Регулярные и случайные поля в эволюции волновых спектров в плазме

Попель, Сергей Игоревич

Регулярные и случайные поля в эволюции волновых спектров в плазме тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Попель, Сергей Игоревич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

1998 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Регулярные и случайные поля в эволюции волновых спектров в плазме»

Автореферат диссертации на тему "Регулярные и случайные поля в эволюции волновых спектров в плазме"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ДИНАМИКИ ГЕОСФЕР

^ На правах рукописи

** Попель Сергей Игоревич

со /

УДК 533.9

РЕГУЛЯРНЫЕ И СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ В эволюции волновых СПЕКТРОВ В ПЛАЗМЕ

01.04.02 - теоретическая физика 01.04.08 - физика и химия плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1998

Работа выполнена в Институте динамики геосфер РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических нау

профессор Кингсеп A.C.

доктор физико-математических нау профессор Моисеев С. С.

доктор физико-математических нау профессор Алиев Ю.М.

Ведущая организация: Институт прикладной физики РАН

Защита состоится MGft__1998 г. в час, на заседании Дисссу

тационного совета Д.003.40.03 Института общей физики РАН по адресу: 117942 i Москва, ул. Вавилова, 38, Институт общей физики РАН, корп. 3, ауд._.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института общей физики РАН.

Автореферат разослан и^ър^Л >У 1998 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета,

доктор физико-математических ^ ^ у"

паук, профессор - Ирисова Н./

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Нелинейные явления играют значительную роль как в фундаментальной теоретической физике, так и в многочисленных экспериментальных и промышленных задачах. Исторически сложилось так, что изучение нелинейных явлений получило существенное развитие в физике плазмы. Любой достаточно мошный ввод энергии в плазму приводит к их быстрому развитию. Они чрезвычайно важны в исследованиях по проблеме управляемого термоядерного синтеза, в разнообразных астрофизических задачах, в активных геофизических экспериментах, при взаимодействии мощного ВЧ излучения с плазмой ионосферы Земли и т. д. В дополнение к этому следует отметить, что такие явления как динамический хаос, турбулентность, образование нелинейных структур составляют значительную часть нелинейной физики плазмы. Результаты в этой области представляют интерес для физики в целом.

Теоретическое описание нелинейных явлений часто подразумевает использование в качестве малого параметра отношения энергии коллективных волновых полей к средней энергии частиц. В этом случае говорят о приближении слабой нелинейности. Уже в рамках данного приближения возможны два качественно различных состояния плазменной системы. Одно из них - состояние слабой турбулентности - характеризуется случайными фазами волн. Произвольные волновые движения в этом состоянии можно представить в виде суперпозиции волновых мод линейной теории. К настоящему времени разработка теории слабой турбулентности практически завершена. В другом состоянии - состоянии сильной турбулентности - возрастает значение регулярных возмущений полей, что приводит к образованию различных когерентных структур, таких как солитоны, филаменты, нелинейно самосжимающиеся волновые пакеты я т.д. Особенностью этих структур является то, что внутри них фазы мод сильно скоррелироваиы. При аналитическом исследовании состояния сильной турбулентности в основном рассматривалось поведение когерентных структур, являющихся частными решениями нелинейных уравнений, описывающих это состояние. Использование лишь частных решений соответствующих нелинейных уравнений затрудняет адекватное и полное описание состояния сильной турбулентности и перехода из состояния слабой в состояние сильной турбулентности. Такое состояние дел привело к тому, что до сих пор не построена законченная теория сильной турбулентности и имеются лишь сценарии сильной турбулентности.

Состояние сильной от состояния слабой турбулентности отличает наличие в плазме регулярных возмущений полей. Таким образом, весьма важной задачей является построение теории регулярных я случайных полей, которая учитывает возможность генерации регулярных полей случайными и не ограничивается какой-либо конкретной формой регулярных возмущений полей (например, солитонами или самосжимающимися волновыми пакетами).

Ключевым процессом при генерации регулярных полей является модуляционное взаимодействие. Традиционные методы исследования модуляционного взаимодействия, когда выводы относительно характера взаимодействия заключаются только на основе нелинейных уравнений, в которых не произведено разделения полей на регулярные и случайные, не позволяют решить следующие фундаментальные проблемы.

из того, что частными решениями нелинейных уравнений, описывающих модуляционное взаимодействие, являются когерентные структуры. В общем случае для решения этой проблемы следует провести исследование стохастических свойств плазменной системы. Действительно, приближение слабой турбулентности, когда фазы волн могут рассматриваться как случайные, справедливо лишь для систем с развитой стохастичностью. Усиление фазовых корреляций приводит к изменению стохастических свойств данной системы. Таким образом, по изменению стохастических свойств плазменной системы можно судить о фазовых корреляциях и о появлении регулярных возмущений полей. Исследование стохастических свойств системы представляет также интерес для определения пределов применимости теории, учитывающей только случайные поля, при описании нелинейных эффектов в плазме (в том числе и тех, для которых описание с помощью такой теории является традиционным, например, эффекта плазменного мазера).

Во-вторых, на основе этих методов не была до сих пор решена задача описания модуляционной неустойчивости спектров волн. Модуляционная неустойчивость - линейная стадия развития модуляционного взаимодействия. Ее исследование важно для определения характерных времен модуляционных процессов и их порогов, что имеет существенное значение для описания реальных процессов в плазме (например, при генерации токов увлечения нижнегибридными (НГ) волнами в установках по магнитному удержанию плазмы), где зачастую спектры имеют достаточную ширину в пространстве волновых векторов. Традиционные же методы, как правило, позволяют либо исследовать модуляционную неустойчивость монохроматической (с фиксированными частотой и волновым вектором) волны накачки, либо найти в частных случаях решения в виде сильно коррелированных нелинейных состояний. Имеющие ся попытки описания модуляционной неустойчивости спектров ленгмюровских волн дают возможность ее исследования лишь в частном случае (когда характерная длина волнового вектора в спектре значительно превосходит длину волнового вектора модуляционных возмущений), либо вовсе не являются удовлетворительными. Попыток исследования модуляционной неустойчивости спектров других типов волн, важных для описания реальных экспериментальных ситуаций (например, НГ волн) и вовсе не предпринималось.

В-третьих, методы, не учитывающие разбиения полей на их случайные и регулярные компоненты, не дали ясности в вопросе о пороге модуляционного взаимодействия даже в наиболее часто исследуемом случае ленгмюровских волн. Естественно называть пороговым такое значение энергии волн в плазме, что при уровнях энергии ниже этого значения развития модуляционных процессов не происходит, тогда как при его превышении имеет место генерация модуляционных возмущений. Понятие порога чрезвычайно важно при рассмотрении перехода из состояния слабой в состояние сильной турбулентности, а также для определения в различных приложениях параметров плазменной системы, при которых в силу вступает модуляционное взаимодействие. Хорошо известно, что модуляционная неустойчивость монохроматической ленгмюровской волны накачки в бесстолкновительной плазме не имеет порога. Таким образом, решение вопроса о порогах неустойчивости непосредственно связано с решением задачи о неустойчивости волновых спектров.

но н тот факт, что эти состояния существенно неравновесны. Поэтому приводимая ранее трактовка перехода из состояния слабой в состояние сильной турбулентности как обычного (равновесного) фазового перехода не является вполне удовлетворительной. Критерий же неравновесного фазового перехода, в результате которого неравновесная система переходит в более упорядоченное состояние, для случая перехода из состояния слабой в состояние сильной турбулентности проверен не был. Не рассматривался и вопрос об относительной степени упорядоченности состояний слабой и сильной турбулентности.

Развитие теории регулярных и случайных полей в эволюции волновых спектров и, в частности, развитие методов исследования модуляционной неустойчивости спектров волн требуется не только прп рассмотрении изложенных выше фундаментальных теоретических задач, для решения которых естественно исследовать случай ленгмюровской турбулентности. Существует множество реальных ситуаций в физике плазмы, которые могут быть описаны только при условии развития этих методов. Это относится, в частности, к ситуациям в лабораторной и космической плазме, где в присутствии внешнего магнитного поля, важным оказывается модуляционное взаимодействие волн, частота которых связана с так называемой частотой НГ резонанса. Такие ситуации весьма распространены. Например, они имеют место в экспериментах по ВЧ нагреву плазмы и по генерации токов увлечения ПГ волнами, проводимых в установках по магнитному удержанию плазмы. Как правило, спектры НГ волн при этом имеют конечную ширину в пространстве волновых векторов. Локализованные пакеты волн с частотами в области частоты НГ резонанса (филаменты) наблюдались в околоземной плазме в ракетных экспериментах MARIE, в измерениях, проведенных с помощью спутника Freja. Рассмотрение модуляционной неустойчивости дрейфовых НГ волн важно при объяснении явления перезамыкания магнитных силовых линий в магнитосфере Земли, при описании волновой турбулентности, возникающей при расширении ионизованного облака в фоновую плазму (ситуация, которая имела место в экспериментах, выполненных по программе Active Magnetospheric Particle Tracer Explorers (AMPTE)) и т.д.

Задача о генерации токов увлечения ВЧ волнами является весьма актуальной с точки зрения создания стационарного режима работы установок токамак. В плазму токамака с помощью внешних устройств вводят (инжектируют) ВЧ волны с продольной (по отношению к тороидальному магнитному полю) компонентой импульса. Волны взаимодействуют с электронами плазмы, что и приводит к образованию тока. Наиболее полно экспериментально исследованы токи увлечения, генерируемые НГ волнами. При теоретическом описании токов, генерируемых НГ волнами, обычно учитывались только квазилинейные взаимодействия НГ волн и электронов плазмы и парные столкновения электронов, переносящих ток, с остальными частицами плазмы. Однако, существует проблема сопоставления результатов, полученных на основе такого теоретического подхода, с данными экспериментов по генерации токов увлечения НГ волнами: экспериментальные значения оказываются на несколько порядков больше теоретических. Несоответствие между теоретическими и экспериментальными значениями токов увлечения связано с так называемой проблемой "спектрального зазора", которая состоит в том, что для объяснения наблюдаемых токов увлечения, генерируемых НГ волнами, следует определить механизм появления в плазме НГ волн с достаточно низкими продольными фазовыми скоростями wq!\\ < 4.5ure (где и>о - частота НГ волны, к - ее волновой вектор, индекс || обозначает компоненту вектора параллельную внешнему магнитному полю, vre = (T^/iri;)1'2 - тепловая скорость электронов, Те - электронная температура плазмы, тс - масса электрона),

тогда как продольные фазовые скорости инжектируемых НГ волн достаточно высоки, и в их спектре волны с и>о/к\\ 2 4.5wj-s обычно отсутствуют. Имеющиеся попытки объяснения механизма заполнения "спектрального зазора" НГ волнами (т.е. появления в плазме НГ волн со значениями продольных фазовых скоростей меньшими, чем минимальное значение продольной фазовой скорости ('ш0/. в спектре инжектируемых НГ волн, и достаточными для объяснения наблюдаемых токов увлечения), основанные на учете как линейных, так и нелинейных эффектов, не позволяют дать универсального решения этой задачи. При не очень высоких уровнях плотности энергии НГ волн (пока не становятся существенными модуляционные эффекты) на заполнение "спектрального зазора" НГ волнами и процесс установления стационарного тока увлечения влияет целый комплекс эффектов: квазилинейные и радиааионно-резонансные взаимодействия, индуцированное рассеяние волн на частицах плазмы, а также парные столкновения частиц. В наиболее крупных экспериментах по генерации токов увлечения существенным может стать модуляционное взаимодействие НГ волн. Однако однозначно это сказать можно, лишь исследовав модуляционную неустойчивость спектров НГ волн и определив пороги неустойчивости (которые могут возникнуть, поскольку должна быть исследована именно неустойчивость спектров). Модуляционное взаимодействие может также привести к возникновению возмущений магнитного поля. Рассеяние электронов на флуктуациях магнитного поля может стать процессом, конкурирующим с процессом парных столкновений электронов, переносящих ток, с остальными частицами плазмы. Таким образом, для описания наиболее крупных экспериментов по генерации токов увлечения НГ волнами необходимо изучить модуляционное взаимодействие спектров НГ волн.

