Устойчивость и коллапс солитонов вблизи перехода от мягкой к жесткой бифуркации в системах гидродинамического типа тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Российская Академия Наук Институт Теоретической физики им Л Д Ландау

На правах рукописи

Агафонцев Дмитрий Сергеевич

Устойчивость и коллапс солитонов вблизи перехода от мягкой к жесткой бифуркации в системах гидродинамического типа

01 04 02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2008

003171717

Работа выполнена в Институте теоретической физики им Л Д Ландау Российской Академии Наук

Научный руководитель доктор физико-математических паук,

член-корреспондент РАН Кузнецов Е А

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Гончаров В П

доктор физико-математических наук Дьяченко А И

Ведущая организация Институт космических исследований РАН,

г Москва

Защита состоится 38 июня 2008г в <7 часов на заседании диссертационного совета Д 002 207 01 при Институте теоретической физики им Л Д Ландау РАН, расположенном по адресу Ц2432, Московская обл , Ногинский р-н , поселок Черноголовка, Институт физики твердого тела РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им Л Д Ландау РАН

Автореферат разослан «_»_2008 г

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

Гриневич П Г

Общая характеристика работы Актуальность темы

Солитоны были впервые обнаружены на поверхности жидкостей в позапрошлом веке и долгое время представляли интерес лишь для небольших групп специалистов в области гидродинамики и математики В конце 50-х годов XX века концепция солитонов проникает в физику плазмы, а с начала 70-х, когда была продемонстрирована структурная устойчивость солитонов уравнения Кортевега-де Вриза (КдВ) [1] и нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) [2], а также было предложено использовать солитоны в качестве битов информации в оптоволоконных коммуникациях [3], солитоны становятся весьма популярным объектом исследования Солитоны, согласно общепринятому определению, представляют собой нелинейные локализованные в пространстве объекты, движущиеся с постоянной скоростью Скорость солитона является главным параметром солитона, часто определяющим его амплитуду и ширину Подобными являются солитоны на поверхности жидкостей, а также солитоны, впервые открытые в плазме - ионно-акустические и магнитозвуковые Однако, впоследствии были обнаружены и более сложные солитонные решения в виде осциллирующих солитонов, внутри которых происходят осцилляции с определенной частотой и длиной волны Подобные солитонные решения часто возникают в задачах о распространении квазимонохроматических волновых пакетов в нелинейной среде с дисперсией, включая также задачи о самофокусировке „Внутренняя" длина волны осциллирующих солитонов, как правило, много меньше их характерного размера, поэтому такие солитоны часто называют „солитонами огибающих"

Впервые бифуркации солитонов были обнаружены для гравитационно-капиллярных волн на глубокой воде в численных экспериментах Лонге--Хиггинса [4] Бифуркации происходят при стремлении скорости солито-на V к минимальной или максимальной фазовой скорости линейных волн Va- При этом, амплитуда солитона может стремиться к нулю плавно (мягкая бифуркация), либо испытывать скачек (жесткая бифуркация) Бифуркации солитонов имеют много общего с фазовыми переходами В частности, как было выяснено в работах [5]-[9], солитоны в случае мягкой бифуркации вблизи критической скорости ведут себя универсальным образом их форма определяется стационарным НУШ фокусирующего типа, ширина ведет себя как ¡Ver — V|~1//2, а амплитуда - как \Vcr — V\1!2 Последнее роднит эти явления с фазовыми переходами второго рода С другой стороны, аналогом фазового перехода первого рода является жесткая бифуркация, когда амплитуда солитона испытывает скачек в точке бифуркации Если этот скачек мал, то жесткая бифуркация близка к мягкой, что позволяет развить теорию возмущений так же, как и в случае фазовых переходов вблизи три-критической точки Переход от мягкой бифуркации к жесткой соответствует смене знака четырехвол-нового матричного элемента В работе [10] было показано, что подобная ситуация имеет место для солитонов внутренних волн, распространяющихся вдоль границы раздела между двумя идеальными жидкостями, когда отношение их плотностей р — Р2/Р1 < 1 совпадает с критическим Per = (21 — 8\/5)/И ~ 0 283 Обращение четырехволнового матричного элемента в ноль происходит также в системе поверхностных квазимонохроматических гравитационных волн в жидкости конечной глубины при критическом произведении глубины жидкости и волнового числа основной гармоники вег = koh и 1 363 (см например [11], [12]) Как показано в [13], в нелинейной оптике уменьшение абсолютного значения четы-

рехволиового матричного элемента может происходить за счет стрикци-онного взаимодействия (рассеяние Мандельштамма-Бриллюена)

Солитоны, как физические объекты, представляют практический интерес если они устойчивы Поэтому задача об устойчивости солитонов является одной из главных В случае неусточивости одним из возможных вариантов нелинейной стадии неустойчивости является волновой коллапс - разрушение солитона происходит за конечное время с образованием сингулярности для амплитуды и/или ее градиентов С точки зрения нелинейной оптики, например, оптики световолокон, этот процесс сопровождается сжатием импульса и поэтому может служить в качестве возможного способа получения сверх-коротких импульсов

