Квазилинейная и нелинейная эволюция локализованных ленгмюровских возмущений тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Г'! 1

V. V 1

V РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

СИБИРСКОЕ-ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Г.И. Будкера

На правах рукописи

ХУДИК Владимир Николаевич

КВАЗИЛИНЕЙНАЯ И НЕЛИНЕЙНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ ЛЕНГМЮРОВСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК—1993

Работа выполнена в Институте ядерной физики им. Г.И. Будкера Сибирского отделения Российской Академии наук.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

Котельников Игорь Александрович

кандидат физико-математических наук,

Институт ядерной физики

им. Г.И.Будкера СО РАН, г. Новосибирск.

Мушер Семен Львович

— доктор физико-математических наук, профессор, Институт автоматики и электрометрии СО РАН, г. Новосибирск.

Ведущая организация:

Вычислительный центр СО РАН, г. Новосибирск.

Защита диссертации состоится " Л £ " С/^^Л б/О^ 1993 г. в "1о часов на заседании специализиров^шого со'вета Д.002.24.01 щ

Институте ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН.

Адрес: 630090, г. Новосибирск-90,

проспект академика Лаврентьева, 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИЯФ СО РАН. Автореферат разослан « п^З " ИОД ЛИЯ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат. наук,-профессор

В.С. Фадин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Одной из важных областей физики плазмы является исследование взаимодействия ленгмюровских колебаний достаточно большой интенсивности с электронами и ионами плазмы. В лабораторных и астрофизических условиях занимаемые колебаниями области пространства всегда ограничены, что обусловливает важность нахождения закономерностей в эволюции локализованных ленгмюровских возмущений.

Локализованные в пространстве структуры играют важную роль при построении теории сильной плазменной турбулентности, позволяющей адекватно описать различные явления и процессы в космической и лабораторной плазме. При сильной ленгмюровскрй турбулентности одним из важнейших нелинейных процессов является ленгмюровский коллапс - носящая взрывной характер концентрация ленгмюровских волн в малых областях пространства.

Явление коллапса ленгмюровских волн представляет значительный интерес и с точки зрения общей теории нелинейных волновых полей. Коллапс ленгмюровских волн, являясь нелинейной стадией модуляционной неустойчивости, развивается при взаимодействии высокочастотных ленгмюровских колебаний большой интенсивности с медленными движениями плазмы. Во время коллапса ионы плазмы выталкиваются высокочастотным давлением из областей локализации сильных электрических полей, что приводит к образованию каверн - зон пониженной плотности плазмы - и неудержимому росту интенсивности «запертых» в кавернах ленгмюровских колебаний. Рост плотности энергии колебаний в процессе сжатия каверны происходит до тех пор. пока не становится существенной передача энергии электронной компоненте плазмы вследствие затухания Ландау, либо вследствие пересечения траекторий электронов.

Большой интерес к динамике коллапса обусловлен теи, что в попытках описания сильной ленгмюровской турбулентности используется гипотеза об автомодельном характере коллапса ленгмю-ровских волн. Уже начиная с первой работы о ленгмюровском коллапсе [1], было известно о существовании автомодельных подстановок в дозвуковом и сверхзвуковом пределах. Однако несмотря на значительные усилия, вследствие больших математических трудностей (в частности, существенной трёхмерности задачи) долгое время не удавалось прояснить в должной мере динамику ленгмюровского коллапса. Интенсивное применение численных методов при изучении эволюции локализованных пакетов ленгмюровских волн подтвердило сам факт коллапса, но не позволило надёжно судить о существовании и степени универсальности автомодельной асимптотики. Поэтому прямое исследование автомодельных режимов ленгмюровского коллапса, предпринятое в диссертации, является весьма актуальным в настоящее время.

Основные цели работы

Исследование взаимодействия локализованного в пространстве пакета ленгмюровских волн достаточно большой амплитуды с резонансными электронами при регулярном и случайном изменении фазовой скорости пакета.

Аналитическое и численное исследование автомодельных режимов сверхзвукового скалярного коллапса, выявление структуры множества этих режимов.

Исследование устойчивости автомодельных режимов сверхзвукового скалярного коллапса.

Исследование влияния коротковолновых возмущений на динамику сверзвукового скалярного коллапса.

Аналитическое и численное исследование автомодельных режимов коллапса ленгмюровских волн в сверхзвуковом пределе и нахождение количественных характеристик этих режимов.

