К теории волновых коллапсов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

од

ЛП? ■ Российская академия наук

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Г.И. Будкера

На правах рукописи

МАЛКИН Владимир Моисеевич

к теории волновых коллапсов

01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

НОВОСИБИРСК—1993

Работа выполнена в Институте ядерной физики им. Г.Й. Будке! Сибирского.отделения Российской Академии паук.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

Захаров Владимир Евгеньевич

— академик, профессор,

Институт теоретической фиоики им. Л.Д. Ландау РАН, г. Москва.

Нетна.а.швшш Владимир — доктор фимко-математических наук Иоскфонач Институт а-тоштой энсрппг

а.м. 11.11. Курчатова, г. Москва

Рютов Дмитрий Дмитриевич

— академик, профессор,

Институт ядерной физики СО РАН, г. Новосибирск.

Ведущая организация: Институт космических исследований

РАН, г. Москва.

Защита диссертации состоится - \4>

Э(.— 1993 г.

" / О " часов на заседании специализированного совета Д.002.24.01 Институте ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН.

Адрес: 630090, г. Новосибнрск-90,

проспект академика Лаврентьева, 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИЯФ СО РАН.

Автореферат разослан " " ъМ ¿Ь-р уи й^_ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат. наук, профессор

В.С. Фад

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Ускоренное развитие теория нелинейных волновых полей в течение последних трёх десятилетий обычно связывают с появлениен мощных лазеров, работами по управляемому термоядерному синтезу и космическими исследованиями. Эти факторы способствовали открытию широкого круга нелинейных явлений, требующих осмысления. Наряду со стимулирующими практическими потребностями, важнейшую роль играла внутренняя логика развития теории, в этом плане прослеживаются две основных линии развития, дополняющие друг друга. Одна из них 'связана с теорией возмущений линейных волновых полей (изученных гораздо лучше нелинейных). Наиболее последовательно эта линия проводится в теории слабой волновой турбулентности. Другая линия связана с симметриями нелинейных задач, в какой-то мере . компенсирующими утрату принципа суперпозиции полей. Она наиболее ярко проявляется в теории полностью интегрируемых систем. Во многих случаях подход является комбинированным в том смысле, что нелинейные уравнения выводятся из линейных с помощью теории возмущений, а решения исследуются непертурбативными методами.

Как показали исследования, нелинейные волновые поля нередко проявляют -тенденцию к самопроизвольному взрывному росту в отдельных областях пространства, сужающихся по мере возрастания локальной платности энергии волн. Исторически первыми примерами такого рода явились санофокусирорка излучения, предсказанная в 1962 году г. А. Аскарьяном, и коллапс ленгмюровских волн, предсказанный в 1972 году В.Е. Захаровым. Позже процессы взрывного роста плотности энергии волн получили общее название волновых коллапсов. В зависимости от физических свойств системы, рост плотности энергии коллапсирующих волн может ограничиваться дис-сипативныни, высшими нелинейными или дисперсионными эффектами. В

области применимости упрощенных нелинейных уравнений, не учитывающих эти эффекты, коллапс выглядит как формирование сингулярности волнового поля.

Самофокусировка излучения, ленгмюровский коллапс и некоторые другие волновые коллапсы наблюдались экспериментально. В теоретическом плане особое внимание уделялось простейшим нелинейным обобщениям уравнений Даламбера и Шредингера, описывающих длинные «акустические» и «оптические» волны.самой разнообразной физической природы. Обладая - определенными свойствами универсальности, эти нелинейные уравнения представляют общефизический интерес. Они, подобно своим линейным праобразам, призваны стать необходимой предпосылкой и составным элементом исследования более сложных задач. ' . ,

К числу наиболее важных математических моделей, .требующих особо тщательного исследования, относятся уравнения, первоначально предложенные для описания стационарной самофокусировки излучения и коллапса ленгмюровских" волн. Это - двумерное'уравнение Шредингера с притягивающей кубической нелинейностью и уравнения Захарова (а также их скалярная модель)'. Для выяснения динамики коллапсов в указанных моделях прилагались значительные усилия, однако проблема долгое время не поддавалась решению даже в простейших условиях. Центральное место в работах данной тематики отводилось автомодельным и близким к ним режимам коллапсов. С одной стороны, такие режимы представлялись наиболее доступными исследованию. С другой стороны, доказательство их реализации в пространственно-временных окрестностях «сингулярностей» позволило бы обосновать важные выводы о спектрах сильной . волновой турбулентности, сделанные уже на раннем этапе развития теории.

Цель работы

Цель настоящей работы состоит в исследовании динамики волновых коллапсов как в рамках простейших моделей стационарной самофокусировки излучения и ленгмюровского коллапса, так и с учетом эффектов, стабилизирующих рост плотности энергии волн в данных процессах. Предполагается также уточнить теоретические представления о роли коллапса ленгмюровских волн в развитой ленгмюровской турбулентности.