Цель диссертационной работы

1 Исследование бифуркаций солитонов внутренних волн при стремлении скорости солитона к минимальной фазовой скорости линейных волн вблизи перехода от мягкой бифуркации к жесткой Изучение устойчивости полученных солитонных решений как в случае мягкой бифуркации, так и в случае жесткой

2 Исследование устойчивости слабонелинейных волн Стокса, а также бифуркаций и устойчивости поверхностных солитонов огибающих для жидкости конечной глубины вблизи критического произведения волнового числа несущей гармоники и глубины жидкости всг

3 Изучение нелинейной стадии неустойчивости солитонных решений соответствующих случаю жесткой бифуркации вблизи перехода от мягкой бифуркации к жесткой

Основные результаты

Результаты диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем

1 Разработан основанный на применении гамильтонова формализма метод теории возмущений для исследования свойств квазимонохроматических волновых пакетов в нелинейных средах в случае, когда константа четырехволнового взаимодействия близка к нулю В рамках данного метода предложен способ расчета всех необходимых констант нелинейного взаимодействия В частности, получена формула для подсчета перенормировки константы шестиволнового взаимодействия за счет трех-, четырех-, и пятиволнового взаимодействия для произвольной динамической системы

2 С помощью предложенного метода исследованы бифуркации соли-тонов внутренних волн вблизи критического отношения плотностей жидкостей per при стремлении скорости солитона к минимальной фазовой скорости линейных волн Выведено обобщенное нелинейное уравнение Шредингера, описывающее поведение солитонов при V -> Vcr, которое по сравнению с классическим НУШ учитывает градиентные члены к четырехволновому взаимодействию и ше-стиволновое взаимодействие Показано, что при р < рст солитоны испытывают мягкую бифуркацию, тогда как при р > Per - жесткую Анализ устойчивости полученных солитонных решений показал, что солитоны, соответствующие случаю мягкой бифуркации, устойчивы относительно конечных возмущений, тогда как солитоны, соответствующие случаю жесткой бифуркации - неустойчивы

3 Рассмотрена динамика квазимонохроматических поверхностных гравитационных волн в жидкости конечной глубины h вблизи крити-

тического произведения волнового числа и глубины жидкости во- = ксгН В частности, проанализированы устойчивость волн Стокса в зависимости от амплитуды волны, а также бифуркации и устойчивость солитонов огибающих при стремлении обратной ширины волнового пакета к нулю Показано, что в случае в > всг солито-ны являются устойчивыми относительно конечных возмущений и испытывают мягкую бифуркацию, тогда как в случае 9 < со-литоны неустойчивы и испытывают жесткую бифуркацию

4 Исследована нелинейная стадия неустойчивости солитонов, соответствующих случаю жесткой бифуркации, вблизи перехода от мягкой бифуркации к жесткой как для солитонов внутренних волн, так и для поверхностных солитонов огибающих в жидкости конечной глубины Показано, что в зависимости от знака возмущения в системе возможен коллапс, развивающийся автомодельным образом При этом вблизи образования коллапса пик распределения остается практически симметричным Влияние эффекта укручения фронта приводит к асимметрии его хвостов

Научная новизна и достоверность

Результаты диссертационной работы получены впервые, ее выводы обоснованы надежностью применявшихся при исследовании современных методов теоретической физики и подтверждаются результатами апробации работы

Научная и практическая ценность

Полученные в работе результаты позволяют улучшить понимание про-

цессов, связанных с бифуркациями солитонов вблизи перехода от мягкой бифуркации к жесткой, а также с коллапсом солитонов, соответствующих случаю жесткой бифуркации Предложенные модели могут служить основой для построения различных обобщений, особенно в приложении к оптоволоконным коммуникациям при исследовании свойств солитонов фемто-секундного диапазона, а также способов получения сверхкоротких импульсов

Апробация работы

Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на международной конференции в Москве (Annual Conference on Nonlinear Dynamics, Москва, 2005), на научных школах „Нелинейные волны - 2006", „Нелинейные волны - 2008" (Н Новгород), на международной конференции „Solitons, collapses and turbulence" (Черноголовка, 2007), на конференции „Frontiers of nonlinear physics - 2007" (H Новгород, 2007), а также на семинарах в ИТФ им JI Д Ландау

Публикации

По материалам диссертации опубликовано четыре печатных работы Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы

Краткое содержание работы Введение

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения

Глава I. Бифуркации и устойчивость солитонов внутренних волн вблизи критического отношения плотностей жидкостей

В этой главе рассматривается задача о бифуркациях и устойчивости одномерных солитонов внутренних волн, распространяющихся вдоль поверхности раздела между двумя идеальными несжимаемыми жидкостями с плотностями pi и р2 в поле тяжести и с учетом поверхностного натяжения на границе вблизи критического отношения плотностей жидкостей Более плотная жидкость р\ находится внизу, р = ръ/р\ < 1 Скорость солитона может принимать значения внутри некоторого „разрешенного" интервала, границы которого определяются в общем случае из условия касания плоскости из = (k V) и дисперсионного соотношения для линейных волн ш = ш(к), пересечение этих поверхностей означает присутствие черенковского излучения и невозможность существования стационарно движущихся объектов На границах интервала скорость солитона принимает максимальное значение, равное минимальной фазовой скорости линейных волн Vcr, и в результате солитоны испытывают либо мягкую, либо жесткую бифуркации Если плотность верхней жидкости много меньше чем плотность нижней р -С 1, то также как и в случае чистых гравитационно-капиллярных волн на глубокой воде, солитоны ис-