В экспериментах по дополнительному ВЧ нагреву плазмы и токам увлечения ВЧ поле существенным образом влияет на состояние турбулентности в пристеночной плазме токамаков, где важная роль принадлежит дрейфовым волнам. Длинноволновые дрейфовые волны, как полагают, являются важным фактором аномального переноса в пристеночных областях токамаков. Эксперименты, проведенные на тока-маке Tore Supra, в которых измерялись уровень флуктуации плотности, связанных с длинноволновыми дрейфовыми колебаниями, и их спектр, показали, что мощность инжекции НГ волн в плазму существенно влияет на эти характеристики, причем имеется ярко выраженная нелинейная зависимость уровня флуктуаций плотности от мощности инжекции волн. Этот факт не может быть объяснен в рамках стандартной теории, где предполагается, что дрейфовые волны возбуждаются благодаря обычной линейной дрейфовой неустойчивости. Эффекты слабой турбулентности, рассматриваемые в рамках теории, где все возмущения полей предполагаются случайными, (например, распад НГ волны на НГ волну и дрейфовую волну, индуцированное рассеяние НГ волны на частицах плазмы с превращением ее в дрейфовую волну) также не могут объяснить наблюдаемых характеристик дрейфовых волн. Таким образом, весьма важной задачей является модуляционное возбуждение длинноволновых дрейфовых волн НГ волнами.

Цель работы. Целью диссертационной работы является: разработка универсальной нелинейной теории, описывающей динамику регулярных и случайных полей в эволюции волновых спектров в плазме, учитывающей возможность генерации регулярных полей случайными и не ограничивающейся какой-либо конкретной формой регулярных полей; развитие универсальных методов исследования модуляционной неустойчивости волновых спектров; исследование перехода из состояния слабой в состояние сильной турбулентности; рассмотрение влияния модуляционных процессов

при генерации токов увлечения в плазме установок токамак, в пристеночной плазме этих установок, в магнитосфере Земли.

Научная новизна. Впервые разработана универсальная - те-

ория, описывающая динамику регулярных и случайных полей в эволюции волновых спектров в плазме и учитывающая возможность генерации регулярных полей случайными. На основе этой теории развиты универсальные методы исследования модуляционной неустойчивости волновых спектров.

Впервые дано строгое доказательство того факта, что модуляционное взаимодействие с необходимостью усиливает фазовые корреляции в волне, приводя к формированию в системе состояния сильной турбулентности. Этот процесс имеет место даже в случае систем, находящихся первоначально в состоянии слабой турбулентности.

Впервые объяснен парадокс, возникающий при описании эффекта плазменного мазера на основе теории, учитывающей только случайные поля, который заключается в том, что нелинейный инкремент раскачки резонансных с частицами волн формально может принимать сколь угодно большие значения.

Впервые проведено детальное исследование модуляционной неустойчивости спектров лснгмюровских и НГ волн. Найдены пороги неустойчивости и условия их существования. Показано отличие характера развития как "длинноволновой", так и "коротковолновой'' модуляционной неустойчивости волновых спектров от модуляционной неустойчивости монохроматической волны накачки. Это указывает на некорректность часто используемого приближения монохроматической волны накачки для описания "коротковолновой" неустойчивости спектров волн. Найденные пороги модуляционной неустойчивости спектров НГ волн позволили объяснить характеризующие процесс возбуждения регулярных полей в магнитосфере Земли значения пороговой плотпости энергии НГ полей, наблюдаемые со спутника Рге]а.

Впервые показано, что применение понятия перехода из состояния слабой турбулентности в состояние сильной турбулентности в конкретной плазменной системе имеет смысл лишь в случае широких волновых спектров. В случае узких волновых спектров, когда отсутствуют пороги модуляционного взаимодействия, система находится в состоянии сильной турбулентности с самого начала. Для случая широких волновых спектров впервые показано, что состояние сильной турбулентности более упорядоченное, чем состояние слабой турбулентности. Впервые показана справедливость Н-теоремы при развитии модуляционных процессов. Переход из состояния слабой в состояние сильной плазменной турбулентности рассматривается как неравновесный фазовый переход.

Впервые при решении проблемы "спектрального зазора", которая возникает при теоретическом описании токов увлечения, генерируемых в установках по магнит-пому удержанию плазмы НГ волнами, рассмотрено модуляционное взаимодействие спектров НГ волн, что позволило решить проблему "спектрального зазора". Впер вые показано, что в случае интенсивной НГ накачки наиболее важным эффектом, определяющим эффективность генерации токов увлечения является модуляционное возбуждение магнитных полей. Объяснены значения токов увлечения и эффективности их генерации, полученные в эксперименте по генерации токов увлечения НГ волнами, проведенном на токамаке ЛТ-60.

Впервые показано, что модуляционное взаимодействие НГ волн является основным нелинейным процессом, определяющим возбуждение длинноволновых дрейфовых волн в пристеночной плазме токамака в условиях экспериментов по НГ нагреву

плазмы и токам увлечения. Дано объяснение зависимостей уровня флуктуации плотности плазмы от мощности инжектируемых в плазму НГ волн, полученных в эксперименте по изучению дрейфовой турбулентности в пристеночной плазме токамака, проведенном на установке Тоге Supra.

Практическая ценность. Практическая значимость работы обусловлена возможностью использования полученных результатов в исследованиях как лабораторной, таге и околоземной и космической плазмы в случаях, когда в плазму осуществляется достаточно мощный ввод энергии. Методы, развитые в диссертации, могут быть полезны для дальнейшего развития теории сильной турбулентности плазмы. Результаты диссертации могут применяться для интерпретации экспериментов, проводимых в установках по магнитному удержанию плазмы (дополнительный нагрев плазмы, токи увлечения). Привлечение модуляционного взаимодействия для описания токов увлечения и предсказание влияния на эффективность их генерации возбуждения магнитных полей в результате развития модуляционного взаимодействия весьма важно для нахождения оптимальных условий генерации токов увлечения в плазме. Методы и результаты диссертации могут использоваться для предсказания и интерпретации процессов, происходящих в активных геофизических экспериментах (например, при инжекции в плазму магнитосферы вещества со спутников или геофизических ракет), для объяснения явлений, наблюдаемых в плазме ионосферы и магнитосферы Земли.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на XX Международной конференции по явлениям в ионизованных газах (Иль Чиокко, Барга, Италия, 1991 г.), на VI Всесоюзной конференции по взаимодействию электромагнитных излучений с плазмой (Душанбе, Таджикская ССР, 1991 г.), на Международной конференции по физике плазмы (Инсбрук, Австрия, 1992 г.), на XX Европейской конференции по управляемому термоядерному синтезу и физике плазмы (Лиссабон, Португалия, 1993 г.), на XXI Международной конференции по явлениям в ионизованных газах (Бохум, Германия, 1993 г.), на II Международном совещании "Сильное СВЧ излучение в плазме" (Москва-Нижний Новгород-Москва, Россия, 1993 г.), на XXI Европейской конференции по управляемому термоядерному синтезу и физике плазмы (Монтпелье, Франция, 1994 г.), на Международной конференции по физике плазмы (Фоз до Игуасу, Бразилия, 1994 г.), на XXII Европейской конференции по управляемому термоядерному синтезу и физике плазмы (Борнмут, Великобритания, 1995 г.), на Международной конференции по физике плазмы (На-гойя, Япония, 199S г.), на VII Латиноамериканской рабочей группе по физике плазмы (Каракас, Венесуэла, 1997 г.), на XXIV Европейской конференции по управляемому термоядерному синтезу и физике плазмы (Берхтесгаден, Германия, 1997 г.), на научных семинарах ФИАН им. П.Н.Лебедева, Теоретического отдела ИОФ РАН, ИДГ РАН, Рурского университета (Бохум, Германия), Средиземноморского технологического института (Марсель, Франция), Исследовательского Центра ЕНЕА (Фраскати (Рим), Италия), Принстонской лаборатории по физике плазмы (Принстон, США).

Часть результатов исследований включена в монографию (Vladimirov S.V., Tsytovich V.N., Popel S.I., Khakimov F.Kh. Modulational interactions in plasmas. -Dordrecht / Boston / London: Kluwer Academic Publishers, 1995) и цитируется в обзорах: a) Vladimirov S.V., Popel S.I., Modulational interactions of two monochromatic waves and packets of random waves // Australian J. Phys. - 1994. - V. 47, No. 4. - P. 375429; 6) Popel S.I., Vladimirov S.V., Tsytovich V.N. Theory of modulational interactions in plasmas in the presence of an external magnetic field // Phys. Reports. - 1995. - V. 259C,

No. 6. - P. 327-405; в) Robinson P.A. Nonlinear wave collapse and strong turbulence // Rev. Mod. Phys. - 1997. - V. 69, No. 2. - P. 507-573.

Публикации. В основу диссертации положены работы автора [1 - 41].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Она изложена на 223 стр. машинописного текста, снабжена 4 табли цами и иллюстрирована 8 рисунками. Библиография включает 285 наименований литературных источников.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении показана актуальность темы, изложена цель работы, дана ее общая характеристика, сформулирована научная новизна работы.

В Главе 1 разрабатывается общая нелинейная теория, позволяющая описывать динамику регулярных и случайных полей в эволюции волновых спектров в плазме, на основе которой развиваются универсальные методы исследования модуляционной неустойчивости волновых спектров.

В Разделе 1.1 рассматриваются виртуальные поля в нелинейных процессах. Исследуется их связь с модуляционным взаимодействием. Происхождение виртуального поля связано с нелинейными явлениями. Не существует определенной зависимости частоты виртуальных полей от волнового вектора. Виртуальные поля могут рассматриваться как вынужденные (распространяющимися в плазме волнами) колебания. Несмотря на их название, они представляют собой реально существующие поля в плазме. В Разделе 1.1.1 показано, что в некоторых аспектах имеется аналогия между виртуальными полями, сопровождающими волновое поле, и собственными полями заряженных частиц. В частности, в определенном смысле виртуальное поле не может быть отделено от волнового поля, играя, тем самым, роль, аналогичную роли собственного поля заряженных частиц. Виртуальпое поле зависит от структуры волнового пакета и не соответствует никакой волновой моде в системе. Собственное поле частицы также пе имеет какой-либо дисперсионной зависимости, связывающей частоту и волновой вектор. Далее, длинноволновая часть виртуального поля распространяется с групповой скоростью волнового пакета. Аналогия с собственным полем частицы здесь проистекает из того, что электромагнитное поле, создаваемое частицей, распространяется со скоростью частицы, в то время как хорошо известно, что в квантовом рассмотрении, где частицы описываются волновой функцией, скорость частицы является групповой скоростью пакета, описываемого волновой функцией частицы. В Разделе 1.1.2 показано, что понятие "модуляционное взаимодействие" можно применять для описания нелинейных процессов, характер которых определяется виртуальными полями. В ситуации, когда виртуальные поля неустойчивы и являются определяющими для нелинейного процесса, а изменения начальных волновых полей малы, виртуальные поля модулируют волну накачки как во времени, так и в пространстве. Именно эта ситуация соответствует развитию линейной стадии модуляционного взаимодействия - модуляционной неустойчивости. Само же модуляционное взаимодействие подразумевает отсутствие каких-либо ограничений па амплитуды возмущений волноеых полей. Показано, что в бесстолкновительной плазме монохроматическая волна любой сколь угодно малой амплитуды модуляционно неустойчива.