Научная новизна

В работах, на которых основана настоящая диссертация, получен ряд новых результатов, относящихся к динамике сверхзвукового и дозвукового коллапсов ленгмюровских волн, теории развитой ленгмюровской турбулентности и стационарной самофокусировке излучения. Основные элементы новизны работ соискателя по каждой из названных проблем перечислены ниже. Более подробное обсуждений этих элементов в контексте соответствующих исследований других авторов дано в разделе «Содержание работы».

Сверхзвуковой коллапс

доказано существование автомодельных режимов скалярного коллапса, обладающих произвольной выпуклой формой каверны. Получены явные аналитические формулы для решений с эллипсоидальными кавернами. До этого были известны лишь отдельные центрально-симметричные решения, построенные численно.

Доказано подвергавшееся сомнению существование автомодельных режимов ленгмюровского коллапса. Построено обширное сеней-ство таких режимов.

¿о

Предсказана мелкомасштабная неустойчивость сверхзвукого коллапса. Получен общий критерий разрушения автомодельных режимов скалярного и ленгмюровского коллапсов конвективно-неустойчивыми мелкомасштабными возмущениями конечной амплитуды.

Исследована устойчивость автомодельных режинов скалярного коллапса относительно бесконечно малых возмущений. Выявлены устойчивые и неустойчивые режимы!

Обнаружен эффект засасывания новых волн кавернами, образовавшимися в результате ленгмюровского коллапса. Показано, что засасываемая энергия может значительно превышать энергию, затраченную на формирование каверн.

Доказана положительная определенность вклада электронной нелинейности ленгмюровских волн в их гамильтониан, исключающая возможность чисто электронно*'о коллапса. Найден закон ленгмюровского коллапса в условиях преобладания электронной нелинейности.

Дозвуковой коллапс

Построены первые примеры автомодельных режимов дозвукового коллапса ленгмюровских волн.

Выдвинуты гипотезы об универсальном характере эффекта засасывания энергии сингулярностями нелинейных волновых полей и об автомодельной динанике данного процесса. Найдены первые примеры сингулярных автомодельных режимов скалярного и ленгмюровского коллапсов.

Ленгмюровекая турбулентность

Найдены с учетом постколлаптического засасывания волн кавернами спектры развитой ленгмюровской турбулентности и ускоряемых ею электронов в изотермической плазме. Показано, что постколлаптические эффекты играют определяющую роль в энергетическом балансе системы.

Обнаружен более эффективный, чем предлагавшиеся ранее, механизм подавления коллапсов конверсией на звуке в плазме с электронной температурой, рачительно превышающей ионную. Показано, что учет этого механизма, связанного с уходом средней плотности энергии ленгмюровских волн под порог модуляционной неустойчивости, существенно меняет теоретические оценки макроскопических параметров турбулентности.

Найден спектр ленгмюровского конденсата в энергоссдержащей и сильнотурбулентной областях Я-пррстранства. (В промежуточной между ними области реализуется слаботурбулентный спектр колмого-ровского типа, найденный ранее В. Е. Захаровым. )

Самофокусировка излучения

Построена аналитическая теория критического коллапса, количественно пригодная после сжатия канала в 5-10 раз. Выявлены причины, по которым известная до этого асимптотическая формула для ширины канала («закон двойного логарифма») не давала количественно верных предсказаний даже при сжатиях во многие миллионы раз.

Выявлена возможность универсального замкнутого описания стационарной самофокусировки излучения в средах с «мягким» насыщением фокусирующей нелинейности. (Показано, что в таких средах квадратичная по плотности энергии излучения поправка к нелинейному сдвигу несущей частоты - дефокусирующая по определению -останавливает критический коллапс, еще оставаясь относительно малой. Это позволяет пренебречь всеми высшими поправками.)

Построена замкнутая аналитическая теория стационарной самофокусировки излучения в средах с мягким насыщением фокусирующей нелинейности.

Дано обяснение ранее обнаруженного, но остававшегося непонятным эффекта аномально малого поглощения энергии при критическом коллапсе в средах с диссипативным насыщением нелинейности.

Практическая ценность

Ценность представленных в диссертации исследований обусловлена тремя факторами, а именно; наличием непосредственных практических приложений, свойствами универсальности используемых математических моделей и качеством результатов.

Найденные в работах, составляющих основу диссертации, спектры развитой ленгмюровской турбулентности и ускоряемых ею электронов небходимы для адекватного описания экспериментов и правильной интерпретации наблюдений, связанных с пучковым и лазерным нагревом плазмы, с созданием искусственных ионизированных слоев в атмосфере, с распространением мощных потоков излучения и электронов в ионосфере Земли, короне Солнца и космической плазме.

Для тех из указанных выше практических приложений, которые связаны с использованием лазерного излучения, а также для работ по созданию и транспортировке его потоков, обладающих высокой плотностью энергии, существенную ценность представляет развитая в работах соикателя теория самофокусировки излучения. Ввиду формального совпадения основных уравнений, данная теория непосредственно применима и к экспериментам по самофокусировке волн на поверхности жидкости.