пытывают мягкую бифуркацию Однако, как было впервые установлено в [10], с ростом отношения плотностей жидкостей характер нелинейного взаимодействия меняется с фокусирующего на дефокусирующий при переходе через рсг, где четырехволновый матричный элемент обращается в ноль При этом в случае р > рсг солитоны испытывают жесткую бифуркацию при V Vcr их амплитуда меняется скачком с некоторого конечного значения до нуля Поэтому, для того, чтобы исследовать бифуркации солитонов вблизи критического отношения плотностей жидкостей, необходимо учитывать члены высших порядков по сравнению с классическим НУШ градиентные члены к четырехволновому взаимодействию а также шестиволновое взаимодействие Оказывается, что первые бывают двух типов (оба присутствуют в задаче) локальный по огибающей первой гармоники ■ф и ее первой производной по координате 1рх член, а также нелокальный, аналогичный найденному Дистом [14] для гравитационных волн на глубокой воде

В разделах II, 12, 13и14в рамках гамильтонова формализма рассчитываются константы нелинейных взаимодействий, а также выводится результирующее уравнение движения для огибающей первой гармоники солитона, которое в безразмерных переменных записывается в виде

#£ + Фхх - Ач - ц\ф\2ф + Щ-ф\2фх + 7+ 3С\ф\'ф = 0, (1)

где

7 = 32/\/427, С = 319/1281,

Оператор к определяет нелокальную нелинейность, Фурье-преобразование

от ядра этого оператора есть | А;| Два дополнительных члена, ответственных за четырехволновое взаимодействие, появляются как разложение че-тырехволнового матричного элемента Т^к^ (ввиду малости абсолютного значения последнего) по малым параметрам пг = кг — ко

Ты2к3К4=^ + 7^(К1 + К2 + К3 + К4) (2)

т

—5-(1К1 - «з| + 1К2 - Кз| + |К2 - «4| + -

07Г

В разделе I 4 исследуются солитонные решения полученного уравнения В частности, в случае Л > 0 с помощью численного моделирования с применением схемы Петвиашвили [15] найдены три семейства ц = 0, ±1 экспоненциально затухающих солитонов В случае А = 0 существует только один алгебраически затухающий солитон, соответствующий жесткой бифуркации ¡1 = +1, форма которого может быть найдена аналитически

= (ха + а2)-1/2' А2 = 72 + 2 - 7х/72 + 3, а=§(-7 + 2^72 + з)

На Рис 1 изображена зависимость волнового действия N = \1р\2с1х на солитоне от параметра А в случае фокусирующей кубической нелинейности ((1 <0) N растет с увеличением А, в случае дефокусирующей нелинейности - падает, при ц = О (критический случай) N не зависит от А

В разделе 15с помощью теоремы Ляпунова, а также точных интегральных оценок типа Соболева анализируется устойчивость солитон-ных решений Показано, что нижнее семейство солитонов ц = —1, испытывающих мягкую бифуркацию при V —► Усг, реализует минимум энергии при фиксированном волновом действии, что означает устойчи-

& л \ ............... Т »1—1 А Д=+1 - Ц=0

/ ▼ ¥ г

123456789 10 X

Рис 1 Зависимость волнового действия N на солитоне от А для ц = 0, ±1

вость рассматриваемых решений не только относительно малых, но также и относительно конечных возмущений В то же время, солитоны, соответствующие жесткой бифуркации ц — +1, реализуют седловую точку энергии, что означает их неустойчивость относительно конечных возмущений

Глава II. Бифуркации и устойчивость поверхностных солито-нов огибающих для жидкости конечной глубины

Как было впервые установлено Бенджамином и Фейром [11] в 1967 году, слабонелинейные периодические гравитационные волны - волны Стокса - на поверхности идеальной жидкости оказываются неустойчивыми, если произведение волнового числа и глубины жидкости в = кок больше критического во-, и устойчивыми в противном случае При этом область неустойчивости Бенджамина-Фейра в пространстве волновых чисел возмущений пропорциональна амплитуде волны Стокса, те в пределе малых амплитуд неустойчивые возмущения представляют собой модуляции исходной волны Последнее обстоятельство послужило основанием для

вывода НУШ для огибающих, что было выполнено Хасимото и Оно [12] в 1972 году В частности, в работе [12] было продемонстрировано, что устойчивость монохроматических волн определяется знаком коэффициента перед кубической нелинейностью, который обращается в ноль при

к^И = во-

Для исследования устойчивости волн Стокса при произведении волнового числа и глубины жидкости, близком к критическому, необходимо учесть члены высших порядков по сравнению с классическим НУШ С помощью методов, развитых в Главе I, в разделе II1 выведено обобщенное нелинейное уравнение Шредингера на огибающую первой гармоники квазимонохроматического волнового пакета гр, которое в безразмерных переменных записывается следующим образом