Исследование автомодельных режимов коллапса ленгмюровских волн в дозвуковом пределе.

Научная новизна

Показано, что в отличие от пространственно-периодической волны локализованный в пространство пакет ленгмюровских волн при взаимодействии с резонансными электронами затухает до конца,

причём процесс затухания пакета сводится не к падению его амплитуда, а к уменьшению его длины.

Найдено обширное множество автомодельных режимов сверхзвукового скалярного коллапса.

Найдены устойчивые относительно возмущений произвольно малой амплитуды автомодельные режимы сверхзвукового скалярного коллапса.

Получены количественные критерии разрушения автомодельного режима скалярного коллапса коротковолновыми возмущениями и коротковолновым звуком.

Построены автомодельные режимы сверхзвукового коллапса ленгмюровских волн при различных заселённостях основного триплета связанных состояний; аналитически найдены автомодельные режимы с почти центрально-симметричной каверной при большом давлении высокочастотного поля; численно построены автомодельные режимы при почти равном заселении одного из возбуждённых триплетов.

Построены автомодельные режимы дозвукового коллапса ленгмюровских волн с аксиально-симметричной каверной.

Практическая ценность

Результаты исследования нелинейного затухания Ландау пакета ленгмюровских волн могут быть использованы при интерпретации экспериментов по взаимодействию потоков заряженных частиц с лабораторной плазмой, при объяснении процессов пучковой микротурбулентности в магнитосфере и описании солнечных радиовсплесков.

Найденные автомодельные режимы коллапса ленгмюровских волн могут быть использованы при построении теории сильной ленгмюровской турбулентности и определении спектров волн и ускоряемых ими электронов. Количественная информация о типичных автомодельных режимах сверхзвукового коллапса необходима для уточнения условий поглощения ленгмюровских волн на заключительной стадии коллапса и вычисления дополнительного пост-коллаптического поглощения энергии. Знание параметров автомодельных решений дозвукового коллапса необходимо при исследовании эволюции особенности после момента её образования.

Изложенная в работе численная процедура можеть быть исполь-

зована для интегрировании других нелинейных трёхмерных уравнений при нахождении солитонов и автомодельных решений.

Апробация работы

Представленные в диссертации материалы докладывались на:

- Международной рабочей группе по физике волновых коллапсов

(Новосибирск, 1988).

- Международной рабочей группе по сингулярностям в физике

(Гераклион, Крит, Греция, 1992).

По теме диссертации опубликовано семь работ.

Структура к объём диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка цитированной литературы (122 страницы машинописного текста, 18 рисунков и 56 наименований цитированной литературы).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность рассматриваемых в диссертации вопросов, формулируются основные цели работы, кратко излагается её содержание.

Первая глава посвящена исследованию эволюции квазимонохроматического пакета ленгиюровских волн в плазме при взаимодействии этих волн с резонансными электронами. Ранее в [2], [3] было показано, что процесс затухания пространственно-периодической волны с амплитудой потенциала ф полностью характеризуется величиной уГ, где 7 " линейный декремент затухания, а Т - характерный период колебаний захваченных в потенциальные ямы волны электронов: Г - (т/екгф)1/2. При малой амплитуде волны (уТ » 1) затухание линейно, а при большой (-цТ « 1) - за время порядка Т происходит фазовое перемешивание резонансных частиц, после чего затухание прекращается. При этом энергия волны в конечном состоянии становится меньше своего начального значения лишь на малую величину.

В отличие от периодического случая на локализованный в пространстве пакет ленгмюровских волн всё время налетают «свежие» резонансные электроны, ещё не взаимодействовавшие с

этим пакетом, что приводит к непрерывности процесса затухания. В разделе 1 основное внимание уделяется рассмотрению затухания длинного пакета с фиксированной фазовой скоростью (затухание коротких пакетов независимо от амплитуда всегда определяется линейной теорией). В системе координат, связанной с волной, исследуется процесс фазового перемешивания резонансных электронов при их движении в области адиабатически медленно меняющегося переднего фронта пакета. Вычисляется энергия, затрачиваемая на «оргодизацию» функции распределения, и с помощью закона сохранения энергии и уравнения непрерывности находится замкнутое уравнение для огибающей потенциала. АналЛ этого уравнения позволяет сделать вывод об укручении переднего фронта и образовании на нём разрыва, движение которого определяет скорость «съедания» пакета. В заключение первого раздела проводится обсуждение условий применимости полученных результатов и их обобщение для случая регулярного (монотонного) изменения фазовой скорости.