В Разделе 1.2 приводится нелинейный формализм, описывающий эволюцию виртуальных и волновых полей, для общего случая, учитывающего возможность присутствия внешнего магнитного поля. Этот формализм не включает разбиения на случайные и регулярные поля - все поля, описываемые им, могут включать в себя как случайные, так и регулярные компоненты. На, основе этого формализма выводится общее нелинейное уравнение третьего порядка по полям волн, которое для электростатических колебаний имеет в Фурье-представлении вид:

екЕ£ = 21 £+ -к,-кг- (1)

где к — {ш,к}, ы - частота, к - волновой вектор, е* - линейная диэлектрическая проницаемость, Е^ ' - амплитуда положительно (отрицательно) частотной гармоники электрического поля, - эффективный нелинейный отклик среды. Вычисле-

ние Е^ь должно проводиться для каждой конкретной ситуации. Из уравпения (1) получено общее нелинейное (третьего порядка по полям волн) эволюционное уравнение для амплитуды огибающей поля волны. Показано, каким образом и в каких предположениях из этого уравнения можно получить нелинейные уравнения, традиционно используемые для описания модуляционной неустойчивости, например, в случае ленгмюровских волн уравнения Захарова для амплитуды огибающей1. Вывод уравнений Захарова из общего нелинейного уравнения третьего порядка по полям волн показывает, что они являются лишь некоторой приближенной формой общих нелинейных уравнений, которые сами по себе являются фундаментальными.

В Разделе 1.3 исследуются стохастические свойства плазменной системы в нелинейных взаимодействиях. В Разделе 1.3.1 изучается вопрос о связи фазовых корреляций в волне и модуляционного взаимодействия. Рассматриваются ленгмюровские колебания, имеющие достаточно широкий спектр, сосредоточенный, в том числе, и в области малых волновых векторов к, так что спектральная ширина в к-пространстве имеет порядок характерного волнового вектора в спектре. Учитывается резонансное взаимодействие ленгмюровских волн с электронами, а также тот факт, что одиночный резонанс волна-частица делит фазовое пространство на две области, пролетную и захватную. Возникновение стохастичности связывается с перекрытием по порядку величины соседних островов (областей захвата) в пространстве скоростей. Показана важность изменения стохастических свойств плазменной системы в ситуации, когда в плазме возбуждаются регулярные ленгмюровские поля. Дано доказательство того факта, что модуляционное взаимодействие с необходимостью усиливает фазовые корреляции в волне, приводя к формированию в системе состояния сильной турбулентности. Этот процесс связан с уменьшением стохастичности системы в результате модуляционного взаимодействия и имеет место даже в случае систем с первоначально развитой стохастичностью (находящихся первоначально в состоянии слабой турбулентности). Получены пределы использования описания модуляционного взаимодействия с помощью теории, в которой превалирующее положение занимают случайные поля. В Разделе 1.3.2 рассмотрение стохастических свойств применяется для объяснения парадокса, возникающего при традиционном (на основе теории слабой турбулентности) описании эволюции спектров волн в процессе развития эффекта плазменного мазера. Этот эффект представляет собой нелинейное взаимодействие в плазме резонансных (с каким-либо видом частиц), так и нерезонансных (с этими частицами) волн. Его природа связана с возможным усилением нерезонансных волн

1 Захаров В.Е. // ЖЭТФ. - 1972. - Т. 6'2, N0. 5. - С. 1745-1759.

при их переходном рассеянии на неоднородностях плазмы, возникающих в результате резонансного взаимодействия частиц плазмы с (резонансными) волнами. При этом резонансными называются волны, удовлетворяющие черенковскому условию, тогда как нерезонанснымл - волны, для которых не выполнены как черепковское условие, так и условие резонанса индуцированного рассеяния. Рассмотрена одномерная задача о распространении электронного пучка в неизотермической плазме (Г, Те, где Г,

- температура ионов), в которой присутствуют ионно-звуковые волны. Резонансными с частицами пучка являются ленгмюровские волны, тогда как нерезонансными

- ионно-звуковые. Указанный парадокс выявлен при рассмотрении этой задачи и заключается в том, что в некоторых ситуациях полученные на оснопе традиционно го описания инкременты, описывающие нелинейное возбуждение резонансных волн благодаря их нелинейному взаимодействию с нерезонансными, могут формально принимать сколь угодно большие значения. Показано, что рассмотрение стохастических свойств нерезонансных ионно-звуковых волн позволяет объяснить возпикпшй парадокс и определить предельное значение нелинейного инкремента, при котором все еще возможно описание эффекта плазменного мазера традиционными методами, когда пренебрегают корреляциями между волнами в спектре и возможностью нелинейного уширения резонапсов.

В Разделе 1.4 производится построение универсального нелинейного формализма для описания эволюции спектров электростатических волн, подразумевающего разделение шлей на случайные и регулярные компоненты и пригодного, в частности, для описания модуляционного взаимодействия волновых спектров, перехода из состояния слабой в состояние сильной турбулентности и т.д. Универсальность подразумевает, что этот формализм может быть применен к произвольной плазменной системе, эффективный нелинейный отклик которой известен. Построение нелинейного формализма проводится в следующих предположениях: первоначально фазы волн (а, следовательно, и сами волны) могут рассматриваться как случайные; вклад нелинейностей более высокого, чем третьего, порядка по полям волн, "электронных нелинейностей" и релятивистских нелинейностей пренебрежимо мал; возмущения магнитного поля, вызванные распространением волн, пренебрежимо малы, так что все электрические поля в задаче, включая виртуальные, могут рассматриваться как электростатические; уровень плазменной турбулентности достаточно низок, так что выполнено условие справедливости приближения слабой нелинейности. В Разделе 1.4.1 выводятся общие нелинейные уравнения третьего порядка по полям волн, описывающие динамику регулярных и случайных полей в плазме и учитывающие возможность генерации регулярных полей случайными и влияния регулярных полей на спектры случайных. Исходными при этом являются кинетические уравнения для электронов и ионов плазмы и уравнение Пуассона. Используется следующее разделение для электрического поля Е и функций распределения электронов и ионов /(»,<).

Е = Еге8 + 5Е, / = Ф(е','-Ь5/(с',), (2)

где, по определению, усредненные по статистическому ансамблю значения случайных составляющих 5Е, соответствующих величин равны нулю. Соответственно их регулярные составляющие Еге5 и Ф(е,,) равны (Е) и Здесь угловые скобки

обозначают усреднение по статистическому ансамблю. Полученные в Разделе 1.4.1 общие нелинейные уравнения для регулярных и случайных полей используются в Разделе 1.4.2 для вывода системы интегральных уравнений, с помощью которой возможно рассмотрение модуляционной неустойчивости волновых спектров в произвольной плазменной системе. Корреляции, возникающие при развитии модуляци-

онной неустойчивости, характеризуются следующими корреляционными функциями:

= {Ь'Е%к+кЩ^), (3)

где гармоника 6Ехарактеризует спектр случайных полей в отсутствие модуляционного взаимодействия, а 6'Е* - возмущение спектра случайных полей, вызванное модуляционным взаимодействием. Знак +(-) в верхних индексах ¿Е^ и &'Е^ соответствует положительно (отрицательно) частотной гармонике. Спектр случайных полей в отсутствие модуляционного взаимодействия предполагается однородным и стационарным, т.е. = -¡Е1"'0^ + ¿1). Система уравнений для ис-

следования модуляционной неустойчивости волновых спектров в произвольной среде, эффективный нелинейный отклик которой известен, имеет вид:

ек+к,аи, = -21 Ц1к,мк,,ки^О1к^0Х<1кг -2/ ^„.мм^М^Х^

(4)

-2 ] ъ^.ь.-ммвЫ Е+{й)\1^

В Разделе 1.5 суммируются основные результаты Главы 1.

В Главе 2 положения универсальной теории, описывающей динамику регулярных и случайных полей в эволюции волновых спектров, разрабатываются для случал ленгмюровской турбулентности.

В Разделе 2.1 приводится вывод уравнений для модуляционной неустойчивости спектров ленгмюровских волн. В Разделе 2.1.1 из уравнений (4), (5) выводится система интегральных уравнений для корреляционных функций, описывающая модуляционную неустойчивость спектров ленгмюровских волн. В Разделе 2.1.2 обсуждается возможность описания модуляционной неустойчивости волновых спектров на основе ранее использовавшихся методов1, где модуляционная неустойчивость спектров волн исследовалась с помощью нелинейных уравнений, не учитывающих разделения полей на их случайные и регулярные компоненты, в которых квадратичные по полю члены заменялись их усредненными по фазам значениями. Показана некорректность таких методов. Проведена корректная процедура усреднения уравнений Захарова и выделения в них регулярных и случайных полей. Для случая, когда характерный пространственный масштаб случайных полей много меньше, чем регулярных, приведена полная система эволюционных уравнений для случайных и регулярных полей.

'Брейзман Б.Н., Юнгвирт К. - В сб.: Вопросы теории ллазмы / Под ред. Б Б. Кадомцева. - М.: Энергоатомиздаг. 1990. - Вып. 18. - С. 3-67.

В Разделе 2.2 детально исследуется "коротковолновая" модуляционная неустойчивость спектров ленгмюровских волн и производится ее сопоставление с "коротковолновой" неустойчивостью монохроматической волны накачки. Случаи "коротковолновой" модуляционной неустойчивости спектров соответствует следующим неравенствам: |к'| ]к|, |к'| |£к|, где |к| - характерная длина волнового вектора в спектре, ¡<5к| - характерная ширина (в k-пространстве) спектра волн, к' - волновой вектор модуляционных возмущений. Предполагается, что Т, Те. Показано, что максимальные инкременты "коротковолновой" неустойчивости спектров в определенных случаях совпадают с максимальными инкрементами неустойчивости монохроматической волны накачки. Найдены, однако, ситуации (например, при и' £ш, <jJ ~> |k'|i>s, 6ш < ¡¿k|us. где и/ - частота модуляционных возмущений, 8и> - ширина волнового спектра по частотам, и, = (Ге/т,у/2 - скорость звука, rrii - масса иона), когда развитие "коротковолновой" модуляционной неустойчивости волновых спектров подавлено по сравнению с развитием "коротковолновой" модуляционной неустойчивости монохроматической волны накачки. Это указывает на некорректность часто используемого приближения монохроматической волны накалки для описания "коротковолновой" неустойчивости спектров волн. Подавление неустойчивости связано, в частности, с тем, что в спектре каждая мода не может быть неустойчивой независимо от других мод. Становятся существенными их корреляции, что и приводит в указанном случае к подавлению неустойчивости.

В Разделе 2.3 исследуется вопрос о порогах модуляционной неустойчивости волновых спектров и условиях их существования. В Разделе 2.3.1 изучается случай узких волновых спектров таких, что спектр ленгмюровских волн сосредоточен в области достаточно малых волновых векторов:

М < (С)

где шре = (47гпое2/гле)1/'2 - электронная плазменная частота, щ - невозмущенная концентрация электронов плазмы, — е - заряд электрона. Показано, что в рассматриваемой ситуации развитие модуляционной неустойчивости волновых спектров происходит практически при любых значениях плотности энергии ленгмюровских волн и параметров плазмы. Это означает отсутствие порогов модуляционного взаимодействия в случае узких спектров, удовлетворяющих условию (6). В Разделе 2.3.2 изучается ситуация, соответствующая "длинноволновой" модуляционной неустойчивости спектров, т.е. ситуация, когда выполнены неравенства ¡k'j <С |k|, |k'| |<5k|. Рассматривается случай широких спектров волн:

|k| » f^^. (7)

V т< VT4

Исследование данной ситуации необходимо, поскольку оно позволяет сопоставить условия развития "коротковолновой" и "длинноволновой" модуляционной неустойчивости и, тем самым, определить пороговые условия. Из системы интегральных уравнений для корреляционных функций, описывающей модуляционную неустойчивость спектров ленгмюровских волн, выводится дисперсионное уравнение для модуляционных возмущений, справедливое для случая "длинноволновой" неустойчивости. Это уравнение совпадает с дисперсионным уравнением, полученным ранее1 в рамках

Пзеденов A.A., Рудаков Л.И. // ЛАН. - 1964. - Т. 159, No. 4 - С. 767-770.