+ Фхх - цЩЧ + ЩФ\2Фх + з сщ*-ф = о, (з)

где

0 = 81^(00.-0), /?«-0 397, С яз 0 176

Безразмерные переменные выбраны так, чтобы С\ = С -1- 01 = 1/3 По сравнению с солитонами внутренних волн в данной задаче отсутствуют какие-либо нелокальные члены Необходимо отметить также, что процедура расчета шестиволнового матричного элемента существенно отличается от таковой в случае солитонов внутренних волн неопределенности вида О/О, возникающие при учете перенормировок за счет трех-, четырех*, и пятиволнового взаимодействия, оказываются конечными Данные вычисления приведены в приложении

В разделе II 2 исследуется устойчивость решения уравнения (3) в виде монохроматической волны Показано, что волна Стокса гр = А ехр[—гШ]

1

2 3 4 5

Рис 2 Зависимость волнового действия N на солитоне от Л для д = 0 ц < 0, ^ > О неустойчива при

в > 1 363 - 8 282А2 (4)

и устойчива в противном случае Таким образом, область устойчивости монохроматической волны в ¿-пространстве сужается с ростом ее амплитуды

В разделе II 3 показано, что как и в случае солитонов внутренних волн, уравнение (3) допускает три семейства экспоненциально затухающих солитонных решений вида ф(х, ¿) = ф(х)ег>'21 при Л > 0 и ц = 0, ±1, которые в отсутствии нелокальных членов могут быть найдены точно

Л\2

1#с)12= , -, (5)

а также одно алгебраически затухающее при Л = 0 и ц = +1,

2

я2 + !

3

Зависимость волнового действия N на данных решениях от Л представлена на Рис 2 Солитонные решения, соответствующие случаю фокуси-

рующей кубической нелинейности в > всг, испытывают мягкую бифуркацию при стремлении обратной ширины волнового пакета Л к нулю и являются устойчивыми относительно конечных возмущений Последнее, как и в случае солитонов внутренних волн, может быть продемонстрировано с помощью применения теоремы Ляпунова и точных интегральных оценок типа Соболева В то же время, солитоны, соответствующие дефо-кусирующей кубической нелинейности в < в^, при Л —» 0 испытывают жесткую бифуркацию и являются неустойчивыми относительно конечных возмущений

Глава III. Коллапс солитонов вблизи перехода от мягкой бифуркации к жесткой

В этой главе рассматривается вопрос о возможности развития коллапсов в системах, описываемых уравнением типа (1) как в присутствии нелокального члена, так и при его отсутствии (7 = 0) В частности также исследуется вопрос о нелинейной стадии неустойчивости солитонов, соответствующих случаю жесткой бифуркации, вблизи перехода от мягкой бифуркации к жесткой как для солитонов внутренних волн, так и для поверхностных солитонов огибающих в жидкости конечной глубины

В разделе III 1 показано, что при ß > 0 в системе, описываемой уравнением (1), существуют распределения с отрицательной энергией Е < 0, амплитуда которых не может становиться меньше фиксированного значения, определяемого через значения энергии и волнового действия на данном распределении

х JV

где энергия, выраженная в терминах амплитуды и фазы (ф = reltp) за-

писывается в виде

Е =

^ + + {ifx + ßr2)2

dx (6)

Более того, в отсутствии локального градиентного члена к четырехвол-новому взаимодействию (ß = 0) условие отрицательности энергии на распределении оказывается достаточным условием образования особенности в системе за конечное время, т е коллапса вторая производная по времени положительно определенной величины R = f x2\ip\2dx может быть выражена как

Äti = s(V^J|V>|W), (7)

что в случае ц > 0 означает R < AEt2 + atf + а2 Коэффициенты а^ определяются из начальных условий Отсюда Е < 0 является достаточным критерием коллапса R обращается в ноль за конечное время

В разделе III 2 приведены результаты численного моделирования возмущенных солитонных решений уравнения (1), соответствующих случаю жесткой бифуркации Показано, что в зависимости от начального возмущения одной из возможных нелинейных стадий неустойчивости этих решений является коллапс развивающийся автомодельным образом,

r(x>t) = (t0-t)-^f({to*t)1/2y (8)

где ¿о - время образования коллапса При этом, достаточно неожиданным результатом оказалась практически полная симметричность пика функции / вблизи образования коллапса в присутствие нелинейности вида г\ф\21фх, которая в зависимости от знака коэффициента ß должна приводить к дополнительному укручению переднего или заднего фронта волны и опрокидыванию Вместо этого, как в случае солитонов внутренних волн (/? > 0), так и в случае поверхностных солитонов огибающих в

жидкости конечной глубины (¡3 < 0), несимметричность функции / при ^ —> ¿о проявлялась только вдали от центра распределения Таким образом, в отличии от недавних численных экспериментов по трехмерному коллапсу сверхкоротких оптических импульсов вследствие самофокусировки и укручения фронта волны в рамках обобщенного НУШ [16] и уравнений типа Кадомцева-Петвиашвили [17], одновременного образования двух типов особенностей - роста амплитуды и образования больших градиентов вследствие укручения фронта волны - не обнаружено