Описанные в диссертации свойства и методы исследования волновых коллапсов уже в настоящее время эффективно используются для развития теории в более сложных ситуациях, представляющих практический интерес. Это относится, в частности, к важной для систем с нагнитным удержанием плазмы теории коллапса в магнитных полях, заметно искажающих дисперсию лен^мюровских волн.

Найденные соискателем семейства автонодельных режимов ленг-мюровского коллапса открывают возможность численного моделирования на современных суперкомпьютерах развитой ленгмюровской турбулентности с широким инерционным интервалом масштабов. Количественное описание такой турбулентности представляет значительный интерес как в прикладном (например, ионосферные и термоядерные исследования), так и в теоретическом (универсальные спектры при ярко выраженной перемежаемости) отношении.

В более широком плане, разработанные соискателем методы исследования автомодельных решений служат вкладом в развитие общей теории сингулярностей нелинейных волновых полей. В частности, эти методы представляют практическую ценность для активно ведущегося поиска сингулярностей в решениях уравнений Эйлера и непрерывности для идеальной несжимаемой жидкости. Отыскание физически реализуемых автомодельных решений, описывающих взрывной рост завихренности в такой жидкости^ позволило бы естественным образом описать наблюдаемую перемежаемость развитой гидродинамической турбулентности, свидетельствующую о неприменимости теории Колмогорова-Обухова.

Апробация диссертации

Представленные в диссертации результаты исследований опубликованы в работах [1-20]. Эти результаты докладывались и обсуждались на II Международной рабочей группе по нелинейным и турбулентным процессам в физике (Киев, 1983), VII Всесоюзной школе по нелинейным волнам (Горький, 1985), Объединено* международной конференции по физике плазмы (Киев, 1987), III Международной рабочей группе по нелинейным и турбулентным процессам в физике (Киев, 1987), Международной рабочей группе по физике волновых коллапсов (Новосибирск, 1988), IV Международной рабочей группе по нелинейным и турбулентным процессам в физике (Киев, 1989),

XIX Международной конференции по явлениям в ионизированных газах (Белград, Югоославия, 1989), IV Международной конференции по волнам и солитонам (Антверпен, Бельгия, 1990), Международной рабочей группе по мощным микроволнам в плазме (Суздаль, 1990), III Потсдамской - V Киевской Международной рабочей группе по нелинейным процессам в физике (Потсдам, Нью-Йорк, США, 1991), Международной рабочей группе по сигулярностям в физике (Геракли-он, Крит, Греция, 1992).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

Во введении сформулированы проблемы, рассматриваемые в диссертации, и используемые в ней основные математические модели.

Первая глава посвящена сверхзвуковому коллапсу ленгмюровс-ких волн. Она основана на «публикациях (3 - 8, 10 - 13, 16] и состоит из'семи разделов. В разделе 1.1 обсуждены общие свойства основных уравнений и постановки задач о существовании и устойчивости сверхзвуковых автомодельных режимов. Решение проблемы существования, а - также классификация автомодельных режимов скалярного и ленгмюровского' коллапсов, описаны в разделах 1. 2 и 1. 3 соответственно. В" разделе 1. 4 рассмотрена эволюция каверны после поглощения сформировавших ее волн. Устойчивость автомодельных режимов коллапса относительно мелкомасштабных возмущений конечной амплитуды исследована в разделе 1. 5, а относительно бесконечно малых возмущений - в разделе 1. 6. ..Влиянию электронной нелинейности на заключительную стадию коллапса посвящен раздел 1. 7.

В теории сверхзвукового коллапса ленгнюровских волн внимание исследователей особо привлекали вопросы о существовании и устойчивости автомодельных режимов. Существование таких режимов долгое время подвергалось сомнению. Треунерность задачи не позволяла уверенно достигнуть автомодельной стадии в попытках численного решения уравнений Захарова- По той же причине автомодельные решения не удавалось найти непосредственно. Лишь в рамках скалярной модели 'уравнений Захарова, допускающей коллапс центрально-симметричного поля, такие решения были найдены

численно в 1981 году В. Е. Захаровым и Л. Н. Щуром. Первый пример сверхзвукового автомодельного коллапса ленгмюровских волн был построен в 1985 году [5]. В работах [11, 16] было найдено обширное семейство автомодельных режимов сверхзвукового ленгмюровско-го коллапса. Этому предшествовало аналитическое построение сверхзвуковых автомодельных режимов скалярного коллапса, обладающих произвольной выпуклой формой каверны [7].

Первые аналитические результаты в исследовании устойчивости сверхзвукового автомодельного коллапса были получены в работах [3,4]. Там удалось найти общий критерий разрушения автомодельных режимов скалярного и ленгмюровского коллапсов конвектнвно-неустойчивыни мелкомасштабными возмущениями конечной амплитуды. Впоследствии данный критерий был подтвержден и количественно уточнен численными расчетами [13]. Проблема устойчивости относительно бесконечно малых возмущений была решена в [10] для центрально-симметричных автомодельных режимов скалярного коллапса.