приближения геометрической оптики, которое справедливо именно при рассмотрении "длинноволновой" неустойчивости. Таким образом, представленная в данной работе универсальная нелинейная теория для описания модуляционной неустойчивости спектров позволяет подтвердить результаты, полученные ранее а частных случаях методом геометрической оптики. Исследование "длинноволновой" неустойчивости и нахождение условий ее развития проводится в случае как изотропного трехмерного, так и одномерного спектра, ленгмюровских волн. Показано, что "длинноволновая" модуляционная неустойчивость широких волновых спектров подавлена по сравнению с неустойчивостью монохроматической волны накачки. Пороги модуляционной неустойчивости спектров ленгмюровских волн существуют лишь в случае достаточно широких спектров (7). Наличие порогов неустойчивости и их величина зависят от вида спектра волн. В случае трехмерного изотропного "плоского" спектра ленгмюровских волн, сосредоточенного в области волновых векторов кшт < |к| < при к^йъ <С &тах пороговое условие имеет вид:

> 12 к^^гЪс, (8)

по(Ге + Г,)

где где = (Ге/47гп0е2)1'2 - дебаевский радиус электронов. В случае одномерного "плоского" спектра (сосредоточенного в области волновых векторов < к < ктлх) при к1шп <С £т»х порог модуляционной неустойчивости определяется условием:

> 3к2таУВс. (9)

по (Те 4- Т{)

В Разделе 2.4 исследуется эволюция энтропии при развитии модуляционных процессов и переход из состояния слабой в состояние сильной турбулентности. Рассмотрение проводится для достаточно широких спектров случайных ленгмюровских волн (см. (7)). Что касается случая узких спектров (см. (6)), то в этом случае порога неустойчивости не существует, и в плазме с самого начала присутствуют как регулярные поля, возбуждаемые в процессе модуляционного взаимодействия, так и случайные. Но такое состояние, по определению, представляет собой состояние сильной турбулентности. Описание регулярных возмущений полей не ограничивается каким-либо.конкретным их видом (например, солитонами или самосжимающимися волновыми пакетами), т.е. исследуется общий случай. В Разделе 2.4.1 показано, что генерация регулярных полей при развитии модуляционных процессов приводит к увеличению энтропии плазменной системы. Это означает справедливость Н-теоремы при развитии модуляционных процессов. В Разделе 2.4.2 понятие энтропии используется для определения относительной степени упорядоченности состояний системы при переходе из состояния слабой в состояние сильной ленгмюровской турбулентности. Предполагается, что в начальный момент в плазме имеются только случайные поля, т.е. система находится в состоянии слабой турбулентности. Вводятся понятия "старого" и "нового" состояний. "Старое" состояние соответствует слабой турбулентности, тогда как "новое" - сильной, характеризующейся наличием в плазме наряду со случайными полями регулярных полей, возбуждаемых в результате развития модуляционных процессов. Вводится также понятие продолженного "старого" состояния, что означает гипотетическую ситуацию, когда плазма находится в состоянии слабой турбулентности (регулярные поля отсутствуют), но плотность энергии случайных волн превосходит значение, соответствующее порогу модуляционного взаимодействия. Для определения относительной степени упорядоченности, по аналогии

с утверждениями S-теоремы1, производится сравнение энтропии системы в продолженном "старом" и "новом" состояниях при одинаковых значениях управляющего параметра (в качестве которого выбирается функция, определяющая порог модуляционного взаимодействия) в предположении равенства средней эффективной энергии системы в обоих состояниях. Рассматривается околопороговая ситуация. Показано, что значение энтропии системы в продолженном "старом" состоянии превосходит ее значение в "новом" состоянии. Это означает, что "новое" (сильнотурбулентное) состояние является более упорядоченным, чем состояние слабой турбулентности. В Разделе 2.4.3 производится проверка принципа минимума производства энтропии в процессах самоорганизации для случая перехода из состояния слабой в состояние сильной турбулентности. Этот принцип был сформулирован2 для описания процесса самоорганизации, который формируется как результат неравновесного фазового перехода (а возможно и последовательности фазовых переходов). Фактически он является критерием неравновесного фазового перехода. Показано, что для случая перехода из состояния слабой в состояние сильной турбулентности в плазме принцип минимума производства энтропии выражается неравенством

fold > (10)

(где <rnew(old) - производство энтропии в "новом" (продолженном "старом") состоянии), которое оказывается выполненным для указанного перехода. Справедливость принципа минимума производства энтропии в процессах самоорганизации в случае перехода плазменной системы из состояния слабой в состояние сильной турбулентности дает возможность трактовки этого процесса как неравновесного фазового перехода, а результате которого система переходит в более упорядоченное состояние.

В Разделе 2.5 суммируются основные результаты Главы 2.

В Главе 3 универсальная нелинейная теория применяется для описания эволюции регулярных и случайных полей, модуляционной неустойчивости, нахождения ее порогов и условий их существования в случае плазмы, находящейся во внешнем магнитном поле. Основное внимание уделяется случаю волн, связанных с частотой НГ

резонанса и^И = "pi/ (l + Bt) ' i где шр> = (4xn0e2/mi)1''2 - ионная плазменная частота, ыВс — е|Вс|/тсс - электронная гирочастота, Во - внешнее магнитное поле.

В Разделе 3.1 рассматриваются НГ волны, приводится их закон дисперсии, обсуждаются ситуации, в которых важным оказывается модуляционное взаимодействие НГ волн, и дается краткий обзор проводившихся ранее исследований модуляционной неустойчивости НГ волн.

В Разделе 3.2 вычисляется эффективный нелинейный отклик среды для случая НГ волн. Исходными являются кииетические уравнения для частиц плазмы и уравнение Пуассона. Основное внимание уделяется ситуации, в которой выполнено соотношение |cos0| > (mj/m,)1/2, где cosö = fc||/|k|. Эта ситуация представляет интерес для ряда приложений (например, нагрева плазмы НГ волнами, токов увлечения, различных задач в астрофизической плазме и т.д.). В случае, когда выполнены неравенства > шрс и [cosöj > (me/m,)1'2, а также можно пренебречь возмущениями магнитного поля и не учитывать нелинейные процессы на удвоенных частотах НГ волн,

'Климоятович Ю Л. Турбулентное движение и структура хаоса: Новый подход к статистической теории открытых систем. - М.: Наука, 1990. - с. 76.

2Климонтович Ю.Л. ibid. - с. 99.

эффективный нелинейный отклик среды имеет вид:

¿м-, 1..1.. — — - -тгтг; г; тт. г 1е*2+*з — -V

2т2 |к||к кцкщ г(к±хк1Х)ц и>2 МШВе

!'<С2||кз|£*2+*3 кпкщ ^ г(к2ххк3т)[| о>2

(П)

где е^ и - вклад соответственно электронов и ионов в линейную диэлектрическую проницаемость, а индекс ± обозначает компоненту вектора, перпендикулярную внешнему магнитному полю. Обсуждается вид эффективного нелинейного отклика среды для случал НГ волн в других ситуациях, когда не выполнены указанные неравенства.

В Разделе 3.3 исследуется модуляционная неустойчивость монохроматической НГ волны с частотой ш0, волновым вектором ко и амплитудой электрического поля £о-Предполагается, что |соз(?0| > (тг/т;)1'2, где созЙ0 = &о])/|ко|. В Разделе 3.3.1 выводится дисперсионное уравнение для модуляционной неустойчивости. Показано, что эффект модуляционной неустойчивости максимален при к' ± ко- В Разделе 3.3.2 исследуется "коротковолновая" модуляционная неустойчивость, случай которой соответствует неравенству ¡к'| |ко|. Показано, что в этом случае модуляционное взаимодействие стремится привести к формированию симметричного спектра НГ волн в ¿ц-пространстве. В "динамическом" случае (|и/| |к'|и,) максимальный (при фиксированных значениях плотности энергии НГ волн и волнового вектора к') инкремент "коротковолновой" модуляционной неустойчивости как функции от |к'| совпадает с ранее вычисленным инкрементом параметрической неустойчивости1, которую можно трактовать как частный случай модуляционной неустойчивости при |к0| = 0. Тем не менее, в "статическом" случае (|и>'| <С |к'|и5) существует ситуация, когда при (|к'|/!ко|))к'|г>5/и>о 1 максимальный (при фиксированных значениях \У1Н и к') инкремент "коротковолновой" модуляционной неустойчивости оказывается значительно меньше максимального инкремента параметрической неустойчивости (|ко[ = 0). В Разделе 3-3.3 найдены инкременты и условия развития "длинноволновой" модуляционной неустойчивости (|к'| •< |к0|). Показано, что в этом случае модуляционное взаимодействие сохраняет асимметрию в распределении НГ волн по значениям ¿||. В Разделе 3.3.4 производится сравнение эффективности развития модуляционной неустойчивости НГ волн с эффективностью других нелинейных процессов. Показано, что она может доминировать над другими нелинейными процессами (индуцированным рассеянием, распадами) даже при не очень сильной накачке.

В Разделе 3.4 исследуются стохастические свойства плазменной системы в модуляционном взаимодействии НГ волн. Учитывается возможность для НГ волн быть резонансными как с замагниченными электронами, так и с незамагничеыными ионами. В Разделе 3.4.1 рассматриваются НГ волны с частотами из окрестности частоты НГ резонанса. Показано, что в широком диапазоне параметров (в большинстве реальных физических ситуаций) условие перекрытия соседних островов (областей захвата) в пространстве скоростей нарушается при развитии модуляционной неустойчивости. Такое заключение оказывается верным даже тогда, когда первоначально параметр стохастичности велик, фазы НГ волн могут рассматриваться как случайные, и, в свою очередь, применима теория слабой турбулентности. Это означает, что при развитии модуляционной неустойчивости НГ волн с частотами из окрестности частоты НГ резонанса стохастичность системы быстро уменьшается. Как и в случае ленг-мюровских волн, уменьшение стохастичности системы тесно связано с увеличением

1 Ротко1аЪ М. // РЬуэ. РЫск. - 1974. - V. 17, N0. 7. - Р. 1432-1442.

роли фазовых корреляций и регулярных полей при развитии модуляционного взаимодействия. В Разделе 3.4.2 рассматривается случай НГ волн с частотами, достаточно сильно превосходящими частоту НГ резонанса, соответствующий неравенству |cosfl| > (TOt/m;)1/2. Показано, что диапазон значений плотности энергии НГ волн, при котором в процессе модуляционного взаимодействия не происходит нарушения условия перекрытия соседних островов в пространстве скоростей электронов, достаточно широк. Это означает уменьшение роли регулярных полей в рассматриваемом случае по сравнению со случаем |cos(?| <С (me/m,-)1''2. Тем не менее, модуляционное взаимодействие и в случае |cosO| > (irij/m,)1'2 приводит к росту фазовых корреляций и регулярных полей.