Заключение

В заключении сформулированы основные результаты работы Приложения

В приложениях вынесен подробный вывод некоторых формул, приведение которых в основном тексте прерывало бы связность изложения ввиду их излишней громоздкости

Публикации автора по теме диссертации

1 D S Agafontsev, F Dias, Е A Kuznetsov, Bifurcations and stability of internal solitary waves, JETP Letters, vol 83 (2006), iss 5, pp 241245

2 D S Agafontsev, F Dias, E A Kuznetsov, Deep-water internal solitary waves near critical density ratio, Physica D, vol 225 (2007), No 2, pp 153-168

3 Д С Агафонцев, Бифуркации и устойчивость поверхностных со-литонов огибающих для жидкости конечной глубины, Письма в ЖЭТФ, том 87 (2008), вып 4, с 225-229

4 D S Agafontsev, F Dias, Е A. Kuznetsov, Collapse of solitary waves near transition from supercritical to subcritical bifurcations,

arXiv 0805 1620vl, will be published in JETP Letters vol 87 (2008), iss 11

Литература

[1] С S Gardner, J М Green, М D Kruskal, R В Miura, Phys Rev Lett 19, 1095 (1967)

2] В E Захаров, А Б Шабат, ЖЭТФ 61, 118 (1971)

3] A Hasegawa, F Tappet, Appl Phys Lett 23, 142 (1973)

4] M S Longuet-Higgins, J Fluid Mech 200, 451 (1989)

5] G Iooss, К Kirchgassner, С R Acad Sci Paris 311,1, 265 (1991)

6] J M Vanden-Broeck, F Dias, J Fluid Mech 240, 549 (1992)

7] F Dias, G Iooss, Physica D 65, 399 (1993)

8] M S Longuet-Higgins, J Fluid Mech 252, 703 (1993)

9] T R Akylas, Phys Fluids 5, 789 (1993)

10] F Dias, G Iooss, Eur J Mech B/Fluids 15, 367-390 (1996)

11] T В Benjamin, J E Feir, J Fluid Mech 27 (1967), pp 417-430

12] H Hasimoto, H Ono, J phys Soc Japan, 33 (1972), pp 805-811

13] E А Кузнецов, ЖЭТФ 116, 299 (1999)

14] К В Dysthe, Proc R Soc Lond A 369, 105-114 (1979)

15] В И Петвиашвили, Физика Плазмы, 2, 469 (1976)

16] Н А Жарова, А Г Литвак, В А Миронов, ЖЭТФ 130, 21 (2006)

17] А А Балакин, А Г Литвак, В А Миронов, С А Скобелев, ЖЭТФ 131, 408 (2007)

Введение

Глава 1. Бифуркации и устойчивость солитонов внутренних волн вблизи критического отношения плотностей жидкостей

1.1. Основные уравнения

1.2. Разложение гамильтониана и матричные элементы

1.3. Расчет констант нелинейного взаимодействия

1.4. Солитонные решения

1.5. Устойчивость солитонных решений

Глава 2. Бифуркации и устойчивость поверхностных солитонов огибающих для жидкости конечной глубины.

2.1. Расчет констант нелинейного взаимодействия и вывод обобщенного НУШ

2.2. Исследование устойчивости волн Стокса

2.3. Солитонные решения и их устойчивость

Глава 3. Коллапс солитонов вблизи перехода от мягкой бифуркации к жесткой

3.1. Аналитические результаты.

3.2. Численное моделирование коллапса солитонов.

Солитоны были впервые обнаружены на поверхности жидкостей в позапрошлом веке и долгое время представляли интерес лишь для небольших групп специалистов в области гидродинамики и математики. В конце 50-х годов XX века концепция солитонов проникает в физику плазмы, а с начала 70-х, когда была продемонстрирована структурная устойчивость солитонов уравнения Кортевега-де Вриза (КдВ) [1] и нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) [2], а также было предложено использовать солитоны в качестве битов информации в оптоволоконных коммуникациях [3], солитоны становятся весьма популярным объектом исследования.

Солитоны, согласно общепринятому определению, представляют собой нелинейные локализованные в пространстве объекты, движущиеся с постоянной скоростью. Скорость солитона является главным параметром солитона, часто определяющим его амплитуду и ширину. Подобными являются солитоны на поверхности жидкостей, а также солитоны, впервые открытые в плазме - ионно-акустические и магнитозвуковые. Однако, впоследствии были обнаружены и более сложные солитонные решения в виде осциллирующих солитонов, внутри которых происходят осцилляции с определенной частотой и длиной волны. Подобные солитонные решения часто возникают в задачах о распространении квазимонохроматических волновых пакетов в нелинейной среде с дисперсией, включая также задачи о самофокусировке. „Внутренняя" длина волны осциллирующих солитонов, как правило, много меньше их характерного размера, поэтому такие солитоны часто называют „солитонами огибающих".