Каверна, образующаяся в плазме при сверхзвуковом коллапсе ленгмюровских волн, углубляется после их поглощения во много раз вследствие инерционного движения ионов. В публикации [8] было замечено, что, в отличие от случая скалярного коллапса, такая каверна может оставаться открытой для свободных плазмонов и засасывать их в процессе своего углубления. При этом засасываемая энергия, вообще говоря, заметно превосходит энергию волн сформаровавших каверну. Предсказание в [8] данного эффекта (обн&р)женного впоследствии и в ряде других случаев) радикальным образом изменило представления о диссипации энергии посредством коллапсов. Конкретные примеры каверн, остающихся открытыми после поглощения сформировавших их волн, были построены в [16].

На заключительной стадии сверхзвукового коллапса плотность энергии ленгмюровских волн в каверне может при определенных условиях (в частности, при максвелловском распределении электронов) превзойти плотность тепловой энергии плазмы. Дисперсия столь интенсивных ленгмюровских волн определяется их собственной - электронной - нелинейностью. Уравнения, учитывающие электронную нелинейность были получены в 1976 году Е. А. Кузнецовым. Вследствие сложности этих уравнений, влияние электронной нелинейности на динамику коллапса долгое время оставалось малоизученным. В работе [6] удалось доказать важную теорему о положи-

тельной опреденности вклада электронной нелинейности в гамильтониан. Эта теорема исключила возможность чисто элоктронного коллапса. (Здесь уместно напомнить, что под коллапсом понимается рост плотности энергии волн, а не только рост ее пространственных производных, имеющий место и при опрокидывании ленгнюровской волны. ) закон коллапса в условиях преобладания электронной нелинейности был найден в той же работе [6].

Вторая глава посвящена дозвуковому коллапсу ленгмюровских волн. Она основана на публикациях [Э, 15, 20] и состоит из трех разделов. В разделе 2.1 описаны сингулярные автомодельные режимы, дозвукового скалярного коллапса. Регулярные и сингулярные автомодельные режимы дозвукового коллапса ленгмюровских волн построены в разделах 2. 2 и 2.3 соответственно.

Как и в сверхзвуковом пределе, трудности, связанные с трехмерностью задачи, потребовали предварительно исследовать скалярную модель дозвукового коллапса, а именно, трехмерное уравнение Шредингера с кубической притягивающей нелинейностью. Центрально-симметричное автомодельное решение данного уравнения было численно найдено в 1985 году В. Е. Захаровым, Е. А. Кузнецовым я С.Л. Мушером. Построить примеры автомодельных режимов дозвукового ленгмюровского коллапса удалось лишь недавно [20].

Долгое время оставался неясным механизм поглощения энергии волн при дозвуковом коллапсе. Казалось странным, что, с одной стороны, поглощение возможно только в «сингулярностях», а с другой стороны, при формировании «сингулярности» в нее попадает лишь «бесконечно малая» энергия. Коллапсы, обладающие последним свойством, получили название «слабых». В поисках решения проблемы диссипации энергии, В. Е. Захаров и Е. А. Кузнецов обнаружили в 1986 году «сильные» режимы дозвукового скалярного коллапса. Однако эти «квазиклассические» режимы оказались неустойчивыми относительно мелкомасштабных возмущений, как и решение в виде сходящегося сферического солитона, предложенное десятью годами ранее Л. М. Дегтяревым, В.Е. Захаровым и Л. И. Рудаковым. Ключом к решению проблемы оказалась идея долгоживущих «сингулярностей», засасывающих в себя энергию, гораздо большую той, что расходуется на их формирование. Первый пример скалярного поля вблизи стационарной сингулярности, засасывающей энергию, был построен в

1987 году В.И. Талановым, назвавшим такой процесс «распределенным коллапсом». В работе [9] были опубликованы гипотезы об общем характере такого механизма диссипации энергии и об автомодельной динамике сингулярных волновых полей. Вскоре после этого В. Е. Захаров и В. Ф. Швец нашли и проклассифицировали стационарные сингулярности двухпараметрического семейства волновых полей, описываемых нелинейными уравнениями шредингеровского типа. Сингулярные автомодельные решения были найдены для скалярного поля в [15] и для поля .¡енгмюровских волн в [20]. В пространственных окрестностях сингулярностей все эти решения обладают квазистационарными асимптотиками (примеры которых были найдены для скалярного поля В. И. Талановым, а затем В. Е. Захаровым с В. Ф. Швецом). Область квазистационарного поля расширяется по мере удаления во времени от момента возникновения сингулярности. Поток энергии волн в данной области пространства направлен к особенности и не зависит от расстояния до нее. Продолжающийся таким образом процесс локализации энергии волнового поля можно назвать сингулярным коллапсом волн.