Эволюция локализованного ленгмюровского пакета со случайно меняющейся фазой описывается в разделе 2 с помощью квазилинейной теории. Для пакета конечной длины исследуется процесс образования плато на функции распределения налетающих резонансных частиц. Большая величина плотности энергии колебаний по сравнению с энергией, затрачиваемой на фазовое размешивание, позволяет выделить в квазилинейных уравнениях в явном виде малый параметр

Ду

с ' 2згг<иг= 2* ТГ

(А V - разброс фазовых скоростей пакета, Т> - квазилинейный коэффициент диффузии) и с нужной точностью найти изменение с течением времени квазилинейного коэффициента диффузии (и тем самым спектральной плотности энергии ленгкюровских колебаний).

Главы 2-4 посвящены автомодельным режимам коллапса ленг-мюровских волн, развивающегося при взаимодействии локализованных высокочастотных колебаний большой интенсивности с медленными движениями плазмы.

Во второй главе исследуется автомодельные режимы сверхзвукового скалярного коллапса. В процессе сверзвукового автомодельного коллапса форма каверны не меняется, а размер убывает по закону

В разделе 1 приводятся основные уравнения скалярной модели [4], и уравнения, описывающие автомодельные режимы скалярного коллапса в сверхзвуковом адиабатическом пределе. В разделе 2 описывается множество автомодельных решений с кавернами выпуклой формы и аналитически строятся примеры представителей данного множества (для режимов с большими значениями высокочастотного давления в центре каверны: |Е(0)|г»1). Для центрально-симметричных каверн численным интегрированием уравнений строится однопараметрическое- семейство автомодельных решений (при произвольных значениях высокочастотного давления в центре каверны) и определяется место в этом семействе ранее найденных решений [5].

В автомодельной каверне, как известно, имеется бесконечное число связанных состояний, В разделе 3 находятся автомодельные решения при заселении одного из возбуждённых связанных состояний в центрально-симметричной каверне. Это удаётся сделать вследствие малости характерного масштаба осцилляций этих решений (при |Е(0)|2»1) по сравнению с размером каверны и существования трёх слабоосциллирующих функций - приближённых интегралов быстрых движений. Вначале с их помощью вычисляются характеристики решений с не очень большим номером заселённого возбуждённого состояния, а затек - после применения метода усреднения и численного интегрирования упрощённых уравнений - находятся характеристики автомодельных решений с произвольно большими номерами заселённого состояния. В заключение этого раздела численно строятся осциллирующие решения со значениями высокочастотного давления в центре каверны порядка единицы.

Третья глава посвящена исследованию устойчивости автомодельных режимов сверхзвукового скалярного коллапса. В разделе 1 обсуждается постановка задачи, и разъясняется разница между истинными собственными нодами (спектр собственных значений этих мод является точечным) и найденными ранее в [6] так называемыми квазимодами (собственные значения которых заполняют целую полосу). Для центрально-симметричных каверн возмущения классифицируются по их мультипольности и для каждого «орбитального момента» 1 подсчитывается общее количество неустойчивых собственных мод.

а « и - С)2/3

В разделе 2 приводятся найденные численным интегрированием точечные спектры собственных значений для различных центрально-симметричных автомодельных режимов скалярного коллапса с заселённым основным состоянием. Проводится анализ этих спектров и даётся теоретическое объяснение ряду их особенностей. Такая же работа проделывается в разделе 3 для автомодельных режимов с заселённым возбуждённым состоянием.

В разделе 4 исследуется динамика роста коротковолновых возмущений конечной амплитуды. Даётся качественное объяснение мелкомасштабной неустойчивости и указывается на её связь с растущими квазимодами. Система уравнений, описывающих эволюцию малых поправок к автомодельному решению, для локализованных в центре каверны коротковолновых возмущений сводится к простону уравнению для возмущения плотности. Это позволяет получить количественный критерий разрушения устойчивого относительно бесконечно малых возмущений автомодельного режима мелкомасштабными возмущениями конечной амплитуды. С целью проверки этого критерия и выявления особенностей динамики мелкомасштабной неустойчивости численно решается задача Коши для уравнений, описывающих сверхзвуковой скалярный коллапс. Затем эта зарача решается для одного из неустойчивых относительно бесконечно малых возмущений автомодельных режимов, и проводится сравнение характера деформации каверны при росте мелкомасштабного возмущения и неустойчивой собственной моды. Далее изучается динамика разрушения автомодельного коллапса коротковолновым звуком и находится количественный критерий возможности такого разрушения.