Скорость „простого" солитона может принимать значения внутри некоторого „разрешенного" интервала, границы которого определяются в общем случае из условия касания плоскости со = (к • V) и дисперсионного соотношения для линейных волн ш = с^(к); пересечение этих поверхностей означает присутствие черенковского излучения и невозможность существования стационарно движущихся объектов. На границах интервала скорость солитона принимает экстремальное значение V^, равное минимальной (или максимальной) фазовой скорости линейных волн, и в результате солитоны испытывают либо мягкую, либо жесткую бифуркации. Подобные бифуркации солитонов впервые были обнаружены для гравитационно-капиллярных волн на глубокой воде в численных экспериментах Лонге-Хиггинса [4]. При V V^ амплитуда солитона может стремиться к нулю плавно (мягкая бифуркация), либо испытывать скачек (жесткая бифуркация). Бифуркации солитонов имеют много общего с фазовыми переходами. В частности, как было выяснено в работах [5]-[9], солитоны в случае мягкой бифуркации вблизи критической скорости ведут себя универсальным образом: их форма определяется стационарным НУШ фокусирующего типа, ширина ведет себя как \Vcr — F|~1//2, а амплитуда - как |Va- — V]1/2. Последнее роднит эти явления с фазовыми переходами второго рода. С другой стороны, аналогом фазового перехода первого рода является жесткая бифуркация, когда амплитуда солитона испытывает скачек в точке бифуркации. Если этот скачек мал, то жесткая бифуркация близка к мягкой, что позволяет развить теорию возмущений так же, как и в случае фазовых переходов вблизи три-критической точки.

Переход от мягкой бифуркации к жесткой соответствует смене знака четы-рехволнового матричного элемента. В работе [10] было показано, что подобная ситуация имеет место для солитонов внутренних волн, распространяющихся вдоль границы раздела между двумя идеальными жидкостями, когда отношение их плотностей р = Р2/Р1 < 1 совпадает с критическим рс- = (21—8\/5)/11 « 0.283. Если плотность верхней жидкости много меньше чем плотность нижней р <С 1, то также как и в случае чистых гравитационно-капиллярных волн на глубокой воде, солитоны испытывают мягкую бифуркацию. С ростом отношения плотностей жидкостей характер нелинейного взаимодействия меняется с фокусирующего на дефокусирующий при переходе через ра-, где четырехвол-новый матричный элемент обращается в ноль. При этом в случае р > Per соли-тоны испытывают жесткую бифуркацию: при V —» Vcr их амплитуда меняется скачком с некоторого конечного значения до нуля.

Обращение константы четырехволнового взаимодействия в ноль происходит также в системе поверхностных квазимонохроматических гравитационных волн в жидкости конечной глубины при критическом произведении глубины жидкости и волнового числа основной гармоники k^h ~ 1.363. Этот факт был впервые установлен в 1966 году в работах Уизема [11, 12], где с использованием метода усреднения по быстрым осцилляциям было показано, что при переходе koh через критическое значение усредненные уравнения движения изменяют свой тип, являясь при koh < k^h гиперболическими и соответственно эллиптическими при koh > kcrh. В 1967 в работе Бенджамина и Фейра [13] была исследована устойчивость слабонелинейных периодических гравитационных волн на поверхности жидкости - волн Стокса. В частности, было установлено, что волны Стокса являются неустойчивыми при koh > k^h и устойчивыми в противном случае. Область неустойчивости Бенджамина-Фейра в пространстве волновых чисел возмущений пропорциональна амплитуде волны Стокса, т.е. в пределе малых амплитуд неустойчивые возмущения представляют собой модуляции исходной волны. Последнее обстоятельство послужило основанием для вывода НУШ для огибающих, что было выполнено Хасимото и Оно [14]. В частности было показано, что устойчивость монохроматических волн определяется знаком коэффициента перед кубической нелинейностью, который обращается в ноль при koh = kcrh.

В нелинейной оптике уменьшение абсолютного значения четырехволнового матричного элемента может происходить за счет стрикционного взаимодействия (рассеяние Мандельштамма-Бриллюена), что было продемонстрировано в работе [15].

Солитоны, как физические объекты, представляют практический интерес если они устойчивы. Поэтому задача об устойчивости солитонов является одной из главных. В случае неустойчивости одним из возможных вариантов нелинейной стадии неустойчивости является волновой коллапс - разрушение солитона происходит за конечное время с образованием сингулярности для амплитуды и/или ее градиентов. С точки зрения нелинейной оптики, например, оптики световолокон, этот процесс сопровождается сжатием импульса и поэтому может служить в качестве возможного способа получения сверх-коротких импульсов.

Структура диссертации следующая.