Третья глава посвящена развитой ленгмюровской турбулентности. Она основана на публикациях [1 - 4, 8, 12 - 1Б, 20] и состоит из трех разделов. В разделе 3. 1 описана сверхзвуковая ленгмю-ровская турбулентность изотермической плазмы с учетом посткол-лаптического засасывания энергии кавернами. В разделе 3.2 усовершенствована теория «сверхзвуковой» ленгмюровской турбулентности неизотермической плазмы с электронной температурой, значительно превышающей ионную, в разделе 3. 3 найден спектр ленгмю-ровского конденсата.

Исторически первая модель, связавшая макроскопические характеристики развитой ленгмюровской турбулентности со свойствами коллапса микроскопических каверн, была опубликована в 1975 году А. А. Галеевым, Р. 3. Сагдеевым, ю. С. Сиговым, В. Д. Шапиро и В. И. Шевченко. В дальнейшем теория совершенствовалась многими исследователями. Основной целью было согласованное отыскание спектральной ппотности энергии ленгмюровских волн и функции распределения ускоренных турбулентностью электронов. В условиях изотермичности плазмы и сверхзвукового режима коллапсов обычно предполагалось, что перенос энергии по спектру из длинноволновой области возбуждения в коротковолновую область поглощения проис-

ходит в основном в процессе коллапсов. Предсказание эффекта постколлаптического засасывания волн кавернами [8] потребовало внесения существенных корректив в теорию. Соответствующие спектры развитой ленгмюровской турбулентности и ускоряемых ею электронов были найдены в [12]. Оказалось, что постколлаптическое поглощение энергии доминирует, начиная с весьма ранней стадии ускорения электронов. Как правило, почти весь энерговклад в плазму происходит на более поздних стадиях, когда коллапс служит своеобразным реле, запускающим более мощный постколлаптический механизм поглощения энергии. Вследствие этого спектры волн и ускоренных электронов заметно отличаются от предсказаний предшествующих моделей.

В неизотермической плазме с электронной температурой, значительно превышающей ионную, важную роль играет генерация коротковолнового звука коллапсирующими кавернами. Являясь в неизотермической плазме слабозатухающими, звуковые волны достигают большой амплитуды. При этом конверсия на звуке может стать преобладающим механизмом диссипации ленгмюровских волн, а роль коллапсов свестись к поддержанию стационарного уровня звука. Такая модель развитой ленгмюровской турбулентности неизотермической плазмы была предложена в 1976 году А. А. Галеевым, Р. 3. Сагде-евым, В. Д. Шапиро и В. И. Шевченко. Описанные ими эффекты накопления коротковолнового звука и конверсии на нем ленгмюровских волн легли в основу более поздних теоретических построений. Существенным элементом всех этих построений был механизм подавления коллапсов (и генерации коротковолнового звука) до уровня, определяемого условиями стационарности спектров. Обычно возможность такого подавления связывалась с конверсионным поглощением ленгмюровских волн на начальной стадии коллапсов. Отсюда вытекало приближенное равенство времен конверсии и модуляционной неустойчивости. Быстрота развития последней требовала быстроты конверсии и, соответственно, весьма высокого уровня звука. В результате оказывалось, что подавление коллапсов конверсией возможно лишь при достаточно мощном возбуждении ленгмюровских волн. В работе [14] был найден более эффективный механизм подавления коллапсов, срабатывающий даже тогда, когда конверсия протекает гораздо медленнее, чем модуляционная неустойчивость. Этот механизм связан с уходом средней плотности энергии ленгмюровской

турбулентности под порог модуляционной неустойчивости. В подпо-роговом режиме акты коллапса происходят лишь в местах флуктуаци-онного возрастания плотности энергии ленгмюровских волн. Чрезвычайная чувствительность частоты таких выбросов к глубине ухода под порог обеспечивает любое необходимое подавление коллапсов при средней плотности энергии волн, еще совпадающей по порядку величины с пороговой. При этом время конверсии и, следовательно, уровень звука определяются из условия энергетического баланса системы. В рамках усовершенствованной таким образок теории конверсионный механизм поглощения энергии доминирует автоматически, а уровень звука оказывается значительно ниже, чем считалось ранее. Последнее обстоятельство существенно влияет на возможность разрушения коллапсирующих каверн мелкомасштабными возмущениями, что отражается на распределении ускоряемых турбулентностью электронов [14].