В четвёртой главе исследуются аналитически и строятся численно автомодельные режикы коллапса ленгмюровских волн. Разделы 1, 2 посвящены автомодельному ленгмюровскону коллапсу в сверхзвуковом адиабатическом приближении, а раздел 3 - ленгмюровскону коллапсу в дозвуковом пределе.

В разделе 1 строится основное семейство автомодельных режимов сверхзвукового ленгмюровского коллапса. Разложением «волновых» функций по присоединённым полиномам Лежандра р™ исходные точные уравнения, описывающие сверхзвуковой ленгмю-ровский коллапс, заменяются конечномерной аппроксимацией. В дипольном приближении, получаемом отбрасыванием всех высших гармоник в разложениях «волновых» функций, строится численным способом двухпараметрическое семейство автомодельных решений со

всевозможными заселённостями основного триплета связанных состояний. С помощью разработанного алгоритма постепенного

«подключения» высших гармоник в разложениях функций ф (г)

р

дипольное приближение существенно уточняется в количественной отношении. Приводятся параметры автомодельных решений для предельных случаев заселения основного триплета связанных состояний. Рассматривается возножностъ описания блинообразной

каверны в рамках ранее предложенной модели [5] сильно сплюснутой

1

каверны.

В разделе 2 рассматриваются высшие автомоделные решения. Основное внимание уделяется случаю почти равного заселения состояний триплета, когда каверна близка к центрально-симметричной, и задача по существу является одномернй. Анализируются построенные численно решения с большими значениями высокочастотного давления в центре каверны и усматривается предельное решение, которое удаётся описать аналитически. Помимо автомодельных решений с одногорбой радиальной волновой функцией численно находятся осциллирующие решения, соответствующие почти равному заселению состояний какого-либо из возбуждённых связанных триплетов. Приводятся приближённые формулы для значения поля в центре каверны и её глубины в зависимости от номера заселённого состояния.

В разделе 3 исследуются автомодельные режимы коллапса пекгкюровсккх волн в дозвуковом пределе. В таких режимах форма коллапсирующей каверны не меняется, а размер убывает по закону

I * » >1/2

а а [Ь - Ь)

з

Доказывается, что автомодельные решения уравнения, описывающего дозвуковой ленгмюровсккй коллапс, составляют не более чем счётное множество. При численном построении решений с аксиально-симметричными кавернами исходное точное уравнение, так же, как и в сверзвуковом пределе, заменяется конечномерной аппроксимацией. Вначале автомодельные решения находятся в дипольном приближении, получаемом отбрасыванием всех высших гармоник в разложении «волновой» функции по присоединённым полиномам Лежандра. Затем постепенным «подключением» высших гармоник дипольное приближение существенно уточняется в количественном отношении.

Основные результаты

1. Исследовано затухание пакета ленгнюровских волн, обусловленное его взаимодействием с резонансными электронами. Показано, что в случае пакета с фиксированной фазовой скоростью передний фронт огибающей становится всё более крутым и в конце концов образуется разрыв, «съедающий» пакет. При этом затухание пакета сводится не к падению его амплитуды, а к уменьшению длины. В случае пакета с монотонно меняющейся в пространстве фазовой скоростью происходит одновременное понижение амплитуды во всех точках пакета. Если же фазовая скорость есть случайная функция координат, то затухание вновь приобретает характер «съедания».

2. Описана структура семейства автомодельных режимов сверхзвукового скалярного коллапса. Аналитически построены примеры представителей данного семейства. Построены автомодельные режимы сверхзвукового скалярного коллапса при заселении одного из возбуждённых состояний в центрально-симметричной каверне (для различных значений высокочастотного давления в центре каверны).

3. Решена задача об устойчивости всех центрально-симметричных автомодельных режимов скалярного коллапса с одним заселённым состоянием. Доказано существование устойчивых относительно произвольных малых возмущений автомодельных решений и сформулировано весьма жёсткое необходимое условие устойчивости автомодельных решений общего вида.