В Главе 1 в рамках метода гамильтонова формализма рассматривается задача о бифуркациях и устойчивости одномерных солитонов внутренних волн вблизи критического отношения плотностей жидкостей рсг. Так как при р —> рсг константа четырехволнового взаимодействия стремится к нулю, то для адекватного описания свойств солитонов необходимо учитывать члены высших порядков ио сравнению с классическим НУШ: градиентные члены к четырехвол-новому взаимодействию а также шестиволновое взаимодействие. Оказывается, что первые бывают двух типов (оба присутствуют в задаче): локальный, аналогичный нелинейности Лифшица для фазовых переходов, а также нелокальный, аналогичный найденному Дистом [16] для гравитационных волн на глубокой воде. В разделах 1.1, 1.2, 1.3 и 1.4 рассчитываются константы нелинейных взаимодействий, а также выводится результирующее уравнение на огибающую первой гармоники солитона. В разделе 1.4 исследуются солитонные решения. В частности, в случае V < V^. с помощью численного моделирования найдены три семейства sign(/9 — per) = 0, ±1 экспоненциально затухающих солитонов. В случае V = V^. существует только один алгебраически затухающий соли-тон, соответствующий жесткой бифуркации р > рсг, форма которого найдена аналитически. В разделе 1.5 с помощью теоремы Ляпунова, а также точных интегральных оценок типа Соболева анализируется устойчивость солитонных решений. Показано, что семейство солитонов р < р^, испытывающих мягкую бифуркацию при V —»■ Ver, реализует минимум энергии при фиксированном волновом действии, что означает устойчивость рассматриваемых решений не только относительно малых, но также и относительно конечных возмущений. В то же время, солитоны, соответствующие жесткой бифуркации р > Per, реализуют седловую точку энергии, что означает их неустойчивость относительно конечных возмущений.

В Главе 2 исследуется динамика квазимонохроматических поверхностных гравитационных волн для жидкости конечной глубины вблизи критического произведения волнового числа основной гармоники и глубины жидкости kcrh. С помощью методов, развитых в главе 1, в разделе 2.1 выведено обобщенное нелинейное уравнение Шредингера на огибающую первой гармоники волнового пакета, которое rio сравнению с классическим НУШ учитывает градиентные члены к четырехволновому взаимодействию и шестиволновое взаимодействие. По сравнению с солитонами внутренних волн в данной задаче отсутствуют какие-либо нелокальные члены. В разделе 2.2 исследуется устойчивость решения полученного уравнения в виде монохроматической волны. В частности установлено, что область устойчивости волны Стокса в ^-пространстве сужается с ростом ее амплитуды. В разделе 2.3 рассматриваются бифуркации и устойчивость солитонных решений обобщенного НУШ. Солитоны характеризуются величиной —А2, которая имеет смысл энергии солитона как связанного состояния для нелинейного уравнения Шредингера. Показано, что при А —> О солитоны испытывают мягкую бифуркацию при k^h > kcrh и являются устойчивыми относительно конечных возмущений, тогда как в противном случае koh < kcrh солитоны испытывают жесткую бифуркацию и являются неустойчивыми относительно конечных возмущений.

В Главе 3 рассматривается вопрос о возможности развития коллапсов в системах, описанных в главах 1 и 2. В частности также исследуется вопрос о нелинейной стадии неустойчивости солитонов, соответствующих случаю жесткой бифуркации, вблизи перехода от мягкой бифуркации к жесткой. В разделе 3.1 показано, что в случае дефокусирующей кубической нелинейности как для системы внутренних волн (ГУУ), так и для квазимонохроматических поверхностных гравитационных волн в жидкости конечной глубины (\¥\¥) существуют распределения с отрицательным гамильтонианом Н < О, амплитуда которых не может становиться меньше фиксированного значения, определяемого через значения гамильтониана и волнового действия на данном распределении. В отсутствии локального градиентного члена к четырехволновому взаимодействию условие отрицательности гамильтониана на распределении оказывается достаточным условием образования особенности в системе за конечное время, т.е. коллапса. В разделе 3.2 приведены результаты численного моделирования возмущенных солитонов для случаев 1\¥ и соответствующих жесткой бифуркации. Показано, что в зависимости от начального возмущения одной из возможных нелинейных стадий неустойчивости таких солитонов является коллапс развивающийся автомодельным образом. Достаточно неожиданным результатом оказалась практически полная симметричность пика распределения вблизи образования коллапса в присутствии нелинейности вида г/3\ф\2,фх, которая в зависимости от знака ¡3 должна приводить к дополнительному укручению переднего или заднего фронта волны и опрокидыванию. Вместо этого, как для 1\У {¡3 > 0), так и для (/? < 0), несимметричность импульса проявлялась только вдали от максимума распределения.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

В приложениях А и Б вынесен подробный вывод некоторых формул, приведение которых в основном тексте прерывало бы связность изложения ввиду их излишней громоздкости.

Заключение

Перечислим основные результаты работы.

1. Разработан основанный на применении гамильтонова формализма метод теории возмущений для исследования свойств квазимонохроматических волновых пакетов в нелинейных средах в случае, когда константа четы-рехволнового взаимодействия близка к нулю. В рамках данного метода предложен способ расчета всех необходимых констант нелинейного взаимодействия. В частности, получена формула для подсчета перенормировки константы шестиволнового взаимодействия за счет трех-, четырех-, и пятиволнового взаимодействия для произвольной динамической системы.

2. С помощью предложенного метода исследованы бифуркации солитонов внутренних волн вблизи критического отношения плотностей жидкостей рсг при стремлении скорости солитона к минимальной фазовой скорости линейных волн. Выведено обобщенное нелинейное уравнение Шрединге-ра, описывающее поведение солитонов при v —> V^-, которое по сравнению с классическим НУШ учитывает градиентные члены к четырехвол-новому взаимодействию и шестиволновое взаимодействие. Показано, что при р < рсг солитоны испытывают мягкую бифуркацию, тогда как при Р > Per - жесткую. Анализ устойчивости полученных солитонных решений показал, что солитоны, соответствующие случаю мягкой бифуркации, устойчивы относительно конечных возмущений, тогда как солитоны, соответствующие случаю жесткой бифуркации - неустойчивы.