Вышеизложенное относится к «сверхзвуковой» ленгмюровской турбулентности. В противоположном предельном случае, когда групповые скорости ленгмюровских волн малы по сравнению со скоростью ионного звука или тепловой скоростью ионов, систему ленгмюровских волн обычно называют «конденсатом». Тем самым подчеркивается характерный способ ее формирования в результате известной тенденции слабой ленгмюровской турбулентности к конденсации плазмо-нов в длинноволновой области к-пространства. В своей относительно коротковолновой части ленгмюровский конденсат нередко и сам является слаботурбулентнын. При этом реализуется найденный в 1972 году В. Е. Захаровым стационарный спектр колмогоровского типа с постоянным потоком ленгмюровских плазмонов в длинноволновую область. Со стороны коротких волн данный спектр ограничивается энергосодержащим интервалом, а со стороны длинных областью развитой (не слабой) турбулентности. Свойства спектра в энергосодержащем интервале при наиболее распространенном механизме формирования конденсата были выяснены в [2]. Проблема отыскания спектра сильнотурбулентной части ленгмюровского конденсата долгое время не поддавалась решению. Трудности вынуждали исследователей разрабатывать одномерные модели, в которых конденсат представлялся как система взаимодействующих ленгмюровских солитонов и свободных волн. Ввиду неустойчивости ленгмюровских солитонов в реальном - трехмерном - пространстве, настоятельно

требовалось дальнейшее развитие теории. Оно стало возможный после решения проблемы диссипации энергии при дозвуковом ленгмюров-ском коллапсе. Результаты работы [20] позволили представить ленгмюровский конденсат как систему свободных волн и долгожкву-щих «сингулярностей», засасывающих в себя энергию, и определить сильнотурбулентную часть его спектра.

Четвертая глава посвящена стационарной самофокусировке излучения. Она основана на публикациях [17 - 19] и состоит из восьми разделов и приложения. В разделе 4. 1 описаны общие свойства используемых математических ноделей. В разделе 4. 2 обсуждены таунсовские, талановские и квазистационарные солитоны. Общая форма осцилляций размера квазистационарного солитона описана в разделе 4. 3. Мощность потерь квантов при этих адиабатических осцилляциях вычислена в разделе 4.4. В разделе 4.5 дано аналитическое решение проблемы критического коллапса и выяснены причины количественной неприменимости ранее развитой асимптотической теории. В разделах 4.6 и 4. 7 построена замкнутая аналитическая теория стационарной самофокусировки излучения в средах с мягким насыщением нелинейности. В разделе 4.8 описана качественная картина самофокусировки и о(э$гждены возможности обобщения теории. При этом объяснен эффект аномально малого поглощения энергии при критическом коллапсе с средах с диссипативным насыщением нелинейности. В приложении дан анализ элементарных возбуждений таун-совского солитона, необходимый для обоснования проведенного расчета мощности неадиабатических потерь квантов.

Двумерное уравнение Шредингера с кубической притягивающей нелинейностью было предложено для описания стационарной самофокусировки излучения в работах 1964-65 годов Таунса (С.Н. Тоупеэ) с сотрудниками, В.И. Таланова и Кэлли (Р.Ь. Ке11еу). В рамках этой мателатической модели были впоследствии получены многие важные результаты. Особую роль в развитии теории сыграли теорена Таланова о конечности длины самофокусировки при отрицательном гамильтониане системы и обобщенное преобразование Таланова, выявившее нетривиальную симметрию модели. Несмотря на впечатляющие достижения, найти закон стационарной самофокусировки, т. е. зависимость ширины канала от координаты вдоль направления распространил излучения, никак не удавалось. Эта проблема получила название проблемы критического коллапса в связи с тем, что

при любой более низкой, чем кубическая, степени нелинейного члена коллапс был бы невозможен. Трудность проблемы состояла в отсутсвии физически реализуемых автомодельных решений, в 1985 году Г. И. Фрайман нашел асимптотический закон критического коллапса, содержащий помимо естественной автомодельной комбинации независимых переменных двойной логарифм от одной из них. Впоследствии проводились чрезвычайно продвинутые численные расчеты. В. Е. Захаров с сотрудниками в СССР и Дж. Папаниколаоу с сотрудниками в США, с помощью специально разработанного метода динамической перенормировки масштабов и использования суперкомпьютеров достигали, сжатия канала во многие миллионы раз. Однакб и при этом отклонения от «закона двойного логарифма» оставались настолько значительными, что его нельзя было подтвердить или опровергнуть. В ра.боте [17] данный закон был подтвержден более последовательным аналитическим методом. В работе' [19] была построена аналитическая теория критического коллапса, пригодная количественно.уже при сжатиях канала в 5-10 раз.

Описанная выше теория самофокусировки не является замкнутой в том смысле, что в процессе критического коллапса плотность энергии излучения неограниченно возрастает и условия применимости используемой модели нарушаются. В работе [19] была- построена замкнутая аналитическая теория самофокусировки излучения для сред с мягким насыщением нелинейности. «Мягкость» означает дефо-кусирующий характер квадратичной по плотности энергии излучения поправки к нелинейному сдвигу частоты. Такой поправке соответствует малый дефокусирующий член в нелинейном уравнении Щрединге-ра, пропорциональный пятой степени, амплитуды поля. В [19] было показано, что данный член действительно остается малым' вдоль всей длины стационарного канала самофокусировки. Поэтому пренебрежение высшими, нелинейными членами законно и модель имеет количественный смысл. Причина, по которой относительно малая дефоку-сирующая нелинейность оказывается достаточной для остановки сжатия канала, состоит в примерной компенсации сжимающего воздействия главной нелинейности расталкивающим воздействием дисперсии. Такая компенсация наступает уже на ранней стадии критического коллапса и улучшается в дальнейшем. Вследствие взаимного уравновешивания основных факторов; форма канала является жестко определенной и близкой к форме стационарного - таунсовского - соли-