В Разделе 3.5 исследуется модуляционная неустойчивость спектров НГ волн с частотами, достаточно сильно превосходящими частоту НГ резонанса (ш > \/2и>щ). Предполагается, что первоначально фазы НГ волн могут рассматриваться как случайные. Для ее исследования применяются методы, представленные в Разделе 1.4, которые оказываются справедливыми для достаточно широкого диапазона уровней турбулентности в плазме как в околопороговой ситуации, так и в случае развитого модуляционного взаимодействия. Основное внимание уделяется ситуации, когда спектр НГ волн одномерен. В Разделе 3.5.1 выводятся интегральные уравнения для описания модуляционной неустойчивости спектров ИГ волн как в общем случае, так и в случае одномерных спектров. В Разделе 3.5.2 изучается случай "коротковолновой" модуляционной неустойчивости одномерных спектров НГ волн. Показано, что порог "коротковолновой" модуляционной неустойчивости отсутствует. Максимальные инкременты "коротковолновой" неустойчивости спектров и неустойчивости монохроматической волны накачки различаются лишь численным множителем порядка единицы. Не найдено ситуаций, когда "коротковолновая" неустойчивость спектров НГ волн существенно отличается от неустойчивости монохроматической волны накачки. Это связано с особым видом нелинейного отклика для случая НГ волн. Обсуждается "коротковолновая" модуляционная неустойчивость спектров НГ вола, имеющих разброс Дв по углам в (Ав <С |cos0|). И в этом случае максимальные инкременты неустойчивости спектров и неустойчивости монохроматической волны накачки различаются лишь численным множителем порядка единицы. Это свойство существенным образом отличает модуляционную неустойчивость спектров от других нелинейных процессов (например, от индуцированного рассеяния НГ волн на частицах плазмы). В Разделе 3.5.3 рассматривается случай "длинноволновой" модуляционной неустойчивости спектров НГ волн. Именно в этом случае возникают условия па параметры плазмы и накачки, которые в определенных обстоятельствах могут трактоваться как пороги неустойчивости. Показано, что, как и для ленгмюровских волн, "длинноволновая" неустойчивость в случае спектров в целом ослаблена по сравнению со случаем монохроматической накачки. Найдены пороги модуляционной неустойчивости НГ волн и условия их существования. Они существуют лишь для очень широких волновых спектров (которые занимают всю область в k-пространстве, где могут существовать НГ волны: (2 — 3)[fc|||vrt < шо)- В ситуации |<5k|us <С Su> порог модуляционной неустойчивости НГ волн определяется из условия

где \¥£н - спектральная плотность энергии НГ волн (=

В Разделе 3.6 показано, что в случае спектров НГ волн области параметров плазмы и волн, при которых модуляционное взаимодействие с самого начала доминирует

(12)

над другими нелинейными процессами (распадами и/кли индуцированным рассеянием), увеличиваются по сравнению со случаем монохроматической волны. Возможность ситуации, при которой модуляционная неустойчивость НГ волн (при |cosflj > (me/га,)1'2) с самого начала доминирует над распадами и/или индуцированным рассеянием, указывает, в частности, на то, что обычко используемый сценарий1 развития слабой НГ турбулентности и перехода ее в сильную турбулентность (где первоначально происходит перекачка НГ волн по спектру в область |cos0j -С (mj/m,)1'2 за счет эффектов индуцированного рассеяния, и лишь после этого важным ставо-вится модуляционное взаимодействие, НГ волн) требует, как минимум, уточнения. Обсуждается роль регз'лярных и случайных полей в НГ турбулентности и переход из состояния слабой в состояние сильной турбулентности. Понятие такого перехода может быть введено лишь для системы, в которой имеется очень широкий слаботурбулентный спектр волн (спектр, занимающий всю область в k-пространстве, где могут существовать волны). Для менее широких спектров модуляционное взаимодействие НГ волн не имеет порога. Следовательно, происходит генерация регулярных полей с самого начала. Это означает, что система находится в состоянии сильной турбулентности с самого начала.

В Разделе 3.7 рассматривается неоднородная невозмущенная плазма, находящаяся во внешнем магнитном поле. На основе полностью кинетического описания проводится вычисление эффективного нелинейного отклика среды и исследование модуляционной неустойчивости дрейфовых НГ волн. Исследуется ситуация, когда в неоднородной плазме течет электронный ток поперек внешнего магнитного поля. Градиент невозмущенной (дрейфовыми НГ волнами) концентрации плазмы предполагается направленным перпендикулярно току и магнитному полю. В Разделе 3.7.1 приводятся основные соотношения для волн, возбуждаемых в результате кинетической дрейфовой НГ неустойчивости. В Разделе 3.7.2 в приближении, когда дрейфовые НГ волны - продольны, на основе кинетических уравнений для частиц плазмы и уравнения Пуассона вычисляется эффективный нелинейный отклик среды для таких волн. При кп —>• 0 (где к'1 - характерная длина неоднородности) он принимает вид эффективного нелинейного отклика (11), вычисленного для случая однородной плазмы. В Разделе 3.7.3 исследуется модуляционная неустойчивость дрейфовых НГ волн. Найдены ее инкременты и условия развития. Показано, что влияние неоднородности плазмы подавляет модуляционные процессы, что выражается в возможности развития модуляционной неустойчивости дрейфовых НГ волн только в случае, когда длина волнового вектора модуляционных возмущений меньше или порядка длины волнового вектора волны накачки, а также в ослаблении модуляционной неустойчивости в случае, когда эффективный нелинейный отклик определяется неоднородностью плазмы. При этом модуляционная неустойчивость все же является наиболее важным нелинейным процессом для колебаний, возбуждаемых в результате дрейфовой НГ неустойчивости. Порог модуляционной неустойчивости присутствует уже в случае монохроматической накачки. Его появление обусловлено тем, что модуляционная неустойчивость дрейфовых НГ волн развивается лишь при выполнении условия развития линейной дрейфовой НГ неустойчивости, т.е. можно говорить о модуляционном возбуждении этих волн лишь если инкремент модуляционной неустойчивости превосходит инкремент линейной дрейфовой НГ неустойчивости.

В Разделе 3.8 суммируются основные результаты Главы 3.

В Главе 4 универсальная нелинейная теория, описывающая эффекты регуляр-

1Мушер С Л., Рубенчик A.M., Шапиро И.Я. // ЖЭТФ. - 1986. - Т. 90, No. 3 - С. 890-904.

ных и случайных полей в эволюции волновых спектров, применяется для описания ряда реальных физических ситуаций в лабораторной и космической плазме, в которых в результате развития модуляционного взаимодействия оказывается важной либо эволюция начального волнового спектра, либо возбуждение волновых спектров, либо генерация регулярных полей, либо все эти эффекты вместе взятые.

В Разделе 4.1 исследуются процессы, происходящие при генерации НГ волнами токов увлечения в термоядерных установках. В Разделе 4.1.1 дается краткий обзор теоретических и экспериментальных исследований по генерации токов увлечения НГ волнами. Приводятся характерные значения основных параметров экспериментов по их генерации. Рассматриваются предложенные рапее другими авторами механизмы заполнения "спектрального зазора" НГ волнами и отмечаются их недостатки. В Разделе 4.1.2 рассмотрение модуляционной неустойчивости спектров НГ волн, проведенное в Главе 3, применяется для решения проблемы "спектрального зазора" в токах увлечения. Ее решение связано с возможностью существования "коротковолновой" модуляционной неустойчивости спектров НГ волн, которая приводит к возбуждению НГ волн с достаточно низкими значениями продольной фазовой скорости ша/Цу

Минимальное значение продольной фазовой скорости НГ волн [и0ЩЛ при этом

V II/ min

определяется конкуренцией между процессом возбуждения волн в результате модуляционной неустойчивости и затуханием Ландау. Показано, что в случае интенсивной НГ волновой накачки модуляционное взаимодействие спектров НГ волн является основным процессом, приводящим к заполнению "спектрального зазора" НГ волнами, что объясняет наблюдаемые значения токов увлечения. Подробно рассмотрен один из самых крупных экспериментов по генерации токов увлечения, выполненный на тока-маке JT-60. Показано, что использование модуляционной неустойчивости позволяет объяснить появление в этом эксперименте в НГ волновом спектре волн с достаточно низкими продольными фазовыми скоростями шо/fcfi > 4.02ихе. Объяснены полученные в этом эксперименте значения токов увлечения и эффективности их генерации. В Разделе 4.1.3 исследуется влияние модуляционного возбуждения магнитных полей в процессе генерации токов увлечения. Учитываются модуляционные процессы с участием виртуальных нолей, содержащих поперечную составляющую. Влияние возмущений магнитного поля на функцию распределения электронов описывается с помощью кинетического уравнения, в котором учитываются случайные возмущения магнитного поля Ш. Выводится уравнение, описывающее динамику функции распределения электронов с учетом магнито-модуляционных эффектов, эффектов парных столкновений частиц и квазилинейных эффектов. Это уравнение используется для вычисления плотности стационарного тока увлечения и эффективности его генерации. Показано, что модуляционное возбуждение магнитных полей приводит к увеличению эффективной частоты столкновений электронов и уменьшению эффективности генерации ИГ волнами токов увлечения. Это обусловлено тем, что возмущения магнитного поля (подобно парным столкновениям) стремятся хаотизировать скорость электронов, взаимодействующих с НГ волнами, в результате чего эти электроны покидают резонансную область, т.е. область скоростей электродов, в которой выполнено условие черепковского резонанса (оъ = кциц, где v - скорость электрона) с НГ волнами. Показано, что эффект модуляционного возбуждения магнитных полей становится существенным при значениях отношения плотности энергии НГ волн в плазме к плотности энергии теплового движения электронов, превышающих величину 1СГ3 в несколько раз (для данных типичных экспериментов по генерации токов увлечения на крупных установках).

В Разделе 4.2 представлены результаты теоретического и экспериментального

исследований возбуждения дрейфовых волн в пристеночной плазме токамака Тоге Supra в условиях экспериментов по генерации токов увлечения НГ волнами и НГ нагреву плазмы. Рассматривается нелинейное возбуждение дрейфовых волн в результате развития модуляционной неустойчивости НГ волн. В Разделе 4.2.1 представлены результаты наблюдений флуктуации плотности плазмы, связанных с дрейфовыми колебаниями, которые были выполнены на токамаке Tore Supra. В эксперименте было показано, что инжекция ВЧ мощности в плазму существенным образом влияет на уровень флуктуации плотности. При включении ВЧ мощности флуктуации плотности увеличиваются, причем имеется ярко выраженная нелинейная зависимость уровня флуктуации от мощности инжекции НГ волн. Наиболее эффективный рост соответствует меньшим значениям волнового вектора флуктуаций плотности. В Разделе 4.2.2 исследуется возможность возбуждения модуляционных возмущений плотности плазмы, связанных с дрейфовой модой, при наличии в плазме НГ волн. Фактически рассматривается задача возбуждения в результате модуляционной неустойчивости НГ волн виртуальных полей, имеющих ту же поляризацию и находящихся в том же частотном диапазоне, что и дрейфовые волны. Рассматривается неоднородная бесстолкновительная плазма в присутствии внешнего магнитного поля и предполагается, что градиент плотности плазмы перпендикулярен направлению магнитного поля. НГ волны распространяются в плоскости, перпендикулярной направлению градиента невозмущенной концентрации плазмы. Получены эволюционные уравнения, описывающие модуляционную неустойчивость НГ волн, в ситуации, в которой низкочастотные модуляционные возмущения имеют отношение к дрейфовой моде. Найдены инкременты и условия развития модуляционной неустойчивости. Показано, что модуляционное взаимодействие НГ волн является основным нелинейным процессом, определяющим возбуждение длинноволновых дрейфовых волн в пристеночной плазме токамака в условиях экспериментов по НГ нагреву плазмы и токам увлечения. В Разделе 4.2.3 производится обсуждение теоретических результатов, полученных в Разделе 4.2.2, с точки зрения выполненного на токамаке Tore Supra эксперимента по наблюдению флуктуаций плотности плазмы, связанных с дрейфовыми колебаниями. При отсутствии ВЧ накачки стационарный спектр дрейфовых волн формируется в результате каскадной перекачки волн, возбуждаемых в результате линейной дрейфовой неустойчивости, по спектру в область малых длин волнового вектора. Длинноволновая часть стационарного спектра в этом случае имеет вид Ww ос (к')~2Я 1, что соответствует экспериментально наблюдаемому спектру дрейфовых волн Wp ос (к')~3. При инжекции НГ волн в плазму основным процессом, приводящем к возбуждению дрейфовых волн, является модуляционная неустойчивость. Нелинейный рост уровня флуктуаций плотности £п/п0 от мощности Р НГ волн, инжектируемых в плазму, (Sn/no ос Р1'3) качественно согласуется с данными наблюдений.