3. Рассмотрена динамика квазимонохроматических поверхностных гравитационных волн в жидкости конечной глубины h вблизи крититического произведения волнового числа и глубины жидкости Ос- = kcrh. В частности, проанализированы устойчивость волн Стокса в зависимости от амплитуды волны, а также бифуркации и устойчивость солитонов огибающих при стремлении обратной ширины волнового пакета к нулю. Показано, что в случае 0 > солитоны являются устойчивыми относительно конечных возмущений и испытывают мягкую бифуркацию, тогда как в случае в < 9СГ солитоны неустойчивы и испытывают жесткую бифуркацию.

4. Исследована нелинейная стадия неустойчивости солитонов, соответствующих случаю жесткой бифуркации, вблизи перехода от мягкой бифуркации к жесткой как для солитонов внутренних волн, так и для поверхностных солитонов огибающих в жидкости конечной глубины. Показано, что в зависимости от знака возмущения в системе возможен коллапс, развивающийся автомодельным образом. При этом вблизи образования коллапса пик распределения остается практически симметричным. Влияние эффекта у кручения фронта приводит к асимметрии его хвостов.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

1. D.S.Agafontsev, F.Dias, E.A.Kuznetsov, Bifurcations and stability of internal solitary waves, JETP Letters, vol. 83 (2006), iss. 5, pp. 241-245.

2. D.S.Agafontsev, F.Dias, E.A.Kuznetsov, Deep-water internal solitary waves near critical density ratio, Physica D, vol. 225 (2007), No. 2, pp. 153-168.

3. Д.С.Агафонцев, Бифуркации и устойчивость поверхностных солитонов огибающих для жидкости конечной глубины, Письма в ЖЭТФ, том 87 (2008), вып. 4, с. 225-229.

4. D.S. Agafontsev, F. Dias, Е.А. Kuznetsov, Collapse of solitary waves near transition from supercritical to subcritical bifurcations, arXiv:0805.1620vl, will be published in JETP Letters vol. 87 (2008), iss. 11.

1. C.S.Gardner, J.M.Green, M.D.Kruskal, R.B.Miura, Phys. Rev. Lett. 19, 1095 (1967).

2. M.S.Longuet-Higgins, J. Fluid Mech. 252, 703 (1993).

3. T.R.Akylas, Phys. Fluids 5, 789 (1993).

4. F.Dias, G.Iooss, Eur. J. Mech. B/Fluids 15, 367-390 (1996).

5. G.B.Whitham, Proc. R. Soc. Lond. A. 283 (1965), pp. 238-261

6. G.B.Whitham, J. Fluid Mech. 22 (1965), pp. 273-283

7. T.B.Benjamin, J.E.Feir, J. Fluid Mech. 27 (1967), pp. 417-430.

8. H.Hasimoto, H.Ono, J. phys. Soc. Japan, 33 (1972), pp. 805-811.

9. Е.А.Кузнецов, ЖЭТФ 116, 299 (1999).

10. K.B.Dysthe, Proc. R. Soc. Lond. A 369, 105-114 (1979).

11. В.М.Конторович, Известия вузов, Радиофизика 19, 872-879 (1976).

12. В.Е.Захаров, ПМТФ. 9, 86 (1968).

13. В.Е.Захаров, В.С.Львов, Известия вузов, Радиофизика 18, 1470-1487 (1975).

14. В.Е.Захаров, Е.А.Кузнецов, ЖЭТФ 113, 1892 (1998).

15. В.И.Петвиашвили, Физика плазмы, 2, 247 (1976).

16. Н.Г.Вахитов, А.А.Колоколов, Известия вузов, Радиофизика 16, 783 (1973).

17. A.Davey, K.Stewartson, On three-dimensional packets of surface waves, Proc. R. Soc. A 388, 191.

18. V.E.Zakharov, in Handbook of Plasma Physics, Vol. 2, Basic Plasma Physics, eds. A.A.Galeev, R.N.Sudan (Elsevier, North-Holland, 1984), pp. 3-36.

19. A.C.Newell, Solitons in Mathematics and Physics (SIAM, Philadelphia, 1985).

20. F.Dias, E.A.Kuznetsov, Phys. Letters A 263, 98-104 (1999).

21. D.J.Каир and A.C.Newell, J.Math.Phys. 19, iss.4, 798-801 (1978).

22. S.Dyachenko, A.C.Newell, A.Pushkarev, V.E.Zakharov, Physica D 57 (1992) 96-160.

23. S.K.Turitsyn. Phys. Rev. E 47, R13-16 (1993).

24. E.A.Kuznetsov, J.J.Rasmussen, K.Rypdal, S.K.Turitsyn, Physica D 87, 273 (1995).

25. Н.А.Жарова, А.Г.Литвак, В.А.Миронов, ЖЭТФ 130, 21 (2006).

26. А.А.Балакин, А.Г.Литвак, В.А.Миронов, С.А.Скобелев, ЖЭТФ 131, 4082007).