тона. Ширина канала адиабатически осциллирует, причем размах этих осцилляции убывает по мере того, как канал теряет кванты. На достаточно больших расстояниях от границы среды реализуется узкий однородный канал. Форма осцилляций канала, а также их верхняя и нижняя огибающие были детально исследованы в [19]. Для этого пришлось предварительно выяснить, не имеет ли таунсовскхй солитон возбужденных состояний, способных сильно повлиять ка

величину неадиабатических потерь квантов. В [18] было показано,

ли

что таких состояний нет. (Имеется восемь локазованных элементарных возбуждений, порождаемых известными симметрия»« задачи и обладающих нулевой энергии связи. )

Разработанная теория самофокусировки допускает далеко идущие обобщения. Для иллюстрации этой возможности в диссертации дано объяснение ранее обнаруженного, но остававшегося непонятный эффекта аномально малого поглощения энергии при критическом коллапсе в средах с диссипативным насыщением нелинейности.

В заключении сформулированы основные результаты виссертацаи. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ:

1. Существуют автомодельные режимы сверхзвукового скалярного коллапса, обладающие произвольной выпуклой формой каверны. Режимы с эллипсоидальными кавернами описыватся простыми аналитическими формулами.

2. Существуют автомодельные режимы сверхзвукового коллапса ленгмюровских волн. В частности, имеется двухпараметричес-кое семейство решений, соответствующих заселению основного триплета связанных состояний в каверне. При почти равных заселенностях этих состояний анизотропия каверны мала.

3. Сверхзвуковые автомодельные режимы скалярного и лвнгмюров-ского коллапсов неустойчивы относительно мелкомасштабных

.возмущений. Неустойчивость носит конвективный характер. Вследствие этого, разрушение автомодельных режимов происходит лишь при начальной анплитуде возмущений, превышающей определенное пороговое значение.

4. Существуют устойчивые относительно бесконечно малых возмущений автомодельные режимы сверхзвукового скалярного коллапса. Режимы с плотностью энергии волн, превышающей в центре каверны определенное значение (равное в стандартных автомодельных переменных 44/9) неустойчивы.

5. Каверны, образовавшиеся в результате сверхзвукового ленгмю-ровского коллапса могут засасывать в себя энергию значительно большую затраченной на их формирование. Эффект имеет место для каверн, анизотропия которых не слишком мала.

6. Вклад электронной нелинейности ленгмюровских волн в их гамильтониан является положительно определенным. Это исключает возможность чисто электронного коллапса. Электронная нелинейность не останавливает коллапс ленгмюровских волн, но меняет определенным образом его динамику.

7. Существуют автомодельные режимы дозвукового коллапса ленгмюровских волн.

8. Засасывание энергии сингулярностями волнового поля, образующимися в результате дозвукового скалярного или ленгмюров-ского коллапсов, носит автомодельный характер в пространственно-временных окрестностях этих сингулярностей.

9. В сверхзвуковом режиме развитой ленгмюровской турбулентности изотермической плазмы постколлаптичаское засасывание энергии кавернами определяющим образом влияет на спектры ленгмюровских волн и ускоряемых ими электронов. В частности, распределение электронов в пространстве скоростей спадает более полого, чем предсказывалось ранее.

10. В сверхзвуковом режиме развитой ленгмюровской турбулентности неизотермической плазмы с электронной температурой, значительно превышающей ионную, подавление коллапсов конверсией на звуке происходит посредством ухода средней плотности энергии ленгмюровских волн под порог модуляционной неустойчивости. Учет этого механизма существенно меняет теоретические оценки макроскопических параметров турбулентности.

11. Ленгмюровский конденсат представим как система свободных волн и долгоживуших сингулярностей, засасывающих в себя эти волны. Такое представление позволяет простым способом найти спектр сильнотурбулентной части конденсата.

12. Критический коллапс описывается простыни аналитическими формулами, количественно пригодными уже после сжатия канала в 5-10 раз. Известная асимптотическая формула для ширина канала («закон двойного логарифма») не дает количественно верных предсказаний даже при сжатиях во многие миллионы раз.

13. В средах с «мягким» насыщением фокусирующей нелинейности квадратичная по плотности энергии излучения, дефокусирующая по определению, поправка к нелинейному сдвигу несущей частоты останавливает критический коллапс, еще оставаясь относительно малой. Это позволяет пренебречь всеми высшими поправками и" описать стационарную самофокусировку излучения универсальным образом.

14. Процесс стационарной самофокусировки излучения в среде с мягким насыщением фокусирующей нелинейности состоит в осцилляциях ширины канала, затухающих по мере удаления от границы среды вследствие потерь захваченных квантов. Форма осцилляций и обе их огибающие описываются аналитически. Вдали от границы реализуется узкий однородный канал.