В Разделе 4.3 рассматривается возбуждение регулярных полей в околоземной космической плазме, зафиксированное в наблюдениях, проведенных на спутнике Freja. Характерной особенностью этих наблюдений было доказательство существования порога возбуждения регулярных НГ полей. Показано, что параметры плазмы и волн, для которых получено пороговое условие модуляционной неустойчивости НГ волн (12), соответствуют условиям эксперимента на спутнике Freja, причем имеется согласие между теоретическими (полученными на основе (12)) и наблюдаемыми в эксперименте Freja значениями пороговой плотности энергии НГ полей. Это, в частности, позволяет заключить, что образование регулярных полей и, соответственно, формирование состояния сильной турбулентности в плазме магнитосферы Земли связано с

'Hasegawa A., Mima К. // Phys. Fluids. - 1978. - V. 21, No. 1. - P. 87-92.

развитием модуляционных процессов.

В Разделе 4.4 результаты рассмотрения модуляционной неустойчивости дрейфовых НГ волн, полученные в Разделе 3.7, применяются при нахождении ширины магнитопаузы - области магнитосферы, где происходит эффективное взаимодействие плазмы с солнечным ветром. В Разделе 4.4.1 для условий плазмы магнитопаузы производятся оценки значения максимальной амплитуды электрического поля дрейфовых НГ волн и эффективной частоты столкновений электронов, обусловленной взаимодействием электронов с волнами, возбуждаемыми в результате линейной дрейфовой НГ неустойчивости. Модуляционная неустойчивость дрейфовых НГ волн при этом определяет механизм насыщения линейной неустойчивости. Теоретическая опенка среднего значения квадрата амплитуды дрейфовых НГ волн не противоречит измерениям, проведенным в области магнитопаузы. В Разделе 4.4.2 производится оценка ширины магнитопаузы на основе диффузионной модели Паркера-Свита, модифицированной с учетом возможности появления аномального сопротивления. Используется значение эффективной частоты столкновений, полученное в Разделе 4.4.1. Оценка ширины магнитопаузы находится в согласии с данными наблюдений.

В Разделе 4.5 суммируются основные результаты Главы 4.

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработана , теория, описывающая динамику регулярных и случайных полей в эволюции волновых спектров в плазме и учитывающая возможность генерации регулярных полей случайными. На основе этой теории развиты универсальные методы исследования модуляционной неустойчивости волновых спектров. Показана некорректность ранее использовавшихся методов, где модуляционная неустойчивость спектров волн исследовалась на основе нелинейных уравнений, не учитывающих разделения полей на их случайные и регулярные компоненты, в которых квадратичные по полю члены заменялись их усредненными по фазам значениями.

2. Показана важность изменения стохастических свойств плазменной системы в ситуации, когда в плазме возбуждаются регулярные поля. Впервые дано строгое доказательство того факта, что модуляционное взаимодействие с необходимостью усиливает фазовые корреляции в волне, приводя к формированию в системе состояния сильной турбулентности. Этот процесс связан с уменьшением стохастичности системы в результате модуляционного взаимодействия и имеет место даже в случае систем с первоначально развитой стохастичностью (находящихся первоначально в состоянии слабой турбулентности). Впервые получены пределы использования описания модуляционного взаимодействия с помощью теории, в которой превалирующее положение занимают случайные поля. Объяснен парадокс, возникающий при описании эффекта плазменного мазера на основе теории, учитывающей только случайные поля, который заключается в том, что нелинейный инкремент раскачки резонансных с частицами волн формально может принимать сколь угодно большие значения.

3. Для случаев ленгмюровских и нижнегибридных (НГ) волн (последние важны в экспериментах, проводимых в установках по магнитному удержанию плазмы, в геофизических и космических экспериментах и наблюдениях) показано,

что "длинноволновая" модуляционная неустойчивость широких волновых спектров подавлена по сравнению с неустойчивостью монохроматической (с фиксированными частотой и волновым вектором) волны накачки. Найдены пороги неустойчивости и условия их существования. Они могут существовать только для широких спектров. Так, в случае НГ волн они существуют для спектров, которые занимают всю область в пространстве волновых векторов, где могут существовать волны. Максимальные инкременты "коротковолновой" неустойчивости спектров в определенных случаях совпадают с максимальными инкрементами неустойчивости монохроматической волны накачки. Существуют ситуации, когда развитие "коротковолновой" модуляционной неустойчивости волновых спектров существенным образом отличается от развития "коротковолновой" модуляционной неустойчивости монохроматической волны накачки. Это указывает на некорректность часто используемого приближения монохроматической волны накачки для описания "коротковолновой" неустойчивости спектров волн. Объяснены характеризующие процесс возбуждения регулярных полей в магнитосфере Земли значения пороговой плотности энергии НГ полей, наблюдаемые со спутника Freja. На основе полностью кинетического рассмотрения модуляционной неустойчивости дрейфовых НГ волн получены значения эффективной частоты столкновений в плазме магнитосферы Земли и размера переходного слоя магнитопаузы.

4. Дано решение проблемы "спектрального зазора", которая возникает при теоретическом описании токов увлечения, генерируемых в установках по магнитному удержанию плазмы НГ волнами, и связана с расхождением на несколько порядков между экспериментальными и теоретическими (полученными на основе линейной теории) значениями токов увлечения. Впервые при решении этой проблемы рассмотрено модуляционное взаимодействие спектров НГ волн. Показано, что в случае интенсивной НГ волновой накачки оно является основным процессом, приводящим к заполнению "спектрального зазора" НГ волнами, что объясняет наблюдаемые значения токов увлечения. Впервые показано, что в случае интенсивной НГ накачки наиболее важным эффектом, определяющим эффективность генерации токов увлечения является модуляционное возбуждение магнитных полей. Объяснены значения токов увлечения и эффективности их генерации, полученные в эксперименте1 по генерации токов увлечения НГ волнами, проведенном на токамаке JT-60.

5. Показано, что модуляционное взаимодействие НГ волн является основным нелинейным процессом, определяющим возбуждение длинноволновых дрейфовых волн в пристеночной плазме токамака в условиях экспериментов по НГ нагреву плазмы и токам увлечения. Дано объяснение зависимостей уровня флуктуаций плотности плазмы от мощности инжектируемых в плазму НГ волн, полученных в эксперименте по изучению дрейфовой турбулентности в пристеночной плазме токамака, проведенном на установке Tore Supra [32].

6. Показано, что применение понятия перехода из состояния слабой турбулентности в состояние сильной турбулентности в конкретной плазменной системе имеет смысл лишь в случае широких волновых спектров. В случае узких волновых спектров, когда отсутствуют пороги модуляционного взаимодействия, система

1JT-60 Team presented by Ushigusa К. // Plasma. Phys. Control. Fusion. - 1990. - V. 32, No. 11. -P. 863-867.

находится в состоянии сильной турбулентности с самого начала. Для случая широких волновых спектров показано, что состояние сильной турбулентности более упорядоченное, чем состояние слабой турбулентности. Показана справедливость Н-теоремы при развитии модуляционных процессов. Переход из состояния слабой в состояние сильной плазменной турбулентности рассматривается как неравновесный фазовый переход.

Укажем теперь на возможные направления продолжения исследований, выполненных в диссертации, и применение ее результатов. Представляет интерес развить методы описания эволюции в плазме регулярных полей произвольной интенсивности при наличии случайных полей на основе полученных в Разделе 1.4.1 диссертации общих нелинейных уравнений для регулярных и случайных полей. Подобное исследование явилось бы важным шагом в развитии теории сильной турбулентности плазмы. Заслуживает внимание исследование на основе методов, развитых в диссертации, модуляционной неустойчивости волновых спектров в столкновительной плазме (когда характерная частота низкочастотных полей, возбуждаемых в результате развития модуляционного взаимодействия, оказывается меньшей или сравнимой с эффективной частотой столкновений частиц) и в пылевой плазме. Исследование столкновительной и пылевой плазмы важно для предсказания и интерпретации процессов, происходящих как в плазме ионосферы Земли и космической плазме (в планетарных кольцах, хвостах комет, в межзвездных облаках и т.д.), так и в лабораторной плазме (в газоразрядной плазме, при плазменном травлении и т.д.). Результаты диссертации могут использоваться при постановке и объяснении лабораторных и активных геофизических и космических экспериментов, исследующих процесс возбуждения регулярных структур в плазме и формирование состояния сильной турбулентности, для интерпретации экспериментов, проводимых в установках по магнитному удержанию плазмы (дополнительный нагрев плазмы, токи увлечения). Результаты Раздела 4.1.3 диссертации, касающиеся негативного влияния модуляционного возбуждения магнитных полей на эффективность генерации токов увлечения, должны учитываться при разработке будущих установок токамак, в которых предполагается использование НГ волн для генерации токов увлечения с мощностью инжекшга, в несколько раз превосходящей мощность инжекции НГ волн в современных установках (таких как JT-601, Тоге Supra [32]). Рассмотрение на основе методов, развитых в диссертации, влияния модуляционного взаимодействия на генерацию токов увлечения важно для нахождения оптимальных условий генерации токов увлечения в плазме. Представляет также интерес как теоретическое, так и экспериментальное исследование возможности управления эффективностью модуляционных процессов в установках по магнитному удержанию плазмы за счет изменения спектра инжектируемых волн.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Владимиров C.B., Попель С.И., Цытович В.Н. О нелинейных эффектах при генерации токов увлечения // Краткие сообщения по физике. - 1991. - No. 1112. - С. 57-60.

2. Popel S.I., Tsytovich V.N., Vladimirov S.V. Modulational instability and current drive // Proceedings of the 20th Intern. Conf. on Phenomena in Ionized Gases, 1991, II Ciocco, Barga, Italy. - Contributed papers. - V. 1, P. 261-262.

^T-eO Team presented by Ushigusa K. // Plasma Phys. Control. Fusion. - 1990. - V. 32, No. 11. -P. 853-367.

3. Popei S.I., Tsytovich V.N., Vladimirov S.V. Modulational instability of lower-hybrid waves // Proceedings of the 20th Intern. Conf. on Phenomena in Ionized Gases, 1991, И Ciocco, Barga, Italy. - Contributed papers. - V. 1, P. 263-264.

4. Владимиров С.В., Попель С.И., Цытович В.Н. Модуляционное взаимодействие пижнегибридпых волн // Тезисы докладов VI-ой Всесоюзной конференции по взаимодействию электромагнитных излучений с плазмой, 1991, Душанбе. - С. 35.

5. Popel S.I., Tsytovich V.N. On the nonlinear processes during generation of current drive // Contrib. Plasma Phys. - 1992. - V. 32, No. 2. - P. 77-84.

6. Владимиров С.В., Попель С.И., Цытович В.Н. О модуляционном взаимодействии в нижнегибридной турбулентности // Физика плазмы. - 1992. - Т. 18, No. 9. - С. 1146-1159.

7. Popel S.I., Tsytovich V.N., Vladimirov S.V. On modulational interaction of lower-hybrid waves // Physica Scripta - 1992. - V. 46, No. 1. - P. 65-71.

8. Popel S.I., Tsytovich V.N., Vladimirov S.V. Modulational instability development and current drive // Proceedings of the 1992 Intern. Conf. on Plasma Physics, 1992, Innsbruck, Austria. - Contributed papers. - V. 16C, Part II, P. 993-996.

