трехмерных волновых пакетов. /В.Е. Захаров// Доклады АН СССР, 1976. -Т.228. С. 1314-1321.

57. Захаров В.Е. Теория резонансного взаимодействия волновых пакетов в нелинейных средах. /В.Е. Захаров, С.В. Манаков// Письма в ЖЭТФ, 1975. -Т.69. С. 1654-1673.

58. Захаров В.Е. Уравнение КдВ вполне интегрируемая гамильтонова система. /В.Е. Захаров, Л.Д. Фаддеев// Функц. анализ и его прилож., 1971. — Выпуск 5, №1,-С. 18-27.

59. Захаров В.Е. Схема интегрирования нелинейных эволюционных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния.1 /В.Е. Захаров, А.Б. Шабат// Функц. анализ и его прилож:., 1974. Выпуск 3, № 6.-С. 43-53.

60. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных эволюционных уравнений математической физики методом обратной задачи рассея-ния.П /В.Е. Захаров, А.Б. Шабат// Функц. анализ и его прилож., 1974. — Выпуск 3,№ 13.-С. 13-22.

61. Захаров В.Е., Шабат А.Б.Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде. /В.Е. Захаров, А.Б.Шабат//ЖЭТФ., 1975.-Т.61. С. 118-134.

62. Кадомцев Б.Б. Нелинейные волны / Б.Б. Кадомцев, В.И. Карпман// УФН, 1971.-Выпуск 2.-С. 103-193.

63. Кадомцев Б.Б. Об устойчивости уединенных волн в слабодиспергирую-щих средах /Б.Б. Кадомцев, В.Н. Петвиашвили// Доклады АН СССР, 1970.-Т. 192. С. 753-756.

64. Калоджеро Ф. Спектральные преобразования и солитоны: Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений /Ф. Калоджеро, А. Дегасперие/. М.: Мир, 1985. - 469 с.

65. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. /В.И. Карп-ман/. М.: Наука, 1973. - 175 с.

66. Лаке П:Д. Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны. /П.Д. Лаке// Математика. М.: Мир, 1969. - Т. 13, № 5.С.128-150.

67. Лаке П.Д. Теория рассеяния. /П.Д. Лаке, Ф.С. Ральф/ М.: Мир, 1971. -312 с.

68. Лэм Дж. Введение в теорию солитонов./Дж. Лэм / Под ред. В.Е. Захарова.- М.: Мир, 1983.-294 с.

69. Манаков С.В. -ЖЭТФ, 1973. Т.65. - С. 1392-1401.

70. Манаков С.В. ЖЭТФ, 1974. - Т. 67. - С. 543-562.

71. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. /М.А. Наймарк/- М.: Госиздат технико-теоретической литературы, 1954. 351 с.

72. Нелинейные волновые процессы: Сб. статей /Перевод с англ. под ред. и с предисл. В.Н. Николаевского. М.: Мир, 1987. - 295 с.

73. Нелинейные волны: Сб. статей /АН СССР, Ин-т прикл. физики; отв. ред. А.В. Гапонов-Грехов. М.: Наука, 1979. - 359 с.

74. Нелинейные волны. /Под ред. А.В. Гапонова и Л.А. Островского. М.: Мир, 1977.-319 с.

75. Нелинейные волны. Динамика и эволюция: Сб. науч. тр. /АН; СССР, Ин-т прикл. физики. Отв. ред. А.В. Гапонов-Грехов, М.И. Рабинович. М.:Наука, 1989.-397 с.

76. Новиков С.П. // Функц. анализ и его прилож., 1974. Выпуск 8, № 3. - С. 54-60.

77. Новокшенов В.Ю. Асимптотика при t -> со решения задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера. /В.Ю. Новокшенов// Доклады АН СССР, 1980. Т. 251, №4. - С. 799-801.

78. Новокшенов В.Ю. Асимптотика при t-> оо решения задачи Коши для двумерного обобщения цепочки Тоды. /В.Ю. Новокшенов // Изв. АН СССР, сер. матем., 1984. Т.48, №2. - С. 372-410.

79. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. /А. Ньюэлл/ Перевод с англ. И.Р.Табитова и др.; Под ред. А.В. Михайлова. М.: Мир, 1989. - 323 с.

80. Рейссиг Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. /Р. Рейссиг, Г. Сансоне, Р. Конти/ Перевод с нем. И.П. Маркова. Под ред. Б.П. Демидовича. М.: Мир, 1974. - 318 с.

81. Солитоны. /Р. Буллаф, М. Вадати, X. Гиббс и др/ Ред. Р. Буллаф, Ф. Код-ри/ Перевод с англ. Б.А. Дубровина и др; Под ред. С.П. Новикова. Н.: ИОНФМИ, 1999.-406 с.

82. Солитоны в действии. /Р. Миура, Г. Мозес, Р. Герман и др./ Под ред. К. Лонгрена, Э. Скотта; Перевод с англ. под ред. А.В. Гапонова-Грехова, Л.А. Островского. -М.: Мир, 1981. 312 с.

83. Солитоны и инстанты, операторное квантование: Сб. статей /Отв. ред.B.Л. Гинзбург. М.: Наука, 1986. - 228 с.

84. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. /Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, X. Моррис/ Перевод с англ. В.П. Гурария, В.И. Мацаева; Под ред. А.Б. Шабата. М.: Мир, 1988. - 694 с.

85. Теория солитонов: Метод обратной задачи. / В.Е. Захаров, С.В. Манаков,C.П. Новиков, Л.П. Питаевский/ Под ред. С.П. Новикова. М.: Наука, 1980.-319 с.

86. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны./Дж. Уизем/ Перевод с англ. В.В. Жаринова; Под ред. А.Б. Шабата. М: Мир, 1977. - 622 с.

87. Фаддеев Л.Д. Метод обратной задачи рассеяния для решения эволюционных уравнений математической физики. /Л.Д. Фаддеев/. Хабаровск: Хабаровск. Комплекс. Центр НИИ, 1977. - 39 с. (Препринт)

88. Ищенко В. М. Обратная задача рассеяния для нелинейного уравнения диффузии / В. М. Ищенко // Известия ВУЗов Сев.-Кав. региона Естественные науки. Ростов-на-Дону. 2005 г. - Приложение №7. - С. 3-6.

89. Ищенко В.М. Получение уравнений с частными производными обладающих операторной структурой Лакса / В. М. Ищенко // Деп. в ВИНИТИ0707.2005. № 957-В2005. 18 с.

90. Ищенко В.М. Построение решений нелинейного уравнения диффузии с помощью прямых методов / В. М. Ищенко // Деп. в ВИНИТИ 07.07.2005. № 959-В2005. 30 с.

91. Ищенко В.М. Решение нелинейного уравнения диффузии методом обратной задачи рассеяния / В. М. Ищенко // Деп. в ВИНИТИ 07.07.2005. № 958-В2005. 11 с.

92. Ищенко В.М. Метод обратной задачи рассеяния для нелинейного уравнения теплопроводности / В. М. Ищенко, Т.В. Редькина // Сб. трудов XVIII Международной науч. конф. в 10 т. — Казань: Изд-во Казанского гос. тех: нол. ун-та, 2005. Т.1. - С. 170-172.

93. Ищенко В.М. Модель с нелинейной диффузией / В. М. Ищенко, Т.В. Редькина // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж. весен, матем. шк. «Понтрягинские чтения XV», 3-9 мая 2004 г. -Воронеж, 2004. - С. 185-186.

94. Ищенко В.М. Операторные структуры модели с нелинейной диффузией / В. М. Ищенко, Т.В. Редькина // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. матем. шк., 27 января 2 февраля 2005 г. - Воронеж, 2005. - С.195-196.

95. Ищенко В.М. Тест на интегрирование модели 1+1-мерных процессов в средах с нелинейной диффузией /В.М. Ищенко, Т.В. Редькина // Известия ВУЗов Сев.-Кав. региона. Естественные науки. Ростов-на-Дону, 2004 г. - Приложение №11(23). - С. 22-26.