15. Аномально малое поглощения энергии при критическом коллапсе в среде с диссипативным насыщением нелинейности связано с примерной компесацией фокусирующего воздействия нелинейности дисперсией. При поглощении уже относительно небольшой энергии дисперсия пересиливает нелинейность и канал начинает расширяться, уходя из области поглощения.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Малкин В.М. О нелинейной стадии модуляционной неустоВчввос-ти. // Физика плазмы. - 1982. - Т.8, вып. 2. - С. 357-364.

2. Малкин В.М. Нелинейная релаксация пучка релятивистских электронов в плазме: ленгмюровский конденсат. // 8ЭТФ. - 1984. -Т.86, вып.4. - С.. 1263-1272

3. Малкин в.М. К вопросу о динамике коллапса ленгмюровских волн. // ЖЭТФ. - 1984. - Т.87, ВЫП. 2. - С. 437-449.

4. Malkin V.M. On the Dynamics of Langmuir Wave Collapse. // Nonlinear and Turbulent Processes in Physics. - New York: Harwood Academic Publ., 1984. - Vol.1. - P. 393-399.

.5. Малкин B.M., Цидулко Ю. А. Автомодельный центрально-симметричный коллапс ленгмюровских волн. // Физика плазмы. - 1985. -Т . 11, вып. 8. С. 964-970.

6. Малкин В.М. Коллапс нелинейных ленгмюровских волн. // ЯЭТФ. - 1986. - Т.90, ВЫП. 1. - С. 59-75.

7. Малкин В.М., Худик В.Н. Автомодельные режимы «скалярного» коллапса. // ЖЭТФ. - 1987. - Т.92, вып. 2. - С. 2076-2089.

8. Malkin V.M. Models of Strong Langmuir Turbulence. - Novosibirsk, 1986. - 7p. -(Preprint INP; 86-185). // Proc. Int. Conf. on Plasma Physics. (Kiev, April 6-12, 1987). - Kiev: Naukova Dumka, 1987. - Vol.2. - P. 169-172.

9. Малкин В.М. Биавтокодельный волновой коллапс. // Письма в ЖЭТФ. - 1988. - Т.48, вып. 11. - С. 603-604.

10. Малкин В.М., Худик В.Н. Точечный спектр в задаче об устойчивости автомодельного скалярного коллапса. // ЖЭТФ. - 1989. -Т.95, ВЫП. 5. - С. 1639-1652.

11. Malkin V.M. , Khudik V.M. Self-Similar Langmuir Collapse. // Physica. - 1991. - Vol.52D, N.l. - P.55-58.

12. Malkin V.M. Postcollaptical Effects in Strong Langmuir Turbulence. //Physica. - 1991. - Vol.52D, N.l. - P.103-115.

13. Malkin V.M., Khudik V. N. Growing Quasi-Modes in Dynamics of Supersonic Collapse. // Physica. - 1991. - Vol.52D, N.l. -P.63-72.

14. Malkin V.M. On the Role of Sound in the Strong Langmuir Turbulence. // Proc. 4 Int. Workshop on Nonlinear and Turbulent Processes in Physics. - Kiev, 1989. - Vol.1. - P. 387-390.

15. Малкин В.Н., Шапиро Е.Г, О сингулярном волновом коллапсе. // ЖЭТФ. - 1990. - Т.97, ВЫП. 1. - С. 183-193.

16. малкин В.М. , Худик В.Я. Шедорук М.П. Автомодельные режимы сверхзвукового коллапса ленгмюровских волн. // ЖЭТФ. - 1990. - Т.97, вып. б. - С. 1812-1826.

17. Malkin V.M. Dynamics of Wave Collapse in the Critical Case. // Phys. Lett. - 1990. - Vol.l51A, N. 6/7. - P. 285-288.

18. Malkin V.H., Shapiro E.G. Elementary Excitation for Solitons of Nonlinear Schroedinger Equation. J/ Physica - 1991. -Vol.53D. - P.25-32.

19. Malkin V.H. On the Analytical Theory for Stationary Self-Focusing of Radiation. - Novosibirsk, 1992 - 30p. - (Preprint INP; 92-41). // Physica D - 1993.

20. Khudik V.N., Malkin V.H. Self-similar regimes of subsonic Langmuir wave collapse. - Novosibirsk, 1992 - 9p. - (Preprint INP; 92-58). // In: Proc. NATO Workshop on singularities in physics, Crete, Greece, 1992.

МАЛКИН Владимир Моисеевич

К теории волновых коллапсов

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 3.02. 1993 г. Формат бумаги 60x90 1/16 Объем 1,5 печ.л., 1,2 уч.-иод.п. _Тираж 100 эхо. Бесплатно. Заказ N 13_

Обработано на IBM PC и отпечатано на ротапринте ИЯФ им. Г.И. Будкера СО РАН, Новосибирск, 630090, пр. академика Лаврентьева, 11.