9. Popel S.I., Vladimirov S.V., Yu M.Y. Plasma-maser effect and evolution of resonant waves in turbulent plasmas // Physica Scripta - 1993. - V. 47, No. 2. - P. 239-243.

10. Vladimirov S.V., Yu M.Y., Popel S.I. On the evolution of resonant waves in closed plasma systems // Contrib. Plasma Phys. - 1993. - V. 33, No. 1. - P. 1-5.

11. Popel S.I., Vladimirov S.V., Yu M.Y. The evolution of resonant waves in plasmas in the presence of non-resonant wave turbulence // Физика плазмы 1993. Т. 19, No. 12. - С. 1467-1478.

12. Popel S.I., Vladimirov S.V., Yu M.Y. On influence of the plasma-maser effect on evolution of resonant waves // Proceedings of the 20th EPS Conf. on Controlled Fusion and Plasma Physics, 1993, Lisboa, Portugal. - Contributed papers. - V. 17C, Part IV, P. 1483-1486.

13. Popel S.I., Vladimirov S.V., Yu M.Y. Plasma-maser effect and beam-instability development // Proceedings of the 21st Intern. Conf. on Phenomena in Ionized Gases, 1993, Bochum, Germany. - Contributed papers. - V. 1, P. 165-166.

14. Popel S.I., Rumanov I.E., Tsytovich V.N. Modulational instability of lower-hybrid drift waves // Proceedings of the 21st Intern. Conf. on Phenomena in Ionized Gases, 1993, Bochum, Germany. - Contributed papers. - V. 2, P. 153-154.

15. Popel S.I., Rumanov I.E., Tsytovich V.N. On modulational interaction of lower-hybrid drift waves // Proceedings of the 2nd Intern. Workshop on Strong Microwaves in Plasmas, 1993, Moscow-Nizhny Novgorod-Moscow, Russia. - Nizhny Novgorod: Inst, of Applied Phvs., 1994. - V. 2. - P. 549-554.

16. Popel S.I., Vladiinirov S.V., Yu M.Y. Development of the beam instability and the plasma-maser effect / / Proceedings of the 2nd Intern. Workshop on Strong Microwaves in Plasmas, 1993, Moscow-Nizhny Novgorod-Moscow, Russia. - Nizhny Novgorod: Inst, of Applied Phys., 1994. - V. 2. - P. 560-565.

17. Popel S.I., Rumanov I.E., Tsytovich V.N. On modulational interaction of the lower-hybrid drift oscillations // Contrib. Plasma Phys. - 1994. - V. 34, No. 1. - P. 5-18.

18. Vladimirov S.V., Popel S.I. Physical aspects of the plasma-maser interaction // Phys. Lett. A. - 1994. - V. 184, No. 6. - P. 454-458.

19. Popel S.I., Tsytovich V.N., Vladimirov S.V. Modulational instability of Langmuir wave packets // Phys. Plasmas. - 1994. - V. 1, No. 7. - P. 2176-2188.

20. Popel S.I., Tsytovich V.N. On modulational instability of turbulent spectra // Contrib. Plasma Phys. - 1994. - V. 34, No. 6. - P. 695-702.

21. Popel S.I., Elsasser K. Magnetic field perturbations and lower-hybrid current drive // Comments Plasma Phys. Controlled Fusion. - 1994. - V. 16, No. 2. - P. 79-90.

22. Popel S.I., Elsasser K. Current drive and magnetic field perturbations // Proceedings of the 21st EPS Conf. on Controlled Fusion and Plasma Physics, 1994, Montpellier, France. - Contributed papers. - V. 18B, Part III, P. 1066-1069.

23. Popel S.I., Vladimirov S.V. Physical aspects of nonlinear interactions in plasmas // Proceedings of the 2lst EPS Conf. on Controlled Fusion and Plasma Physics, 1994, Montpellier, France. - Contributed papers. - V. 18B, Part III, P. 1402-1405.

24. Vladimirov S.V., Popel S.I. Stochastic properties of waves and plasma-maser instability // Proceedings of the 1994 Intern. Conf. on Plasma Physics, 1994, Foz do Iguagu, Brazil. - Contributed papers. - V. 2, P. 183-186.

25. Попель С.И., Владимиров С.В. О предельных значениях инкрементов, описывающих нелинейное взаимодействие резонансных и нерезонансных волн // Физика плазмы - 1995. - Т. 21, No. 3. - С. 286-288.

26. Popel S.I, Vladimirov S.V. Stochastic properties of the modulational interaction in packets of random waves // Phys. Lett. A. - 1995. - V. 200, No. 2. - P. 156-159.

27. Vladimirov S.V., Popel S.I. Modulational processes and limits of weak turbulence theory // Phys. Rev. E. - 1995. - V. 51, No. 3. - P. 2390-2400.

28. Popel S.I., Vladimirov S.V., Tsytovich V.N. Theory of modulational interactions in plasmas in the presence of an external magnetic field // Phys. Reports - 1995. - V. 259C, No. 6. - P. 327-405.

29. Vladimirov S.V, Tsytovich V.N, Popel S.I, Khakimov F.Kh. Modulational interactions in plasmas. - Dordrecht / Boston / London: Kluwer Academic Publishers, 1995. - 544 p.

30. Popel S.I. Modulational instability of packets of lower-hybrid waves // Proceedings of the 22nd EPS Conf. on Controlled Fusion and Plasma Physics, 1995, Bournemouth, United Kingdom. - Contributed papers. - V. 19C, Part III, P. 433436.

31. Popel S.I., Vladiinirov S.V. Weak turbulence theory and modulational processes // Proceedings of the 22nd EPS Conf. on Controlled Fusion and Plasma Physics,

1995. Bournemouth, United Kingdom. - Contributed papers. - V. 19C, Part IV, P. 445-448.

32. Benkadda S, Popel S.I., Tsytovich V.N., Devynck P., Laviron C. Modulational excitation of drift waves by a beam of lower-hybrid waves // Phys. Plasmas. -

1996. - V. 3, No. 2. - P. 571-577.

33. Попель С.И. Энтропия и модуляционное взаимодействие // Краткие сообщения по физике. - 1996. - No. 11,12. - С. 62-69.

34. Popel S.I. Modulational interactions of waves associated with the lower-hybrid resonance and plasma stochasticity // Proceedings of the 1996 Intern. Conf. on Plasma Physics, 1996, Nagoya, Japan. - Contributed papers. - V. 1, P. 890-893.

35. Benkadda S., Popel S.I., Tsytovich V.N. et al. Modulational excitation of drift waves by a beam of lower-hybrid waves in tokamak plasmas // Proceedings of the 1996 Intern. Conf. on Plasma Physics, 1996, Nagoya, Japan. - Contributed papers. - V. 1, P. 1046-1049.

36. Popel S.I. Plasma stochasticity and modulational interactions of waves associated with lower-hybrid resonance //' Journal of Plasma Phys. - 1997. - V. 57, No. 2. -P. 363-371.

37. Попель С.И. Модуляционная неустойчивость широких спектров нижнегибридных волн. - Москва, 1997. - 42 с. /Препринт/ Инст. общей физики РАН, No.

38. Попель С.И. Инкременты "коротковолновой" модуляционной неустойчивости широких спектров ленгмюровских волн // Краткие сообщения по физике. -

1997. - No. 7,8. - С. 65-73.

39. Popel S.I. Nonlinear processes in lower-hybrid current drive and plasma heating // Program and Abstracts of the VII Latin America Workshop on Plasma Physics, 1997, Caracas, Venezuela. - P. 28D05.

40. Popel S.I. Entropy and entropy production in transition from weak to strong turbulent plasma state // Program and Abstracts of the VII Latin America Workshop on Plasma Physics, 1997, Caracas, Venezuela. - P. 28D06.

41. Popel S. New theory of transition from weak to strong turbulent plasma state // Proceedings of the 24th EPS Conf. on Controlled Fusion and Plasma Physics, 1997, Berchtesgaden, Germany. - Contributed papers. - V. 21A, Part III, P. 1365-1368.

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, доктора физико-математических наук, Попель, Сергей Игоревич, Москва

Л/£ / -V ^

/ / ^

• г"

V <.

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ДИНАМИКИ ГЕОСФЕР

Л.-

• - < • ■ ' 1к/ правах рукописи

Г................-....................■/--■ТА-

д.

Попель Сгргой Игоревич

РЕГУЛЯРНЫЕ И СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ В эволюции волновых

СПЕКТРОВ В ПЛАЗМЕ

Специальности: 01.04.02 - теоретическая физика

01.04.08 - физика и химия плазмы

Диссертация

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1998

Содержание

Введение..............................................................................5

1 ОБЩАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ 20

1.1 Виртуальные поля в нелинейных процессах................................20

1.1.1 Собственное поле частиц и виртуальное поле......................21

1.1.2 Виртуальные поля и модуляционное взаимодействие..............25

1.2 Эволюционные уравнения для волновых полей ............................28

1.3 Стохастические свойства плазмы в нелинейных процессах................33

1.3.1 Фазовые корреляции в модуляционном взаимодействии ..........34

1.3.2 Парадокс при описании эффекта плазменного мазера ............39

1.4 Универсальный нелинейный формализм для регулярных и случайных полей ............................................................................46

1.4.1 Уравнения для случайных и регулярных полей....................46

1.4.2 Уравнения для корреляционных функций ...........................52

1.5 Заключительные замечания ............................................55

2 РЕГУЛЯРНЫЕ И СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ В ЛЕНГМЮРОВСКОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 57

2.1 Уравнения для модуляционной неустойчивости спектров ленгмюров-ских волн . . . .................................................................58

2.1.1 Интегральные уравнения для модуляционной неустойчивости . . 58

2.1.2 Эволюционные уравнения для регулярных и случайных полей . 59

2.2 "Коротковолновая" неустойчивость волновых спектров ..................63

2.3 Пороги неустойчивости........................................................70

2.3.1 Узкие волновые спектры..............................................70

2.3.2 Широкие спектры. "Длинноволновая" неустойчивость............74

2.4 Энтропия в плазменной турбулентности....................................80

2.4.1 Модуляционные процессы и Н-теорема..............................81

2.4.2 Относительная степень упорядоченности системы ................83

2.4.3 Принцип минимума производства энтропии........................87

2.5 Заключительные замечания ..................................................88

3 ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 91

3.1 НГ волны и модуляционное взаимодействие................ 92

3.2 Отклики среды для НГ волн......................... 95

3.3 Неустойчивость монохроматической НГ волны ..............100

3.3.1 Дисперсионное уравнение для модуляционной неустойчивости . . 100

3.3.2 "Коротковолновая" модуляционная неустойчивость .......101

3.3.3 "Длинноволновая" модуляционная неустойчивость........105

3.3.4 Сравнение с другими нелинейными процессами..........107

3.4 Стохастические свойства плазмы в модуляционном взаимодействии НГ волн .......................................109

3.4.1 Волны с частотами из окрестности НГ резонанса.........111

3.4.2 Волны с частотами, достаточно сильно превосходящими частоту НГ резонанса............................113

3.5 Модуляционная неустойчивость спектров НГ волн............114

3.5.1 Интегральные уравнения.......................115

3.5.2 "Коротковолновая" неустойчивость ................118

3.5.3 "Длинноволновая" неустойчивость. Пороги ............125

3.6 Регулярные и случайные поля в НГ турбулентности...........131

3.7 Влияние неоднородности. Дрейфовые НГ волны .............134

3.7.1 Основные соотношения........................135

3.7.2 Эффективный нелинейный отклик среды..............139

3.7.3 Модуляционная неустойчивость...................142

3.8 Заключительные замечания .........................149

4 ЛАБОРАТОРНАЯ И КОСМИЧЕСКАЯ ПЛАЗМА 152

4.1 Токи увлечения.................................152

4.1.1 Краткая история вопроса ......................152

4.1.2 Проблема "спектрального зазора" и модуляционная неустойчивость ..................................158