4. Исследована динамика роста коротковолновых возмущений и найден количественный критерий разрушения автомодельного режима. Численным решением задачи Коши для уравнений Захарова установлен конвективный характер мелкомасштабной неустойчивости. Найден количественный критерий разрушения автомодельного ре жима коротковолновым звуком.

5. Численно обнаружено существование автомодельных режимов сверхзвукового коллапса. ленгкюровских волн при различных заселённостях основного триплета связанных состояний и минимальных значениях высокочастотного давления в центре каверны. Вычислены количественные характеристики этих режимов. Аналитически построены автомодельные режимы с почти центрально-симметричными кавернами при больших значениях высокочастотного

поля. Численно найдены автомодельные решения при заселении в почти центрально-симметричной каверне одного из возбуждённых триплетов.

В. Построены два автомодельных режима дозвукового коллапса ленгмюровских волн с аксиально-симметричной каверной. В одном режиме - с электрическим полем в центре каверны, параллельным оси симметрии, - каверна сплюснута в направлении выделенной оси, а в другом - с электрическим полем в центре каверны, перпендикулярным оси симметрии, - каверна вытянута вдоль этой оси.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Рютов Д. Д. , Худик В.Н. Нелинейное затухание Ландау пакета ленгкюровских волн.// ЖЭТФ. - 1973. - Т. 64, вып. 4. - С. 1252 -1260.

2. Налкин В. М. , Худик В.Н. Автомодельные режимы «скалярного» коллапса. // ЖЭТФ. - 1987. - Т.92, ВЫП. 2. - С. 2076-2089.

3. Налкин В.М., Худик В.Н. Точечный спектр в задаче об устойчивости автомодельного скалярного коллапса. // ЖЭТФ. -1989. - Т.95, ВЫП. 5. - С. 1639-1652.

4. Halkin V.H. , Khudik V.N. Self-similar Langmuir collapse. // Physica. - 1991. - Vol.52D, N.l. - P.55-58.

5. Halkin V.K., Khudik V.N. Growing quasi-modes in dynamics of supersonic collapse. // Physica. - 1991. - Vol.52D, N.l. -P.63-72.

6. Налкин В.Н. , Худик В.Н. ¿едорук М.П. Автомодельные режимы сверхзвукового коллапса ленгмюровских волн. // ЖЭТФ. - 1990. - Т.97, вып. 6. - С. 1812-1826.

7. Khudik V.N. , Halkin V.H. Self-similar regimes of subsonic Langmuir wave collapse. - Novosibirsk, 1992 - 9p. - (Preprint INP; 92-58). // In: Proc. NATO Workshop on singularities in physics, Crete, Greece, 1992.

Литература, цитируемая в тексте:

1. Захаров В. Е. Коллапс ленгкюровских волн // ЖЭТФ. - 1972. -Т. 62, вып. 5. - С. 1745- 17S9.

2. Маэитов Р. К. О затухании плазменных волн. // ПМТФ. - 1965. -N 1. - С. 27-31.

3. О'Neil Т. Collisionless damping of nonlinear plasma oscillations // Phys. Fluids. - 1965. - Vol.8, N 12. - P.2255-2262.

4. Бувнева О. В., Захаров В. Е. , Сынах B.C. О некоторых моделях волновых коллапсов // Физика плазмы. - 1975. - Т. 1, вып. 4. -

С. 606-613.

5. Захаров В. Е., Щур Л. И. Об автомодельных режимах волновых коллапсов //ЖЭТФ. - 1981. - Т. 81, ВЫП. 6(12). - С. 2019-2031.

6. Малкин В.Н. К вопросу о динамике коллапса ленгмюровских волн. //ЖЭТФ. - 1984. - Т.87, вып. 2. - С. 437-449.

ХУДИК Владимир Николаевич

Квазилинейная и нелинейная

(эволюция локализованных ленгмюровских воомущений

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 17 мая 1 !Ш г. Формат бумаги 60x90 1/16 Объем 1,1 нсч.л., 0,9 уч.-ипд.п. Тираж 100 око. Бесплатно. Заказ N 3!)

Обработано на IBM PC и отпечатано на ротапринте ИЯФ им. Г.И. 1>удкера СО РАН, Новосибирск, 630090, пр. академика Лаврентьева, 11.