4.1.3 Модуляционное возбуждение магнитных полей и эффективность

генерации токов увлечения......................162

4.2 Модуляционное возбуждение дрейфовых волн пучком НГ волн.....168

4.2.1 Результаты экспериментов на токамаке Tore Supra .......168

4.2.2 Модуляционная неустойчивость...................172

4.2.3 Спектры дрейфовых волн и уровень флуктуаций плотности . . .179

4.3 Регулярные НГ поля в плазме магнитосферы Земли...........181

4.4 Макроскопические следствия модуляционного взаимодействия в плазме магнитосферы Земли.............................186

4.4.1 Эффективная частота столкновений.................187

4.4.2 Ширина магнитопаузы........................190

4.5 Заключительные замечания .........................193

Заключение......................................194

Библиография....................................198

Введение

Современной физике часто приходится иметь дело с нелинейными явлениями. Они играют значительную роль как в фундаментальной теоретической физике, так и в многочисленных экспериментальных и промышленных задачах. Исторически сложилось так, что изучение нелинейных явлений получило существенное развитие в физике плазмы. Любой достаточно мощный ввод энергии в плазму приводит к их быстрому развитию. Они чрезвычайно важны в исследованиях по проблеме управляемого термоядерного синтеза, в разнообразных астрофизических задачах, в активных геофизических экспериментах, при взаимодействии мощного ВЧ излучения с плазмой ионосферы Земли и т. д. В дополнение к этому следует отметить, что такие явления как динамический хаос, турбулентность, образование нелинейных структур составляют значительную часть нелинейной физики плазмы. Результаты в этой области представляют интерес для физики в целом.

- характеризуется случайными фазами волн. Произвольные волновые движения в этом состоянии можно представить в виде суперпозиции волновых мод линейной теории. Амплитуда этих волн медленно меняется со временем в результате взаимодействия между ними, а также взаимодействия волн и частиц плазмы. К настоящему времени разработка теории слабой турбулентности практически завершена [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]. В другом состоянии - состоянии сильной турбулентности

- возрастает значение регулярных возмущений полей, что приводит к образованию различных когерентных структур, таких как солитоны, филаменты, нелинейно самосжимающиеся волновые пакеты и т.д. Особенностью этих структур является то, что внутри них фазы мод сильно скоррелированы. При аналитическом исследовании состояния сильной турбулентности в основном рассматривалось поведение когерентных структур, являющихся частными решениями нелинейных уравнений, описывающих это состояние (см., например, [10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17]). Использование лишь частных решений соответствующих нелинейных уравнений затрудняет адекватное и полное описание состояния сильной турбулентности и перехода из состояния сла-

бой в состояние сильной турбулентности. Такое состояние дел привело к тому, что до сих пор не построена законченная теория сильной турбулентности и имеются лишь сценарии сильной турбулентности [18, 19, 20].

Состояние сильной от состояния слабой турбулентности отличает наличие в плазме регулярных возмущений полей. Таким образом, весьма важной задачей является построение теории регулярных и случайных полей, которая учитывает возможность генерации регулярных полей случайными и не ограничивается какой-либо конкретной формой регулярных возмущений полей (например, солитонами или самосжимающимися волновыми пакетами).

Ключевым процессом при генерации регулярных полей является модуляционное взаимодействие [21]. Традиционные методы исследования модуляционного взаимодействия, когда выводы относительно характера взаимодействия заключаются только на основе нелинейных уравнений, в которых не произведено разделения полей на регулярные и случайные, не позволяют решить следующие фундаментальные проблемы.

Во-первых, не удается не только дать строгого доказательства того факта, что модуляционное взаимодействие усиливает фазовые корреляции, приводя к формированию в системе состояния сильной турбулентности, но и найти условия, при которых это происходит. Следует отметить, что подобное заключение делалось ранее, исходя из того, что частными решениями нелинейных уравнений, описывающих модуляционное взаимодействие, являются когерентные структуры [11, 18, 19, 22]. В общем случае для решения этой проблемы следует провести исследование стохастических свойств плазменной системы. Действительно, приближение слабой турбулентности, когда фазы волн могут рассматриваться как случайные, справедливо лишь для систем с развитой стохастичностью [б]. Усиление фазовых корреляций приводит к изменению стохастических свойств данной системы. Таким образом, по изменению стохастических свойств плазменной системы можно судить о фазовых корреляциях и о появлении регулярных возмущений полей. Ранее стохастические свойства плазменной системы рассматривались для обоснования справедливости одного из основных взаимодействий теории слабой турбулентности - квазилинейного -и нахождения пределов его применимости [6]. Теория слабой турбулентности, учитывающая только случайные поля, не является замкнутой. Она приводит к различным парадоксам. Хорошо известен (см., например, [18]) парадокс образования конденсата плазменных колебаний, путь решения которого [23] основан на использовании модуляционного взаимодействия. Отметим также парадокс, возникающий при описании

эффекта плазменного мазера [24, 25, 26, 27], т.е. нелинейного взаимодействия резонансных (с каким-либо видом частиц) и нерезонансных (с этими частицами) волн на основе теории слабой турбулентности. Парадокс заключается в том, что нелинейный инкремент раскачки резонансных с частицами волн формально может принимать сколь угодно большие значения [28, 29]. Решение последнего парадокса может быть получено при изучении стохастических свойств нерезонансных волн [30, 31].

Во-вторых, на основе этих методов не была до сих пор решена задача описания модуляционной неустойчивости спектров волн. Модуляционная неустойчивость [32, 33, 34, 35, 36] - линейная стадия развития модуляционного взаимодействия. Ее исследование важно для определения характерных времен модуляционных процессов и их порогов, что имеет существенное значение для описания реальных процессов в плазме (например, при генерации токов увлечения нижнегибридными (НГ) волнами в установках по магнитному удержанию плазмы [37, 38, 39, 40]), где зачастую спектры имеют достаточную ширину в пространстве волновых векторов. Традиционные же методы, как правило, дают возможность либо исследования модуляционной неустойчивости монохроматической (с фиксированными частотой и волновым вектором) волны накачки, либо нахождения в частных случаях решений в виде сильно коррелированных нелинейных состояний. Следует отметить, что предпринимались попытки исследования модуляционной неустойчивости спектров ленгмюровских волн [15, 32, 41, 42, 43]. Впервые модуляционная неустойчивость широкого спектра ленгмюровских волн изучалась в работе [32]. Однако, исследование было проведено лишь в частном случае, поскольку использовалось приближение геометрической оптики, справедливое при условии, что характерная длина волнового вектора в спектре значительно превосходит длину волнового вектора модуляционных возмущений. В работах [15, 41, 43] фактически не было осуществлено корректной процедуры усреднения, что было связано с отказом от разделения полей на их случайные и регулярные компоненты, и привело к неадекватному описанию неустойчивости спектров. Попыток исследования модуляционной неустойчивости спектров других типов волн, важных для описания реальных экспериментальных ситуаций (например, НГ волн) и вовсе не предпринималось. Тот факт, что до сих пор такая важная задача как модуляционная неустойчивость волновых спектров не была успешно решена, связан прежде всего со сложностью исследования неустойчивости широких спектров. С одной стороны, имеются фундаментальные трудности. При рассмотрении модуляционной неустойчивости, как правило, подразумевается существование исходного стационарно-

го состояния. Это стационарное состояние является точным нелинейным решением уравнений, описывающих модуляционное взаимодействие. Таким решением может быть, например, солитон или монохроматическая волна, в которой учитывается нелинейный сдвиг частоты. Для широких же спектров ситуация усложняется тем, что эти спектры далеко не всегда могут рассматриваться как точные решения соответствующих уравнений. С другой стороны, само описание модуляционной неустойчивости широких спектров представляет собой существенно более сложную проблему, чем описание неустойчивости монохроматической волны накачки. Это обусловлено тем, что уравнения для модуляционной неустойчивости широких спектров должны учитывать взаимодействие между волнами в спектре и поэтому должны иметь вид интегральных уравнений.

В-третьих, фактически не были найдены пороги модуляционного взаимодействия и условия их существования. Естественно называть пороговым такое значение энергии волн в плазме, что при уровнях энергии ниже этого значения развития модуляционных процессов не происходит, тогда как при его превышении имеет место генерация модуляционных возмущений. Хорошо известно (см., например, [21]), что модуляционная неустойчивость монохроматической ленгмюровской волны накачки в бесстолкновительной плазме не имеет порога. Таким образом, решение вопроса о порогах неустойчивости непосредственно связано с решением задачи о неустойчивости волновых спектров. Следует отметить, что понятие порога модуляционной неустойчивости вводилось в смысле доминирования нелинейных эффектов в дисперсии волн над эффектами тепловой дисперсии (для случая ленгмюровских волн) [9, 21]. При этом порогу неустойчивости отвечало такое значение плотности энергии волн, при котором нелинейное уширение частоты становится порядка тепловой поправки в законе дисперсии волн, т.е.

|к|2гЬе, (В.1)

п0Те

где Т^ьг " пороговое значение плотности энергии волн, по - невозмущенное значение концентрации электронов, Те - электронная температура плазмы, к - волновой вектор, где = {Те/^ще2)1^2 - дебаевский радиус электронов, — е - заряд электрона. Однако, модуляционное взаимодействие, приводящее к генерации регулярных полей, может иметь место при уровнях плотности энергии ниже, чем определяемое таким образом значение, на что указывает пример модуляционной неустойчивости монохроматической волны накачки. Казалось бы, этот пример может быть опровергнут,

если записать пороговое условие в виде:

(В.2)

где (¿к2)1''2 - разброс значений волнового вектора к в спектре волн. Именно в таком виде может быть записано пороговое условие, если считать что оно определяется критериями развития модуляционной неустойчивости, приведенными в работах [18, 32]. Однако, в этих работах данные критерии были получены при рассмотрении модуляционной неустойчивости лишь в частных случаях, и поэтому они не могут определять условие, которое может трактоваться как порог неустойчивости. Кроме того, найденное [33, 34] в рамках приближения геометрической оптики достаточное условие возникновения модуляционной неустойчивости для случая трехмерного изотропного спектра ленгмюровских волн:

>12МТ. + Т,) (В.З)

1 /9

в общем случае не может быть представлено в виде (В.2). Здесь и>ре = (47гп0е2/те) - электронная плазменная частота, те - масса электрона, ьте — {Те/гПе)1^2 - тепловая скорость электронов, Т{ - ионная температура плазмы, к = |к], \¥к = 47гИ/к&2, -спектр ленгмюровских волн, \¥ = ¡]¥ъ.с1к - их плотность энергии. Таким образом, даже в наиболее часто исследуемом случае ленгмюровских волн методы, не учитывающие разбиения полей на их случайные и регулярные компоненты, не дали ясности в вопросе о пороге модуляционного взаимодействия. Вместе с тем, понятие порога чрезвычайно важно при рассмотрении перехода из состояния слабой в состояние сильной турбулентности (см., например, [18]), а также для определения в различных приложениях параметров плазменной системы, при которых в силу вступает модуляционное взаимодействие.

Адекватное описание перехода из состояния слабой в состояние сильной турбулентности затрудняет не только недостаток информации о параметрах этого перехода (неясность в вопросе о порогах модуляционного взаимодействия) и отмеченная выше возможность нахождения лишь частных решений нелинейных уравнений (солитонов, филамент и т.д.) при традиционном описании модуляционного взаимодействия, но и тот факт, что эти состояния существенно неравновесны. Следует отметить, что в частном случае распада системы на солитон и свободные (случайные) волны переход из состояния слабой в состояние сильной турбулентности

трактовался как обычный (равновесный) фазовый пер